CUADERNO DE TRABAJO 2

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1 1 COLEGIO UNIVERSITARIO DE CARTAGO ELECTRÓNICA MATEMÁTICA ELEMENTAL EL-103 CUADERNO DE TRABAJO 2 Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses II Cuatrimestre 2014

2 2 ESTIMADO ESTUDIANTE: Continuamos con el objetivo de facilitar su comprensión sobre los temas del curso. Esperamos el primer cuaderno haya ayudado a su comprensión, este a diferencia del ya estudiado le ofrece el tema de las funciones algebraicas, por lo cual usted encontrará gran cantidad de ilustraciones. Lo invitamos a que de lectura y análisis a este material, para que abarque aquellos conceptos que en clase se estudian pero que requieren de una mayor asimilación de su parte. Que siga disfrutando el curso de Matemática Elemental!

3 3 FUNCIONES. 1. CONCEPTOS BÁSICOS Relación binaria: Es una asociación entre los elementos de un conjunto A al cual llamaremos conjunto de salida con los elementos de un conjunto B al cual llamaremos conjunto de llegada. Note que: en una relación binaria NO ES OBLIGATORIO a. que todos los elementos del conjunto de salida se asocien con los elementos del conjunto de llegada. b. puede suceder que un elemento del conjunto de salida se asocie con más de un elemento del conjunto de llegada. Ejemplo 1. a. Si se considera los estudiantes de una clase y se les asigna su edad es probable que varios jóvenes tengan los mismos años, y esto sería una correspondencia o relación binaria. b. Piense en el caso anterior pero al contrario es decir en el conjunto de salida están los años y se les asignarán los estudiantes con tal edad, también continúa siendo una relación mas no una función Función: Sean D y C dos conjuntos no vacíos. Una función de D en C es una regla que asigna a todo elemento x ε D, una única y ε C. Es decir una función es una relación binaria en la cual: a. Cada elemento del conjunto de salida está relacionado con un elemento del conjunto de llegada. b. Cada elemento del conjunto de salida está relacionado con un único elemento del conjunto de llegada.

4 4 Algunos puntos importantes: Sea f: D C una función entonces: 1. Si f asigna y a una x D particular, decimos que y es el valor de función en x; y se denota f(x) = y 2. El conjunto D se denomina dominio de la función f; y se deota D f. 3. El conjunto C se denomina codominio de la función f; y se deota C f. 4. La correspondencia entre D f y C f, bajo la función f se denota con f: D f C f. 5. La dependencia entre x y y, bajo la función f se denota con y f(x). 6. EL conjunto de los valores y C, tales que f(x) = y; con x D se denomina rango o ámbito de la función y se denota con A f o R f. 7. Si tenemos que f = y; entonces x se denomina la variable independiente o preimagen; y a y se le conoce como la variable dependiente o imagen. 8. A la regla que asigna a cada elemento x D; una única y C se le denomina el criterio de la función Formas de representación de una función: Diagrama sagital: En el diagrama sagital se representan los conjuntos entre círculos u óvalos. El primer conjunto es el de izquierda y el segundo el de la derecha y las relaciones se representan con flechas. Ejemplo 2.

5 5 Observe que a cada estudiante se le asigna su edad y existe facilidad para distinguir cual es la edad de cada uno. Además hay dos estudiantes con la misma edad como Pedro y Lorena, mientras que en el conjunto de llegada el codominio no 19 años no se relaciona con ningún estudiante Tabla de valores. En este caso los elementos del dominio son los valores de la primera fila o columna y los elementos del codominio se representan en la segunda fila o columna. Ejemplo 3. Considere la función dada por f: { 3, 2, 1,0,1,2,3} R tal que f(x) = x 2 ; su tabla de valores se puede representar de cualquiera de las siguientes formas. x y x y Es importante, ver en esta función como el codominio está representado por R, pero el rango de la función es {0,1,4,9}. Además, observe por ejemplo como la imagen de los valores -3 y 3 es el mismo Gráfico de una función: Se define como el conjunto de pares ordenados de la función. Un par ordenado es la representación de la preimagen y su imagen, esto es (x, y) o bien (x, f(x)). Se denota por D f = {(x, y): x D f, y A f }

6 6 Ejemplo 4. El gráfico {(2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} NO corresponde al gráfico de una función pues se INCUMPLE que una preimagen solo debe tener una imagen asociada El gráfico {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} SÍ corresponde al de una función pues cada 1,2,3,4 A 0,1,2,3 preimagen solo tiene una imagen asociada y por ende D y f f Gráfica de una función: Es la representación del gráfico de la función en el plano cartesiano (dos rectas perpendiculares en las cuales se representan los números reales, la intersección de estas recibe el nombre de origen y representa el par ordenado (0,0). Dichas rectas reciben el nombre de ejes y la recta horizontal representa el eje x o de las preimágenes, la recta vertical representa el eje y o de las imágenes. Dichas rectas determinan cuatro cuadrantes, que se nombran en sentido contrario de las manecillas del reloj) Cada par ordenado se representará con un punto, luego la gráfica puede ser puntos, segmentos de líneas rectas u oblicuas, rectas, etc, dependiendo del dominio definido en la función.

7 7 Ejemplo 5. g: R R Considere la función g, note que el dominio de la función es R, lo que en su trazo se unen los puntos con un línea consecutiva. h: { 2, 1,0,1,2} R Note en que en la función h el dominio corresponde a { 2, 1, 0, 1, 2} razón por la que en su grafica aparecen únicamente los pares ordenados correspondientes a la definición de la gráfica Función real de variable real. Sea la función f tal que f: D f C f se dice que f es una función real de variable real si, y sólo si, su dominio y codominio son subconjuntos de R. Ejemplo 6. Considere la relación f: R R definida f(x) = 1 x es una función?

