Nombre...Apellidos... Grado en:...grupo:...

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1 ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA - Soluciones Estadística- Curso 01/1. 9 de Julio de 01 Nombre...Apellidos... Grado en:...grupo: Considera la variable aleatoria (v.a.) X cuyos posibles valores, euiprobables, son f; ; ; 8g : Esto es, la probabilidad de ue X tome cualuiera de esos valores es la misma e igual a 0:. Supongamos ue extraemos, con reemplazamiento, muestras aleatorias simples (m.a.s.) de tamaño n =. Esto signi ca ue en una muestra puede aparecernos el mismo número las dos veces. (a) Lista todas las m.a.s. de tamaño ue se obtendrían y el valor de la media muestral, x, en cada una de ellas. (b) Determina la función de probabilidad de la v.a. media muestral, X. (c) Calcula la media y la desviación típica poblacional de X; = E (X) y = p V ar (X): (d) Determina el valor de la media y la desviación típica poblacional de la media muestral de X; X: Solución: (a) En total hay = 1 muestras posibles, ue son: (; ); (; ), (; ); (; 8); (; ), (; ); (; ); (; 8); (; ); (; ); (; ); (; 8); (8; ); (8; ); (8; ); (8; 8): La probabilidad del primero de estos resultados es: P (X 1 = ; X = ) = P (X 1 = )P (X = ) = 0: 0: = Análogamente puede obtenerse la probabilidad de cada uno de los otros 1 posibles resultados ue sería exactamente igual,. La tabla siguiente muestra la probabilidad de cada posible resultado de la muestra junto con el valor de la media muestral en cada caso: 1

2 (X 1 ; X ) Probabilidad Media Muestral X (; ) (; ) (; ) (; 8) (; ) (; ) (; ) (; 8) (; ) (; ) (; ) (; 8) (8; ) (8; ) (8; ) (8; 8) (b) De la tabla previa deducimos ue los posibles valores de X son ; ; ; ; ; 7 y 8: La función de probabilidad de X puede obtenerse sin más ue examinar ué casos llevan a cada uno de estos posibles resultados: f X () = f X () = + = 0:1 f X () = + + = 0:187 f X () = = 0: f X () = + + = 0:187 f X (7) = + = 0:1 f X (8) = (c) A partir de la función de probabilidad podemos deducir la media y la desviación típica de la v.a. X : = E(X) = 0: + 0: + 0: + 8 0: =

3 V ar(x) = E(X ) E(X) = = ( 0: + 0: + 0: + 8 0:) = = p V ar (X) = p = : (d) Análogamente podemos calcular la media y la desviación típica de la v.a. X: E( X) = + 0:1 + : : : + 8 = V ar( X) = E( X ) E( X) = = ( + 0:1 + : : : + 8 ) = : V ar X = p : = 1:81 Obsérvese ue E( X) = E(X); y V ar( X) = V ar(x), de modo ue podríamos haber determinado estos valores directamente a partir de los valores de la media y la varianza de X.. El gerente de operaciones de Diario, periódico de una gran ciudad, uiere determinar la proporción de sus periódicos impresos con defectos como, demasiada tinta, con guración de páginas incorrecta, páginas duplicadas, etc. Para ello, decide tomar una muestra aleatoria de periódicos Diario y encuentra ue contienen algún tipo de defecto. (a) Construye un intervalo de con anza aproximado al 90% para la proporción verdadera de periódicos impresos con algún tipo de defecto. i. Es posible ue el intervalo no contenga a la proporción verdadera? ii. Es posible ue el intervalo no contenga a la proporción estimada? (b) El responsable de otro periódico de la competencia, dice ue Diario no es un periódico serio ya ue una uinta parte de sus periódicos impresos tiene algún tipo de defecto. Contrasta esta a rmación para un nivel de signi cación = 0:10. Para ello: i. Escribe la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. ii. Escribe la fórmula del estadístico de contraste, su distribución aproximada bajo la hipótesis nula y la región crítica. iii. Cuál es la conclusión de este contraste? iv. Podrías haber respondido al apartado iii sin la información del apartado ii?

4 Solución: (a) La fórmula para calcular un intervalo aproximado de 90% de con anza para p es muestra aleatoria de periódicos, bp = = 0:17 y el intervalo resulta ser bp z 0:0 n y con la r 0:17(1 0:17) 0:17 1: = (0:109; 0:191) i. Si, es posible ue el intervalo no contenga a la proporción verdadera. De hecho, si tomásemos 100 muestras de tamaño y calculásemos los 100 intervalos de con anza aproximados al 90% de con anza, esperaríamos ue 10 de ellos no contuviesen al verdadero valor de p. ii. No, la proporción estimada siempre está contenida dentro del intervalo de con anza, de hecho es su punto medio, pues dicho intervalo está centrado en bp: (b) La a rmación del responsable del periódico de la competencia es p = 1 = 0:: Por tanto, i. Contrastar esta a rmación es euivalente a contrastar H 0 : p = 0: H 1 : p = 0: Dado ue se habla de seriedad del periódico, también sería válido contrastar H 0 : p = 0: H 1 : p < 0: ii. La fórmula del estadístico de contraste es T = bp 0: Si H 0 es cierta tenemos ue Y la región crítica en el primer caso es bp 0: N (0; 1) y en el segundo caso es C = ( 1; z 0:0 ) [ (z 0:0 ; 1) = ( 1; 1:) [ (1:; 1) aunue no tenemos el valor z 0:10 : C = ( 1; z 0:10 ) iii. Como bp = = 0:17 tenemos ue el valor ue ha tomado el estadístico en la muestra es t = 0:17 0: 0:17(1 0:17) = 0:908

5 Puesto ue t = 0:908 = ( 1; 1:) [ (1:; 1) ) No podemos rechazar H 0 y concluimos ue no hay evidencia en contra de la a rmación del responsable del periódico de la competencia. En el caso de haber elegido el contraste unilateral, tendríamos ue ver si t = 0:908 está o no en C = ( 1; z 0:10 ). Si lo está, habríamos rechazado la a rmación del responsable del periódico de la competencia. iv. Si, por la dualidad ue hay entre contrastes de hipótesis bilaterales e intervalos de con anza. Puesto ue 0: (0:109; 0:191) ue es el intervalo de con anza al 90% para la proporción verdadera de periódicos impresos con algún tipo de defecto, podemos concluir ue, para = 0:10, no podremos rechazar ue p = 0: frente a una alternativa bilateral. En caso de haber elegido el segundo contraste (unilateral) no podríamos haber respondido a este apartado sin la información del estadístico de contraste. Anexo. Tabla estadística 9;0:0 = 19:0 10;0:0 = 0:8 z 0:01 = : z 0:0 = 1:9 t 9;0:00 = : t 9;0:0 = 1:8 9;0:97 = :70 10;0:97 = : z 0:00 = :8 z 0:0 = 1: t 10;0:00 = :17 t 9;0:0 = :