1) (-6) + (-8)= 2) (+5) + (+12)= 3) (34) + (16)= 4) (-12) + (-15) + (-6)= 5) (-4) + (-8) + (-6) + (-2)= Reto Individual

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Transcripción

1 Actividad 1: Operación con números enteros. Suma con enteros. Números con signos iguales, se suman y se coloca el signo de los sumandos. Ejemplos: 1) 6 3 = ) ( + 4 ) + (+ 5) + (3) = ) = ) ( - 7 ) + (- 8) = Ejercicios. 1) (-6) + (-8)= 2) (+5) + (+12)= 3) (34) + (16)= 4) (-12) + (-15) + (-6)= 5) (-4) + (-8) + (-6) + (-2)= Reto Individual 1) (+13) + (+19) + (+6) + (+5)= 2) (-8) + (-15) + (-9) + (-6)= 3) (-5) + (-3) + (-8) + (-7)= 4) (-1) + (-9) + (-12) + (-8)= 5) (8) + (+3) + (11) + (+9)= CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 1

2 Resta de números enteros. Los números con signos opuestos o diferentes, se restan y se escribe el resultado con el signo del número mayor al valor absoluto. Ejemplos: 1) = ) 18 4 = 14. 3) (+9) + (-3)= 9 3= 6 4) (+4) + (+5) - (3)= +6 5) (+5) (-8) = (+5) + (+8)=13 Ejercicio. 1) (-5) - (-8)= 2) (-9) - (+6)= 3) (-9) - (+12)= 4) (+6) - (+4)= 5) (+10) (+7)= Reto Individual. 1) (+15) - (-9)= 2) (-6) - (-6)= 3) (24) (15)= 4) (-3) - (+3)= 5) (14) - (+17)= CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 2

3 Multiplicación de números enteros. Leyes de los signos. (+)(+)=+ (-)(-)=- (+)(-)= - (-)(+)= - Ejemplos. 1) (-4)(5)=-20 2) (-13)(-2)=26 3) (50)(-5)=-250 4) (13)(13)=169 Ejercicios. 1) (-7)(-4)= 2) (8)(-3)= 3) (-6)(+5)= 4) (12)(-5)= 5) (160)(3)= Reto Individual 1) (-6)(-1)= 2) (-6)(-8)= 3) (4)(-3)= 4) (0)(5)= 5) (9)(-4)= CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 3

4 División de números enteros. Es la operación que permite hallar un número llamado cociente cuando se conocen otros dos nueros llamados dividendo y divisor. La división se puede representar con los siguientes símbolos: a) Con una caja divisora b) Por medio de dos puntos 49:7 c) Por medio del signo d) Con una raya horizontal 25 dividendo 5 divisor Para la división de números enteros utilizaremos las leyes de los signos: (+) (+)=+ (-) (-)=- (+) (-)= - (-) (+)= - Ejercicios: 1) (54) (-3)= 2) (200) (-40)= 3) (80) (-16)= 4) (210) (-70)= 5) (54) (1)= Reto Individual: 1) (236) (-27)= 2) (-1247) (367)= 3) (-8754) (-39)= 4) (5684) (-673)= 5) (3578) (231)= CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 4

5 Actividad 2: Signos de agrupación o jerarquía de operaciones. Operaciones con signos de agrupación. Para eliminar un signo de agrupación, se debe multiplicar por el número o signo que le antecede, como se muestra a continuación. Ejemplos. 1) (5-3)= = - 2 2) 2{4 6}= 8 12= - 4 Cuando existen varios signos de agrupación, se procede a la eliminación de adentro hacia afuera. 3) {- 4 ( )} = -{24 36} = = 12 4) (5 7) {3 [4( ) ] } = - (5-7) {3 [ ]} = { } = 2 {47 28} = = - 17 Ejercicios. 1) 6 + { 3 [ 4 2 (4 7) ] }= 2) 8 {5 4 [ (5 2) 3]= 3) { [2 5 ( 4 3(4 3) + 2 (7 3) ) ] + 2 } 1= 4) 6 [4 3(4 2)] {7 5[4 2(7 2) ] }= 5) 2 +{ - 3 [7 + 4( ) ] } 4= Reto Individual 1) { [5 4(3 2) + 5(7 8)] 5} 2) 2 ( ) 5 { ( ) [4 (2 + 3)]}= 3) { [- 2 ( ) ]- 4}= 4) ( ) - [(9 + 8) - (9 17]= 5) 8 (6 4) - [7 (8 + 3) - (- 3 7)]= 6) (5+9) - (-4-7-2) + [5(-4) + 3(2-1)]= CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 5

