6. Circunferencia. y polígonos

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "6. Circunferencia. y polígonos"

Transcripción

1 6. Circunferencia y polígonos

2 Matemáticas 2º ESO 1. Lugares geométricos 2. Polígonos en la circunferencia 3. Simetrías en los polígonos 4. Longitud de la circunferencia y superficie del círculo 192

3 Circunferencia y polígonos 1. Lugares geométricos DOS PUNTOS a) Observa los puntos A y B. Dibuja el conjunto de puntos del plano que están situados a 3 cm de A. Dibuja el conjunto de puntos del plano que están situados a 2 cm de B. Cuántos puntos del plano están situados al mismo tiempo a 3 cm de A y a 2 cm de B?. b) Cambia la posición de los puntos A y B en el plano y repite el mismo ejercicio. Qué ocurre si los puntos A y B están muy separados?. POR UN PUNTO Imagina un punto. Imagina una circunferencia que pase por él. Imagina otras que pasen por él. Haz un dibujo en el papel. Cuántas circunferencias pasan por un punto del plano?. Dónde están situados sus centros?. POR DOS PUNTOS Dibuja en un papel dos puntos A y B no demasiado separados (pongamos 8 cm). Dibuja una circunferencia que pase por esos dos puntos. Dibuja otras circunferencias que también pasen por ellos. Cuántas hay?. Dónde están situados los centros de todas ellas?. Son posibles circunferencias de cualquier tamaño?. Cuál es el tamaño mínimo?. 193

4 Matemáticas 2º ESO Los centros de todas las circunferencias que pasan por A y B están situados en una recta. Cómo son las distancias de cualquier punto de esta recta a los puntos A y B?. La recta obtenida se llama mediatriz del segmento AB. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Observa la figura siguiente formada por un segmento y dos circunferencias iguales que se cortan trazadas desde ambos extremos del segmento. Dibuja la línea por la que doblarías el papel para que las dos circunferencias coincidiesen. Comprueba que estás en lo cierto. Esa línea se llama mediatriz del segmento AB. En qué punto corta la mediatriz al segmento?. Qué ángulo forma con éste?. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio. 194

5 Circunferencia y polígonos PLEGANDO PAPEL Cómo se puede obtener la mediatriz de un segmento doblando papel?. Dibuja un segmento AB y dobla el papel de modo que A coincida con B. Traza la mediatriz que indica el doblez. Marca un punto P en la mediatriz y únelo con los extremos A y B. Dobla de nuevo por la mediatriz. Cómo son los segmentos PA y PB?. TRIÁNGULO ISOSCELES Dibuja el triángulo isósceles ABC en un papel y traza mediante plegado la mediatriz del lado BC. Coincide la mediatriz del lado BC con la altura correspondiente a este lado?. MEDIATRIZ DE UNA CUERDA Dibuja una circunferencia. Señala en ella una cuerda, su arco y su ángulo central correspondiente. Traza, doblando papel, la mediatriz de la cuerda. Pasa el doblez por el centro de la circunferencia?. 195

6 Matemáticas 2º ESO MÍNIMA CUERDA Dado un punto P de un círculo, traza la mayor cuerda que pase por ese punto. Traza también la cuerda de menor longitud que pase por dicho punto. Qué relación tiene esa cuerda mínima con el diámetro de la circunferencia?. FAROLA Tres amigos desean colocar una farola justo a la misma distancia de sus tres casas situadas en los puntos A, B y C. Halla el punto donde deben colocarla. NOTA.- El punto debe ser el centro de una circunferencia que pase por los tres puntos A, B y C. POR TRES PUNTOS Existe una circunferencia que pase por tres puntos A, B y C?. Imagina la circunferencia más pequeña posible que pase por A y B. Forma parte de ella el punto C?. Imagina una circunferencia de mayor diámetro que pase por A y B. Forma parte de ella ahora el punto C? 196

7 Circunferencia y polígonos CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA Halla, usando únicamente la regla y el compás, el centro de la siguiente circunferencia. Cómo puedes determinar el centro de esta circunferencia si solo está permitido doblar el papel?. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA I Dibuja un triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 7 cm. Observa que es acutángulo. Traza, plegando papel, las mediatrices de los tres lados y comprueba que se cortan en un punto. Tomando dicho punto como centro, traza una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo. Se dice que el triángulo está inscrito en la circunferencia y a esta se le llama circunferencia circunscrita. PUNTOS ALINEADOS Dibuja dos segmentos AB y BC con A, B y C alineados y traza sus mediatrices usando regla y compás. Se cortan estas mediatrices?. Se puede trazar una circunferencia que pase por tres puntos alineados?. 197

8 Matemáticas 2º ESO PUNTO DE TANGENCIA Imagina dos circunferencias que se tocan en un punto ( sólo en un punto!). Considera ahora el centro de cada una y el punto donde se tocan ambas. Cómo crees que están situados esos tres puntos?. Haz un dibujo y comprueba tu conjetura. CUATRO PUNTOS Los cuatro puntos marcados son los vértices de un rectángulo. Traza sus diagonales. Puedes dibujar una circunferencia que pase por los cuatro puntos?. Hay más de una?. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA II a) Intenta trazar una circunferencia circunscrita a este rombo, es decir, una circunferencia que contenga sus cuatro vértices. b) Circunscribe, si puedes, circunferencias a estos cuadriláteros. c) Mide, con la mayor precisión posible, un par de ángulos opuestos en cada uno de los cuadriláteros. Escribe la conclusión a que has llegado. 198

9 Circunferencia y polígonos RECTAS Y CIRCUNFERENCIA a) Dada la recta r y un punto P de ella, construye la circunferencia tangente a la recta r que pasa por el punto P. En qué línea se encuentran los centros de las circunferencias tangentes a r que pasan por el punto P?. b) Construye la circunferencia tangente a la recta r en el punto A y que pase por el punto B. c) Dados los dos puntos del plano A y B, traza una recta r que no sea perpendicular a la recta AB. Después traza una circunferencia que pase por los puntos A y B y cuyo centro esté en la recta r. TRABAJO CON CABRI-GEOMETRE El profesor organizará un par de sesiones en el aula de Informática con el programa CABRI- GEOMETRE. En la primera se introducirán cuestiones básicas sobre el manejo del programa. En la segunda sesión el trabajo se centrará en el estudio de círculos y circunferencias analizando, entre otras cosas, aspectos como: Generación de la mediatriz de un segmento Estudio dinámico de lugares geométricos sencillos. Una propuesta de ejemplo: Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro y llama a su centro C. Elige un punto interior P que no coincida con C. Traza varias cuerdas que pasen por P y marca en cada una de ellas el punto medio. Cuál es el lugar geométrico formado por todos esos puntos medios?. 199

