Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Ingeniería de Telecomunicación

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1 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Ingeniería de Telecomunicación Universidad de Alcalá José Enrique Morais San Miguel 27 de septiembre de 2004

2 Índice general I VARIABLE COMPLEJA 1 1. Funciones de variable compleja Repaso de algunas cuestiones sobre números complejos Regiones del plano complejo Funciones de variable compleja Límites y continuidad Límites y punto al infinito Continuidad Derivación Condiciones de Cauchy-Riemann Funciones analíticas Funciones armónicas Funciones elementales Funciones polinómicas y racionales Función exponencial Funciones trigonométricas Funciones hiperbólicas Logaritmo La función z c Integración en el plano complejo Funciones complejas w(t) Integrales de contorno Teorema de Cauchy-Goursat Primitivas e integrales definidas Fórmula integral de Cauchy. Derivadas de una función analítica Otros resultados de interés El Teorema de Morera Teorema de Liouville y Teorema fundamental del Álgebra El Teorema del valor medio de Gauss Los teoremas del módulo máximo y del módulo mínimo Desarrollos en serie Convergencia de series complejas Convergencia uniforme i

3 3.3. Series de potencias y series de Taylor Series de Taylor Series de Laurent Cálculo de residuos Definición de residuo. Teorema de los residuos Parte principal de una función. Polos Caracterización de los polos Residuos en los polos Aplicaciones de los residuos Cálculo de integrales reales usando residuos Integrales impropias Integración alrededor de como herramienta para evaluar integrales definidas Otras aplicaciones de los residuos

4 Parte I VARIABLE COMPLEJA 1

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6 Capítulo 1 Funciones de variable compleja 1.1. Repaso de algunas cuestiones sobre números complejos Un número complejo z es un número que puede ser escrito en la forma z = a + i b, con a y b números reales. Se dice que a es la parte real de z (a = Re(z)) y que b es su parte imaginaria (b = Im(z)). De esta forma, los números complejos pueden identificarse con R 2 y se tendrá que dos números complejos son iguales si, y sólo si, son iguales sus partes real e imaginaria. En el conjunto de los números complejos no establecerá un orden; esto es, carecerá de sentido decir si un cierto complejo es mayor o menor que otro. Por otro lado, podemos dotar al conjunto de números complejos de estructura de cuerpo con las siguientes operaciones internas: si z = a + ib y w = c + id, Obsérvese que, por lo tanto, i 2 = i i = 1. z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (ac bd) + i(ad + bc) Un concepto relevante dentro del cuerpo de los complejos es el de números complejos conjugados: dos números complejos se dicen conjugados si tienen misma parte real y parte imaginaria opuesta. Si z = a + ib, su conjugado, escrito z, es z = a ib. En consecuencia, se tiene: z + z = 2a = 2 Re(z) z z = 2ib = 2i Im(z) z z = a 2 + b 2 Usando el conjugado es fácil ver cuál es el inverso de un número complejo distinto de cero dado z: z 1 = z zz 3

7 4 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Esto es, si z = a + ib, z 1 = a ib a 2 +b 2. Por lo tanto, si z = a + ib y w = c + id, se tiene: z w = a + ib c + id z w = zw ww y ac + bd bc ad = c 2 + i + d2 c 2 + d 2. Señalamos, a continuación, algunas propiedades de la conjugación en relación a las operaciones aritméticas en el cuerpo de los números complejos, habitualmente denotado por C: (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2, (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 y Representación módulo argumental ( z1 z 2 ) = z 1 z 2. A partir de la identificación de C con R 2 (como espacios vectoriales reales son isomorfos), a cada número complejo le podemos asociar lo que llamaremos su módulo: z = a + ib = a 2 + b 2, esto es, la norma euclídea del par (a, b) R 2. En consecuencia, se tiene que: a) Para todo z C, z 0 y z = 0 = z = 0. b) Para cualesquiera z 1 y z 2 en C, z 1 + z 2 z 1 + z 2. c) Para cualesquiera z 1 y z 2 en C, z 1 z 2 z 1 z 2. Por otro lado, es fácil ver que z 1 z 2 = z 1 z 2 para cualesquiera números complejos z 1 y z 2, y que z 2 = zz. La identificación de C y R 2 también nos permite representar los números complejos mediante coordenadas polares, r y θ (típicamente, a θ se le dice argumento de z y se escribe θ = arg(z)). De este modo, si z = x + iy C, r = z y tg θ = y/x, se tiene: z = r(cos θ + i sen θ). A menudo, se escribe z = re iθ 1. Obsérvese que el argumento de un número complejo no es único, sino que se tiene que r 1 e iθ 1 = r 2 e iθ 2 si, y sólo, si r 1 = r 2 y θ 1 θ 2 es un múltiplo entero de 2π. En relación a esta representación y las operaciones en C, podemos destacar las siguientes propiedades: 1.- Si z = re iθ, z = re iθ. 2.- Si z 1 = r 1 e iθ 1 y z 2 = r 2 e iθ 2, z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) y 3.- Si z 1 = r 1 e iθ 1 y z 2 = r 2 e iθ 2, z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ). En particular, z 1 1 = 1 r e iθ 1. 1 Por ahora, nos limitaremos a considerar esto como una mera notación que adquirirá todo su sentido cuando se introduzca la exponencial compleja

8 1.2. REGIONES DEL PLANO COMPLEJO 5 Potencias enteras y racionales de números complejos La expresión módulo-argumental de un número complejo simplifica de manera importante la expresión de potencias enteras de números complejos y también de potencias racionales. Dado que z 1 z 2 z n = r 1 r 2 r n e i(θ 1+θ 2 + +θ n), es fácil ver que, si n es un número entero y z = re iθ, z n = r n e inθ. Es decir, el módulo de z n es el módulo de z a la n ésima potencia, mientras su argumento es n veces el argumento de z. A partir de lo anterior, intentemos elevar z = re iθ = r(cos θ + isen θ) a una potencia racional, empezando por z 1/m y suponiendo que m es un número positivo. Supongamos, pues que z 1/m = ρe iα. Se tiene: z = r(cos θ + isen θ) = ρ m (cos nα + isen nα) En consecuencia, ρ = m r. Por otro lado, mα θ será un múltiplo entero de 2π, luego: α = θ + 2kπ k = 0,..., m 1. m Para el caso en que m sea negativo, la fórmula anterior sigue siendo válida, salvo que el índice k variará entre 0 y m Regiones del plano complejo Trataremos ahora algunas regiones especiales del plano complejo con las que trabajaremos en lo que sigue: Entorno: Llamaremos entorno abierto de centro z 0 y de radio ε R al conjunto de puntos del plano complejo: {z C : z z 0 < ε}, esto es, el conjunto de puntos interiores a la circunferencia centrada en z 0 y de radio ε. A veces convendrá utilizar lo que se conoce como entornos reducidos, es decir, entornos de un punto z 0 en el que excluimos el propio punto z 0. Por otro lado, hablaremos de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulación de un subconjunto de los números complejos como se hace usualmente en R 2. Por ejemplo, z es un punto interior de S C si existe un entorno de z totalmente contenido en S. Conjuntos abiertos, cerrados y acotados: Un subconjunto de los números complejos se dice abierto si todo punto es interior y se dice cerrado si su complementario es abierto. Diremos, por otro lado, que un conjunto de números complejos es acotado si está contenido en algún círculo z R.

