Ejercicios de matemáticas de 4º de ESO

Transcripción

1 Ejercicios de matemáticas de º de ESO

2 Ejercicios de números. º Epresa los siguientes números en notación científica: a) b).5 c) d). e).5 f). g) 655 h).75 i) j).57 k) 587. l) 58. Sol: a) ; b). ; c) 6 ; d). ; e).5 ; f). 7 ; g) ; h) ; i),6. ; j).57. ; k).6. ; l).5.. º Epresa con todas sus cifras los siguientes números en notación científica: a).5. b),. - c),5. - d),. 5 e),8. Sol: a) 5; b).; c).5; d) ; e) 8. º Redondea hasta las milésimas los siguientes números: a).56 b).5 c) 5.57 d).57 e).7 Sol: a).5; b).5; c) 5.; d).6; e).. º Cuántas cifras significativas reconocemos en cada uno de los siguientes números? a) 5 b) 98.6 c). d) 9. e).7 f) g) 7. h) 67 Sol: a) tres; b) tres; c) dos; d) cinco; e) cuatro; e) cuatro; f) cuatro; g) tres; h) ocho. 5º Clasifique los siguientes números decimales páselos a fracciones después: a).5 b) 75. c) d) 9. e) f) g) h). i). j). k) l) m) n) ñ) o) 98. Sol: a) Eacto, 7/; b) Eacto, 76/5; c) Eacto, 99/5; d) Eacto, 67/5; e) Periódico puro, 6/; f) Periódico puro, 8/9; g) Periódico puro,6/; h) Periódico puro, /; i) Periódico puro, /9; j) Periódico puro, 7/; k) Periódico puro, 76/99; l) Periódico mito, /9; m) Periódico mito, /9; n) Periódico mito, 9/; ñ) Periódico mito, 877/; o) Periódico mito, 979/999. 6º Clasifique cada uno de los siguientes números en naturales, enteros, racionales, reales complejos ubicándolos en el conjunto numérico más pequeño al que pertenezcan: a).5 b).5 c) d) 5 e).6... f)... g) 6... h) i) j) π k) l) Sol: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l). 7º Cuáles de los siguientes números son irracionales? a) 5 b) 9 c) d).788 f) 7 Sol: Solamente los de los apartados a) d). 8º Usa tu calculadora científica para calcular los siguientes números epresa el resultado en notación científica con tres cifras significativas debidamente redondeadas: a) 6. b) 5. c) d) e) 5 f) Sol: a).6; b). ; c) 6.5; d).6; e) 8. ; f)

3 Ejercicios de radicales. º Etrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) e) Sol: a) 5 7 b) c) 5 5 f) ; b) g) 5; c) 5 5 ; d) f) 5 5 ; g) ab bc; h) ac c. 5 d) 5 a b c h) 5 ; e) a c 5 5 ; º Calcula sin usar la calculadora las siguientes raíces: a) 9 6 b) 5 9 c) 65 : 5 d) 6 : e) 8 5 f) g) 5 h) Sol: a) ; b) 5; c) 5; d) ; e) 9; f) 6; g) 5; h) 8. º Calcula por descomposición factorial, las siguientes raíces: a) 65 b) 6 c) 5 d) e) 5 f) 5 g) 5 h) 565 i) 6 j) Sol: a) 5; b) 6; c) 5; d) ; e) 5; f) 5; g) 5; h) 75; i) 6; j). º Simplifica las epresiones: a) b) 9 c) 5 7 d) e) 5 7 f) 5 7 g) 7 h) i) j) 7 75 k) l) 5 8 Sol: a) 5 ; b) ; c) ; d) 6 ; e) ; f) ; g) ; h) 5 ; i) 5 ; j) ; k) ; l) º Introduce en el radical los factores que aparecen fuera de él: a) 5 b) 5 c) d) e) f) g) h) 7 i) j) 5 Sol: a) ; b) 75 ; c) ; d) 8 ; e) 8 ; f) 8 ; g) 8 ; h) 7 ; i) 8 ; j) º Simplifica las siguientes epresiones: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) 6 f) ( ) g) h) Sol: a) ; b) ; c) 6; d) ; e) ; f) 8; g) /; h) 9/; i) 8; j). 6 j) ( ) i) ( ) 7º Simplifica etrae todo lo que puedas: 8 a) b) 8 Sol: a) ; b) ; c) 6. c) 8 7

4 8º Racionaliza las siguientes fracciones: a) b) c) 6 5 g) h) 6 i) 8 8 m) n) ñ) 5 6 r) s) t) 7 d) 7 5 j) 5 o) u) Sol: a) 5 / ; b) 6; c) ; d) ; e) h) 8 ; i) ; j) 5 ; k) ñ) ; o) 5 6 e) 5 k) 6 p) v) 8 f) 7 5 l) 5 7 q) w) ; f) 7 ; g) 6 6 ; ; l) ; m) 5 6 ; n) 6 ; ; p) ; q) 6 5; r) 6 ; s) ; t) ; u) 5; v) 6 ; w). 9º Simplifica etrae todo lo que puedas: a) 8 ab ab ab e) ab i) 6 ab abc bc b) f) j) ab ab ab a ab abc c) g) k) ab ab abc abc abc d ab c Sol: a) a ; b) b ; c) a / ; d) bc / a ; e) 6 ab ; f) / d) h) ab c abc ab a b 6 ab b ; g) 6 5 /( ) ab c ; h) ab ; i) 6 a / c ; j) / ac d / b. ab c ; k) 6 º Demostrar que: 6 5 ab a b b a) ab a b a c) b a b b a b a a 6 8 b b a b a b b b a a e) a f) b b a a a b b ba b) 9 d) 6 ab c c c b ab ab b c c c b ab b b c b c b c b b c 6 c ab a b : ab a a b 7 c ba

5 Ejercicios problemas de ecuaciones de segundo grado. º Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7 b) c) 6 d) 9 e) 6 / f) g) 5 9 h) 6 Sol: a) ±; b), ; c) ±; d) ±/; e) ±; f) ±; g) ±/5; h), /. º Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) e) 7 ( 6) ( ) f) ( ) ( ) Sol: a), ; b), ; c), /; d) ; e) ±; f),. º Mediante la siguiente fórmula: ± a b c b b ac a Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) 7 b) 9 8 c) 5 6 d) 8 5 e) 6 7 f) 6 9 g) 6 9 h) i) 9 j) 6 8 k) 8 l) m) 5 6 n) - 5 ñ) 5 o) 9 p) 9 8 q) 9 9 r) 8 s) 9 t) 5 6 u) 6 5 v) w) 7 6 ) ) 8 z) / Sol: a), ; b), 6; c), ; d) 5, ; e), 9; f) ; g) ; h) /, -/; i), 7; j), ; k), 8; l), 5; m) 6, ; n), /; ñ) 5; o), 9; p), 9; q), /; r), /; s) /; t), /5; u) /, /; v) /, /; w), / ; ) -, ; ) /, /; z) /. º Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas bicúbicas: a) 5 b) c) d) e) 6 8 f) g) 7 h) 9 i) 6 7 j) k) 8 l) Sol: a) ±, ±; b) ±; c), ; d), ; e) ±; f), ±; g) ±, ±/; h) ±/, ±; i) ±; j), ; k) ±; l),. 5º Cuántas soluciones reales diferentes pueden tener las siguientes ecuaciones de segundo grado?: a) 6 b) 6 c) 6 d) e) f) 6 9 g) h) i) 5 Sol: a) dos; b) cero; c) dos; d) cero; e) una; f) una; g) dos; h) dos. 6º Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con denominadores: a) b) ( ) c) d) 5 5 e) f)

6 6 g) h) i) j) k) 5 l) m) n) ñ) 6 o) 5 p) ( ) q) 9( ) r) s) t) ( ) Sol: a), ; b) /, 7; c) 5/8, ; d) /, /; e), /; f), ; g), /; h) ±; i), ; j) ; k) /, /; l), ; m), ; n), ; ñ), 6; o) /, ; p), /; q), ; r) ±; s) /, /; t),. 7º Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con denominadores: ( ) a) ( )( ) ( ) b) ( ) ( ) 5 c) ( ) ( )( ) ( ) d) 8 e) ( ) ( ) ( 5) ( ) f) ( ) g) h) Sol: a), ; b) /, ; c), 8/; d) 5, ; e), ; f), 5/; g) 5/, ; h),. 8º La suma de un número su cuadrado es. Háalo. Sol: 5. 9º La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es. Cuáles son esos números? Sol: 5, 6. º Si de un número se resta, también se le añade, el producto de estos resultados es 7. Halla el número. Sol: 9. º Si se añade 9 al cuadrado de cierto número, la suma es igual al cuadrado de. Cuál es el número? Sol: 9. º Si el lado de un cuadrado aumenta en cm, su superficie aumenta en 8 cm. Halla el lado del cuadrado. Sol:. º Calcula el radio de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en cm se cuadruplica su área. Sol: R. º Hallar el perímetro de un cuadrado sabiendo que el área es 6 m. Sol: m. 5º Un campo rectangular tiene 8 m de superficie metros de longitud más que de anchura. Halla las dimensiones. Sol: 8.

