PROPIEDADES CUALITATIVAS DE UN MODELO DE INVENTARIO CON ROTURA

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1 PROPIEDADES CUALITATIVAS DE UN MODELO DE INVENTARIO CON ROTURA Luis Lara * Fernano Roa ** RESUMEN: Muchas empresas e proucción o comercialización invierten granes sumas e inero en la gestión y mantenimiento e sus inventarios. Gran parte e estos costos son ocasionaos por la péria total o parcial el valor el ítem en especial cuano estos son almacenaos urante perioos prolongaos. En este trabajo se presenta un análisis e la inámica e un moelo e inventario con rotura e ítems por contacto, consierano la emana y el lea-time constantes. Si bien el moelo es no lineal, meiante la teoría cualitativa e ecuaciones iferenciales fue posible escribir rigurosamente las propieaes generales sin la necesia e recurrir a simulaciones numéricas. Aemás se establecen una serie e criterios para la formulación e una política e reposición eitosa y se propone una estrategia e venta que evita llegar a niveles e stock nulo. Por último meiante la simulación son estuiaos los efectos el comportamiento estocástico y perióicos e la emana. Palabras claves: Sistemas Dinámicos. Inventario con Roturas. Dinámica Inustrial. INTRODUCCIÓN En la gestión e inventarios, muchas empresas buscan soporte en sistemas informáticos e planificación e recursos (ERP) que para tal fin brinan un conjunto e soluciones generales que, si bien poseen un alto grao e customización, a veces no se ajustan a las características propias e caa negocio. En estos casos se recurre al reajuste e los parámetros el aplicativo o los encargaos e compras eben conformarse con isponer e información incompleta. Así es que muchos encargaos suelen tomar ecisiones basánose en su eperiencia o intuición e negocio. Cuano, por las características el negocio, una compañía invierte gran porcentaje e su capital en stock, es vital, para sostener una alta rentabilia, isponer e herramientas que permitan el estuio e caa escenario e negocio, e manera e obtener políticas e reposición más confiables. En este artículo se ponrán en prácticas algunas e estas herramientas que conforman un componente e importancia en el análisis e sistemas e información que brinen soporte a la gestión e stock. El estuio e la inámica en este tipo e problemas permite analizar las formas en que las políticas e ecisión influyen sobre el * FCEIA, Universia Nacional e Rosario, Ava. Pellegrini 50, (S000BPT) Rosario, Argentina, lplara@fceia.unr.eu.ar ** FCEIA, Universia Nacional e Rosario, Ava. Pellegrini 50, (S000BPT) Rosario, Argentina, ferroamarani@yahoo.com.ar Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0.

2 comportamiento el sistema permitieno ientificar problemas y oportuniaes e mejora. En especial, la inámica inustrial es una herramienta útil para el iseño e sistemas complejos (PRIGOGINE, 987) como el que se presenta en este trabajo. En ellos las políticas e ecisión y control ocasionan flujos e realimentación e información que pueen ser trataos convenientemente utilizano los conceptos e la inámica inustrial. De esta manera se logra ientificar la interacción entre las variables, los flujos y niveles involucraos (FORRESTER, 96; STERMAN, 000). En la literatura especializaa, muchas moelos e inventarios han sio ampliamente estuiaos con istintos métoos e investigación e operaciones, sieno los más conocios aquellos que resuelven problemas e optimización sobre el lote e compra o el perioo abastecimiento (EOQ). Este tipo e moelos asume que los ítems en stock no son afectaos por el paso e tiempo y consieran un abastecimiento instantáneo. Sin embargo, este no es siempre el caso, e hecho en muchas empresas inustriales, el abastecimiento se prouce a tasas e proucción continuas. Incluso en las empresas comerciales las órenes llegan inicialmente a un epósito y puee tomarle ías al epartamento e recepción la transferencia e estos al almacén. Por lo tanto suele apelarse a otro tipo e representación que permita moelar sistemas con reaprovisionamiento no-instantáneo en el ominio continuo. Muchas clases e prouctos que ingresan en los almacenes y se conservan urante una eterminaa cantia e tiempo, no suelen estar isponibles en su totalia al momento e su espacho. A estos prouctos se los conoce en la literatura como eteriorating ítems y la peria total o parcial e su valor se ebe a iferentes causas como la caucia e artículos pereceeros, el año físico por roturas o golpes, la obsolencia ante cambios en la tecnología o el mercao, la evaporación e prouctos químicos, etc. (RUXIAN; HONGIE, 00; GOYAL; GIRI, 00). Los problemas e inventarios e los "eteriorating ítems" fueron estuiaos por primera vez por Whitin (957) quien analizó como algunos prouctos "e moa" perían valor con el paso el tiempo. Siguieno esta línea, varios trabajos e investigación han sio publicaos consierano a la función e eterioro constante o epeniente el tiempo (SALEH et al, 00; CHENG, 009; WARBURTON, 004). Manal y Maiti (997, 999) y Saha et al. (00) introujeron a este tipo e moelos una clase interesante e ítems hechos e materiales como el virio, la porcelana o la cerámica en los cuales las características el material y la isposición que aquieren en el almacén hacen que estos prouctos se rompan fácilmente al entrar en contacto. La función e peria e esta clase e artículos epene e la cantia e Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 6