9 6 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Conjuntos conexos, dominios y regiones: Un conjunto S C se dice conexo si todo par de puntos del mismo pueden unirse mediante una poligonal que esté contenida en S. A los conjuntos abiertos y conexos los llamaremos dominios. Finalmente, llamaremos regiones a los dominios junto con alguno, ninguno, o todos sus puntos frontera 1.3. Funciones de variable compleja Consideraremos a partir de ahora funciones definidas en un subconjunto de los complejos que toman valores complejos, esto es, funciones: f : S C C En consecuencia, una función f definida sobre S es una regla que asigna a cada z S un número complejo w. Es importante señalar que la definición de función implica tanto dar una regla de asignación como el dominio de definición. En el caso de que no se haga mención explícita de dicho dominio, se entenderá que se toma el mayor conjunto posible. Por ejemplo, si hablamos de la función f(z) = 2 z i, entendemos que su dominio es C \ {i}. Supongamos que w = u + iv es el valor de la función f en z = x + iy, es decir f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). A u(x, y) se le dice parte real de f y a v(x, y) parte imaginaria de f. Ejemplo 1.1 Si f(z) = e z, u(x, y) = e x 2 +y 2 y v(x, y) = 0. Si f(z) = z 2, u(x, y) = x 2 y 2 y v(x, y) = 2xy. Ejemplo 1.2 Expresar w directamente en términos de z si Usando que w(z) = 2x + iy + x iy x 2 + y 2 tenemos x = z + z 2 w(z) = z + z + z z 2 y = z z, 2i + z zz = 3z 2 + z z Si utilizamos coordenadas polares, r y θ, entonces w = u + iv = f(re iθ ) donde w = f(z) y z = re iθ. En este caso, podemos escribir: f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ).

10 1.4. LÍMITES Y CONTINUIDAD 7 Ejemplo 1.3 Sea f(z) = z + 1 z. En este caso, f(re iθ ) = re iθ + 1 re iθ = r(cosθ + isen θ) + 1 (cos θ isen θ) = r ( = r + 1 ) ( cos θ + i r 1 ) sen θ. r r Así pues, u(r, θ) = ( r + 1 ) ( cos θ ; v(r, θ) = r 1 ) sen θ. r r 1.4. Límites y continuidad Definición 1.4 (Límite) Sea f(z) una función definida en todos los puntos de un entorno reducido de z 0. Se dice que el límite de f(z) cuando z tiende a z 0 es w 0, y se denota si para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que lím z z 0 f(z) = w 0 0 < z z 0 < δ = f(z) w 0 < ε. Ejemplo 1.5 Para ilustrar la definición, consideremos algunos ejemplos: 1.- Sea f(z) = iz. Demostrar que lím z 1 f(z) = i. 2.- Estudiar la existencia de límite de la función en z = 0. f(z) = f(x + iy) = x2 + x x + y + + y iy2 x + y 3.- Estudiar la existencia de límite de la función f(z) = Arg(z) (argumento de z, tomado este en el intervalo ( π, π]) en el semieje real negativo. Proposición 1.6 El límite de una función en un punto, si existe, es único. Proposición 1.7 Supongamos que f(z) = u(x, y) + iv(x, y) con z = x + iy, z 0 = x 0 + iy 0 y w 0 = u 0 + iv 0. Entonces, si, y sólo si, lím z z 0 f(z) = w 0 lím (x,y) (x 0,y 0 ) u(x, y) = u 0 y lím (x,y) (x 0,y 0 ) v(x, y) = v 0

11 8 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Teorema 1.8 Supongamos que Entonces: lím f(z) = v 0 y lím f(z) = w 0. z z 0 z z0 lím z z 0 [f(z) + g(z)] = v 0 + w 0 lím z z 0 [f(z) g(z)] = v 0 w 0 f(z) Si w 0 0, lím z z0 g(z) = v 0 w 0 De las propiedades anteriores, es fácil deducir que, si p(z) es una función polinómica, se tiene que, para todo z 0 C Límites y punto al infinito lím p(z) = p(z 0 ). z z 0 En ocasiones, resulta de interés introducir en el plano complejo el denominado punto del infinito, que denotaremos por, y usar límites relacionados con él. De manera intuitiva, el módulo de dicho punto sería más grande que el de cualquier número complejo. Para ilustrar este concepto podemos considerar la conocida como proyección estereográfica: consideremos el plano complejo (el conjunto de números complejos z = x + iy) con un tercer eje ortogonal, digamos el eje ζ. Consideremos asimismo una esfera de radio 1/2 con centro x = 0, y = 0, ζ = 1/2. El polo norte N, se corresponde con x = 0, y = 0, ζ = 1 y el polo sur, S, con x = 0, y = 0, ζ = 0. Esta esfera se llama esfera de Riemann. Ahora, para cada punto del plano xy que representa un complejo z = x + iy trazamos la recta que une N con dicho punto. Esta recta corta a la esfera en un único punto z. De esta forma, cada punto del plano complejo se puede proyectar en un único punto de la esfera. Los puntos del plano xy lejanos al origen se proyectan sobre puntos de la esfera próximos al polo norte, pero ninguno de ellos se proyecta en N. En consecuencia, concluimos que el polo norte, N, de la esfera se corresponde con el punto del infinito. El plano complejo al que añadimos el punto del infinito, se denomina plano complejo ampliado. El conjunto de números complejos z tales que z > 1 ε es un entorno de. De esta forma, se puede dar sentido a expresiones de la forma: Así, lím f(z) = w 0 C o z lím f(z) = z z0 lím f(z) = z z 0 si, y sólo si, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < z z 0 < δ = f(z) > 1 ε.

12 1.4. LÍMITES Y CONTINUIDAD 9 Obsérvese que: Igualmente, 1 lím f(z) = lím z z 0 z z0 f(z) = 0. lím f(z) = w 0 C z si, y sólo si, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que z > 1 δ = f(z) w 0 > ε. Por lo tanto, Finalmente, lím f(z) = w 0 C lím f z z 0 lím f(z) = z ( ) 1 = w 0. z si, y sólo si, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que z > 1 δ = f(z) > 1 ε. En consecuencia, Continuidad lím f(z) = lím z z 0 1 f ( 1 z ) = 0. Definición 1.9 (Continuidad) Una función se dice continua en un punto z 0 si se verifica: i) Existe lím z z0 f(z). ii) f está definida en z 0. iii) lím z z0 f(z) = f(z 0 ). Por otro lado, diremos que una función es continua en una región R si lo es en todos sus puntos. Atendiendo a la definición de continuidad y a las propiedades del límite (véanse Proposición 1.7 y Teorema 1.8), es fácil ver que: Si f y g son continuas en un cierto punto, su suma y su producto también lo son. Si además g no se anula en dicho punto, el cociente f/g también es continuo en el punto en cuestión. Cualquier función polinómica es continua en todo el plano complejo. La composición de funciones continuas es continua.