8 8 Ejemplo 7. Corresponde la siguiente gráfica a una función? 1.5. Cálculo de imágenes dado el criterio de la función Para calcular imágenes, ( y ) se sustituye el valor dado, que es el valor de la preimagen x en el criterio de la función. Ejemplo 8 f x x 2 x 3, determine la imagen de 4 Si 4 Ejemplo 9 Calcule f( 3) + f(0) f(2) si f: Z Z, f(x) = { 3x + 7 si x < 0 6 si x = 0 x si x > 0

9 9 Ejemplo 10. Para la función f(x) = 3x + 1, se tiene que f(k 3) = 2. Halle el valor de k Cálculo de preimágenes dado el criterio de la función Para calcular preimágenes, es decir, las x se iguala el valor dado el cual debe ser el de la imagen al criterio de la función y se despeja la variable x Ejemplo Si : IR IR, f x x x 5 f determine la preimagen de 1 CUIDADO la redacción de las preguntas puede variar el procedimiento, por tanto usted debe analizar cada caso, pues las recetas no funcionan. Ejemplo 12. En la función h: R R; h = x ; 5 es imagen de

10 10 Ejemplo 13. En la función g: R R; g = 5 25 x ; 1 2 es preimagen de Ejemplo 14 f : 8, 4, 1 IR, f x x Determine el ámbito de la función 3 Ejemplo 15 Determine el dominio de la función f 2 5x 2 x si su ámbito es 2,6

11 11 Ejercicios 1. a. Determinar cuáles de las siguientes relaciones son una función. Justifique las que no lo sean x y x y x y x y {(2,0), (0,3), (0,0)} 6. {(1,6), (2,3), (3, 20)} 7. {(a, c), (b, d), (c, a), (d, b)} 8. {(2,5), (1, f(2)), (5,1), (f(5), 1)} 9. {(f(3), 4), (4,3), (3, f(5)), (5, f(4))} 10. f: A B, A = { 2, 1,0,1,2,3}; B = R; f(x) = x 11. f: A B, A = R; B = R; f(x) = 2x f: A B, A = N; B = Q; f(x) = 1 x f: A B, A = N; B = N; f(x) = 3x

12 b. Suponga la función h: D R, si el gráfico de h es {( 3,7), ( 1,4), (0, 3), (1,5), (2, 5)} determine. 1. D h 2. C h = 3. A h = 4. La imagen de 2 es 5. Una preimagen de -3 es

13 13 c. Suponga la función f: D Z y considerando la siguiente tabla de valores determine. x h(x) D h 2. C h = 3. A h = 4. La imagen de 2 es 5. Una preimagen de -3 es d. Determine el ámbito de la función indicada. 1. f(x) = 5x 1 ; f: { 1,0,1,3} Q 2x g(x) = x 1; f: Z R 3. k(x) = 1 ; f: { 3, 1, 1, 2} R 2x 2 4 e. Si f(x) = x 1 f(a+h) f(a), determine f(2), x h f. Si f(x) = { x2 + 2x si x 3 x 3 si x < 3 determine f( 2), f(3), f( 2) g. Para qué valores de x es f(x) = { x2 si x 0 x 3 si x < 0 es igual a 8? Igual que 4?

14 14 Respuestas. a. 1. si 2. si 3. no 4. si 5. no 6. si 7. si 8. no 9. no 10. no 11. si 12. no 13. si 14. si 15. no b. 1. { 3, 1,0,1,2} 2. R 3. { 5, 3,4,5,7} c. 1. { 3, 1,0,1,2} 2. Z 3. { 5,4,5,7,9} No hay d. 1. { 1,2, 4 3 e. h 2 a(a+h) 3, 6} 2. { a/a Z} 3. { 2, 1, 1, 1 } f. f( 2) = 2 2, f(3) = 15, f( 2) = 8 g. Igual que 8, x = 2 2, igual que 4, x = 2 Datos: 2. ANÁLISIS A PARTIR DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. Para determinar el dominio de la función dada su gráfica siempre se leerá el eje x de izquierda a derecha Para determinar el ámbito de la función dada su gráfica siempre se leerá el eje y de abajo hacia arriba Las preimágenes se obtendrán observando en el eje x y las imágenes observando en el eje y. Por lo general aparece en la gráfica líneas punteadas que indican la asociación entre las variables. Los puntos de intersección corresponden a pares ordenados, cuando hablamos de la x = (x, 0) y para y = (0, y). Par determinar intervalos de monotonía se observaran de izquierda a derecha y por lo tanto se contesta el subconjunto del dominio que corresponda.

15 15 Ejemplo 16 3 y f x Dominio de f : 2. Ámbito de f : 3. Imagen de -3: 4. Preimagen de 5. f ( 1) : 6. Imagen de 2 1 : 7. Intervalo de x donde f ( x) 0 : 8. f 4 : 9. x : 10. y : 11. Intervalo de x donde f ( x) 0 :

16 16 Ejercicios 2. De acuerdo a los datos de la gráfica indique en cada caso lo que se le solicita. 1. a) Dominio D: b) Codominio: c) f(0): d) f(2): e) y : f) Preimagen de 0: g) Intervalo en el que f es creciente: 2. a) Dominio D: b) h(d): c) h(-1): d) h(-3): e) y : f) x tal que h(x)=3: g) Preimagen de 2: h) Intervalo en el que f es decreciente:

17 17 3. a) Dominio D: b) Codominio: c) Ámbito: d) f(-1): e) f(-5): f) Preimagen (es) de -2: g) y : h) x : i) x tal que f(x)=0: j) Conjunto tal que f(x)<0: k. Intervalo en el que f es constante: 4. a) Dominio D: b) f(d): c) f(-4): d) f(1): e) Imagen de -2: f) Preimagen(es) de 0: g) x tal que f(x)=4: h) Valores tales que f(x)>0: i) Intervalo en el que f es creciente:

18 18 Respuestas: 1. a) Dominio D: ], 2[ ] 1, + [ b) Codominio: [ 2, + [ c) f(0): 0 d) f(2): -3 e) y :(0,0) f) Preimagen de 0: 0 g) Intervalo en el que f es creciente: ] 1,1[ 3. a) Dominio D: R {4} b) Codominio: ] 10, + [ c) Ámbito: [ 3, + [ d) f(-1): 2 e) f(-5): 0 f) Preimagen (es) de -2: -2 y -4 g) y : (0,2) h) x : (-5,0) i) x tal que f(x)=0: -5 j) Conjunto tal que f(x)<0: ] 5, 2[ k. Intervalo en el que f es constante: ] 2,0[ 2. a) Dominio D: ], 1[ ]2, + [ { 2} b) h(d): ], 3] c) h(-1): 2 d) h(-3): 0 e) y : (0,-2) f) x tal que h(x)=3: 2 g) Preimagen de 2: 2.5 h) Intervalo en el que f es decreciente: ]2, + [ 4. a) Dominio D: R b) f(d): ], 1] [3, + [ {2} c) f(-4): 2 d) f(1): 1 e) Imagen de -2: 3 f) Preimagen(es) de 0: 1.5 g) x tal que f(x)=4: 0 h) Valores tales que f(x)>0: ]1.5,1] [3, + [ {2} i) Intervalo en el que f es creciente: ] 2,1[

19 19 3. DOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES 3.1. Función polinomial: su dominio es IR. Ejemplo 16. Determinar el dominio máximo de la función f: D R; tal que f(x) = x3 3x Función racional: su dominio es IR restricciones del deno min ador Ejemplo 17. Determinar el dominio máximo de la función f: D R; tal que f(x) = x 2 x 2 +2x Función radical de índice par: su dominio está dado por subradical 0. El dominio es un intervalo real. Ejemplo Determinar el dominio máximo de la función g: D R; tal que g(x) = 3x 4.

20 Función radical de índice impar: su dominio es IR. Ejemplo Determinar el dominio máximo de la función h: D R; tal que h(x) = 7x Función racional con denominador radical de índice par: el dominio está dado por subradical 0. también es un intervalo real. Ejemplo 20. Determinar el dominio máximo de la función g: D R; tal que g(x) = x 2 x Función racional con denominador radical de índice impar: el dominio IR restricciones del subradical es Ejemplo 21. Determinar el dominio máximo de la función f: D R; tal que f(x) = 3x x

21 Función racional con numerador radical de índice par: para obtener el dominio primero se resuelve subradical 0 luego se obtienen las restricciones del denominador y si estas están incluidas en el intervalo se deben quitar. Ejemplo 22. Determinar el dominio máximo de la función g: R R; tal que g(x) = 5x 6 x 1 4 Ejercicios 3. a) Determine el dominio máximo de las siguientes funciones. 1. f(x) = x 2. f(x) = x 3 2x 2 3x 2 3. f(x) = 7x f(x) = 2 x 1 x 5. f(x) = x + x 1 2x 2 4x 6. f(x) = x+e x f(x) = x+2 2 x+1 8. f(x) = 3 4 3x 2 + x x 5 9. f(x) = 2x+1 + x x x f(x) = x+1 x+2 + x 3 x+5

22 22 Respuestas: 1. ]0, + [ 2. R { 1 2, 2} 3. [3, + [ 4. ], 2] {0} 5. ]0, + [ {2} 6. ] 2, + [ 7. ], 2] { 1} 8. [ 2, + [ {5} 3 9. ], 7[ { 5} 10. ] 2, + [ 4. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES DE ACUERDO A SU CODOMINIO 4.1. Función inyectiva. Una función es inyectiva si para cualesquiera dos preimágenes diferentes sus respectivas imágenes son diferentes, es decir, una imagen solo puede estar asociada con una única preimagen. Comúnmente se dice que la relación es uno a uno. PISTA: si tenemos la gráfica de la función para determinar si esta es inyectiva se trazan líneas paralelas al eje x y si éstas intersecan a la gráfica en un solo punto entonces la función es inyectiva Función sobreyectiva. Una función es sobreyectiva si su codominio es igual a su ámbito, es decir si todas las imágenes tienen preimagen asociada, puede darse que dos preimágenes tengan la misma imagen, lo importante es que todas las imágenes se utilicen 4.3. Función biyectiva. Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, esto nos dice que se tiene una relación 1 1 donde no sobran elementos del codominio.

23 23 Ejemplo 23. Esta función es inyectiva pues trazando las líneas paralelas al eje x estas intersecan la gráfica en un solo punto. Ejemplo 24. La función f : 0, IR, f x x es inyectiva pues todas las preimágenes dos a dos tienen diferente imagen pero no es sobreyectiva pues el codominio es IR pero se verifica que el ámbito de esta función es 0, luego C A f Ejemplo 25. La función g : IR IR, g x 2x 1 tiene como gráfica, por lo tanto es biyectiva.

