; (4ptos) U r 4r cuál debe ser radio de orbita circular (3ptos). y la energía

Transcripción

1 PROBLEMAS PARA III-er PREIO MECANICA TEORICA I 1) Dos partículas con las masas m A 1 y m B (aquí y en adelante se utilizan las unidades adimensionales) inicialmente están localizadas en el plano XOY en los puntos A(4,-3) y B(-3,4) y tienen las velocidades iniciales A (,1 ) y B (, 3) (Fig.1). Encuéntrese la posición y velocidad de centro de masas en el momento inicial y en el momento del tiempo t=5. Hállese los vectores de posición y de velocidad para el movimiento relativo en el momento inicial y Lagrangiana para este movimiento si la energía potencial para interacción U r, r r r entre partículas es igual a 1 / 1 Fig. 1 (4) 1 ( 3) ( 3) 1 (4) R 1 1 ( ) 1 () (1) 1 ( 3) 1 1 R( 5) R() 5 1/3; /3 ( 4, /3) ( 4; 6.67) r 4 3; 3 4 (7; 7); r ( ; 1 3) ( ; 4) 1 / 1 /3; M r r 8/3; L r 3 / r r 3 3M / r / r r 3 39/3r / r ; 3; 5/3.67; 1.67; ; 3; 5/3.67; 1.67 (3ptos )Partícula de masa m en campo central con potencial Ur r en el momento inicial esta ubicada en el plano XOY en el punto A(8,6) (Fig.). El vector de la velocidad de la partícula en el momento inicial es (, 1). Encuéntrese: El vector de la fuerza que actúa sobre la partícula en el momento inicial (ptos); La energía total E y el momento angular M en el momento inicial Tipo de trayectoria ; Distancia mínima y distancia máima hasta el centro Fig. 3 ( r (8,6); r 1; v (, 1); E mv / Ur ( 1) / /1 1; r 8,6); r 1; F U r U r r / r r / r.r (.16;.1) (ptos) M mvy E Trayectoria es elíptica Para halla los puntos de retorno E M / mr / r M 16; E 1; 1 16 / 4r / r; 1/ r; 64 1 ; 1 1/ 4; 1/16; rmin 4; rma Demuéstrese que para una partícula en un campo central el momento angular M es constante y el problema tridimensional para el movimiento de una partícula en un campo central se reduce a un problema unidimensional con potencial efectivo U U r M / mr. Para una partícula de masa m 4 que en el momento inicial tenia el momento angular igual a 8 U r 4r cuál debe ser radio de orbita circular. y la energía correspondiente de la partícula (ptos).? Demuéstrese que para este potencial todas trayectorias son finitas. M en un campo central con potencial F rur / r r F dm / dt M cte Como dirección del vector M r mv cte la trayectoria es plana y puede ser descrita en coordenadas polares a través de solo coordenadas polares, en los cuales M m cte M / m. Por eso, la energía cinética es solo función de una coordenada : T mv / m / m / m / M / m y Lagrangiana corresponde a un sistema unidimensional: L m / M / m U U / m U 64/( 4 ) M / Orbita circular corresponde al mínimo de potencial efectivo (cuando ambos puntos de retorno coinciden y elipse se transforma en circunferenci U 4 4 8/ ; U 8 E (ptos)

2 Cuando 8 U E hay caída sobre el centro y en caso contrario hay dos cruces de la línea horizontal con la curva U / 4 8 E y por eso hay dos puntos de retorno y trayectoria es finita 4. Cómo se define la sección eficaz diferencial d d para el problema de dispersión (ptos)? Eplíquese porque la sección eficaz según esta definición se mide en las unidades de área (ptos). Como se define el parámetro de impacto p (ptos)? Demuéstrese la formula d d p dp d. Utilizando esta definición hállese la sección eficaz diferencial e integral para el problema de dispersión sobre una esfera rígida de radio a (6ptos) 1)Una masa m está en el plano vertical deslizándose a lo largo de una barra AB lisa (Fig. 1) y curvilínea la cual es una parte de circunferencia del radio R. La barra AB está rotándose alrededor de eje vertical OO con la velocidad angular. Utilizando el desplazamiento como la coordenada generalizada encuéntrese: la energía cinética, energía potencial y Lagrangiana de masa m eactas (8ptos) y linealizadas (en la aproimación armónic y frecuencia y solución de la ecuación de Lagrange para las oscilaciones pequeñas m m m T y 1 R mgy mg R ; L T m m m m g T mg R ; ; L mgr R R (8ptos) Fig. 1 g ; ; Asin( t ) R )Un péndulo simple con la masa m kg y de longitud L 1m está conectado con un bloque de masa M 4kg, que puede moverse en el plano horizontal sobre una superficie absolutamente lisa y además está conectada con dos resortes cuyos coeficientes de elasticidad están iguales a k.5n / m (Fig. ) Encuéntrese: energías cinética y potencial en la aproimación armónica ; Lagrangiana y las ecuaciones dinámicas, frecuencias normales y formas normales de oscilaciones pequeñas de este sistema. ( g 1m/ s ) Ms m y Ms m s Lcos Lsin M T m s M m s ml ml s mls Para las oscilaciones pequeñas: T 3s s s 1 6 En notaciones matriciales q ; q ; T q t mq ˆ ; mˆ ks ks mgl cos ks mgl mgl ( s 1 ) 1 1 En notaciones matriciales q t ˆ kq; kˆ 1 Ecuaciones dinámicas en notaciones matriciales mq ˆ kˆ q ml s s ml scos 6 1 ˆ 4 4 det( m kˆ) ; 4 ; ; ; 1.165; 7.6; 1.4;.76; ; 1 7.6; C 1 1 ; 1 1 C C 1 1 ; 1 1 C C1 C1 33 ; 9.67C C C1 C1 1 ; 5. C C.9 Fig.