13 10 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Si la función f es continua en z 0 y f(z 0 ) 0, existe un entorno de f en el que la función no se anula en ningún punto del mismo. Una función f(z) es continua en z 0 = x 0 +iy 0 si, y sólo si, sus partes real e imaginaria lo son en (x 0, y 0 ). Si f es una función continua en una región R cerrada y acotada, entonces f(z) alcanza, en módulo, su valor máximo en algún punto de R, es decir, se tiene: f(z) M, z R y Existe z 0 R tal que f(z 0 ) = M Derivación Definición 1.10 (Función derivable u holomorfa) Sea Ω C un conjunto abierto, z 0 Ω y f : Ω C una función. Se dice que la función f(z) es derivable (u holomorfa) en z 0 si existe el límite: f(z) f(z 0 ) lím. z z 0 z z 0 En tal caso, el límite se escribe f (z 0 ) o df dz (z 0) y se dice derivada de f en z 0. Obsérvese que tomando z = z z 0, el límite anterior puede rescribirse en la forma Ejemplo 1.11 lím z 0 f(z 0 + z) f(z 0 ). z 1.- La función f(z) = z no es holomorfa en z 0 = La función f(z) = z n, con n un número entero positivo, es holomorfa en todo el plano complejo y f (z) = z n 1. Proposición 1.12 Si f es derivable en z 0, entonces es continua en z 0. Demostración.- Basta escribir [ ] f(z) f(z0 ) f(z) f(z 0 ) = (z z 0 ). z z 0 Proposición 1.13 Para el cálculo de derivadas, son aplicables las siguientes reglas de derivación: a) Si w(z) = c, d w dz = 0.

14 1.5. DERIVACIÓN 11 b) Si w(z) = z, c) Si w(z) es derivable y c C, d w dz = 1. d w (cw) = cd dz dz. d) Si w 1 (z) y w 2 (z) son derivables, e) Si w 1 (z) y w 2 (z) son derivables, d dz (w 1 + w 2 ) = d w 1 dz + d w 2 dz d dz (w 1 w 2 ) = d w 1 dz w 2 + w 1 d w 2 dz f) Si w 1 (z) y w 2 (z) son derivables y w 2 0 en z 0, d dz ( w1 w 2 ) = w 2 d w 1 d w dz w 2 1 dz w2 2 g) (Regla de la cadena) Si F (z) = f(g(z)), F (z 0 ) = g (f(z 0 )) f (z 0 ). Como es habitual, llamando w = f(z) y W = F (z) = g(w) podemos escribir d W dz = d W dw d w dz. Teorema 1.14 (Regla de L Hôpital) Si g(z 0 ) = 0 y h(z 0 ) = 0,y además las funciones g(z) y h(z) son derivables en z 0 con h (z 0 ) 0, entonces g(z) lím z z 0 h(z) = g (z 0 ) h (z 0 ) Condiciones de Cauchy-Riemann Supongamos que una función f(z), viene expresada en términos de sus partes real e imaginaria, esto es f(z) = u(x, y) + iv(x, y) y queremos saber si existe su derivada en un punto dado z 0 = x 0 + iy 0. El incremento de las variables x e y por x = x x 0 y y = y y 0 respectivamente, produce un incremento en la variable z, z = z z 0 = x + i y. Supongamos, sin embargo, que exigimos que z pertenezca a la recta y = y 0, con lo que y = 0 y z = x. Si asumimos la existencia de f (z 0 ), se tendrá que: f f(z 0 + x) f(z 0 ) (z 0 ) = lím = x 0 x

15 12 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA u(x 0 + x, y 0 ) + iv(x 0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) = lím x 0 x [ u(x0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) = lím x 0 En consecuencia, se tendrá x + i v(x 0 + x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) x f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) (1.1) Si ahora exigimos que z se mueva en la recta de ecuación x = x 0, se tendrá que x = 0 y z = i y. Actuando como antes, tenemos = ] luego f f(z 0 + i y) f(z 0 ) (z 0 ) = lím = y 0 i y u(x 0, y 0 + y) + iv(x 0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) = lím y 0 i y [ v(x0, y 0 + y) v(x 0, y 0 ) = lím y 0 y i u(x 0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) y = ], f (z 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) (1.2) Si en cada punto en el que exista f (z) hacemos lo anterior, juntando las ecuaciones (1.1) y (1.2) se llega a las ecuaciones conocidas como de Cauchy-Riemann u x = v y ; v x = u y (1.3) Lo que hemos demostrado con nuestros razonamientos es que las condiciones de Cauchy- Riemann son necesarias para que una función sea holomorfa en un punto dado. Ahora bien, son condiciones suficientes? Bajo qué hipótesis? La respuesta, en el Teorema siguiente: Teorema 1.15 Sea f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) verifica que u, v y sus derivadas de primer orden( u x, u y, v x, v y ) son continuas en un entorno de z 0, la verificación de las condiciones de Cauchy-Riemann (1.3) es condición necesaria y suficiente para la existencia de f (z 0 ). En este caso, además se tiene: f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) Ejemplo 1.16 Determinar, mediante las condiciones de Cauchy-Riemann, los puntos del plano complejo en los que las funciones dadas son derivables: 1. f(z) = z 2 2. f(z) = z 2 3. f(z) = z

16 1.5. DERIVACIÓN 13 Supongamos descrita una función en coordenadas polares, f(z) = u(r, θ)+iv(r, θ). En este caso, la expresión de las condiciones de Cauchy-Riemann es: u r = 1 v r θ v r = 1 u r θ (1.4) Estas ecuaciones pueden ser utilizadas salvo para el caso r = 0. Asimismo, podemos expresar la derivada de f(z) en coordenadas polares como sigue: f (z) = ( ) u r + i v (cos θ isen θ) r o bien f (z) = ( ) ( ) u i θ + i v (cos θ isen θ). θ r Funciones analíticas Definición 1.17 (Función analítica) Una función f(z) diremos que es analítica en z 0 si es derivable en todos los puntos de algún entorno de z 0. Asimismo, diremos que f(z) es analítica en un dominio si lo es en todos los puntos del mismo. En virtud de la definición, es fácil darse cuenta de que si dos funciones son analíticas en algún dominio, su suma, diferencia y producto también lo es. En los puntos en los que el denominador no se anula, el cociente de las dos funciones también es analítico en el mismo dominio. De otra parte, se tiene que la composición de funciones analíticas es una función analítica. Definición 1.18 (Función entera) Una función f(z) diremos que es entera si es analítica en todo punto del plano complejo. Definición 1.19 (Singularidades) Si una función no es analítica en un punto z 0, pero es analítica en algún punto de todo entorno de z 0, diremos que z 0 es un punto singular (o una singularidad) de f(z). Ejemplo 1.20 Estudiar la analiticidad de las funciones: 1. f(z) = x 2 + iy 2 2. f(z) = z2 3 z 2 +5i 3. f(z) = z 2.