6 Actividad 3: Mínimo común múltiplo. Es el menor de los múltiplos en común de un grupo de números. Calculo del M.C.M Se descompone simultáneamente los números en sus factores primos hasta que el cociente de cada uno de ellos sea la unidad. Ejemplo. Calcular el m.c.m. de 24, 30 y 20 Solución El resultado se obtiene multiplicando los números primos de la derecha como sigue m.c.m (24, 30, 20)= 2*2*2*3*5 = Ejercicios. 1) 9, 18 2) 19, 21 3) 12, 15 4) 30, 15, 60 5) 121, 605, 1210 Reto Individual 1) 80, 120 2) 320, 848 3) 930, ) 54, 360 5) 14, 28, 30, 120 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 6

7 Actividad 4: NUMEROS RACIONALES Fracción común. Si a y b son números enteros, y b es diferente de cero, se llama fracción común a la expresión a, donde a recibe el b nombre de numerador y b el de denominador. En una fracción común el denominador indica el número de partes iguales en que se está dividiendo la unidad y el numerador indica el número de partes que se están tomando de la unidad. Ejemplos. 1. La fracción 3, indica que la unidad se divide en 4 partes iguales, de las cuales se toman únicamente 3 la 4 representación gráfica de esta fracción es: La fracción 5 indica que la unidad se divide en 3 partes iguales, de las cuales deben tomar 5, lo cual no se es 3 posible. Por lo tanto, se toman 2 unidades y se dividen en 3 partes iguales cada una, de la primera se toman las tres partes y de la segunda únicamente 2 para completar las 5 partes indicadas. 5 3 = Ejercicio: Representa gráficamente las siguientes fracciones: 1) 2) 3) 4) 5) CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 7

8 Reto Individual Indica la fracción que representa la parte sombreada de las figuras. 6) 7) 8) 9) + CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 8

9 Actividad 5: OPERACIONES CON FRACCIONES FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR. Se suman o se restan los numeradores y se escribe el denominador común. EJEMPLOS. 1) = 6 4 = 3 2 2) = 2 9 3) = = 1 5 EJERCICIOS. 1) = 2) = 3) = 4) = 5) = Reto Individual 1) = 2) = 3) = 4) = 5) = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 9

10 Fracciones con diferente denominador. Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores, éste se divide por cada uno de los denominadores de las fracciones y se va multiplicando por su correspondiente numerador de la fracciones y se va multiplicando por su correspondiente numerador. Los números que resultan se suman o se restan. 1) = = 13 6 = ) 8 1 = 40 2 = 38 = 19 = ) = = = 12 = Ejercicios. 1) = 2) = 3) = 4) = 5) = Reto Individual 1) = 2) = 3) = 4) = 5) = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 10

11 Multiplicación con fracciones comunes. Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Con números mixtos. Se convierten los números mixtos a fracciones impropias y se procede a multiplicarlos. Ejemplos. 1) = = 2 30 = ) = = = 1 6 3) = = = Ejercicios. 1) = 2) = 3) = 4) = 5) = Reto Individual 1) = 2) = 3) = 4) = 5) = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 11

