Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

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1 Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4). Halle el punto P(x,y) que divide a este segmento en dos partes tales que P 1 : P 2 = 2 Debemos tener claro que si los puntos P 1 (x 1,y 1 ) y P 2 (x 2,y 2 ) son puntos que determinan el segmento P 1 P 2, entonces el punto P(x,y) que divide el segmento P 1 P 2 en la razón r, esto es, r = P 1P tiene las PP 2 siguientes coordenadas: x = x 1 +rx 2 1+r, y = y 1 +ry 2 con r 1 1+r Como el enunciado nos entrega los puntos extremos del segmento los cuales son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4) y la razón en que se divide este es : P 1 P PP 2 = 2 1 tenemos que x 1 = 2, y 1 = 4, x 2 = 8, y 2 = 4, r = 2: 1

2 Con esta información podemos obtener el punto P(x,y) pedido. x = =6 y = 4+2 ( 4) 1+2 = 4 3 Finalmente P(x,y) = P(6, 4 3 ) 2. Determine el valor de k para que la recta 4x+5y+k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo de área 5 2. Para conocer el área del trińgulo formado con los ejes coordenados y la recta, es necesario conocer las intersecciones de la recta con los ejes. Para encontrar la intersección con el eje x, reemplazamos en la ecuación de la recta por y = 0. Esto resulta: 4x+5 0+k = 0 4x = k x = k 4 por ende el punto de intersección es: ( k 4,0). Luego para encontrar la intersección con el eje y, reemplazamos en la ecuación de la recta por x = 0. Esto resulta: 4 0+5y +k = 0 5y = k x = k 5 por ende el punto de intersección es: (0, k 5 ). Ahora como sabemos las intersseciones podemos conocer las medidas de los segmentos que corresponden a los lados de un triángulo rectángulo con su tercer vértice en el origen. Entonces como el área de un triángulo es : base altura 2 y se sabe que en un triángulo rectángulo altura y base son sus respectivos lados. Expresaremos la ecuación del área para calcular k: k 4 k 5 2 = 5 2 k2 40 = 5 2 k2 = 100 k = ±10 Entonces existen dos rectas que cumplen tal condición, las cuales son: L 1 : 4x+5y +10 = 0 cuyos puntos son ( 10,0) y (0, 2) 4 L 2 : 4x+5y +k = 0 cuyos puntos son ( 10,0) y (0,2) 4 2

3 3. Encuentre el o los puntos de la recta x = y 5 cuya distancia a la recta 3x 4y = 6 sea 3. Sea P 1 (x 1,y 1 ) el punto pedido, este punto debe cumplir dos condiciones: a) Que pertenezca a la recta x = y 5 por lo tanto cumple que x 1 = y 1 5 b) Que la distancia del punto a la recta 3x 4y +6 = 0 sea 3 es decir que: 3x 1 4y ( 4) 2 =3 3x 1 4y 1 +6 =3 5 3x 1 4y 1 +6 =15 por lo tanto 3x 1 4y 1 +6 = 15 o 3x 1 4y 1 +6 = 15 De esta manera debemos resolver dos sistemas de ecuaciones que nos entregarán dos puntos que cumplen con la condición dada. x 1 y 1 = 5 3x 1 4y 1 = 9 x 1 y 1 = 5 3x 1 4y 1 = 21 Resolviendo el primer sistema se tiene el primer punto: P 1 ( 29, 24) Resolviendo el segundo sistema se tiene el otro punto: P 2 (1,6) 3

4 4. Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1), B( 4,3) y C ( 6,5) Primero debemos debemos recordar que todo punto que pertenece a un lugar geométrico satisface su ecuación. La ecuación general de la circunferencia es: x 2 +y 2 +Dx+Ey +F = 0, entonces: Si (2,1) D +E +F = 0 Si ( 4,3) ( 4) D +3E +F = 0 Si ( 6,5) ( 6) D +5E +F = 0 Entonces esto da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones: 2D +E +F = 5 4D +3E +F = 25 6D +5E +F = 61 Resolvamos el sistema E 1 : 2D +E +F = 5 E 2 : 4D +3E +F = 25 : 6D +5E +F = 61 E 3 Reduciendo a un sistema de dos por dos. Para ello hagamos las operaciones E 1 E 2 y E 2 E 3 respectivamente: 6D 2E = 20 2D 2E = 36 Resolviendo el sistema podemos darnos cuenta que restando las ecuaciones se tiene: 4D = 16 D = 4 Luego reemplazamos el valor de D en cualquiera de las otras dos ecuaciones. Como por ejemplo en la primera: 6 ( 4) 2E = 20 2E = 44 E = 22 Finalmente teniendo D y E enontraremos el valor de F, reemplazando en una ecuación de el sistema original. Así en E 1 se tiene: 2 ( 4) 22+F = 5 F = 25 Reemplazando los valores de D = 4,E = 4 y F = 17 en la ecuación genérica de circunferencia se tiene que la ecuación pedida es: x 2 +y 2 4x 22y +25 = 0 Para conocer su centro y radio realizamos completación de cuadrados: (x 2 4x)+(y 2 22y) = 25 (x 2 4x+4)+(y 2 22y +121) = (x 2) 2 +(y 11) 2 = 10 2 Por lo que la circunferencia tiene Centro (2,11) y radio 10. 4