3 stock acumulao y esta relación suele involucrar no linealiaes muy ifíciles e tratar analíticamente. Sin embargo, meiante el estuio cualitativo e las soluciones (STROGATZ, 994), la simulación numérica y el análisis (ROSCOE, 006) se logra escribir las propieaes que caracterizan aecuaamente su inámica. Este trabajo epone las propieaes e un sistema e gestión e stock consierano la rotura e ítems por contacto y las políticas e control que permitan restablecer el stock al nivel eseao cualquiera sean las coniciones iniciales. Con el objetivo e evitar perioos e eistencia nula (con los consecuentes márgenes negativos que esto conlleva) y consierano la restricción que se le plantea al minorista al no poseer información confiable y oportuna el nivel e stock isponible por el proveeor. Es por esto que la política e reposición epenerá solamente el nivel minorista. El trabajo esta organizao e la siguiente manera: en la sección se esarrolla el moelo e inventario con rotura, la sección 3 comprene un estuio e la estabilia el sistema efinieno algunas restricciones para la política e reposición. Luego en la sección 4 se propone una estrategia e control e ventas que evita los perioos e eistencias nulas. La sección 5 etiene el estuio a un caso particular one la política e reposición es lineal respecto al nivel e stock real. Por último en la sección 6 se muestra un primer acercamiento al caso e emana variable meiante una simulación numérica el moelo. MODELO CONTINUO CON ROTURA El sistema en estuio está compuesto por un comercio minorista que vene prouctos según una emana que se consiera constante y es abastecio por un único proveeor e acuero a las orenes e compra que el primero va emitieno según su política e aprovisionamiento. Los artículos recibios por el minorista pueen romperse por el simple contacto entre uno y otro urante el almacenaje o manipulación entro el almacén. Una vez hecho el peio al proveeor, en el proceso prouctivo (o e aquisición) necesario para abastecer la oren se insume una cantia e tiempo (o lea-time) corresponiente a toos los procesos aministrativos y e gestión necesarios para el abastecimiento. También poría consierarse que el flujo e mercaería es interno, tenieno entonces un epartamento e comercialización abastecio por un epartamento e proucción o abastecimiento. Por tanto, el moelo propuesto contiene niveles (t): nivel e inventario el minorista o pto. e comercialización. Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 7

4 y(t): nivel e artículos penientes o en proceso e proucción. En la Figura se presenta el cursograma corresponiente. Los parámetros utilizaos son: s : emana por unia e tiempo. : nivel e inventario eseao. a: proporción e artículos rotos por contacto. : emora promeio e proucción o compra. Y X a f V R s Figura Cursograma el moelo propuesto Done f(): es siempre positiva y establece la política e peios e aprovisionamiento. Al no isponerse e información precisa el nivel e orenes penientes en el proveeor, esta política es representaa como una función que solo epene el nivel e inventario minorista. La tasa e péria e mercaería por rotura (BHATTACHARYA, 005) es R = a ², a > 0.Tenieno en cuenta la emora en la gestión el peio, en el proceso e proucción y envío e la mercaería, los artículos peios ingresan al almacén minorista con una tasa V = y/. El sistema e ecuaciones resultante es Ecuación : y s a, () y y f (). Las ecuaciones son invariantes frente al grupo e transformación: t t, a s a, El sistema se rescribe como Ecuación s, y y s, f f s, Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 8

