MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 20

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1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 20

2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 20 Funciones racionales MATE 3171 Definición Una función racional es de la forma: r (x) = donde y son funciones polinómicas. Nota:En general, las funciones P y Q no tienen factores en común dom (r) = {x R Q (x) = 0} Nota Cuando se grafica una función racional, se debe prestar atención especial a aquellas valores de x que anulan a Q. Ejemplos 1. r (x) = x 3 x x 2 una función racional, + 9 dom (r) = {x R x = } 5 x 2. r (x) = x 1/2 una función racional + x 2

3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / La función racional f (x) = 1, tiene dominio {x R x = 0}, para x graficarla considere: x f (x) x f (x) 1/10 1/10 1/100 1/100 1/1000 1/1000 Se acerca a Se acerca a Se acerca a Se acerca a x f (x) x f (x) Se acerca a Se acerca a Se acerca a Se acerca a

4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 20 x f (x) 2 1/ /2 2 1/ /2 En el ejemplo anterior se utilizó: Símbolo Significado x a x se aproxima a a por la izquierda x a + x se aproxima a a por la derecha x x va hacia el negativo x x va hacia el positivo

5 Definición de asíntotas La recta x = a es una asíntota vertical de la función y = f (x) si y ± cuando x se acerca a a por la derecha o izquierda. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 20 La recta y = b es una asíntota horizontal de la función y = f (x) si y b cuando x ±.

6 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / Dada la siguiente gráfica Indique: a. Interceptos con el eje X: b. Interceptos con el eje Y: c. Asíntotas verticales: d. Asíntota horzontal:

7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 20 Pasos para hallar las asíntotas Considere la función racional: r (x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 1 Las asíntotas verticales de r son las rectas x = a, donde a es un cero del denominador, pero no anula al numerador. 2 Las asíntotas horizontales se hallan de la siguiente manera: a. Si n < m, entonces r tiene como asíntota horizontal a la recta y = 0. b. Si n = m, entonces r tiene como asíntota horizontal a la recta y = a n b m. c. Si n > m, entonces r no tiene asíntota horizontal.

8 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 20 MATE Halle el dominio de f (x) = 6 2x x 2 4x 2 = x dom (f ) = Asíntotas verticales: posibles x = x = : anula al denominador, pero no al numerador, si lo és x = : anula al denominador, pero no al numerador, si lo és Asíntota horizontal:. 6. Halle las asíntotas verticales y horizontal de f (x) = 6x 2 3x 4x 2 + 4x 3 = dom (f ) = Asíntotas verticales: posibles x = x = : anula al denominador y al numerador, por lo tanto no lo és. x = : anula al denominador, pero no al numerador, si lo és. Asíntota horizontal:

9 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 20 Pasos para graficar funciones racionales 1 Factorice al numerador y denominador. 2 Halle el dominio de la función. 3 Encuentre los interceptos con los ejes coordenados. 4 Determine las asíntotas verticales y analice el comportamiento de y, es decir si se aproxima a ± en cada lado de la asíntota vertical. 5 Halle la asíntota horizontal si existe. 6 Bosqueje la gráfica de la función racional.

10 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / Trace la gráfica de f (x) = 6, indicando su dominio, interceptos 3x 7 con los ejes y asíntotas. dom (f ) = Interceptos: X : y = 0 Y : x = 0 Asíntotas: Vertical: x =, el numerador no se anula. Comportamiento cerca de x = x el signo de y = 6 3x 7 es y Horizontal: y =

11 y x P. Vásquez (UPRM) 8 Conferencia 11 / 20

12 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / Trace la gráfica de f (x) = 4x + 8, indicando su dominio, interceptos 3 4x con los ejes y asíntotas. dom (f ) = Interceptos: X : y = 0 Y : x = 0 y = Asíntotas Verticales: posibles x =, x = x =, anula al denominador, pero no al numerador, si lo és. Comportamiento cerca de x =, x = x el signo de y = 4x x es y Asíntota horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = a 1 = = b 1

13 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / y 1 x

14 9. Trace la gráfica de f (x) = 2x 2 + x 15 3x 2, indicando su dominio, 10x 8 interceptos con los ejes y asíntotas. f (x) = 2x 2 + x 15 (2x 5) (x + 3) 3x 2 = 10x 8 (3x + 2) (x 4) dom (f ) = Interceptos: X : y = 0 Y : x = 0 Asíntotas Verticales: posibles x =, x = x =, anula al denominador y al numerador, no lo és. x =, anula al denominador, pero no al numerador, si lo és. Comportamiento cerca de x =, x = x el signo de (2x 5) (x + 3) y = (3x + 2) (x 4) es y 1 Asíntota horizontal (numerador y denominador tienen el mismo grado): y = a 2 = = P. Vásquez (UPRM) b 2 Conferencia 14 / 20

15 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / 20 7 y x

16 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / 20 Asíntotas oblicuas Si r (x) = P (x) es una función racional en la cual el grado del numerador Q (x) excede en 1 al grado del denominador, usando el algorítmo de la división la función se puede expresar en la forma: r (x) = ax + b + R (x) Q (x) donde el grado de R es menor que el grado de Q y a = 0, y por lo tanto esto significa que cuando x, R (x) 0, es decir para valores Q (x) grandes de x, la gráfica de y = r(x) se aproxima a la gráfica de y = ax + b, que se le llama asíntota oblicua.

17 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / Trace la gráfica de f (x) = x 2 + 2x, indicando su dominio, interceptos x 1 con los ejes y asíntotas. f (x) = x 2 + 2x x 1 = x x 1 dom (f ) = R {1} Interceptos: X : y = 0 x 2 + 2x = x (x + 2) = 0 x = 0, x = 2 Y : x = 0 y = 0 Asíntotas Verticales: posibles x = 1 x = 1, anula al denominador, pero no al numerador, si lo és. Comportamiento cerca de x = 1 x el signo de y = x 2 + 2x x 1 = x x 1 es y Asíntota oblicua: y = x + 3

18 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / y y=x+3 x x=

19 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 19 / 20

20 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 20 / 20