SEMANAS 07 Y 08 CLASES 05 Y 06 VIERNES 25/05/12 Y 01/06/12

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1 CÁLCULO IV (7) SEMANAS 7 Y 8 CLASES 5 Y 6 VIERNES 5/5/1 Y 1/6/1 1 Observación Las propiedades de una función real de una variable real se reflejan en su gráfica Pero para w = f(), con w complejos, no es posible hacer una gráfica análoga, porque cada uno de esos números complejos está en un plano, no en una recta No obstante, se puede representar cierta información parcial de la función indicando pares de puntos correspondientes = (x, ) w = (u,v) A tal fin, se dibujan por separado los planos de de w Observaciones de interés: Con base en lo anterior, cuando se piensa de ese modo se habla de una transformación La imagen de un punto del dominio de definición S es el punto w = f() El conjunto de todas las imágenes de los puntos de un conjunto T contenido en S constituen la imagen de T La imagen de todo el dominio de definición se llama la imagen de f Con el fin de captar las características geométricas de ciertas transformaciones se utilian los términos traslación, rotación reflexión 3 Ejemplos de interés: La transformación w = + 1 = (x + 1) + i, donde = x + i, se puede interpretar como una traslación de cada punto una unidad hacia la derecha Como i / e π i =, la transformación iθ i π/ iθ i( θ+π/) w = i = ire = re e = re, gira el vector posición de cada punto no nulo un ángulo recto en sentido antihorario en torno al origen La transformación w = = x i, transforma cada punto en su reflejado respecto del eje real 4 Observación Se obtiene más información de una gráfica que muestre las imágenes de curvas regiones que de la simple enumeración de imágenes de puntos particulares 5 Ejemplo de interés Se tiene una malla formada por arcos de circunferencias concéntricas de radio variable comprendidos entre los ángulos π / 4 segmentos de rectas que pasan por el origen Con una discretiación apropiada se quiere saber la imagen en el plano w de las curvas construidas en el plano producto de la transformación 3 w = Prof José Luis Quintero 9

2 6 Observaciones de interés: Para cada circunferencia se tiene que los puntos de la forma iθ = r e que representan circunferencias concéntricas con centro en el origen ahora son transformadas como 3 3 i3θ w = f() = = (r ) e De modo que si su radio inicial es menor que 1, ahora este radio es menor si es maor que 1 este radio es maor Por otro lado, los ángulos se triplicaron por efecto de la transformación En los segmentos el efecto fue de alargamiento en su tamaño rotación de su ángulo en sentido antihorario siendo el triple del inicial La gráfica de los planos w se muestra en la figura 1 Estos gráficos fueron generados con el programa transformam de MATLAB Figura 1 Algunas curvas de la transformación del ejemplo ilustrativo 7 Definiciones de interés: ε entorno de un punto dado Consta de todos los puntos interiores al círculo centrado en de radio especificado ε > entorno perforado Consta de todos los puntos de un excepto el propio ε entorno de 8 Límite Sea f una función definida en todos los puntos de un entorno perforado de Se dice que el ite de f() cuando tiende a es el número w se denotará por f() = w, si se puede lograr que el punto w = f() esté tan cerca de w como se quiera eligiendo el punto suficientemente próximo a, pero distinto de él Prof José Luis Quintero 1

3 9 Ejemplo 1 Si f() =, demuestre que el ite f() no existe Cuando = (x, ) es un punto del eje real, distinto del origen, x + i f() = = 1 x i Cuando = (, ) es un punto del eje imaginario, distinto del origen, + i f() = = 1 i Por tanto, si se hace tender hacia el origen por el eje real se obtiene como ite el valor 1, mientras que si se tiende por el eje imaginario se obtiene -1 Puesto que el valor de un ite, cuando este existe, es único, se conclue que el ite no existe 1 Ejemplo Calcule + i 1 + i + 1 ( + i)( i) = = ( i) = i + i + i i i i 11 TEOREMA Si w son puntos de los planos w, respectivamente, entonces a f() = si sólo si = f() 1 1 b f() = w si sólo si f = w 1 c f() = si sólo si = f(1 / ) 1 Ejemplo 3 Calcule Como i =, i entonces, de acuerdo con el inciso a del teorema anterior, i + 3 = Ejemplo 4 Calcule + i + 1 Prof José Luis Quintero 11