24 24 Ejercicios 4. a) Indique su los siguientes gráficos corresponden a funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas o ninguna de ellas. 1. f: { 1,1,2,3} R, G f = {( 1,5), (1,5), (2,5), (3,5)} 2. f: { 1,1,2,3} {5}, G f = {( 1,5), (1,5), (2,5), (3,5)} 3. f: { 1,1,2,3} N, G f = {( 1,1), (1,2), (2,3), (3,4)} 4. f: { 1,1,2,3} [1,4], G f = {( 1,1), (1,2), (2,3), (3,4)} 5. f: { 1,1,2,3} {1,2,3,4}, G f = {( 1,1), (1,2), (2,3), (3,4)} 6. f: { 1,1,2,3} {1,2,3,4,5}, G f = {( 1,1), (1,2), (2,3), (3,4)} b) Indique si cada uno de los siguientes enunciados es falso o verdadero. Enunciado. 1. Si el dominio de una función f es {1,2,3,4,5,6} entonces su gráfico debe tener exactamente seis pares ordenados. 2. Si el dominio de una función es {1,2,3,4,5,6} entonces su ámbito debe tener exactamente seis elementos. 3. Si el dominio de una función inyectiva es {1,2,3,4,5,6} entonces su ámbito debe tener exactamente seis elementos. 4. Si el dominio de una función sobreyectiva es {1,2,3,4,5,6} entonces su ámbito debe tener como máximo seis elementos. 5. Si una función es constante entonces no puede ser inyectiva. F o V 6. Si la gráfica de una función es una recta inclinada entonces es biyectiva. 7. Si la gráfica de una función es una parábola y está definida de R en Rentonces puede ser sobreyectiva pero no inyectiva. 8. Para poder establecer una función biyectiva entre dos conjuntos es necesario que ambos tengan igual cantidad de elementos. 9. Si A es un conjunto con 8 elementos y B es un conjunto de 10 elementos No es posible establecer una función inyectiva de A en B. 10. Si la función f de A en B no es inyectiva puedo establecer una función inyectiva g de B en A.

25 25 Respuestas. a. 1. Ninguna. 2. Sobreyectiva. 3. Inyectiva. 4. Inyectiva. 5. Biyectiva. 6. Inyectiva. b. 1. V 2. F 3. V 4. F 5. V 6. V 7. V 8. V 9. F 10. V 5. FUNCIÓN INVERSA 5.1. Definición función inversa. Dada una función f A B, f x y denotada por sobreyectiva. :, se dirá que existe la función inversa de f 1 f si y solo si f es una función biyectiva, es decir, si es inyectiva y Se denota la función inversa como sigue f : A B, f f : B A, x y f y 1 1 x PISTA: Dada una función f biyectiva, su gráfico x y : f x inversa G f, y, en la función 1 1 f se tendrá que su gráfico es el conjunto G f 1 y, x : x f y 5.2. Pasos para determinar el criterio de la función inversa 1. Asegurarse que la función f A B, f x y 2. Sustituir f x por y. 3. Despejar la variable x Formalmente la notación f y x : es biyectiva. realizan los siguientes cambios: x cambia por cambia por la variable x es correcta pero por convención se f 1 x y la variable y se

26 26 Ejemplo 26. Determinar el criterio de la función inversa de la función dada por x f : IR IR, f x Ejemplo 27. Determinar el criterio de la función inversa de la función dada por 2 x g : 0, 3,, g x Gráfica de una función y su inversa Para identificar si dadas dos gráficas corresponden a la de la función y su inversa, se procede trazando la función identidad f x x que pasa por el origen y es estrictamente creciente, por el I y III cuadrante, esta función actúa como un espejo. Si las gráficas se presentan en esta situación entonces corresponden a la gráfica x y G y, x G, de una función y su inversa. También resulta útil que si 1 f f

27 27 Ejemplo 28. La siguiente gráfica muestra la función y su inversa. Ejercicios 5. a. Determine el criterio, dominio y ámbito de la función f 1 en cada caso: 1. f(x) = 3x 7, f: R R 2. f(x) = x 2 1, f: [1, + [ [0, + [ 3. f(x) = x + 2, f: [ 2, + [ [0, + [ 4. f(x) = 3(x 5) + 1, f: R R 5. f(x) = (x 3) 2, f: [3, + [ [0, + [ 6. f(x) = x 2 x+4, f: R { 4} R {1} 3 7. f(x) = 5 2x 8. f(x) = 2 x+5 7, f: R R, f: R R 9. f(x) = x 3 x, f: R {0} R {1} 10. f(x) = 3x 5 + 7x, f: R R

28 28 Respuestas. 1. f 1 (x) = x+7 3 f 1 : R R 3. f 1 (x) = x 2 2 f 1 : [0, + [ [ 2, + [ 5. f 1 (x) = x + 3 f 1 : [0, + [ [3, + [ 7. f 1 (x) = x f 1 : R R 9. f 1 (x) = 3 x 1 f 1 : R {1} R {0} 2. f 1 (x) = x + 1 f 1 : [0, + [ [1, + [ 4. f 1 (x) = x f 1 : R R 6. f 1 (x) = 4x+2 x 1 f 1 : R {1} R { 4} 8. f 1 (x) = 7x + 9 f 1 : R R 10. f 1 (x) = x+5 10 f 1 R R 6.1. Definición. 6. FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es de la forma f: R R, f(x) = mx + b, m R, b R Donde: m: pendiente de la recta. b: intersección de la recta con el eje y, es decir, y : (0, b) 6.2. Pendiente y gráfica de una recta. La pendiente está dada por el valor de m en el criterio e indica cuan inclinada es la recta. Dados dos pares ordenados (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) G f entonces el valor de la pendiente se obtiene por m = y 2 y 1 x 2 x 1 o bien m = y 1 y 2 x 1 x 2