17 14 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Funciones armónicas Definición 1.21 (Funciones armónicas) Una función real h de dos variables x e y se dice que es armónica en un dominio del plano si admite en dicho dominio derivadas parciales (de primer y segundo orden) continuas y verifica la ecuación de Laplace h xx (x, y) + h yy (x, y) = 0 Teorema 1.22 Si una función f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es analítica en un cierto dominio D, sus funciones componentes u y v son armónicas en D. Demostración.- Para probar el Teorema necesitamos asumir como cierto el siguiente resultado (que demostraremos en su momento): Si f(z) es una función analítica en un punto, sus componentes admiten derivadas parciales continuas de cualquier orden. Aclarado esto, comenzamos la demostración del Teorema. Si f(z) es analítica en D, se verifican las condiciones de Cauchy-Riemann { ux = v y u y = v x. Derivando con respecto a x, se obtiene: { uxx = v yx u yx = v xx, y derivando con respecto a y { uxy = v yy u yy = v xy. Ahora, aplicando que las derivadas cruzadas son iguales, se tendrá: { uxx + u yy = v yx v xy = 0 v xx + v yy = u yx + u xy = 0. Definición 1.23 Si dos funciones dadas, u y v, son armónicas en un dominio D y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann { ux = v y u y = v x. en D, se dice que v es armónica conjugada de u. Con esta nueva definición podemos establecer Teorema 1.24 Una función f(z) es analítica en un dominio D si, y sólo si, su parte imaginaria es armónica conjugada de su parte real. Ejemplo 1.25 Dada la función armónica u(x, y) = y 3 3x y, hallar v(x, y) que se armónica conjugada suya.

18 1.6. FUNCIONES ELEMENTALES Funciones elementales Funciones polinómicas y racionales Las funciones polinómicas son todas ellas enteras. f(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 Las funciones racionales, es decir funciones de la forma f(z) = P (z) Q(z), con P (z) y Q(z) polinomios, son analíticas, salvo, quizás, en los puntos en los que se anule el denominador Función exponencial La función exponencial compleja: exp : C C está definida por exp(z) = e z = e x (cos y + i sen y), si z = x + iy. Proposición 1.26 (Propiedades de la exponencial) 1. La restricción a los números reales es la exponencial real estudiada en Cálculo. 2. La exponencial es una función entera. 3. Para todo z C, d dz (ez ) = e z 4. Para cualesquiera z 1, z 2 C, e z 1+z 2 = e z1 e z Para todo entero m y todo número complejo z, (e z ) m = e mz. En particular, se verifica la fórmula de Moivre puesto que e iθ = cos θ + i sen θ Para todo complejo z, e z = e Re(z). (cos θ + i sen θ) n = cos nθ + i sen nθ, 7. Para todo complejo z, arg(e z ) = Im(z) + 2kπ, con k cualquier número entero. 8. La exponencial es una función periódica de periodo imaginario 2πi, es decir, para todo número complejo z. e z = e z+2πi 2 Esta última identidad se conoce como identidad de Euler

19 16 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Funciones trigonométricas A partir de la identidad de Euler se deducen las identidades e iθ = cos θ + i sen θ, θ R cos θ = eiθ + e iθ y sen θ = eiθ e iθ. 2 2i Es natural, en consecuencia, definir sen z y cos z, para un número complejo z como: cos z = eiz + e iz y sen z = eiz e iz. 2 2i El resto de las funciones trigonométricas se definen de manera análoga al caso real: tg z = sen z cos z = 1 ctg z, sec z = 1 cos z, cosec z = 1 sen z. Proposición 1.27 (Algunas propiedades de las funciones trigonométricas) 1. La restricción a los números reales de las funciones trigonométricas así definidas coinciden con las conocidas para el caso real. 2. Para todo número complejo z, se tiene que sen 2 z + cos 2 z = Para cualesquiera números complejos z 1 y z 2 se verifica: sen(z 1 ± z 2 ) = sen z 1 cos z 2 ± cos z 1 sen z 2 cos(z 1 ± z 2 ) = cos z 1 cos z 2 sen z 1 sen z 2 4. Las funciones sen z y cos z son enteras, mientras que el resto (secante, cosecante, tangente y cotangente) son analíticas salvo en los puntos en los que se anule el correspondiente denominador. 5. Las derivadas de las funciones trigonométricas, donde existan, son: d d (sen z) = cos z, dz d (cos z) = sen z, dz dz (tg z) = sec2 z, 6. Si z = x + iy, se tiene: d d (sec z) = tg z sec z, dz (cosec z) = ctg z cosec z. dz sen z = sen x cosh y + i cos x senh y cos z = cos x cosh y isen x senh y 7. sen z = 0 z = kπ, k Z. cos z = 0 z = (2k + 1) π 2, k Z.

20 1.6. FUNCIONES ELEMENTALES Funciones hiperbólicas El seno y el coseno hiperbólico se definen por: senh z = ez e z, cosh z = ez + e z. 2 2 senh (iz) = isen z, cosh(iz) = cos z El resto de las funciones hiperbólicas se definen de manera análoga al caso real: tgh z = senh z cosh z = 1 ctgh z, sech z = 1 cosh z, cosech z = 1 senh z. Proposición 1.28 (Algunas propiedades de las funciones hiperbólicas) 1. La restricción a los números reales de las funciones hiperbólicas así definidas coinciden con las conocidas para el caso real. 2. Para todo número complejo z, se tiene que senh 2 z cosh 2 z = Para cualesquiera números complejos z 1 y z 2 se verifica: senh(z 1 ± z 2 ) = senh z 1 cosh z 2 ± cosh z 1 senh z 2 cosh(z 1 ± z 2 ) = cosh z 1 cosh z 2 ± senh z 1 senh z 2 4. Las funciones senh z y cosh z son enteras, mientras que el resto (secante, cosecante, tangente y cotangente) son analíticas salvo en los puntos en los que se anule el correspondiente denominador. 5. Las derivadas de las funciones hiperbólicas, donde existan, son: d d (senh z) = cosh z, dz d (cosh z) = senh z, dz tgh z dz = sech 2 z, d d (sech z) = tgh z sech z, dz (cosech z) = ctgh z cosech z. dz 6. senh (iz) = isen z, cosh(iz) = cos z. 7. Si z = x + iy, se tiene: senh z = senh x cos y + i cosh x sen y cosh z = cosh x cos y + isenh x sen y 8. senz = 0 z = ikπ, k Z. cos z = 0 z = i(2k + 1) π 2, k Z.

