CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie

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1 CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICASESPECIALESCAD MóduloIV: Continuiddyderivbilidd MTeresUleciGrcí RobertoCnogrMcKenzie DeprtmentodeMtemáticsFundmentles FcultddeCiencis

2 Curso de Mtemátics Especiles Introducción A inles del siglo XVI los problems de movimiento ern el tem principl de l Físic L grn cntidd de observciones cumulds impuls l cienci ci l investigción cuntittiv de ls orms de movimiento y ls unciones, como imágenes bstrcts de los procesos de movimiento y éstos y su dependenci comienzn ser objeto de cálculo Los viejos problems de determinción de tngentes, áres y volúmenes contribuyeron en grn medid impulsr los procedimientos de cálculo Con Newton y Leibnitz siglo XVII precen los conceptos de límite y derivd Sin embrgo, st l segund mitd del siglo XIX no se comprendió bien el signiicdo de l continuidd pues se pensb que tod unción continu debí de ser derivble en csi todos los puntos y ni siquier bí cuerdo entre los mtemáticos de entonces sobre el concepto de unción Cucy dio ls primers deiniciones corrects de límite, de unción continu y de derivd y Bolzno izo el primer estudio riguroso de ls unciones continus Objetivos Interpretr el signiicdo de l continuidd de un unción en un punto y en un intervlo, y determinrl nlíticmente y gráicmente Comprender y utilizr l vrición en un intervlo, vrición medi e instntáne pr interpretr situciones de l vid cotidin Interpretr y usr ls relciones eistentes entre los conceptos de continuidd y derivbilidd Determinr l derivd de un unción utilizndo ls operciones con derivds y l regl de l cden Resolver situciones que impliquen l utilizción de rects tngentes y normles un curv y dquirir técnics lgebrics y gráics pr su resolución

3 Curso de Mtemátics Especiles Esquem Continuidd de un unción en un punto Continuidd de un unción en un intervlo Vrición medi Vrición instntáne Derivd de un unción en un punto Interpretción geométric Interpretción ísic Derivds lterles Función derivd Derivds y operciones Derivds de unciones notbles Regls de derivción Rect tngente y rect norml Como indic el esquem del módulo, el módulo comienz con el concepto de continuidd en un punto y en un intervlo Más trde, se estudi l vrición medi e instntáne de un unción pr llegr l concepto de l derivd de un unción en un punto y su interpretción geométric

4 Curso de Mtemátics Especiles El estudio de ls derivds lterles se justiic con el in de nlizr l derivbilidd de un unción en un punto y l relción entre l derivbilidd y l continuidd de un unción Se introduce, continución, el concepto de unción derivd, distinguiéndolo del concepto de derivd de un unción en un punto y reconociendo su relción con l pendiente de l rect tngente en dico punto interpretción geométric de l derivd Pr poder clculr derivds se introduce l regl de los cutro psos y con ell se clculn ls derivds de l sum, dierenci, producto, cociente y composición de dos unciones regl de l cden Por último, ls regls de derivción y el cálculo de l rect tngente y norml un curv en un punto constituyen l prte inl del módulo

5 Curso de Mtemátics Especiles Prueb de utoevlución inicil - Dd l unción: Es continu en b Es discontinu en c Es continu en d Es continu en R - L unción nterior: Es derivble en b Es derivble en c Es derivble en d Es derivble en R - Eiste rect tngente l unción de l pregunt primer en: b c d Todos los puntos 5

6 Curso de Mtemátics Especiles - L ecución de l rect tngente l unción: En el punto de bscis y b y c y d y es: 5- L unción: Es continu en todos los puntos si:,, < b c d 6- L unción:,, < Es continu en R b Es derivble en R c Es derivble en R { } d Es continu en 7- Pr que l unción: 6

7 Curso de Mtemátics Especiles e b si si si < > Se continu en y, y b deben vler: y b b y b c y b d y b 8- Si ls tngentes l curv de ecución: m 6 m 8 En los puntos A, y B-,- son prlels, m es igul : m b m c m - d m - 9- Pr que l derivd de l unción En vlg, m debe vler m m b - c - d - L derivd de l unción: e cos log 7

