TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

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1 TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA

2 TEORÍA DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

3 PÁGINA LEGAL Primera edición, Editorial Universitaria, 214. Calle 23 No. 565 e/ F y G, Vedado, La Habana, Cuba. Teléfono: (+537) e ISBN Todos los derechos reservados José Miguel Marín Antuña, Profesor Emérito. Facultad de Física de La Universidad de La Habana. Cuba.

4 Índice Introducción 9 1 Funciones de variable compleja. Funciones analíticas Números complejos Un poco de historia Definiciones Operaciones con números complejos Interpretación geométrica de los números complejos Potencia y raíz de un número complejo Esfera de los números complejos Sucesiones de números complejos Definiciones Criterio de Cauchy Funciones de variable compleja. Límite y continuidad Conceptos fundamentales Continuidad Ejemplos Derivación con respecto al argumento complejo. Funciones analíticas Derivadas y diferenciales Condiciones de diferenciabilidad de una función

5 4 ÍNDICE Ejemplos Funciones analíticas Funciones conjugadas armónicas Ejercicios del Capítulo Integración de funciones de variable compleja Concepto de integral de funciones de variable compleja Teorema de Cauchy Formulación inicial Teorema de Goursat Corolario del Teorema de Cauchy Generalización del Teorema de Cauchy Integral Indefinida. Fórmula de Newton-Leibnitz Integrales que dependen analíticamente de un parámetro Fórmula Integral de Cauchy Obtención de la fórmula Consecuencias de la Fórmula Integral de Cauchy Ejercicios del Capítulo Series de funciones analíticas Conceptos fundamentales Series numéricas Series funcionales Propiedades de las series convergentes uniformemente Series de potencias Propiedades de las series de potencias Desarrollo de una función analítica en serie de potencias

6 ÍNDICE Series de Laurent Propiedades de las series de Laurent Desarrollo de una función analítica en serie de Laurent Puntos singulares de las funciones analíticas Clasificación de los puntos singulares Conducta de las funciones analíticas en el entorno de sus puntos singulares aislados Clasificación de las singularidades en el entorno del infinito Ejercicios del Capítulo Prolongación analítica. Funciones elementales de variable compleja Prolongación analítica Teorema de unicidad de las funciones analíticas Prolongación analítica. Concepto de superficie de Riemann Prolongación analítica a través de la frontera Prolongación analítica por medio de series de potencias Concepto de función analítica completa Funciones elementales de variable compleja Función exponencial. Funciones trigonométricas Función logaritmo Funciones trigonométricas inversas Función potencial Ejercicios del Capítulo Teoría de residuos y sus aplicaciones Residuo. Teorema fundamental de residuos Definición. Fórmulas para el cálculo de residuos Teorema fundamental de residuos

7 6 ÍNDICE 5.2 Aplicación de la teoría de residuos al cálculo de integrales definidas de variable real Integrales del tipo 2π f(sin x, cos x)dx Integrales del tipo I = f(x)dx Integrales del tipo I = f(x) cos αx dx ó I = f(x) sin αx dx Otros tipos de integrales Integrales de funciones multivaluadas Integrales del tipo f(x) ln xdx Residuo logarítmico y sus aplicaciones. Principio del argumento Concepto de residuo logarítmico Principio del argumento Ejercicios del Capítulo Representaciones conformes Conceptos fundamentales Transformaciones que conservan las propiedades armónicas Significado geométrico del módulo y del argumento de la derivada de una función analítica Representación conforme Principio de correspondencia de fronteras Teorema de Riemann Función bilineal Función lineal Función de inversión Función bilineal Problemas Funciones elementales Función potencial

8 ÍNDICE Función exponencial Función seno Ejemplos de aplicación de las funciones elementales Función de Joukovsky. Perfiles de Joukovsky Integral de Schwarz-Christoffel Ejemplos Aplicación de las representaciones conformes a la resolución de problemas de frontera Construcción de la función de Green mediante representaciones conformes Resolución de problemas de frontera para la ecuación de Laplace mediante representaciones conformes Método del potencial complejo Ejercicios del Capítulo Cálculo Operacional La transformada de Laplace y sus propiedades Definiciones fundamentales Transformada de las funciones elementales Propiedades de la transformada de Laplace Tabla de transformadas de Laplace Determinación del original a partir de la transformada Fórmula de Mellin Ejemplos Caso de función regular en el infinito Aplicación de la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones en derivadas parciales Otras transformadas integrales

9 8 ÍNDICE Transformada de Fourier Transformada de Mellin Transformada de Hankel Transformación de una integral de contorno Prolongación analítica de la transformada de Fourier Ejercicios del Capítulo Respuestas e indicaciones a los ejercicios Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Apéndice 1. Principio de simetría Apéndice 2. Redondeamiento de ángulos Redondeamiento de ángulos menores que π Redondamiento de ángulos mayores que π Apéndice 3. La transformada de Fourier 467 Bibliografía 473

