Ejemplos: 2) Pasar 84º a rad: Lo expresamos en forma incompleja y obtenemos aproximadam. 84,43º 180º rad 84, 43 84, 43º x rad 180

Transcripción

1 1.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Medid de ángulos Pr medir ángulos se usn principlmente dos sistems de medid: - El sistem sexgesiml que us como unidd de medid el grdo sexgesiml, que es 1/90 del ángulo recto. Los sumúltiplos del grdo son el minuto (1 ) y el segundo (1 ) : 1º = 60 ; 1 = 60 - El sistem circulr que us como unidd de medid el rdián. Un rdián es el ángulo que rc un rco igul l rdio. Pr psr de grdos rdines o vicevers, puedes usr: 360º R rd 180º rd Ángulos en l clculdor - Pr elegir el sistem con el que vmos trjr teclemos vris veces l tecl MODE hst que nos prezc Deg Rd Gr. Entonces pulsmos 1 si vmos trjr con grdos sexgesimles y 1 3 si es con rdines - Pr introducir un ángulo del sistem sexgesiml deemos usr l tecl o,,,. Pr introducir un ángulo en form incomplej, por ejemplo 35,4º, el proceso es 35.4 o,,, Si queremos introducir un ángulo en form complej, por ejemplo 8º 50 1,5, el proceso es 8 o,,, 50 o,,, 1.5 o,,, En mos csos, si después volvemos l pulsr o,,, nos v cmindo de un form otr. Ejemplos: 1) Psr 150º rd: 180º rd x rd rd 150º x rd ) Psr 84º 5 45 rd: Lo expresmos en form incomplej y otenemos proximdm. 84,43º 180º rd 84, 43 x rd 1, 47 rd 84, 43º x rd 180 3) Psr 11 rd 6 grdos sexgesimles: º 330º 6 4) Psr 3,7 rd grdos sexgesimles: 180º rd 3, x 13,14º 13º 8 5,08 x 3,7 rd Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Consider un ángulo gudo culquier, α. Se definen ls rzones trigonométrics (r.t.) de α sí: cteto opuesto 1 senode : sen cosecntede : cosec hipotenus sen cteto contiguo 1 R.T. directs: coseno de : cos R.T. inverss: secnte de : sec hipotenus cos cteto opuesto tngentede : tg cteto contiguo 1 cotngente de : cotg tg - Págin 1 -

2 Usndo l semejnz de triángulos se puede demostrr que ls r.t. solo dependen del vlor del ángulo y no de ls medids de los ldos del triángulo rectángulo. Ls r.t. de un ángulo gudo tmién se pueden hllr con l clculdor científic CASIO usndo ls tecls sin cos y tn. Por ejemplo, pr clculr sen 30º teclemos sin 30. Nos d 0.5. Luego, sen 30º = 0,5 De igul form se clcul el coseno y l tngente usndo ls tecls cos y tn. Tmién se puede hllr el ángulo conocido el vlor de un r.t. direct. Por ejemplo, si queremos hllr el ángulo gudo α que cumple cos = 0,5 (este ángulo se llm el rcocoseno de 0,5 y se represent por rccos 0,5) teclemos SHIFT cos 0.5 y otenemos 60. Luego, α = cos 1 0,5 = 60º. De igul form se hce usndo ls tecls sin y tn si nos diern sen ó tg, Oserv Rzones trigonométrics de ángulos complementrios c sen(90º ) cos sen(90º ) cos cos(90º ) sen cos(90º ) sen c tg(90º ) cotg tg(90º ) cotg Rzones trigonométrics de 60º, 30º y 45º Tomemos un triángulo equilátero Por el teorem de Pitágors: l l l 3l 3l l 3 h l h l h l h Luego: l 3 3 sen 60º l l 1 cos 60º l 3 tg 60º 1 3 Tomemos hor un cudrdo. 1 sen 30º cos 60º cos 30º sen 60º tg 30º cotg 60º Por el teorem de Pitágors: D l l l D l l Luego: sen 45º l 1 l 1 cos 45º tg 45º l l 1 - Págin -