8 Curso de Mtemátics Especiles 8 Es: cos e sen b e sen c cos e sen d cos e sen

9 Curso de Mtemátics Especiles Soluciones l prueb de Autoevlución inicil c b b c 5 6 c 7 c 8 b 9 b d 9

10 Curso de Mtemátics Especiles Contenidos conceptules Continuidd de un unción en un punto Consideremos l gráic de l unción En el punto de bscis se cumplen ls siguientes condiciones: Eiste 8 Eiste, pues eisten los dos límites lterles y son igules: 8 y 8 8 luego El vlor del límite y el vlor de l unción en coinciden, es 8 Se dice entonces que l unción es continu en Generlizndo, Un unción es continu en el punto si cumple: Eiste Eiste Se cumple Cundo lgun de ests condiciones no se cumpl, diremos que l unción present un discontinuidd en

11 Curso de Mtemátics Especiles L ide intuitiv de l continuidd es que ls unciones continus se pueden dibujr sin levntr el lápiz del ppel Tmbién cundo pequeñs vriciones de l vrible corresponden pequeñs vriciones de l vrible y En cmbio, en el cso de l unción:,, > L unción está deinid en y en ese punto vle 5, es decir, 5, pero no tiene límite en, pues los límites lterles no son igules: y 5 Por tnto es discontinu en dico punto Su representción gráic nos lo conirm: Continuidd de un unción en un intervlo Un unción es continu en un cierto intervlo,b si lo es en todos los puntos del intervlo En el ejemplo nterior l unción es continu en el intervlo intervlo,, y en el Vrición medi Dd un unción y, llmmos vrición medi de l unción entre y, siendo <, l vlor

12 Curso de Mtemátics Especiles Por ejemplo, si el espcio recorrido por un móvil viene ddo por l epresión e t t t 5, donde t es el tiempo en segundos, l representción gráic es l prábol: [,8]: El espcio recorrido entre los segundos y 8 es l vrición del espcio en el intervlo e 8 e Es decir, entre t y t 8 el móvil recorrido 6 metros Pr determinr l ts de vrición medi de l unción en un intervlo dividimos l vrición de l unción por l longitud del intervlo considerdo En nuestro cso: V medi e8 e 9 8 En el intervlo [,8] el espcio vrido rzón de 9 metros por segundo Ts de vrición medi o vrición medi de un unción y en un intervlo b [, b] es el cociente Su vlor coincide con el de l pendiente de l rect que ps b por los puntos, y b, b

13 Curso de Mtemátics Especiles Y b b- b- O b X Vrición instntáne En l gráic del ejemplo nterior se puede observr cómo vrí el espcio en unción del tiempo, pero no se puede tener un inormción precis de cómo está vrindo el espcio en un instnte determindo, por ejemplo t Pr obtener est inormción estudiremos cómo vrí el espcio en intervlos que empiezn en t y tienen mplitudes que se cen más pequeñs, es decir, cundo su mplitud tiende cero L ts de vrición medi del intervlo [,6] es: e6 e 9 V medi 7 6 Que coincide con el vlor de l pendiente de l rect secnte l curv que une los puntos A,9 y B6, En este intervlo el espcio tenido un vrición medi de 7 metros por segundo En el intervlo [,5], l vrición medi es: e5 e 5 9 V medi 6 5 En el intervlo [,5], el espcio vrido 6 metros por segundo L rect secnte que une los puntos A,9 y C5,5 tiene por pendiente 6, menor que ls nteriores Pr conocer l vrición instntáne en t tenemos que clculr l vrición medi correspondiente un intervlo [,5], siendo ininitmente pequeño Ls distints tss de vrición medi obtenids corresponden ls pendientes de ls rects secntes l curv en los puntos determindos por los etremos de los distintos

14 Curso de Mtemátics Especiles intervlos Cundo l mplitud del intervlo tiende, los puntos de corte de ls secntes con l curv se vn proimndo y ls rects secntes se convierten en l rect tngente e B6, C5,5 A,9 t Así, l vrición instntáne de un unción en un punto es el límite de l ts de vrición medi correspondiente l intervlo [ ] pequeño Su vlor coincide con l pendiente de l rect tngente, cundo se ce ininitmente Derivd de un unción en un punto Dd un unción y y un punto, se deine l derivd de l unción en el punto, y se design, como el límite: Como vemos, l derivd es el límite de l ts de vrición medi de l unción en intervlos [ ] punto, cundo tiende cero, es decir, l vrición instntáne de en el

15 Curso de Mtemátics Especiles Y O X tg Interpretción geométric y ísic de l derivd de un unción en un punto Como el cociente coincide con l pendiente de l rect secnte l curv que ps por, y conorme v disminuyendo l mplitud del intervlo considerdo, los puntos de corte determindos por ls distints secntes se cen cd vez más cercnos, llegndo en el límite coincidir por lo que l secnte se convierte en tngente: Y Rect tngente O tg 5 X

