Introducción. Lógica de proposiciones: introducción. Lógica de proposiciones. P (a) x. Conceptos

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1 Introducción César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 1 La lógica ha sido históricamente uno de los primeros lenguajes utilizados para representar el conocimiento. Además es frecuente comparar la potencia expresiva de otros formalismos de representación con la lógica. Por ello ocupa un puesto especial entre los mecanismo de representación. Proporciona de manera inmediata un método muy potente para la obtención de nuevo conocimiento a partir del antiguo:la deducción matemática. Por otra parte el lenguaje de la lógica es la base de la mayoría de los programas de demostración automática de teoremas. Además mecanismos de inferencia tan aceptados como la resolución son la base de la programación lógica y de las bases de datos deductivas. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 2 Lógica de proposiciones Proposición Fórmula atómica o átomo Conectiva lógica Formula bien formada Valor de verdad Interpretación Tabla de verdad Asignación de verdad Consistencia Satisfacibilidad Modelo Validez Tautología Equivalencia introducción Es un lenguaje que nos permite expresar y razonar con sentencias declarativas que son o bien ciertas o bien falsas. Ejemplos de sentencias declarativas ciertas son: Un rectángulo es un paralelogramo. Las proposiciones son sentencias declarativas ciertas o falsas. Ejemplos de sentencias declarativas falsas: El doble de 20 es 55. El número pi es racional. Estas sentencias declarativas se llaman proposiciones. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 3 César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 4

2 introducción A menudo se expresan ideas más complejas, como: El periódico no ha llegado todavía. negación Ayer fui a la playa y al cine. conjunción Trae un tarro de mermelada de fresa o de melocotón. Sólo bebo agua o zumos. disyunción Si bebes, entonces no conduzcas. Si tu sabes tocar el piano, entonces yo soy el rey de Francia. implicación Ganarás el concurso si y sólo si aciertas todas las preguntas. Las palabras : no, y, o, si-entonces, y si y sólo si nos permiten construir sentencias complejas a partir de otras más simples. Estas palabras se conocen como conectores lógicos (o conectivas lógicas). Las sentencias declarativas consideradas simples, se llaman proposiciones atómicas. Las proposiciones formadas mediante el uso de átomos y conectores lógicos se llaman proposiciones compuestas. bi-implicación César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 5 Fórmula bien formada: Una fórmula bien formada (o fórmula para abreviar) en lógica de proposiciones es una expresión construida siguiendo las reglas que aparecen a continuación: Un átomo es una fórmula bien formadas. Si P es una fórmula bien formada, entonces ( P) es una fórmula bien formada. Si P y Q son fórmulas bien formadas, entonces también lo son: (P Q), (P Q), (P Q) y (P Q). Ninguna otra cosa es una fórmula bien formada. Para evitar la proliferación de paréntesis se establece una prioridad de los operadores, en orden creciente es:,,,,. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 6 semántica Valor de verdad: La certeza o falsedad de una proposición se llama su valor de verdad, el valor de certeza se representa por T (de true) y el de falsedad por F (de false). Se dice que una proposición tiene valor de verdad T o que es cierta y que tiene valor de verdad F o que es falsa. Interpretación: Dada una fórmula proposicional G, con A 1, A 2,..., A n como sus átomos constituyentes. Una interpretación de G es una asignación de valores de verdad a A 1, A 2,..., A n. A cada A i se le asigna T o F pero no ambos. El valor de verdad (bajo una interpretación) de una fórmula está determinado por el valor de verdad (bajo esa interpretación) de los átomos que la forman y por el modo en que estos átomos están combinados mediante los conectores lógicos: G H G G H G H G H G H T T F T T T T T F F F T F F F T T F T T F F F T F F T T César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 7 Lógica de predicados Lógica de predicados o de primer orden Sintaxis Vocabulario y aridad Variable Término Fórmula atómica Cuantificador Alcance del cuantificador Formula bien formada Conceptualización Interpretación Valor de verdad César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 8