3 3) En que consiste la aproimación armónica que se utiliza para analizar las oscilaciones pequeñas? (ptos) Demuéstrese que en esta aproimación la energía cinética es una forma cuadrática respecto de velocidades generalizadas y energía potencial es una forma cuadrática respecto de coordenadas generalizadas. Descríbase el método de solución de ecuaciones de Lagrange para encontrar las frecuencias y modos normales de oscilaciones pequeñas. Por qué la ecuación característica siempre tiene valores propios positivos y el número de estas raíces coincide con el número de grados de libertad? PARA SIGUIENTES SISTEMAS ENCUENTRESE SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAGRANGE PARA LAS OSCILACIONES PEQUEÑAS e) I. Para una partícula de masa m 1en un campo central con el potencial 4 r (se utilizan las unidades adimensionales) cuyos vectores de posición y de velocidad en el momento inicial son r ( 1,,) y v (1,,) encuéntrese: el valor del momento angular (ptos); la energía total ; el vector de la fuerza (ptos) y el torque (el momento de torsión) (ptos) en el momento inicial; e) el gráfico de la curva del potencial efectivo, la posición del mínimo y el valor del potencial en este punto ; g) movimiento es finito o infinito y si finito cuales son min y ma i j k M mr v 1 k; M M (ptos) 1 E mv r ; v 1 5; r 1 1; E F r i j y k z 8 i 8y j 8z k 8 r; F 8r (ptos) r F r 8r (ptos) M / m 4 / ; e) / ; 1/.84; 4 / * min

4 () () () 1 5 E min g) Para encontrar los puntos de retorno hay que resolver la ecuación 4 E ; / ; ; ;.41; Hay puntos de retorno, por eso el movimiento es finito II. Una partícula de masa m 1en el campo central con el potencial 1 r en el momento inicial esta ubicada en la distancia 5 desde el centro, tiene velocidad v y el ángulo entre los vectores de posición y de la velocidad es igual a 3(se utilizan las unidades adimensionales). Encuéntrese: el valor de momento angular (ptos); la energía total (ptos); el potencial efectivo (ptos); el grafico de la curva de potencial con la posición y valor del mínimo señalados. (ptos). e) Que tipo de trayectoria de la partícula? (ptos). f) Encuéntrese min y ma (ptos). g) Cuál debe ser energía inicial de la partícula para que ésta se caiga al centro? (ptos). M m E m v sin (ptos) v (ptos) / 1/ 5/ M m (ptos) min 3 1 / 5 / ; 5 /1.5; 1 /.5 5 /(.5 ) 4 (ptos) B e) ellipitica (ptos) 1 E 1 / 5/ 1 5 ; f) 4 / 4; 1.46; 8.54 min ma (ptos) g) E 1, III. Una partícula de masa m 1kg en su movimiento 5 4 unidimensional esta sometida a un potencial 5 ( J). Demuéstrese que el potencial tiene un solo mínimo en el punto,5 1 y grafíquese el potencial (ptos) Encuéntrese aproimación armónica para el potencial correspondiente a las oscilaciones pequeños alrededor de este punto Cuál es posible, ma = intervalo de las energías para el movimiento oscilatorio? (ptos) min =-.1 el momento inicial partícula fue localizada en el punto 1 y tenia la velocidad v. ( m/ s) cual es la ecuación de movimiento -,5? Solución ; ; 8 6 ; 1(min) y (m; (ptos) (1).1; () min ma (ptos) si en -,5,,5 1, 1,5 min

5 ; 1!! 1;.1.1 E (ptos) L m.1 ; ; t Asin t : ;. A..1.14; 1.14sin t t I. Encuéntrese ecuaciones de Lagrange para oscilaciones pequeñas del sistema presentada en la imagen (1ptos) Solución 1) coordenadas generalizadas q1 s, q. Relación con coordenadas cartesianas:, y l s; l sin ; y l s l cos ; 1 1 1, y1 s; l cos ; y s l sin ) Energía cinética 1 1 sin m m s m m m s m m l T y y l s sl Aquí en la aproimación armónica el término slsin es despreciable (3er orden respecto pequeños s,. 3) Energía potencial ks ks elast. gravedad m1 gy1 mgy m1 g l s mg l s l cos ks mgl m1 g l s mg l s l 4) Función de Lagrange m1 m s ml ks mgl L T m1 g l s mg l s l 5) Ecuaciones de Lagrange m m s ks m m g; m l m gl (1ptos) 1 1 Dos bloques de masas m y m están conectadas a través de resortes con el coeficiente de elasticidad k con la paredes como muestra la imagen. Encuéntrese las matrices de las energías cinética y potencial, frecuencias y formas de modos normales para las oscilaciones pequeñas. l s ; l s l s ; s ; s s m m ms ms s T 3 ms1 ms1s mss1 ms ; tˆ ks1 ks1 ks ks ks1 ks ; v= ˆ det( tˆ v) ; ; 3 ; 8 4 ; ; 4 ; ; 1.586; 3.414; 1.766; 1.85; C C 1 C ; ; ; normalizado C C C 3 1 C C 1 C ; ; ; normalizado C C C lo