1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. DOMINIO Y RECORRIDO

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2 1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. DOMINIO Y RECORRIDO Definición: Una función es una relación entre dos conjuntos X e Y, que asocia a cada elemento x X un único elemento y Y. Diremos que y es la imagen del elemento x por f, y se designa y = f(. Si los conjuntos X e Y son el conjunto de los números reales, R, diremos que la función f así definida, es una función real de variable real. De aquí en adelante, trabajaremos con funciones reales de variable real. La x se llama variable independiente y la y variable dependiente, ya que su valor depende del de la variable x. Al conjunto de los valores de X para los que está definida la función f, se le denomina Dominio de definición de f y se denota Dom (f). { x R / y R tal que y f ( ) } Dom ( f ) = = x Llamamos Recorrido o Imagen de f y se denota R(f) o Im(f) al conjunto de valores que alcanza la función, esto es: Im( f ) = y R / y = f ( { } FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN: Mediante su gráfica: es fácil entender las características de la función con un golpe de vista. Por su expresión analítica (con fórmula): sintetiza claramente la relación entre ambas variables, x e y. Mediante una tabla de valores o bien un enunciado: en estos casos habrá que hacer la gráfica o encontrar la expresión analítica de la función. Página 2 de 15

3 DOMINIO DE DEFICICIÓN DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES: FUNCIONES POLINÓMICAS: Son aquellas funciones definidas mediante un polinomio, f( = P(. Dom (f) = R FUNCIONES RACIONALES: P( Son de la forma f ( =, siendo P( y Q( dos polinomios. Q( Dom (f) = { x R / Q( 0 } FUNCIONES IRRACIONALES: Son de la forma f( = n P ( Si n es impar, Dom (f) = Dom (P() = R Dom ( f ) = x R / P( 0 Si n es par, { } Nota: Si el radicando fuese una fracción algebraica, f( = n P( Q( procedería del mismo modo, pero hay que excluir del dominio los valores de x que anulen el denominador. se FUNCIONES EXPONENCIALES x Son de la forma f( = k a ; siendo a > 0, a 1; k 1 Su dominio es R Ejemplo: f( = 3 2 x FUNCIONES LOGARÍTMICAS Son de la forma f( = log a x Su dominio es el conjunto de valores de x para los que el argumento del Dom ( f ) = x R / x > 0 logaritmo es positivo esto es : { } Página 3 de 15

4 2.- TIPOS DE FUNCIONES 2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS Son de la forma f( = P(, siendo P( un polinomio de cualquier grado. Dom (f) = R En función del grado de P( tendremos : Grado 1: Lineales Grado 2: Cuadráticas Su gráfica es una recta Su gráfica es una Parábola y = mx + n y = ax 2 + bx +c Grado n >2 Eje de simetría x = -b/2a Vértice V de abscisa x v =-b/2a Nota: La curvatura de una parábola depende de si la miramos desde arriba o desde abajo. En este tema, para unificar criterios, miraremos siempre desde arriba, luego si a > 0, diremos que la parábola es cóncava (forma de cuenco) y si a < 0, diremos que es convexa. Página 4 de 15

5 2.2 FUNCIONES RACIONALES P( Son de la forma f ( =, siendo P( y Q( dos polinomios. Q( Dom (f) = { x R / Q( 0 } Es decir, el dominio de estas funciones es R excluyendo las raíces del denominador. Ejemplos: Observa en los ejemplos anteriores, que en algunos casos las funciones se aproximan a rectas cuando x o f( tienden a ±. A dichas rectas se les llaman asíntotas, y pueden ser horizontales, verticales u oblicuas. Las asíntotas verticales se encuentran en los puntos en los que no está definida la función, es decir, en las raíces del denominador. Si una función racional tiene asíntota horizontal, entonces no tiene asíntota oblicua. Un caso particular de función racional, es cuando tanto el numerador como el denominador son polinomios de grado 1. En ese caso su gráfica es una hipérbola. Recuerda que: k y = es la función de proporcionalidad inversa, donde k 0 es la constante de x proporcionalidad inversa. Su gráfica es una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas: A. Vertical : x = 0 A. Horizontal : y = 0 Si k > 0, las ramas de la hipérbola si sitúan en el primer y tercer cuadrante Si k < 0, las ramas de la hipérbola se sitúan en el 2º y 4º cuadrantes. Página 5 de 15