7 6º Los lados de un triángulo miden 5, 6 7 cm. Determina qué cantidad igual se debe restar a cada uno para que resulte un triángulo rectángulo. Sol:. 7º La diagonal de un rectángulo mide cm las dimensiones de los lados son proporcionales a. Halla los lados. Sol: 8. 8º Las dimensiones de un ortoedro son proporcionales a, 5. Halla estas dimensiones sabiendo que el volumen del ortoedro es 8 cm. Sol: 6, 8,. 9º En un triángulo rectángulo el cateto maor mide m menos que la hipotenusa m más que el otro cateto. Hallar los lados el área del triángulo. Sol:, 9, 5; 5 m. º Un lado de un rectángulo mide cm más que el otro. Sabiendo que el área del rectángulo es de cm, hallar las dimensiones. Sol:. º Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida en centímetros tres números enteros consecutivos. Halla dichos números. Sol:, 5. º Un triángulo rectángulo tiene de hipotenusa cm. Hallar los catetos sabiendo que su diferencia es de cm. Sol: 8 8. º En un recinto cuadrado de un parque ha una arboleda. Este recinto está rodeado por un paseo de 5 m de ancho; el área del paseo es 5 m más grande que la del recinto cuadrado. Hallar el área de este cuadrado. Sol: m. º Una madre reparte entre sus hijos monedas de euro en partes iguales. Si fuesen hijos menos, recibiría cada uno monedas más. Cuántos son los hijos? Sol: 6 hijos. 5º Varias personas viajan en un coche que han alquilado por. Pero se les agregan personas más lo cual hace bajar en 9 a lo que antes debía pagar cada persona. Cuántas personas iban al principio en el coche? Sol: 6.

8 Ejercicios problemas de sistemas de ecuaciones lineales: º Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) b) c) d) 5 e) f) g) 5 5 h) i) 5 j) k) 7 l) m) 9 n) 7 6 ñ) 5 o) p) 5 7 q) r) 5 5 s) t) 5 ) ( u) ) 5( v) ) ( 5 w) 5 ) ( 5 ) ) ( ) ( ) ) ( 5 ) ( z) 5 ) ( Sol: a), ; b), ; c), ; d), ; e), ; f), ; g), ; h), ; i), ; j), ; k), ; l), ; m), ; n), ; ñ), ; o), ; p), ; q), ; r), ; s), ; t), ; u), 5; v), ; w), ; ), ; ), ; z),. º Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) 6 b) 5 ) ( c) 5 ) ( d) 8 e) 5 ) ( f) g) 5 6 h) 6 i) 9 j) k) l) 9 5 Sol: a), ; b), ; c), ; d), 6; e) 5, ; f), 6; g) 9, ; h), ; i), ; j), ; k), ; l) 5,.

9 º Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) b) d) 7 e) g) h) c) f) i) j) k) 5 l) Sol: a), ; b), ; c), ; d) 5, 5; e), 7; f), 5; g) 6, ; h), ; i), ; j), ; k), ; l), 5. º Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones (se recomienda usar Gauss o reducción): z z z 5 a) z 7 b) z c) z z z z z z z 7 d) z e) z f) 5z z 5 z z z z z g) z h) z i) z z z z 5 z z z j) z k) z l) z 8 z z z 8 m) z n) z z Sol: a),, z ; b),, z ; c),, z ; d),, z ; e),, z ; f),, z ; g),, z ; h),, z ; i),, z ; j),, z ; k),, z ; l),, z ; m),, z ; n),, z.

10 5º Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones (se recomienda usar Gauss o reducción): 7 z 8 z a) 8 b) z z 6 c) z z z 5 z z 5z z d) z e) z f) z z z Sol: a), 6, z ; b) 6, 6, z ; c),, z ; d),, z ; e),, z 6; f) 5,, z. 6º Dos números suman 8. Si el primero le dividimos entre el segundo entre, los cocientes se diferencian en. Halla el valor de dichos números. Sol: 8,. 7º Una pluma su carga cuestan juntas 6. La pluma cuesta más que la carga. Cuánto cuesta la pluma cuánto cuesta la carga? Sol: 5 la pluma la carga. 8º Reparte entre tres personas, de manera que la primera reciba más que la segunda, ésta reciba más que la tercera. Sol: 6, 5,. 9º Tres números son tales que: el segundo más / del primero suman 68; la mitad del tercero más / del primero suman 6; el tercero más / del segundo suman 95. Obtener dichos números. Sol:, 6, 8. º Halla tres números naturales consecutivos sabiendo que la suma de la mitad del primero más los / del segundo dan como resultado el tercero. Sol: 8, 9,. º La suma de dos números es 6 su diferencia. Háalos. Sol:, 6. º La suma de las cifras de un número menor que es. Si se permutan las cifras, el nuevo número supera al anterior en 8 unidades. Hallar el número. Sol: 57. º Divide 8 en dos sumandos de modo que al dividir la maor sea el doble de la menor. Sol:, 6. º Divide en dos sumandos de tal forma que al sumar /5 del primero / del segundo dé. Sol: 5, 8. 5º La diferencia de dos números es /6. El triple del maor menos el duplo del menor es. Halla dichos números. Sol: / /. 6º Un triángulo tiene cm de perímetro es semejante a otro cuos lados son cm, cm 5 cm. Cuáles son las dimensiones del triángulo? Sol: 6,, 5. 7º Los ángulos de un triángulo son proporcionales a los números,. Halla los valores de los ángulos. Sol: 5, 5, 9.

11 8º Un triángulo es semejante a otro cuos lados son, 6. Halla los lados sabiendo que su perímetro es 8 cm. Sol:, 6,. 9º El área de un campo rectangular es dm. La diagonal del campo mide 6 m. Halla sus dimensiones. Sol:,. º Se han comprado 6 kg de azúcar kg de café por un coste total de 8.. Sabiendo que kg de azúcar más kg de café cuestan.8, hallar el precio del kilogramo de azúcar el del café. Sol:.8.. º Se mezcla una cierta cantidad de café, cuo precio es de el kilo, con 8 kilos de otro café cuo precio es de 5 el kilo, con el fin de obtener una mezcla que pueda venderse a el kilo. Cuántos kilos de café de deben emplearse en la mezcla? Sol: kg. º Un lingote de oro cuesta pesa kg, un lingote de plata pesa kilo medio su coste en el mercado es de. Una corona de masa.5 kg se ha fabricado con una mezcla de oro plata le ha costado al joero 7. Calcular la cantidad de oro en la misma. Sol: kg. º Se quieren mezclar vino de 6 con otro de 5, de modo que resulte vino con un precio de 5 el litro. Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener L de la mezcla? Sol: litros de 6 /L 8 litros de 5 /L. º Tenemos la opción de comprar dos clases de una mercancía de precios diferentes. Disponemos de. Si compro kg de la primera clase podemos comprar kg de la segunda, pero si compramos 5 kg de la primera clase solamente podemos comprar kg de la segunda. Cuál es el precio de cada una de las clases de dicha mercancía? Sol: /kg, 5 /kg. 5º Se sabe que la Coca Cola de botella cuesta un euro por litro, que una botella de ginebra el litro. Un empresario desea producir cubatas de de valor de cuarto de litro de volumen. Qué cantidad de ginebra empleará? Sol:.75 L. 6º Un crucero tiene habitaciones dobles ( camas) sencillas ( cama). En total tiene 7 habitaciones 79 camas. Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? Sol: 5 individuales dobles. 7º Mi padrino tiene 8 años me contó el otro día que entre nietas nietos suman 8 que si les diese ptas a cada nieta 5 a cada nieto se gastaría 65 ptas. Cuántos nietos nietas tiene mi padrino? Sol: 5 nietas nietos. 8º En un corral ha conejos gallinas; en total, 5 cabezas 8 patas. Calcula el número de animales de cada clase. Sol: 5 conejos gallinas. 9º En una granja se crían gallinas cerdos. Si se cuentan las cabezas son 5, las patas son. Cuántos animales ha de cada clase? Sol: 7 cerdos gallinas. º En una lucha entre moscas arañas intervienen cabezas 76 patas. Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas una araña 8 patas). Sol: 5 moscas 7 arañas. º En la granja se han envasado L de leche en botellas de 5 L. Cuántas botellas de cada clase se han usado? Sol: botellas de L botellas de 5 L.