29 29 Ahora el valor de la pendiente determina la monotonía de la recta: Si m < 0, entonces f(x) = mx + b es decreciente. Si m = 0, entonces f(x) = mx + b es constante. Si m > 0, entonces f(x) = mx + b es creciente. Ejemplo 29. Observe las siguientes gráficas. Note que la función es creciente por lo tanto m > 0 Note que la función es creciente por lo tanto m < 0 Note que la función es creciente por lo tanto m = 0

30 Intersecciones con los ejes. Como ya se menciono b es la intersección de la recta con el eje y, es decir, y : (0, b) Ahora para determinar la intersección con el eje x, basta sustituir x = 0 para determinar que la intersección con el eje x es x : ( b m, 0) Ejemplo 30. Determine las intersecciones con los ejes de la función lineal f(x) = 5 3x Criterio de la función lineal. Se pueden dar tres casos diferentes para determinar el criterio de la función lineal, (dados dos pares ordenados, dada la pendiente y un par ordenado, dada la gráfica de la función) a continuación se ejemplifica cada uno de ellos. a) Dados dos pares ordenados Ejemplo 31. Considerar los pares ordenados ( 3,6) y (4,0) que pertenecen al gráfico de una función lineal. Determinar el criterio de dicha función.

31 31 b) Dada la pendiente y un par ordenado Ejemplo 32. Determinar el criterio de una función lineal cuya pendiente es 2 3 ( 3,1). y contiene al punto c) Dada la gráfica Ejemplo 33. Considere la gráfica de una función lineal f y determine su criterio.

32 Rectas paralelas y perpendiculares Rectas paralelas. Se dirá que dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir: l 1 l 2 m 1 = m Rectas perpendiculares: Se dirá que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Dicho de otra forma l 1 l 2 m 1 m 2 = 1 m 1 = 1 m 2 l 1 l 2 m 1 = a b m 2 = b a Ejemplos 34 Determine la ecuación de la recta a la que pertenece el punto ( 1,2) y es paralela a la recta determinada por 2x y + 2 = 0

33 33 Ejemplo 35. De acuerdo con la gráfica, si l l, entonces, Cuál es el criterio de la recta 1 l 2 2? l 1 l 2 Ejemplo 36 Si las rectas l 1, l 2 están dadas por las ecuaciones respectivamente y se cumple que l1 l2 1 y kx y 3 y 5 x 2, entonces determine el valor de k

34 34 Ejemplo 37 Sean l 1, l 2 dos rectas tales que 1 l2 1, 2 y una ecuación que define a l 1 es y 2x, entonces una ecuación que define a l 2 es l. Si dichas rectas se intersecan en Ejercicios 6. a) Para cada una de las funciones determine el valor de la pendiente, la monotonía de la recta y la intersección con los ejes. (suponga las funciones definidas de R en R ) 1. 2y = x y 1 5 = x 3. x 3 = y+1 2 b) Dadas las condiciones que se le ofrecen en cada caso determine el criterio de la función lineal que las cumple. (suponga las funciones definidas de R en R ) 1. ( 5,0) y ( 1,3) 2. ( 5 2, 1) y (3 2, 1 3 ) 3. m = 1, ( 7,4) 4. m = 3, f(0) = 6 5. f( 2) = 2, f(3) = 1

35 c) Halle la ecuación de la recta que cumple las condiciones dadas. 1. Pasa por el punto ( 1,2) y es paralalela a la recta L: y = 2x Interseca al eje y en 7 y es perpendicular a L: y = 2x Pasa por el punto (0, 2) y es paralela a la recta que contiene los puntos (1,1)y (3, 2). 4. Pasa por el punto (3,5) y es perpendicular a la recta que contiene a (1,6) e interseca al eje x en 3.

36 36 5. Determine el criterio de l 2 sabiendo que l 1 l 2 y con los datos de la gráfica l 1 l 2 6. Determine el criterio de l 1 sabiendo que l 1 l 2 y con los datos de la gráfica l 2 1 l 1 Respuestas. a. Pendiente. Monotonía. Intersección x Intersección y Creciente Decreciente. (8,0) (0,-2) Creciente. ( 1 5, 0) (0,1) ( 3 2, 0) (0,-1)

37 37 b. 1. y = 3x y = x y = 4x y = 4x y = x y = x 3 4. y = 3x 6 c. 1. y = 2x y = 3x 2 4. y = x y = 3x y = 3x y = 2x 4

38 Definición. 7. FUNCIÓN CUADRÁTICA Sea funa función definida por f: R R, f(x) = ax 2 + bx + c, a, b, c R, a Concavidad y gráfica de la función cuadrática. La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola y es de la forma Se dice que es cóncava hacia abajo. Esto se debe a que a < 0 *La posición en plano cartesiano varia, la imagen es únicamente con fines ilustrativos. Se dice que es cóncava hacia arriba. Esto se debe a que a > 0 *La posición en plano cartesiano varia, la imagen es únicamente con fines ilustrativos.

