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1 MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente a la curva integral si en cada punto de un intervalo se ha dada valor de alguna magnitud entonces se dice que está definida el campo de esta magnitud. Definición La ecuación diferencial y = f(, y) da un valor para y que representa la pendiente de la recta tangente a la curva integral y = φ() que pasa por el punto (, y). Si asignamos a cada punto un segmento de esta recta, el conjunto de todos estos segmentos es llamado campo direccional para y = f(, y). Es decir, la ecuación y = f(, y) determina un campo de direcciones. 4 Y O 4 Campo direccional asociado a la EDO y = y El problema de integración de la ecuación y = f(, y) consiste en hallar una curva cuya tangente en cada punto tenga la misma dirección que el campo en ese punto.

2 Definición Dada una ecuación y = f(, y), una isoclina es el lugar geométrico de todos los puntos en los cuales las tangentes a las curvas integrales consideradas tienen una misma dirección. La familia se determina por la ecuación k = f(, y), donde k es un parámetro. 4 Y O 4 Isoclinas asociadas a la EDO y = y Ejemplo Usando isoclinas bosqueje las curvas integrales de = + y. Solución: Haciendo = k, tenemos que las isoclinas están dadas por ecuaciones de la forma k = + y. Estás ecuaciones son circunferencias centradas en el origen para k > 0, se reduce al origen si k = 0 (porque + y = 0 = y = 0) y no tienen puntos para k < 0. k = 7 k = 6 k = 5 k = k = k = k = k = 0 k = k = k = k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8 k = 9

3 4 Y O 4 k =.5 k = k =.5 k = k =.5 k = k =.5 Isoclinas y curvas integrales asociadas a la EDO = + y Ejemplo Trazar las curvas integrales de y = y. Solución: y = k y = k k = 0 y = k = y = + k = y =. k = 4

4 Y O 4 Isoclinas y curvas integrales asociadas a la EDO y = y Ejemplo Trazar las curvas integrales de y = y. 4 Solución: y = y luego k = y k familia de rectas que pasan por el origen. 4

5 4 Y O 4 Isoclinas y curvas integrales asociadas a la EDO y = y. En este caso, las isoclinas y las curvas integrales coinciden. Ejemplo 4 Trazar las curvas integrales de y = y +. Solución: Sea y = k entonces y + = k. Las isoclinas son parábolas y = + k. Si k = 0 las curvas integrales tienen tangentes horizontales en los puntos de intersección con la isoclina y = +. La isoclina y = + divide al plano en dos partes una con y < 0 y otra con y > 0. Dirección de concavidades y = y + = y + + y = y se anula sólo en los puntos de y =. 5

6 k = 0 k = 0 k = 5 k = k = 0 Y k = 4 O 4 Isoclinas y curvas integrales asociadas a la EDO y = y +. Ejemplo 5 Trazar las curvas integrales de y = y y +. Solución: Sea k = y, así k = y yk + k = y y yk = k + y + y = k + k = k + k +. La ecuación y = describe una familia de rectas que pasan por el k k origen de coordenadas. Para k = se tiene y = 0, para k = 0 se tiene y =. Si estudiamos y = y + se tiene las isoclinas y = y 6

7 4 Y k = O 4 k = / k = / k = / k = k = 0 k = Isoclinas y curvas integrales asociadas a la EDO y = y y +. Eistencia y Unicidad de Soluciones Si consideramos la ecuación diferencial y = podemos buscar una solución φ() = f tal que en = esta solución tiene valor 4, es decir, podemos escribir como = con y() = 4. De aquí podemos hacer =. Luego integramos y resulta y = + C ya al sustituir =, y = 4 se tiene 4 = + C C =. Así, f() = +. k = 0 7