12 º Tengo monedas. Unas son de cinco céntimos otras de un céntimo. Puedo tener en total 78 céntimos? Sol: Si. º En una bolsa ha 6 monedas con un valor de ptas. Las monedas son de 5 5 ptas. Cuántas monedas ha de cada valor? Sol: 9 de 5 ptas 7 de 5 ptas. º La madre de Ana tiene triple edad que ella, dentro de años sólo tendrá el doble de la que entonces tenga su hija. Qué edad tiene cada una? Sol:,. 5º Juan tiene años más que su hermano, dentro de años la suma de sus edades será de 9 años. Qué edad tiene cada uno? Sol: 9,. 6º Hace 5 años la edad de un padre era el triple de la de su hijo, dentro de 5 años sólo será el duplo. Cuáles son las edades del padre del hijo? Sol: El padre 5 el hijo 5. 7º La suma de las edades de mi abuelo mi hermano es de 56 años. Si mi abuelo tiene 5 años más que mi hermano, qué edades tienen cada uno? Sol: 5 el abuelo mi hermano. 8º La suma de las edades de personas es de años. La mediana tiene 8 años más que la joven, la maor tiene tantos como las otras dos juntas. Qué edad tiene cada una? Sol: 9º El otro día mi abuelo de 7 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba a cada uno le sobraba 6 si no daba 5 le faltaba. Cuántos nietos tiene? Qué cantidad quería repartir? Sol: 8 nietos.. º Un empresario contrata un número de empleados por 66. Otro empresario contrata un empleado más, pero paga 5 menos por cada uno de ellos emplea la misma suma. Hallar el número de empleados lo que gana cada uno. Sol: empleados a 6. º Un frutero lleva al mercado 8 kg de manzanas, de peras 5 de naranjas, lo vende todo ello en. Otro lleva kg de manzanas, de peras de naranjas, cobrando por todo.6. Un cliente compra kg de cada clase de fruta paga. A cómo estaban los precios de cada clase de fruta aquel día? Sol: /kg manzana,.8 /kg pera,. /kg naranja. º Entre dos clases ha 6 alumnos. Si el número de alumnos de una clase es el 5/7 de la otra, cuántos alumnos ha en cada clase? Sol: 5, 5. º Hallar la cantidad de vino que ha en dos vasijas, sabiendo que los /5 de la primera equivalen a los / de la segunda que la mitad de la primera contiene 5 l menos que la segunda. Sol: 5,. º Se ha comprado un número de objetos del mismo precio, por valor de. Si cada objeto costase menos, por el mismo dinero habríamos comprado objetos más. Cuántos objetos se han comprado cuánto ha costado cada uno? Sol: objetos,. 5º Un obrero ha trabajado en dos obras durante días. En la primera cobra 5 diarios, en la segunda 75 diarios. Sabiendo que ha cobrado en total.75. Cuántos días ha trabajado en cada obra? Sol: 5, 5.

13 6º Al iniciar una batalla, los efectivos de los dos ejércitos en contienda estaban en la razón de 7 a 9. El ejército menor perdió 5 hombres el maor 5. La relación de efectivos quedó, por efecto de dichas bajas, en la de a. Calcular el número inicial de soldados de cada ejército. Sol: º Un padre tiene años más que su hijo, dentro de 5 años la edad del padre será triple de la del hijo. Qué edad tiene cada uno? Sol:,. 8º Sabemos que mi tío tiene 7 años más que su hijo que dentro de años le doblará la edad. Cuántos años tiene cada uno? Sol: Mi tío mi primo 5 años. 9º Un bisabuelo le dijo a su bisnieta. "Ho tu edad es /5 de la mía hace 7 años no era más que /7". Qué edad tienen el bisabuelo la bisnieta? Sol: 5 el bisabuelo la bisnieta. 5º Juan Roberto comentan: Juan: "Si o te tomo monedas, tendré tantas como tú" Roberto: "Sí, pero si o te tomo, entonces tendré veces más que tú". Cuántas monedas tienen cada uno? Sol: Juan tiene 8 monedas Roberto monedas. 5º En una reunión de chicas chicos, el número de éstas ecede en 6 al de aquellos. Después de haber salido chicos chicas, quedan doble de éstas que de aquéllos. Halla el número de chicos chicas que había en la reunión. Sol: chicas chicos. 5º Calcular el número de monedas que tiene cada uno de los amigos José, Luis e Iván, sabiendo que si Iván diese 5 a José tendrían las mismas; si José diera 5 a Luis, éste tendría el cuádruple que José; además se sabe que Luis tiene la tercera parte del número de monedas que poseen los tres. Sol:, 5,. 5º Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. Cuántos conejos jaulas ha? Sol: 6 jaulas conejos. 5º Un número está formado por dos cifras cua suma es 9. El número invertido es igual al número dado más 9 unidades. Hállese dicho número. Sol: 5. 55º Un número consta de dos cifras cua suma es 5. Si se toma la cuarta parte del número se le agregan 5 resulta el número invertido. Cuál es ese número? Sol: º Hallar una fracción tal que si se añade al numerador se convierte en / añadiendo a su denominador sea igual a /. Sol: /5. 57º Encontrar un quebrado tal que añadiendo 7 a los términos de la fracción de 5/7 quitando 5 a los términos de /. Sol: /.

14 Ejercicios de ecuaciones irracionales. º Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales: a) b) 9 c) 7 7 d) e) 5 f) 6 5 g) 5 h) 6 i) 6 j) / k) l) m) 5 n) 7 5 ñ) o) 5 6 p) q) 6 r) s) t) v) 8 u) w) 6 6 ) 6 5 ) z) 6 7 Sol: a) 5; b) 6; c), ; d) /9; e) 9, /; f) 8, /; g) 5, ; h) 5; i) ; j) 5, ; k), ±; l) ; m) ; n), 6 ; ñ), ; o) /9, ; p) 6; q), ; r) ; s) ; t), ; u) 5; v) 5/8; w) /; ), /7; ) ; z). º Qué número aumentado en unidades su raíz cuadrada da? Sol: 8.

15 Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales. º Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: 5 7 a) b) 7 5 d) 7 e) 8 g) h) j) 8 65 k) c) f) i) l) m) n) ñ) 6 7 Sol: a), ;, ; b), ;, ; c) 5, ; 5, ; d), 8;, 8; e), ;, ; f) ; 7/5, /5; g) ; /, ; h) /, /; /, /; i) /, /; j), 7;, 7; 7, ; 7, ; k), ; 8/5, 7/5; l), 8; 56/5, 5/7; m), ;, ; n), 8; 5, ; ñ), ;, 5. º Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción comprueba que tiene cuatro soluciones: 7 Sol: 7, ±5; 7, ±5. º Hallar dos números naturales cua diferencia es 8 cuo producto es 5. Sol: 7, 5. º Dos números suman 5 sus cuadrados 5. Hallarlos. Sol: 5, 7. 5º La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 7. Cuáles son dichos números? Sol: º Dos números suman la diferencia de sus cuadrados es. Halla estos números. Sol:,. 7º Dos números suman 65 la diferencia de sus cuadrados es 5. Calculados. Sol:, 5. 8º Halla dos números sabiendo que su suma es 5 la diferencia de sus cuadrados 5. Sol: 7, 8. 9º Halla dos números cua suma es su producto. Sol:,.