10 Introducción En la presente obra se desarrollan los conceptos fundamentales y los métodos de trabajo de la teoría de funciones de una variable compleja. En la literatura actual, generalmente se encuentran cursos muy amplios de esta teoría dedicados fundamentalmente a aquellos lectores que han escogido por especialidad las Matemáticas, a la vez que que se hallan otros cursos que solamente desarrollan los elementos de esa teoría. Además, no existe hasta el momento un libro en español que, a nuestro juicio, satisfaga las exigencias de un desarrollo sistemático y completo de las funciones de variable compleja a pesar de que cada vez son más populares en la Física y en la técnica los métodos que exigen una aplicación seria de la teoría de las funciones analíticas. Hacer hincapié en dicha aplicación dentro del contenido de un curso matemático especializado es difícil y el que al respecto se hace en los cursos elementales es insuficiente. El fin que se propone el presente libro es precisamente eliminar esta insuficiencia desarrollando con la rigurosidad necesaria los métodos fundamentales de la teoría de funciones de una variable compleja para aquellas personas que la necesitan en aras de su aplicación a problemas físicos y técnicos. Su contenido está basado en el curso que el autor ha desarrollado durante 45 años en la asignatura de Métodos Matemáticos de la Física para el tercer año de la carrera de Física de la Universidad de La Habana. Dos ediciones anteriores de este libro han sido utilizadas también como texto de los estudiantes de la carrera de Física Nuclear del Instituto de Ciencias y Tecnologías Aplicadas. Como libro de consulta ha sido empleado en carreras tecnológicas y pedagógicas de Cuba, así como en la carrera de Matemáticas de la Universidad de La Habana. Algunas universidades latinoamericanas han contado con ejemplares de esas ediciones como texto de consulta también. Sin embargo, en su revisión el autor ha encontrado deficiencias en el emplanaje de los ejemplares editados y también erratas que hacen deseable una nueva edición del libro. Es por eso que nos dimos a la tarea de hacer un análisis detallado de las ediciones anteriores y de elaborar una nueva versión del texto, si bien hemos querido mantener el estilo y el espíritu inicial de la obra, pues ha sido de agrado de muchas generaciones de estudiantes que lo han utilizado para su formación en el apasionante, elegante, bello y útil tema de la teoría y las aplicaciones de las funciones de una variable compleja. No obstante lo dicho, la necesidad y el deseo de una exposición más amplia y sistemática de los contenidos ha conducido a la realización de un análisis más detallado de algunas cuestiones, por encima de lo que comunmente puede hacerse en el marco de un programa de conferencias. Es por ello que aparecen algunos temas que normalmente no entran en el contenido de dicho programa, pero que son de gran utilidad al físico y al ingeniero. 9

11 1 José Marín Antuña El desarrollo del material es bastante cercano al tradicional. Sin embargo, no se hace un análisis especial de las funciones elementales de variable compleja al inicio del libro, como comunmente se lleva a cabo en otras obras, sino que éstas se introducen como una prolongación analítica directa de las funciones elementales de variable real; los teoremas sobre la prolongación analítica permiten, de forma uniforme, trasladar al campo complejo las propiedades conocidas de las funciones de variable real. La exposición de la teoría de residuos va encaminada a permitir la aplicación directa por parte del lector de este poderoso aparato de trabajo como un arma de uso cotidiano en los problemas de integración que se planteen; por ello está adornado de múltiples ejemplos. Igualmente, el concepto y las implicaciones del residuo logarítmico han sido desarrollados ampliamente, más de lo que habitualmente suelen hacer otros autores, ya que este sencillo concepto permite profundizar más en la esencia y el comportamiento de las funciones analíticas y permite, de paso, despejar algunas viejas incógnitas de carácter algebraico. En el desarrollo de la materia también hemos hecho énfasis en la aplicación de la teoría de las representaciones conformes a la solución de problemas de la Física Matemática, por ser uno de los aparatos más poderosos que pueden usarse en las investigaciones en esa disciplina. Dos apéndices del libro se dedican a ese tópico. También se hace énfasis en la aplicación de la transformada de Laplace a la solución de problemas con ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias, como en derivadas parciales, por ser ellas un aparato de amplia utilización por los lectores a quienes va dirigido este libro. Además, hemos introducido a través de ejemplos y ejercicios propuestos los conceptos de algunas de las funciones especiales más importantes de la Física Matemática con las que el lector puede encontrarse en el transcurso de su actividad profesional. Sin embargo, el libro no pretende un estudio sistemático de las funciones especiales que son tratadas con mayor amplitud y sistematicidad en el libro de Métodos Matemáticos de la Física del autor. Este libro, como su nombre lo indica, está dedicado principalmente a la teoría de funciones de una variable compleja; sin embargo, no se concibe un libro de teoría matemática que no contenga ejemplos esclarecedores y que no proponga al lector ejercicios que le permitan comprobar sus conocimientos. Por eso, sin ser un libro amplio en ejercicios, al final de cada capítulo se proponen varios de ellos sobre la materia desarrollada. Al final del Capítulo 7 se ofrecen las respuestas a los ejercicios propuestos y las indicaciones para la solución de algunos de ellos. Se recomienda al lector la solución de los ejercicios propuestos, a fin de comprobar los conocimientos teóricos adquiridos, así como para adquirir la destreza necesaria en el manejo de dicha teoría. Las opinones de los lectores sobre esta nueva versión del libro serán recibidas con agrado y agradecimiento por el autor. La Habana, Cuba, 212.

12 Capítulo 1 Funciones de variable compleja. Funciones analíticas 1.1 Números complejos El concepto de número complejo apareció, en primer lugar, como resultado de la necesidad de sistematizar los cálculos. Los matemáticos se vieron necesitados de utilizarlos desde épocas relativamente tempranas. Inclusive las más sencillas operaciones algebraicas con números reales se salen del marco del campo de los números reales. Es conocido que no toda ecuación algebraica puede ser resuelta con números reales; por consiguiente, es necesario renunciar a la aplicación automática de los métodos de solución establecidos y en cada caso investigar minuciosamente las posibilidades de aplicación de dichos métodos o ampliar el campo de los números reales, de manera que las operaciones algebraicas fundamentales sean siempre aplicables. Tal ampliación es, precisamente, el concepto de número complejo. La propiedad fundamental de los números complejos es que las operaciones matemáticas con ellos realizadas no se salen de los límites de su definición. El concepto de número complejo es familiar al lector inclusive de los cursos de álgebra elemental. En dichos cursos generalmente se llega al concepto de número complejo al analizar la ecuación x = (1.1) Lo primero que se observa es que no existen números reales que satisfagan dicha ecuación. Por eso se introduce un nuevo número imaginario i = 1, con ayuda del cual la citada ecuación resulta soluble y cuyas raíces son +i y i. 1 1 La primera referencia a los números imaginarios como las raíces cuadradas de números reales negativos se remonta al siglo XVI (Cardano, 1545). Hasta la mitad del siglo XVIII los números complejos aparecen en algunos trabajos aislados de diferentes matemáticos (Newton, Bernoulli, Clairaut). En la segunda mitad del siglo XVIII se introduce el símbolo i y comienza un desarrollo sistemático de la teoría de los números complejos en los trabajos de eminentes matemáticos y físicos como Leonard Euler, August Cauchy, Karl Weierstrass, 11