10 Matemáticas 2º ESO GIRO DE UN CUADRADO Material: un cuadrado de cartón grueso. Imagina que el cuadrado de la figura gira, sin deslizarse, apoyando sus lados sobre la recta. Fíjate en el movimiento del vértice A mientras va girando el cuadrado. Qué curva está describiendo?. Haz un dibujo. Fíjate ahora en el centro B del cuadrado y piensa en la curva que etá describiendo. Haz un dibujo. GIRO DE UN CÍRCULO Material: un triángulo equilátero, un cuadrado y dos círculos de distinto diámetro construidos en cartón grueso. Imagina que un círculo gira sin deslizarse sobre las siguientes figuras geométricas: un segmento, un triángulo equilátero, un cuadrado y un círculo. Qué línea describe el centro del círculo al rodar sobre cada figura?. Compruébalo con el material y después haz un dibujo. Construye las figuras obtenidas con la máxima precisión, utilizando regla y compás. 200

11 Circunferencia y polígonos GIRANDO POR EL INTERIOR Toma una cartulina gruesa (o chapa de madera) y recorta un triángulo y círculos de diversos tamaños. Agujerea los centros de los círculos. 1) Imagina que el círculo gira por el interior del triángulo, sin deslizarse, apoyándose en él. Qué figura describirá el centro del círculo?. Compruébalo. 2) Haz lo mismo en el caso de que el círculo gire sobre el interior del círculo grande. CUARENTA GRADOS Dibuja un segmento MN de 5 cm de longitud. Por el punto M traza una recta que forme un ángulo de 40º con MN. Traza la perpendicular t a MS en el punto M. Traza la mediatriz m del segmento MN. Observa que las rectas t y m se cortan en un punto O. Tomando como centro O y como radio OM traza el arco de la figura. Señala varios puntos sobre este arco y une cada uno con los extremos del segmento MN. Mide, despues, con el transportador los ángulos formados con vértice en los puntos señalados. Qué ocurre?. Repite la experiencia tomando otros puntos diferentes sobre la circunferencia. Comprueba que desde todos los puntos de este arco de circunferencia se ve el segmento MN bajo un ángulo de 40º. 201

12 Matemáticas 2º ESO 2. Polígonos en la circunferencia LIBRO DE ESPEJOS I Material: libro de espejos, una plantilla para la actividad como la del dibujo. Sitúa el eje del libro de espejos sobre el punto dibujado en la plantilla. Coloca las hojas sobre el segmento para obtener: un cuadrado un pentágono regular un triángulo equilátero un hexágono regular Puedes conseguir una circunferencia?. Describe con detalle cómo colocas el libro de espejos para conseguir cada una de esas figuras incluyendo el ángulo que forman las hojas del libro en cada caso. Si te fijas (al formarlos) podrás observar que los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia. Por qué?. ANGULOS DE LOS POLÍGONOS EN UNA CIRCUNFERENCIA En este ejercicio consideraremos polígonos que pueden inscribirse en una circunferencia. Este poligono está inscrito en la circunferencia Este polígono no está inscrito en la circunferencia 202

13 Circunferencia y polígonos a) Mide con tu transportador, lo mejor que puedas, los ángulos A, B, C, D, E, F. Anota su valor. Estos ángulos se llaman ángulos del polígono. Los ángulos P, Q, R, S, T, U se llaman ángulos centrales, porque tienen su vértice en el centro de la circunferencia. b) Mide con tu transportador cada uno de esos ángulos centrales. Averigua la suma de todos esos ángulos centrales: P+Q+R+S+T+U= POLÍGONOS REGULARES EN UNA CIRCUNFERENCIA A veces se dice que un polígono regular es aquel que tiene sus lados iguales. Entonces tendríamos que admitir como regular el siguiente polígono, que tiene todos sus lados iguales, pero sus ángulos no son iguales. En un polígono regular no sólo los lados han de ser iguales, los ángulos también han de serlo. Este polígono sí que es regular. Los lados son iguales y los ángulos A, B, C, D, E, F son también todos iguales. 203

14 Matemáticas 2º ESO a) Intenta inscribir en una circunferencia un polígono regular de 8 lados. Si te fijas en el hexágono de la figura anterior, verás que todos los ángulos centrales son iguales. Cada uno de esos ángulos centrales mide... cuántos grados?. Con esto tienes una idea de cómo dibujar cualquier polígono regular inscrito en una circunferencia: la idea es calcular primero el ángulo central. b) Inscribe un polígono regular de 10 lados en una circunferencia. TRIÁNGULO Y HEXÁGONO a) Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro e inscribe en ella un triángulo equilátero. Averigua primero cuánto mide el ángulo central y ayúdate del transportador de ángulos. b) Traza la mediatriz de un lado del triángulo. Pasa por el vértice opuesto?. Observa que el lado del triángulo es perpendicular al radio de la circunferencia y lo divide en dos partes. Cómo son esas partes?. b) Traza la mediatriz de cada lado del triángulo equilátero y halla los puntos de corte de estas mediatrices con la circunferencia. Qué figura obtienes al unir esos puntos con los vértices del triángulo?. Comprueba tu conjetura midiendo con el compás y usando el transportador. CUADRADO Y OCTÓGONO a) Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro y traza dos diámetros perpendiculares. Puedes construir un cuadrado inscrito en dicha circunferencia?. b) Traza las mediatrices de cada lado del cuadrado y obtén los puntos de corte de estas mediatrices con la circunferencia. Si unes dichos puntos con los vértices del cuadrado, qué figura resulta?. Comprueba tu conjetura usando instrumentos de medida como el compás y el transportador de ángulos. 204

15 Circunferencia y polígonos LIBRO DE ESPEJOS II a) Visualiza con ayuda del libro de espejos polígonos regulares de 8, 10, 12 y 15 lados. b) Calcula el ángulo que deben formar las hojas del libro de espejo para poder ver polígonos con 8, 10, 12 y 15 lados. c) También se puede visualizar un polígono regular poniendo uno de los lados del espejo perpendicularmente al segmento. El ángulo de los espejos es, en este caso, la mitad que en el anterior. Compruébalo para el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono y el hexágono regulares. ESPEJOS Y CERILLAS Cómo tienes que poner las cerillas y los espejos para visualizar un triángulo equilátero? Y un cuadrado? Y un pentágono regular?... POLÍGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA Material: Plantilla con circunferencias divididas en diez arcos iguales en las que se han numerado los puntos de división (ver final del tema). Une los puntos en la circunferencia con segmentos empezando en el número uno. 205