5 5. Dadas las circunferencias C 1 : (x 2) 2 +(y 1) 2 = 9 y C 2 : (x+1) 2 +(y +1) 2 = 4. Determine el o los puntos donde se intersectan. Para comenzar escribimos las ecuaciones en la forma general: x 2 4x+4+y 2 2y +1 = 9 x 2 +2x+1+y 2 +2y +1 = 4 x 2 +y 2 4x 2y = 4 x 2 +y 2 +2x+2y = 2 Ahora restamos las dos ecuaciones, para anular los términos cuadraticos obteniendo la ecuación: 6x 4y = 2 Luego despejamos una de las incógnitas, en este caso x: x = 2+4y 6 Por ultimo tomamos esa forma de x y la sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de arriba, lo cual nos da la siguiente ecuación de segundo grado para la y: 5

6 ( ) 2+4y 2 ( ) 2+4y +y 2 4 2y = y +16y 2 +y y 2y = y +16y 2 36y y + 72y 144 = 0 52y 2 +40y 92 = 0 13y 2 +10y 23 = 0 Resolviendo esta última ecuación se tiene que y = {1, 23 } Así para y = 1 se tiene que x = 1 y para 13 y = se tiene que x = Finalmente los puntos de intersección de las circunferencias son: P 1 ( 1,1) ; P 2 ( 11 13, ) 6. Halle la máxima y mínima distancia del punto P(10,7) a la circunferencia x 2 +y 2 4x 6y +6 = 0 6

7 Primeramente grafiquemos la circunferencia dada para comprender mejor la situación. Para calcular la distancia máxima trazamos una de las rectas tangentes a la circunferencia que pase por el punto P(10,7), como esta recta es perpendicular con el radio tenemos un triángulo rectángulo que tiene como catetos el radio y el segmento que va desde el punto P(10,7) al punto de tangencia de la recta trazada. De esta manera necesitamos calcular el radio de la circunferencia y la distancia desde el punto P(10,7) al centro de la circunferencia (hipotenusa del triángulo), para esto realicemos la completación de cuadrados en la ecuación de la circunferencia: x 2 +y 2 4x 6y +6 =0 (x 2) 2 4+(y 3) =0 (x 2) 2 +(y 3) 2 =7 Sabiendo que r = 7, y que el centro C tiene coordenadas (2,3) entonces: d(pc) = (10 2) 2 +(7 3) 2 = (8) 2 +(4) 2 = = 80 Conociendo un cateto y la hipotenusa del triángulo podemos calcular el otro cateto usando el Teorema de Pitagoras. 7

8 x = 80 2 x 2 = x 2 = 80 7 x 2 = 73 x = 73 Ahora para calcular la menor distancia trazamos el segmento desde el punto exterior P(10,7) hasta el centro C(2, 3). Este segmento intersecta la circunferencia resultando un segmento interior con medida (r = 7) y un segmento exterior con medida es 80 7 esto nos entrega la menor distancia desde el punto a la circunferencia. 7. Encuentre la ecuación de la parábola vertical, que se abre hacia abajo y cuyo vértice es el centro de la circunferencia x 2 +y 2 14y +40 = 0; tal que la distancia del vértice a la directriz es de 6 unidades. Sabemos que cualquier parábola que se abre hacia abajo tiene la forma: (x h) 2 = 4a(y k) Donde (h,k) es el vértice y a es la distancia entre vértice y foco, y entre vértice y directriz. Encontremos el centro de la circunferencia que es el vértice de la parábola que buscamos. Completando cuadrados: x 2 +y 2 14y +40 =0x 2 +(y 2 14y) = 0x 2 +(y 2 14y +49) =0+49x 2 +(y 7) 2 = 7 2 Luego el centro de la circunferencia es (0,7) que es también el vértice de la parábola que buscamos. Por otra parte necesitamos el valor de a, eso nos lo entrega la información que la distancia del vértice a la directriz es de 6 unidades. Entonces a=6. Entonces la ecuación de la parábola queda expresada: Y en forma general se tiene: x 2 = 24(y 7) x 2 +24y 168 = 0 8