13 12 José Marín Antuña Inmediatamente pueden introducirse los números complejos como la suma de los números reales x y los números imaginarios iy. Una vez introducidos estos números, resultan solubles todas las ecuaciones de segundo grado x 2 + px + q = (1.2) y en general todas las ecuaciones del tipo x n + p 1 x n 1 + p 2 x n p n = (1.3) con coeficientes arbitrarios. Como podemos considerar que el lector está familiarizado, desde los cursos de álgebra elemental, con el concepto de número complejo, resumiremos en forma axiomática los momentos fundamentales de la definición de número complejo y las operaciones aritméticas que con ellos se realizan. Exigiremos solo que los axiomas y las operaciones que introduzcamos contengan, como caso particular, los conceptos y operaciones con los números reales Un poco de historia La aritmética de los números reales responde a una serie de reglas entre las cuales se encuentra el hecho de que el producto de dos números positivos y el producto de dos números negativos tiene que ser positivo. Por ejemplo, 5 3 = 15 y también ( 5) ( 3) = 15. Si uno se propone la tarea de hallar la raíz cuadrada de un número negativo como 15 encuentra que debe ocurrir que, si llamamos r = 15, entonces r r = 15 lo que contradice la regla anterior de los números reales. Por lo tanto, r no puede ser un número real. Aunque por mucho tiempo los matemáticos rechazaron la posibilidad de introducir entes nuevos más allá de los números reales, llegó un momento en el que la idea tuvo que admitirse para poder seguir ampliando el campo de aplicaciones de la Matemática. Fue en el siglo 16 donde por primera vez se hizo dicha introducción. El médico, filósofo y astrólogo Gerolamo Cardano introdujo en su libro Ars Magna ( arte superior o álgebra ) el siguiente problema: Hallar los números en que se divide el número 1 de manera que multiplicadas entre sí se obtenga el número 4. Cardano expresa que el problema no tiene solución, ya que no existen dos números reales a y b que a la vez cumplan que a + b = 1 y que ab = 4. Planteado en términos modernos del Algebra esto significaría que a(1 a) = 4, o sea, a 2 1a 4 =. Sin embargo, profundizando en el asunto, el propio Cardano propuso como posible solución , 5 15 pues, efectivamente: Bernhard Riemann, Casper Bessel y otros.

14 Funciones de Variable Compleja 13 (5 + 15) (5 15) = ( 15) 2 = 25 ( 15) = = 4 Al número 15 que el propio Cardano rechazaba por ser inquietante y a veces inútil tenía la rara virtud de permitir la solución del problema planteado. Como posteriormente la manipulación de tales raíces sofisticadas permitió resolver todas las ecuaciones de segundo y de tercer grado, se comenzó a aceptar, no sin reservas, tales números que de otra forma hubieran sido desechados como tantas otras cuestiones que no se han sabido apreciar. Otros matemáticos, como Bombelli, hicieron aportes a la solución de ecuaciones de tercer grado con el uso de tales números y solamente ya comenzado el siglo 17 René Descartes acuñó el término de imaginarios para los números que eran definidos como raíces de números negativos. Leibnitz quiso decirles números anfibios, pero felizmente prevaleció el nombre de imaginarios, si bien eran mirados con reserva, como ciertos objetos de segunda clase. Solamente en la segunda mitad del propio siglo 17 ese gigante del pensamiento matemático llamado Leonard Euler introdujo el símbolo i para lo que llamó unidad imaginaria i = 1 y consiguió la incorporación total de los números imaginarios y los que después se denominaron complejos que fueron escritos en su forma algebraica como a + ib, donde a y b son números reales, al universo de la Matemática. Es a la pluma del propio Euler a la que se debe la llamada identidad de Euler e iπ + 1 = considerada como la más bella fórmula mamtemática y con la que Euler logró establecer su famosa identidad e iθ = cos θ + i sin θ y la introducción de los logaritmos de números negativos, ya que, según su propio razonamiento, si e iπ = 1, ln( 1) = iπ. Por último, en el siglo 19, casi 3 años después de los trabajos de Cardano, un matemático irlandés, William Hamilton, introdujo otra notación para los números complejos: el número complejo a + ib fue identificado por Hamilton como un par de números reales (a, b) cuyas reglas de composición son las que a continuación expondremos de manera axiomática en este capítulo Definiciones Llamaremos número complejo z al par ordenado de números reales z = (x, y) (1.4) e identificaremos al número complejo z = (x, ) con el número real x. En esta definición debemos insistir en que es fundamental el orden en que se colocan los números que conforman el par, ya que no es igual el número complejo (x, y) al número complejo (y, x). El primer número del par recibe el nombre de parte real del número complejo z, lo que se indica escribiendo x = Re z; el segundo número del par y se denomina parte imaginaria del número complejo z y se representa por el símbolo y = Im z. Los números reales se entienden como un subconjunto de los números complejos aquí definidos: x = (x, ). El subconjunto de los números complejos cuya parte real es nula: (, y) son llamados