16 º Halla dos números consecutivos cuo producto es. Sol: 5, 6. º Halla dos números cua suma es 5 la de sus cuadrados 7. Sol: 6, 9. º Halla dos números positivos cua diferencia sea la suma de sus cuadrados 99. Sol:,. º La suma de los cuadrados de dos números positivos es 56. Hallar dichos números, sabiendo además que el maor ecede al menor en. Sol: 5,. º Hallar dos números sabiendo que la suma de los mismos es 9 el producto de sus cuadrados es. Sol: 5. 5º Descomponer el número 5 en dos sumandos tales que el triple del cuadrado del primero el doble del segundo sume 55. Sol: 9, 6. 6º Descomponer el número en dos números cuo producto sea. Sol:, 6. 7º Halla dos números naturales cua suma es la suma de sus cuadrados 8. Sol:, 8. 8º Descomponer el número 5 en dos partes, cuos cuadrados difieran en 5. Sol: 6, 9. 9º La suma de los cuadrados de dos números positivos es 7, la diferencia de sus cuadrados es 5. Cuáles son los números? Sol: 6, 9. º Hallar un número de dos cifras en que la cifra de las unidades sea igual al cuadrado de la cifra de las decenas la suma de las dos cifras sea 6. Sol:. º La suma de dos números enteros positivos es 6. El producto del primero, aumentado en, por el segundo aumentado en, es 8. Cuáles son dichos números? Sol: 5 también. º Para vallar una finca rectangular de 6 m se han utilizado m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca. Sol:. º Calcular las dimensiones de un rectángulo de cm de perímetro 5 cm de área. Sol: 6, 9. º La suma de las áreas de dos cuadrados es dm, su diferencia es 8 dm. Hallar los lados de los cuadrados. Sol: º Un jardín de forma rectangular tiene 6 m de superficie su perímetro mide m. Cuáles son sus lados? Sol:,. 6º El perímetro de un triángulo rectángulo es de 56 m la hipotenusa 5 m. Hallar los lados. Sol: 7,. 7º Un cuadrado tiene m más de área que otro, éste dos metros menos de lado que el primero. Hallar los lados de los dos cuadrados. Sol:,. 8º Calcular los tres lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la suma de sus lados es que la suma de sus cuadrados es. Sol: 6, 8,.

17 9º Un cuadrado tiene m más que otro éste m menos de lado que el primero. Halla los lados de los cuadrados. Sol: 6, 7. º La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 6 m, la suma de los catetos es m. Hallar los catetos. Sol:,. º Uno de los lados de un rectángulo mide cm más que el otro. Cuáles son las dimensiones si su área es 5 cm? Sol: 5. º Una habitación de suelo rectangular tiene una superficie de m con un perímetro de m. Halla las dimensiones de la habitación. Sol: 56. º Se tiene un lote de baldosas cuadradas. Si se forma con ellas un cuadrado de baldosas por lado sobran 8, si se toman baldosas por lado faltan. Hallar las baldosas del lote. Sol: 8 baldosas. º Un rectángulo tiene una longitud de cm una anchura de 5 cm. Cuánto se debe añadir a la anchura quitar a la longitud para que su área disminua en cm su perímetro no varíe? Sol: 5 cm. 5º La edad de mi tía, ho es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve años será solamente el triple. Qué edad tiene cada una? Sol: la tía 6 la hija 6. 6º Hallar una fracción cuo valor no cambia añadiendo 5 al numerador 8 al denominador que se triplica cuando se añade 55 al numerador 6 al denominador. Sol: /. 7º Al principio del curso la relación del número de alumnos de dos colegios era 7/. Habiéndose retirado 5 alumnos del primer curso 8 del segundo curso al fin de curso la relación es 5/7. Cuál fue el número de alumnos matriculados en cada colegio? Sol: 5/75. 8º Hállense las dimensiones de un rectángulo sabiendo que si se añaden 8 m a la base 5 a la altura la superficie aumenta 8 m. Pero si se aumenta m a la base se quitan m a la altura la superficie disminue m. Sol: La base mide m la altura m.

18 Ejercicios de inecuaciones: º Escribir en forma de intervalo las siguientes regiones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) Sol: a) (, ) ; b) (, ) ; c) [, ) ; d) (,] ; e) (, 8] ; f) (, 6] [,5] g) (, ) ( 6, ); h) (, 8) [, 5) ; i) [ 6, ) (, ] ( 5, 8) ; j) ( 8, ] (, 7) ; k) [ 6, ) (, ) (, ] ; l) (, 9] [ 6, ) (, ) (, ] ( 7, ]. ; º Resolver las siguientes inecuaciones epresando mediante intervalos los resultados: a) < 5 b) 9> c) < d) 8> e) 6> f) 5 > 6 g) < h) < 6 i) j) 5( 6) 5 > k) (5 7 ) 5 l) ( ) < 5 Sol: a) (,5) ; b) (, ) ; c) (, 5) ; d) ( 6, ) ; e) (6, ) ; f) (, ) ; g) (, ) ; h) (, ) ; i)[, ) ; j) ( 7, ) ; k)(, ] ; l) (, ). º Resolver las siguientes inecuaciones epresando los resultados mediante intervalos: 78 a) > b) 5 < 6 ( 7) c) d) e) 65 9 > f) 6 8 Sol: a) (,); b) (,); c)[, ) ; d)(, ] ; e)(, 5) ; f)(, ]. º Resolver las siguientes inecuaciones: a) 7 > b) 7 6< c) 7 d) 8> e) 6 9> f) 5 g) 8 5 h) 6 > i) 7 j) 9 6 k) 5 8 m) < l) ( )( ) 5< n) > Ñ) 9 >, 5, ; b)(, 6 ); c)(,] [, ) ; d)(, ) ; e) { } ; f)[, / ] ; g)[, 5 ] ; h)(,) (, ) ; i)[, 9 / ]; j){ / }; k)( 7, ) ; Sol: a)( ) ( ) l)(, ] [ 5, ) ; m) ( 9, 6) ; n) (, 8) ( 5, ; ) ñ) (, 7) (, ).

19 5º Resolver las siguientes inecuaciones: a) > b) > c) > d) > 5 e) > f) g) h) i) < 5 8 j) k) > l) > m) n) ñ) 8 5 Sol: a)(, ) (, ); b)(, ) [, ) ; c)(, ) (, ; ) d)(, ] ; e)(, ) (, ); f)[ 5, ] ; g) (, ) [,] ( 5, ; ) h)(, ) (, ) ; i)( 5, 7) (, ) ; j)(, ] (,) [, ) ; k)(, ) (, ) ; l)(, ) (,) (, ); m)(, ) [,7] ; n)[, 8] [ 7, ) ñ) [ 7, 5] [, ). ; 6º Resuelve, si se pudiese, los siguientes sistemas de inecuaciones: > 5> > a) b) c) > 8 > > < d) e) f) < 6 < < g) h) i) 6 > ( ) > j) k) l) < > ( ) > 8 > m) n) ñ) > ( ) 9 > Sol: a)(, ); b)( 5, ); c)(, ) ; d)[, ] ; e)(, ) ; f) Sin solución; g) Sin solución; h)[, 7 / ] ; i)[ 6, 8 / 7] ; j)(, ) ; k) (, ) ; l) [, ] ; m)[, ) (, ) ; n)(, ) (, ); ñ)[, ) (, ]. 7º Resolver el siguiente sistema de inecuaciones: > ( ) 5< 7 Sol: [, ).