39 Intersecciones con los ejes Eje x. Recordemos que toda intersección con el eje x es de la forma (x, 0) y se obtienen de sustituir y = 0, es decir las intersecciones se determinaran resolviendo la 2 ecuación ax bx c 0 y dependen del discriminante. > 0, hay dos intersecciones diferentes dadas por (x 1, 0), (x 2, 0) = 0, hay una intersección dada por (x 1, 0) < 0, no hay dos intersecciones con el eje x Eje y. Toda intersección con el eje y es de la forma 0, y es decir x 0 y si se sustituye esto en el criterio se obtiene y c, por lo tanto la intersección de toda función cuadrática con dicho eje es 0,c 7.4. Elementos de una parábola Vértice de la parábola Se llama vértice al punto más alto o más bajo de la parábola. También se le llama punto máximo o mínimo dependiendo del caso. Dado que el vértice es un punto (x, y) de la parábola, entonces satisface la ecuación de la parábola y cada coordenada está dada por la fórmula x = b 2a y = = f ( b 4a 2a ) Luego V = ( b 2a, 4a )

40 Eje de simetría Es la recta vertical que divide a la parábola en dos partes simétricas, la ecuación b de ésta se da por la coordenada x del vértice, así se tiene x 2a Ejemplo 38. Si a > 0 el vértice también se llama punto máximo, ( 2, 1) Note que la recta x = 2 es el eje de simetría. b 2a Punto mínimo 4a f es decreciente en f es creciente en Ámbito: [ 4a, + [ b, 2a b, 2a Punto máximo b 2a 4a Si a 0 el vértice también se llama punto máximo, ( 1,4) Note que la recta x = 1 es el eje de simetría. b f es creciente en, 2a b f es decreciente en, 2a Ámbito: ], ] 4a 7.5. Clasificación según el codominio 2 La función cuadrática f : IR IR, f x ax bx c; a, b, c IR, a 0 esta forma NO ES INYECTIVA NI SOBREYECTIVA. definida de

41 41 Pero se puede redefinir la función cuadrática para que sea inyectiva y sobreyectiva, por ende biyectiva, y así tener función inversa. Para ellos se debe tomar una de las partes en que el eje de simetría divide a la parábola. Ejemplo 39 Observe la siguiente gráfica y la redefinición con el fin de quesea biyectiva. f b :, a, a, 2 4 f x ax 2 bx c b 2a 4a Ejercicios 7. a) Para cada una de las siguientes funciones determine, su concavidad, intersecciones con los ejes, vértice, eje de simetría, ámbito y regímenes de variación. (suponga las funciones definidas de R en R ) 1. f(x) = x 2 3x 1 2. f(x) = 2x x 3 3. f(x) = (x 1)(2x + 3) 4. f(x) = 4x(6 5x) 5. f(x) = x b) Halle el ámbito para cada una de las siguientes funciones cuadráticas. 1. f: ], 1] R. f(x) = 5x g: ]1, + [ R. g(x) = 2x 2 + 4x h: ] 3,3[ R. h(x) = x t: ]3,5] R. t(x) = x 2 + 4x + 5

42 42 Respuestas. a Concavidad. x y Vértice Simetría Ámbito Crece Decrece b. 1. [2, + [ 2. ], 3[ 3. ]0,9] 4. ] 26,50] 8. FUNCIÓN EXPONENCIAL 8.1. Definición. Sea f: R R +, se dice que f es una función exponencial, si su criterio se puede reducir a la forma f(x) = a x donde a es una constante tal que a > 0 y a 1

43 Propiedades de la función exponencial. 1. El dominio de la función f(x) = a x es R. 2. El ámbito de la función exponencial f(x) = a x es R La función exponencial es biyectiva. 4. Si a > 1, la función exponencial definida por f(x) = a x es creciente. 5. Si 0 < a < 1, la función exponencial definida por f(x) = a x es decreciente Gráfica de la función exponencial. La gráfica de la función exponencial es una curva y se tendrán dos casos que dependen de la base a a > 1 Asíntota al eje x negativo. y = (0, 1) La función es estrictamente creciente en todo IR a > 1 Asíntota al eje x negativo. y = (0,1) La función es estrictamente decreciente en todo IR

44 Clasificación de acuerdo al codominio La función exponencial es inyectiva Si trazamos las rectas paralelas al eje x éstas solo intersecarán a la gráfica en un solo punto, lo que nos dice que una imagen solo tiene una preimagen. La función exponencial es sobreyectiva Anteriormente notamos que A IR C f f por lo tanto la función es sobreyectiva La función exponencial es biyectiva Dado que la función es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva, y esto implica que existe su función inversa. Esta se denota por f 1 x La función logaritmo en base a de x pero estudiaremos esta función más adelante. loga 8.5. Algunos ejemplos de datos importantes de funciones exponenciales. Ejemplo 39 Determine la intersección con el eje y de la gráfica de la función exponencial x f 3 2 x x

45 45 Ejemplo 40 Halle el ámbito de la función exponencial c(x) = 4 x, c: [ 3,0[ R Ejemplo 41 Calcule v( 1) y v(0) para la función v(x) = 0,1 3x+2 Ejemplo 42 Halle el dominio de la función exponencial f(x) = 6 ( 1 3 )x+1, f(a) = [ 2, 2 27 [ Ejercicios 8. a) Determine el ámbito de cada una de las siguientes la funciones exponenciales 1. m(x) = 2 9 x 4, m: { 6,2} R 2. n(x) = 7 x, n: ] 1 2, 3[ R

46 46 b) Halle el dominio para cada una de las siguientes funciones exponenciales. 1. g(x) = 1 2 ( 2)4x, g(a) = [0,2[ 2. g(x) = (0,1) x, g(a) = [ 10,0.1[ Respuestas. a. 1. { 2 3, 54} 2. ] 7 7, 343[ b. 1. ], 1[ 2. [ 1,1[ 9. FUNCIÓN LOGARÍTMICA 9.1. Definición. Debido a que la función exponencial es biyectiva existe su inversa. Dicha función recibe el nombre de función logarítmica de base a y se denota f(x) = log a x Es decir; sea f: R + R es una función logarítmica, si su criterio se puede reducir a la forma f(x) = log a x, donde a es una constante tal que a > 0 y a 1. Como la función exponencial y la función logarítmica son mutuamente inversas, se tiene la siguiente equivalencia log a y = x a x = y