9 8. Determine la ecuación de la parábola con vértice V( 2,5) y de foco F( 4,5). Además encuentre las coordenadas de los puntos extremos del lado recto y la ecuación de la directriz. Como el vértice y el foco tienen la misma ordenada 5, la parábola tiene su eje focal paralelo al eje x, y por lo tanto su ecuación es de la forma (y k) 2 = 4p(x h),p < 0 Además, el foco F está a la izquierda del vértice V la parabola se abre hacia izquierda. Por otra parte la distancia entre ellos es 2 unidades, de esta manera que p = 2. (y 5) 2 = 8(x+2) Debemos ahora obtener los puntos extremos del lado recto de la parábola. Sabiendo que p = 2 tenemos que 2p = 4, de esta manera los puntos extremos son L( 4,9) y R( 4,1). Por último sabemos que la directriz es vertical, y se encuentra a 2 unidades a la derecha del vértice, de modo que la ecuación de la directriz es x = 0 Es decir, la directriz es el eje y. 9. La cara inferior de un arco de puente de cruce tienen la forma de media elipse. La longitud del eje mayor es de 50 pies, y la altura en el centro es de 20 pies. Calcule la altura libre del puente a una de sus bases. LLevemos el problema a un plano cartesiano: 9

10 Entonces la ecuación de la elipse es : x y = 1 Calculando la altura a 10 pies de una de sus bases Debemos encontrar el punto (15,y) ó( 15,y).Comolagráficaessimétrica al eje Y basta tomar uno de ellos. Si x = 15 entonces y = y = 1 y = y 2 = y = 16 Luego la altura libre del puente es de 16 pies a 10 pies de una de sus bases. 10. Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyas asintotas son: x 2y +1 = 0 y x+2y 3 = 0, y la distancia entre sus vértices es 2. Primero sabemos que la intersección de las asintotas dan como resultado el centro de la hipérbola, por lo que calculamos el centro mediante un sistema de ecuaciones E 1 : x+2y +1 = 0 E 2 : x+2y 3 = 0 Sumando ambas ecuaciones se tiene que : 2x 2 = 0 x = 1. Reemplazando en E 2 1+2y 3 = 0 2y = 2 y = 1 Entonces el centro de la hipérbola es (1,1) La distancia entre los vértices es 2. Entonces 2a = 2 a = 1 Para calcular el valor de b basta reemplazar el valor de la abscisa de uno de los vértices en las asintotas. Podemos calcular los vértices pues ya conocemos el centro y el valor de a. Suponiendo que la hipérbola es horizontal entonces sus vértices son (0,1) y (2,1). 10

11 Escogiendo el vértice (2,1), el valor de la abscisa es x = 2, valor que ocuparemos para saber las intersecciones con las asintotas. En la primera recta. Si x = 2 2 2y +1 = 0 y = 3 2 En la otra recta. Si x = 2 2+2y 3 = 0 y = 1 2 Luego el valor de b corresponde a la diferencia entre estos dos valores, que no es mas que la distancia entre tales puntos. b = b = 1 Luego las hipérbolas que cumplen dichas condiciones son: Hipérbola equilátera Horizontal : (x 1) 2 (y 1) 2 = 1 Hipérbola equilátera Vertical: (y 1) 2 (x 1) 2 = Un punto P(x,y) se mueve de tal forma que el producto de las pendientes de las dos rectas que unen P con dos puntos fijos A(1, 2) y B(5,6) es constante e igual a 2. Demuestre que dicho lugar geométrico es una elipse, indicando su centro. Si el punto P(x,y) se mueve de la manera descrita, entonces este debe cumplir con la ecuación y ( 2) x 1 y 6 x 5 = 2 Donde la pendiente de la recta que une P con el punto fijo (1, 2) está dada por la expresión y ( 2) x 1 y la pendiente de la recta que une P con el punto fijo (5,6) está dada por la expresión y 6 x 5. Reduciendo la ecuación tenemos: y ( 2) y 6 x 1 x 5 = 2 (y +2)(y 6) (x 1)(x 5) = 2 y 2 4y 12 x 2 6x+5 = 2 y 2 4y 12 = 2x 2 +12x 10 2x 2 12x+y 2 4y 2 = 0 Esta ecuación corresponde a una elipse, para encontrar su centro completamos cuadrados: 11

12 2x 2 12x+y 2 4y 2 = 0 2(x 2 6x)+(y 2 4y) 2 = 0 2[(x 3) 2 9]+(y 2) = 0 2(x 3) 2 18+(y 2) = 0 2(x 3) 2 +(y 2) 2 = 24 (x 3) (y 2)2 24 = 1 Finalmente el centro es el punto C(3, 2) 12

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