16 Curso de Mtemátics Especiles Geométricmente, l derivd de un unción en un punto coincide con l pendiente de l rect tngente en dico punto Coincide con l tngente del ángulo α que orm l rect tngente con el semieje positivo OX Supongmos or que un prtícul se mueve en líne rect y que el espcio recorrido por ell l cbo de un tiempo es e L velocidd medi de dic prtícul en un intervlo de tiempo es, por deinición, el espcio recorrido en ese intervlo de tiempo dividido por el tiempo invertido Así, l velocidd medi entre los instntes y viene dd por el cociente e e Es decir, e derivd del espcio respecto l tiempo en el instnte Derivds lterles de un unción en un punto Si el espcio, en metros, recorrido por un móvil en unción del tiempo, en segundos, viene determindo por l unción t 8t t, Cuánto vle l velocidd inicil? Pr obtener l velocidd inicil, emos de clculr l derivd de t en t : Límite que no podemos clculr, porque l unción no está deinid l izquierd del cero no tiene sentido considerr tiempo menor de cero En cmbio, sí podemos obtener el límite lterl por l derec en t : 8 8 L velocidd inicil del móvil es de m/s Se llm derivd por l derec de l unción en el punto, y se represent por, l límite: L derivd por l izquierd de l unción en el punto, y se represent por, l límite: 6

17 Curso de Mtemátics Especiles Eiste l derivd de l unción en? L unción se deine de l siguiente mner: Y su representción gráic es l siguiente: si si < Como no eiste rect tngente en dico punto, no eiste l derivd, es decir, l unción no es derivble en Clculmos sus derivds lterles en : Como no eiste L unción es derivble en cundo eisten sus derivds lterles en dico punto y son igules 7

18 Curso de Mtemátics Especiles Derivbilidd y continuidd L gráic de un unción es l siguiente: Se observ que en el punto present un slto, no es continu Tmpoco es derivble l no eistir l tngente en dico punto En es continu y no es derivble; no eiste l tngente en dico punto En 7, l unción es continu y es derivble; eiste l tngente en dico punto, o bien Como: Se deduce que l derivbilidd implic continuidd Si un unción es derivble en, entonces l unción es continu en dico punto En cmbio, l continuidd no implic derivbilidd como lo muestr el ejemplo nterior, l unción vlor bsoluto Si un unción es continu en, l unción no tiene por qué ser derivble en dico punto 8

19 Curso de Mtemátics Especiles 9 Función derivd Cundo un unción es derivble en todos los puntos de un cierto dominio D, podemos deinir un nuev unción, llmd unción derivd, que soci cd vlor del dominio D l derivd en dico punto Por ejemplo, se l unción Aplicndo l deinición de derivd, clculmos l derivd en el punto : Result un límite indetermindo que resolvemos ctorizndo el numerdor de l rcción Utilizndo l regl de Ruini pr l ríz : / -7/ / / 7/ / / 7/ 7 7 En generl, pr un vlor, result: De nuevo plicndo l regl de Ruini, result: / - /- / / / / / / Dándole vlores y clculndo los vlores correspondientes de se obtiene l tbl de vlores:

20 Curso de Mtemátics Especiles Al representr estos puntos result un nuev unción Regl de los cutro psos Anteriormente, pr clculr l derivd de en el punto emos utilizdo l epresión: Vmos obtener un regl que permit clculr l derivd de un unción, utilizndo psos: Función incrementd: Incremento de l unción: - Cociente incrementl: Límite del cociente incrementl, cundo tiende cero: Este proceso se llm l regl de los cutro psos Así, pr l undición :

21 Curso de Mtemátics Especiles Pr clculr este límite se utiliz l órmul del cudrdo de un sum: Entonces: Análogmente, se obtiene que si entonces su derivd es, si su derivd es,, y l derivd de l unción n es n n Un cso prticulr de est órmul es l derivd de l unción:, como, result Derivds de operciones con unciones Utilizndo de nuevo l regl de los cutro psos se demuestrn recomendmos l lumno que lo g como ejercicio ls siguientes derivds: Derivd de l sum dierenci: L derivd de l sum dierenci de dos unciones derivbles es igul l sum dierenci de sus derivds: u ± v u ± v Por ejemplo, si, entonces Esto se puede generlizr pr l sum o rest de un número inito de unciones: u v w u v w Así, si Generlizndo, pr k, con k R, Derivd del producto: L derivd del producto de dos unciones derivbles es igul l derivd de l primer unción por l segund unción sin derivr más l primer unción sin derivr por l derivd de l segund:

