Unidad 2 Polinomios PÁGINA 28 SOLUCIONES. Sacar factor común. a) b) Evaluar un polinomio en un punto.

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1 Unidad Polinomios PÁGINA 8 SOLUCIONES Sacar factor común. a) b) 3x 6 3 ( x ) 3 5x 10x 5x 5 x( x x1) Evaluar un polinomio en un punto. Dado el polinomio P(x) = x 4 x 3 x + 1, podemos asegurar que: a) P(1) = = = 0 b) P(-1) = (-1) 4 (-1) 3 (-1) + 1 = = 4 c) P() = = = 7 d) P(-) = (-) 4 (-) 3 (-) + 1 = = 7 Realizar operaciones sencillas con polinomios. a) b) c) d) x 3 x ( xx ) x 6x 3x 3x 8x x 5 x (x 3 x ) ( x 5) 3x 5x x 3x x 10 x 7x 10 3 (3x 5 x ) (x 4) ( x 3) ( x ) 6x 1x 10x 0 x ( x x 3x 6) 3 3 6x 1x10x 0x x x3x6 10 x 15 x 11x6 x (3x 4) (x 3) x (x 3) x (6x 8) (x 3) x 3x x x x x x x x

2 PÁGINA 30 SOLUCIONES 1. MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO a) -3'4xy -3'4 xy b) xy 3 1 xy 3 4 c) 3x 5 3 x 5 5 d) 5 5 x x y ; -7xy 3 ; x 3 y 3. a) b) x yz x yz x yz x yz c) d) x xy ( ) x y x y x 3 x y(4 xz ) 60x yz (18 x yz ) : 6 xyz 3x

3 PÁGINA 31 SOLUCIONES 4. El grado del polinomio coincide con el del monomio de mayor grado, en este caso, el grado del polinomio P(x) es 7. Los coeficientes del polinomio ordenados desde el monomio de mayor grado al del menor son: -3,, - 3,, -1, Si el polinomio es de grado 5 su término de mayor grado es x 5. Si el coeficiente de grado es -5, el sumando de grado es -5x. Y puesto que el término independiente es 3, el polinomio más sencillo que cumple las condiciones pedidas es: P(x) = x 5-5x +3. A este polinomio le podemos añadir cualquier sumando de grado 4, 3 o de grado uno. Por ejemplo: P(x) = x 5 + 4x 4 x 3-5x + 9x Un polinomio es completo si tiene todos los términos de todos los grados. P(x, y) = x 3 x y + 3xy -7y 3 x + xy y + 3x 6y Dado el polinomio P(x) = -x 4 + 3x 3 + x x : a) P(1) = = = -1 b) P(-1) = - (-1) (-1) 3 + (-1) -.(-1) - = = -3 c) P() = = = 6 d) P(-) = - (-) (-) 3 + (-) -.(-) - = = -34 e) P(3) = = = 1 f) P(-3) = - (-3) (-3) 3 + (-3) -.(-3) - = =

4 PÁGINA 3 SOLUCIONES 8. Sean los polinomios: P(x) = x 3x; Q(x) = -3x 4 + x 3-3x ; y R(x) = 3x x + 4. Entonces: a) P x R x x x x x x x x x x x ( ) ( ) 3 (3 4) b) 4 3 Q( x) R( x) ( 3xx3 x ) (3xx4) 9x 6x 1x 6x 4x 8x 9x 6x 1x 9x 1x 5x 14x 1x c) 4 3 Q( x) P( x) R( x) 3x x 3 x ( x 3 x) (3x x4) x x 3 x (3x x 4x 9x 6x 1 x) 3 9x 7x 1x 9. a) b) c) (3x x) ( x 3x ) x (x 3x 5) ( 3x 9x 6x x 6x 4 x) (x 3x 5 x ) x 11x 6x 6x 4xx 3x 5x 5x 14x 11x 6x 4x 3 ( x 3 x) (x 3) (x 3) ( x 4) x 3x 6x 9 x (x 8x 3x 1) 3 3 x 3x 6x 9x x 8x3x1 x 5x x1 3x x 3 x (3 x ) x(x 3 x ) 3x x 9x 6x 4x 6x 7x 4x 9x

5 d) x x ( 3x x) (x 5 x) ( 3x x ) 3x 6x 4 x ( 6x 4x 15x 10 x ) x x x x x x x x x x x 10. Aplicando las igualdades notables tenemos que: ( ab) a abb ( ab) a abb a) b) c) (x 3) ( x) ( x) 33 4x 1x9 ( 3x 5 x) ( 3 x ) ( 3 x ) (5 x) (5 x) 9x 30x 5x 4 3 ( x x ) 3 ( x x ) ( x x ) ( x) ( x) ( x ) ( x ) ( x x ) (4x 4 x x ) ( x x ) 8x 4x 8x 4x x x x 6x 1x 8x

6 PÁGINA 33 SOLUCIONES 11. a) (3x 4 - x 3 - x + 5) : (-x + 3) C x x x ( ) 3 1 R( x) 7x41 b) (5x 5-3x 3 + x - 5) : (x 3x + 4) C x x x x 3 ( ) R( x) 68 x9 c) (-6x x 5-47x x 3-68x + 4x - 5) : (-x 3 + 5x 9x + 4) C x x x x 3 ( ) R( x) 5x7 d) (-14x x 5-44x x 3-48x + 43x - 3) : (-x 3 4x + 3) C x x x x 3 ( ) R x x x ( )

7 PÁGINA 34 SOLUCIONES 1. Aplicando las igualdades notables tenemos que: ( ab) a abb ( ab) a abb ( ab) ( ab) a b a) b) ( x ) x x x 4x4 ( x 3) x x33 x 6x9 c) d) (x 1) ( x) ( x) 1 4x 4x1 (3x 1) (3 x1) (3 x) (1) 9 x 1 e) f) 4 ( x 3) ( x ) ( x ) 33 x 6x a) b) x 4x 4 x x ( x ) ( x 5) (x5) (5 x) (5 x) (5) ( x) 5 4x 9x 16 (3 x) 4 (3x4) (3x4) c) d) x 8x16 x x44 ( x4) e) f) 4x 0x 5 x x (x 5) x 3 ( x ) 3 (x 3) (x 3) 4x 4x 1 x x 11 4 (x 1) 60

8 14. a) b) 1x 4 y 6x y 4 15x 3 y3x y 4x y y 3 5x 4x 6x x x x 3 x 3 c) d) 3xy xy 10 x yz xy 3 y10 xz x ( x 3) 4 x ( x 3) ( x 3) ( x 6x 4 x ) ( x 3) (x 6 x) 61

9 PÁGINA 35 SOLUCIONES 15. a) Cx x x ( ) 1 Rx ( ) 0 b) Cx x x x 3 ( ) 4 9 Rx ( ) 1 c) Cx ( ) x 1 Rx ( ) 1 d) Cx x x ( ) 4 Rx ( ) 11 e) ( ) Cx x x Rx ( ) 34 f) Cx ( ) x Rx ( ) 0 6

10 3 Cx ( ) xx 1 g) Rx ( ) 0 h) Cx x x x x x x () Rx () 0 63

11 PÁGINA 36 SOLUCIONES 16. Aplicando el Teorema del Resto se asegura que el resto de dividir P(x) = 3x 4 x 3 + x 3 entre (x + 1) es P(-1), es decir, R(x) = P(-1) = 3(-1) 4 (-1) 3 + (-1) 3 = = P(x) : (x + 1) = C(x) R(x) = a) Las posibles raíces de P(x) = 3x 3 x 8x 4 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -, +4, -4. P(-1) = 3. (-1) 3 (-1) 8. (-1) 4 = = 0 P() = = = 0-1 y son dos raíces de P(x) = 3x 3 x 8x 4. b) Las posibles raíces de P(x) = 3x 3 + x 3x son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -. P(1) = = = 0 P(-1) = 3. (-1) 3 +. (-1) 3. (-1) = = 0 1 y -1 son dos raíces de P(x) = 3x 3 + x 3x. c) Las posibles raíces de P(x) = x 4 + 3x 3-0x 7x + 18 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -, +3, -3, +6, -6, +9 y -9. P(-) =. (-) (-) 3 0. (-) 7. (-) + 18 = = 0 P(3) = = = 0 64

12 - y 3 son dos raíces de P(x) = x 4 + 3x 3-0x 7x d) Las posibles raíces de P(x) = x 4 + 5x 3-3x 8x + 4 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -, +4, -4. P(1) = = 0 P(-) =. (-) (-) 3 3. (-) 8. (-) + 4 = = 0 1 y - son dos raíces de P(x) = x 4 + 5x 3-3x 8x + 4. e) Las posibles raíces de P(x) = x 4 + 5x 3-5x 5x + 3 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -, +3, -3. P(1) = = = 0 P(-1) =. (-1) (-1) 3 5. (-1) 5. (-1) + 3 = = 0 1 y -1 son dos raíces de P(x) = x 4 + 5x 3-5x 5x + 3. f) Las posibles raíces de P(x) = 3x 5 + x 4 30x 3 10x + 7x + 9 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -, +3, -3, +9 y -9. P(1) = = = 0 P(-1) = 3. (-1) 5 + (-1) (-1) (-1) + 7. (-1) + 9 = = 0 1 y -1 son dos raíces de P(x) = 3x 5 + x 4 30x 3 10x + 7x

13 PÁGINA 37 SOLUCIONES 19. a) P(x) = x 3 3x + 3x 1. Aplicamos Ruffini intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1 y -1. P(x) = x 3 3x + 3x 1 = (x 1) 3. b) P(x) = x 3 x 7x + 6 Aplicamos Ruffini intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, - 1,, -, 3, -3, 6 y -6. Px x x x x x x 3 ( )

14 c) P(x) = x 3 + 5x + 8x + 4. Aplicamos Ruffini intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, - 1,, -, 4, -4. Px x x x x x 3 ( ) d) P(x) = 3x 4 + 6x 3 1x 4x. 3 Sacamos factor común 3x, de manera que obtenemos: Px ( ) 3 x( x 6x 1x8) Aplicamos Ruffini i sobre el polinomio que obtenemos al sacar factor común, intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, -1,, -, 4, -4, +8 y -8. El resto de raíces del polinomio no son números enteros, así que resolvemos la ecuación de segundo grado: x 8x40 x 4 3 Por lo tanto, al factorizar el polinomio inicial obtenemos: e) P(x) = x 4 1 Px ( ) 3 x( x) ( x4 3) ( x4 3) Si aplicamos las igualdades notables que hemos visto en epígrafes anteriores tenemos que: 4 Px ( ) x 1 x 1 x 1 x 1 x1 x1 Observación: El factor (x + 1) no tiene raíces reales. 67

15 f) P(x) = 3x 5 3x 4 6x 1x 4 3 Sacamos factor común 3x, de manera que obtenemos: Px ( ) 3 x( x x x4) Aplicamos Ruffini sobre el polinomio que obtenemos al sacar factor común, intentando dividir por los divisores del término independiente, en nuestro caso 1, -1,, -, 4 y -4. Por lo tanto, al factorizar el polinomio inicial obtenemos: Px x x x x ( ) 3 ( 1) ( ) ( ) Observación: El factor (x + ) no tiene raíces reales. 68

16 PÁGINA 38 SOLUCIONES 0. a) b) c) x ( x 4) x ( x ) ( x ) x ( x ) x 4x 4 ( x ) ( x ) 3 4x 4 x x x (x 1) x (x 1) 4x 1 (x1) (x1) (x1) 4x 1x 9 (x 3) x 3 3 x 7x 15 x (x3) ( x5) x5 1. Para reducir a común denominador tenemos que factorizar cada uno de los polinomios del denominador y calcular su mínimo común múltiplo: 3 x3 x1,, x 9 ( x3) ( x3) x 6x9 ( x3) x x x x x x 6x x( x3) mcm( x 9, x 6x9,x 6 x) x( x3) ( x3) 3 x( x3) x( x3) ( x1) ( x3) ( x3),, x( x3) ( x3) x( x3) ( x3) x( x3) ( x3) 3 3 6x 18 x , x x x, x x x x 6x 18x 54x x 6x 18x 54x x 6x 18x 54x 69

17 PÁGINA 39 SOLUCIONES. a) ( ) ( ) 4 4 ( 4 4) x x x x x x x x x x ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) x 4 x 4 x x x x x b) x x1 x( x) (x1) ( x3) 3x 4x3 3 x x x x x x x x x x ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) x x x ( x) ( x1) 3 xx x( x1) x x3x x x c) x x x x x 3 x ( x 1) ( x 1) 3 x ( x 1) ( x 1) x x x 3 3x 3x 3 3 d) x 4x 4x1 x (x1) x ( 1) 3 x x x x x ( x ) 3 x 6 x x 4 ( x) (3x1) (3x1) ( x) (3x1) 3x ( ) ( ) (3 1) ( ) ( ) e) : x x x x x x x x f) 5x 3 3 x x x x x 3x 5x 1 70

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19 SOLUCIONES Polinomios. 3. a) b) c) d) ( xy) ( 3 x yz) x yz 5x y z aab ( ) 5ab 3ab 5ab 3a 5a 3 3 ab ab b xy ( x y) 6x y 3x y 4xy 4xy x y x y x y x y x y x y x y 4. Un polinomio completo es aquel que tiene términos en todos los grados. Así: P(x,y) = 4x 4 5x 3 y + 3x y + xy 3 y 4 + 4x 3 x y + 4xy xy + y x xy 5y x y P(x) = -x 3 x + x 3. a) P(1) = = = -5. b) P(-1) = -(-1) 3.(-1) + (-1) 3 = = -5. c) P(-) = -(-) 3.(-) + (-) 3 = = -5. d) P() = = = -11. e) P(-3) = -(-3) 3. (-3) + (-3) 3 = = 3 6. Si el coeficiente líder es cuatro y el polinomio es de grado 5, entonces el término de mayor grado es : 4x 5. Si el coeficiente de grado dos es uno, entonces, el sumando de grado dos es x. Como el polinomio no tiene término en grado tres y su término independiente es -3, entonces, el polinomio más sencillo que cumple estas condiciones es: P(x) = 4x 5 + x -3. Podríamos añadirle cualquier término de grado 4, perno nunca de tercer grado. Operaciones con polinomios. 7. a) (3x 3 5x + 3x) + (x 3 + 3x ) (5x 3 4x + 3x ) = x 3 3 b) x ( x 5x 3) x (3x 1)( x 3) x 10x 6 x (3x 8x 3 x) x 10x 6x3x 8x 3x5x 18x 3x 7

20 3 3 c) (x 1) (3 xx ) 5 x(x3) 7x x 3x10x 15xx 17x 18x d) 4 ( 3 ) ( ) ( 7 6 ) x x x x x x x x x x x x x x x x 7x 6x 15x 5x 6 x x x 6x 1x 6 8. a) Px ( ) Qx ( ) Rx ( ) ( x 5x ) (3x x) (3x x 1) x 3x 3x x 1 x 4x 3 3 b) Qx ( ) Px ( ) Sx ( ) (3x x) ( x 5x ) (x 3) 3x x ( x 7x 15x 10) 3 3 3x xx 7x 15x10 x 10x 13x10 PxRxQxSx x x x x x x x c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) (3 1) (3 ) ( 3) x x x x x x x ( ) x x x x a) ( 3x 11x 4x 1x 6x10) : (3x 5x3) x x 3x4 Rx ( ) 3x b) ( 1x 18x 8x 7x 6x11) : ( 6x 3x) x x x3 3 x Rx ( ) c) ( 6x x 40x x5) : ( x 5) 6x x 30x40 Rx x x ( ) ( x y) ( 3xy x y) 3xyx 5xy 6xy 4xyxy 6xy 15xy 4xyxy15xy xy 4x y 15y Identidades notables. Factor común. 31. Dadas las siguientes igualdades notables: 73

21 ( ab) a abb ( ab) a abb ( ab) ( ab) a b a) c) ( x 4) x 8x 16 b) ( x 3) x 6x 9 d) ( x5) x 10x5 (3x7) (3x7) 9x 49 e) ( x3) ( x3) (3 x) (3 x) 9 x f) ( x3) (3 x) (3 x) (3 x) (3 ) (9 6 ) 6 9 x xx x x 3. a) b) c) d) e) (x3) 4x 1x 9 ( x5) 4x 0x (3 x x ) 9x 6x x ( 5x6) 5x 60x36 ( 3x5) 9x 30x5 f) ( 3x) (3x) (3x) (9x 1x4) 9x 1x4 g) (3x x) (x3 x ) (3x x) (3x x) 9x 4x 4 h) (x 5 x) ( 5x x ) (x 5 x) (x 5 x) 4x 5x a) x x x b) x 4x 6x c) x x x x x d) x 3 3 x 3 x 3 x 9 x 4 e) x x x f) x 3x x 3x x 3x x x 9x x x 9x a) b) ( x1) ( x) ( x) x x1x 4x x3 (3x1) (x5) (x5) 9x 6x1 (4x 5) 9x 6x14x 5 5x 6x6 c) (x3) ( 3 x) ( x1) (x3) (x3) ( x1) (4x 9) ( x x1) 4x 9x x1 3x x10 74

22 d) ( x ) (x1) ( x 1) ( x1) x 4x 4 (4x 4x 1) ( x 1) x 4x 4 4x 4x 1 x 1 4x 8x4 4 e) 3 x x(x5) (x5) (1 x ) 3 xx(4x 5) (1 x x ) x 4x 5x 1 x x x 4x x 8x f) (3x 1) ( 5x 3 x) ( x x ) ( x x) 9x 6x 1 (5x 30x 9 x ) (4 x x ) x 6x15x 30x 9x 4x x 9x 30x x 6x1 35. a) x 6x9 ( x 3) c) x 4x 4 ( x ) 4 b) x 10x5 ( x 5) d) 4x 4x1 (x1) 36. a) x 9 ( x3) ( x 3) d) 814 x (9 x) (9 x) b) c) x 6x9 ( x 3) e) x x 1 ( x 1) 4 4 x 9 ( x 3) ( x 3) f) 9x 30x 5 x x (9x 30x5) x (3x5) a) 3x 6x 1x 3 x( 1x 4 x ) b) 3 c) x 4x 8x x( x x 4) d) ab 4a b8a b ab( ba 4 a b ) x y 3x yz9xy z 3 xy(x yxz3 y z ) 75

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24 SOLUCIONES 38. a) a( a) 6 a ( a) 8 a( a) a( a) ( 13a 6a4) a( a) (3a 6a3) ( x 1) b) x ( x 1) ( x 1) ( x ( x 1)) ( x 1) ( x x ) c) 4( a3) b 8 a( a3) b 3 b( a3) b ( a3)(4 b 8a3) b d) 5 x ( x 1) 5 ( x 1) 5 ( x 1) ( x 1) e) b( ab) 4 a( ab) 4 ( ab) ( ab) ( ba) Regla de Ruffini. 39. a) C x x x x x 4 3 ( ) 1 Rx ( ) b) Cx x x x x 3 () 411 Rx () 18 c) Cx x x 4 ( ) 3 Rx ( ) 4 d) 3 Cx ( ) 3xx x Rx ( ) e) Cx x x x x 4 3 ( ) Rx ( ) f) Cx x x x x x ( ) Rx ( ) 9 77

25 6 Cx () 6x 3x x g) Rx () 0 h) 5 3 Cx () 3x 6x x Rx () Si la división (x 5 + 4x 4 3x 3 4x + x + a) : (x + ) tiene que ser exacta, entonces su resto es 0, y por tanto, (x + ) tiene que ser factor del polinomio dividendo P(x), por lo tanto, P(-) = 0. (Teorema del resto) P(-) = (-) (-) 4 3 (-) 3 4 (-) + (-) + a = a = a = 0 a = -6 Raíces de un polinomio. Teorema del Resto 41. Aplicando el Teorema del Resto podemos asegurar que el resto de dividir un polinomio P(x) entre x a, es el valor numérico de P(x) cuando x toma el valor a, es decir, P(a). Por lo tanto: a) R(x) = P(1) = = 0 b) R(x) = P() = 5 () = = 6 c) R(x) = P(-3) =- (-3) 5 6 (-3) (-3) + 7 (-3) 10 = = -4 d) R(x) = P(-) =3 (-) (-) 4 4 (-) 4 (-) + = = 4. a) R(x) = P(-1) = -(-1) (-1) = 1 3 = - b) R(x) = P(-1) = (-1) 6 3 (-1) (-1) = = 9 c) R(x) = P(3) =6 (3) 7 18 (3) 6 3 (3) (3) = 0 d) R(x) = P(5) =-3 (5) (5) (5) 4 30 (5) 3 (5) = 0 78

26 43. Si el resto de la división P(x) : (x a) es cero, entonces (x a) es un factor en la factorización de P(x), y por tanto, por el teorema del resto, P(a) = 0. a) (x 4 + x 3 3x + a) : (x + ) P(-) = (-) 4 + (-) 3 3 (-) + a = a = 0 a = -6 b) (x 5 + ax 4 3x 3 x x) : (x + 1) P(-1) = (-1) 5 + a (-1) 4 3 (-1) 3 (-1) (-1) = a = 0 a = (ax 5 7x 3 + 5x + 4x 4) : (x ) P() = a = 0 3a = 0 3a = 3 a = Si el resto de la división (-x 5 + 3x 4 + ax 3 + 9x + x 7) : (x 3) es -1, entonces, por el teorema del resto podemos asegurar que P(3) = P(3) = a = a = -1 7a = -7 a = -1 P(x) = -x 4 + ax 3 4x + x 4. P(-) = -(-) 4 + a (-) 3 4 (-) + (-) 4 = a = 0 a = a) Las posibles raíces de P(x) = x 3 x 13x 6 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -, +3, -3, +6, -6. P(-1) = (-) 3 (-) 13 (-) 6 = 0 P(3) = = 0 En este caso, -1 y 3 son dos raíces de P(x) = x 3 x 13x 6. b) Las posibles raíces de P(x) = 5x 3 x 14x 8 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -, +4, -4, +8, -8. P(-1) = 5 (-1) 3 (-1) 14 (-1) 8 = 0 P() = = 0 79

27 En este caso, -1 y son dos raíces de P(x) = 5x 3 x 14x 8. c) Las posibles raíces de P(x) = x 4 x 3 6x x + son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -. P(-1) = (-1) 4 (-1) 3 6 (-1) (-1) + = 0 P() = = 0 En este caso, -1 y son dos raíces de P(x) = x 4 x 3 6x x +. d) Las posibles raíces de P(x) = x 4 + 4x 3 + 4x + 4x + 3 son los divisores del término independiente, es decir, +1, -1, +, -, +3 y -3. P(-1) = (-1) (-1) (-1) + 4 (-1) + 3 = 0 P(-3) = (-3) (-3) (-3) + 4 (-3) + 3 = 0 En este caso, -1 y -3 son dos raíces de P(x) = x 4 + 4x 3 + 4x + 4x Si el polinomio tiene como raíz doble -, entonces, uno de sus factores es (x + ). Si 1 es otra de sus raíces, otro de sus factores es (x 1). Con estos dos factores ya tenemos el polinomio base que buscamos: P(x) = (x 1) (x + ) = x 3 + x + x 4. Otro polinomio que cumpla las mismas propiedades sería: P(x) = (x 1) (x + ) = x 3 + x + 4x Por el Teorema Fundamental del Álgebra, el número de raíces de un polinomio contadas con su multiplicidad, es decir, el número de veces que se repiten, coinciden con su grado. Por lo tanto, ningún polinomio de grado 4 puede tener 6 raíces diferentes, a lo sumo tendrá Si el polinomio tiene una raíz doble en -1, uno de sus factores es (x + 1). Las otras dos raíces, puesto que debe ser de grado 4, pueden ser cualquier número entero. P(x) = (x a) (x b) (x + 1) Por ejemplo: P(x) = x (x 1) (x + 1) = x 4 + x 3 x 4x. 80

28 51. Si el polinomio es de grado 3 y P(-1) = P() = P(-3) = 0, entonces sus raíces son -1, y -3 y por tanto, los tres factores del polinomio son: (x + 1), (x ) y (x +3), y así, el polinomio es de la forma: P(x) = a (x + 1) (x ) (x + 3) = a(x 3 + x 5x - 6) Por otra parte P(-) = 18, por tanto: P(-) = a (- + 1) (- ) (- + 3) = 4a = 18; 18 9 a El polinomio que buscamos es Px ( ) ( x x 5x6) x9x x18 5. Supongamos que -1 es la raíz doble del polinomio, entonces el factor asociado es (x + 1). Y supongamos también que las otras dos raíces son 0 y, luego, el polinomio es: P(x) = x(x ) (x + 1) Factorización de polinomios a) x 8x 16 ( x 4) 4 b) 16x 8x 1 (4x 1) c) 16x 7x 81 (4x 9) a) x x x x( x x1) x( x1) 3 b) x x x x( x x1) x( x1) c) 3x 54x 43x3 x( x 18x 81) 3 x( x 9) d) 16x 36x x x(81x 18x 1) 3 x(3x 1) a) Aplicando Ruffini tenemos que: 3 x x 13x6 ( x) ( x3) (x1) 81

29 b) Aplicando Ruffini obtenemos: 3 5x x 14x8 ( x1) ( x) (5x4) c) Por Ruffini sabemos que: 4 3 x x 6x x ( x1) ( x) (x1) 8

30 d) Aplicando Ruffini sabemos que: x 3x 3x1 ( x1) El máximo común divisor de dos polinomios es el polinomio formado por los factores comunes elevados al menor exponente. El mínimo común múltiplo es el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. a) Px ( ) x 4 ( x) ( x) 3 Qx ( ) x 4x 7x10 ( x) ( x1) ( x5) mcd( P( x), Q( x)) x 4 3 mcm( P( x), Q( x)) ( x ) ( x ) ( x 1) ( x 5) x 6x x 4x 0 b) 3 Sx ( ) xx8x1 ( x) ( x3) 3 R( x) x x 9x18 ( x) ( x3) mcd( S( x), R( x)) ( x ) ( x 3) x x mcm( S( x), R( x)) ( x ) ( x 3) x x 11x 1x 36 83

31 c) T( x) x 1 ( x1) ( x1) U x x x x x ( ) 3 ( 1) ( ) V x x x x x ( ) 3 ( 1) ( 3) mcd( T( x), U( x), V( x)) x1 mcm T x U x V x x x x x x x x x 4 3 ( ( ), ( ), ( )) ( 1) ( 1) ( ) ( 3) a) Como es polinomio de grado cuatro con término independiente, lo único que podemos hacer es aplicar Ruffini: Resolvemos la ecuación de segundo grado para obtener las dos raíces que quedan: x 1 3x x x 1 x Por lo tanto, la factorización del polinomio es: x x x x x x ( 1) ( ) b) Aplicamos Ruffini sobre el polinomio inicial para obtener la primera raíz: 3 x 6x 1x8 ( x) ( x 4x4) Por las igualdades notables conseguimos la raíz doble que nos falta:. x 6x 1x8 ( x) 3 3 c) Sacamos factor común x y aplicamos Ruffini sobre un polinomio de grado 4: x 9x 9x x 3 x x(x 9x 9x x3) x( x1) ( x3) ( x x1) Resolvemos la ecuación de segundo grado y conseguimos así todas las raíces necesarias: x 9x 9x x 3 x x(x 9x 9x x3) x( x1) ( x3) (x1) 84

32 Sacamos factor común x y aplicamos Ruffini sobre un polinomio de grado 4: x 5x 7x 5x 6 x x ( x 5x 7x 5x6) x ( x) ( x3) ( x 1) El factor de segundo grado no tiene raíces enteras, luego la factorización del polinomio estaría terminada. 85

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34 SOLUCIONES Fracciones algebraicas x x1 x x x1 a) x x1 x( x1) x( x1) x( x1) b) x x 1 x ( x 1) ( x) x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x 6x x 6 x x(x1) 6x x 7x c) x 1 4 x 4 x 1 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) d) 1x x1 ( x1) ( x1) ( x1) ( x x1) x x1 x x1 x1 ( x1) ( x1) ( x1) ( x1) x 1 x 1 x( x1) ( 1) ( ) (4 ) ( ) e) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f) x x x x x x x x x x x x x x x x 59. a) 3 4 x 3x 4 x 3x4 x x x x x x x b) x x x x x x x x x x x x x x x x x 4x x x x x x x x ( ) x x x x x x x a) x x x x x x x x x x x x b) x4 3x1 ( x4) (x1) (x1) (3x1) x 7x4 (6x x1) 4x 8x3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 x x x x x x x x x 1 x x3 x5 x x3 x5 x 6 x ( x3) x5 x 6x x 6x9 x5 3x x4 c) x 3 x3 x 9 3x 3x 9x 9x 9x x 9 9x 9x x 9 9x d) x3 3x 1 x( x3) x( x3) ( x3) 3x x x 6x x 9x 3x x x x 14x x3 x x 9 x 9x x 9x x 9x x 9x x 9x x 9x x 9x 87

35 61. a) 3 3 3x 5x x 3x 5 xx( x1) x 3x 5x 5x 5x 5x 5x x 1 x x x1 x( x1) ( x1) x( x1) ( x1) x( x1) ( x1) x x x x x x x x b) x1 x 5x 3x1 x 5x 18x 15x3 8x 1x 18x 5x 8 x 1x 36x 10x x 4x1 6x3 (x1) 3 (x1) 4x 0x x1 4x 0x x1 4x 0x x1 c) x 3 x3 (x3) (x3) 4x x3 x3 (x3) (x3) (x3) (x3) 4x 9 d) x x x 4 ( x) x( x) x 4x x 4x4x 4x 4xx 4x 3x 4x4 x x x x 4 x( x 4) x( x 4) x( x 4) x( x 4) x( x 4) e) 3 5x x5 3x1 5 x( x3) ( x5) ( x3) ( x3) ( x3) (3x1) 5x 34x 66 x7 3 x 1x18 x6 x3 ( x3) ( x3) x 6x 18x54 f) 3 x1 3x x (x1) (3x1) (3x1) (3x) x(3x1) (3x1) 45 x 60x 7x6 9x 6x1 3x x 6x (3x1) (3x1) 54x 4x 6. a) b) x1 x1 ( x1) ( x1) x1 x1 x ( x1) ( x) x x x x1 x( x1) x( x1) x1 x x x ( x1) ( x1) x ( x1) c) d) x 1 1 ( 1) ( 1) (3 1) ( 1) (3 1) : x x x x x x x x 1 4x 4 1 ( 1) ( 3) ( 1) ( 3) : x x x x x x 3x x x( x1) x 3x x 6x9 x( x3) (x1) x(x1) e) f) x 4 ( ) (5 3) 5 3 : x x x x x 3 ab a b (3 ab) ( ab) ( ab) ab x 4x 5x 3x 4 x ( x) ( x) 4 x( x) ba 6a b ( ab) (3 ab) g) a b 3 ( )( )( ) ( ) : a ab b ab ab ab b ab ab b 4ab b b ( a b) a( a b) a 88

36 63. a) x 1 x1 x 1 x1 ( x1) ( x1) x : : ( x1) x x x x x x x( x1) b) x x6 6 x x6 (6 x ) ( x4) x (6 x ) ( x4) : : x 3 x 4x 3x x 4x 3 x( x6) 3( x6) c) 3 3 x x 4x3 x ( x1) ( x3) ( x3) x 1 x 5 x ( x1) ( x1) x ( x5) ( x1) ( x5) d) x1 x1 x ( x1) ( x x) ( x1) ( x x) x : : x x x x x 4 ( x x) ( x x) x 4 4 x 4 ( x) ( x) 4 : ( x1)( x)( x)( x1) ( x)( x) x( x1)( x)( x)( x1) x( x1)( x1) x 6x 4x x 5x6 x( x1)( x)( x)( x3) ( x)( x3) x 4x4 x 5x 7x 3 x ( x) x ( x1) ( x3) x ( x) ( x1) ( x3) 65. 5x 3x 3x1 5 x(1 x) 3 x(1 x) 3x1 x(8x1) (1 x) x(8x1) (1 x) : : 1x 1x 4x 4x1 (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (3x1) (1 x) (3x1) 66. a) x 3 5 x 4 5 (3 1) ( ) ( ) 5 (3 1) : x x x x x x x x x x x 4x x 3x1 x 4 x ( x) ( x) x( x) ( x) x( x) ( x) x x 4x 8x b) x3 x1 x1 ( x3) ( x) ( x1) (x1) ( x) 3x 3x3 x x 4 x x 4 x 4 c) x3 x3 x x3 x3 x x x 5x x 4x4 x ( x1) (4x1) ( x) 4 3 ( x ) (4x 1) ( x 1) ( x 3) ( x ) x ( x 1) (4x 1) 4x 3 x 31 x 14 x ( x1) (4x1) ( x) 4x 1x 37x 4x4 89

37 67. x x x x x x x x x x x x x1 x1 x1 1 ( 1) ( x x1) ( x1) ( x x1) 1 x 4x x4 x x 4 ( x x 4) ( x 1) ( x 1) ( x x 4) ( x 1) 90

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39 SOLUCIONES 68. El área de un cuadrado es A = l Si el lado del cuadrado grande mide 50cm, entonces su área será: A 1 = 50 =500cm Cada uno de los cuadrados de las esquinas tienen un área de A = x, por lo tanto, el área de nuestra caja es A = A 1 4A = 500 4x cm El volumen de un paralelepípedo de base cuadrada es V = h l, en nuestro caso: V = x (500 4x ) = 500x 4x 3 cm La longitud de la circunferencia es L = r. En nuestro caso el radio de la circunferencia es la mitad del lado del cuadrado, por tanto, su longitud es L = r = x unidades. En el caso del área, la definimos como A = r x = 4 u. 70. Definamos x como la edad de mi hija e y, mi edad, entonces: La edad de mi hija es la mitad de la que yo tenía hace siete años y mi hija tendrá 3 dentro de 6 años. x 63 y 7 x 71. bh xy El área del triángulo rosa es: At 1 u bh (x 1) y xy y y El área del triángulo morado es: At xy u xy y 3xy y Así, el área total es At A 1 t xy u 7. a) La primera condición nos dice que el polinomio es divisible entre x, por lo tanto, podemos escribir nuestro polinomio de la forma: P(x) = Q(x) (x ) b) Con la segunda propiedad nos aseguramos que otro de los factores es (x + 1), es decir, nuestro polinomio quedaría: P(x) = R(x) (x ) (x + 1) c) La tercera condición nos conduce a aplicar el teorema del resto: P(-5) = -3 Así: P(-5) = R(x) (-5 ) (-5 + 1) = 8 R(x) = -3; R(x) = Y uno de los polinomios que cumpliría las tres condiciones sería: Px ( ) ( x x) 8 Puesto que no nos están diciendo cuál sería el grado del polinomio no podemos asegurar que exista una solución única. 9

40 1. a) Px ( ) Qx ( ) Rx ( ) ( x 5x 4x 3x) (3x ) ( x 6 x) 3x x4x 3x b) R() x [ P() x Q()] x R() x P() x Q() x ( x 3 x ) ( x 5x 4x 3x) (3x ) x 5x 4x 3x c) Px ( ) Sx ( ) Qx ( ) Rx ( ) ( x 5x 4x 3x) (3x ) (3x ) ( x 3 x) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x P( x) : Q( x) (1x 17x 18x 6x 19x 6x6) : (3x x3) 4x 3x 5x3 Rx ( ) 5x3 3. Px Qx x x x x x x x x ( ): ( ) ( 3 ):( 1) 5 6 Rx ( ) 6 4. Px x x x x x x x x x ( ) ( 1) ( ) ( 3) ( 1) 93

41 5. El polinomio que buscamos es de la forma P(x) = k (x 1) (x + ) Si el resto de la división entre (x + 3) es 9, entonces, aplicando el Teorema del Resto podemos asegurar que P(-3) = k (-3 1) 9 (-3 + ) = 9; k = Así, nuestro polinomio será: Px ( ) ( x 4x) x 3 48x + 16x = 4x (9x 1x + 4) = 4x (3x ) 7. a) 9x 4 16 = (3x 4) (3x + 4) b) 16x 7 5x 3 = x 3 (4x 5) (4x + 5) 8. 16x 4 40x + 5 = (4x 5) ( 1) ( 1) 4 5 x x x x x x a) x 1 x1 x1 x 1 x 1 3 x 1 3x 1x x x3x 14x 4x 7x x1 b) x 4x x 4x 4x x 10. a) 3 x 8x 8x x 9 x( x) ( x3) ( x3) ( x) ( x3) 4 x x x x x x x x x x x ( 3) ( ) ( ) ( 3) ( ) 4 3 x x 4x x 4 x ( x x ) ( x 1) ( x ) x ( x x ) ( x 1) x x 1 x x ( x 1) ( x ) ( x ) ( x 1) ( x ) b) : 94

42 PÁGINA 46 SOLUCIONES a) En este caso, el terreno disponible coincide con el área del arco de circunferencia de radio 15 m descrito en la figura A 15 m 4 4 b) Tenemos que calcular el área de los tres cuartos de la circunferencia grande (A 1 ), y los dos cuartos que quedan en las esquinas (A ). 3 A m 4 A 75 m 1 A m 4 95

43 c) En este caso, volvemos a calcular el área de los tres cuartos de la circunferencia grande (A 1 ), y la del sector circular de radio 3 m y amplitud 30º (A ). Observación: Como el triángulo es equilátero, sus ángulos miden 60º, luego la amplitud de nuestro sector es de 90º - 60º = 30º m 160 A1 4 A A 10 m m 96