5 () y a ², y y f (). Solo se ponrá atención en las soluciones e, y 0. 3 PROPIEDADES CUALITATIVAS 3. Puntos fijos y estabilia Los puntos fijos ( *, y * ) e la Ecuación () son aquellos que satisfacen las ecuaciones y * = + a ( * ), y * = f( * ). Pero, sieno el objetivo la estabilización el nivel e inventario en el valor eseao, la primera conición que se imponrá al moelo es la eistencia e un único punto fijo positivo ubicao en (, y =+a ²). Aemás, la política f() eberá ser tal que tenga a como raíz positiva e la Ecuación 3: a f. (3) La estabilia el punto fijo la eterminamos linealizano las Ecuación alreeor e este (STROGATZ, 994). La matriz Jacobiana en el punto fijo es Ecuación 4: a J f ( ), (4) Los autovalores e la matriz J, se escriben como (Ecuación 5): ( Sieno (Ecuación 6 y 7): 4 ), (5) a, (6) a f ( ), (7) Dao que estamos interesaos en que el punto fijo, y ) sea estable, la parte real e ( los autovalores ebe ser negativa, y sieno 0, es necesario que 0. Por lo tanto ebe cumplirse que (Ecuación 8) Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 9

6 f ) a. (8) ( Aemás, como la traza es siempre negativa no eisten soluciones perióicas en el entorno el punto fijo. Cumplimiento e la Ecuación 8 epene el iseño e la política e reposición, el nivel e inventario eseao y el valor que asuma el ínice e rotura. Si bien a este último se lo ha consierao como un parámetro constante y conocio, en el sistema real presentará fluctuaciones ifíciles e estimar. Por otro lao, y a pesar e que puiera garantizarse el cumplimiento e Ecuación 8, la inámica el sistema no será la misma y epenerá e la forma en que los parámetros efinen los valores e y. Así, e acuero a la posición que estos tengan en el plano, el punto fijo puee ser una espiral, un noo estable, una estrella o un noo egenerao y en consecuencia esto eterminará el grao e amortiguamiento, la velocia e respuesta y la frecuencia e oscilación. De hecho, si 4 0, la inámica e la respuesta en el tiempo será sobreamortiguaa, pero si en cambio 4 0, resulta complejo y (t) e y(t) presentarán oscilaciones. Remplazano Ecuación 6 y 7 en esta última inecuación se obtiene una importante propiea, ya que si la política e reposición es iseñaa e moo tal que f ( ) 0 se logra evitar las oscilaciones en los niveles e stock en las proimiaes el punto fijo, inepenientemente el valor que tome a. 3. Nullclines (, y) Para eterminar las propieaes cualitativas e las trayectorias en el plano e fases, el flujo asociao a la Ecuación es: F : y a, y f (). Se efine la isoclina nula como la curva en la cual F 0, esto es y a. Análogamente, la isoclina nula esta efinia por la curva y f () en one F 0. Entonces, e acuero a la restricción (Ecuación 8), en el punto e intersección e ambas curvas (, y ), la peniente e ebe ser mayor a la peniente e. De esta manera quean eterminaas cuatro regiones en el espacio e fases como se muestra en la Figura. Inepenientemente e la efinición que tome f (), el flujo tiene componente horizontal positiva por encima e y negativa bajo ella, ya que F 0 si y solo si y a. Por otro y Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 0