12 División con fracciones comunes. Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el producto es el numerador de la fracción resultante. Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la siguiente fracción, el producto es el denominador de la fracción resultante Ejemplos. 1. Realiza Solución. Se aplican los pasos y se simplifica el resultado. 2 4 = 2x5 = 10 = x Determina el resultado de a b c a d = b a d c = b c d Solución. Se convierten la fracciones mixtas a impropias y se realiza la división = = 88 = 8 = Por consiguiente: = Ejercicios. 1) = 2) = 3) = 4) = 5) = Reto individual. 6) = 7) = 8) = 9) = 10) = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 12

13 Actividad 6: Potenciación. Es la operación que nos indica el número de veces que se deben multiplicar la base por si misma según lo indique el exponente. a n = a a a. n veces Donde a = base n = exponente Leyes de exponentes. 1) a 0 = 1 5) (a n ) m = a n m 10) a n = 1 a n 2) a 1 = a 6)(a b c) n = a n b n c n 11)a n = 1 a n 3) a n a m = a n+m 7)( a b )n = an 4) a n a m = an m 8)( b n a b ) n = ( b a )n n 12) a = a 1 n Las operaciones con potencias son las que se realizan aplicando la ley de los exponentes. Ejemplos. Simplifica las siguientes expresiones aplicando las leyes de los exponentes. 1) ( 1 3 )2 ( 3 2 ) 3 = ( 1 3 )2 ( 2 3 )3 = ) [ (1 2 )3 ] ( 2 3 ) = [ ] = [ ) [ ] 2 = [ ] Ejercicios. 1) (2 2 ) 2 = (2 = 5 2 ) 2 5] = 23 = = 210 = 1024 (3 2 ) = 3 ( 1)( 2) 5 ( 3 2 )( 2) = = ) (5 2 ) 3 = 3) [( )2 ] = 3 5 4) ( ) = 5) ( ) = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 13

14 Reto individual. 6) [( 1 2 )2 ( )2 ] = 7) = 8) ( 3 2 )2 = 9) [( 3 4 )4 ] 1 2 = 10) = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 14

15 Actividad 7: Raciones y Proporciones. Porcentajes El porcentaje de una cantidad es el número de partes que se toman, de las cien en las que se divide dicha cantidad. Se representa con el símbolo % o en forma de fracción. Ejemplo. El 8% de 48, equivale a tomar 8 centésimas ( 8 = 0.08) de 48. Es decir, se divide 48 en 100 partes y se toman Ejercicios. Representa en forma decimal los siguientes por cientos. 1) 3% 2) 4% 3) 6% 4) 15% 5) 1% 6) 5% 7) 25% 8) 30% 9) 50% Reto individual. 10) 75% 11) 32% 12) 4.5% 13) 0.008% 14) 0.03% CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 15

16 Actividad 8: Proporción directa o regla de tres directa. Definición. Una proporción es directa si al aumentar o disminuir una de las cantidades, la otra también aumenta o disminuye respectivamente. Si m es a n y c es a d, entonces m n = c d Ejemplo. Un automóvil recorre 600 Km en 4 hrs. Cuántos Km. recorrerá en 7 hrs si la velocidad es constante? Sol: 600 Km 4 hrs. x 7 hrs. de esta relación se obtiene: x= (600)(7) = 4200 = 1050 Km (4) 4 Proporción inversa ó regla de tres inversa. Definición. Una proporción es inversa si al aumentar una de las cantidades, la otra disminuye y viceversa. Si m es a n y c es a d, entonces m n=c d Ejemplo. 15 hombres realizan una obra en 8 días. En cuántos días lo harán 20 hombres? Sol: 15 hombres 8 días. 20 hombres x de esta relación se obtiene: Ejercicios. 1) 3 4 = x 8 x= (15)(8) (20) = = 6días 2) 2 a = ) 4 5 = 12 m 4) a 5 = ) 20 x = 6 15 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 16