6 P( En general, cualquier función de la forma f ( =, con P( y Q( de grado 1 Q( puede considerarse una hipérbola, basta con dividir numerador entre denominador, y P( k obtendríamos que f ( = = a +, de asíntotas y = a ; x = b; siendo b la Q( Q( raíz de Q(. Véase el siguiente ejemplo: a) 2x + 1 f ( = x + 1 Dividimos : 2x + 1 x + 1-2x Aplicamos que D = d c + r 2x Luego = 2 + x + 1 x + 1 D d = c + r d Su gráfica será una hipérbola: Asíntota Vertical x = -1 y Asíntota horizontal y = 2 Como k = -1 < 0, sus ramas se sitúan en el segundo y cuarto cuadrantes, (formados por las asíntotas de la función) Nota: Su gráfica puede considerarse la de y = -1/x desplazada 2 unidades hacia arriba y 1 unidad a la izquierda. 2.3 FUNCIONES IRRACIONALES: Son funciones en las que la variable x se encuentra en el radicando de una raíz. Página 6 de 15

7 2.4 FUNCIONES EXPONENCIALES Las más sencillas son de la forma f( = x k a ; siendo a > 0, 1 a ; k 1 Características generales: Su dominio es R. Pasan por el punto (0, k) Tienen una asíntota horizontal en y = 0 Si a < 1, la función es decreciente Si a > 1, la función es creciente Ejemplos: 2.5 FUNCIONES LOGARÍTMICAS Las más sencillas son de la forma f( = log a x ; siendo a > 0, a 1 Características generales: Su dominio es (0, + ) Pasan por el punto (1, 0) Tienen una asíntota vertical en x = 0 Si a < 1, la función es decreciente, y crece más rápido cuanto mayor sea a. Si a > 1, la función es creciente Ejemplos: Están muy relacionadas con las exponenciales, ya que son funciones inversas entre sí. Esto quiere decir que si P(x, y ) pertenece a la gráfica de la función f( = log a x; entonces el punto P'(y, x ) pertenece a la gráfica de g( = a x. Por lo tanto las gráficas de f( y g( son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y = x. Página 7 de 15

8 2.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Son aquellas en las que la variable independiente x aparece en el argumento de una razón trigonométrica. Una de las características de las funciones trigonométricas es que son periódicas. Recuerda: Las principales funciones trigonométricas son: Función seno: f ( = sen( Dom (f) = R Im(f) = [-1, 1] El argumento suele darse siempre en radianes. Función periódica de periodo 2π Función coseno: f ( = cos( Dom (f) = R Im(f) = [-1, 1] El argumento suele darse siempre en radianes. Función periódica de periodo 2π Función tangente: f ( = tg( π 1 Dom (f) = R + kπ, k Z = R π + k, k Z 2 2 Nota: El dominio es R salvo los puntos donde se anula el denominador, que es cos( Im (f) = R Función periódica de periodo π Tiene asíntotas verticales en los puntos que no pertenecen a su dominio 1 x = π + k, k Z ; 2 Página 8 de 15

9 Pero también podemos considerar las funciones cosecante, secante y cotangente. Deducimos sus características a partir de las de seno, coseno y tangente. Función cosecante: f ( = cos ec( = 1 sen( No está definida cuando sen x = 0, es decir, para x = k π con k Z. Luego Dom (f) = R { x = kπ, k Z} Im (f) = R ( 1, 1) Es periódica de periodo 2π Presenta asíntotas verticales en las rectas x = kπ, k Z Función secante: f( = sec x π No está definida cuando cos x = 0, es decir, para x = + kπ con k Z. 2 π ( 2k + 1) π Dom(f)= R x = + kπ con k Z = R x = con k Z 2 2 Im (f) = R ( 1, 1) Es periódica de periodo 2π ( 2k + 1) π Presenta asíntotas verticales en las rectas x = con k Z 2 Página 9 de 15

