EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x +

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1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS).- La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: Tt t t con t () = a) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máima que alcanza la pieza. b) Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida hora? Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante?.- a) Halle los valores de a y b para que la función relativo en el punto (-,). f ( ) a b = + + tenga un etremo b) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva infleión. y = 4 + en su punto de.- Calcula el valor de la integral ( 5) + e d 4.- Sea f la función definida para por + a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los etremos locales de f. c) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de. f 5.- Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las h. y las 6h. de la tarde viene dada por vt t t t parat ( ) = [, 6] a) A qué hora circulan los coches con mayor velocidad? Justifica la respuesta. b) A qué hora circulan los coches con menor velocidad? Justifica la respuesta.

2 6.- Considera las funciones f, g: definidas por f( ) 6, g( ), = = a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas de f y g. b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. 7.- Determinar las condiciones más económicas de una piscina abierta al aire, de volumen m con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y del suelo necesite la cantidad mínima de material. 8.- Hallar el área de la región limitada por las gráficas f ( ) = y g ( ) =. 9.- Dada la curva: y = se pide: (a) Dominio y asíntotas. (b) Simetrías y cortes con los ejes. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máimos y mínimos, si los hay. (e) Una representación aproimada de la misma. 0.- Calcular a, b, c y d para que sea continua la función f( ) y representarla gráficamente. si < a si < f( ) = b si < 5 + c si 5 < 7 d si 7.- Dada la curva y = + se pide: (f) