REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

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1 TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen ls ors, minutos segundos. Equivlencis: (Reps el tem sobre ángulos) Ejemplo.: ) Cuántos grdos son 4 π rd? º 60 ( grdo 60 minutos) 60 ( minuto 60 segundos) π rd 80º ( π rd 80º ) Cd bloque de π, equivle 80º (o medio círculo) 4 π rd signific que estmos dividiendo ese π 80 π 80 º sector en 4 prtes cer en rd es lo mismo que cer, en grdos rd 45º π π 80º b) Cuántos grdos son rd? rd 0º c) Cuántos rdines son 30º? (utilizremos un regl de tres) Grdos Rdines 80º π 30º Entonces: 30 π 80 π rd 6 Simplificndo l frcción 30/80 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Considerremos un triángulo rectángulo uno de sus ángulos gudos: I) SENO: seno del ángulo (se denot sen ): cteto opuesto sen ipotenus II) COSENO: coseno del ángulo (se denot cos ): cteto contiguo cos ipotenus ipotenus cteto contiguo o dcente ( ) cteto opuesto ( ) III) TANGENTE: tngente del ángulo (se denot tg o tn ): cteto opuesto tg cteto contiguo

2 Ejemplo.: Un escler de 5 m está pod en un pred formndo un ángulo de 46. Clcul l distnci entre l bse de l escler l pred. Qué ángulo form l escler con el suelo? distnci entre l bse de l escler l pred ángulo entre l escler el suelo Conocemos l ipotenus el cteto que buscmos es el opuesto l ángulo 46º que nos dn, por tnto está relciondo con el seno. sen 46º 0,7 0,7 5 3,6 m 5 5 Clculmos es l inclinción que entre l escler el suelo. Ejemplo 3.: Un escler de 5 m está pod en un pred formndo un ángulo con el suelo. Si l distnci entre l bse de l escler l pred es de m. Qué ángulo form l escler con el suelo?. A qué ltur de l pred se po? (sin utilizr Pitágors) m Ángulo: Conocemos l ipotenus el cteto contiguo l ángulo que nos piden, por tnto l rzón relciond es el coseno. 0,4 66,4º 5 Altur: El cteto es el cteto opuesto l ángulo 66,4º. Como se conocen l ipotenus el cteto contiguo, se podrí utilizr tnto el seno como l tngente. Usndo el seno se plnterí: sen66,4º 0,97 0,97 5 4,585 4,6 m 5 5 Usndo l tngente se plnterí: tg66,4º,9,9 4,58 4,6 m Ejemplo 4.: Utilizndo cos - en l clculdor (plicndo sift cos 0,4) Un ombre observ que el ángulo de elevción de l cim de un montñ es de 57º. Cmin ci ell 6 m encuentr que el ángulo de elevción es entonces de 60º. Cuál es l ltur de l montñ?. Como sólo tenemos referencis sobre los ctetos, tendremos que utilizr ls tngentes que ls ipotenuss son desconocids l intentr plicr seno o coseno introducirímos dos incógnits más. 57º 60º 6 m tg57º tg60º 6,54,54 (6 + ) + 6 +,73,73 6 +

3 (Siempre resolveremos estos sistems por igulción, despejndo, quitndo sí l incógnit del denomindor),54 (6 + ),73 33,64 +,54,73,54 -,73 33,64 0,9 33, 64 33,64 750,74m 0,9 Entonces, l ltur pedid es: (sustituendo el vlor de en l segund ecución despejd),73 750,74 308, ,8 m RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: Eisten dos relciones importntes entre ls tres rzones nteriores. Ls utilizremos en ejercicios en los que se conozc un de ells tengmos que encontrr ls otrs dos. sen sen + cos tg cos CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA: Considerremos un circunferenci centrd en el (0,0) de rdio. º cudrnte (90º < < 80º) er cudrnte (0º < < 90º) 3 er cudrnte (80º < < 70º) 4º cudrnte (70º < < 360º) Mediremos los ángulos sobre l circunferenci prtiendo del eje positivo de ls en sentido contrrio ls gujs del reloj. Punto de coordends (,) El signo del seno del coseno de un ángulo, coinciden con el signo de ls coordends e del punto de corte del rdio con l circunferenci en el cudrnte en el que se encuentr dico ángulo. - 0 sen cos Por ejemplo, pr un ángulo en el segundo cudrnte (un ángulo cuo vlor está entre 90º 80º), el signo de sus rzones trigonométrics serí el siguiente:

4 El seno serí (+) porque ls es son positivs en ese cudrnte el coseno serí (-) porque ls s son negtivs en es prte. El signo de l tngente será el resultdo del cociente entre los signos del seno + del coseno; en este cso, l tngente serí negtiv, que Punto de coordends (,) Este será el criterio seguir cundo necesitemos identificr el signo que tomn rzones trigonométrics de un ángulo, conocido el cudrnte en el que se encuentr. Ejemplo 5.: Hll el resto de ls rzones trigonométrics de un ángulo con 70º < < 360º cos 0,5. (Aproim tres decimles el seno) sen + cos (sustituimos l rzón que conocemos) sen + 0,5 sen + 0,5 sen 0,5 sen 0, 75 sen ± 0,75 sen ± 0,866 Como 70º < < 360º, es decir, está en el 4º cudrnte, el seno es negtivo. Por tnto: sen 0, 866 sen 0,866 tg tg tg, 73 0,5 Ejemplo 6.: Hll el coseno l tngente de un ángulo sbiendo que el ángulo se encuentr en el tercer cudrnte (eso signific que 80º < < 70º) sen 0,34. (Aproim dos decimles el coseno tres l tngente) sen + cos (sustituimos l rzón que conocemos)