16 Matemáticas 2º ESO Primero hazlo saltando de uno en uno; es decir, une el 1 con el 2, el 2 con el 3, el 3 con el 4 y así sucesivamente... Luego hazlo saltando de dos en dos; es decir, une el 1 con el 3, el 3 con el 5, el 5 con el 7 y asi sucesivamente... A continuación saltando de tres en tres, de cuatro en cuatro,... Haz una figura distinta en cada circunferencia. Hay algo que llame tu atención?. POLÍGONOS REGULARES Y ESTRELLADOS Para qué valores del salto obtenemos polígonos regulares y para qué valores estrellas?. Por qué crees que ocurre esto?. Cuando sabemos, sin dibujar, que se va a obtener un polígono regular no estrellado, podemos anticipar también el número de lados que tendrá?. Cómo?. Puedes dibujar en esta circunferencia (dividida en 10 sectores) un triángulo equilátero?. Por qué?. Qué número de divisiones necesitarías?. Se puede con otro número de divisiones?. Anotemos en una tabla para qué valores del salto se obtienen los mismos polígonos: CIRCUNFERENCIA DIVIDIDA EN 10 ARCOS IGUALES de 1 en 1 - de 9 en 9 de 2 en 2 - de 8 en 8 de 3 en 3 - de 7 en 7 de 4 en 4 - de 6 en 6... Qué regularidad se observa en la tabla?. Por qué se obtienen los mismos polígonos en estos casos?. 206

17 Circunferencia y polígonos ESTRELLAS Y ESPEJOS Con los espejos formando ángulo de 45º y uno de los lados perpendicular al segmento, se forma, como pùedes comprobar, un cuadrado. Pero si colocamos el segmento como aparece en estas figuras, podrás visualizar estrellas de cuatro puntas. Compruébalo. Consigue también visualizar estrellas de tres, cinco, seis,... puntas con los ángulos y posiciones adecuados. USANDO EL GEOPLANO CIRCULAR Observa el geoplano circular de la figura. En él, los clavos están distribuídos sobre una circunferencia o sobre circunferencias concéntricas. Utiliza el geoplano circular y gomas elásticas para visualizar polígonos regulares. Cuántos clavos necesitas en cada caso?. Visualiza diversos polígonos estrellados de distintos tipos en el geoplano circular. Cuántos clavos necesitas en cada caso?. Cuántos polígonos se pueden obtener en un geoplano de 12 clavos?. Y en uno de 17 clavos? 207

18 Matemáticas 2º ESO PENTÁGONOS Y OCTÓGONOS a) Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro. Utiliza un transportador de ángulos para dividir la circunferencia en cinco partes iguales. Después une las divisiones de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, etc y observa los resultados. b) Dibuja otra circunferencia de 10 cm de diámetro y divídela en 10 partes iguales con el transportador. Une después las divisiones de 2 en 2, de 4 en 4, de 6 en 6, etc y compara los resultados con los obtenidos en el apartado (a). c) Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro y divídela en 8 partes iguales con ayuda del transportador de ángulos. Qué polígonos puedes obtener al unir las divisiones de todas las formas posibles?. SIN DIBUJAR Investiga (sin dibujar) qué polígonos puedes obtener en una circunferencia dividida en 12 arcos iguales. DIBUJANDO Dibuja una circunferencia de 10 cm de diámetro y señala su centro. Con ayuda del transportador de ángulos, divide la circunferencia en 12 arcos iguales. 208

19 Circunferencia y polígonos Si unes los puntos consecutivamente, el 1 con el 2, el 2 con el 3, etc, tendrás un dodecágono regular. Si los unieses salteados de dos en dos, el 1 con el 3, el 3 con el 5, etc, qué obtendrías?. Cómo conseguirás un triángulo equilátero?. Puedes obtener algún otro polígono regular no estrellado?. POLÍGONOS REGULARES Y DIVISIBILIDAD Comprueba si es o no cierto lo que se afirma en la siguiente tabla: Dividida la circunferencia en Se obtienen polígonos regulares uniendo los puntos de 1 en 1 10 partes iguales de 2 en 2 de 5 en 5 de 1 en 1 de 2 en 2 12 partes iguales de 3 en 3 de 4 en 4 de 6 en 6 Mientras que de otra forma se obtienen polígonos estrellados. Fíjate otra vez: Estos números tienen una propiedad muy importante. A ver si la descubres. Investiga otros casos e intenta dar un resultado general. NUEVE LADOS Dibuja un polígono regular estrellado de 9 lados. 209

20 Matemáticas 2º ESO SIETE PARTES Material: plantilla de circunferencia dividida en 7 partes iguales. a) Cuántos grados mide cada uno de los arcos que se forman?. b) Si se unen cada dos puntos de división consecutivos, qué polígono regular se forma?. c) Cuánto mide cada uno de los ángulos centrales de un heptágono regular?. 3. Simetrías en los polígonos SIMETRÍAS a) Utiliza un espejo para encontrar los ejes de simetría de las siguientes figuras: b) Utiliza el libro de espejos para hallar el centro de simetría, si existe, en cada una de las figuras anteriores. 210

21 Circunferencia y polígonos SIMETRÍAS EN EL TRIÁNGULO a) Puedes dibujar un triángulo que sólo tenga un eje de simetría?. Cómo son sus angulos?. b) Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo isósceles?. Y un triángulo equilátero?. c) Aprovechando la simetría de los triángulos isósceles puedes obtener uno de ellos dando dos cortes en un papel plegado. Uno de los cortes ha de ser perpendicular al doblez. d) Repite la experiencia procurando que el segundo corte sea el doble de largo que el primero. Obtendrás así un triángulo equilátero. e) Tiene centro de simetría un triángulo equilátero?. SIMETRÍAS EN LOS CUADRILÁTEROS a) Dibuja un cuadrado de 6 cm de lado. Cuántos ejes de simetría tiene?. Dibújalos. Tiene centro de simetría?. Comprueba tus afirmaciones recortando el cuadrado y plegando el papel. b) Dibuja un rectángulo de lados 4 cm y 6 cm. Con ayuda de un espejo localiza sus ejes de simetría. Cuál es su centro de simetría?. Comprueba tus respuestas recortando y plegando papel. 211

22 Matemáticas 2º ESO c) Cuántos ejes de simetría tiene un rombo? Y un romboide?. d) Cuántos ejes de simetría tiene un cometa?. Y un trapecio isósceles? e) Tienen centro de simetría los paralelogramos?. f) Dibuja un trapecio con un eje de simetría. Compruébalo recortándolo y plegándolo. g) Construye un cuadrilátero no trapecio que tenga un eje de simetría. Puedes conseguirlo dando dos cortes a un papel plegado. Hazlo de distintas formas. h) Puedes dibujar un cuadrilátero que tenga tres ejes de simetría, pero no cuatro?. i) Se puede dibujar un cuadrilátero con sólo dos ejes de simetría que no sean perpendiculares?. SIMETRÍAS EN LOS POLÍGONOS REGULARES a) Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono regular?. Dibuja los tres polígonos utilizando plantillas si es preciso y señala en cada uno sus ejes de simetría. b) Cuántos ejes de simetría tedrá un hexágono regular? Y un octógono regular?. Y un polígono regular de 12 lados?. 212

