GEOMETRIA DEL TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA

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1 GEOMETRIA DEL TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA E. SÁEZ En general los textos de Cálculo, por ejemplo en [1,2,3,4], introducen el Teorema de la Función Implícita bajo el punto de vista del Análisis y su demostración usa fuertemente el Teorema de la transformación Inversa. En estas notas se pretende comprender el Teorema de la Función Implícita bajo el punto de vista de la idea geométrica que involucra dicho Teorema. Supongamos una ecuación en coordenadas cartesianas de la forma E(x,y,z)=0. ElprimermiembrodelaecuaciónseinterpretacomounafunciónEatresvariables, que supondremos diferenciable en su dominio de definición, o bien, supondremos que la función E admite derivadas parciales continuas. En este caso diremos que la funciónees declasec 1 y escribiremossimplemente E C 1. Una interpretación geométrica de las soluciones de la ecuación E(x,y,z)=0, es que forman el Nivel Cero de la función E a tres variables en dom(e) R 3, más exactamente es el conjuntodepuntos E 1 (0) enr 3 definidopor: E 1 (0)={(x,y,z) E(x,y,z)=0} NótesequelanotaciónE 1 (0),pordefinicióndesignaelconjuntodesolucionesenR 3 de la ecuación E(x,y,z)=0, equivalentemente es el conjunto de las preimágenes del valorcerodelafuncióneyno debeinterpretarsecomouna funcióninversadee. La gráfica del nivel cero E 1 (0) enr 3 puede tener varias componentes conexas (Ramas)ysermuycomplicada,porejemplounacomponenteconexapuedeseruna superficiecomo enlafig. 1 E 1 (0) E Niveles 0 Q Fig. 1 Departamento de Matemática, UTFSM e mail: eduardo.saez@usm.cl. 1

2 2 E. SÁEZ Comentario: Nótese que la superficie de la Fig. 1, no es la gráfica de una función a dos variables, definida en algun dominio D R 2 y que contenga del punto Q, en elplano. ElpuntoQtienealmenosdosimágenesdiferentesenlasuperficiede nivele 1 (0). En estos apuntes nos interesa estudiar. Bajo que condiciones?, partes de una superficiedenivele 1 (0),eslagráficadealgunafunciónadosvariables. Estaesla idea geométrica del Teorema de la Función Implícita. Definición 1. Sea la ecuación E(x,y,z)=0, entonces z= f(x,y) definida en un conjunto abierto D R 2, es una función definida implícitamente por la ecuación, si y sólo si, E(x,y, f(x,y)) 0 en D Comentario: Geométricamente la definición anterior dice que la función f, es definida implícitamente por la ecuación, si la gráfica de f es parte de la superficie de nivel E 1 (0). Definición2. UnpuntoPdeunniveldiferenciableE 1 (0),esRegular sielvectorgradiente E no se anula en el punto, E(P) 0. En caso contrario P es es un punto singular del nivel. Comentario: SielnivelE 1 (0)esunasuperficiequeseautointersectatransversalmenteyP esunpuntodelaintersección,entonces E(P)= 0,puesgeométricamenteelvectorgradiente, existe por la diferenciabilidad, es único y es perpendicular a dos superfices diferentes por dicho punto. Elúnicovectorque tieneesta propiedades elvectornulo. Supongamos que la función a tres variables E, es diferenciable y está definida en un dominio Ω R 3, obien,e :Ω R, E C 1 (1) Consideremos un punto P, arbitrario pero fijo tal que: i) P E 1 (0) E ii) (P) 0 Lapropiedad i),dice que Pes unpuntodel nivelcerode E. La propiedad ii), dice que la tercera componente del vector gradiente de E es no nula en el punto P, esto implica que el nivel cero de E es una superficie Regular en el punto P, pues E(P) 0. Además, Geométricamente el vector gradiente en el punto, no es paralelo alplano. La figura siguiente muestra ejemplos de puntos donde se satisfacen ambas propiedades de (1).

3 FUNCIÓN IMPLÍCITA 3 E 1 (0) P 1 E Niveles 0 P 2 H Fig. 2 Sielvectorgradiente E(H) 0yesparaleloalplano,entoncesesinmediatoquela segunda propiedad de(1) no se cumple, pues la tercera componente del vector gradiente de Een elpuntoes nula,es decir, E (H)=0. EnlospuntosP 1,P 2 E 1 E (0)delaFig. 3, (P 1) 0 E (P 2)yadiferenciadelpunto H las dos propiedades de (1) se cumplen. Esto permite considerar por ejemplo, las superficie S 1,S 2 E 1 (0), suficientemente pequeñas, alrededor de cada uno de los puntos P 1,P 2 cuyas proyeccionesd 1,D 2 alplanosondominiosdefunciones f 1 : D 1 R, f 2 : D 2 R, respectivamente,tales que gr(f 1 ),gr(f 2 ) E 1 (0) E 1 (0) P 1 S1 E Niveles 0 P 2 S 2 S 1 S 2 D 1 D 2 Fig. 3 El argumento geométrico anterior justifica:

4 4 E. SÁEZ Teorema 1. SeaΩ R 3 un subconjunto abierto, una función E :Ω R de clase C 1 i) P 0 E 1 (0) y P 0 Ω un punto tal que; E ii) (P. Entonces, existe una única función 0) 0 implícita de clase C 1, z= f(x,y), definida en una vecindad V del punto (x 0,y 0 ) enr 2, tal que,gr(f) E 1 (0). Dem. Teorema 1. El Teorema tiene tres afirmaciones sobre la función implícita: i) Existencia ii) Diferenciabilidad iii) Unicidad i) Existencia. De las propiedades del enunciado, que son exactamente las propiedades en (1) se tiene que P 0 es un punto regular, esto significa por la introducción, que parte de la superficie de nivel E 1 (0), suficientemente pequeña alrededor del punto P 0 es la gráfica de una función implícita tal que gr(f) E 1 (0),loquejustificalaexistencia delafunción implícita. ii) Diferenciabilidad. Como la función E es diferenciable por hipótesis, entonces cualquier parte del nivel E 1 (0) es diferenciable, en particular la superficie gr(f) E 1 (0) con f función implícita, pues E(x,y,z)=z f(x,y) de donde f es diferenciable pues E es diferenciable. iii) Unicidad. ComoP 0 esunpuntoregular,estosignificaquelocalmenteenuna vecindadsuficientementepequeñadep 0 enr 3 lasuperficiedenivele 1 (0)no sepuedeautointersectarenalgúnsubconjuntoquecontengaelpuntop 0,pues en caso contrario el gradiente E(P 0 )= 0 y P 0 es un punto singular, lo que es contradictorio con las hipótesis. Luego existe una vecindad suficientemente pequeña de P 0 enr 3 que tiene la propiedad de aislar sólo una parte de la superficiedenivele 1 (0) en dichavecindad,loquedemuestralaunicidad. Comentario. En textos más avanzado, el Teorema (1) se generaliza a funciones E que dependen de n-variables, n 2. PREGUNTA: Bajo las hipótesis del Teorema 1. Cómo obtener la primera Derivada Parcial de una función implícita? RESPUESTA: ConsideremosunsubconjuntoabiertoΩ R 3 y unafunción i) P 0 E 1 (0) E :Ω R, C 1 tal que P 0 Ω es un punto donde; E ii) (P. Entonces, existe 0) 0 una única función implícita de clase C 1, z= f(x,y). En una vecindad del punto P 0 se satisfacelaidentidade(x,y, f(x,y)) 0. PorlaRegladelaCadena,derivandoparcialmente

5 la identidadrespectode la variable xse tiene: FUNCIÓN IMPLÍCITA 5 E x +E z x 0, de donde, x E x E z Análogamente, por la Regla de la Cadena derivando parcialmente la identidad respecto de la variable yse tiene: E y +E z y 0, de donde, y E y E z EJERCICIO: Bajo las hipótesis que la función E es de clase C 2 en el Teorema 1. Cómo obtener la segunda Derivada Parcial de una función implícita? RESPUESTA: Por la Regla de la Cadena, derivando parcialmente por ejemplo, la identidad parala primera derivada,e x +E z x E xx +2E xz x +E zz 0,respectode la variable xse obtiene: ( x ) 2+Ez 2 z x2 0, de dondees inmediato: 2 z x 2 2E xe xz E z +E xx E 2 z+e 2 xe zz E 3 z Análogamente para las restantes segundas derivadas parciales. Ejercicios 1.- Considerela ecuaciónx 3 y+ y 2 xy 5 1=0 i) Demuestre que la ecuación define implícitamente, una función de la forma y= f(x) alrededordelpunto (1,1). ii) Cuáleselvalordelapendientedelafunciónimplícita f,enelpunto(1,1)?. iii) Comoes la concavidadde f alrededordelpunto (1,1)?. iv) Haga unbosquejodela gráficade f enunavecindaddelpunto (1,1). 2.- Considerela ecuaciónx 3 yz 3 +z 2 y 2 xzy 5 1=0 1) Demuestre que la ecuación define implícitamente, una función de la forma z= f(x,y) alrededordelpunto (1,1,1). ii) Seac,lacurvainterseccióndelplanox=1conlagráficadelafunción f. Cuál esla pendientede la curvacen elplanox=1,enelpunto(1,1,1)?. iii) Como es la concavidad de c, en el plano x=1, alrededor del punto (1,1,1)?. iv) Haga un bosquejo de la gráfica de c, en el plano x=1, en una vecindad del punto(1,1,1). Bibliografía 1.- Watson Fulks, Cálculo Avanzado. Limusa-Wiley, S. A Serge Lang, Cálculo II. Fondo Educativo Interamericano, S. A Elon Lages Lima, Curso de Análise, vol. 2 Projeto Euclides CNPq-Brasil, 1981

6 6 E. SÁEZ 4.- Walter Rudin, Principios de Análisis Matemático. McGRAW-Hill BOOK COM- PANY