5 ( 0,34) + cos 0,56 + cos cos 0,56 cos 0,8844 cos ± 0,8844 ± 0,94 Como 80º < < 70º, es decir, está en el 3 er cudrnte, el coseno es negtivo. Por tnto: 0,94 sen 0,34 tg tg tg 0, 36 0,94 Ejemplo 7.: Hll el resto de ls rzones trigonométrics de un ángulo sbiendo que 0º < < 90º tg. Sbrís deducir de qué ángulo se trt sin utilizr l clculdor? (Aproim un deciml los resultdos) sen sen tg (Aor brá que trbjr con un sistem de dos ecuciones con dos incógnits, que resolveremos siempre por sustitución) sen sen sen sen + cos Sustituimos en l segund relción: cos + cos cos cos cos 0,5 ± 0,5 ± 0,7 Como 0º < < 90º, es decir, está en el er cudrnte, el coseno es positivo. Por tnto: cos 0, 7 El seno será: sen sen 0, 7 Deducción del ángulo: El ángulo está entre 0º 90º (ángulo gudo) el seno el coseno coinciden. Entonces, estrímos trbjndo con un triángulo rectángulo con los dos ctetos igules, es decir, con un triángulo rectángulo como el que se formrí l trzr un digonl en un cudrdo. Est digonl divide l ángulo recto en dos prtes igules, por tnto, el ángulo del que blmos es 45º. Ejemplo 8.: Hll el resto de ls rzones trigonométrics de un ángulo sbiendo que 90º < < 80º tg 0,4. (Aproim dos decimles los resultdos) sen sen tg 0,4-0 -

6 sen 0,4 0,4 sen sen + cos Sustituimos l epresión obtenid pr el seno en l segund relción: ( 0,4 ),6 cos + cos cos ( 0,4),6 cos cos + cos 0,86 ± 0,6 cos + cos 0,86 ± 0,93 Como 90º < < 80º, es decir, está en el º cudrnte, el coseno es negtivo. Por tnto: 0, 93,6 cos El seno será: sen 0,4 sen ( 0,4) ( 0,93) sen 0, 37 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO C Estos teorems se plicrán un triángulo culquier, no rectángulo. A b B Denotremos los ángulos en múscul los ldos opuestos cd uno de ellos con l mism letr en minúscul. c Teorem del seno (interviene el seno): sena senb b senc c En est cden de igulddes, los términos se tomn de dos en dos. Se igulrán los dos cocientes que correspond, según los dtos conocidos. Teorem del coseno (interviene el coseno): b + c bc cos A Ángulo opuesto l ldo del primer miembro De form nálog, se puede plicr est epresión cd ldo del triángulo, siempre que se cuente con l informción necesri. Pr los otros dos ldos, quedrí: b + c c cosb c + b b cosc

7 Ejemplo 9.: En un solr de form tringulr, dos de sus ldos miden 6 0 m el ángulo comprendido entre ellos 30º. ) Cuántos metros de lmbrd necesitrímos pr cercrlo? b) Cuál es l superficie del terreno? ) Pr clculr el perímetro, necesitmos encontrr el otro ldo: 6 m B Solo tenemos un ángulo (el opuesto l ldo que buscmos) sbemos los otros dos ldos, entonces tendremos que usr el teorem del coseno. A 30º C (si intentásemos utilizr el del seno, nos precerín demsids incógnits probrímos con el otro teorem) 0 m Buscmos el ldo, por tnto: b + c bc cos A cos 30º ,9 3,08 3,08 5,66m Necesitremos P , 66,66 m de lmbrd A b) Pr clculr el áre, necesitmos l ltur con respecto l bse que elijmos, por ejemplo, tommos l bse 0 m. H que llr : El triángulo ABE es rectángulo. L ltur es el cteto B opuesto 30º conocemos l ipotenus, luego l rzón relciond es el seno: 6 m sen 30º 0,5 0,5 6 3 m 6 6 El áre del terreno será: 30º b 0 3 A A A 5 m E C 0 m Ejemplo 0.: Desde lo lto de un poste se sujetn l suelo dos cbles de distint longitud, formndo entre ellos un ángulo de 05º los puntos de fijción están seprdos 0 m. ) Si se sbe que uno de los cbles form 60º con el suelo, qué longitud tiene el otro cble? b) Cuál es l ltur del poste? ) Contmos con dos de los ángulos, conocemos el ldo opuesto uno de ellos tenemos que encontrr el opuesto l otro, tendremos que usr el teorem del seno: (no tendrímos informción suficiente pr trbjr con el teorem del coseno, brí demsids incógnits) A 05º b sena senb b B 60º D C 0 m

8 sen05º sen60º 0,966 0,866 b 0,966 0, 866 b 0, ,866 b 0,966 7, 3 0 b 0 b 0 7,3 b 7,93 m de longitud 0,966 b) L ltur es un cteto perteneciente dos triángulos rectángulos, pero sólo tenemos suficientes dtos pr uno de ellos, el ADC. es el cteto opuesto de C l ipotenus es b, clculd en el prtdo nterior, entonces: C 80º - 05º - 60º 5º (necesitmos este ángulo) sen5º 0,6 0,6 7, 93 7,93 7,93 4,66m de ltur

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