3 introducción En la lógica de proposiciones los elementos básicos son los átomos que representan sentencias declarativas que pueden ser o bien ciertas o bien falsas. Con los átomos se pueden construir fórmulas, las fórmulas se usan para expresar ideas complejas. La estructura y composición de los átomos no se tiene en cuenta, esto impide expresar sentencias generales, por ejemplo la sentencia: todos los hombres son mortales, es en lógica de proposiciones una única proposición y no se tiene en cuenta la relación interna expresada entre los hombres y la mortalidad. La lógica de predicados es más expresiva que la de proposiciones, y se pueden expresar sentencias generales como la anterior teniendo en cuenta su estructura interna (para ello se utilizan nuevos conceptos como: variables, términos, predicados y cuantificadores). César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 9 Se utilizan varios tipos de símbolos: Símbolos de predicados, representados normalmente por letras mayúsculas (P, Q, R,...) o por cadenas de letras mayúsculas (GREATER, EQUAL, PADRE_DE,...). Cada uno tiene asociado un número natural que indica el número de argumentos del predicado y que se llama aridad del predicado. Los símbolos de predicados de aridad cero se corresponden con las proposiciones, los de aridad uno, dos o tres se califican como unarios, binarios o ternarios. Símbolos de variables, representados normalmente por letras minúsculas del final del alfabeto con o sin subíndices: x, y, z, x 1, y 23,... Símbolos de función, representados mediante letras minúsculas de la mitad del alfabeto (f, g, h,...). O mediante cadenas de caracteres en minúsculas (marido_de, hijo_de, siguiente,...). También tienen asociada una aridad que indica su número de argumentos. Las funciones de aridad cero, es decir sin argumentos, se suelen llamar constantes. Los símbolos de los conectores lógicos:,,,,. Los símbolos de dos cuantificadores: ( x) el cuantificador universal (para todo x). ( x) el cuantificador existencial (existe x). Símbolos auxiliares: como paréntesis y comas. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 10 Término: Un término se define como sigue: Una constante (función de aridad cero) es un término. Una variable es un término. Si f es una función de aridad n (n 0) y t 1, t 2,..., t n son términos, entonces f(t 1, t 2,..., t n ) es un término. Ninguna otra cosa es un término. Por tanto un término es o bien una constante, o bien una variable, o bien una función sobre términos. Fórmula atómica o átomo: Una fórmula atómica o átomo es una expresión de la forma P(t 1, t 2,..., t n ) donde P es un símbolo de predicado de aridad n (n 0), y t 1, t 2,..., t n son términos. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 11 Alcance: Sea (Qx) un cuantificador (existencia o universal). Si G es una fórmula bien formada en la que ocurre (Qx), siempre será posible la descomposición: G=r(Qx) Hs con r, s y H formados por elementos del vocabulario de la lógica de predicados y siendo además H una formula bien formada. La formula bien formada H obtenida de la descomposición anterior es el alcance del cuantificador (Qx) En termino coloquiales el alcance de un cuantificador es la primera forma normal que se puede identificar tras el cuantificador; el 'trozo' de formula sobre el que se aplica dicho cuantificador). Ocurrencia de variable ligada/libre: Una ocurrencia de una variable es ligada si y sólo si: o es la variable que emplea el cuantificador. o ocurre en el alcance de un cuantificador que emplea esa misma variable. Se dice que la ocurrencia de una variable es libre, cuando no es ligada. Variable libre/ligada: Se dice que una variable es libre en una fórmula si al menos una ocurrencia de la variable es libre en la formula. Una variable es ligada en una fórmula si todas las ocurrencias de la variable son ligadas en la fórmula. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 12