20 8º Representa las siguientes regiones: a) b) < c) d) 6 e) f) < g) h) i) > j) k) l) 5 > m) < n) ñ) Sol: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ñ)

21 9º Representa las siguientes regiones: a) b) c) > > 6 d) e) f) > > 5 Sol: a) b) c) d) e) f) º Representa las siguientes regiones: a) b) Sol: a) b) c) c)

22 8º Sean los polinomios: P ( ) Q ( ) R( ) 6 6 Calcular: a) P ( ) Q ( ) b) P ( ) Q ( ) c) P ( ) Q ( ) R ( ) d) P ( ) Q ( ) R ( ) e) P ( ) Q ( ) f) P ( ) Q ( ) R ( ) Q ( ) P ( ) R ( ) h) P ( ) Q ( ) R ( ) i) Q ( ) P( ) R( ) g) ( ) Sol: a) 5 ; b) ; c) 5 ; d) 9 5 ; 5 e) 8 ; f) 5 ; g) 8 8 ; h) 7 ; i) º Haz las divisiones siguientes, calculando su cociente su resto: 5 a) ( ):( ) b) ( ):( ) 5 c) ( 5 ):( ) d) ( ):( ) 6 e) ( ):( ) f) ( 5):( ) Sol: a) cociente:, resto: ; b) cociente:, resto: 5; c) cociente:, resto: ; d) cociente:, resto: ; e) cociente:, resto: ; f) cociente:, resto:. º En una división de polinomios, el divisor es, el cociente el resto. Cuál es el dividendo? Sol: 6. º Calcula el cociente el resto en las divisiones siguientes mediante el método de Ruffini: 5 a) ( 7 ):( ) b) ( ):( ) c) ( ) :( ) d) ( ) : ( ) 5 e) ( 7):( ) f) ( ):( ) Sol: a) cociente:, resto: ; b) cociente:, resto: ; c) cociente:, resto: ; d) cociente:, resto: ; e) cociente:, resto: ; f) cociente:, resto:. º Halla el resto de la división utilizando el teorema del resto: 5 a) ( ):( ) b) ( ):( ) c) ( ) :( ) d) ( ):( ) e) ( ):( ) f) ( ) :( ) g) ( ):( ) h) ( ) : ( ) Sol: a) 9; b) ; c) ; d) 5; e) ; f) ; g) ; h) 8. º Halla "a" para que la siguiente división sea eacta: 5 ( a ) : ( ) Sol: a. º Halla "a" para que la siguiente división tenga de resto : 6 5 ( 5 5 a ):( ) Sol: a.

23 5º Calcula el valor de k para que la división: ( 6 k ) : ( ) sea eacta. Sol: k. 6º Halla el valor que debe tener m para que el resto de la división m :( ) ( ) sea igual a 6. Sol: m. 7º Calcula m para que el polinomio: P ( ) m 5 sea divisible por ( ). Sol: m 5. Ecuaciones polinómicas con raíces enteras. Teorema fundamental del Álgebra: Todo polinomio de grado n, con coeficientes reales o complejos, tiene eactamente n raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad. Factorización de un polinomio: Consiste en epresar el polinomio como un producto de binomios: n n ( )... ( ) ( )... ( ) n n n r n n n r P a a a a a a Con n n... n r n Donde,,..., r son las raices mencionadas por el teorema fundamental del álgebra.

24 Ejercicios: º Determina las raíces de las siguientes ecuaciones: a) b) c) 5 7 d) 5 e) 5 8 f) 8 g) 8 h) i) j) k) 5 l) Sol: a) ±, ; b) ±, ; c) (doble), ; d) (doble), ; e), (doble); f), (doble); g), (doble); h), (doble); i),, ; j),, ; k),, /; l), (doble). º Determina las raíces de las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) 6 e) 9 f) 5 g) 7 6 h) 5 i) j) 8 k) l) 7 7 Sol: a) (doble), (doble); b),, (doble); c) (doble), ±; d) (doble), (doble); e), (triple); f) (doble),, ; g) ±,, ; h),, ± 5 ; i) (doble), /, ; j), /, ±; k) (doble), (doble); l) (triple), 7/. º Factorice los siguientes polinomios: a) P ( ) b) P ( ) 8 c) P ( ) 8 d) P e) P ( ) f) ( ) P ( ) g) P( ) h) P ( ) 7 6 i) P ( ) 6 j) P ( ) 6 Sol: a) ( ) ( ) ; b) ( ) ( ) ; c) ( ) ( ) ( ) ( ); d) ( ) ( ) ( ); e) ( ) ( ); f) ( ) ( ) ; g) ( ) ( ); h) ( ) ( ) ( ) ( ); i) ( ) ( ) ( ); j) ( ) ( ). º Factorice los siguientes polinomios: a) P ( ) b) P ( ) 9 7 c) P ( ) d) P e) P ( ) 6 f) ( ) P ( ) g) P ( ) h) P ( ) i) P ( ) 5 6 j) P ( ) 9 k) P ( ) 7 6 l) P m) ñ) P ( ) 5 6 n) P ( ) 5 9 o) ( ) 6 P ( ) P ( ) 5 7

25 p) P ( ) q) P Sol: a) ( ) ( ) ( ) ; b) e) ( )( )( ) ; f) ( ) ( ) ; c) ( ) ; g) ( ) 9 9 ( )( )( ) ; d) ( )( ) ; h) ( )( )( ) ( )( ) ; i) ( )( ) ; j) ( ) ( ) ; k) ( )( ) ; l) ( )( )( ) ; m) ( )( )( ) ; n) ( )( ) ; ñ) ( )( ) ; o) ( )( ) ; p) ( )( )( ) ; q) ( )( )( ). º Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo en cada caso: a) P ( ) Q ( ) b) P ( ) Q ( ) Sol: a) mcm: ( ) ; mcd.:( ); b) mcm: ( ) ( ); mcd:( ). 5º Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de: f ( ) g ( ) h ( ) Sol: mcm: ( ) ( ); mcd: ( ). ; 6º Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de: f ( ) g ( ) 9 7 h ( ) Sol: mcm: ( ) ( ) ( ) ( ) ; mcd: ( ). 7º Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de: f( ) g ( ) 6 h ( ) 5 6 Sol: mcm: ( ) ( ) ( ); mcd: ( ) ( ). 8º Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de: f ( ) g ( ) h ( ) 5 6 Sol: mcm: ( ) ( ) ( ); mcd: ( ). 9º Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de: f( ) 9 g ( ) 7 6 Sol: mcm: ( ) ( ) ( ) ; mcd: ( ). h ( ) 6 º Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de: f ( ) g ( ) h ( ) 5 9 Sol: mcm: ( ) ( ) ( ); mcd:. º Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de: f ( ) 5 7 g ( ) Sol: e) mcm: ( ) ( ) ( ) ( ); mcd: ( ). h ( ) 9 9 º Halla el máimo común divisor el mínimo común múltiplo de: f( ) 6 g ( ) 8 h ( ) Sol: mcm: ( ) ( ) ( ) ; mcd: ( ) ( ).