4 Sea Resolviendo ( / ) i (1 / ) ( / ) + i + i = = (1 / ) Entonces, de acuerdo con el inciso b del teorema anterior, + i = Ejemplo 5 Calcule Sea Resolviendo (1 / ) + 1 (1 / ) (1 / ) = = 3 3 (1 / ) 1 Entonces, de acuerdo con el inciso c del teorema anterior, 3 1 = Continuidad Una función f es continua en un punto si satisface las tres condiciones siguientes: a f() existe b f( ) existe c f() = f( ) 16 Derivada Sea f una función cuo dominio de definición contiene un entorno del punto La derivada de f en, que se denota por f '( ), se define como f() f( ) f '( ) = siempre que este ite exista Cuando existe la derivada de f en se dice que f es derivable en 17 Observación Expresando en la definición anterior la variable en términos de la nueva variable compleja =, se puede reescribir la definición como f '( ) = f( + ) f( ) Prof José Luis Quintero 1

5 18 Ejemplo 6 Sea f() = Halle f '() En cualquier punto se tiene ( + ) + + ( ) f '() = = = ( + ) = 19 Ejemplo 7 Sea f() = = Halle f '() ( + )( + ) + + f '() = = = + + Cuando = ( x, ) entonces = Cuando = (, ) entonces = f '() = + + = + f '() = = Puesto que el valor de un ite, cuando este existe, es único, se conclue que para que el ite anterior sea único entonces = Por lo tanto f() sólo es derivable en = Ecuaciones de Cauch-Riemann Recordando que f() se puede expresar como f() = u(x, ) + iv(x, ) asumiendo que se acerca al origen por puntos de la forma ( x,), se tiene que f( + ) f( ) f '( ) = u(x + x, ) + iv(x + x, ) u(x, ) iv(x, ) = x x u(x + x, ) u(x, ) v(x + x, ) v(x, ) = + i x x x = u (x, ) + iv (x, ) x x Si ahora se acerca al origen por puntos de la forma (, ), se tiene que f( + ) f( ) f '( ) = u(x, + ) + iv(x, + ) u(x, ) iv(x, ) = i u(x, + ) u(x, ) v(x, + ) v(x, ) = + i i i u(x, + ) u(x, ) v(x, + ) v(x, ) = i + = v (x, ) iu (x, ) Se tienen ahora expresiones que relacionan f '() con las funciones u(x,), v(x,) Si se igualan la parte real la parte imaginaria de cada una de esas expresiones se tienen las ecuaciones: Prof José Luis Quintero 13

6 u x(x, ) = v (x, ), v x(x, ) = u (x, ) Las ecuaciones anteriores son llamadas ecuaciones de Cauch-Riemann Estas ecuaciones proporcionan condiciones necesarias para la existencia de f '( ) 1 Ejemplo 8 Sea f() = = x i Para qué valores de será f() derivable? u(x,) = x u (x,) = 1, u(x,) = x u (x,) = x v(x,) = v (x,) =, v(x,) = v (x,) = 1 x Construendo las ecuaciones de Cauch-Riemman se obtiene que: 1 = 1, =, donde se aprecia que en la primera se tiene un absurdo Se conclue que f() no es derivable en ningún Ejemplo 9 Sean x f() = f(x + i) = + i x + x + Sera derivable g() para =?, f() g() = = x x(x + ) x x x u(x,) = u (x,) = = x + (x + ) (x + ) x x x x u(x,) = u (x,) = = x + (x + ) (x + ) x x v(x,) = v (x,) = = x + (x + ) (x + ) x (x + ) x v(x,) = v (x,) = = x + (x + ) (x + ) Construendo las ecuaciones de Cauch-Riemman x x x x = x = x, = x = x (x + ) (x + ) (x + ) (x + ) Al evaluarla en =, ambas se verifican Se estudiará la continuidad de g() en = : (x,) (,) Si se estudia la parte real se tiene que x + i x + x + (x,) (,) x x Si se eligen traectorias de la forma (x,), el ite es igual a 1 Si se eligen traectorias de la forma (x,x) el ite es igual a ½ Se conclue entonces que g() no es continua en =, por tanto no es derivable en = + 3 Condiciones suficientes de derivabilidad Suponga que la función dada por f() = u(x, ) + iv(x, ) está definida en un ε entorno del punto = x + i, que las derivadas parciales de primer orden de las funciones u v respecto de x e Prof José Luis Quintero 14