22 Curso de Mtemátics Especiles u v u v u v 5 Así, si, entonces 5 5 Si 7, entonces 7 7 u Derivd de un cociente: L derivd del cociente de dos unciones derivbles, v siendo v, es igul l derivd del numerdor por el denomindor sin derivr menos el numerdor sin derivr por l derivd del denomindor, dividido todo por el denomindor l cudrdo: u u v u v v v Si 5 5 5, operndo result: Regl de l cden L regl de l cden nos permite clculr l derivd de l composición de dos unciones Es un regl muy importnte que continumente se utiliz en el cálculo de derivds pero que no vmos demostrr pues entendemos que ecede el nivel de este curso de nivelción Si un unción y u es derivble respecto de u, y u es derivble respecto de, entonces l derivd de l unción compuest [ u ] derivd de respecto de u por l derivd de u respecto de : y respecto de es igul l producto de l [ u ] y y u u Por ejemplo, pr clculr l derivd de l unción compuest y 6, cemos u, 6 u u entonces: u y 5 u 6u Aplicndo l regl de l cden y sustituyendo: 5 [ u ] 6

23 Curso de Mtemátics Especiles Tbl de derivds Aplicndo ls propieddes nteriores y otrs que no demostrremos, se clculn ls derivds de ls siguientes unciones: Función simple Derivd Función Derivd Compuest y k y y y y u v y u v y k u y k u y u v y u v u v u y v n y u v u v y v n n n y n y u y n u u y log y y logu u y u y log y log y u log e y log e u u y e y e u u y e y e u y y log u u y y log u y sen y cos y sen u y cos u u y cos y sen y cos u y sen u u y tg y cot g y rcsen y rccos y tg cos y cot g sen y y y tg u y cot g u y rcsen u y rccos u u y cos u u y sen u y y u u u u

24 Curso de Mtemátics Especiles y rctg y y rctg u u y u Rect tngente y norml L ecución de l rect que ps por el punto A, y y tiene de pendiente m es: y y m Y l de l rect norml en dico punto es: y y m Como pr el cso de l rect tngente l pendiente es m, result: y y ; y y Por tnto, dd un unción, ls ecuciones de l rect tngente y norml en son, respectivmente: y ; y Dd l unción l ecución de l rect tngente en es: y y 5 Análogmente, l ecución de l rect norml es: y 5

25 Curso de Mtemátics Especiles 5 Resumen teórico Continuidd de un unción en un punto Continuidd de un unción en un intervlo Un unción es continu en un cierto intervlo,b si lo es en todos los puntos del intervlo Vrición medi Vrición medi de l unción entre y, siendo <, es el vlor Ts de vrición medi de un unción y en un intervlo [, b] es el cociente b b Vrición instntáne L vrición instntáne de un unción en un punto es el límite de l ts de vrición medi Derivd de un unción en un punto Interpretción geométric de l derivd Interpretción ísic de l derivd correspondiente l intervlo [ ], cundo se ce ininitmente pequeño Su vlor coincide con l pendiente de l rect tngente L derivd de un unción en un punto coincide con l pendiente de l rect tngente en dico punto Coincide con l tngente del ángulo α que orm l rect tngente con el semieje positivo OX L velocidd instntáne es l derivd del espcio respecto l tiempo Derivds lterles Derivd por l derec: Derivd por l izquierd: 5

26 Curso de Mtemátics Especiles Derivbilidd L unción es derivble en cundo eisten sus derivds lterles en dico punto y son igules Derivbilidd y continuidd Si un unción es derivble en, entonces l unción es continu en dico punto Si un unción es continu en, l unción no tiene por qué ser derivble en dico punto Función derivd Cundo un unción es derivble en todos los puntos de un cierto dominio D, l unción derivd soci cd vlor del dominio D l derivd en dico punto Regl de los cutro psos Pr clculr l derivd de un unción, se utilizn psos: Función incrementd: Incremento de l unción: - Cociente incrementl: Límite del cociente incrementl, cundo tiende cero: Derivds de operciones u ± v u ± v con unciones u v u v u v u u v u v v v Regl de l cden [ u ] y y u u Rects tngente y norml Tngente: y ; Norml: y 6

27 Curso de Mtemátics Especiles 6 Actividdes resuelts Estudi l continuidd de ls siguientes unciones: si en el punto si > b 5 si en el punto - si > Solución L unción está deinid en, Pr comprobr si tiene límite en, y que estudir si eisten los límites lterles y son igules : Como los límites lterles son distintos, l unción no tiene límite en y, por tnto, es discontinu en dico punto 5 b 5 ; ; Como los tres vlores coinciden l unción es continu en - Clcul los siguientes límites: 5 b c 9 Solución 5 5 7

28 Curso de Mtemátics Especiles 8 b Pr descer est indetermind debemos ctorizr los dos términos de l rcción y simpliicr Pr ello plicmos l regl de Ruini pr : Numerdor: - Denomindor: - - c 9 Pr descer est indetermind opermos y simpliicmos: Estudi l continuidd de l unción: > si si b < < 5 si si si

29 Curso de Mtemátics Especiles Est unción viene deinid por dos intervlos Como en mbos l epresión es un polinomio, l unción es continu en el interior de ellos; entonces, el único punto estudir es el etremo de dicos intervlos, es decir, el punto ; ; Como no coinciden los tres vlores, l unción no es continu en Por tnto, est unción es continu en R { } b En este cso nos encontrmos con tres intervlos en los cules l unción viene deinid por un polinomio, con lo que es continu en el interior de los tres Vemos los etremos: 5 : ; ; No es continu en : 5; continu en L unción es continu en R { } 5 ; 5 Es Estudi l continuidd de l unción: 5 Cómo evitr que se discontinu en -? Se trt de un unción rcionl, luego es continu slvo en los puntos en que se nule el denomindor: 5 - y 5 5 L unción es continu en R, Pr evitr que se discontinu en - bst con deinir l unción en este punto igul l límite que tom en él: 9

30 Curso de Mtemátics Especiles 5 Hy que ctorizr y, como los dos miembros de l rcción son polinomios de grdo dos, utilizmos l órmul de l ecución de segundo grdo pr llr sus ríces: Numerdor: y Denomindor: - y L unción: si 5 5 si 9 5 Se consider l unción deinid por: si < b si < si Clcul los vlores de y b pr que se continu en todos sus puntos Continuidd en : b b b b ; ; Continuidd en : ; b 6 b ; b

31 Curso de Mtemátics Especiles 6 Pr qué vlores de es discontinu l siguiente? 6 5 Se trt de un unción rcionl, luego es continu slvo en los puntos en que se nule el denomindor: 5 y L unción es continu en R, 7 Estudi l continuidd de l unción: 5 De nuevo nos encontrmos con un cociente de polinomios, y que estudir los ceros del denomindor ± L unción es continu en R { ± } 8 Dd l unción 5, ll l vrición medi en los intervlos: [,] b [ 5,] c Con qué vlor coincide siempre es ts? b 8 V m 5 b b b V m 5 b 5 c Al ser un unción linel, es constnte y coincide con l pendiente de l rect 9 Hll l ts de vrición medi de l unción en:

32 Curso de Mtemátics Especiles [,] b [,] c Es siempre constnte? b 5 V m 5 b b 7 b V m b c Como es un unción cudrátic no es constnte Un mnc circulr de petróleo tiene un rdio de m Clcul: L vrición que sure su áre si el rdio ument en 6 m b L ts de vrición medi l psr el rdio de 5 metros c L ts de vrición medi l psr el rdio de metros d L ts de vrición instntáne El áre ctul es A π π m Cundo el rdio ument en 6m, el áre es A π 6 676π m, por tnto l vrición es V π π 76π m V 5 V 65π π 76π b V m 55,π V V 8π π 8π c V m π d Hllmos l ts de vrición medi cundo el rdio ument en,m: V m V, V,π π,π,π,,, Pr un umento de,, result: V m V, V,π π,π,π,,, Pr un umento de,, result: V m V, V,π π,π,π,,,

33 Curso de Mtemátics Especiles Por tnto, l ts de vrición instntáne es π Dd l unción y, clcul l ts de vrición medi correspondiente los intervlos: [,5] b [, 5] c [, ] d [, ] e Hci qué vlor tiende l sucesión de vlores obtenidos? Cuál es l ts de vrición instntáne en? b 5 7 V m 8 b 5 b b V m 8 b 5 5 b, c V m 6 8 b b d V m 6 8 b e Tiende 6 L ts de vrición instntáne en es, entonces, 6 5 Un empres comprobdo que l demnd de rtículos de un producto, en unción del precio, viene dd por l epresión d 7 Clcul: L vrición de l demnd si el precio ps de 5 euros por unidd L vrición es positiv o negtiv? b L vrición medi correspondiente los intervlos [ 5,], [ 5,7], [ 5,5 ] y [,5 ] c L vrición instntáne en 5 d d Es un vrición negtiv b Pr el intervlo [ 5,]: 5

34 Curso de Mtemátics Especiles d d Pr el intervlo [ 5,7]: d7 d Pr el intervlo [ 5,5 ] : d5 d5 5 5 Pr el intervlo [ 5,5,]: d5 d c Observndo l sucesión de vlores obtenidos, se deduce que l vrición instntáne en 5 es - Lo comprobmos con l deinición de derivd: d 5 d5 d Dd l unción y el punto Clcul el vlor del cociente incrementl, y, b Cuál es el vlor de pr,, 5, 6 6,5,5 8,5 6 5,5,5,5,,,, 6,88 6,,,,,, 6, 6,,

35 Curso de Mtemátics Especiles b El vlor de es 5 Dd l unción : Clcul medinte límites b Dibuj l rect tngente est prábol en el punto y otr rect cuy pendiente se, Cómo son mbs rects? b Ambs rects son prlels 65 Dd l unción y el punto : Complet el siguiente cudro:,5,, b Cuál es l pendiente de l tngente l curv en?,5,,,5,, 9 7,5 6,,5,, 6, b L pendiente de l rect tngente l curv en es l derivd,, es decir 5

36 Curso de Mtemátics Especiles 6 66 Dd l unción polinómic de segundo grdo y b c, ll, b y c si se sbe que l gráic de est unción ps por los puntos, y,6 y que l tngente l curv en,6 es l rect de ecución: y 7 8 Como ps por,: Como ps por,6: b c 6 b c Como l pendiente de l rect tngente es m 7 coeiciente de en l ecución eplícit debe ser y 7 : y y y b c b c b c b c b b c b c b b b Por tnto: b 7 Se obtiene el siguiente sistem: Ls soluciones son: 5, b y c b c b c 6 b 7 6

37 Curso de Mtemátics Especiles 77 Hll l derivd por l derec y l derivd por l izquierd de l unción, <, en, 78 Es l unción derivble en? Obtenemos l derivd por l derec y por l izquierd en este punto,, < No es derivble pues ls derivds lterles no coinciden 89 Estudi l continuidd y derivbilidd de 7, en el punto > Estudimos primero l continuidd Est unción en el único punto en el que puede ser discontinu es el punto, en el que l unción cmbi su epresión nlític Veámoslo: ; 7 7

38 Curso de Mtemátics Especiles 8 Como los límites lterles no coinciden, l unción no es continu en y, l no ser continu, no es derivble en este punto Estudimos, entonces, l derivbilidd en el resto de los puntos Se <, 7 Por tnto: L unción es derivble Se >, Entonces: L unción es derivble L unción es derivble en } { R y su unción derivd es: > <,, 8 Estudi l continuidd y derivbilidd de L unción, como es un polinomio, es continu y derivble en todo R 8 Estudi l derivbilidd de < < si si b si en los puntos y

39 Curso de Mtemátics Especiles Pr que se derivble debe ser continu en y En : b En : b b ; ;, luego: b 6 b 6, luego: 6 y 6 Por tnto est unción pr ser continu en y siguiente orm: si < si < si Estudimos continución l derivbilidd en estos puntos En : deberí estr deinid de l No es derivble en En : 6 L unción tmpoco es derivble en 9 Dd l unción, ll ls unciones, y 9

40 Curso de Mtemátics Especiles Dd l unción, resuelve l ecución Por tnto, 9 Deduce, utilizndo l deinición de derivd, l unción derivd de: b Emplemos l regl de los cutro psos:

41 Curso de Mtemátics Especiles Pr clculr este límite in determindo, como precen rdicles, multiplicmos el numerdor y el denomindor por el conjugdo del numerdor b Emplemos, de nuevo, l regl de los cutro psos: Pr clculr este límite indetermindo opermos scndo ctor común : 5 Clcul, utilizndo ls regls de derivción, l derivd de ls siguientes unciones: b 6

42 Curso de Mtemátics Especiles c d π sen e sen cos b 6 6 c d π π sen sen e sen cos sen sen cos cos 6 Clcul l derivd de ls siguientes unciones: 5 7 b c Se plic l derivd de un producto de unciones: b Utilizndo l órmul de l derivd de un cociente:

43 Curso de Mtemátics Especiles c Al plicr l órmul de l derivd de un producto result: 7 Utilizndo ls regls de derivción, clcul l derivd de ls siguientes unciones: log 6 b log log e log 6 6 log 6 b Antes de derivr, simpliicmos, utilizndo ls propieddes de los logritmos: log log log log 8 Pueden eistir dos unciones distints y g que tengn l mism derivd? Sí, si se dierencien únicmente en un constnte Por ejemplo: y g, en mbos csos, l ser l derivd de un constnte nul, se obtiene como derivd l unción 9 Utilizndo ls regls de derivción, clcul l derivd de ls siguientes unciones: b sen cos c tg tg

44 Curso de Mtemátics Especiles b sen cos sen cos sen cos cos cos sen sen cos cos sen sen c tg tg tg tg tg tg tg tg tg Clcul l derivd de y respecto de, en ls siguientes unciones: y u 5u 7, u 7 b y 7 u u, u 5 Aplicndo l regl de l cden: y 8 uu 5u, como u 7, sustituyendo result: y b Análogmente: 7 7 u y u u u y 7 u u u u u u 5 u 5 Sustituyendo en y : y 7 u u u u u Clcul l derivd de l unción y 5 Utilizndo l regl de l cden b Sin utilizr l regl de l cden

45 Curso de Mtemátics Especiles Se y u, u 5 Aplicndo l regl de l cden 5 y u u b y y Clcul l derivd de ls siguientes unciones: log 5 b log c log log b log log log log c log log log log log Clcul el vlor de l derivd de l unción π sen π cos y e e en el punto π Con l regl de l cden, se clcul l unción derivd: de donde: y e π π sen cos π π cos e sen π senπ cosπ y e cosπ e e [ senπ ] e Derivd y simpliic l unción cos y log cos 5

46 Curso de Mtemátics Especiles Utilizndo ls propieddes de los logritmos: Derivndo: y sen cos y [ log cos log cos ] sen sen sencos sen sencos cos cos sen cos sen 5 Clcul ls unciones derivds de ls unciones, simpliicndo su epresión cundo se pued: pr b g log pr > c cos sen pr R 6 6 b g c sen sen cos cos cos sen cos sen 6 Deriv y log e cos sen y log e log tg e cos Aplicndo ls regls de derivción: y tg cos sen cos e e 6

47 Curso de Mtemátics Especiles 7 Dd l unción 6, clcul ls ecuciones de l rect tngente y norml en los puntos de bsciss y Primero se clcul l unción derivd de 6 : Pr : y 6 6 Por otro ldo, l ordend es y ; por tnto, l ecución de l tngente es: y 6 L de l rect norml es: y 6 8 Hll l ecución de l rect tngente y en Clculmos l unción derivd de y : Pr : y y Por otro ldo, l ordend es y, luego l ecución de l tngente es: y 9 Hll ls tngentes l curv y, prlels l rect y Como l rect y tiene de pendiente m, y que clculr los puntos de l curv cuy derivd vlg Clculmos l unción derivd y l igulmos : Pr :, P, y implic ± 7

48 Curso de Mtemátics Especiles Pr :, P, Ls ecuciones de ls tngentes son: y, es decir, y y, es decir, y 8

49 Curso de Mtemátics Especiles 7 Actividdes propuests Estudi l continuidd de ls siguientes unciones: b si en el punto si > 7 si en el punto si > Clcul los siguientes límites: b c 8 Estudi l continuidd de l unción: si si si < < b 5 si si si < < Estudi l continuidd de l unción 7 en 9 5 Se consider l unción deinid por: 9

50 Curso de Mtemátics Especiles k si si Clcul k pr que se continu en todos sus puntos 6 Pr qué vlores de es discontinu l siguiente? 5 7 Estudi l continuidd de l unción: Dd l unción y, clcul l ts de vrición medi correspondiente los intervlos: [,5] b [, 5] c [, ] d Hci qué vlor tiende l sucesión de vlores obtenidos? e Cuál es l ts de vrición instntáne en? 9 Dd l unción Clcul: L vrición que sure en el intervlo [,] b L ts de vrición medi en el intervlo [,] c L ts de vrición medi en el intervlo [, ] d L ts de vrición instntáne en Dd l unción y 8, clcul l ts de vrición medi correspondiente los intervlos: [,5] 5