47 Gráfica de la función logarítmica. Se tendrán dos casos dependiendo de la base a y también se comparará la gráfica de la función exponencial y la gráfica de la función logarítmica vistas como inversas. a > 1 Asíntota al eje y negativo. x = (1, 0) La función es creciente en todo R + a < 1 Asíntota al eje y positivo. x = (1,0) La función es decreciente en todo R +

48 Logaritmo decimal y logaritmo natural. Aunque las bases para logaritmos son útiles, los más usados son los de base 10 y los de base e. En estos casos se emplea la notación. log 10 x = log x log e x = ln x Al logaritmo en base 10 se le llama logaritmo decimal y en base e se les llama logarítmicos Propiedades de logaritmos a) log a 1 = 0 b) log a a = 1 c) a log a x = x d) log a a x = x e) log a (xy) = log a x + log a y, con x, y > 0 f) log a ( x ) = log y a x log a y, con x, y > 0 g) log a ( 1 x ) = log a x h) log a x y = y log a x i) log b a = log c a, con c > 0, c 1 log c d Ejemplo 43 Exprese como un solo logaritmo ln x 1 ln x 1 ln x 2 1

49 49 Ejemplo 44. Exprese como un solo logaritmo log x 2 y 2 2log x y Ejemplo 45. Exprese como un solo logaritmo log a log b log c 1 2 Ejercicios 9. a. Calcule las imágenes indicadas para cada función. 1. g(x) = log(x + 2), g(9998) 2. u(x) = lnx3, u(e 2 ) 4 b. Calcule la preimagen indicada en cada función. 1. u(x) = log 3 (x + 3), u(x) = 0 2. v(x) = log(5x), v(x) = 2

50 50 c. Halle el dominio máximo de las siguientes funciones. 1. f(x) = log 2x f(x) = 3 log 4 (5 x) 2 3. f(x) = 1 + log x+3 d. Halle el ámbito de las siguientes funciones logarítmicas. 1. r(x) = log 0.25 x, r: ]1, + [ R 2. t(x) = log 5 (x + 1), r: ]4, + [ R e. Simplifique las siguientes expresiones logarítmicas. 1. ln4 2ln (2x) ln(3x 6 ) ln3 2. log 4 (x 2 36) 2 log 4 (x 6) f. Verifique las siguientes identidades. x 1. 1 = log 2 +2x 3 b b + log x+3 b x = log 5 (x+1)+log 5(x+1) 3 log 5 (x+1) 2 Respuestas. a.1. g(9998) = 4 a.2. u(e 2 ) = 3 2 b.1. x = 2 b.2. x = 20 c.1. ] 3, + [ c.2. R {5} c.3. ] 3, + [ 2 d.1. R d.2. ]1, + [ e e.2. log 4 x+6 x 6

51 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. Una ecuación exponencial es aquella donde la variable es parte del exponente, y ecuación logarítmica a aquella en la cual la variable es parte del argumento de una expresión logarítmica. Las siguientes propiedades facilitan la resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. a) a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) b) log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x) c) log a f(x) = k a k = f(x) Ejemplo 46. Determinar el conjunto solución de la ecuación 5 3 x 1 1 Ejemplo 47 5 x 2 3 Determinar el conjunto solución de la ecuación

52 52 Ejemplo 48 Resolver la ecuación 2logx 6log2 Ejemplo 49 Determinar el conjunto solución de la ecuación log x log x 1 log 2 b b b Ejemplo 50 Resolver la ecuación x 2 log x 1 2 log 2 2

53 53 Ejemplo 51 x Determinar la solución de Ejemplo 52 Determinar el conjunto solución de la ecuación 2 x 1 7 4x 2 Ejemplo 53 Determinar el conjunto solución de la ecuación 5 2x x 3 = 0

54 54 Ejemplo 54 Determinar el conjunto solución de la ecuación 5 ( 1 5 )2x = 11 ( 1 5 )x 2 Ejercicios 10. a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales. 1. ( 1 27 )2x 3 = x 3 = 27x (x+2) 8 = 2 x = 7 x x 1 = 3 x x = 1 4 x x 6 = 3 x 8. 3 x+2 = 3 x x + 3 x = 243 x x = x

55 55 b) Realice un cambio de variable adecuado y halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones. 1) 5 2x 6 5 x + 5 = 0 2) 2 2x 7 2 x 8 = 0 3) 2 2x x + 2 = 0 4) x 1 2 = 4x 5) 3 x 2 3x 6 = 3 2 c) Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones logarítmicas. 1) ln(x 2 8) = 0 2) log(x 2 3) log ( 1 x 1 ) = 0 3) log 3 (x 2 5 ) = 2 log 3 x 4) log 2 (log 16 x) = 1 5) log 0.5 (log 9 x) = 2 6) ln2 = log1(x + 1) 3 7) log 3 (2x + 1) log 5 3 = 0 8) log1x + 2 = log1(2x + 3) 3 3 9) log 9 (6x 2) = log log 9 (x + 2) 10) log 8 (x + 2) = log 8 3x+2 x 1 log 82

56 56 Respuestas. a. 1) { 5 } 2) 6 {5 } 3) { 10} 4) {3log5 + 1} 6 3 log7 5) {2log3+log7 } 2lo7 log3 6) { 1 2 } 7) {1} 8) { 2} 9) { 4} 10) { 2,2} b. 1) {0,1} 2) {3} 3) { } 4) {0} 5) {2} c. 1) { 3,3} 2) {2} 3) { } 4) {4} 5) {3} 6) {( 1 3 )ln2 1} 7) { 3log } 2 8) { } 9) {5} 10) {2, 3 2 }