7 lao, la componente vertical es negativa sobre la curva y positiva bajo ella ya que F y 0 si y solo si y f (). 5 4 y Q R 3 P O S Figura Plano e fase y región e atracción para un caso particular Para emostrar la convergencia el flujo hacia el valor eseao,se efine una región cerraa en el plano e fase que contiene a (, y ), e moo tal que las trayectorias que ingresan a ella se mantienen allí o eventualmente pueen salir a través e un rango e valores e y ( 0). La región quea efinia por un rectángulo e vértices OQRS como se muestra en la Figura, one O (0,0), Q (,0), R (, y), S ( 0, y), con e y arbitrarios tales que (Ecuación 9, 0 y ):, (9) y a, (0) y f ) para 0. () ( El comportamiento e las trayectorias en las fronteras e la región es el siguiente:. Sobre el segmento SR, y y y ao que hemos impuesto la restricción (Ecuación 0) la componente horizontal el flujo es y a 0.. Sobre el segmento QR, e acuero a () y f ( ) 0. F F y 3. Sobre OS y en too el eje y 0 la componente Fy es siempre positiva ya que inepenientemente e la política e reposición utilizaa, f es positivo. Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0.

8 4. Sobre el segmento OQ vemos que la isoclina intercepta al eje 0 en y ; por lo tanto cualquiera sea f 0, sobre el eje y tenemos F 0 para y y F 0 si y lo que representa una esventaja en la inámica ya que las trayectorias pueen escapar e la región hacia niveles e inventario negativos. Tenieno en cuenta las propieaes,, 3 y 4 toa trayectoria que ingresa a la región permanecerá ella o puee retirarse hacia 0 a través e la ventana OP en one y. Esto inica que si los niveles e prouctos penientes el proveeor (o en proceso e elaboración) son memores a la emana esperaa urante el lea-time meio, entonces el minorista porá quearse sin mercaería. 4 ESTRATEGIA DE COMERCIALIZACIÓN En la sección anterior se eterminó la eistencia e coniciones iniciales que conucirán a valores negativos e inventario, y esto presenta os claras esventajas: ) por un lao, los clientes que soliciten mercaería en este perioo e eistencia nula, no porán satisfacer su emana en ninguna meia y están obligaos a buscar otros proveeores o, en el mejor e los casos, a esperar hasta haberse restablecio los niveles e stock. Es eviente que bajo este escenario, la cantia e clientes irá isminuyeno. Si esto sucee, puee esencaenarse un perioo e subocupación e capacia instalaa con un claro perjuicio en los márgenes e ganancia. ) por otro lao, al paralizarse las ventas, el minorista (o pto. e comercialización) ebe enfrentar períoos e costos fijos, pero sin ingresos por ventas. Para evitar esta ificulta, se propone una estrategia e venta que permite controlar la emana, cuano los niveles e stock son suficientemente bajos. Una forma e lograrlo es meiante el uso e restricciones en las cantiaes venias aplicano cotas superiores variables. Esta estrategia es moelaa reefinieno la tasa e salia el nivel respecto e la emana s como un proucto e funciones e la forma h( ) s s( ), one s es la tasa e artículos requerios por los clientes, efinia en la sección., y que en nuestro estuio consieramos constante. La función h() moela la estrategia e venta que ebe cumplir las siguientes coniciones (Ecuación ): h( 0) 0, h( ) para 0. 0 h( ) y h( ) 0 para 0, () Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0.

9 Done y su valor epenerá e la intensia o rigiez e la estrategia e comercialización, sieno que un mayor valor implica una mayor previsión e la escasez e stock y por consiguiente el crecimiento e las cotas e ventas a aplicar será más lento. Tenieno en cuenta la transformación e escala, las Ecuaciones se rescriben como Entonces para y h( ) a, (3) y y f (). original y el flujo en la nueva inámica tiene las mismas propieaes que el moelo permanece sin cambios para estos valores e. Pero sobre el segmento OQ, one 0, la inámica cambia favorablemente. Dao que la componente horizontal el flujo es y h( ) a y como h( ) 0 para 0, sobre icho segmento las F trayectorias solo pueen ingresar a la región. La Figura 3 muestra un ejemplo el plano e fase resultante one puee observarse como las órbitas ingresan y quean confinaas en la región. Aemás, como icha región puee establecerse arbitrariamente grane, cumpliénose las restricciones (Ecuación ), cualquier conición inicial positiva conucirá a una orbita que queará atrapaa por y por lo tanto e y resultarán acotaos. 5 y 4 Q R 3 P O S Figura 3 Efecto e la estrategia e comercialización en las órbitas el sistema Sin embrago, lo icho no garantiza que la solución tiena al valor eseao, y ) ya ( que esta poría converger a una solución perióica. Para emostrar que la inámica es no perióica esarrollamos un análisis asintótico (HUANG, 00; ROSCOE, 006). Primero integramos la Ecuación 3 resultano la Ecuación 4: Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 3