8 Ejemplo 6 y + y = 0; y() = ; y () =. Este problema consiste en determinar una solución de y + y = 0 que toma valor de en = y cuya primera derivada toma el valor de en =. Definición Considere la ecuación diferencial de primer orden y = f(, y) donde f es una función continua de e y en algún dominio D del plano y y si ( 0, y 0 ) un punto de D. El problema de valor inicial asociado con y = f(, y) es determinar una solución φ de y = f(, y) definida en algún intervalo real que contenga a 0 y que satisfaga la condición inicial φ( 0 ) = y 0. Teorema (Teorema de Eistencia y Unicidad de Picard) Considere la ecuación diferencial = f(, y) () donde. La función f es una función continua de e y en algún dominio D del plano y, y. La derivada parcial f/ y es también una función continua de e y en D y sea ( 0, y 0 ) un punto de D. Entonces eiste una solución única φ de la ecuación diferencial () definida en algún intervalo 0 h donde h es suficientemente pequeño que satisface φ( 0 ) = y 0. Ejemplo 7 Sea = + y, y() =. Aquí f(, y) = + y y D es todo el plano y. Luego f = y y f(, y) son continuas en D. y y() = significa 0 =, y 0 = y el punto (, ) está en algún dominio D de y = + y definida en h en torno a 0 = que satisface φ() =. Ejemplo 8 Consideremos el problema a valor inicial dt = (sen t)y/ ; y(0) = 0. () Una solución de () es y(t) = 0. Podemos obtener otras soluciones si no tomamos en cuenta el hecho y(0) = 0. Observemos que dt y = sen t / y / = sen tdt y/ = cos t + C como y(0) = 0 cos t y/ = = sen t y / = 8 sen t y = ± 7 sen t 8 de donde y = ± 7 sen t son soluciones de (). Es importante encontrar cuál es la solución. Si derivamos el segundo miembro de = (sen t)y/ se ve que no tiene y. y=0 8

9 Ejemplo 9 (Falta de unicidad) En la ecuación diferencial el lado derecho es una función continua en todo el plano ty. parcial de y / con respecto a y no eiste si y = 0. Vamos a integrar (): y = / dt = y/, () dt y / = t + C. Es decir, y(t) = (t + C), donde C es una constante arbitraria. Consideremos el problema a valor inicial = y/, y(0) = 0. Desafortunadamente, la derivada Una solución es y(t) = 0 para todo t. Otra solución es y(t) = (t + C). Si y(0) = 0 entonces 0 = (0 + C) de donde C = 0. Así, y = t es otra solución. En conclusión y = 0, y = t son soluciones para una misma ecuación diferencial. Ejemplo 0 (Eistencia) dt = + y ; y(0) = 0. El campo de inclinación de las pendientes crecen cuando y aumenta. Por consiguiente, /dt crece con mayor rapidez cuando y(t) aumenta. Probablemente eploten las soluciones (es decir, tiendan al infinito rapidamente). Veamos un método analítico: + y = dt arctan y = t + C, C constante y = tan(t + C) solución. Si usamos y(0) = 0, 0 = y(0) = tan(0 + C) encontramos tan(c) = 0, es decir, C = 0 ó C = nπ, para algún n Z. Así, la solución particular es y(t) = tan t. 9

10 Ejemplo = Ejemplo = 4 Y O 4 Campo direccional y curvas integrales asociadas a la EDO y = + y y ; y() =. Solución: Sea f(, y) = y continua ecepto para = 0, ( 0, y / 0 ) = (, ). El cuadrado de lado con centro (, ) no contiene al eje y. f y = El problema tiene solución. y ; y(0) =. Solución: f(, y) = y es continua ecepto en = 0. 0 = 0; y 0 = f no es continua. f y = no es continua en = 0, ya que (0, ) no puede ser incluido en D. No podemos concluir que el problema tenga solución. No estamos afirmando que no tenga una solución. Ejemplo Halle un rectángulo a b, c y d en el cual se pueda garantizar la validez del Teorema de Picard: (y )y = y; y( ) =. Solución: El problema y = y y, 0 =, y 0 =, se debe verificar que: f es continua, f y continua en a b, c y d: 0