15 14 José Marín Antuña número imaginarios puros. Este nombre tiene su origen en los primeros tiempos de estudio de los números complejos. Diremos que dos números complejos z 1 = (x 1, y 1 ) y z 2 = (x 2, y 2 ) son iguales si y solo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, es decir, z 1 = z 2 si y solo si x 1 = x 2, y 1 = y 2. Como consecuencia, podemos decir que z = si y solo si x =, y =. Llamaremos complejo conjugado o simplemente conjugado del número z = (x, y) al número complejo (x, y) y lo representaremos por el símbolo z o z Operaciones con números complejos Definiremos las operaciones algebraicas con números complejos. 1. Llamaremos suma de dos números complejos z 1 = (x 1, y 1 ) y z 2 = (x 2, y 2 ) al número complejo z = (x, y) tal que x = x 1 + x 2, y = y 1 + y 2. Esta operación será representada simbólicamente por z = z 1 + z 2. Es fácil comprobar que para la operación así definida se cumplen la propiedad conmutativa: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 y la propiedad asociativa: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3. Además, es evidente que, considerados los números reales como un subconjunto de los números complejos, la operación suma definida por nosotros coincide con la operación conocida de suma de dos números reales. Esto nos indica que la operación de suma de dos números complejos está construida correctamente. 2. Llamaremos diferencia de dos números complejos z 1 = (x 1, y 1 ) y z 2 = (x 2, y 2 ) al número complejo z = (x, y) tal que z + z 2 = z 1, lo que se representará con el símbolo z = z 1 z 2. De esta definición es fácil concluir que x = x 1 x 2, y = y 1 y Llamaremos producto de dos números complejos z 1 = (x 1, y 1 ) y z 2 = (x 2, y 2 ) al número complejo z = (x, y) determinado por las relaciones x = x 1 x 2 y 1 y 2, y = x 1 y 2 + x 2 y 1 (1.5) La operación se simboliza por z = z 1 z 2. Se puede comprobar sin dificultad que tiene lugar la propiedad conmutativa: z 1 z 2 = z 2 z 1, la propiedad asociativa: z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3 y la propiedad distributiva: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3. Además, considerando a los números reales como un caso particular de los números complejos, vemos que se obtiene la regla conocida para la multiplicación de dos números reales, de donde concluimos que la operación de multiplicación de dos números complejos está bien construida. Analicemos ahora un producto que juega un papel muy importante en la teoría de los números complejos. Este producto es z z. Según la definición de producto se obtiene: z z = (x 2 + y 2, ) (1.6)

16 Funciones de Variable Compleja 15 Es decir se obtiene un número real. Llamaremos módulo del número complejo z a la raíz cuadrada de dicho producto y lo representaremos por: z = x 2 + y 2 (1.7) 4. Llamaremos división de dos números complejos a la operación inversa a la de multiplicación. Llamaremos cociente de los números complejos z 1 = (x 1, y 1 ) y z 2 = (x 2, y 2 ) (si z 2 ) al número complejo z = (x, y) que multiplicado por el divisor nos da el dividendo: z z 2 = z 1, lo que se expresará con el símbolo z = z 1 z 2. De lo anterior se concluye que la parte real x y la parte imaginaria y se determinan del sistema lineal de ecuaciones algebraicas xx 2 yy 2 = x 1 (1.8) xy 2 + yx 2 = y 1 con determinante x y 2 2 diferente de cero. Resolviendo este sistema se obtiene : x = x 1x 2 + y 1 y 2 ; y = x 2y 1 x 1 y 2 x y2 2 x y2 2 (1.9) Una vez axiomatizadas las operaciones con números complejos, podemos buscar una forma más cómoda de escribirlos: la llamada forma algebraica o forma binómica de un número complejo. En virtud de la operación suma, el número complejo z = (x, y) se puede escribir como z = (x, ) + (, y) y en virtud de la operación de multiplicación podemos escribirlo como z = (x, ) + (, y) = x (1, ) + y (, 1) El número (1, ) es la unidad real: (1, ) = 1 y el número (, 1) recibe el nombre de unidad imaginaria y se representa por i = (, 1). Por consiguiente, concluimos que el número complejo z = (x, y) puede representarse de la forma que permite darle un significado algebraico directo. z = x + iy (1.1) Basándonos en la definición de dos números complejos vista anteriormente, es fácil obtener la condición que satisface la unidad imaginaria introducida. Efectivamente, en virtud de la operación de multiplicación tenemos que

17 16 José Marín Antuña i i = i 2 = (, 1) (, 1) = ( 1, ) = 1 De aquí, la unidad imaginaria puede introducirse como i = 1 aunque esta expresión no tenga sentido en el campo de los números reales Interpretación geométrica de los números complejos Para el estudio de las propiedades de los números complejos es muy cómoda su interpretación geométrica. Puesto que un número complejo se define como un par ordenado de números reales, es lógico pensar que podemos representar geométricamente al número complejo z = (x, y) = x + iy a través del punto (x, y) en el plano R 2 con un sistema de coordenadas cartesianas e identificar al número z = con el origen de coordenadas. En lo adelante este plano recibirá el nombre de plano complejo y se le dará al eje de las absisas el nombre de eje real y al eje de las ordenadas el nombre de eje imaginario. Es evidente que de esta forma se establece una correspondencia entre cada número complejo z = x + iy y cada punto (x, y) del plano. Además, cada punto (x, y) del plano complejo (es decir, cada número complejo z = x + iy) determina de manera única las coordenadas de un vector con base en el origen de coordenadas y vértice en el punto (x, y) del plano, cuya longitud es, por definición de módulo de un vector r = x 2 + y 2 z es decir, el módulo del número complejo z. Así pues, podemos afirmar que existe una relación biunívoca entre el conjunto de los números complejos, tal y como han sido definidos aquí y el conjunto de todos los vectores del plano complejo con base en el inicio de coordenadas. Aquí estamos considerando solamente los números con ambas partes -real e imaginaria- finitas y los vectores del plano de módulo finito. Más adelante veremos cómo extender esta correspondencia a lo que posteriormente definiremos como el punto infinitamente alejado del plano complejo correspondiente al número complejo que llamaremos infinito. Introduzcamos ahora una nueva forma de representar a los números complejos: la llamada forma trigonométrica de los números complejos. La relación entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares es, como se sabe, (Fig. 1.1)

