Las integrales que vamos a tratar de resolver numéricamente son de la forma I = f(x)dx

Transcripción

1 Cpítulo 3 Integrción Numéric 3.1. Introducción Ls integrles que vmos trtr de resolver numéricmente son de l form f(x)dx donde [, b] es un intervlo finito. Sbemos que l integrl definid (de Riemnn) de un función sobre un intervlo finito [,b] es un número. Si considermos que f(x) 0 sobre [, b], este número I represent el áre que está bjo l curv de l gráfic de f(x) y sobre el eje x, limitd por los vlores y b, como se muestr en l gráfic siguiente. Figur 3.1: Integrl definid Sbemos tmbién desde el cálculo integrl que si conocemos un primitiv F (x) de f(x) esto es F (x) = f(x), entonces el vlor de l integrl es fácilmente clculble por l Regl de Brrow: f(x)dx = F (b) F () Cundo este cálculo explícito no puede llevrse cbo o result muy complicdo de relizr l evlución de l ntiderivd lo consejble es recurrir l cálculo de l integrl usndo lgún 51

2 método numéricmente conocido. Estos métodos numéricos generlmente nos dn un proximción del vlor excto del integrl. Y l myor o menor exctitud de los resultdos dependerá del tipo de función en relción l método usdo. Generlmente los métodos numéricos resuelven un integrl de un función f n (x) que es un proximción de l función f(x) esto es f(x)dx f n (x)dx = I n Nuestro objetivo es proximr l integrl definid de un función f(x) en un intervlo [, b] evlundo f(x) en un número finito de puntos. 3.. Integrción Numéric Definición 3..1 Supongmos que tenemos un prtición = < x 1 < < x n = b, del intervlo [, b], f(x) un función continu en [, b] entonces f(x)dx = w 0 f( ) + w 1 f(x 1 ) + + w n f(x n ) + E(f) se llm Fórmul de Integrción Numéric o de Cudrtur, el término E(f) se llm Error de Truncmiento de l fórmul. Los vlores {x i } n i=0 se llmn Nodos de Integrción o de Cudrtur y los vlores {w i } n i=0 se llmn Pesos de l fórmul. Los nodos se eligen de diferentes mners. Pueden elegirse subintervlos de igul longitud o subintervlos de distint longitud. En est signtur sólo se verán regls de integrción pr subintervlos de igul longitud. Regl del Trpecio Est regl utiliz pr obtener l integrl numéric un polinomio linel de interpolción f(x)dx Se f(x) un función continu en el intervlo [, b]. Gráficmente tenemos L longitud del intervlo [, b] es h = b. f 1 (x)dx Considerndo =, x 1 = b y los puntos (, f( )), (x 1, f(x 1 )) tenemos el polinomio de interpolción de Lgrnge de grdo 1 f 1 (x) = f() + Recordndo l interpolción linel tenemos que f(b) f() (x ) = x b b b f() + x b f(b) 5

3 Figur 3.: Regl del Trpecio donde Así tenemos entonces f 1 (x) = f( ) x x 1 + f(x 1 ) x x 1 x 1 f 1 (x) = f() x b b + f(b)x b f 1 (x) = f( )l 0 (x) + f(x 1 )l 1 (x) l i = 1 j=0 j i x x j x i x j Luego f(x) = f() x b b + f(b)x b + f (x )(x b)! Entonces el áre bjo l líne rect que represent l gráfic de l función f 1 (x) es un proximción de l integrl de f(x). Luego I 1 + E[f] I f() b I f() b f(x)dx I f() b [ f() x b b + f(b)x b (x b)dx + f(b) (x )dx b (x b) b + f(b) (x ) b b ( b) + f(b) (b ) b I f() ( b) + f(b) (b ) b b 53 ] dx