51 Curso de Mtemátics Especiles b [, 5] c [, ] d Hci qué vlor tiende l sucesión de vlores obtenidos? e Cuál es l ts de vrición instntáne en? Un empres comprobdo que l vent de rtículos de un producto, en unción del precio, viene dd por l epresión v Clcul: L vrición de l demnd si el precio ps de 5 euros por unidd L vrición es positiv o negtiv? b L vrición medi correspondiente los intervlos [ 5,], [ 5,7], [ 5,5 ] y [,5 ] c L vrición instntáne en 5 5 Dd l unción y el punto : Clcul el vlor del cociente incrementl, y, b Cuál es el vlor de pr,, 5, Dd l unción : Clcul medinte límites b Qué signiicdo tiene? c Dibuj l rect tngente est prábol en el punto y otr rect cuy pendiente se, Cómo son mbs rects? Dd l unción y el punto : Complet el siguiente cudro:,5,, 5

52 Curso de Mtemátics Especiles b Cuál es l pendiente de l tngente l curv en? 5 Dd l unción polinómic de segundo grdo y b c, ll, b y c si se sbe que l gráic de est unción ps por los puntos, y,- y que l tngente l curv en,6 es l rect de ecución: y 6 Hll l derivd por l derec y l derivd por l izquierd de l unción 7, <, en, 7 Es l unción derivble en? 8 Estudi l continuidd y derivbilidd de 7, en el punto > 9 Estudi l continuidd y derivbilidd de Estudi l derivbilidd de si < b si < en los puntos y si Dd l unción 8, ll ls unciones, y Dd l unción 5 8, resuelve l ecución Clcul l derivd de ls siguientes unciones: 5

53 Curso de Mtemátics Especiles b c e sen d cos Clcul l derivd de ls siguientes unciones: e b c e e 5 Utilizndo ls regls de derivción, clcul l derivd de ls siguientes unciones: log e e b c d sen e log tg r cos rctg e e sen 6 Clcul l derivd de y respecto de, en ls siguientes unciones: y u, u 8 b u y, u u 7 Clcul l derivd de l unción y Utilizndo l regl de l cden b Sin utilizr l regl de l cden 8 Derivd y simpliic ls siguientes unciones: 5

54 Curso de Mtemátics Especiles log sen sen b tg c d e rcsen 9 Hll l ecución de l rect tngente y en Hll l ecución de ls rects tngentes y sen en y π Hll ls tngentes l curv y, prlels l rect y 5

55 Curso de Mtemátics Especiles 8 Bibliogrí Mtemátics Álgebr-Cálculo-Geometrí-Probbilidd Serie Scum ED McGruw-Hill Mtemátics º ESO Ed Edelvives Mtemátics º ESO Opción B Ed MCGrw-Hill Mtemátics º ESO Opción A Ed SM Problems de Mtemátics Especiles 989 Cudernos de l UNED, nº 8 Problems de Mtemátics Especiles 995 Mª E Bllvé y otros Ed Snz y Torres Mdrid wwwmristsleoncom/matematicas/eso/mtesotm wwwjuntdendlucies/verroes/iesbjogudlquivir/mt/curtob/mtesesobtm 55

56 Curso de Mtemátics Especiles 9 Prueb de utoevlución inl - Dd l unción: Es discontinu en b Es discontinu en 5 c Es discontinu en d Es continu en R - L unción nterior: Es derivble en b No es derivble en 5 c No es derivble en d Es derivble en R - Eiste rect tngente l unción de l pregunt primer en: b 5 c d Todos los puntos - L ecución de l rect tngente l unción: 56

57 Curso de Mtemátics Especiles En el punto de bscis es: y b y c y d y 5- L unción: Es continu en todos los puntos si: / 9,, < b c / d 6- L unción:,, < Es continu en R b Es derivble en R c Es derivble en R { } d Es discontinu en 7- Pr que l unción: b si si si < > Se continu en y, y b deben vler: 57

58 Curso de Mtemátics Especiles y b b y b c y b d y b / 8- Si ls tngentes l curv de ecución: m m m 8 En los puntos A, y B, son prlels, m es igul : m b m c m - d m 9- Pr que l derivd de l unción En vlg, m debe vler b - c d m m - L derivd de l unción: Es: cos e sen e sen sen cos cos log sen b cos e sen cos 58

59 Curso de Mtemátics Especiles c d e e cos sen sen cos sen cos 59

60 Curso de Mtemátics Especiles Soluciones l Prueb de Autoevlución inl c b c d c 8 d 9 c 6

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