18 Funciones de Variable Compleja 17 Figura 1.1: Plano Complejo x = r cos ϕ y = r sin ϕ (1.11) de donde, automáticamente, se obtiene la llamada forma trigonométrica de escribir el número complejo: z = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.12) Del análisis anterior se infiere que el radio polar r es el módulo del número complejo z: r = z. El ángulo polar recibe el nombre de argumento del número complejo z, lo que se representa con la notación ϕ = Arg z. Dados el módulo y el argumento de un número complejo, sus partes real e imaginaria quedan definidas con precisión por la relación (1.12). Sin embargo, la afirmación recíproca no es cierta, pues dado el número complejo z, si bien su módulo queda definido unívocamente por la expresión

19 18 José Marín Antuña r = z = x 2 + y 2 (1.13) su argumento queda determinado con exactitud de un múltiplo de 2π: para los cuadrantes I y IV ϕ = Arg z = arctan y x + 2πn para los cuadrantes II y III. ϕ = Arg z = arctan y + 2(n + 1)π (1.14) x donde arctan es el valor principal o rama principal univaluada de Arctan, es decir, mayor que π/2 y menor o igual a π/2; n es un número entero arbitrario. En lo adelante, a la par que el símbolo Arg z, que representa todo el conjunto de valores del argumento, con el número entero n arbitrario, utilizaremos el símbolo arg z, que representa uno cualquiera de los valores de Arg z cuando a n se da un valor entero concreto. En el caso que sea necesario se señalará cuál es el valor específico que se toma. A cada uno de los valores del argumento, correspondiente a un valor fijo entero de n le llamaremos rama del argumento de z y, en particular, a la rama correspondiente a n = rama principal del argumento de z. De esta manera, tenemos que el argumento de un número complejo es igual al valor de la rama principal del argumento, que puede tomarse según la conveniencia de los futuros cálculos entre y 2π, entre π y π, etc. más un número entero de 2π, equivalente a un número entero de vueltas alrededor del punto z = origen de coordenadas. Es decir, si representamos a la rama principal del argumento por arg z, tendremos: Arg z = arg z + 2nπ donde n toma valores enteros. Esta notación será de utilidad más adelante en el análisis de las funciones de variable compleja. Es obvio que, como dos números complejos son iguales sí y solo sí son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, dos números complejos serán iguales sí y solo sí son iguales sus módulos y sus argumentos. Basándonos en la interpretación geométrica introducida al inicio de este punto, es fácil establecer la posición en el plano complejo de los números z = z 1 +z 2 y z = z 1 z 2 ; esto evidentemente se lleva a cabo utilizando las reglas conocidas para la suma y resta de vectores en un plano (Fig. 1.2) De lo planteado anteriormente es fácil establecer las desigualdades del triángulo: z 1 + z 2 z 1 + z 2 ; z 1 z 2 z 1 z 2 (1.15)

20 Funciones de Variable Compleja 19 Figura 1.2: Suma y resta de números complejos De la definición (1.5) se deduce que para multiplicar dos números complejos sus módulos se multiplican y sus argumentos se suman. Efectivamente, si representamos al número complejo z k por z k = x k + iy k r k (cos ϕ k + i sin ϕ k ) con k = 1, 2, tenemos: z = z 1 z 2 = r 1 r 2 {[cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ] + i[cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 ]} = = r 1 r 2 {cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )} (1.16) Es decir, que, efectivamente, z = z 1 z 2 y Arg z = Arg z 1 +Arg z 2. Si analizamos la división z = z 1 /z 2, de manera similar se concluye que z = z 1 z 2 y Arg z = Arg z 1 Arg z 2, es decir, que en la división los módulos se dividen y los argumentos se restan.

21 2 José Marín Antuña Es conveniente introducir aquí lo que comúnmente se conoce con el nombre de forma exponencial de un número complejo. Dados el módulo z = r y el argumento Arg z = ϕ del número complejo z = x + iy, su forma exponencial es donde n es un número entero arbitrario. Entonces (1.16) podrá escribirse de la siguiente forma z = re iϕ z e iarg z z e i arg o z+2nπ (1.17) z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) Solo posteriormente, al estudiar las funciones elementales de variable compleja, esta forma será debidamente justificada con rigor, pero debido a la comodidad de su uso, la hemos introducido ahora Potencia y raíz de un número complejo Analicemos ahora las operaciones de potenciación y radicación de los números complejos. Usaremos indistintamente la forma trigonométrica o la forma exponencial de los números complejos estudiadas en el punto anterior. Por definición, por potencia enésima de un número complejo z se entiende la multiplicación reiterada de dicho número por sí mismo n veces. Nos circunscribiremos a este concepto de potencia, aunque más adelante estudiaremos una generalización de la operación de potenciación, cuando un número complejo se eleve a cualquier número real o complejo. Por el momento para el caso particular de una potencia entera podemos afirmar que z n = {r(cos ϕ + i sin ϕ)} n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) (1.18) Como consecuencia de esta operación, deducimos la llamada fórmula de Moivre: (cos ϕ + i sin ϕ) n = (cos nϕ + i sin nϕ) (1.19) Es evidente que (1.18) puede escribirse de manera equivalente como z n = r n e inϕ Por definición, el número w = n z = z 1/n se llama raíz enésima del número z si se cumple que w n = z. Por consiguiente, si llamamos z = re iϕ y w = Re iψ, tendremos que