10 Función cotangente: 1 cos x f ( = cot g( = = tg( senx No está definida cuando tg x = 0, es decir, para x = k π con k Z. R x = kπ, k Z Luego Dom (f) = { } Im (f) = R Es una función periódica de periodo π Tiene asíntotas verticales en las rectas x = kπ, k Z. Página 10 de 15

11 2.7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS O FUNCIONES ARCO De forma análoga obtendremos las funciones inversas o recíprocas de la función coseno y tangente. Página 11 de 15

12 2.8 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable independiente "x" se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen "y" que les corresponde. Es imprescindible conocer qué formula usar con cada valor de "x", por lo que cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación. Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene el siguiente aspecto: donde los dominios suelen aparecer como intervalos o puntos. En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas, aunque pueden estar unidas., Ejemplos: Página 12 de 15

13 Otros ejemplos de funciones definidas a trozos son: Función "Parte entera" Nota: Observa que: Ent (1.5) = 1 y sin embargo Ent (-1.5) = -2 Función "Parte decimal o Mantisa" Parte decimal ( o Mant( = x - Ent ( Nota: Mant (1.4) = 0.4 pero Mant (-1.4) = (-2) = 0.6 Función valor absoluto: y = x x si x 0 = x si x < 0 En general : y = g( g( si g( 0 = g( si g( < 0 Página 13 de 15

14 2.9 OPERACIONES CON FUNCIONES. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Suma, Resta, Producto y cociente Si f y g son dos funciones reales de variable real, podemos definir las siguientes operaciones con funciones: Composición de funciones Dadas f y g dos funciones reales de variable real, una forma de obtener otra función a partir de éstas, es hacer que actúen una a continuación de la otra. Es decir, Esa operación en Matemáticas se denomina Composición de funciones, y se define: ( g o f )( = g f x y se lee f compuesta con g ( ( )) ( g( ) ( f o g)( = f y se lee g compuesta con f. Nota: observa que se lee primero la función a la que primero se aplica la x En general, la composición de funciones no verifica la propiedad conmutativa, es decir, g o f f o g Para que x = a Dom( go f ) * Exista f(a), es decir, a Dom( f ) * f ( a) Dom( g), debe cumplirse que: Página 14 de 15

15 2.10 FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA Para que una función y = f( tenga inversa, f debe ser inyectiva, esto es, que a cada valor de y le corresponda un único valor de x, es decir, que la gráfica de f( corte en un único punto a cada recta horizontal. Por ejemplo, esta función no es inyectiva, no tendrá función inversa. No toda función f tiene función inversa, pero cuando existe se define así: Se llama función inversa o recíproca de f a otra función que se designa f -1 que cumple la siguiente condición: Si f(a ) = b, entonces f -1 (b ) = a Como consecuencia, para cualquier x Dom( f ) se cumple: f f 1 ( f ( ) 1 ( ( f ) x = x = 1 1 luego f o f = f o f = Id Nota: Una función y su recíproca son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante (y = Procedimiento para hallar la función inversa de una función dada: Veámoslo con el siguiente ejemplo: Halla la función inversa de f ( = x 3 1 Consideramos y = x 3 1 Despejamos la incógnita x: x = 3 y + 1 Intercambiamos x e y en la fórmula anterior: La función así obtenida es la inversa de f: Comprobamos que se cumple ( = f ( x + 1) = ( x + 1) 1 = x x 1 f o f = ( = f 1 ( x 3 1) = 3 x 3 1+ = x x f 1 o f = 3 y = x + 1 f 1 3 ( = x + 1 Página 15 de 15