3 Pr recordr mejor ls r.t. de 30º, 45º y 60º construimos este cudro donde los denomindores son siempre y los numerdores 1, y 3 30º rd 45º rd 60º rd sen cos El uso de ls r.t. de ángulos gudos nos permiten resolver prolems en los que prezcn triángulos rectángulos. Ejemplos: 1) Hll el áre de l zon somred. sen 36º R 3, 4 R sen36º A(círculo) R 3,14.3, 4 36,3 360º 7º 7º 36º 5 P. (4.5).,8 tg 36º,8 A(pentágono) 8 tg36º A(somred) 36,38 8,3cm ) Clcul el volumen del siguiente cuerpo geométrico R R h 3,14.14,6.40 tg 0º R 40 tg 0º 14,6 ; V(cuerpo). V(cono) ,6 cm ) Clcul l ltur de l vionet h h h tg60º 1,73 x x 0,577h x x 1,73 88,50,333hh 88,51,333hh 16, 4 h h tg30º 0, x 5000,577h - Págin 3 -

4 ACTIVIDADES 1 Pon tu clculdor pr trjr en rdines. Expres en rdines y hll ls r.t. directs (si es necesrio redonde ls milésims) de los ángulos: ) 330º (en función de π) ) 150º 36 Pon tu clculdor pr trjr en grdos sexgesimles. Expres en grdos y hll ls r.t. directs (si es necesrio redonde ls milésims) de los ángulos: ) 4/5 rd ),5 rd 3 Hll ls r.t. inverss del ángulo menor del triángulo rectángulo de ctetos 5 cm y 10 cm 4 Resuelve los siguientes triángulos: ) ) Un triángulo rectángulo de hipotenus 6,5 cm y uno de los ángulos gudos 40º. C 5 5 Un rectángulo tiene 6 cm de se y 10 cm de digonl, hll el ángulo que form l digonl con el ldo myor y el áre del rectángulo. A B 6 Hll el áre de l zon comprendid entre el pentágono regulr y el círculo. 7 Clcul el ángulo que form l digonl D del cuo con l se 8 Hll l ltur de un cono si su genertriz mide 1 cm y form un ángulo de 40º con l se. 9 Clcul l ltur de l comet 10 Clcul l ltur del edificio 11 Hll l distnci x 1 Dos edificios distn entre sí 150 m. Desde un punto que está entre los dos edificios, ls visules los puntos más ltos de éstos formn con l horizontl ángulos de 35º y 0º, respectivmente. Hll l ltur de los edificios, si semos que los dos miden lo mismo. - Págin 4 -

5 .- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Ángulos positivos y negtivos Se considern positivos los ángulos cuyo sentido de giro se contrrio l de ls mnecills del reloj. Rzones trigonométrics de un ángulo culquier Ls r.t. de un ángulo culquier se deducen prtir de ls r.t. de un ángulo gudo estudids nteriormente. Vemos cómo: 1º) Trzmos un circunferenci de rdio 1 y cuyo centro es el origen de coordends (est circunferenci se llm circunferenci goniométric o trigonométric). L circunferenci qued dividid en 4 cudrntes: º) Diujmos el ángulo de form que el vértice se el origen de coordends y el ldo inicil l prte positiv del eje X (se dice que estmos diujndo el ángulo en posición norml). El ldo finl del ángulo cort l circunferenci en un punto P(, ) cteto opuesto sen hipotenus 1 cteto opuesto Usndo l definición de ls r.t.: tg cteto contiguo cteto contiguo cos hipotenus 1 Est mism definición se us pr clculr ls r.t. de un ángulo culquier: Si P(, )es el punto de corte del ldo finl de un ángulo culquier con l circunferenci goniométric se define: sen cos tg Oserv que puesto que l circunferenci tiene rdio 1 siempre se cumple que 1 sen α 1 1 cos α 1 El signo del seno y coseno de un ángulo depende del cudrnte en el que esté dicho ángulo. Oserv: Y Y Y Y 1 α P(,) X P(,) α 1 α X X P(,) 1 α 1 P(,) X cos α = > 0 sen α = > 0 cos α = < 0 sen α = > 0 cos α = < 0 sen α = < 0 cos α = > 0 sen α = < 0 - Págin 5 -

6 Interpretción geométric del seno, coseno y tngente Rzones trigonométrics de ángulos especiles 3 0º 0 rd 360º rd 90º rd 180º rd 70º rd punto P (0, 0) (0, 1) ( 1, 0) (0, 1) sen cos tg 0 0 Relciones entre rzones trigonométrics Vmos deducir lguns fórmuls que relcionn entre sí ls r.t. de un ángulo α: sen sen 1) tg tg cos c c cos 1 cos cos A prtir de est fórmul deducimos que cotg cotg tg sen sen por el teorem c c c de Pitágors ) (sen ) (cos ) 1sen cos 1 A prtir de est fórmul podemos deducir otrs: dividiendo entre cos sen cos 1 sen cos 1 tg 1 sec cos cos cos dividiendo entre sen sen cos 1 sen cos 1 1 cotg co sec sen sen sen Ests fórmuls son válids pr culquier ángulo α - Págin 6 -

7 1) Si cos x = 3 5 y π < x < 3π/ entonces como x III cudrnte, su seno es negtivo. Luego, ) Si cotg α = 3 Ejemplos: y 90º < x < 180º entonces tg α = sen x cos x1 senx 1 cos x. Como 3 3 senx 1cos x y como tg α + 1 = sec α sec tg 1. Como α II cudrnte, su coseno es negtivo. Luego, su secnte tmién sec tg 1 1 cos Como sen tg sen tg cos cos Usndo ls relciones trigonométrics podemos reducir expresiones trigonométrics. 1 cosec x senx cos x 1 cos x 1 cos x sen x Por ejemplo, cot gx tgx cosx cosx senx senx cosx senx senx cosx senx cosx ACTIVIDADES 1 Averigu en qué cudrnte están los siguientes ángulos e indic el signo de su seno, coseno y tngente: ) 135º ) π/3 rd c) 460º d) 7π/6 rd e) 3990º f) 11π/4 rd g) 5π/3 rd Indic en qué cudrnte está el ángulo en los siguientes csos: ) sen < 0, cos < 0 ) sen < 0, cos > 0 c) cos < 0, tg < 0 3 Usndo l relción fundmentl de l trigonometrí, hll, sin clculr el ángulo α, ls restntes r.t. en los csos: ) sen =, / < < ) cos = 1/5, 180º < < 70º 5 c) tg α = 3, II cudrnte d) sec α = 5, I cudrnte e) cos = 3/4, IV cudrnte f) cosec = 3/, III cudrnte g) cotg = 5, 3/ < < cosxsecx 3 1 cot gx 4 Demuestr: ) tg x ) cosec x senx cosec x senx cos x cosxcosecx 5 Simplific: ) ) tg x tg y (cotg x + cotg y) senx sec x 3.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS POR REDUCCIÓN Ángulos equivlentes Dos ángulos son equivlentes cundo l diujrlos en posición norml coinciden sus ldos finles. Los ángulos equivlentes tienen ls misms r.t. - Págin 7 -

8 Reducción de un ángulo l primer vuelt Reducir un ángulo l primer vuelt consiste en otener otro ángulo equivlente comprendido entre 0º y 360º. Pr reducir un ángulo myor de 360º l primer vuelt lo dividimos entre 360º pr ser cuánts vuelts h ddo l circunferenci el ldo finl del ángulo y el resto de l división es un ángulo equivlente. Por ejemplo, vmos otener un ángulo equivlente 580º: º º 60º 7 vuelts y 60º. Luego, un ángulo equivlente es 60º Cálculo de r.t. por reducción l primer cudrnte sen150º sen(180º 30º) sen30º Por ejemplo, cos 150º cos(180º 30º) cos30º sen 0º sen(180º 40º) Por ejemplo, sen40º cos 0º cos(180º 40º) cos 40º sen( 5º) Por ejemplo, sen5º cos( 5º) cos5º sen(90º ) cos sen100º sen(90º 10º) cos10º. Por ejemplo, cos(90º ) sen cos 100º cos(90º 10º) sen10º - Págin 8 -

9 ACTIVIDADES 1 Sin el uso de clculdor científic, hll ls siguientes r.t.: ) sec ( 475º) ) cos (19π) c) cotg 40º d) tg( 3π/) e) sen 5400º f) cosec(73π/6) g) sen( 4050º) Sin el uso de clculdor científic y por reducción l I cudrnte hll ls siguientes r.t.: ) sen (5π/3) ) cos 315º c) tg 10º d) cosec( 30º) e) cotg(5π/4) f) cos 10º g) tg 95º 3 Usndo que sen 57º = 0,839 hll, sin el uso de clculdor científic y dndo el resultdo redondedo ls milésims: ) El resto de r.t. directs de 57º ) Ls r.t. directs de 33º c) Por reducción l I cudrnte ls siguientes r.t.: 1) tg 147º ) sec 13º 3) cosec 13º 4) sen 37º 5) cos( 33º) 6) tg 303º 7) cotg 37º 8) cosec 1113º 4.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA, RESTA, ÁNGULO DOBLE Y MITAD sen( ) sen cos sen cos tgtg Sum: tg( ) cos( ) cos cos sen sen 1 tg tg cos( ) cos sen( ) sen sen( ) sen[ ( )] sen( ) sen cos sen cos tg tg Rest: tg( ) cos( ) cos[ ( )] cos( ) cos cos sen sen 1 tg tg cos( ) cos sen( ) sen sen( ) sen( ) sen cos sen cos sen( ) sen cos Ángulo dole: tg( ) cos( ) cos( ) cos cossen sen cos( ) cos sen tg 1 tg Ángulo mitd: sen 1 cos sen cos cos cos( ) cos sen sen Res tndo: 1 cos 1 cos sen cos cos( ) cos sen cos Sumndo: 1cos 1cos 1cos tg 1cos 1cos Trnsformciones de sums en productos x y xy xy x y senxseny sen cos senxseny sen cos x y xy x y xy cos x cos y cos cos cos x cos ysen sen - Págin 9 -

10 Ejemplos: 1) Si cos x = 4/5, x III cudrnte entonces como sen x = y tg x = sen x / cos x = 3/ cos x * sen (x π/6) = sen x cos (π/6) sen (π/6) cos x = * tg (x + π/3) = tgxtg tgx tg * cos(x) = cos x sen x = 16/5 9/5 = 7/5 1 4 x 1cosx sen como x/ii cudrnte * ) cos cos sen 3 6 sen 3 6 sen sen ) Vmos demostrr que cos(x + y) cos(x y) = cos x sen y cos(x + y) cos(x y) = (cos x cos y sen x sen y)(cos x cos y + sen x sen y) = cos x cos y sen x sen y = cos x (1 sen y) (1 cos x) sen y = cos x cos x sen y sen y + cos x sen y = cos x sen y ACTIVIDADES 1 Usndo ls fórmuls de sum y diferenci de ángulos y sin el uso de clculdor científic hll ls r.t. directs de los ángulos: ) 75º ) π/1 Siendo que sen x = 3/5 y que x clcul sin hllr x: )sen x x ) tg c) cosx 3 d) tg x 4 e) sec(x) 6 3 Si tg = y tg = 1/3 y, III cudrnte. Hll: ) Ls restntes r.t. directs de y ) tg( + ) c) sen 4 Siendo que tg α = 3 y α III cudrnte hll ls r.t. directs de α y de α/ 5 Trnsform en productos y clcul: ) sen 75º + sen 15º ) cos 105º cos 15º 6 Demuestr: ) sen x sen y = sen(x + y) sen(x y) ) 1 cos(x) sen(x) senxtgx senx 1cos(x) - Págin 10 -

11 5.- ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son ecuciones donde l incógnit está jo lgun rzón trigonométric. Ecuciones trigonométrics ásics Son del tipo sen x = m, cos x = m ó tg x = m Pr resolver este tipo de ecuciones, hllmos primero los ángulos x 1, x de l primer vuelt o equivlentes que verificn l ecución. Ls soluciones serán los ángulos que se otengn l sumrle (o restrle) vuelts complets dichos x x1 360ºk ángulos, es decir S :, con kz x x 360ºk sen x = x x1360ºk S :, con kz x x 360ºk Ej: x1 rcsen 3,6º x3,6º 360ºk sen x 5 S:, conkz 5 x156, 4º 360ºk x 180º x 156, 4º 1 sen x = - x x1360ºk S:, conkz x x 360ºk 3 Ej: 3 x x 60º 360ºk 1 rcsen 60º sen x S:, conkz x40º 360ºk x 180º 60º 40º cos x = x x1360ºk S:, conkz x x 360ºk x Ej: 1 rccos(0,7) 45,6º x45,6º 360ºk cos x 0,7 S:, conkz x x 45,6º x45,6º 360ºk 1 - Págin 11 -

12 cos x = - x x1360ºk 1 S:, conkz Ej: 1 x1 rccos 10º x10º 360ºk cos x S:, conk Z x x360ºk x10º 360ºk x x 10º 1 tg x = Como xx1180º, ls soluciones sons: x x1180ºk, conkz Ej: tg x0,4 x1 rctg(0,4) 1,8º, S: x1,8º 180ºk, conk Z tg x = - Como xx1180º, ls soluciones sons: x x1180ºk, conkz Ej: 6 6 tg x x1 rctg 50,º, S: x50,º 180ºk, conk Z 5 5 Teniendo en cuent ls r.t. de 0º, 90º, 180º y 90º otenemos fácilmente ls soluciones de ls siguientes ecuciones: sen x 0 x 0º 180ºk 180ºk sen x1 x 90º 360ºk, con kz sen x1 x90º 360ºk cos x 0 x 90º 180ºk cos x1 x 0º 360ºk 360ºk, con kz cos x1 x 180º 360ºk Si m < 1 ó m > 1 ls ecuciones sen x = m y cos x = m no tienen solución pues los vlores de sen x y cos x siempre están entre 1 y 1. - Págin 1 -

13 Pr resolver otros tipos de ecuciones trigonométrics usremos ls fórmuls trigonométrics y resultdos conocidos pr conseguir llegr un ecución trigonométric ásic. Ejemplos: 1) cos x + 3sen x = 3 (1 sen x) + 3 sen x 3 = 0 sen x + 3 sen x 1 = 0 (t = sen x) t +3t 1 = 0 t = 1/, t = 1. Deshciendo el cmio: 1 1 x1 rcsen 30º x30º 360ºk sen x S:, conkz x150º 360ºk x 180º x 150º 1 sen x1 x 90º 360ºk, con k Z ) cos x sen x = 1sen xsenx (t = sen x) 1t t Elevndo l cudrdo: 1 t = 4t + 8t + 4 5t + 8t + 3 = 0 t = 3/5, t = 1. 3 Deshciendo el cmio: 3 x1 rcsen 36,87º x36,87º 360ºk sen x 5 S:, conkz 5 x16,87º 360ºk x 180º 36,87º 16,87º sen x1 x90º 360ºk 1t t 3) sen x + cos(x) = 1 sen x + cos x sen x = 1 cos x = 1 cos x = ±1 cos x 1 x 0º 360ºk 360ºk, cos x1 x180º 360ºk, con k Z Luego, ls soluciones son: S: 180ºk, con k Z 4) 6sen 3 x sen(x) cos x = 0 6sen 3 x (sen x cos x)cos x = 0 sen x [3sen x cos x] = 0 sen x [3sen x (1 sen x)] = 0 sen x (4sen x 1) = senx 0 senx 0 x 180ºk, con k Z ó 4sen x1 0 senx x1 rcsen 30º x30º 360ºk sen x S:, conkz x150º 360ºk x 180º 30º 150º 1 1 x1 rcsen 30º x30º 360ºk sen x S:, conkz x10º 360ºk x 180º 30º 10º ACTIVIDADES 1 Resuelve ls siguientes ecuciones trigonométrics ásics: ) sen x = 1/ ) cos x = c) tg x = 3 d) sen x = 0,7 e) cos x = 0,8 f) 1 3tgx 0 Resuelve ls siguientes ecuciones trigonométrics: ) sen x + cos x = 5/4 ) sen x + cos(x) = 1 c) sen x + cos x = 0 d) sen x + cos(x) = 4cos x e) cos x = 1 sen x f) tg x + cotg x = 5 - Págin 13 -

14 6.- TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO Ddo un triángulo culquier ABC se cumple: c Teorem del seno : sen A senb sen C Demostrción h sen A hsen A senbsen A h sen A senb senb h senb. De form nálog se demuestrn ls otrs igulddes. c c cosa Teorem del co seno : c c cosb c cosc Demostrción: x cos A x cosa Por otr prte, plicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo de l izquierd: h x h x Y hor plicndo el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo de l derech: h (c x) ( x ) c x cx c cx c c( cos A) c c cos A De form nálog se demuestrn ls otrs igulddes. El uso de los teorems del seno y del coseno nos permiten resolver triángulos y, por tnto, muchos prolems donde intervienen dichos triángulos. Ejemplos: 1) Resuelve el triángulo de ldos = 7 cm, = 10 cm y c = 6 cm Resolución Por el teorem del coseno c c c.cosac.cosa c cosa 0,75A rcos(0,75) 43,5º c.10.6 c c c.cosbcosb 0,179 Brcos( 0,179) 100,3º c.7.6 Como l sum de los tres ángulos de un triángulo vle 180º, C = 180º A B 36,º - Págin 14 -

15 ) Pr loclizr un emisor clndestin, dos receptores, A y B, que distn entre sí 10 km, orientn sus ntens hci el punto donde está l emisor. Ests direcciones formn con AB ángulos de 40º y 65º. A qué distnci de A y B se encuentr l emisor? Resolución Como l sum de los tres ángulos de un triángulo vle 180º, E = 180º A B = 75º Por el teorem del seno 10 sen 40º 10 sen 75º sen 40º sen 65º sen 75º 10 sen 65º sen 75º 6,65 km 9,38 km 3) Resuelve este triángulo y clcul su áre Resolución Por el teorem del coseno: 4.4..cos 50º 9,715 3, ,1 4 sen50º A dee ser otuso Por el teorem del seno: sena 0,983 A 100,56º sena sen50º 3,117 Como los tres ángulos sumn 180º C 180º 50º 100,56º C 9,44º h.h 3,117.1,966 sen C h 4.sen C 4.sen 9, 44º 1,966 A(triángulo) A(triángulo) 3,06 cm 4 4) Resuelve el triángulo ABC siendo = 3 m, = 4 m y A = 30º Resolución sen30º Por el teorem del seno: senb B 41,8º sena senb sen30º senb 3 3 Como los tres ángulos sumn 180º C 180º 30º 41,8º C 108,º Por el teorem del coseno:c.cos C cos 108,º 3, 496 c 3, Págin 15 -

16 ACTIVIDADES 1 Clcul el perímetro y áre de un triángulo que tiene dos ldos de 5 cm y 8 cm, respectivmente que formn un ángulo de 40º. Redonde ls décims. Resuelve este triángulo y clcul su perímetro y áre redondendo ls décims. 3 Hllr el myor ángulo del triángulo de ldos 4 cm, 7 cm y 10 cm. 4 Juli y Mrí cminn junts, llegn un cruce de cminos rectos que formn entre sí un ángulo de 50º y cd un tom un cmino. A prtir de ese momento, Juli cmin 4 km/h y Mrí 6 km/h A qué distnci estrá Juli de Mrí l co de un hor y medi? 5 Se quiere construir un puente desde A hst B (ver figur). Clcul l longitud del puente 6 Un crpintero quiere construir un mes tringulr de tl form que un ldo mid m otro 1,5 m y el ángulo opuesto l primero dee ser de 40. Hll el resto de ls medids pr que el crpintero pued construirlo. 7 Ls longitudes de los ldos de un finc tringulr son de 40 m y de 300 m, y el ángulo opuesto l ldo myor mide 75. Hllr el tercer ldo. 8 Un escler de 5, m de lrgo es colocd m de l se de un muro inclindo y lcnz un ltur de 4,6 m sore dicho muro. Hállese el ángulo de inclinción del muro. - Págin 16 -