4 Fórmula cerrada: Una formula que no tenga ocurrencias de variables libres se llama fórmula cerrada. Fórmula bien formada: Una fórmula bien formada en lógica de predicados se define recursivamente como: Un átomo es una fórmula bien formada. Si G es una fórmula bien formada, ( G) es una fórmula bien formada. Si G y H son fórmulas bien formadas, (G H), (G H), (G H), (G H) son fórmulas bien formadas. Si G es una fórmula bien formada y x una variable libre en G, ( x)g y ( x)g son fórmulas bien formadas Todas las fórmulas bien formadas se obtienen por aplicación de las reglas anteriores sobre el conjunto de las fórmulas atómicas. Habitualmente solo interesan las fbf que sean cerradas. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 13 semántica En la lógica de proposiciones una interpretación era una asignación de valores de verdad a los átomos. En la lógica de primer orden, dado que hay cuantificadores y variables involucradas, una interpretación va a ser algo más complejo. En la definición formal de la interpretación va ha aparecer el concepto de dominio. El dominio o universo de discurso es un conjunto no vacío de elementos llamados objetos. El término objeto tiene un sentido muy amplio. Un objeto puede ser algo concreto o algo abstracto, simple o compuesto, real o ficticio. En general, un objeto es cualquier cosa sobre la que deseamos decir algo. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 14 semántica Interpretación: Una interpretación de una fórmula F en la lógica de primer orden está formada por un dominio D y por una asignación de valores a cada una de las constates, símbolos de función y símbolos de predicado que ocurren en F tal como sigue: A cada constante se le asigna un elemento en D. A cada símbolo de función de aridad n se le asigna una aplicación de D n en D. A cada símbolo de predicado de aridad n se le asigna una aplicación de D n en {T, F} (O de forma equivalente una relación sobre D n ). Para cada una de las interpretaciones de una formula sobre un dominio D, se puede obtener el valor de verdad de la fórmula aplicando las siguientes reglas: Si se conocen los valores de verdad de la fórmulas G y H, entonces los valores de verdad de las fórmulas ( G), (G H), (G H), (G H) y (G H). Se pueden obtener como en la lógica de proposiciones. ( x)g tiene valor de verdad T si para toda sustitución que se haga de x por un elemento d del domino D, G es T. ( x)g tiene valor de verdad T si el valor de verdad de G es T para al menos un elemento d del dominio D por el que se sustituya x en G. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 15 Más conceptos Consistencia y satisfacibilidad, modelo: Una fórmula G se dice que es consistente (o satisfacible) si y sólo si existe una interpretación I para la cual G es cierta. Si una fórmula G es cierta para una interpretación I se dice que I es un modelo de G y que I satisface a G o que G es satisfecha por I. Inconsistencia o insatisfacibilidad: Una fórmula G es inconsistente (o insatisfacible) si y sólo si no existe ninguna interpretación que satisfaga a G. Es decir, G tiene valor de verdad F para toda interpretación. Fórmula valida o tautológica: Una fórmula G es válida (o tautológica) si y sólo si toda interpretación de G es un modelo de G. Una fórmula es válida cuando su negación es insatisfacible y viceversa. Una fórmula no válida se dice que es inválida. Fórmulas equivalentes: Dos fórmulas G y H son equivalentes, y se denota por G H, si y sólo si los valores de verdad de G y H son los mismos para toda interpretación de F y G. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 16

5 Leyes de equivalencia (L1) Eliminación del bicondicional: F G (F G) (G F) (L2) Eliminación del condicional: F G F G (L3) Conmutativa: F G G F F G G F (L4) Asociativa: (F G) H F (G H) (F G) H F (G H) (L5) Distributiva: F (G H) (F G) (F H) F (G H) (F G) (F H) (L6) Absorción: F! F F " F (L7) Contradicción: F " " F!! (L8) Exclusión de los medios: F F " F F! (L9) Idempotencia: F F F F F F (L10) Doble negadión: F F (L11) De Morgan: (F G) F G (F G) F G (L12) G (Qx)F[x] (Qx)(G F[x]) G (Qx)F[x] (Qx)(G F[x]) (L13) De Morgan para los cuantificadores: ( x)f[x] ( x) F[x] ( x)f[x] ( x) F[x] (L14) Distributiva de cuantificadores: ( x)f[x] ( x) H[x] ( x)(f[x] H[z]) ( x)f[x] ( x) H[x] ( )(F[x] H[z]) (L15) (Q 1 x)f[x] (Q 2 x)h[x] (Q 1 x)(q 2 z)(f[x] H[z]) (Q 1 x)f[x] (Q 2 x)h[x] (Q 1 x)(q 2 z)(f[x] H[z]) César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 17 Mas conceptos Consecuencia lógica: Una fórmula G es consecuencia lógica de las fórmulas F 1, F 2,..., F n y se denota por F 1, F 2,..., F n = G si y sólo si todo modelo de F 1, F 2,..., F n es también un modelo de G. A las fórmulas F 1, F 2,..., F n se las llama premisas y a G conclusión. Se dice además que G se deriva de F 1, F 2,..., F n, o que F 1, F 2,..., F n determinan G. Teorema de refutación: Sean F 1, F 2,..., F n y G sentencias. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: F 1, F 2,..., F n = G ((F 1 F 2... F n ) G) es una tautología (F 1 F 2... F n G) es inconsistente César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 18 Sistema formal de deducción Sistema formal axiomático Axiomas lógicos Reglas de inferencia Solidez Completitud Teoría Teorema César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 19 Sistema formal de deducción: Un sistema formal de deducción es cualquier sistema que permite derivar fórmulas aplicando reglas. El tipo concreto de sistema formal de deducción que nos interesa es el sistema formal axiomático. Sistema formal axiomático: Un sistema formal axiomático es una tripleta {LL, AL, R} donde: LL es el lenguaje lógico utilizado 1. AL es un conjunto de axiomas lógicos. R es un conjunto de reglas de inferencia. Axioma lógico: Un axioma lógico es cualquier formula bien formada que sea tautológica. Lo habitual es trabajar son esquemas de axiomas. Esquema de axiomas: Un esquema de axiomas es un patrón de fórmula bien formada que denota fórmulas tautológicas. El patrón se escribe con variables (que no tienen que ver con las variables de la lógica), estas variables toman como rango el conjunto de fórmulas bien formadas. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 20