23 Circunferencia y polígonos c) Construye con regla y compás un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Recórtalo y, plegando, señala sus ejes de simetría. Haz el mismo ejercicio con un hexágono regular de 6 cm de lado. d) Dibuja una figura con 6 ejes de simetría que no sea un hexágono regular. Para ello utiliza el libro de espejos y una plantilla, si es preciso. DODECÁGONO REGULAR a) El dodecágono regular es un polígono regular de 12 lados. Cuál es el ángulo central de este polígono?. Construye un dodecágono regular de 2 cm de lado. Para ello hay que construir, en primer lugar, un dodecágono regular cualquiera, lo que podrás conseguir si trazas una circunferencia de cualquier radio y, con ayuda del transportador de ángulos la divides en 12 partes iguales. Después, basta ampliar los lados del dodecágono obtenido hasta que midan 2 cm. Observa la figura!. b) Cuántos ejes de simetría tiene el polígono que has construido en el apartado anterior?. Tiene centro de simetría?. 213

24 Matemáticas 2º ESO SIMETRÍAS EN POLÍGONOS ESTRELLADOS a) Usando una plantilla, dibuja un pentágono regular y construye luego otro cuyo lado sea el doble. Traza el correspondiente pentágono estrellado uniendo los vértices de 2 en 2. Investiga con un espejo cuántos ejes de simetría tiene la figura obtenida. Tiene centro de simetría?. b) Dibuja un octógono regular de 3 cm de lado. Si es preciso, usa el método visto en el problema anterior. A continuación dibuja el correspondiente octógono estrellado uniendo los vértices de 3 en 3. Utilizando un espejo investiga cuántos ejes de simetría tiene la figura obtenida. Tiene centro de simetría?. ADOSADOS Esta figura es el resultado de adosar un hexágono regular y un cuadrado. Cuántos ejes de simetría tiene?. Dibújala y señala los ejes de simetría. Indica si tiene o no centro de simetría. SOBRE SIMETRÍAS Si una figura tiene dos ejes de simetría perpendiculares, el punto de corte de estos ejes es centro de simetría?. Investiga buscando figuras con dos ejes de simetría perpendiculares. Redacta tus conclusiones. 214

25 Circunferencia y polígonos 4. Longitud de la circunferencia y superficie del círculo LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Cómo podemos medir la longitud de una circunferencia?. Mide las circunferencias que puedas hallar en los siguientes objetos y completa la tabla siguiente: CD botella plato rueda aro d L L / d A la vista de la tabla, sabrías decir cuál es la longitud aproximada de una circunferencia de 10 cm de diámetro sin medirla?. Y de otra de 3 cm de radio?. Tienes una fórmula para calcular la longitud de cualquier circunferencia?. Observa que para cualquier circunferencia, el cociente L / d se mantiene constante y es un poquito más de 3. Este número se llama número y tiene infinitas cifras decimales que no forman periodo: = 3' En la práctica se toman aproximaciones de este número. Por ejemplo, = 3 14, = 3 142, = La longitud de la circunferencia es: L = d O bien, teniendo en cuenta que el diámetro es el doble del radio: L = 2 r BOTE DE TENIS Material: un bote cilíndrico de tres pelotas de tenis. Contesta sin medir: qué mide más, la altura del bote o la circunferencia de la base?. Compruébalo y da una explicación de lo que ocurre. 215

26 Matemáticas 2º ESO TRIPLICAR EL RADIO a) Calcula la longitud de una circunferencia de 2 cm de radio y la longitud de otra circunferencia de triple radio que la anterior. b) En cuanto aumenta la longitud de una circunferencia cuando su radio se triplica?. RADIO DE LA TIERRA Averigua la longitud del radio de la Tierra, suponiendo que el ecuador terrestre es circular y mide cuarenta mil kilómetros. COCHE Qué distancia recorre un coche cuyas ruedas miden 68 cm de diámetro y giran sin patinar 2500 vueltas?. CIRCUNFERENCIA INSCRITA Sabiendo que el lado del cuadrado mide 30 cm, calcula la longitud de la circunferencia inscrita. 216

27 Circunferencia y polígonos POLEAS Averigua la longitud de la correa que une dos poleas de 35 cm de diámetro cuyos centros distan 2 35 metros. SUPERFICIE DEL CÍRCULO Material: círculos dibujados sobre papel milimetrado. Calcula la superficie aproximada de los siguientes círculos. Completa usando tus datos la siguiente tabla: 217

28 Matemáticas 2º ESO RADIO (r) SUPERFICIE ESTIMADA (S) S / r 2 Qué fórmula utilizarías para hallas la superficie de cualquier círculo conociendo su radio?. En la tabla anterior has observado que el cociente S / r 2 se mantiene constante y es un poquito mayor que 3, es decir, se trata del número. Por lo tanto, la superficie del círculo es: S = r 2 En efecto, si dividimos el círculo en un número cada vez mayor de sectores iguales como se indica en las siguientes figuras, el círculo es equivalente (tiene la misma superficie) que un paralelogramo de base r y altura r. Usando la fórmula que da el área de un paralelogramo obtenemos S = r r = r 2 218

29 Circunferencia y polígonos CALCULA ÁREAS En cada figura, calcula el área de la zona coloreada. a) b) c) d) e) f) En la última figura los arcos AB y CD son semicircunferencias. 219

30 Matemáticas 2º ESO MESAS a) Una mesa está formada por una parte central cuadrada de un metro de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Cuál es el área de la mesa?. b) Calcula el radio de una mesa circular para doce personas, sabiendo que cada una de ellas ocupa un arco de 75 cm. PISTA DE ATLETISMO En la siguiene figura tienes las dimensiones de una pista de atletismo. Cuál es la longitud total de la pista?. Cuál es la superficie total del terreno que ocupa?. FLORES a) Calcula el perímetro y el área de la zona coloreada 220

31 Circunferencia y polígonos b) Cuál es la superficie de la flor? CUATRO CABRAS En un prado cuadrado de 100 m de lado hay cuatro cabras, cada una atada a una esquina con una cuerda de 50 m. Cuál es la superficie a la que no alcanzan las cabras?. MÁXIMA ÁREA A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar de la circunferencia. Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?. 221

32 Matemáticas 2º ESO VACAS PASTANDO Las vacas son animales bastante pacíficos, pero las de esta historia se han vuelto violentas y agresivas. Tienes un campo donde has de dejarlas pastando, atada cada una a un poste. Cómo colocarías los postes para que no se peleen por el pasto y se aproveche el campo lo más posible?. JARRÓN Cuánto vale el área de la figura sombreada?. Los cuatro círculos son iguales y sus centros ocupan los vértices de un cuadrado. 222

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos

EL TRIÁNGULO. Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos EL TRIÁNGULO 1. EL TRIÁNGULO. PRIMERAS PROPIEDADES El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades

Más detalles

Actividades con Geoplano

Actividades con Geoplano Descripción General Actividades con Geoplano El Geoplano es un arreglo rectángular de puntos (clavos) de tal manera que entre puntos adyacentes horizontal o verticalmente hay una distancia constante. En

Más detalles

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones

Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones Tema 1: Cuerpos geométricos. Aplicaciones 1.- los polígonos. Un polígono es un trozo de plano limitado por una línea poligonal (sin curvas) cerrada. Es un polígono No son polígonos Hay dos clases de polígonos:

Más detalles

8 GEOMETRÍA DEL PLANO

8 GEOMETRÍA DEL PLANO EJERIIOS PROPUESTOS 8.1 alcula la medida del ángulo que falta en cada figura. a) 6 b) 145 15 105 160 130 a) En un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180. p 180 90 6 8 El ángulo mide 8.