22 Funciones de Variable Compleja 21 w n = R n e inψ = re iϕ (1.2) Como dos números complejos son iguales sí y solo sí son iguales sus módulos y sus argumentos, de (1.2) concluimos que r = R n y nψ = ϕ + 2kπ, con k entero. Por lo tanto, para el módulo y el argumento de la raíz enésima obtenemos las expresiones R = n r; ψ = ϕ + 2kπ n (1.21) De esta forma, para la raíz enésima de un número complejo obtenemos la expresión w = n (z) = n re i ϕ+2kπ n (1.22) En nuestra deducción, hasta el momento, no existe ninguna limitación al número k que puede tomar cualquier valor entero desde hasta +. Sin embargo, no es difícil ver que k tomará solamente los valores k =, 1, 2,..., n 1, por lo que solo habrá n valores diferentes de la raíz enésima de z. Efectivamente: Para k = obtenemos: w 1 = n re i ϕ n Para k = 1 obtenemos: w 2 = n re i ϕ+2π n... Para k = n 1 obtenemos: w n = n re i ϕ+(n 1)2π n Todos estos números son distintos, pues sus argumentos lo son; por lo tanto, existen n raíces distintas. Pero, para k = n obtenemos: w n+1 = n re i( ϕ n +2π) = w 1 es decir, comienzan a repetirse los valores. Igualmente, si hacemos k = 1 obtenemos w n ; si hacemos k = 2 obtenemos w n 1 ; etc. Así pues, quedan limitados efectivamente los valores de k y se obtienen exactamente n raíces distintas.

23 22 José Marín Antuña Si analizamos dos raíces sucesivas w l y w l+1 observamos que sus módulos son iguales y que sus argumentos se diferencian en el valor constante 2π n, por lo que los valores de n z son los vértices de un polígono regular de n lados y n vértices inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio n r. Ejemplos 1. Hallar todos los valores de 3 i Como i = 1 e i 3π 2, para k = obtenemos w 1 = e i π 2 = i Para k = 1 obtenemos w 2 = e i 7π 6 = 3 2 i 2 Para k = 2 obtenemos w 3 = e i 11π 6 = 3 2 i 2 El gráfico de los valores hallados puede verse en la figura 1.3 Se ve que los tres valores hallados son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio 1 centrada en z =. 2. Hallar los valores de 3 1. Como 1 = 1 e i, para k = obtenemos: Para k = 1 obtenemos: w 1 = 1 Para k = 2 obtenemos: w 2 = e i 2π = 2 + i 2 w 3 = e i 4π = 2 i 2

24 Funciones de Variable Compleja 23 Figura 1.3: Raíces cúbicas de i Esfera de los números complejos Además de la representación de los números complejos como puntos de un plano, en muchos problemas es útil otro tipo de representación geométrica. Construyamos una esfera S (Fig. 1.4) que toque al plano complejo en el punto z = con su polo sur O. El polo norte P de dicha esfera lo uniremos, mediante rectas, con todos los puntos del plano complejo. Al hacer esto es evidente que a cada punto z del plano le corresponde un único punto bien definido Z de la esfera, que es aquél donde la esfera es cortada por la recta P z. De forma similar, a cada punto Z de la esfera (excepto al polo norte P) le corresponde un punto bien determinado z del plano, que es aquel punto donde el plano es cortado por la recta P Z. La correspondencia descrita entre puntos del plano y puntos de la esfera recibe el nombre de proyección estereográfica. La esfera así construida se conoce con el nombre de esfera de Riemann. Riemann fue quien introdujo por primera vez el concepto de esfera de los números complejos con el fin de definir geométricamente, de la forma más precisa posible, el punto infinitamente alejado. Acordemos considerar al punto Z de la esfera, que corresponde al punto z del plano mediante la proyección estereográfica, como una nueva representación del número complejo. Para realizar las operaciones con números complejos dados sobre la esfera, utilizaremos sus proyecciones

25 24 José Marín Antuña Figura 1.4: Esfera de Riemann. Proyección estereográfica estereográficas sobre el plano y realizaremos allí todas las operaciones algebraicas definidas en los puntos anteriores de este epígrafe, para posteriormente regresar a la esfera. Al punto P -polo norte de la esfera- no le corresponde ningún punto del plano, por lo que la correspondencia entre los puntos del plano y de la esfera no es biunívoca. A fin de cerrar esta correspondencia y hacerla biunívoca, introduzcamos un nuevo número complejo en el plano: (se lee infinito ) que se pone en correspondencia al punto P polo norte de la esfera de Riemann. Así, el número z =, desde el punto de vista geométrico, cumple la misma función que los números z = 2+5i, z = 3 o z = i, pues señala la posición de su correspondiente punto P de la esfera. Sin embargo, este número no puede participar en las operaciones aritméticas que conocemos, ya que estas están definidas solo para los números complejos (puntos de la esfera) que corresponden a puntos del plano. Excepto el punto P, que llamaremos infinitamente alejado, todos los demás puntos de la esfera serán llamados puntos finitos. Si en el futuro queremos incluir en nuestras consideraciones al punto P, (al número z = ) haremos nuestro análisis en la esfera de Riemann S que también se conoce como esfera de los números complejos. Pero si excluimos el punto P (el número z = ) de nuestro análisis, utilizaremos el plano.