6 Axiomas lógicos Introducción de la implicación: α ( α) Distribución de la implicación: (α ( γ)) ((α ) (α γ)) Distribución universal: ( x)(α ) (( x)α ( x)) Generalización universal: α ( x)α Siempre que x no ocurra en α Instanciación universal: α ( x) x es una variable libre en α t es un término libre respecto a x en α, es decir, las variables de t no tienen cuantificadores en cuyo alcance este x se obtiene de α sustituyendo la variable x por el término t César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 21 Reglas de inferencia: Constan de dos partes: condiciones o premisas: conjunto de patrones de fórmulas bien formadas. conclusión: conjunto de patrones de fórmulas bien formadas. Se pueden denotar por un conjunto de pares ordenados, o bien de la forma: fórmulas de premisas fórmulas de conclusiones Si los patrones de las premisas se ajustan con las fórmulas del conjunto sobre el que queremos aplicar la regla de inferencia, podemos obtener la conclusión. La generación de fórmulas es por tanto una operación sintáctica. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 22 Reglas de inferencia Modus ponens: α α Abducción: α α Modus pones: α α Modus tollens: α α Eliminación del : α α Instanciación universal: ( x)α se obtiene de α sustituyendo x por un término t libre con respecto a x en α Prueba formal: Sea Ω un conjunto de fórmulas bien formadas, A un sistema formal axiomático y G una fórmula bien formada. Se llama prueba formal de G a partir de Ω utilizando el sistema formal axiomático A, a la secuencia finita de fórmulas bien formadas: G 1, G 2,..., G n donde G n = G y, o bien G i Ω, o bien G i es un axioma lógico de A, o bien se ha obtenido aplicando una regla de inferencia de A sobre fórmulas previas de la secuencia. Se denota por: Ω A G cuando el sistema formal axiomático utilizado se sobreentiende se escribe: Ω G César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 23 César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 24

7 Regla de inferencia sólida: Sea Ω un conjunto de fórmulas bien formadas, r una regla de inferencia y G una formula bien formada obtenida aplicando r sobre Ω. La regla r se dice que es una regla de inferencia sólida si para todo G se cumple que Ω = G. Sistema sólido: Sea Ω un conjunto de fórmulas bien formadas, G una fórmula bien formada y A un sistema formal axiomático. A es un sistema sólido si y sólo si para todo G que cumpla que: Ω A G se verifica además que: Ω = G Es decir, un sistema formal axiomático se dice que es sólido si todo G obtenido de un conjunto Ω de fórmulas bien formadas aplicando reglas de A también es consecuencia lógica de Ω. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 25 Sistema completo: Sea Ω un conjunto de fórmulas bien formadas, G una fórmula bien formada y A un sistema formal axiomático. A es un sistema completo si y sólo si para todo G que cumpla que: Ω = G se verifica además que: Ω A G Teoría: Una teoría T es una cuadrupla {LL, AL, AP, R} donde: LL es un lenguaje lógico. AL es un conjunto de axiomas lógicos. AP es un conjunto de axiomas propios de la teoría. R es un conjunto de reglas de inferencia. Teorema: Se dice que una fórmula bien formada G es un teorema de una teoría T si existe una prueba formal o derivación de G a partir de T (en concreto a partir del conjunto de axiomas propios de T y usando el sistema formal axiomático de T). La comprobación de G puede derivarse efectivamente de T se llama demostración de teoremas. César Ignacio García Osorio Lógica y sistemas axiomáticos 26

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