4 I 1 (b )[f() + f(b)] Entonces f() + f(b) (b ) Fórmul pr l Regl del Trpecio Error de Integrción Si f es un un función derivble de orden en el intervlo [, b] entonces = f 1 (x)dx + E[f, ξ]dx (b ) [f() + f(b)] + f (x )(x b) Entonces el error cometido l relizr l interpolción linel viene ddo por E[x, ξ] = f E[x, ξ] = f E[x, ξ] = f E[x, ξ] = f (x )(x b)dx [ (x )(x b) b ] b (x b) ( dx [ (x )(x b) b 1 ] (x b) 3 b 3 [ ] (x )(x b) b ( b)3 E[x, ξ] = f 1 (b )3 pr ξ [, b] Entonces el error de integrción está ddo por: E 1 (x) = 1 1 f (b ) 3 Error de Integrción pr l Regl del Trpecio Regl del trpecio usndo intervlos múltiples Un mner de mejorr l exctitud de l regl del trpecio es l de dividir el intervlo de integrción [, b] en un conjunto de segmentos y plicr entonces l regl del trpecio en cd uno de ellos. Gráficmente 54

5 Figur 3.3: Regl del Trpecio con 4 intervlos Figur 3.4: Regl del Trpecio con 8 intervlos Supongmos que tenemos sobre [, b], n + 1 puntos igulmente espcidos {, x 1,..., x n }. Por consiguiente hy n segmentos de longitud h = b n Si x i = x i 1 + h con i = 1... n 1, = y b = x n, entonces podemos escribir f(x)dx = x1 f(x)dx + x x 1 f(x)dx + + xn x n 1 f(x)dx Aplicndo l Regl del Trpecio cd uno de los trmos, tenemos que I h f() + f(x 1 ) + h f(x 1) + f(x ) + + h f(x n 1) + f(x n ) h [f() + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n 1 ) + f(x n )] h [f() + (f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n 1 )) + f(x n )] h [f(x n 1 0) + f(x i ) + f(x n )] i=1 (b ) n [f(x n 1 0) + f(x i ) + f(x n )] Entonces i=1 (b ) n [f(x n 1 0) + f(x i ) + f(x n )] i=1 Fórmul pr l Regl del Trpecio pr segmentos múltiples o Regl del Trpecio Compuest. Error de Integrción Pr hllr el error de integrción pr l Regl del Trpecio pr intervlos múltiples, se debe tener en cuent los errores en cd uno de los subintervlos, esto es: 55

6 E = h3 1 f (ξ 1 ) h3 1 f (ξ ) h3 1 f (ξ n ) con = < ξ 1 < x 1 < ξ < x < < x n 1 < ξ n < x n = b Si f (x) es continu en [, b] existe ξ [, b] donde f (x) present un máximo, luego f (x i ) f pr todo i = 1,..., n E h 3 nf 1 con < ξ < b Como h = b tenemos n E (b ) 3 nf 1n 3 = (b )(b ) f 1n = (b )h f 1 Luego E (b )h f 1 Ejemplo x e x dx 1. Clculr l integrl exct Error de Integrción pr l Regl del Trpecio Compuest. Aproximr l integrl por el método del Trpecio 3. Aproximr l integrl por el método del Trpecio compuesto con n = 6 Resolución x e x dx, plicndo integrción por prtes: u = x dv = e x dx du = dx v = 1 ex x e x ex dx 3 e6 1 4 ex 3 0 = h = b = 3 0 = x e x dx = b [f() f(b)] = 3 [0 e0 + 3 e 6 ]