Más detalles

1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS

1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS 1º ESO CAPÍTULO 9: LONGITUDES Y ÁREAS LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es Revisores: Javier Rodrigo y Raquel Hernández Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF 19 Índice 1. PERÍMETROS Y ÁREAS

Más detalles

1.- LA CIRCUNFERENCIA Es una línea curva, cerrada y plana en la que todos sus puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro.

1.- LA CIRCUNFERENCIA Es una línea curva, cerrada y plana en la que todos sus puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro. 1.- LA CIRCUNFERENCIA Es una línea curva, cerrada y plana en la que todos sus puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro. 2.- ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA: *Centro: Punto central.

Más detalles

1.- LÍNEAS POLIGONALES Y POLÍGONOS.

1.- LÍNEAS POLIGONALES Y POLÍGONOS. 1.- LÍNEAS POLIGONALES Y POLÍGONOS. Línea poligonal.- Una línea poligonal está formada por varios segmentos consecutivos. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Polígono.- Es la región

Más detalles

13 LONGITUDES Y ÁREAS

13 LONGITUDES Y ÁREAS 1 LONGITUDES Y ÁREAS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a),5 cm b) cm cm cm cm a) p,5 8 5 1 cm b) p 9 cm 1. Halla el perímetro de estas figuras. a) Un cuadrado de

Más detalles

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto?

GEOMETRÍA. 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? GEOMETRÍA 307. Cuántas cajitas de 5 cm de largo, 1 cm de fondo y 3 cm de alto, caben en una caja de 28 cm de lago por 18 cm de fondo y 50 cm de alto? A) 740 B) 840 C) 540 D) 640 308. El largo de un rectángulo

Más detalles

Qué son los cuerpos geométricos?

Qué son los cuerpos geométricos? Qué son los cuerpos geométricos? Definición Los cuerpos geométricos son regiones cerradas del espacio. Una caja de tetrabrick es un ejemplo claro de la figura que en matemáticas se conoce con el nombre

Más detalles

CENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS

CENAFE MATEMÁTICAS POLÍGONOS POLÍGONOS Es la porción del plano comprendida dentro de una línea poligonal cerrada. Es la superficie del plano limitada por una línea poligonal. La medida de un polígono es su área. Criterios de clasificación:

Más detalles

Movimientos en el plano

Movimientos en el plano 7 Movimientos en el plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar el concepto de vector como elemento direccional del plano. Reconocer los movimientos principales en el plano: traslaciones, giros

Más detalles

a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta.

a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. POLIEDROS Ejercicio nº 1.- a De los siguientes cuerpos geométricos, di cuáles son poliedros y cuáles no. Razona tu respuesta. b Cuál es la relación llamada fórmula de Euler que hay entre el número de caras,

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1 PÁGINA 180 EJERCICIOS Semejanza de figuras 1 Sobre un papel cuadriculado, haz un dibujo semejante a este ampliado al triple de su tamaño: 2 En un mapa a escala 1 :50 000 la distancia entre dos pueblos,

Más detalles

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes

MÓDULO Nº 4. Nivelación. Matemática 2005. Módulo Nº4. Contenidos. Circunferencia y Círculo Volúmenes MÓDULO Nº 4 Nivelación Matemática 2005 Módulo Nº4 Contenidos Circunferencia y Círculo Volúmenes Nivelación Circunferencia y Círculo Circunferencia. Es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad

Más detalles

TEMA 5: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

TEMA 5: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO TEMA 5: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN... 1 2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO... 1 3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS... 3 4. ÁNGULOS EN

Más detalles

6. VECTORES Y COORDENADAS

6. VECTORES Y COORDENADAS 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2 1. TRASLACIONES. VECTORES

Más detalles

1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado,

1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado, FICHA 1: Teorema de Pitágoras 1. Aplicar el teorema de Pitágoras para responder a las siguientes cuestiones (y hacer un dibujo aproximado, cuando proceda): a) Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Más detalles

LA MATEMÁTICA DEL TELEVISOR

LA MATEMÁTICA DEL TELEVISOR LA MATEMÁTICA DEL TELEVISOR ADRIANA RABINO Y PATRICIA CUELLO 1. Las publicidades, por lo general, describen el tamaño de las pantallas de TV dando la longitud de su diagonal en pulgadas (1 = 2,47 cm).

Más detalles

Matemáticas 1º ESO. 1. Instrumentos geométricos. 2. Ángulos y tiempo. 3. Triángulos. 4. Cuadriláteros. 5. Polígonos. 6.

Matemáticas 1º ESO. 1. Instrumentos geométricos. 2. Ángulos y tiempo. 3. Triángulos. 4. Cuadriláteros. 5. Polígonos. 6. 6 Figuras planas Matemáticas 1º ESO 1. Instrumentos geométricos 2. Ángulos y tiempo 3. Triángulos 4. Cuadriláteros 5. Polígonos 6. Circunferencia 208 Figuras planas 1. Instrumentos geométricos REGLA Y

Más detalles

PROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS Estímulo del talento matemático

PROYECTO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS Estímulo del talento matemático PROYECTO DE L REL CDEMI DE CIENCIS Estímulo del talento matemático Prueba de selección 8 de junio de 2013 Nombre:... pellidos:... Fecha de nacimiento:... Teléfonos:... Información importante que debes

Más detalles

4.- Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) y B=(0,-2). Sol: x-3y-6=0.

4.- Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) y B=(0,-2). Sol: x-3y-6=0. Tipos de rectas. Vector director. Pendiente. Paralelas y perpendiculares. 1.- Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos A=(3,2) y B=(1,-1). Sol: (x,y)=(3,2)+t(2,3);

Más detalles

GEOMETRÍA CON LA CLASSPAD 300

GEOMETRÍA CON LA CLASSPAD 300 8. GEOMETRÍA CON LA CLASSPAD 300 LA APLICACIÓN GEOMETRÍA Para acceder a la aplicación para trabajar con distintas construcciones geométricas bastará con pulsar el icono correspondiente a Geometry en el

Más detalles

La circunferencia y el círculo

La circunferencia y el círculo 10 La circunferencia y el círculo Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar los diferentes elementos presentes en la circunferencia y el círculo. Conocer las posiciones relativas de puntos,

Más detalles

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V)

DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) ÍNDICE Página: 1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS.. 2 2 TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES 4 3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS 5 3.1 CIRCUNFERENCIAS FOCALES 6 3.2