26 Ejercicios algebraicos de simplificaciones en fracciones. º Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) 8 a 5ab 96mn b) c) 7ab 75ab mn acd 7mn p abc e) f) g) ac d mnp abc 5abc d a ab i) j) k) 5abc d 8a 5bz 8abc ab ac m) n) ñ) 6ab 8ab 6ac Sol: a) a a a n b) c) d) e) f) b b mn b d mp a i) j) a a c c k) l) m) n) d 7 5bz b ab 6ab 5ab d) 5ab abc h) 5ab abc l) ab 8mnr o) 57mnr g) ab h) ac 6 ñ) ac o) r m º Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: b b a b a) b) c) d) a ab a ab b 9 a b e) f) g) a a h) a a a b b a b ab 8ab 5z 5z i) j) ( a b) a ab k) l) ab ab 7 9 a b ab 6b m) 8 a 6 b 7m 6n n) ñ) o) 8a b m 8n a ab b m n 5 6 a b p) q) r) s) a b m mn n a b 6 6z ( a b) ab ( a b) ab m n t) u) v) w) z a b a b m n Sol: a) b b) a b c) d) e) a a b f) g) h) a a i) j) 5z a b b ab k) a b l) a a b 7 m) n) ñ) 7 a b b a b 5 o) a b p) q) m n a ab b r) s) m n a b m n t) ( z) u) a b v) a b w)

27 º Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 8 uv u v 6 a) b) a 5a uv 5v u 5 w zw z bd ac bc ad d) e) w w z z ac bd ad bc g) p qr q pr uw u vw v h) pr 6pqr6q uw u 5 vw v j) ac ad bc 5 bd jm jnkmkn k) ac ad bc 5bd jm8jn km kn ac bd ad bc p 6 pq q m) n) a ab b pr p qr q o) d d 8d 5 d 5 ( )( ) r) ( ) ( ) u v u) u v Sol: 6 a) 5a g) r r 6 c d m) ( a b ) r) s) u b) u 5 u v h) u 5v n) ( p q ) r a b p) s) v) z z z z 5 5 5ac 5bc a c abc b c a a a 6a 6a 5 c) 6 i) c ñ) c 5 t) p q p q c) 5 6 km 7m kn 7n f) kn m n km 6z 7 z i) 7 6z76z z w zw l) ñ) c 6c 8 c 7c mp mq np nq 5p 5q q) t) w) 8p 6 pq 8q 8p 8q d) e) a b a b j) c d m 7n k) c d m 6n d o) p) z d z u) u v v) ( a ) ( m n) mnm ( n) m n k 7 f) k z w l) ( ) m n q) 5( p q ) w) m n º Opera simplifica: b 6a a) a 5b z 7z e) 9 i) Sol: a) 5b g) a b) b h) b) f) ab ab ( ) j) ab 5 5 ( ) ab ( ) c) i) 5ab c d abc ab c) a a b d g) ab 5 5 7a b ( ) k) ( ) 5 d) 5 ab ab j) d) 5 ab 7ab ( ) h) 6 ( ) ( ) z z l) ( z) ( ) 7 e) 5z 8 k) f) l) 9 7 z

28 5º Opera simplifica: 6 a) ab c d d b) i 9 i 8 7 i i c) t t 6 t t c d i 8i 5 i i 8 t 9t t t5 d) n n n e) l l 5 6 l 6 5 f) n n8 n l 5l 6 l l a a a a g) h) i) a b c d a a a ab b c d a b 9 j) a a a ( a b) ( a b ) k) a a a a b ( a b) Sol: ab i 6 t 8 l a) b) c) d) e) f) i 9 t 5 l 5 ( ) a b g) a h) a i) j) a a k) 6º Opera simplifica: a) : 5ab b) 5 ab : 5 c 5a ab 6 d) : e) : 8b 9b 5ab 5a b a a g) : h) ( ): a a b b b c b a b a b a b j) : k) 5 5 : a b a b 6 Sol: a) 5 b) c c) d) 5a 8 a ab b b a b g) h) a b i) a b j) b c ( a b) 7º Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b) 9 d) e) 7 6 g) h) j) k) Sol: a) b) c) d) g) h) i) j) c) : 7ab abc abc f) : 6 5 abc abc i) : a b a b l) : a a e) a k) ( ) 5 f) 7 abc l) a c) 8 7 f) 6 i) 8 8 l) e) k) f) l) 5

29 Ejercicios de introducción a los logaritmos: º Calcular los valores de los siguientes logaritmos sin usar la calculadora: a) log 8 b) log 9 c) log d) log7 e) log 5. f) log.5 g) log.56 h) log. Sol: a) ; b) ; c).5; d) /; e) ; f) ; g) ; h). º Opera sin usar la calculadora: a) log 7 log b) log 55 log 55 c) log 6 log 86 d) log. log. e) log 5 log f) log log. Sol: a) ; b) ; c) 5; d) ; e) ; f). º Opera sin usar la calculadora: log a) b) log log log 8 Sol: a) 5; b).5; c) ; d). log 9 5 log log d) log 5 c) ( )( ) º Sabiendo que: log. log.77 log 7.85 Calcule sin usar la tecla log de la calculadora el valor de los siguientes logaritmos: a) log 8 b) log 9 c) log 5 d) log 5 e) log 75 f) log.5 g) log(/ 6) h) log(/ 6) i) log(/ 98) j) log( / ) k) log. l) log.5 Sol: a).9; b).95; c).699; d).7; e).875; f).6; g).778; h).556; i).99; j).76; k).5; l).97. 5º Conocidos los valores de los logaritmos ln a.6 ln b., calcule: ab a) ln a b) ln b c) ln ab d) ln e e) Sol: a).; b).6; c).5; d) /; e).5. ln a b 6º Halla: a) log 8 b) log c) log 8. d) log e e 7 e) log f) log g) ln h) log 8 5 e e i) log5 j) log Sol: a) 5/; b) 9/; c) /; d) 7/; e) ; f) ; g) /; h) ; i) ; j) /.

30 Ejercicios de ecuaciones logarítmicas eponenciales. º Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log( ) b) d) log e) g) 5log( ) h) j) log(5 ) 9 k) log c) log( ) log f) log( ) log i) log( ) 5 log l) log m) log n) log5 ( 5 ) ñ) ln ( e) Sol: a) /; b) ± ; c) /; d) /; e) ; f) / ; g) 5; h) 5; i) 9, ; j) /5; k) ; l) ; m) 7; n) 5; ñ). º Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log log 5 log b) log log 6 log c) log log( ) d) log log( 6) e) log log f) log log log8 g) log log h) log log log( ) i) log(7 5) log 5 j) log log( 6) k) log log( ) l) log( ) log( ) log 5 m) ( ) log() log log 6 n) ñ) log(5 ) log log( ) log 8 ( 5 7) log log o) log(5 ) log ( 5 ) p) log log( /) q) log log( ) log( ) ( ) r) log log ( ) log(5 ) s) ( ) t) log5( ) log 5 log5 log 55 log log u) log log (9 ) 5 log ( / ) v) log(7 ) log( ) log 5 w) log( 6) log8 log ) log( ) log ( ) log ( ) ) log( ) log( 5) log( ) Sol: a) ; b) 6; c) ; d) 8, ; e) 5; f) ; g) ; h) ; i) 5; j) ; k) ; l) ; m) No tiene solución; n), ; ñ) ; o), ; p) ; q) ; r) /, ; s) ±; t) 5; u) 8; v) ; w) ; ) 5; ). º Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: log log( ) log a) b) log log(5 ) log c) ( ) log 5 log(5 ) Sol: a), /; b), /; c), ; d) 5, 5. log 55 7 d) log5 log 5

31 º Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log 7 b) log c) log 5 d) 6 log 7 8 e) log log 8 5 f) log log 9 g) log 8 log h) log log 8 i) log log 7 Sol: a) ; b) ; c) 5; d) ; e) ; f) ; g) 6; h) ; i). 5º Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas: log 5log log log log log 5 a) b) c) log log 8 log( ) 5 log( / ) log( ) log log log log d) e) f) log( / ) 999 / log( / ) log log 7 log log 5 log log g) h) i) log log log( / ) log log 5 log log 5 log log j) k) l) log log log log log( ) log log log log log log log m) n) ñ) log log 5 Sol: a), ; b), ; c), ; d), ; e), /; f) 5, ; g) 5, ; h), ; i), ; j) 5, ;, 5; k), 8; l) ; m), ; n), ;, ; ñ) /, /. 6º Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales: a) 9 b) 8 c) 5 5 d) 5 5 e) 6 f) 6 6 g) h) 6 6 i) /8 j) 5 / 5 k) l) 9 m) 8 n).5 ñ) 7 a a o) ( ) p) 5 (/ 7).5 q) ( 5) / r) 9 s) 5 6 t) Sol: a) ; b) 7; c) ; d) ; e) ; f) ; g) /; h) ; i) ±; j) ; k) ; l) ; m), ; n) /; ñ) ; o), ; p) 6; q) 7, ; r) /, /; s) ; t). 7º Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales: a) 5 5 b) 5 c) d) 7 ( ) e) 8 f) 8 g) 9 6 h) /5 i) 5 6 j) 8 k) 5 l) 5 6 Sol: a) ; b), ; c), ; d) ; e), ; f), ; g) ; h) ; i), ; j) ; k) ; l),.