7 3. = 0, x 6 = 3, h = 3 6 = 1 x i = 0 x 1 = 0.5 x = 1 x 3 = 1.5 x 4 = x 5 =.5 x 6 = 3 f(x i ) [f() + (f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) + f(x 4 ) + f(x 5 )) + f(x 6 )] = 1 [0 + ( ) ] = = Regl de Simpson Regl de Simpson 1/3 Otr form de obtener un estimción l integrl, más cercn l integrl exct, consiste proximr f(x) usndo polinomios de interpolción de orden superior uno. Este es un método de segundo orden, es decir, es un método bsdo en integrr un polinomio de interpolción de segundo grdo. Se l función f(x) continu en el intervlo [, b] pr obtener un polinomio de grdo necesitmos considerr tres puntos. Por ejemplo si considermos el punto medio c entre y b o se c = + b, es decir =, x 1 = + h b = x con h = b. Con los puntos (, f( )), (x 1, f(x 1 )) y (x, f(x )) construimos un polinomio de Lgrnge grdo. Figur 3.5: Regl de Simpson 1/3 f (x) = f( )l 0 (x) + f(x 1 )l 1 (x) + f(x )l (x) 57

8 donde l i = j=0 j i x x j x i x j f (x) = (x x 1)(x x ) ( x 1 )( x ) f() + (x )(x x ) (x 1 )(x 1 x ) f(x 1) + (x )(x x 1 ) (x )(x x 1 ) f(x ) x Entonces si f(x)dx reemplzndo tenemos que x 0 x [ (x x1 )(x x ) I ( x 1 )( x ) f() + (x )(x x ) (x 1 )(x 1 x ) f(x 1) + (x x ] 0)(x x 1 ) (x )(x ) f(x ) dx Usndo l ditividd de l integrl e integrndo por prtes tenemos: i) I 1 = x (x x 1 )(x x ) ( x 1 )( x ) f()dx = f( ) ( x 1 )( x ) x (x x 1 )(x x )dx x 1 = + h x = h ( x 1 ) = h ( x ) = h demás h = (b ) = (x ) Tommos x x 1 = u; x x = dv x (x x 1 )(x x )dx = (x x 1 ) (x x ) Luego I 1 = f(x 3 h 0 ) = h 3 f() ii) I = h 3 x = ( x ) ( x ) 1 = 8h3 4 8h3 6 = h3 3 (x )(x x ) (x 1 )(x 1 x ) f()dx = x 1 x (x x ) dx = (x ) 3 x 3 f(x 1 ) (x 1 )(x 1 x ) x (x )(x x )dx Usndo integrción por prtes pr clculr l integrl del ldo derecho obtenemos 58

9 (x )(x x )dx = (x ) (x x ) x 1 = 1 (x x ) 3 x 3 = 1 6 ( x ) 3 = 8h3 6 x x (x x ) dx Entonces f(x 1 ) I = 1 (x )( x ) ( 8h3 6 ) = 4h3 ( h )3 f(x 1) = 4 3 hf(x 1) iii) I 3 = x (x )(x x 1 ) (x )(x ) )f(x )dx = f(x 1 ) (x 1 )(x 1 x ) x (x )(x x )dx Usndo integrción por prte pr clculr l integrl del ldo derecho obtenemos x (x )(x x 1 )dx = (x x 1 ) (x ) Luego I 3 = f(x ) h 3 h.h 3 = h 3 f(x ) Entonces = (x x 1 ) (x ) 1 = 8h3 4 8h3 6 = h3 3 I 1 + I + I 3 = h 3 [f() + 4f(x 1 ) + f(x )] ( ) (b ) + b = [f() + 4f + f(b)] 6 Así tenemos x 1 x (x ) dx (x ) 3 x 3 1 ( ) + b 3 h[f() + 4f + f(b)] Fórmul Regl de Simpson 1/3 Se puede probr que el error de integrción pr l Regl de Simpson 1/3 está dd por: E = h4 f (4) (b ) con < ξ < b, entonces E = 1 90 h5 f (4) con < ξ < b Error de Integrción Regl de Simpson 1/3 59