21 18 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Logaritmo En el caso real, dado cualquier número positivo x, existe un único número real y tal que e y = x. Como es conocido, se escribe y = log x. De esta forma, se define la función log : (0, ) R x log x Ahora, nos preguntamos cómo obtener el logaritmo de un número complejo z, es decir, otro número complejo log z tal que Empecemos por definir e log z = z. (1.5) log z = log z + i arg(z), z 0, mientras que no estará definido el logaritmo de 0. Si z = re iθ, podemos escribir lo anterior como log z = log r + i θ, z 0. Observemos que, puesto que r > 0, el logaritmo de r existe y que, por otro lado, el ángulo está expresado en radianes. Por otro lado, es fácil ver que se verifica la identidad exigida (1.5). El problema es que, de esta forma, no tenemos siquiera definida una aplicación, por cuanto el argumento de un número complejo no es único. Así por ejemplo, tendríamos que log( 1) = πi, pero también 3πi y, en general, (2k + 1)πi, con k número entero. Dicho de otro forma, existen infinitos números complejos log z que verifican la ecuación (1.5). Así pues, para poder definir una función logaritmo en el plano complejo, debemos establecer el intervalo en el tomamos el argumento. Cada elección de este intervalo, que deberá tener la forma [α, α + 2π) o (α, α + 2π], nos dará una aplicación distinta. De entre todas las posibles elecciones de ese intervalo, la dada por ( π, π] determina lo que se conoce como determinación principal del logaritmo, escrito Log. Esto es Log z = log r + iθ, r = z > 0, θ = arg(z), θ ( π, π] Ejemplo 1.29 Calcular Log (z) para z = 1 i, z = i y z = 3 i. En el caso real, sabemos que log(x 1 x 2 ) = log x 1 + log x 2. Podemos afirmar lo mismo en el caso complejo? Dicho de otra forma, tiene sentido escribir log(z 1 z 2 ) = log z 1 + log z 2 si z 1 y z 2 son números complejos? La respuesta es que sí, pero requiere una explicación. Las expresiones log z 1 y log z 2 son multivariadas y también la expresión log z 1 + log z 2. Lo que quiere decir la expresión anterior es lo siguiente: si escogemos valores concretos para log z 1 y log z 2, log z 1 + log z 2 es uno de entre todos los logaritmos posibles de z 1 z 2. Lo que no implica que, fijada una aplicación logaritmo (escogiendo adecuadamente el intervalo en el que tomamos el argumento), sea cierta la afirmación anterior. Por ejemplo, si tomamos z 1 = e i2π/3 y z 2 = e iπ/2, se tiene: Log (z 1 ) + Log (z 2 ) = i 7π 6 i5π 6 = Log (z 1 z 2 ).

22 1.6. FUNCIONES ELEMENTALES 19 Una precaución similar hay que tener con expresiones del tipo log e x = x que se verifican en el caso real. Lo análogo en el caso complejo será log e z = z + i2kπ, k Z Tan sólo uno de estos valores se corresponde con z. Hay que tener cuidado: no es siempre el valor dado por la determinación principal quien nos da como logaritmo de z el propio z, como demuestra el siguiente ejemplo: Ejemplo 1.30 Sea z = 1 + 3πi. Encontrar todos los valores de log e z. Se tiene e z = e(cos 3π + i sen 3π) = e. Por lo tanto, log e z = 1 + i(2k + 1)π k Z. Obsérvese, por otro lado que Log(e 1+3πi ) = 1 + iπ 1 + 3πi. Análisis de la analiticidad del logaritmo Empezamos por discutir la analiticidad de la determinación principal del logaritmo Log z. Evidentemente, la función no es continua en z = 0 al no estar siquiera definida. Por otro lado, la función no es tampoco continua para ningún punto real negativo x : para todos estos puntos, se tiene Log x = log x + iπ. Sin embargo, al acercarnos arbitrariamente a x mediante puntos del tercer cuadrante, el valor del logaritmo en esos puntos tiende a log x iπ. En el resto de puntos del plano es fácil ver que Log z es continua. Es analítica Log z en C \ {z C : Re z > 0, Im z = 0}? Para verlo, utilizaremos la expresión de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares (1.4), teniendo en cuenta que en el caso de Log z, u(r, θ) = log r y v(r, θ) = θ. Como u r = 1 r, u θ = 0, v r = 0, es claro que se verifican las ecuaciones (1.4). Además, v θ = 1 d Log z dz = 1 z La función z c Si z 0 y c es cualquier número complejo, la función (multivaluada) z c se define por z c = e c log z, (1.6) donde log z denota la función logaritmo multivaluada. La determinación principal de la función z c se obtiene tomando la determinación principal del logaritmo, esto es Se tiene entonces que z c = e clog z. (1.7) d dz (zc ) = z c 1

23 20 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA Ejemplo Calcular usando (1.6), la raíz cuadrada de Calcular todos los posibles valores de 9 π. 3. Calcular i i. Análogamente, la función exponencial con base c puede definirse como c z = e z log c, siendo c un número complejo no nulo.

24 Capítulo 2 Integración en el plano complejo 2.1. Funciones complejas w(t) Para introducir de manera sencilla las integrales de funciones de variable compleja, consideraremos primero derivadas e integrales de funciones complejas de una variable real t. En este caso, escribimos w(t) = u(t) + iv(t). La derivada, en caso de que exista, de w(t) está dada por w (t) = u (t) + iv (t). De manera similar, podemos definir las integrales definidas en intervalos a t b en la forma b a w(t)dt = b siempre y cuando b a u(t)dt y b a v(t)dt existan. a u(t)dt + i b a v(t)dt, Con estas definiciones, podemos extender el Teorema Fundamental del Cálculo. Supongamos que las funciones w(t) = u(t) + iv(t) y W (t) = U(t) + iv (t) son continuas en el intervalo [a, b]. Si W (t) = w(t) en [a, b], se tiene: b a w(t)dt = W (b) W (a). 21

25 22 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Ejemplo 2.1 Calcular Integrales de contorno 0 (1 + it) 2 dt En lugar de sobre intervalos [a, b] de la recta real, las integrales de funciones complejas se definen sobre curvas del plano complejo. Las curvas adecuadas para el estudio de estas integrales se conocen como contornos. Mediante la obvia identificación, los puntos de un trayectoria en el plano complejo z = z(t) ; t [a, b], se pueden ver en R 2 sin más que considerar parte real y compleja de z(t), es decir, z(t) = x(t) + iy(t). Definición 2.2 (Contorno) Un contorno, o arco regular a trozos, es un arco que consta de un número finito de arcos regulares unidos por sus extremos. Es decir, z(t) es continua y su derivada es continua a trozos. (Recordemos que un arco z(t) t [a, b] se dice regular si la derivada z (t) es continua en [a, b] y no nula en el intervalo (a, b).) Cuando sólo coinciden los valores inicial y final de z(t), un contorno C se dice contorno cerrado simple. Los puntos de cualquier curva cerrada simple o contorno cerrado simple C son frontera de dos dominios distintos, uno de los cuales es el interior de C y es acotado. El otro, que es el exterior de C, es no acotado. Este resultado, conocido como Teorema de la curva de Jordan, aunque es goemétricamente evidente resulta muy laborioso de demostrar con todo rigor. Definición 2.3 (Integral de contorno) Supongamos que la ecuación z = z(t); t [a, b] representa un contorno C que se extiende de z 1 = z(a) a z 2 = z(b). Sea f(z) una función continua a trozos sobre C, es decir, f(z(t)) continua a trozos en el intervalo [a, b]. La integral de contorno de f a lo largo de C se define como sigue: C f(z)dz = b a f (z(t)) z (t)dt Observación: Nótese que las hipótesis de la definición anterior garantizan la existencia de la última integral.