32 8º Calcula el valor de : a) b) 7 c) Sol: a).585; b).7; c).66; d).56. d) 7 9º Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas: a) b) c) d) e) f) a a 8 8 g) h) i) a a j) k) l) m) n) 5 Sol: a), ; b) ; c), ; d) ; e), ; f), ; g), ; h) 7, 9; i) 6/5, 7/5; j) ; k) ; l) 5, ; m), ; n),. 55

33 Ejercicios problemas de trigonometría. º Epresa en radianes los siguientes ángulos: a) 5º b) º c) 5º d) º e) 95º f) 5º g) 65º Sol: a) 5.5 rad; b) 5. rad; c).6 rad; d) 8.57 rad; e) 6.9 rad; f) 6.8 rad; g) 8.8 rad. º Epresa en grados seagesimales los siguientes ángulos: a) π/6 rad b) 9π/5 rad c) 5π rad d) π/ rad e) 6π/5 rad f) 7π/8 rad g) 5π/ rad Sol: a) º; b) º; c) 9º; d) 66º; e) 96º; f) 7º; g) 9675º. º Reduce los siguientes ángulos: a) 7º b) 59º c) 95º d) 9π rad e) 55π/6 rad f) 7π/ rad Sol: a) º; b) 69º; c) 7º; d) π rad; e) 7π/6 rad; f) π/ rad. º En una circunferencia de radio 6 cm, tenemos un arco de.5 cm de longitud. Cuántos radianes mide el ángulo central que determina? Cuantos grados seagesimales? Sol:.75 rad;.97º. 5º Halla la longitud del arco de circunferencia que determina un ángulo de.7 radianes, sabiendo que la longitud de la circunferencia es de 9. cm. Sol:.5 cm. 6º Calcula el valor de las restantes razones trigonométricas sin calcular el valor de α en los casos siguientes: a) sin / α, 9º b) sin / α 8º, 7º α [ ] α / [, 9º ] α [, 9º ] α [ 9º, 8º ] c) sin e) tan g) cos / α d) cos. 8 α f) cos / 5 α h) sec / α [ ] α α [, 9º ] α α [ 7º, 6º ] α α [ 8º, 7º ] Sol: a) cosα 5 /, secα / 5, cosecα, tanα / 5, cotanα 5 ; b) cosα 8 /, secα / 8, cosecα, tanα / 8, cotanα 8; c) cosα /, secα, cosecα /, tanα, cotanα / ; d) sinα.6, secα.5, cosecα. 6, tanα.75, cotanα. ; e) sinα / 5, cosα / 5, secα 5, cosecα 5 /, cotanα /; f) sinα /5, secα 5/, cosecα 5/, tanα /, cotanα /; g) sinα 8 /, secα, cosecα / 8, tanα 8, cotanα / 8; h) sinα 5 /, cosα /, cosecα / 5, tanα 5 /, cotanα / 5; 7º Calcula con la calculadora un valor de α epresado en grados en los siguientes casos: a) sin α. 68 b) cos α. 68 c) tan α. 775 Sol: a) 6.9º; b) 9.9º; c) 7.º. 8º Sabiendo que: sin(7º ).9 Calcula: a) sin(7º ) b) tan(7º ) Sol: a).96; b).7.

34 9º Utilizando únicamente la tabla de las razones trigonométricas conocidas: º º 5º 6º 9º Sinα / / / cosα / / / Tanα / Calcular las razones trigonométricas seno, coseno tangente de los siguientes ángulos: a) º b) 5º c) 5º d) 8º e) º f) 5º g) º h) 7º i) º j) 5º k) º l) 6º Sol: a) sin(º) /, cos(º) /, tan(º) ; b) sin(5º) /, cos(5º) /, tan(5º) ; c) sin(5º) /, cos(5º) /, tan(5º) ; d) sin(8º), cos(8º), tan(8º) ; e) sin(º) /, cos(º) /, tan(º) / ; f) sin(5º) /, cos(5º) /, tan(5º) ; g) sin(º) /, cos(º) /, tan(º) ; h) sin(7º), cos(7º), tan(7º) ± ; i) sin(º) /, cos(º) /, tan(º) ; j) sin(5º) /, cos(5º) /, tan(5º) ; k) sin(º) /, cos(º) /, tan(º) / ; l) sin(6º), cos(6º), tan(º). º Resuelve, sin emplear calculadora, los triángulos en los que se conocen estos datos: a) a, β 5º γ 75º. b) b, α 5º β º. c) α 9º, β 6º a. Sol: a) α 6º, b / c ( ) ; b) γ 5 º, a, c c) γ º, a, c. º Calcula β en un triángulo de lado a, b 5 c 5. Sol: º. º En un triángulo isósceles el ángulo que determinan los lados iguales mide 5.º el lado desigual 55 cm. Calcula su perímetro su área. Sol: 5 cm; cm. º En un terreno horizontal se divisa una torre desde un punto A bajo un ángulo de º. Si nos aproimamos m se llega a un punto B, desde el que observamos la torre bajo un ángulo de 5º. Calcula la altura de la torre. Sol: 7. m. º En un triángulo isósceles los dos lados iguales miden cm su área vale 8 cm. Calcula el valor de sus ángulos. Sol: 7.7º, 5.º 5.º. 5º Calcular la altura del pico de una montaña, sabiendo que, en ese momento del día, el Sol incide con sus raos sobre el suelo con un ángulo de 75º provoca una sombra sobre el suelo de 5 metros. Sol: 97.8 m.

35 6º Una escalera de m de largo esta apoada en una pared con un ángulo de 6º respecto al suelo. Calcular la altura de la pared hasta donde apoa la escalera, la separación de ésta a la pared. Sol:. m de altura 6 m de separación. 7º La sombra de un árbol mide 5 m el ángulo que forman los raos del sol con el suelo es de 6º. Cuál es la altura del árbol? Sol: 86.6 m. 8º En el parque de atracciones observas a tu amigo en lo alto de la Noria con un ángulo de 6º. Calcular a la altura que se encuentra, sabiendo que tú estás a 5m de la Noria. Sol: 86.6 m. 9º Daniel observa a sus compañeros, que están en lo alto de un campanario, con un ángulo de 8º. Calcular la altura a la que se encuentran sabiendo que Daniel está a metros del edificio. Sol: 56.7 m. º Observas el nido de un águila, en una pared vertical de una montaña, con un ángulo de 7º. Calcular la altura a la que se encuentra el nido, sabiendo que estás a m de esa pared. Sol: 9.9 m. º Una escalera de bomberos de m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoa sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 5º si se apoa sobre la otra fachada forma un ángulo de º. Calcular: a) La anchura de la calle. b) La altura de la escalera sobre la fachada de º. c) La altura de la escalera sobre la fachada de 5º. Sol: a) 5.7 m; b) 7.7 m; c) 5. º Dos amigos parten de un mismo punto A siguen direcciones que forman entre sí un ángulo de 5º. Tras caminar 5 m 75 m, respectivamente, se sitúan en dos puntos B C. Calcula la distancia que les separa los ángulos B C del triángulo ABC (Peligro, presencia de ángulo obtuso). Sol:.5 m,.9º.º º Calcula la altura de una torre, si situándonos a m de su pie vemos la parte más alta bajo un ángulo de 5º. Sol: m. º En un solar de forma triangular dos de sus lados miden 6 m respectivamente el ángulo comprendido se midió con un teodolito resultó ser de º. Cuál es su superficie? Sol: 5 m. 5º Los padres de Pedro tienen una parcela en el campo de forma triangular. Cuos lados miden, m. Pedro quiere calcular los ángulos. Cuáles son esos ángulos?. Sol:.8º, 7.6º 9.º. 6º Estando situado a m de un árbol, veo su copa bajo un ángulo de º. Mi amigo ve el mismo árbol bajo un ángulo de 6º. A qué distancia está mi amigo del árbol? Sol: / m. 7º Un avión que está volando a 5 m de altura distingue un castillo con un ángulo de depresión de 5º A qué distancia del castillo se halla? Sol: 9 m