Más detalles

TEMA 8: TRAZADOS GEOMÉTRICOS

TEMA 8: TRAZADOS GEOMÉTRICOS EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL 3º DE LA E.S.O. TEMA 8: TRAZADOS GEOMÉTRICOS En dibujo técnico, es fundamental conocer los trazados geométricos básicos para construir posteriormente formas o figuras de mayor

Más detalles

TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Tema 6 Semejanza de triángulos Matemáticas - 4º ESO 1 TEMA 6 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ESCALAS EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden,5 cm y,7 cm, respectivamente; en la realidad, María

Más detalles

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta

PROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,

Más detalles

Recta, semirrecta y segmento

Recta, semirrecta y segmento TRIÁNGULO CUADRILÁTEROS CIRCUNFERENCIA POLÍGONO Matemáticas del día a día 1 Recta, semirrecta y segmento Recta. Es una sucesión infinita de puntos que tienen la misma dirección. La recta no tiene ni principio

Más detalles

Polígonos, perímetros y áreas

Polígonos, perímetros y áreas 9 Polígonos, perímetros y áreas Objetivos Antes de empezar En esta quincena aprenderás a: Reconocer, representar e identificar los elementos geométricos que caracterizan a diferentes polígonos. Construir

Más detalles

Problemas geométricos

Problemas geométricos 8 Problemas geométricos Objetivos En esta quincena aprenderás a: Aplicar las razones trigonométricas para estudiar las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de las figuras planas. Calcular

Más detalles

5 Geometría analítica plana

5 Geometría analítica plana Solucionario Geometría analítica plana ACTIVIDADES INICIALES.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, ) y B(8, ). El punto medio es M(, 8)..II. Dibuja un triángulo isósceles

Más detalles

Cuadernillo de actividades

Cuadernillo de actividades Construyendo con Geogebra II Jornadas sobre Geogebra en Andalucía Abril 2011 Actividades para el Taller: Construyendo con EVA COSTA GAVILÁN Mª TRINIDAD CASTILLO CARA Mª ÁNGELES MARTÍN TAPIAS Cuadernillo

Más detalles

Duplicación de segmentos yángulos

Duplicación de segmentos yángulos LECCIÓN CONDENSD 3.1 Duplicación de segmentos yángulos En esta lección prenderás lo que significa crear una construcción geométrica Duplicarás un segmento usando una regla no graduada y un compás, y usando

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS. Según los lados. Triángulos. Según los ángulos. Paralelogramo. Cuadriláteros.

CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS. Según los lados. Triángulos. Según los ángulos. Paralelogramo. Cuadriláteros. CLASIFICACIÓN DE LAS FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS Equilátero Polígonos Según los lados Isósceles Figuras geometrícas Nombre según los lados 3-Triángulo 4-Cuadrilátero 5-Pentágono 6-Hexágono 7-Heptágono

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo)

XLIV Olimpiada Matemática Española Fase nacional 2008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (28 de marzo) Fase nacional 008 (Valencia) PRIMERA SESIÓN (8 de marzo).- Halla dos enteros positivos a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo. Aplícalo en el caso de ue la suma sea 97 y el mínimo común múltiplo

Más detalles

Cuerpos geométricos. Objetivos. Antes de empezar. 1. Poliedros...pág. 138 Definición Elementos de un poliedro

Cuerpos geométricos. Objetivos. Antes de empezar. 1. Poliedros...pág. 138 Definición Elementos de un poliedro 8 Cuerpos geométricos. Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar que es un poliedro. Determinar los elementos de un poliedro: Caras, aristas y vértices. Clasificar los poliedros. Especificar

Más detalles

Sistema Diédrico (I). Verdadera magnitud. Abatimientos

Sistema Diédrico (I). Verdadera magnitud. Abatimientos Sistema Diédrico (I). Verdadera magnitud. Abatimientos Cuando dibujamos las proyecciones diédricas (planta, alzado y perfil) de una figura, superficie, sólido, etc.., observamos cómo sus elementos (aristas

Más detalles

IX Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

IX Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRUE POR EQUIPOS 1º y 2º de E.S.O. (45 minutos) 1.- Hallad todos los valores de p y q para que el número de cinco cifras p 5 4 3 q sea múltiplo de 36. 2.- ompleta el siguiente crucinúmeros en el que, como

Más detalles

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO)

TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA. 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) TEMA 1: REPRESENTACIÓN GRÁFICA 0.- MANEJO DE ESCUADRA Y CARTABON (Repaso 1º ESO) Son dos instrumentos de plástico transparente que se suelen usar de forma conjunta. La escuadra tiene forma de triángulo

Más detalles

Áreas de figuras planas (I) (p. 107)

Áreas de figuras planas (I) (p. 107) Tema 3: Áreas de figuras planas (I) (p. 107) El cálculo del área de regiones planas está en el origen de las matemáticas. (Egipto, el Nilo y sus crecidas). El proceso de medida de áreas es el mismo que

Más detalles

TORNEO DE LAS CUENCAS. 2013 Primera Ronda Soluciones PRIMER NIVEL

TORNEO DE LAS CUENCAS. 2013 Primera Ronda Soluciones PRIMER NIVEL TORNEO DE LAS CUENCAS 2013 Primera Ronda Soluciones PRIMER NIVEL Problema 1- La figura adjunta está formada por un rectángulo y un cuadrado. Trazar una recta que la divida en dos figuras de igual área.

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de ádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTIAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 5 La circunferencia Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González

Más detalles

TEMA 2. HERRAMIENTAS DE GeoGebra

TEMA 2. HERRAMIENTAS DE GeoGebra TEMA 2. HERRAMIENTAS DE GeoGebra INTRODUCCIÓN Herramientas como Punto, Circunferencia, Segmento, Tangente, entre otras, se han utilizado en las actividades propuestas en el capítulo anterior, para realizar

Más detalles

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003

Examen de Matemáticas 2 o de Bachillerato Mayo 2003 Examen de Matemáticas o de Bachillerato Mayo 00 1. Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea el doble del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor

Más detalles

APU TES Y EJERCICIOS DEL TEMA 9 PROPORC. GEOMÉTRICA. THALES. ESCALA.

