Operaciones con Funciones

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1 Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I

2 Tabla de Contenido Contenido

3 : Contenido Discutiremos: suma, resta, multiplicación y división de funciones

4 : Contenido Discutiremos: suma, resta, multiplicación y división de funciones composición de funciones

5 : Contenido Discutiremos: suma, resta, multiplicación y división de funciones composición de funciones

6 Álgebra y Las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones son operaciones con funciones que permiten formar o construir otras funciones a partir de funciones dadas.

7 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g tales que D f D g no es vacío. Entonces definimos las funciones f + g, f g, fg, kg y f g como sigue:

8 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g tales que D f D g no es vacío. Entonces definimos las funciones f + g, f g, fg, kg y f como sigue: g 1 Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

9 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g tales que D f D g no es vacío. Entonces definimos las funciones f + g, f g, fg, kg y f como sigue: g 1 Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2 Diferencia: (f g)(x) = f(x) - g(x)

10 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g tales que D f D g no es vacío. Entonces definimos las funciones f + g, f g, fg, kg y f como sigue: g 1 Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2 Diferencia: (f g)(x) = f(x) - g(x) 3 Producto: (fg)(x) = f(x) g(x)

11 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g tales que D f D g no es vacío. Entonces definimos las funciones f + g, f g, fg, kg y f como sigue: g 1 Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2 Diferencia: (f g)(x) = f(x) - g(x) 3 Producto: (fg)(x) = f(x) g(x) 4 Producto Escalar: (kf)(x) = kf(x)

12 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g tales que D f D g no es vacío. Entonces definimos las funciones f + g, f g, fg, kg y f como sigue: g 1 Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x) 2 Diferencia: (f g)(x) = f(x) - g(x) 3 Producto: (fg)(x) = f(x) g(x) 4 Producto Escalar: (kf)(x) = kf(x) f f(x) 5 Cociente: ( )(x) = g g(x)

13 Álgebra y Notas: 1 El dominio de las funciones f + g, f g y fg es Df D g.

14 Álgebra y Notas: 1 El dominio de las funciones f + g, f g y fg es Df D g. 2 El dominio de la función kf es Df.

15 Álgebra y Notas: 1 El dominio de las funciones f + g, f g y fg es Df D g. 2 El dominio de la función kf es Df. 3 El dominio de la función f g es D f D g con excepción de los valores para los cuales g(x) = 0.

16 Álgebra y Notas: 1 El dominio de las funciones f + g, f g y fg es Df D g. 2 El dominio de la función kf es Df. 3 El dominio de la función f g es D f D g con excepción de los valores para los cuales g(x) = 0.

17 Álgebra y Ejemplos: Sea f(x) = x + 2 & g(x) = x 2. D f =R y D f =R.

18 Álgebra y Ejemplos: Sea f(x) = x + 2 & g(x) = x 2. D f =R y D f =R. 1 (fg)(x) = f(x) g(x) = (x + 2)(x - 2) = x 2 4. D fg =R

19 Álgebra y Ejemplos: Sea f(x) = x + 2 & g(x) = x 2. D f =R y D f =R. 1 (fg)(x) = f(x) g(x) = (x + 2)(x - 2) = x 2 4. D fg =R 2 (3f 4g)(x) = 3f(x) - 4g(x) = 3(x + 2) 4(x 2) = x D 3f 4g =R

20 Álgebra y Ejemplos: Sea f(x) = x + 2 & g(x) = x 2. D f =R y D f =R. 1 (fg)(x) = f(x) g(x) = (x + 2)(x - 2) = x 2 4. D fg =R 2 (3f 4g)(x) = 3f(x) - 4g(x) = 3(x + 2) 4(x 2) = x D 3f 4g =R 3 g(x) f(x) = x 2 x + 2. D g = R \ {-2} f

21 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g.

22 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g. Entonces, la composición de las funciones f y g, denotada por f g, se define como

23 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g. Entonces, la composición de las funciones f y g, denotada por f g, se define como (f g)(x) = f(g(x)).