57 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función Seno. Dominio: R Ámbito: [ 1, 1] Es periódica de período 2π Corta al eje de las ABSCISAS en todos lo múltiplos de π, es decir corta al ejej x en todos los puntos de la forma (nπ, 0) n ε Z Corta al eje de las ORDENADAS en el punto (0, 0)

58 Función Coseno. Dominio: R Ámbito: [ 1, 1] Es periódica de período 2π Corta al eje de las ABSCISAS en todos lo múltiplos impares de π, es decir 2 corta al eje x en todos los puntos de la forma (2n + 1) π 2 n ε Z Corta al eje de las ORDENADAS en el punto (0, 1)

59 Función Tangente. Dominio: R {(2n + 1) π, n ε Z} 2 Ámbito: R Es periódica de período π Corta al eje de las ABSCISAS en todos lo múltiplos de π, es decir corta al eje x en todos los puntos de la forma (nπ, 0), n ε Z Corta al eje de las ORDENADAS en el punto (0, 0)

60 Algunas identidades trigonométricas importantes. 1) tanx = senx cosx 2) cscx = 1 senx 3) secx = 1 cosx 4) sen 2 x + cos 2 x = 1 5) tan 2 x + 1 = sec 2 x 6) cot 2 x + 1 = csc 2 x Ejemplo 55. Muestre cada una de las siguientes identidades trigonométricas. 1) cos 2 a(sec 2 a 1) = sen 2 a 2) (secx + tanx) 2 = 1+senx 1 senx

61 Ecuaciones trigonométricas. Pasos: Ejemplo Se simplifica la expresión de manera que se logre despejar las partes trigonométricas. 2. Se encuentra el ángulo de referencia comparando con la tabla de signos de las razones trigonométricas por cuadrante. 3. Se determinan los ángulos solución Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones en el intervalo ]0, 2π]. 1) 2cosx + 1 = 0 2) 3tanx 1 = 0 3) (2cosx 3)(senx + 1) = 0

62 62 4) 2cos 2 x = 1 5) 2sen 2 x 3senx 2 = 0 6) sen 2 x + cosx 1 = 0

63 63 Ejercicios 11. a. Pruebe cada una de las siguientes identidades trigonométricas. 1) secy cosy = tany seny 2) 1 2sen 2 x = 2cos 2 x 1 3) 4) csc a sec a senx 1 cosx = cot a = cscx + cotx 5) (1 sen 2 x)(1 + tan 2 x) = 1 b. Resuelva en forma completa y correcta cada una de las siguientes ecuaciones en el intervalo ]0, 2π]. 1) 4cos 2 x 3 = 0 16) 2 8cos 2 x = 0 2) 2sen 2 x = senx 3) 2cos 2 x = senx 1 4) tanx cotx = 1 5) 2senx + cos 2 x = 7 4 6) 2senx 1 = 0 7) senx cosx = 0 8) ( tanx 1)(4sen 2 x 3) = 0 9) 3cos 2 x = sen 2 x 10) 2senx cscx = 1 11) 2secx = tanx + cotx 12) sec 2 x 4 = 0 13) 3 + 2senx = 0 14) cot 2 x 3 = 0 15) (2senx + 1)(2cosx + 3) = 0 17) 2sen 2 x = 1 senx 18) tan 2 x senx = senx 19) 2cos 2 x + cosx = 0 20) sen 2 x + senx 6 = 0 21) 2cos 2 x 3cosx + 1 = 0 22) cosxtanx cosx = 0 23) senx + cotxsenx = 0 24) 2cos 2 x 3cosx = 0 25) tan 2 x + 3tanx = 0 26) 4cos 3 x cosx = 0 27) 2sen 2 x 3senx 2 = 0 28) 2cos 2 x + 3senx = 0 29) cos 2 x sen 2 x = ) tanx + cotx = 2

64 64 Repuestas: {0, π, π, 7π } {π} 4. 2 {π, 3π, 5π, 7π } {π, 5π } { π, 5π } {π, π, 3π, 2π} {π, 2π, 4π, 5π } {π, 2π, 4π, 5π } {π, 7π, 11π } { π, 5π } {π, 2π, 4π, 5π } {4π, 5π } {π, 5π, 4π, 5π } {4π, 5π } { π 3, 2π 3, 4π 3, 5π 3 } 17. {π 6, 5π 6, 3π 2 } 18. {π 4, 3π 4, 5π 4, 11π 12, π, 2π} 19. {π 2, 2π 3, 4π 3, 3π 2 } 20. { } 21. { π 3, 11π 6, 2π} 22. {π 4, 5π 4, 2π} 23. {3π 4, 7π 4 } 24. {π 6, π 2, 3π 2, 5π 3 } 25. {2π { π 2, 2π 3, 4π 3, 3π 2, π 3, 11π 6 } 27. {4π 3, 5π 3 } 28. {4π 3, 5π 3 } 29. {π 6, 5π 6, 7π 6, 11π 6 } 30. { }, π, 11π 6, 2π}

65 65 Bibliografía. Camacho, A., (2008). Manual de Ejercicios Matemáticos 10º año. San José, Costa Rica, Editorial Káñir. Murrillo, M., Soto, A., Araya, J., (2009). Matemática Básica con Aplicaciones. San José, Costa Rica, EUNED. Porras, V., Porras, J., Villegas, E., (2014). Matemáticas 10. San José, Costa Rica, Editorial Publicaciones Porras.

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