10 y0 0 e y( t) t t f ( ( t)) t t e (4) y aplicano la regla e L'Hopital obtenemos la Ecuación 5. lim y lim f ( ), (5) t t Luego, estano y acotaa, el limite es finito. Asintóticamente la Ecuación (3) es f ( ) h( ) a y por ser esta una ecuación e primer oren en la recta no amite soluciones oscilatorias. Entonces ao que está acotaa resulta Aemás, e acuero a Ecuación 4 eiste un único punto fijo en, tenemos (Ecuación 6) lim t lim y t, y, constante cuano t. y constante por ser f univaluaa. Por lo tanto, ao que Así, toas las orbitas que ingresan a asintóticamente convergen al valor eseao y las soluciones perióicas no son posibles. Otra manera e llegar al mismo resultao es a través el criterio e Dulac's (STROGATZ, 994) ya que en la región la ivergencia el flujo es e signo constante y por lo tanto quean ecluias las soluciones perióicas en icha región. (6) 5 POLÍTICA LINEAL Se propone ahora consierar una política e reposición lineal respecto al nivel e stock minorista. Esta es (Ecuación, 7): f ( ), (7) Done los parámetros y eberán fijarse con el objeto e brinar las mejores características posibles en el control el inventario. Luego el sistema aimensional () se rescribe como (Ecuación 8): y a, y (8) y. Tenieno en cuenta la Ecuación 3 obtenemos la Ecuación 9: 4 a ( ) ( ), a Y ebio a que buscamos que (9) sea el único punto fijo positivo, resulta que. Fijano los valores e, a, y usano la Ecuación 3 el valor e quea eterminao como (Ecuación 0): Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 4

11 a, (0) Conforme a la restricción impuesta por Ecuación 8, ebe ser tal que se cumpla a o remplazano en Ecuación 0, a. Sin embargo, como impusimos que, esta conición siempre se cumple y poemos concluir que el parámetro es el único que eterminará la estabilia el punto fijo positivo, y ), cualquiera sean los valores e a y. ( La Figura 4 muestra el espacio e las fases el sistema (Ecuación 8) one se observa la eistencia e una zona, sobre el eje 0 negativos e inventario., en la cual las trayectorias escapan hacia niveles 5 5 y 4 Q y R 4 Q R 3 3 P P O 0 S 0 3 O 0 S 0 3 (a) (b) Figura 4 - Plano e fases el sistema utilizano una política e reposición lineal. a) Sin aplicar cotas e venta b) Con la aplicación e cotas e venta Aplicano la estrategia e venta h() presentaa en la sección 4, se cancela el flujo hacia regiones negativas e inventario tal como se muestra en la Figura 4. 6 DEMANDA NO ESTACIONARIA Hasta ahora, y a los fines el moelo propuesto, se representó a la emana como una función constante. Sin embargo, esta simplificación a veces no es aecuaa al analizar el sistema real. La emana constituye una veraera variable aleatoria epeniente el tiempo cuya istribución no siempre es conocia. Si icha istribución se conoce o puee aproimarse estaísticamente, un análisis numérico puee arrojar información relevante sobre el comportamiento el inventario. Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 5