24 Álgebra y Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos D f y D g. Entonces, la composición de las funciones f y g, denotada por f g, se define como (f g)(x) = f(g(x)). El dominio de f g se define como D f g = {x D g g(x) D f }.

25 Álgebra y Ejemplo 1: Sea f(x) = x 3 y g(x) = 3 x. Determine una fórmula para f g.

26 Álgebra y Ejemplo 1: Sea f(x) = x 3 y g(x) = 3 x. Determine una fórmula para f g. Solución: (f g)(x) = f(g(x) = f( 3 x) = ( 3 x 3 ) = x.

27 Álgebra y Ejemplo 1: Sea f(x) = x 3 y g(x) = 3 x. Determine una fórmula para f g. Solución: (f g)(x) = f(g(x) = f( 3 x) = ( 3 x 3 ) = x. Ejemplo 2: Sea f(x) = x y g(x) = x. Determine una fórmula para f g e indique su dominio.

28 Álgebra y Ejemplo 1: Sea f(x) = x 3 y g(x) = 3 x. Determine una fórmula para f g. Solución: (f g)(x) = f(g(x) = f( 3 x) = ( 3 x 3 ) = x. Ejemplo 2: Sea f(x) = x y g(x) = x. Determine una fórmula para f g e indique su dominio. Solución: (f g)(x) = f(g(x)) = f( x) = ( x) = x + 1.

29 Álgebra y Ejemplo 1: Sea f(x) = x 3 y g(x) = 3 x. Determine una fórmula para f g. Solución: (f g)(x) = f(g(x) = f( 3 x) = ( 3 x 3 ) = x. Ejemplo 2: Sea f(x) = x y g(x) = x. Determine una fórmula para f g e indique su dominio. Solución: (f g)(x) = f(g(x)) = f( x) = ( x) = x + 1. D f g = {x D g g(x) D f } = {x [0, + ) x R}. = [0, + )

30 Álgebra y Ejemplo 3: Sea f(x) = {(3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, 14)} y g(x) = {(0, 0), (2, 0), (3, 3), (12, 4), (1, 2), (15, 4)}.

31 Álgebra y Ejemplo 3: Sea f(x) = {(3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, 14)} y g(x) = {(0, 0), (2, 0), (3, 3), (12, 4), (1, 2), (15, 4)}. Determine f g.

32 Álgebra y Ejemplo 3: Sea f(x) = {(3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, 14)} y g(x) = {(0, 0), (2, 0), (3, 3), (12, 4), (1, 2), (15, 4)}. Determine f g. Solución: f g = {(0, 14), (2, 14), (3, 6), (12, 0), (1, 12), (15, 0)}.

33 Álgebra y Ejercicios: 1: Sea f(x) = {( 3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, 14)} y g(x) = {(0, 5), (2, 0), (3, 12), (12, 18), (1, 2), (15, 4)}. Determine f g. 2: Sea f(x) = {(3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, 14)} y g(x) = {(0, 5), (2, 3), (3, 12), (12, 18), (1, 1), (15, 1)}. Determine f g.

34 Álgebra y 3: Sean f y g funciones. Use las dos tablas de la izquierda para llenar la tabla de la derecha. Si h(x) = f(g(x)) escriba una posible fórmula para la función h.

35 Álgebra y 4: Use las gráficas de las funciones f y g para graficar la función h = g f.

36 Álgebra y 5: Para las funciones f y g dadas, escriba una fórmula para f g y el dominio de f g y para g f y el dominio de f g. a) f(x) = x 2 3x, g(x) = x + 2 b) f(x) = x x 2, g(x) = 3 x 6: Para la función h dada, determine dos funciones f y g tal que h = f g. Puede haber más de una posibilidad. a) h(x) = 3 x 2 + 3x b) h(x) = 4 + x 2 + 1

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