7 existen en todos los puntos de ese entorno Si esas derivadas parciales son continuas en (x, ) satisfacen las ecuaciones de Cauch-Riemann en (x, ), entonces f '( ) existe 4 Función analítica Se dice que f es analítica (holomorfa o regular) en un punto si es derivable en un entorno de 5 Punto singular o singularidad Si una función f no es analítica en un punto pero es analítica en algún punto de cualquier entorno de, se dirá que es un punto singular o una singularidad de f 6 Ejemplo 1 El cociente + 4 f() = ( 3)( + 1) es evidentemente analítico en todo el plano excepto en los puntos singulares = ± 3 = ± i 7 Observación Cuando una función viene dada en términos de sus funciones componentes u(x,) v(x,), su analiticidad se puede investigar aplicando los resultados concernientes a las condiciones de Cauch-Riemann 8 Función entera Se dice que f es una función entera si es analítica en todo punto del plano 9 Ejemplo 11 Para f() = cosh(x) cos() + isenh(x)sen(), las funciones componentes son u(x, ) 3 = cosh(x) cos() v(x, ) = senh(x)sen() Como ux = senh(x) cos() = v u = cos h(x)sen() = v en todas partes son continuas, se asegura que f es una función entera x 3 Función armónica Una función real de dos variables reales x, se dice que es armónica en un dominio del plano x si en todos los puntos de ese dominio tiene derivadas parciales de primer de segundo orden continuas satisface además la ecuación en derivadas parciales H xx(x, ) + H (x, ) =, conocida como ecuación de Laplace 31 Ejemplo 1 Es fácil verificar que la función cualquier dominio del plano x T(x, ) = e sen(x) es armónica en 3 TEOREMA Si una función f() = u(x, ) + iv(x, ) es analítica en un dominio D, las funciones componentes u v son armónicas en D 33 Ejemplo 13 Ya se sabe que f() = cosh(x) cos() + isenh(x)sen() es analítica en todo el plano, es decir, es entera Por lo tanto las funciones u(x,) = cosh(x)cos() v(x, ) = senh(x)sen() son armónicas en todo el plano Prof José Luis Quintero 15

8 34 Ejemplo 14 Se puede demostrar fácilmente que la función compleja dada por f() = x + ix es analítica en todo el plano, es decir, es entera Por lo tanto las funciones u(x, ) = x v(x, ) = x son armónicas en todo el plano 35 Función armónica conjugada Una función v(x,) es armónica conjugada de una función u(x,) en un dominio D si la función f() = u(x,) + iv(x,) es analítica en el dominio D 36 Ejemplo 15 Sea f() = x + i(x ) La función función armónica conjugada de u(x, ) v(x, ) = x no es una = x En efecto se puede ver que al aplicar la ecuaciones de Cauch-Riemann se tiene que u = v =, u = v x = x, x x donde se aprecia que no se verifican, por lo tanto f() no es analítica en ningún punto 37 Ejemplo 16 Sea u(x,) = x una función armónica en todo el plano Encuentre una función armónica conjugada para la función u(x,) Como una armónica conjugada v(x,) está relacionada con u(x,) a través de las ecuaciones de Cauch-Riemann ux = v, u = vx, entonces se tiene que v = ux =, vx = u = x Integrando respecto a se tiene que v(x, ) = d = + g(x) Si se deriva ahora respecto de x se tiene que x = g'(x) g(x) = x + C De modo que la familia obtenida es de la forma de esta familia puede ser sería f() = x + i( x ) v(x, ) = x + C Un miembro v(x, ) = x la función analítica correspondiente 38 Ejemplo 17 Sea 3 u(x,) = 3x una función armónica en todo el plano Encuentre una función armónica conjugada para la función u(x,) Como una armónica conjugada v(x,) está relacionada con u(x,) a través de las ecuaciones de Cauch-Riemann ux = v, u = vx, entonces se tiene que x x v = u = 6x, v = u = 3x 3 Integrando respecto a se tiene que v(x, ) = 6xd = 3x + g(x) Si se deriva ahora respecto de x se tiene que 3 3x 3 = 3 + g'(x) g'(x) = 3x g(x) = x + C Prof José Luis Quintero 16

9 De modo que la familia obtenida es de la forma de esta familia puede ser sería 3 3 f() = ( 3x ) + i(x 3x ) 3 v(x, ) = x 3x + C Un miembro 3 v(x, ) = x 3x la función analítica correspondiente 39 Transformación conforme Una transformación w = f() se dice que es conforme en un punto si f es analítica en f '( ) 4 Observaciones ejemplos: La transformación conforme posee la propiedad de preservación de ángulos La transformación w = e es conforme en todo el plano porque (e )' = e en todo 41 Algunas aplicaciones de las funciones analíticas: En transferencia de calor en el plano sin variación con el tiempo (estacionario) En flujo de fluidos ideales En flujo bidimensional de un fluido no viscoso Flujo alrededor de un cilindro Prof José Luis Quintero 17

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