17 Reto individual. 1) El precio de 25 latas de Aceite es de $ Cuántas latas de aceite se podrán comprar con $ ? 2) Con $ , Arturo compra 250 dulces. Cuántos dulces se podrá comprar con $120.00? 3) Si Miguel gana $ por 20 horas de trabajo. Cuánto ganará por 25 horas? 4) Si un auto hizo 9 horas en un recorrido de 750 km. Qué tiempo emplearía en recorrer 2250 Km? 5) El valor de 25 m 2 de azulejos es de $ Cuántos m 2 de azulejo se comprarán con $15,625.00? CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 17

18 Actividad 9: Ecuaciones de primer grado. En una ecuación (BALANZA), la operación (suma, resta, multiplicación o división) que agregues o quites de un lado de la igualdad =, debes realizar la misma operación del otro lado de la igualdad para seguir manteniendo nivelada la equivalencia. Definición. Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones que involucran constantes y una incógnita, está formada por dos miembros. 1er Miembro = 2do Miembro. Resolver una ecuación de primer grado es hallar el valor de la incógnita, utilizando reglas de despeje. Ejemplo 1. Hallar el valor de la incógnita en la ecuación 8x = 5x + 15 Agrupando los términos con la incógnita en el 1er miembro y los términos independientes en el 2do miembro, se obtiene: 8x 5x = 5x x 8x 5x = 15 3x = 15 3x 3 = 15 3 x = 5 Nota: Cuando al despejar una incógnita, un número multiplica o divide conserva su signo. Ejemplo 2. Hallar el valor de la incógnita en la ecuación 3y 25 = y 5 Solución. y + 3y = y y y = 20 2y 2 = 20 2 y = 10 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 18

19 Ejercicios: 1) 15 2x = 9 2) 6 2x = 14 3) 9 + 3(2 x) = 3 4) x = 2x ) 9 8x = 27 2x Reto individual. 6) 2x + 9 = x + 1 7) 11x 5x + 6 = 24 x 8) 10x 21 = 15 2x 9) 21x 3 = 3x ) 3x 3 x = 4x + 11 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 19

20 Actividad 10: Despejes. Los despejes son las operaciones que nos permiten encontrar el valor de una incógnita en una igualdad (balanza), la cual puede ser una fórmula, ley o principio general, en el que se involucran símbolos. Ejemplos. En la formula A = b h, despejar b. Sol: En este caso b está multiplicada por h, para despejar b, se utiliza la operación contraria que es la división. A = b h A h = b b = A h Despejar c de la formula a 2 = b 2 + c 2 Sol: Las variables que no sean c se transpone al primer miembro y se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros. a 2 = b 2 + c 2 a 2 b 2 = c 2 a 2 b 2 = c 2 a 2 b 2 = c Ejercicios. 1) En la formula PV= nrt, despejar n 2) En m = y 2 y 1 x 2 x 1 despejar x 2 3) Despejar r de A = πr 2 4) En P = 2l + 2ɷ, despejar l 5) En y= mx + b, despejar m Reto individual. 1) Despejar F de C = 5 9 (F-32) 2) Despejar b de A = 1 2 h (B+b) 3) Despejar t de d = Vt a t2 4) En 1 = 1 1 f p p, despejar p 5) En tgα = m 2 m 1 1+m 2 m 1 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 20