12 A continuación se presentan os casos particulares para moelar el comportamiento e la emana. En el sistema propuesto en la sección 4 se obtiene en la Ecuación. y h( ) s( t) a, () y y f (). Se consierará a s(t) como una función perióica o aleatoria. Dao que en cualquiera e los os casos s(t) puee consierarse acotaa, es posible reproucir los resultaos e la sección 3. para emostrar la eistencia e la zona e atracción, razón por la cual no son incluios en este trabajo. 6. Demana perióica Para cierta clase e artículos e estación la emana puee ser representaa meiante s( t) A sen ( t). Hemos realizao numerosos eperimentos numéricos tomano los valores iniciales en la zona e atracción. Sin bien la inámica es no lineal, los eperimentos no mostraron inicios e soluciones caóticas. Asintóticamente las órbitas convergen a una curva perióica que solo epene e los parámetros el sistema, y siempre está ubicaa alreeor el punto fijo perteneciente al sistema e emana estacionaria. Esta propiea es común en los sistemas no lineales sometios a una perturbación armónica (THOMPSON; STEWART, 986). En la Figura 5 se muestra los resultaos numéricos obtenios meiante el métoo e Runge Kutta e cuarto oren tomao A 0, ; w, 68 ; a 0, 0; la política: f ( t) 5,64 3 ( t) para 8, 55, f ( t) 0 para 8,55, y la conición inicial 9 ; y 3. Se puee observar claramente cómo las trayectorias el caso perióico se aproiman a un ciclo alreeor el punto fijo obteniénose una respuesta oscilatoria no amortiguaa y t (a) (b) Figura 5 Resultaos e los eperimentos numéricos para una emana constante (línea entrecortaa) y a una emana perióica (línea sólia). a) Trayectorias en el plano e fases. b) Evolución el nivel minorista. Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 6

13 A moo e ejemplo, en la Figura 6 se presentan las órbitas el caso perióico para la conición inicial anterior (línea sólia) y una nueva conición 7, y 0 0 (línea entrecortaa). Estas trayectorias, contenias en la zona e atracción, convergen a la misma solución perióica. 3.0 y t (a) (b) Figura 6 Resultaos numéricos para el caso perióico consierano las coniciones iniciales 0 = 9, y 0 = 3 (línea sólia) y 0 = 7, y 0 = (línea entrecortaa). a) Trayectorias en el plano e fases. b) Evolución el nivel minorista. En la Figura 7 se muestra la evolución e las órbitas en el espacio (, y, t). El tiempo es reescaleao al intervalo ( 0, / ). Se puee ver como las órbitas en caa escala e tiempo se van agrupano con el incremento e t, hasta formar una sola curva que correspone a la solución perióica. 3 y 0 t Figura 7 Órbitas el sistema con emana perióica en el espacio (,y,t) reescaleano el tiempo al intervalo el períoo ( 0, / ) Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 7

14 6. Demana estocástica El comportamiento e la emana en el tiempo siempre contiene componentes estocásticas. En particular cuano las observaciones no eviencian un patrón temporal eterminístico, la misma eberá ser moelaa meiante una función aleatoria Como ejemplo consieramos una emana estocástica cuya istribución es inepeniente el tiempo como la siguiente: s( t) N (, /5). Para caa réplica el eperimento se eterminó una función aleatoria continua que moela la emana y se integró numéricamente el sistema utilizano los mismos parámetros que en la sección anterior. El eperimento aleatorio, constituio por cincuenta réplicas, permitió obtener las frecuencias relativas e caa área (, y) variables aleatorias (t) e y (t) eterminao valor inicial, ). ( y 0 0 el plano e fase, para así eterminar el histograma e las. En la Figura 8 se muestra el resultao obtenio para un Figura 8 Histograma e las variables aleatorias ((t),y(t)) con t variano e 0 a 5, para una conición inicial aa En los iferentes eperimentos numéricos realizaos, se comprobó que cualitativamente las istribuciones e las variables (t) e y(t) están centraas en los valores el caso eterminístico (one s ( t) ); y aemás cuano t, ( t) e y( t) y. 7 CONCLUSIONES El objetivo funamental e este trabajo ha sio remarcar la importancia e la teoría cualitativa e ecuaciones iferenciales para analizar rigurosamente las propieaes corresponientes a moelos e inámica inustrial. Estas técnicas minimizan el uso e simulaciones numéricas permitieno obtener resultaos más generales. En particular se ha Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 8