26 Funciones de Variable Compleja 25 Para denominar al conjunto de todos los números complejos (puntos) finitos usaremos el término plano finito o plano abierto y para denominar al conjunto de todos los números, incluyendo z =, usaremos el término plano completo o plano cerrado. El término plano abierto es equivalente al término plano complejo definido en el punto 3 de este epígrafe donde no había sido definido el punto infinitamente alejado, en tanto que el término plano cerrado equivale al nuevo término de esfera de los números complejos. La proyección estereográfica transforma los lugares geométricos de los puntos del plano en sus correspondientes lugares geométricos en la esfera. Así, por ejemplo, a una circunferencia arbitraria c en el plano, le corresponde una circunferencia C sobre la esfera, que no pasa por el polo P y a una recta arbitraria l del plano le corresponde una circunferencia L que pasa por el polo P sobre la esfera (Fig. 1.5). Así pues, vemos que las imágenes de rectas y circunferencias del plano no se diferencian geométricamente sobre la esfera; ambas son circunferencias. Es por eso que resulta lógico considerar que en el plano complejo completo las rectas son casos particulares de circunferencias que pasan por el punto infinitamente alejado, ya que sus imágenes sobre la esfera son circunferencias que pasan por el punto P, imagen de z =. De esta manera, dos rectas cualesquiera en el plano no paralelas se cortarán en dos puntos, uno de los cuales es z =. Las circunferencias dividen a la esfera en dos partes, a las que llamaremos círculos. En particular son círculos todos los semiplanos; por ejemplo, el semiplano superior Im z > es el hemisferio posterior de la esfera. Si la circunferencia C no pasa por el punto P (es decir, es una circunferencia verdadera en el plano) uno de los dos círculos por ella determinados contiene al punto P ; a dicho círculo le llamaremos círculo exterior a la circunferencia C. Una de las consecuencias fundamentales de la proyección estereográfica es que el punto infinitamente alejado es único, ya que, independientemente de la recta por la que nos movamos hacia el infinito en el plano (entendiendo por ello que nos movamos alejándonos cada vez más del origen de coordenadas z = ), en la imagen sobre la esfera nos moveremos acercándonos cada vez más al punto P polo norte de la esfera e imagen en ella de z =. Por eso los números z = ± +iy, z = x ± i o z = ± ± i tienen un mismo significado geométrico y son equivalentes entre sí. Es por eso que el punto infinitamente alejado es representado simplemente por la expresión z =, entendiendo con ello el punto del plano que corresponde al polo P de la esfera de Riemann, al que nos acercamos cualquiera que sea el camino que escojamos para alejarnos del punto z =, origen de coordenadas. 1.2 Sucesiones de números complejos En el desarrollo sistemático de la teoría de funciones de variable compleja es de fundamental importancia introducir los conceptos e ideas principales del Análisis Matemático. Es por ello que en este epígrafe dedicaremos nuestra atención a la ampliación al plano complejo de los conceptos de sucesión de números y de convergencia de sucesiones.

27 26 José Marín Antuña Figura 1.5: Esfera de Riemann. Proyección de rectas y circunferencias Definiciones Si a cada número natural n le corresponde un número complejo z n, entonces en el conjunto de los números complejos se dice que está dada una sucesión de números complejos z n, que se representa por el símbolo {z n }; cada número que la integra se llama elemento de dicha sucesión. Esta definición no elimina la posibilidad de que se repitan los elementos de una sucesión; en particular todos los elementos de una sucesión pueden coincidir. El número complejo c = a + ib se llama límite de la sucesión {z n } de números complejos z n = x n + iy n para n si para cada ε > existe un número N(ε) > tal que n > N implica que c z n < ε (1.23) Si la sucesión {z n } tiene límite, se dice de ella que es convergente al número c, lo que se

28 Funciones de Variable Compleja 27 representa con la notación lim z n = c n Llamaremos entorno ε de un punto z en el plano complejo al conjunto de puntos z del plano que satisfagan la condición z z < ε es decir, que todos se encuentren contenidos en el interior de un círculo abierto con centro en z y radio ε. Entonces podemos afirmar que el punto c es el límite de la sucesión convergente {z n } si todos los elementos de dicha sucesión, a partir de cierto número dependiente de ε se encuentran contenidos en el interior del entorno ε del punto c. Como cada número z n = x n + iy n está definido por dos números reales x n y y n, a cada sucesión de números complejos le corresponden dos sucesiones {x n } y {y n } de números reales. Teorema 1 Para que la sucesión {z n } de números complejos converja al número complejo c = a + ib es necesario y suficiente que las sucesiones {x n } y {y n } converjan, respectivamente, a los números a = Re c y b = Im c. Demostración: 1. Necesidad Sabemos que {z n } c; hay que demostrar que {x n } a y que {y n } b. Puesto que la sucesión {z n } converge a c y como el módulo de un vector es no menor siempre que sus coordenadas, podemos escribir que a x n c z n < ε; b y n c z n < ε, n > N lo que automáticamente establece la convergencia de las sucesiones {x n } y {y n }. 2. Suficiencia Sabemos que {x n } a y que {y n } b. Es decir, que a x n < ε 2 ; b y n < ε 2, n > N Entonces, como c z n = (a x n ) 2 + (b y n ) 2 queda demostrada la convergencia de la sucesión {z n } al número c.