21 Actividad 11: Operaciones con polinomios. Suma de polinomios. En la suma de polinomios se escribe los polinomios uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes. Ejemplos. 1) Sumar 5x 3 3x 2 6x 5; 8x 3 + 2x 2 3; 7x 2 9x + 1 Solución: 5x 3 3x 2 6x 4 8x 3 + 2x 2 3+7x 2 9x + 1 = 3x 3 + 6x 2 15x 6 2) Sumar 2x 7y - 3z + 6; - 9x + 4z; -x +4y +z -8 Solución: Con un fin más práctico, se ordenan los polinomios en uno sobre el otro haciendo coincidir los términos semejantes y reduciendo los coeficientes término a término. 2x 7y - 3z + 6-9x + 4z -x +4y + z -8-8x -3y +2z -2 Ejercicio. 1) 3x 8y 2z ; 7x + 3y + z 2) 5m 3n + 6 ; 2m + 2n 8 3) 7a b + c ; 8a c 4) 3p 5q 6r ; 2p + 3q 2r ; 12p + 4q + r 5) 6x 2 + 3x 2 ; x 2 + 7x + 4 Tarea. 1) 8a 2 6a 3 + 4a ; 4a 3 + a 2 4a 5 2) 5x 4 3x 2 + 6x 3 ; 3x 4 + x 3 + 5x 2 7x + 3 3) 4x 2 5x + 6 ; 2x 2 7x + 4 ; 8x x 10 4) y 3 y ; 2y 2 5y + 7 ; 4y 3 5y 2 + 3y 8 5) 8z 3 9 ; 4z 3 + 2z ; 5z 2 2z 3 7z + 2 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 21

22 Resta de polinomios. En el caso de la resta es importante identificar el minuendo y el sustraendo. Ejemplo. De 16x 2 7x 8 restar 6x 2 3x + 6 Solución: El minuendo es 16x 2 7x 8 y el sustraendo es 6x 2 3x + 6, entonces al sustraendo se le cambia el signo (6x 2 3x + 6) = 6x 2 + 3x 6. Se acomodan los polinomios y se realiza la operación: 16x 2 7x 8 6x 2 + 3x 6 10x 2 4x 14 Ejercicios. 1) De 5a 2 3a restar 8a 2 5a + 7 2) De 3x 3 5x 2 6x + 3 ; restar 2x 3 + 4x 8 3) De4a 4 10a 3 + 2a 2 3a 4 restar 5a 5 3a 3 + 6a 3 4) De4x 3 y 5xy 2 + 6x 4 y 8xy 5 restar 12xy 2 3xy 5 + 4x 3 y 9x 4 y 5) De7 8a 5 b + 3a 3 b 2 6a 4 b + 2ab 3 resta 5a 3 b 2 3ab a 5 b 2a 4 b Tarea. 1) 3x a+2 7x a+1 8x a + 3x a 1 restar 4x a+2 + 6x a+1 + 7x a 9x a 1 2) De5a 2m 1 + 6a 2m 8a m+1 3a m 3 restar12a 2m 5a m+2 3a m+1 4a m+2 3) De 1 6 m2 n 3 6mn 4 + 8m 4 n 2 5 mn3 restar 1 3 m4 n m2 n 3 + 8mn 4 4) De 3 2 x3 1 4 x2 6x restar 1 2 x3 5 2 x2 2 3 x 1 5) De 2 5 xy + 3x3 y 4x y3 restar 3 2 x x5 y 6y xy CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 22

23 Multiplicación de polinomios. Ley de los signos. (+)(+)=+ (+)(-)=- (-)(+)=- (-)(-)=+ Leyes de los exponentes para la multiplicación. En la multiplicación de términos con la misma base los exponentes se suman. x y x z = x y+z Ejemplos. 1) Multiplicar ( 5x 4 y 5 z)(3x 2 y 6 z) Solución: Primero se multiplican los signos (-) (+)= - Después los coeficientes: (5) (3)= 15 Por último las bases: (x 4 )(x 2 ) = x 4+2 = x 6 (y 5 )(y 6 ) = y 5+6 = y 11 (z)(z) = z 1+1 = z 2 Por lo tanto ( 5x 4 y 5 z)(3x 2 y 6 z) = 15x 6 y 11 z 2 2) Realiza el siguiente producto de polinomios. (5x 5 y 4 3x 4 y 3 z + 4xz 4 )( 3x 4 y) Solución. Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. (5x 5 y 4 )( 3x 4 y) = 15x 9 y 5 ( 3x 4 y 3 z)( 3x 4 y) = 9x 8 y 4 z (4xz 4 )( 3x 4 y) = 12x 5 yz 4 Por lo tanto el resultado es: =-15x 9 y 5 + 8x 8 y 4 z 12x 5 yz 4 3) Efectuar la siguiente operación (5x 2 3x 2)(4x 3x 2 6) Solución. 1. Se escriben los factores de la multiplicación en forma escalonada, ordenando los polinomios en forma ascendente y descendente según se requiera. 5x 2 3x 2 3x 2 + 4x 6 2. Se multiplica el primer término del polinomio de arriba por cada uno de los términos del polinomio de arriba. 5x 2 3x 2 3x 2 + 4x 6 15x 4 +9x 3 + 6x 2 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 23