26 2.2. INTEGRALES DE CONTORNO 23 Ejemplo 2.4 Calcular C f(z) dz en cada uno de los siguientes casos: 1.- f(z) = 1 z y C la semicircunferencia {z C : z = 1, Im(z) 0} recorrida en sentido positivo f(z) = z 2 y C la parábola y = x del punto i a 1 + 2i. Asociado al contorno C de la definición anterior está el contorno C, consistente en el mismo conjunto de puntos pero recorrido en sentido contrario al de C y que admite la representación paramétrica Se tiene entonces Z(t) = z( t); t [ b, a]. C f(z)dz = f(z)dz C Por otro lado, si un contorno C es unión de otros dos contornos C 1 y C 2, se tiene f(z)dz = C f(z)dz + C 1 f(z)dz. C 2 Otras propiedades de la integración de contorno se resumen en la siguiente Proposición: Proposición La integración compleja es un operador lineal, esto es: [αf(z) + βg(z)]dz = α f(z)dz + β g(z)dz C C C siendo α y β constantes complejas. 2.- Se tiene la siguiente desigualdad: C b f(z)dz f(z(t))z (t) dt Proposición 2.6 (Desigualdad ML) Sea f una función continua en un contorno C de longitud L y sea M tal que f(z) M para todo z C. Entonces, f(z)dz ML. Ejemplo 2.7 Sea C I = C a e z2 dz con C el segmento x = 2y de 0 a 2 + i. Demostrar, sin calcular la integral, que I 5e 3. 1 Sentido positivo quiere decir contrario al de las agujas del reloj.

27 24 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 2.3. Teorema de Cauchy-Goursat. Sea C un contorno cerrado simple z = z(t) (a t b) descrito en sentido positivo y supongamos que f es analítica en todo punto interior a C y en todos los puntos de C. En estas condiciones, si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) y z(t) = x(t) + iy(t), podemos reescribir la integral C f(z)dz como C f(z)dz = Por lo tanto, se tiene: b a f(z(t)) z (t) dt = C f(z)dz = C b a (ux vy )dt + i (u, v) + i (v, u). C b a (vx + uy )dt. Si además de la analiticidad, exigimos que la derivada de f sea continua, los campos (u, v) y (v, u) serán de clase C 1 y, por lo tanto, podemos aplicar el Teorema de Green (llamando R a la región encerrada por la curva) obteniendo: C f(z)dz = R ( v x u y )dxdy + i (u x v y )dxdy. R Finalmente, usando las condiciones de Cauchy-Riemann, se tiene que los integrandos de las dos integrales son cero en R, por lo que C f(z)dz = 0. Este resultado fue establecido por Cauchy en el siglo XIX. Posteriormente, Goursat demostró que podía eliminarse la condición sobre la continuidad de la derivada, enunciando el siguiente Teorema que se conoce como Teorema de Cauchy-Goursat: Teorema 2.8 (Cauchy-Goursat) Si una función f es analítica en todos los puntos interiores a un contorno cerrado simple C y sobre los puntos de C, entonces C f(z)dz = 0. El Teorema de Cauchy-Goursat puede extenderse a dominios simplemente conexos. Un dominio D se dice simplemente conexo si todo contorno cerrado simple de él encierra sólo puntos de D. Teorema 2.9 Si una función f es analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces para todo contorno cerrado contenido en D. C f(z)dz = 0

28 2.4. PRIMITIVAS E INTEGRALES DEFINIDAS 25 Ejemplo 2.10 Verificar el Teorema de Cauchy-Goursat para las funciones f(z) = z n, con n natural, y tomando como contorno una circunferencia centrada en z = 0. Asimismo, demostrar que siendo C la circunferencia z z 0 = r. { (z z 0 ) n 0, n 1 = C + 2πi, n = Primitivas e integrales definidas En general, la integral de contorno de una función f(z) desde un punto z 1 a otro z 2 depende del camino. Sin embargo, existen ciertas funciones para las que esto no es así como queda recogido en el siguiente Teorema, donde la noción de primitiva es la obvia, a saber: se dice que F es una primitiva de f en un dominio D, si F (z) = f(z) para todo z D. Teorema 2.11 Sea f(z) una función continua en un dominio D. Son equivalentes: 1. f posee una primitiva en D. 2. Las integrales de f a lo largo de contornos contenidos en D que unen dos puntos fijos z 1 y z 2 tienen todas el mismo valor. 3. Las integrales de f a lo largo de cualquier contorno cerrado contenido en D son todas nulas. Uniendo este último Teorema al Teorema 2.9 se tiene que Corolario 2.12 Toda función analítica f en un dominio simplemente conexo admite primitiva F en dicho dominio. Esta primitiva F puede definirse por para algún z 0 en D. F (z) = z z 0 f(z)dz En ese caso, podemos hablar también de integral definida que puede calcularse como sigue: z2 z 1 f(z)dz z2 z 1 f(z)dz = z2 z 0 f(z)dz z1 z 0 f(z)dz = F (z 2 ) F (z 1 ).

29 26 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 2.5. Fórmula integral de Cauchy. Derivadas de una función analítica Teorema 2.13 Sea f analítica en el interior y en los puntos de un contorno cerrado simple C, orientado positivamente. Si z 0 es un punto interior a C, se tiene f(z 0 ) = 1 2πi C La fórmula (2.1) se conoce como fórmula integral de Cauchy. f(z) z z 0 dz. (2.1) Esta fórmula es clave en la prueba de que una función analítica en un punto admite derivadas de todos los órdenes en ese punto y, todas ellas, analíticas en él. Empezamos por suponer que f es analítica en el interior y sobre los puntos de un contorno cerrado simple C. Sea z un punto interior a C. Denotando por s los puntos de C y usando la fórmula integral de Cauchy, se tiene que: f(z) = 1 2πi C f(s) s z ds. (2.2) Probaremos que la derivada de f existe en z y que se puede escribir como f (z) = 1 2πi C Para probar (2.3), notemos que, usando (2.2), se tiene: f(s) ds (2.3) (s z) 2 f(z + z) f(z) z = 1 ( 2πi C 1 s z z 1 s z ) f(s) z ds = 1 2πi C f(s) (s z z)(s z) ds, supuesto que 0 < z < d, siendo d la distancia más corta de z a los puntos de C. Si llamamos M al valor máximo de f(z) sobre C y L a la longitud de C, como C f(s) (s z z)(s z) ds C f(s) ds = z (s z) 2 C f(s) (s z) 2 (s z z) y, puesto que s z d y s z z s z z d z, se llega a f(s) C (s z z)(s z) ds f(s) C (s z) 2 ds z ML (d z )d 2, donde la última fracción tiende a cero cuando z tiende a cero. En consecuencia, f f(z + z) f(z) (z) = lím = 1 z 0 z 2πi C f(s) (s z) 2 ds