10 Regl de Simpson 1/3 pr segmentos múltiples A igul que se hizo con l regl del trpecio se puede dividir el intervlo [, b] en n subintervlos igulmente espcidos, de longitud h = b y plicr en cd uno de ellos l regl de Simpson n 1/3. Tenemos sí un prtición, x 1,..., x n del intervlo [, b], con n un número pr. Aplicmos el Método de Simpson 1/3 los n prejs de subintervlos y teniendo en cuent que x 1, x,..., x n 1 son los puntos medios de cd subintervlo y, x,..., x n los puntos iniciles y finles de cd uno de ellos. Gráficmente Figur 3.6: Regl de Simpson con intervlos Figur 3.7: Regl de Simpson con 4 intervlos Pr l integrl totl tenemos I =xn =x 0 x f(x) dx f(x) dx + x4 x f(x) dx + + xn x n f(x) dx Sustituyendo l regl de Simpson en cd un de ls integrles individules obtenemos h f() + 4f(x 1 ) + f(x ) +h f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) + +h f(x n ) + 4f(x n 1 ) + f(x n ) [ 6 6 ] 6 (b ) n n = f( ) + 4 f(x i ) + f(x j ) + f(x n ) 3n Entonces h 3 [ f( ) + 4 n i=1,3,5... i=1,3,5... f(x i ) + n j=,4,6 j=,4,6 f(x j ) + f(x n ) ] Fórmul Regl de Simpson 1/3 múltiple 60

11 con un error de integrción: E = h4 f (4), con < ξ < b Error pr l Regl Simpson 1/3 múltiple Observción Ddo que E = 1 90 h5 f (4) es el error de integrción espr l regl de Simpson 1/3, entonces E = 0 pr todo los polinomios de grdo menor o igul Regl de Simpson 3/8 De l mism form en que se derivó l regl del Trpecio y l regl de Simpson 1/3 se puede obtener l fórmul de Simpson 3/8 proximndo l función con un polinomio de integrción de grdo 3. Figur 3.8: Regl de Simpson 3/8 Al intervlo [, b] se divide en 3 subintervlos igulmente espcidos con Esto es h = b 3 = x 3 3 donde f(x)dx f 3 (x)dx = I 3 f 3 (x) = (x x 1)(x x )(x x 3 ) ( x 1 )( x )( x 3 ) f() + (x )(x x )(x x 3 ) (x 1 )(x 1 x )x 1 x 3 ) f(x 1)+ + (x )(x x 1 )(x x 3 ) (x )(x x 1 )(x x 3 ) f(x ) + (x )(x x 1 )(x x ) (x 3 )(x 3 x 1 )(x 3 x ) f(x 3) 61

12 Integrndo f 3 (x) obtenemos Así f 3 (x)dx = 3h 8 [f() + 3f(x 1 ) + 3f(x ) + f(x 3 )] con h = (b ) 3 f 3 (x)dx = Entonces (b ) [f( ) + 3f(x 1 ) + 3f(x ) + f(x 3 )] h[f() + 3f(x 1 ) + 3f(x ) + f(x 3 )]] Fórmul Regl de Simpson 3/8 El error de integrción tmbién se puede clculr, y está ddo por: E 3 = 3 80 h5 f (4), con < ξ < b Error de Integrción Regl de Simpson 3/8 A igul que con l regl del trpecio y l regl de Simpson 1/3, tenemos l regl de Simpson 3/8 compuest, pero ést no l trtremos en este curso. Ejemplo x e x dx 1. Aproximr l integrl por l Regl de Simpson 1/3. Aproximr l integrl por l Regl de Simpson 1/3 compuesto con n = 4 3. Aproximr l integrl por l Regl de Simpson 3/8 Resolución 1. h = 3 = 0, x 1 = 3, x = x e x dx = h 3 [f() + 4f(x 1 ) + f(x )] = 3 [ ] = = 0, x 4 = 3, h = 3 4 x i = 0 x 1 = 0.75 x = 1.5 x 3 =.5 x 4 = 3 f(x i )