24 3. Después se multiplica el segundo término del polinomio de abajo por cada uno de los términos del polinomio de arriba, colocando los resultados debajo del término semejante del primer resultado. 5x 2 3x 2 3x 2 + 4x 6 15x 4 +9x 3 + 6x 2 20x 3 12x 2 8x 4. Se repite el paso anterior para cada uno de los términos siguientes (en caso de tener). 5x 2 3x 2 3x 2 + 4x 6 15x 4 +9x 3 + 6x 2 20x 3 12x 2 8x 30x x Por último se suman los términos resultantes 5x 2 3x 2 3x 2 + 4x 6 15x 4 +9x 3 + 6x 2 20x 3 12x 2 8x 30x x x 4 +29x 3 36x x + 12 El resultado es: (5x 2 3x 2)(4x 3x 2 6) = 15x 4 +29x 3 36x x + 12 Ejercicios. 1) (5xy)( 3x)= 2) ( 9 4 mp2 ) ( 15m 6 p) = 3) (4a 2 7ab)(2a 3 b) = 4) (5m 4 3m 3 + 6m 3)( 3m) = 5) ( 5 2 x y2 3 4 xy) (4x 1 3 y) = 6) (a 2 b 2 a 3 b + a 4 3ab 3 + b 4 )(a 2 2b 2 + ab) = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 24

25 Reto individual. 7) ( 3 4 xyz) ( 2 5 z4 ) = 8) ( 7 4 a6 b 8 c 2 ) ( 2 3 a2 b 5 c) = 9) ( 3 4 x2 1 3 y2 + 6xy) ( 4 3 x3 y) = 10) ( 2 5 a6 7 2 a4 b a2 b b) (4 5 ab5 c) = 11) ( 1 5 a3 3ab a2 b 3 2 b3 ) ( 5 2 a2 3b ab) = 12) ( 1 2 x x3 2 3 x) (1 3 x x) = 13) ( 1 2 x2 3 2 x ) (6x2 4x 2) = 14) (a x+2 b m 1 + 3a x b m+1 4a x+1 b m )( 2a 2x 1 b m 2 10a 2x 3 b m 4a 2x 2 b m 1 ) = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 25

26 División de polinomios. Regla de los signos. (+) (+)=+ (+) (-)=- (-) (+)=- (-) (-)=+ Ley de los exponentes para la división. En la división los exponentes de las bases iguales se restan. División de monomios. a m = a n am n Realiza la siguiente operación 16a5 b 4 c 6. 8a 2 b 3 c Solución. Primero se dividen los coeficientes: ( 16) (8) = 2 Después las bases a 5 Por lo tanto el resultado es: a 2 = a5 2 = a 3 b 4 b 3 = b4 3 = b c 6 c = c6 1 = c 5 16a 5 b 4 c 6 8a 2 b 3 c División de un polinomio entre un monomio. = 2a 3 bc 5 16x 6 y 5 z 12x 4 y 6 z 2 +6x 3 y 9 4x 2 y Solución: Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio. 16x 6 y 5 z 4x 2 y 12x4 y 6 z 2 4x 2 y + 6x3 y 9 4x 2 y = 4x4 y 4 z + 3x 2 y 5 z xy8 División de polinomios. 3x 2 5x+2 3x 2 Solución. 1. Se colocan los polinomios como en la división con números reales. 3x 2 3x 2 5x Se toma el primer término del dividendo y se divide por el primer término del divisor. 3x 2 3x = x x 3x 2 3x 2 5x se multiplica el resultado de la división por cada uno de los términos del divisor. x 3x 2 3x 2 5x + 2 3x 2 + 2x 4. Se reducen los términos y se baja el siguiente término del dividendo. x 3x 2 3x 2 5x + 2 3x 2 + 2x 0 3x + 2 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 26