30 2.6. OTROS RESULTADOS DE INTERÉS 27 Aplicando la misma técnica a la expresión (2.3), se puede ver que f (z) = 1 πi C f(s) ds (2.4) (s z) 3 La expresión (2.4) establece la existencia de la segunda derivada en todo punto interior a C. De hecho, muestra que la derivada f (z) es analítica en ese punto. La aplicación reiterada de la misma técnica lleva a la fórmula f (n) (z) = n! 2πi C f(s) ds (n = 0, 1, 2, ) (s z) n+1 donde 0! = 1 y f (0) (z) = f(z). En consecuencia, esta fórmula puede verse como una generalización de la fórmula integral de Cauchy. Además, podemos concluir: Teorema 2.14 Si una función es analítica en un punto, sus derivadas de todos los órdenes son analíticas en dicho punto. Para acabar esta sección, enunciamos un resultado (ya utilizado en el curso) y que se deduce fácilmente del Teorema anterior: Corolario 2.15 Si una función f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es analítica en un punto z = x+iy, sus funciones componentes u y v tienen derivadas parciales de todo orden en (x, y) Otros resultados de interés El Teorema de Morera Teorema 2.16 (Morera) Si una función f es continua en un dominio D y si f(z) dz = 0 para todo contorno cerrado C contenido en D, entonces f es analítica en D. c En particular, cuando D es simplemente conexo, tenemos para la clase de funciones continuas un recíproco del Teorema Teorema de Liouville y Teorema fundamental del Álgebra Teorema 2.17 (Liouville) Si f es una función entera y acotada (es decir f(z) M para todo z) en todo el plano complejo, f es constante. Demostración. Sea z 0 un número complejo cualquiera y denotemos por C R la circunferencia de centro z 0 y radio R y por M R el máximo de f(z) en C R. Puesto que f es entera, por la ecuación 2.2 se tiene f (z 0 ) = 1 2πi C R f(z) (z z 0 ) 2 dz.

31 28 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Usando las notaciones anteriores, la desigualdad f (z 0 ) M R R es válida para cualquier elección de z 0 y R. Ahora, puesto que f es acotada, se deduce que f (z 0 ) M, para todo R. R En consecuencia, f (z 0 ) = 0. Puesto que la elección de z 0 fue arbitraria, esto significa que f (z) = 0 en todo el plano complejo y que, por lo tanto, la función f es constante. Una consecuencia del Teorema de Liouville es el conocido Teorema fundamental del Álgebra Teorema 2.18 (Teorema fundamental del Álgebra) Todo polinomio P (z) = a n z n a 1 z + a 0 de grado mayor o igual que uno con coeficientes complejos tiene al menos una raíz en C. Demostración. Lo demostraremos por reducción al absurdo. Supongamos que P (z) no tiene ninguna raíz. Entonces, la función f(z) = 1 P (z) sería entera, y también acotada, en el plano complejo. Para ver que está acotada, escribimos w = a 0 z n + a 1 z n 1 + a 2 z n a n 1 z (2.5) de tal forma que P (z) = (a n + w)z n. Es fácil ver que para R suficientemente grande el módulo de cada uno de los sumandos de (2.5) es menor que a n /(2n) para z > R. En consecuencia, se tiene w < a n /2 para tales valores de z. Así pues, cuando z > R se tiene y por lo tanto, a n + w a n w > a n 2 si z > R, f(z) = 1 P (z) = 1 a n + w z n < 2 a n R n ( z > R). Luego f es acotada en la región exterior al disco z R, pero al ser continua, también lo es en disco. Por lo tanto, es acotada en todo el plano complejo. Aplicando el Teorema de Liouville, se tendría que f y, por lo tanto, P es constante en C, llegando a la contradicción.

32 2.6. OTROS RESULTADOS DE INTERÉS El Teorema del valor medio de Gauss Consideremos la circunferencia de centro z 0 y de radio r, orientada positivamente z(θ) = z 0 + re iθ (0 θ < 2π). Se tiene Teorema 2.19 (Valor medio de Gauss) Si f(z) es analítica sobre la circunferencia de centro z 0 y radio r y en sus puntos interiores, f(z 0 ) = 1 2π f(z 0 + re iθ ) dθ 2π 0 Es decir, el valor de f en el centro de la circunferencia es el promedio de sus valores sobre la misma Los teoremas del módulo máximo y del módulo mínimo Finalizamos el Tema con el enunciado de dos últimos teoremas. Teorema 2.20 (del módulo máximo) Sea f continua en una región cerrada y acotada R, y analítica y no constante en el interior de R. Entonces, el valor máximo de f(z) en R se alcanza en algún punto de la frontera de R. A partir del Teorema anterior se deduce el siguiente: Teorema 2.21 (del módulo mínimo) Sea f continua en una región cerrada y acotada R, y analítica y no constante en el interior de R. Si además f(z) 0 en todos los puntos de R, entonces el valor mínimo de f(z) en R se alcanza en algún punto de la frontera de R.

33 30 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO

34 Capítulo 3 Desarrollos en serie 3.1. Convergencia de series complejas Sea u 1 (z) + u 2 (z) + = u k (z) una serie con un número infinito de términos que son funciones de la variable compleja z. En tal caso, podemos definir la n-ésima suma parcial de la serie como S n (z) = k=1 n u k (z). k=1 Definición 3.1 (Convergencia ordinaria) Si la sucesión de sumas parciales tiene límite S(z), es decir, si para todo ε > 0, N(ε, z) tal que S n (z) S(z) < ε, para todo n > N(ε, z), se dice que la serie converge y que su suma es S(z). El conjunto de valores z para los que la serie converge, se dice región de convergencia. Ejemplo 3.2 a) Demostrar que j=1 z j 1 = 1 1 z, para z < 1. b) Estudiar la región de convergencia de e inz. En muchas ocasiones, las funciones u k (z) de una serie aparecen en la forma: n=0 u k (z) = R k (x, y) + ii k (x, y), es decir, expresadas en términos de sus partes real e imaginaria. Con estas notaciones, podemos formular el siguiente Teorema. 31

35 32 CAPÍTULO 3. DESARROLLOS EN SERIE Teorema 3.3 La convergencia de las series reales R k (x, y) y I k (x, y) es condición necesaria y suficiente para la convergencia de la serie u k (z). Además, si k=1 k=1 k=1 R k (x, y) y I k (x, y) convergen, respectivamente, a R(x, y) e I(x, y), entonces la serie u k (x, y) k=1 converge a R(x, y) + ii(x, y). Recíprocamente, si la serie k=1 k=1 k=1 u k (z) converge a S(z) = R(x, y)+ii(x, y), entonces R k (x, y) converge a R(x, y) y I k (x, y) converge a I(x, y). k=1 Teniendo en cuenta el Teorema anterior, es fácil probar que: Teorema 3.4 Es condición necesaria para que la serie u k (z) converja que lím u n(z) = 0. n Las nociones de convergencia absoluta y convergencia condicional que se definen para las series reales, pueden aplicarse a las series complejas como recoge la siguiente definición. Definición 3.5 (Convergencias absoluta y condicionada) La serie u k (z) se dice k=1 absolutamente convergente si la serie u k (z) es convergente. La serie se dice condicionalmente convergente si es convergente, pero no absolutamente convergente. Damos ahora diversas propiedades interesantes de las series absolutamente convergentes, que son propiedades que también se verifican para las series absolutamente convergentes en el caso real. Estas propiedades quedan recogidas en el Teorema enunciado a continuación. Teorema Toda serie absolutamente convergente es convergente en el sentido ordinario. 2. La suma de una serie absolutamente convergente es independiente del orden en el que son sumados sus términos. 3. Dos series absolutamente convergentes pueden multiplicarse de la misma forma en la que se multiplican polinomios. La serie resultante es absolutamente convergente y su suma es el producto de los límites de las series originales. k=1 k=1 k=1 El Teorema 3.3 reduce el estudio de la convergencia de una serie compleja al estudio de la convergencia de dos series reales. Del mismo modo, puesto que el módulo de un número complejo es un número real positivo, el estudio de la convergencia absoluta se reduce al estudio de la convergencia de una serie de términos reales positivos. Esta es la razón última de la veracidad de:

36 3.2. CONVERGENCIA UNIFORME 33 Teorema 3.7 Dada la serie u k (z), consideramos k=1 Γ = lím u k+1 (z) k u k (z). Se tiene: a) si Γ < 1 la serie converge y la convergencia es absoluta; b) si Γ > 1 la serie diverge; c) si Γ = 1, nada se puede decir sobre la convergencia de la serie. Ejemplo 3.8 Estudiar la convergencia de ( 1) j j2 j+1 z 2j j= Convergencia uniforme Si nos fijamos en la definición de convergencia de una serie, vemos que el N a elegir depende, en principio, tanto del ε dado como del punto z. Si en una cierta región R este N puede ser elegido independientemente de z, se dice que la serie converge uniformemente. Definición 3.9 (Convergencia uniforme) La serie k=1 se dice que converge uniformemente a S(z) en una región R si u k (z) con suma parcial S n (z) para todo ε > 0, N(ε) tal que z R S n (z) S(z) < ε, para todo n > N(ε), En general, no tiene porqué ser fácil establecer la convergencia uniforme. Habitualmente, es más sencillo utilizar el siguiente criterio, conocido como criterio de Weierstrass. Teorema 3.10 (Criterio de Weierstrass de convergencia uniforme) Sea M k una serie real de términos positivos convergente. Si u k (z) M k, para todo z R, la serie u k (z) es uniformemente convergente en R. k=1 k=1 Ejemplo 3.11 Demostrar, usando el criterio de Weierstrass, que la serie j=1 z j 1 es uniformemente convergente en el disco z r para todo r < 1.

37 34 CAPÍTULO 3. DESARROLLOS EN SERIE La importancia de la convergencia uniforme queda de manifiesto en la siguiente relación de resultados que damos sin demostración: Teorema 3.12 Sea u k (z) una serie uniformemente convergente a S(z) en una región k=1 R. Si f(z) es una función acotada en R, la serie f(z)u k (z) converge uniformemente a f(z)s(z) en R. Teorema 3.13 Sea u k (z) una serie uniformemente convergente a S(z) en una región k=1 R. Si todas las funciones u k (z) son continuas en R, también lo es S(z). Teorema 3.14 Sea u k (z) una serie uniformemente convergente a S(z) en una región k=1 R, y tal que todos sus términos son continuos en R. Si C es un contorno en R, S(z) es integrable en C y se tiene: Teorema 3.15 Si C S(z)dz = k=1 k=1 C u k (z)dz. u k (z) convergente uniformemente a S(z) en una región R y si k=1 u 1 (z), u 2 (z), son todas analíticas en R, entonces S(z) es también analítica en R. Además S (z) = u k (z), esto es, la derivada de la suma se obtiene derivando término a término. k=1 Ejemplo 3.16 Demostrar la convergencia uniforme de las series indicadas en los dominios señalados: ( ) a) Log 1 1 z = z j j, para z r, con r un número real en (0, 1). b) 1 (1 z) 2 j=1 = jz j 1, tomando el mismo dominio que antes. j= Series de potencias y series de Taylor En esta Sección estudiaremos las conocidas como series de potencias, es decir, series para las cuales (utilizando la notación de las Secciones precedentes) u k (z) = c k (z z 0 ) k 1, es decir, vamos a estudiar series de la forma c n (z z 0 ) n. n=0 Empezamos enunciando dos teoremas que se aplican específicamente a las series de potencias.

38 3.3. SERIES DE POTENCIAS Y SERIES DE TAYLOR 35 Teorema 3.17 Si n=0 c n (z z 0 ) n converge en z = z 1, entonces la serie converge absolutamente para todos los valores z tales que z z 0 < z 0 z 1. Para entender el Teorema anterior, imaginemos un círculo centrado en z 0 y de radio z 0 z 1. Lo que dice el Teorema es que si la serie converge para z 1, converge absolutamente para todo punto interior al círculo. La prueba de este Teorema, que conlleva el uso de un test de comparación, no es difícil; de hecho, no la haremos por ser muy similar a la del Teorema siguiente (cuya prueba sí que mostramos): Teorema 3.18 Si la serie de potencias c n (z z 0 ) n converge para z 1 z 0, entonces n=0 la serie converge uniformemente en el disco z z 0 r, para r < z 1 z 0. La suma de la serie, en este caso, es una función analítica en el círculo z z 0 r. Demostración. Para probar este Teorema haremos uso del criterio de Weierstrass. Para empezar, puesto que la serie de números complejos c n (z 1 z 0 ) n es convergente, podemos encontrar un número real positivo M tal que n=0 c n (z 1 z 0 ) n M, n = 0, 1, 2, 3,... Ahora, sea r < z 1 z 0 y z un punto del disco dado por z z 0 r. Entonces, llamando p a la cantidad r/ z 1 z 0 que, por hipótesis es < 1, se tiene ( ) c n (z z 0 ) n = z n c n(z 1 z 0 ) n z0 = c n (z 1 z 0 ) n z z 0 n z 1 z 0 z 1 z 0 Mp n. Puesto que p < 1, podemos aplicar el criterio de Weierstrass (Teorema 3.10) para deducir que la serie converge uniformemente en el disco z z 0 r. Ahora, basta aplicar el Teorema 3.15 para concluir la analiticidad de la suma en el mismo disco. Consideremos ahora todos los posibles valores de z para los que la serie de potencias c n (z z 0 ) n es convergente. Supongamos que encontramos el valor de z más alejado de n=0 z 0 para el que la serie es convergente. Si llamamos z 2 a este punto, y tomamos ρ = z 2 z 0, por el Teorema 13 se tiene que z z 0 < ρ describe el disco más grande centrado en z 0 para el que la serie es convergente. Por el Teorema 14, además, la serie converge uniformemente dentro de cualquier círculo centrado en z 0 y de radio menor que ρ. En consecuencia, se define: Definición 3.19 El mayor círculo centrado en z 0 para el que la serie c n (z z 0 ) n es convergente, se llama círculo de convergencia de la serie. El radio ρ del círculo se llama radio de convergencia de la serie. n=0

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