36 8º Un avión vuela durante dos horas a km/h en dirección NO. Calcula la distancia que recorre hacia el Norte hacia el Oeste. Sol: 8.8 km. 9º El ángulo de elevación de una torreta eléctrica es de 5º a una distancia de m de la torreta. Si el observador se encuentra a m sobre el suelo. Calcula la altura de la torreta. Sol: m. º Dos móviles parten de un punto al mismo tiempo, siguiendo dos traectorias rectilíneas que forman entre sí un ángulo de 5º con velocidades de m/s respectivamente. Al cabo de cinco minutos qué distancia los separa? Sol: 89 m. º Desde cierto lugar del suelo se ve el punto más alto de una torre, formando la visual un ángulo de º con la horizontal. Si nos acercamos 5 m a la torre, ese ángulo se hace de 6º. Calcula la altura de la torre. Sol: 5 m. º Un avión vuela horizontalmente a una determinada altura "h". Cuando se encuentra sobre la vertical de un punto A, ve la torre del aeropuerto bajo un ángulo de depresión de º. Al aproimarse m ve la misma luz bajo un ángulo de 6º. Halla: a) La altura a la que vuela el avión b) La distancia del punto A a la torre del aeropuerto. Sol: a) 5 m; b) 5 m. º Calcula la longitud de los lados de un paralelogramo cuas diagonales son de 6 cm. las diagonales forman entre sí un ángulo de 7º. Sol: 6 7. cm. º Calcula el área del decágono regular de cm de lado. Sol: 765 cm. 5º Calcular el área de un dodecágono de cm de lado. Sol: 79. cm. 6º La longitud del lado de un octógono es de 6 cm. Calcular su área. Sol: 6 cm. 7º Calcula el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio m. Sol:. m. 8º En una circunferencia de cm de radio se traza una cuerda de 6 cm. Averigua el ángulo central que abarca dicha cuerda. Sol:.9º. 9º Calcula los ángulos de un rombo cuas diagonales miden cm 8 cm. Sol:.5º; 59.5º. º Dos personas, que están separadas 6 km, observan un avión que vuela de uno de ellos hacia el otro. Uno de ellos lo observa bajo un ángulo de º, mientras el otro lo hace bajo un ángulo de 5º. Calcular la altura a la que vuela el avión. Sol:. km. º Desde un punto determinado del mar, el capitán de un barco observa la luz de un faro con una inclinación de 5º. Su situación es dramática, le queda combustible para recorrer km no sabe si llegará a tierra. Tras recorrer km en dirección hacia el faro vuelve a comprobar la inclinación de la luz del faro que ahora resulta de 5º. En estos momentos el capitán a conoce lo que le interesa. Calcular: a) La altura del faro. b) La distancia a la que se encuentra del faro. Sol: a).6 km; b).7 km.

37 º Un submarino desciende hacia el fondo del mar con una inclinación de 5º. Cuando llega al fondo, después de realizar los pertinentes trabajos, asciende a la superficie con un ángulo de 5º. Cuando ha emergido completamente comprueba que se ha desplazado metros desde el punto donde empezó la inmersión. Se pide calcular la profundidad del mar en el punto en el que estuvo trabajando el submarino. Sol: 8. m. º Dos personas separadas por una llanura de km, observan sobre la llanura un globo aerostático con ángulos de º 5º respectivamente. Hallar la altura a la que vuela dicho artefacto. Sol: 7 m. º Acaban de colocar una antena de 7 metros en lo alto de un edificio. El etremo superior de la antena se ve bajo un ángulo de 85º, mientras que la base se ve bajo a un ángulo de 8º. Calcular la altura del edificio la distancia que te separa de él. Sol: Distancia de. m altura de 6.89 m. 5º En el tejado de un edificio están colocando una antena. Desde la calle veo la base de ella con un ángulo de 7º mientras que el etremo superior lo veo con un ángulo de 8º. Si la antena mide m, calcular la altura del edificio la distancia que me separa de él. Sol: Esto a. m del edificio su altura es de 9. m. 6º Desde un puesto de caza, un cazador apunta con su escopeta a una tórtola, que se encuentra posada en la copa de un árbol, con un ángulo de 5º. Cuando iba a disparar la tórtola salió volando se posó en una rama m más abajo; al apuntarla con su escopeta lo hace bajo un ángulo de º. Qué altura tiene el árbol?, Qué distancia me separa de él? Sol: Altura.5 m distancia. m. 7º Pablo observa desde la ventana de su casa un accidente con un ángulo de 6º; como es mu curioso desde allí no lo ve mu bien, decide subir a la azotea del edificio, que se encuentra m más arriba. Desde allí, con unos prismáticos, se empapa de todo mirando con un ángulo de º. Determinar la altura del edificio de Pablo. Sol: 9. m. 8º Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 75 cm sabiendo que la longitud de la bisectriz del ángulo opuesto al otro cateto mide 9 cm. Sol: 7.5 cm. 9º La base de un triángulo isósceles mide 55 cm los lados iguales 9 cm. Calcular el valor de sus ángulos. Sol: Los lados iguales 5.6º el desigual 89.68º. 5º Una de las alturas de un triángulo isósceles mide cm forma un ángulo de 55º con dos de sus lados. Determinar todos los lados. Sol: Dos lados son iguales miden 57.5 cm el otro vale 66. cm. 5º Calcular el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia cuo diámetro es cm. Sol: 7.6 cm. 5º Calcular la base la altura de un rectángulo, sabiendo que su diagonal mide 8 cm uno de los ángulos adacentes a ella, 7.8º. Sol: 8. cm,.8 cm. 5º Un ángulo de un rombo mide 6º. La diagonal menor, cm. Calcular el perímetro el área. Sol: cm; 96 cm.

38 Ejercicios de demostración de igualdades trigonométricas: 6º Verifique las siguientes igualdades trigonométricas a partir de las igualdades más elementales: a) (sin cos ) sin() b) sec tan c) e) cos cos cotan cotan d) tan f) sin cosec g) cotan cos sec i) tan sin sin sin sin tan ( / ) ( / ) h) cos( ) sin tan sin tan sec cosec sin () cos( ) cos( ) j) tan sin( ) sin( ) k) tan cos tan l) tan cotan cotan() m) tan tan cosec cotan n) cos() tan() tan ñ) tan(5 ) tan(5 ) tan( ) o) cos( ) cos( ) cos sin cos sin p) sin cos sin sec cos q) sin cotan cos tan cosec r) sec( )sec( )cosec( )cosec( ) sec( ± ) cosec( )cosec( ) sec( )sec( ) s) sec( )sec( )cosec( )cosec( ) cosec( ± ) sec( )cosec( ) ± cosec( )sec( ) 6º En matemáticas, toda función periódica es posible aproimarla a una suma o serie de funciones trigonométricas seno coseno denominada serie de Fourier. A continuación aparecen los desarrollos en serie de Fourier de algunas potencias de funciones trigonométricas. Demostrar verificar las igualdades tal como se hizo en el ejercicio anterior: a) sin cos ( ) b) cos cos ( ) c) sin sin sin() d) cos cos cos e) sin cos ( ) cos ( ) f) cos cos ( ) cos ( ) sin(5 ) cos(5 ) e) sin sin sin( ) f) cos cos cos( )

39 Ejercicios de vectores: º Realizar las siguientes operaciones aritméticas: a) (, ) (, ) (, ) b) (, ) (, ) (, ) c) (, ) (6, ) (, ) d) (7, ) (, ) (, ) e) (, ) (, ) (, 5) f) (, ) (, ) (, ) Sol: a) (, ); b) (, ); c) (, ); d) (6, 9); e) (, ); f) (, ). º Realizar las siguientes operaciones aritméticas: a) (, ) b) 5 (, ) c) 5 (6, ) d) (, ) Sol: a) (6, 9); b) (5, ); c) (, 5); d) (, 9). º Observando las gráficas, determine en cada caso el valor de los vectores u v. Determine gráfica aritméticamente el vector u v. a) b) u v u v u v u v c) d) u v u v u v u v e) f) u v u v u v u v