27 5. Se repite desde el primer paso, es decir, se divide el primer término del polinomio que resulto de la reducción anterior. 3x 3x = 1 x-1 3x 2 3x 2 5x + 2 3x 2 + 2x 0 3x + 2 3x 2 0 Nota: Si el residuo es cero como en el ejemplo, se ha terminado la división, en caso contrario se siguen los pasos anteriores hasta obtener el cero como residuo o algún polinomio de grado menor al de el. Luego entonces 3x2 5x+2 3x 2 Ejercicios. 1) 7 5 x9 y x2 y 5 = = x 1 2) 3m 4 n 5 p m4 np 5 = 3) 2x4 +6x 3 8x 2 2x 2 = 4) 1 5 a5 b a4 b 5 x 3 y x2 y 3 = 5) 15m3 34m 2 +9m+10 3m 5 = 6) 12x3 +13x 2 59x+30 4x 5 = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 27

28 Reto individual. 7) 3 8 c3 d d2 = 8) 32a5 b 6 8a 3 b 2 = 9) 2x3 x 2 +x x = 10) ( 1 4 a2 5 2 a) 1 2 a= 11) 6x 4 9x 3 23x 2 +12x+20 3x 2 4 = 12) 6x 4 8x 2 x 3 +x+2 2x 2 x 1 = CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 28

29 Actividad 12: Sistema de ecuaciones. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se llaman ecuaciones lineales simultáneas a aquellas de dos o más variables que se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Métodos de resolución. Reducción. Este método consiste en eliminar una de las incógnitas al sumar las dos ecuaciones y obtener una ecuación de primer grado, lo cual se resuelve por los métodos antes mencionados. Ejemplo. 2x + 5y = 19 Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones { 3x 4y = 6 Solución. Primero se determina la variable a eliminar, en este caso x, por lo que buscamos que los coeficientes de x en ambas ecuaciones sean los mismos pero de signo contrario. Multiplicando la primera ecuación por -3 y la segunda por 2 3(2x + 5y = 19) 2(3x 4y = 6) Se obtienen dos ecuaciones equivalentes a las originales; estas ecuaciones se suman y el término en x se cancela, obteniendo asi una ecuación de primer grado la cual dará el valor de y. 6x 15y = 57 6x 8y = 12 6x 15y = 57 6x 8y = 12 23y = 69 y = = 3 El resultado y=3 se sutituye en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de x, en este caso la situación será en la ecuación 2x + 5y = 19 entonces: 2x + 5y = 19 2x + 5(3) = 19 2x + 15 = 19 2x = x = 4 x = 4 2 = 2 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 29

30 Ejercicios: 1) 3x + 5y = 21 4x 2y = 2 2) 5x + y = 1 3x + 2y = 5 3) 7m + 5n = 3 2m 3n = 8 4) 2a + 3b = 2 4a 9b = 1 5) 1 a + 2 b = a 5 b = 1 6 Reto individual. 6) 6x + 4y = 5 9x 8y = 4 7) 3x + 10y = 5 6x 5y = 1 8) m + n = 1 2m 3n = 1 9) 30a + 20b = 7 40a 30b = 2 10) 2a + b = a b = 25 6 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 30