11 i) f = y es continua para y y ii) f (y ) ( y) = = y (y ) f si y = 0, es discontinua. (y ) y El punto (, ) no está en y = 0 pues ( ) = + 0. Por lo tanto, el rectangulo pedido contiene el punto (, ) en su interior y está en el semiplano {(, y) R : y + < 0}. Ecuaciones Lineales de primer orden. El Método del factor integrante El método de factor integrante nos permitirá hallar las soluciones de una ecuación diferencial lineal de primer orden y + P ()y = g() en forma eplícita nos puede asegurar que eiste una solución al problema y + P ()y = g(); y( 0 ) = y 0. Teorema Si P () y g() son continuas en un intervalo abierto J que contiene 0, entonces (i) Todas la soluciones de la ecuación y + P ()y = g() se obtienen dando valores reales a la constante C en y = ( ) µ()g() + C, µ() donde µ() = e p(). La función µ() es llamada el factor integrante de la ecuación diferencial. (ii) Eiste una única solución al problema de valores iniciales y + P ()y = g(), y( 0 ) = y 0, para todo J. Demostración: (i) Si y() es solución de y + P ()y = g(), también lo será si multiplicamos por µ(), es decir, se cumple que µ()y + µ()p ()y = µ()g(). (4) De la relación µ() = e P () se tiene que µ () = P ()µ() (5) Así, (4) se escribe µ()y + µ ()y = g()µ() (µ()y) = g()µ().

12 µ()y() = y() = [ µ() Integrando g()µ() + C ] µ()g() + C. (ii) Si = 0, y = y 0 en y() = ( µ() ) µ()g() + C, se obtiene un único valor C = C 0 ; y() = ( ) µ()g() + C0. µ() Ejemplo 4 Resolver ( + e ) + e y = 0. Solución: ( + e ) + e y = 0 + e + e y = 0 e P () =, g() = 0. + e µ() = e P () = e e +e = + e. Multiplicando la ecuación + e y = 0 por µ() se + e obtiene ( + e ) + ( + e e ) + e y = 0 ( + e ) + e y = 0 d [( + e )y] = 0 Integrando: ( + e )y = C y = C + e. También podemos resolver la ecuación ( + e ) + e y = 0 usando el método de separación de variables: ( + e ) = e y y = e + e ln y = ln C + e ln y + ln C + e = 0 ln [Cy( + e )] = 0 Cy( + e ) = y = C( + e ).

13 Ejemplo 5 Resolver y ( ) = 0. Solución: Es claro que y ( ) = 0 y ( ) = 0, y dividiendo entre, obtenemos la ecuación lineal de primer orden y =. Multiplicando ahora por el factor integrante µ() = e = e ln = (, obtenemos la ecuación y y ) =, que ( y se puede epresar como = ), de donde y =. Por lo tanto, y = + C, para algún C R. Finalmente, la solución es y = + C. Ejemplo 6 Resolver la ecuación ( + y cos ) + sen = 0. Solución: ( + y cos ) + sen = 0 + y cos + sen = 0 + cos sen y = sen µ() = e cos sen = e ln sen = sen, multiplicando la ecuación (6) por sen se tiene que y sen + y cos = (y sen ) = Ejemplo 7 Resolver y y = ( ). entonces y sen = + C y = C sen para kπ, k Z. sen Solución: y y = ( ) ; P () = ; µ() = e µ() = e = e ln = ( ) y ( ) y ( ) = ( ) ( ) ( ) y = ( ) y ( ) = ( ) + C [ ] y = ( ) ( ) + C. P () Ejemplo 8 Resolver y =. (6)

14 Solución: La ecueción tiene la forma: + P ()y = G() donde P () = ; G() =. Así, µ() = e P () = e = e, multiplicando la ecuación por µ() e e y = e de donde ( e y) = e ye = e + C ye = e + C y = + Ce. Ejemplo 9 Obtener la solución del problema + ty = t; y() =. dt Solución: La ecuación diferencial tiene la forma: + P ()y = G(t), y el factor integrante es µ() = e P (t)dt = e tdt = e t. Multiplicando por µ() ambos miembros de la ecuación dada, obtenemos e dt + et ty = e t t t de donde ( e t) t = e t t e t y = te t dt + C e t y = et + C y = + Ce t. Para t =, y = y, así, e = e + C C = e de donde y = + e t. Ejemplo 0 Resolver y y = ; y(). Solución: y =, 0. y = Sea µ() = e = e ln = e =. Multiplicando y = por µ(), obtenemos y = y y = ( y) = y = + C. Haciendo uso de las condiciones =, = = + C C = y = + y = +. 4

15 Ejemplo Resolver y ( y + e y ) =. Solución: ) (y + e y = y + ey = = y + ey y ey = 0 lineal en y. y = ey µ() = e y = e y + C ) e y ye y = (e y e y = y + C = e y (y + C). Correcciones y gráficos: Boris Iskra February, 00 5

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