13 1 4 [f() + 4(f(x 1 ) + f(x 3 )) + (f(x )) + f(x 6 )] = 1 [0 + ( ) + (30.183) ] = = = 0, x 3 = 3, h = 3 3 = 1 x i = 0 x 1 = 1 x = x 3 = 3 f(x i ) [f() + 3(f(x 1 ) + f(x )) + f(x 3 )] = 3 [0 + 3( ) ] = = Observción L Regl de Simpson 1/3 es menudo de preferenci, y que lcnz myor exctitud de tercer orden con tres puntos contr cutro puntos requeridos pr l versión Simpson 3/8, sin embrgo l integrr con puntos equiespcidos no podemos plicr l regl de Simpson 1/3 si el número de intervlos es impr, en este cso se us Regl de Simpson 3/8. Otr opción serí en el cso de un número impr de intervlos y plicr l Regl de Simpson 3/8 los tres primeros intervlos o los tres últimos y luego plicr l Regl de Simpson 1/3 múltiple l resto de los intervlos. Puesto que el orden del error de l Regl de Simpson 3/8 es el mismo que l Regl de Simpson 1/3, ls dos regls se combinn nturlmente sin pérdid del orden de exctitud. Si se combin l Regl de Simpson con l Regl Trpezoidl el orden de exctitud del método combindo está determindo por el orden de l Regl del Trpecio Extrpolción de Richrdson Existe un form de mejorr el resultdo de l integrl numéric, usndo dos resultdos obtenidos previmente. Supongmos que tenemos dos proximciones numérics de integrl exct I(f) = f(x)dx esto es I n1 (f) y I n (f), entonces I n1 (f) I(f) y I(f) I n (f), donde ls integrles numérics I n1 (f) y I n (f), hn sido clculds usndo, por ejemplo el método del trpecio (simple o compuesto) o bien usndo el método de Simpson 1/3 o 3/8 (simple o compuesto). Tenemos h 1 = y h = (b ) n, modificndo l notción precedente podemos escribir: (b ) n 1 63

14 I n1 (f) = I(h 1 ) y I n (f) = I(h ). Entonces I(f) = I(h 1 ) + E(h 1 ) = I(h ) + E(h ) (*) Donde E(h 1 ) es el error cometido l obtener l integrl numéric I(h 1 ) y E(h ) es el error cometido l obtener l integrl numéric I(h ) Si hemos usdo, por ejemplo l regl del trpecio (compuest) sbemos que E(h 1 ) = n ( 1 b 1 f () (ε 1 ) n 1 ) 3 = 1 1 n (b ) 1 f () (ε 1 ) n 1 ( b n 1 ) = d 1 1 (b )h 1f () (ε 1 ) pr lgún ε 1 [, b]. Similrmente si hemos usdo l regl del trpecio (compuest) pr obtener I(h ), entonces E(h ) = 1 1 (b )h f ( ) (ε ) pr lgún ε [, b]. Si demás suponemos que f ( ) (ε 1 ) f ( ) (ε ) entonces E(h ( ) ) E(h 1 ) h ( ) h y obtenemos E(h ) E(h 1 ) h 1 h 1 Reemplzndo en (*) obtenemos I(f) = I(h 1 ) + E(h 1 ) = I(h ) + E(h 1 ) De quí obtenemos I(h 1 ) I(h ) E(h 1 ) ( h h 1 ) E(h 1 ) ( ) h h 1 Entonces podemos obtener un estimción pr el error E(h 1 ) como sigue: E(h 1 ) I(h 1) I(h ) [ ( ) ] h h

15 Es decir hemos obtenido un expresión del error en bse ls integrles clculds y en bse los psos de integrción h 1 y h. Con est expresión del error obtenemos un nuevo vlor de l integrl numéric I(h 1 ) + I(h 1) I(h ) [ (h ) 1] h 1 Est es l fórmul de Extrpolción de Richrdson En teorí se demuestr que este resultdo es un proximción de l integrl I(f) que mejor los resultdos obtenidos por I(h 1 ) y I(h ). 65