29 28 José Marín Antuña Demostrado el teorema. Diremos que una sucesión {z n } es acotada si existe un número positivo tal que se cumple la relación z n < M para todo n. Al igual que en la teoría de las sucesiones de números reales, tiene lugar la siguiente propiedad; Teorema 2 De toda sucesión acotada puede separarse una subsucesión convergente. Demostración: Si la sucesión {z n } = {x n + iy n } es acotada, resulta evidente que también lo son las sucesiones {x n } y {y n } formadas por las partes reales e imaginarias de los elementos z n de la sucesión {z n }. Para las sucesiones acotadas de números reales se cumple la propiedad de poder escogerse de ellas subsucesiones convergentes, lo que se demuestra comúnmente en los cursos de Análisis Matemático. Esto significa que de las sucesiones {x n } y {y n } podemos escoger las subsucesiones convergentes {x nk }, {y nk }. Llamemos a y b a los límites de estas subsucesiones respectivamente. Entonces resulta evidente, en virtud del teorema 1, que la sucesión de números complejos {z nk } = {x nk + iy nk } subsucesión de la sucesión acotada {z n }, es convergente y que su límite es el número complejo c = a + ib. Demostrado el teorema Criterio de Cauchy Hasta el momento hemos establecido el concepto de convergencia de una sucesión a través de la definición expresada por la fórmula (1.23). Esta definición nos dice claramente que el concepto de convergencia de una sucesión está estrechamente relacionado con la existencia del límite de dicha sucesión, pero no constituye un criterio práctico para analizar si la sucesión dada es convergente o no, ya que para hacer ese análisis con ayuda de la expresión (1.23) haría falta conocer a priori el número c límite de la sucesión. Esto no siempre es factible, ya que la mayoría de las veces el problema que se plantea es hallar el valor del límite, es decir, el número c no es conocido, por lo que la fórmula (1.23) no es aplicable como criterio para determinar la convergencia o no de la sucesión. Por ello, es deseable encontrar otra fórmula, es decir, otro criterio, que nos permita determinar si una sucesión es convergente o no y que no involucre al propio límite, para -en caso positivo- dedicarnos a encontrar el valor del número c, límite de la sucesión. Tal criterio es el llamado Criterio de Cauchy: Teorema 3 (Criterio de Cauchy)

30 Funciones de Variable Compleja 29 Para que la sucesión {z n } de números complejos sea convergente es necesario y suficiente que para toda ε > exista un número N(ε) > tal que n > N y m > N impliquen Demostración: 1. Necesidad z n z m < ε (1.24) Tenemos que la sucesión {z n } converge y se quiere demostrar que, entonces, tiene lugar la fórmula (1.24). En virtud del teorema 1, convergen las sucesiones de números reales {x n } y {y n } y sabemos de los cursos de Análisis Matemático que para las sucesiones convergentes de números reales se cumple el Criterio de Cauchy, es decir, que para cualquier ε > existen dos números N 1 (ε) y N 2 (ε) tales que n > N 1, m > N 1 implican que y n > N 2, m > N 2 implican que Entonces tendremos que x n x m < ε 2 y n y m < ε 2 siempre que z n z m = (x n x m ) 2 + (y n y m ) 2 < ε n > N(ε), m > N(ε) donde 2. Suficiencia N(ε) = max{n 1 (ε), N 2 (ε)} Conocemos que la relación (1.24) se cumple y debemos demostrar que ello implica la convergencia de la suceción {z n }. Es fácil ver de (1.24) que para n > N(ε) y m > N(ε) se cumple que x n x m z n z m < ε; y n y m z n z m < ε Esto significa que se cumple el criterio de Cauchy para las sucesiones {x n } y {y n } de números reales, lo que significa que esas sucesiones son convergentes. Por el teorema 1, esto implica que la sucesión de números complejos {z n } = {{x n + iy n } es convergente. Demostrado el teorema.

31 3 José Marín Antuña 1.3 Funciones de variable compleja. Límite y continuidad Conceptos fundamentales El concepto de función de una variable compleja será introducido de forma similar a la definición común de función de una variable real. Veamos, previamente, algunos conceptos que son necesarios para introducir el concepto de función. Sea {E} un conjunto arbitrario de puntos del plano complejo. Diremos que z es un punto interior del conjunto {E} si se puede encontrar un entorno ε de z totalmente contenido en {E}. Por ejemplo, todo punto z que cumpla que z < 1 es un punto interior del conjunto z 1, en tanto que el punto z = 1 no es interior de dicho conjunto, ya que todo entorno ε del mismo hay puntos que no pertenecen al conjunto. Un conjunto formado solo por puntos interiores se llama conjunto abierto. Un conjunto se llama conexo si dos puntos cualesquiera del mismo pueden ser unidos por una línea formada enteramente por puntos del conjunto. Por ejemplo, (ver figura 1.6) el conjunto z < 1 es un conjunto abierto y conexo. Igualmente, el conjunto 2 < z < 3 es un conjunto abierto y conexo. Sin embargo, la unión de ambos no es un conjunto conexo, ya que los puntos de z < 1 no pueden ser unidos a los puntos de 2 < z < 3 por una línea de puntos formada totalmente por puntos del conjunto. El punto z se llama punto exterior del conjunto {E}, si existe un entorno ε del mismo de puntos no pertenecientes a {E}. El conjunto de puntos que no pertenecen a {E} pero que en todo entorno ε de cada uno de ellos hay puntos de {E} se llama frontera de {E}. Representaremos la frontera de un conjunto con distintas letras, por ejemplo Γ, C u otras. Por ejemplo, la frontera del conjunto z < 1 es la circunferencia z = 1. La frontera del conjunto 2 < z < 3 está compuesta por las circunferencias z = 2 y z = 3. El número de partes no conexas de la frontera de un conjunto se llama orden de conexión del conjunto. Así por ejemplo, el conjunto z < 1 es un conjunto simplemente conexo pues su frontera está formada por una sola línea, en tanto que el conjunto 2 < z < 3 es un conjunto biconexo pues su frontera está formada por dos líneas no conexas. Llamaremos dominio D en el plano complejo al conjunto {E} de puntos de dicho plano que sea abierto y conexo. El nombre de dominio para los conjuntos abiertos y conexos está dado por el hecho de que en ellos serán definidas las funciones de una variable compleja. En la figura 1.7 se muestra un ejemplo de dominio multiconexo (en particular, cinco veces conexo) cuya frontera Γ está formada por los contornos cerrados Γ, Γ 1 y Γ 2, por los cortes γ 1 y γ 2 y por el punto aislado α.

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