APU TES Y EJERCICIOS DEL TEMA 9 PROPORC. GEOMÉTRICA. THALES. ESCALA. APU TES Y DEL TEMA 9 PROPORC. GEOMÉTRICA. THALES. ESCALA. 1-T 9--2ºESO RECORDATORIO INICIAL: Antes de empezar de lleno con este tema, os digo que, ocasionalmente, se van a trabajar ciertos conceptos que

Más detalles

TIPOS DE RESTRICCIONES

TIPOS DE RESTRICCIONES RESTRICCIONES: Las restricciones son reglas que determinan la posición relativa de las distintas geometrías existentes en el archivo de trabajo. Para poder aplicarlas con rigor es preciso entender el grado

Más detalles

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

8 GEOMETRÍA ANALÍTICA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCICIOS PROPUESTOS 8. Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(, ); B(, 5); C(6, 5), y D(6, ). Halla las coordenadas y representa los vectores AB, BC, CD y DA. Qué

Más detalles

El Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras LECCIÓN CONDENSADA 9.1 El Teorema de Pitágoras En esta lección Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo

Más detalles

Estalmat - Andalucía Oriental Más triángulos

Estalmat - Andalucía Oriental Más triángulos Estalmat - Andalucía Oriental Más triángulos Pascual Jara y Ceferino Ruiz 20 de octubre de 2007. 1.- La Recta de Euler 1 En un triángulo cualquiera ABC, dibuja el Baricentro G, el Ortocentro H y el Circuncentro

Más detalles

Áreas de rectángulos y paralelogramos

Áreas de rectángulos y paralelogramos LECCIÓN CONDENSADA 8.1 Áreas de rectángulos y paralelogramos En esta lección Revisarás la fórmula del área de un rectángulo Usarás la fórmula del área de un rectángulo para encontrar las áreas de otras

Más detalles

Bisectrices. Incentro.

Bisectrices. Incentro. 78 CAPÍTULO 7: GEOMETRÍA DEL PLANO. Matemáticas 3º de ESO 1. LUGARES GEOMÉTRICOS Muchas veces definimos una figura geométrica como los puntos del plano que cumplen una determinada condición. Decimos entonces

Más detalles

XIII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid

XIII Concurso Intercentros de Matemáticas de la Comunidad de Madrid PRU POR QUIPOS 1º y 2º de.s.o. (45 minutos) 1. n el triángulo dibujamos tres paralelas a la base que dividen a la altura sobre dicho lado en cuatro partes iguales. Si el área del trapecio rayado es 35

Más detalles

KIG: LA GEOMETRÍA A GOLPE DE RATÓN. Asesor de Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones

KIG: LA GEOMETRÍA A GOLPE DE RATÓN. Asesor de Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones KIG: LA GEOMETRÍA A GOLPE DE RATÓN Asesor de Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones GNU/LINEX Mariano Real Pérez KIG KDE Interactive geometry (Geometría interactiva de KDE) es una aplicación

Más detalles

9 Geometría. analítica. 1. Vectores

9 Geometría. analítica. 1. Vectores 9 Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por

Más detalles

Análisis de propuestas de evaluación en las aulas de América Latina

Análisis de propuestas de evaluación en las aulas de América Latina Este trabajo de evaluación tiene como objetivo la caracterización de figuras del espacio. Para ello el alumno debe establecer la correspondencia entre la representación de la figura y algunas de sus propiedades.

Más detalles

Preparación para la XLVII Olimpiada Matemática Española (II) Soluciones

Preparación para la XLVII Olimpiada Matemática Española (II) Soluciones Preparación para la XLVII Olimpiada Matemática Española (II) Soluciones Eva Elduque Laburta y Adrián Rodrigo Escudero 5 de noviembre de 010 Problema 1. Construir un triángulo conocidos 1. un lado, su ángulo

Más detalles

8 Geometría. analítica. 1. Vectores

8 Geometría. analítica. 1. Vectores Geometría analítica 1. Vectores Dibuja en unos ejes coordenados los vectores que nacen en el origen de coordenadas y tienen sus extremos en los puntos: A(, ), B(, ), C(, ) y D(, ) P I E N S A C A L C U

Más detalles

ESTALMAT-Andalucía. Geometría dinámica con Cabri. Sesión 16

ESTALMAT-Andalucía. Geometría dinámica con Cabri. Sesión 16 Geometría dinámica con Cabri Sesión 16 SAEM THALES Material recopilado y elaborado por: Encarnación Amaro Parrado Agustín Carrillo de Albornoz Torres Granada, 8 de marzo de 2008-2 - Actividades de repaso

Más detalles

k) x - 5 + 6 = 11 l) 5x - 2 = 3x - 1 m) 2x - 3 = 4x - 7 n) 5x + 4 = 6x + 3 ñ) 6x - 1 = 8x - 5 o) 3x + 10 = 5x - 6 p) 4x + 1 = 9x - 64

k) x - 5 + 6 = 11 l) 5x - 2 = 3x - 1 m) 2x - 3 = 4x - 7 n) 5x + 4 = 6x + 3 ñ) 6x - 1 = 8x - 5 o) 3x + 10 = 5x - 6 p) 4x + 1 = 9x - 64 Tema : Ecuaciones Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado: a) b) c) 0 9 d) - e) f) g) 0 h) i) - j) k) - l) - - m) - - n) ñ) - - o) 0 - p) 9 - q) 9 - r) - 0 s) - - Resolver las siguientes ecuaciones

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

LAS FUNCIONES ELEMENTALES UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes

Más detalles

EJERCICIOS SOBRE : DIVISIBILIDAD

EJERCICIOS SOBRE : DIVISIBILIDAD 1.- Múltiplo de un número. Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces. De otra forma sería: un número es múltiplo de otro cuando la división del primero entre el segundo

Más detalles

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO UNIDAD 6 RECTA Y PLANO EN EL EPACIO Página 1 1. Puntos alineados en el plano Comprueba que los puntos A (, ), B (8, ) y C (1, ) no están alineados. A (, ) B (8, ) C (1, ) AB = (, 1); BC = (, ) No tienen

Más detalles

5º de E. Primaria LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS -TEMA 15

5º de E. Primaria LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS -TEMA 15 LOS POLIEDROS Los poliedros son cuerpos geométricos que tienen todas sus caras formadas por polígonos. Muchos objetos de nuestro alrededor tienen forma de poliedro: Los elementos de un poliedro son caras,

Más detalles

Tema 8: Problemas con ecuaciones y sistemas. INTENTA RESOLVER TODOS ESTOS PROBLEMAS PLANTEANDO UNA ECUACIÓN

Tema 8: Problemas con ecuaciones y sistemas. INTENTA RESOLVER TODOS ESTOS PROBLEMAS PLANTEANDO UNA ECUACIÓN Matemáticas Ejercicios Tema 8 3º ESO Bloque II: Álgebra Tema 8: Problemas con ecuaciones y sistemas. INTENTA RESOLVER TODOS ESTOS PROBLEMAS PLANTEANDO UNA ECUACIÓN 1.- La base de un rectángulo mide 8 cm

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas

b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas b1ct Propuesta Actividades Recuperación Matemáticas Bloque Números 1 Resuelve: a. Si tomas como valor de 11. 1 la aproximación. 1, qué errores absoluto y relativo has cometido?. Solución: 0. 000; 0. 0%

Más detalles

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio nº 1.- a) Resuelve por sustitución: 5x y 1 3x 3y 5 b) Resuelve por reducción: x y 6 4x 3y 14 Ejercicio nº.- a) Resuelve por igualación: 5x y x y b) Resuelve

Más detalles

TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES

TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES TEMA 9: FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán 1. INTRODUCCIÓN...1 2. SUPERFICIES POLIÉDRICAS. POLIEDROS...1 3. FIGURAS DE REVOLUCIÓN...3 4. POLIEDROS

Más detalles

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID TIEMPO: INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN 120 minutos. INSTRUCCIONES: La prueba consiste en la realización de cinco ejercicios, a elegir entre dos opciones, denominadas A y B. El alumno realizará una

Más detalles

Qcad. Es un programa de diseña asistido por ordenador en 2 dimensiones.