15 puesto énfasis en un moelo e inventarios con roturas e artículos por contacto obtenieno los siguientes resultaos: Se eterminaron analíticamente las propieaes el sistema. Se estableció un criterio que permite iseñar una política e reposición que logra estabilizar los niveles al valor eseao, trabajano incluso con la restricción e no isponer e información sobre los niveles el proveeor. Sin embargo no se incluyeron en el moelo los costos involucraos con los cuales poría establecerse con mejor criterio los parámetros e la política. Se propuso una estrategia e comercialización que evita la escasez e stock y meiante una aecuaa elección e la política e reposición el sistema es siempre estable, ya que cualquiera sea la conición inicial, la solución evoluciona hacia el valor eseao. A pesar e que las roturas introucen una no linealia al moelo, el sistema es controlable por meio e un control lineal. La incorporación e emanas no estacionarias hace que las ecuaciones no lineales sean no autónomas y como es usual se ebió recurrir a la simulación. Entre los casos eperimentaos, no hemos encontrao soluciones caóticas sieno el comportamiento asintótico oscilante alreeor el punto fijo el sistema autónomo. QUALITATIVE PROPERTIES OF A INVENTORY MODEL WITH BREAK ABSTRACT: Many prouction companies or marketing invest large sums of money in managing an maintaining inventories. Much of these costs are cause by partial or total loss of the item value, especially when they are store for long perios. This paper presents an analysis of the ynamics of an inventory moel for items with break contact, consiering the eman an lea-time constant. While the moel is nonlinear, using the qualitative theory of ifferential equations was possible to rigorously escribe the general properties without numerical simulations. Besies establishing a set of criteria for eveloping a successful replacement policy an proposes a strategy that avois selling stock levels reach zero. Finally are stuying by simulating the effects of perioic an stochastic behavior of eman. Keywor: Dynamical Systems. Inventory Breaks. Inustrial Dynamics. REFERENCIAS BHATTACHARYA, D. K. On multi-item inventory. European Journal of Operational Research, v. 6, p , 005. Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 9

16 CHENG, M., et al. A note on the inventory moel for eteriorating items with trapezoial type eman rate, Computers & Inustrial Engineering, v. 56, p , 009. FORRESTER, J. Inustrial ynamics prouctivity. Portlan, OR: Prouctivity Press, p. GOYAL, S.; GIRI, B. Recent trens in moeling of eteriorating inventory. European Journal of Operational Research, v. 34, p. -6, 00. HUANG, T. Asymptotic analysis of inustrial ynamical moel. Mathematical an Computer Moelling v. 36, p , 00. MANDAL, M.; MAITI, M. Inventory moel for amageable items with stock epenents eman an shortages, Opsearch v. 34, n. 3, p , 997. MANDAL, M.; MAITI, M. Inventory of amageable items with variable replenishment rate, stock epenent eman an some units in han. Applie Mathematic Moeling, v. 3, p , 999. PRIGOGINE, I. Eploring compleity, European Journal of Operational Research, v. 30, p , 987. ROSCOE, B.W. Asymptotic analysis of ifferential equations. Imperial College Press, 006. RUXIAN, L.; HONGIE, L. A review on eteriorating inventory stuy. Journal of Service Science an Management, v. 3, n., March, 00. SAHA, Anirban; ROY Arinam; KAR Samarjit; MAITI Manoranjan. Inventory moels for breakable items with stock epenent eman an imprecise constraints. Mathematical an Computer Moelling, v. 5, p , 00. SALEH, M. et al. A comprehensive analytical approach for policy analysis of system ynamics moels. European Journal of Operational Research, v. 03, p STERMAN, J. Business ynamics: system thinking an moeling for a comple wor, Irwin Mc. Graw-Hill, Boston, 000. STROGATZ, S. Nonlinear ynamics an chaos. Westview Press, Cambrige, 994. Thompson, J. M. T.; STEWART, H. B. Nonlinear ynamics an chaos. John Wiley an Sons, New York, 986. WARBURTON, R. An eact analytical solution to the prouction inventory control problem. International Journal Prouction Economics, v. 9, p. 8-96, 004. WHITIN, T. M. Theory of inventory management. Princeton University Press, Princeton NJ, 957. Originais recebios em: 7/09/0 Aceito para publicação em: 0/04/0 Iberoamerican Journal of Inustrial Engineering, Florianópolis, SC, Brasil, v. 4, n. 7, p. 5-30, 0. 30