31 Igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones para después igualar los despejes, lo cual implica que se obtendrá una ecuación de primer grado con una incógnita. Ejemplo: 4x + 5y = 6 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones { 3x + 4y = 5 Solución: Despejando la incógnita x de ambas ecuaciones. 4x + 5y = 6 3x + 4y = 5 4x = 6 5y 3x = 5 4y x = 6 5y x = 5 4y 4 3 Debido que ambas ecuaciones se satisfacen para un mismo valor en x se igualan los despejes. 6 5y = 5 4y 4 3 3(6 5y) = 4(5 4y) 18 15y = 20 16y 15y + 16y = y = 2 Este valor de y se sustituye en cualquiera de los despejes obtenidos para encontrar el valor de la incógnita x. Ejercicios. x = y y = 5 + x x = 6 5y 4 = 6 5(2) 4 = = 4 4 = m + n = 1 m = n 8 3. x 5 + y 12 = 2 3 2x = 3y y = 2x+5 3 3y = x + 2y b = a + 7 3a = 2b 17 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 31

32 Reto individual. 6. 2a 3b = 7 3b = a x + y = x 2y = m + 1 n = 5 2 m + 3 n = x = y y = 2x q = p + 4 q + p = 2a CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 32

33 Actividad 13: Ecuaciones de segundo grado. Una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a, b, c R y a 0, se le denomina ecuación de segundo grado. Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, también llamadas raíces de la ecuación. Clasificación de las ecuaciones de segundo grado. Completas: ax 2 + bx + c = 0 Ecuaciones de Mixtas: ax 2 + bx = 0, con c = 0 Segundo grado. Incompletas: Puras: ax 2 + c = 0, con b = 0 Solución de una ecuación de segundo grado. Formula general. Sea la ecuación general de segundo grado. Entonces, al dividir por a ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x = c a Se completa el trinomio cuadrado perfecto. x 2 + b b2 x + = b2 c a 4a 2 4a 2 a Se factoriza el lado izquierdo Se realiza el despeje para x (x + b 2a )2 = b2 4ac 4a 2 x + b = 4ac 2a ± b2 4a 2 x + b 2a = ± b2 4ac 2a x = b 2a ± b2 4ac 2a x = b ± b2 4ac 2a Por lo tanto las soluciones a las ecuaciones son. x 1 = b+ b 2 4ac 2a x 2 = b b 2 4ac 2a CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 33

34 Ejemplo. Hallar las raíces de la ecuación: 3x 2 5x 2 = 0 Solución. Se identifican los valores de a, b y c de acuerdo con la ecuación de segundo grado. a= 3 b= - 5 c= - 2 y se sustituyen en la formula general: Obteniendo las raíces: x = ( 5) ± ( 52 ) 4(3)( 2) 2(3) = 5 ± = 5 ± 49 6 = 5 ± 49 6 = 5 ± 7 6 Ejercicios. x 1 = = 12 6 = 2 ; x 2 = = 2 6 = x 2 7x 5 = x 2 20x + 25 = x 2 11x + 3 = y y + 4 = x 2 22x + 15 = 0 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 34

35 Reto Individual. 6. 2x 2 = 9x y 2 + 5y = m 2 = 7m x + 1 = 9x x 2 + 6x = 4 CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 35

36 Factorización. Ejemplo 1. Hallar las raíces de la ecuación: x 2 7x + 10 = 0 Solución. Se factoriza (el trinomio x 2 7x + 10 = 0 (x 5)(x 2) = 0 Cada factor se iguala a 0 y se resuelve cada una de las ecuaciones: x 5 = 0 ; x 2 = 0 x = 5 x = 2 Por tanto las raíces de la ecuación son: x 1 = 5, x 2 = 2 Ejercicios. 1. x 2 5x 6 = 0 2. x x + 24 = 0 3. m 2 m 20 = 0 4. x 2 = x x 2 11x + 10 = 0 Reto individual x 2 33x 5 = x 2 x 2 = 0 8. x 2 + 5x 4 = 0 9. y 2 + 6y + 9 = x 2 6 = 7x CBTIS 50, TALLER DE MATEMÁTICAS 36

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