Qcad. Es un programa de diseña asistido por ordenador en 2 dimensiones. Qcad Es un programa de diseña asistido por ordenador en 2 dimensiones. 1. La ventana del Qcad Barra de títulos Barra de menús Barra de herramientas Área de dibujo Barra de herramientas de dibujo Barra

Más detalles

UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte)

UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte) UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte) De manera intuitiva, el volumen de un objeto es el espacio que él ocupa. El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto dependerá del estado en que se encuentre:

Más detalles

Lección 20: Gráficas de frecuencia

Lección 20: Gráficas de frecuencia Lección : Gráficas de frecuencia En la lección anterior vimos cómo organizar en una tabla de frecuencias, un conjunto de datos que contiene la información sobre alguna variable. Esas tablas permiten una

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas

Geometria Analítica Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 1. Verificar las identidades siguientes: 1) P (3, 3), Q( 1, 3), R(4, 0) Laboratorio #1 Sistemas de Coordenadas 2) O( 10, 2), P ( 6, 3), Q( 5, 1) 2. Demuestre que los puntos dados forman un triángulo isósceles.

Más detalles

III. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA II: TRIÁNGULOS. DOCU- MENTACIÓN PARA EL TALLER 1

III. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA II: TRIÁNGULOS. DOCU- MENTACIÓN PARA EL TALLER 1 III. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA II: TRIÁNGULOS. DOCU- MENTACIÓN PARA EL TALLER 1 Edelmira Badillo y Mequè Edo Actividad 1. Familiarización e introducción al tema de triángulo Actividad 2. Definición de

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO TEÓRICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 2014 RECTAS - EJERCICIOS TEÓRICOS 1- Demostrar que la ecuación

Más detalles

Tema 8: Intersección de superficies. Aplicaciones al dibujo técnico.

Tema 8: Intersección de superficies. Aplicaciones al dibujo técnico. Tema 8: Intersección de superficies. plicaciones al dibujo técnico. Consideraciones generales. El proceso para obtener la intersección de dos superficies S y S2, se desarrolla como sigue (figura ):. Por

Más detalles

Ajuste de objetos en CorelDRAW 12: justo lo que necesitas. Por Steve Bain

Ajuste de objetos en CorelDRAW 12: justo lo que necesitas. Por Steve Bain Ajuste de objetos en CorelDRAW 12: justo lo que necesitas. Por Steve Bain Si alguna vez has acabado frustrado, después de intentar sin éxito alinear tu cursor con un objeto o con un nodo, puedes estar

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. 3 rad x x 2. 4 rad d) 2 rad

EJERCICIOS PROPUESTOS. 3 rad x x 2. 4 rad d) 2 rad TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS PROPUESTOS.. Indica la medida de estos ángulos en radianes. a) º c) º b) º d) º a) º rad c) rad º rad b) rad º rad d) rad rad º º Epresa en grados los siguientes ángulos. a) rad

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

sólido geométrico superficie línea punto figura geométrica congruentes geometría plano línea recta recta

sólido geométrico superficie línea punto figura geométrica congruentes geometría plano línea recta recta 1. FIGURS GEOMÉTRICS. La parte del espacio que ocupa un objeto físico se llama un sólido geométrico. Un sólido geométrico está separado del espacio circundante por una superficie. Una parte de la superficie

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

TEMA 1: DISEÑO Y DIBUJO DE OBJETOS.

TEMA 1: DISEÑO Y DIBUJO DE OBJETOS. TEMA 1: DISEÑO Y DIBUJO DE OBJETOS. Francisco Raposo Tecnología 3ºESO 1. LA REPRESENTACIÓN DE OBJETOS 1.1.EL DIBUJO TÉCNICO Es una de las técnicas que se utilizan para describir un objeto, con la intención

Más detalles

UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES.

UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES. UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES. Unidad 10: Proporcionalidad geométrica. Teorema de Tales. Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... Reconocer figuras semejantes.

Más detalles

Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas

Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas Primer Simposio Latinoamericano para la integración de la tecnología en el aula de ciencias y matemáticas PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1.-Entre todos los rectángulos de perímetro 10 cm. encontrar el de mayor

Más detalles

TÉCNICAS GRÁFICAS FUNDAMENTALES.- EJERCICIOS PROPUESTOS

TÉCNICAS GRÁFICAS FUNDAMENTALES.- EJERCICIOS PROPUESTOS TÉCNICAS GRÁFICAS FUNDAMENTALES.- EJERCICIOS PROPUESTOS Los siguientes ejercicios tienen el propósito de hacer que el estudiante use las construcciones geométricas fundamentales y además adquiera práctica

Más detalles

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133

6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 133 PÁGINA 33 Pág. P RACTICA Comprueba si x =, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: x y = 4 3x 4y = 0 a) b) 5x + y = 0 4x + 3y = 5 x y = 4 a) ( ) = 5? 4 No es solución. 5x + y = 0 5 =

Más detalles

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8 Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

ELIMINATORIA, 26 de abril de 2011

ELIMINATORIA, 26 de abril de 2011 ELIMINATORIA, 26 de abril de 2011 PROBLEMAS 1.- Si usas un juego de imanes para armar prismas, compuesto de tubos para las aristas y esferas de acero para los vértices como se ve en la figura, pero sólo

Más detalles

Talento Matemático 2002/2003. Real Academia de Ciencias

Talento Matemático 2002/2003. Real Academia de Ciencias Volvemos al hermoso tema de la simetría. Además de la imágenes de multitud de objetos y de seres vivos que poseen simetrías recuerdas en qué consistía una simetría desde el punto de vista matemático?,

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 OPCIÓN A

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID. PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 OPCIÓN A UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBAS DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) Curso 2001-2002 MATERIA: DIBUJO TÉCNICO Junio Septiembre R1 R2 INSTRUCCIONES GENERALES La prueba consiste

Más detalles

Geometría del plano. Objetivos. Antes de empezar

Geometría del plano. Objetivos. Antes de empezar 8 Geometría del plano Objetivos En esta quincena aprenderás a: Conocer los elementos del plano. Conocer las rectas y sus propiedades. Manipular rectas y otros elementos relacionados con ellas. Conocer

Más detalles

Explica tu respuesta.

Explica tu respuesta. G.MG.6.8.3 Describe y aplica las relaciones de paralelismo, perpendicularidad y simetría en el mundo real. Ejemplo: Si dos calles se intersecan, son perpendiculares? Explica tu respuesta. Rectas paralelas:

Más detalles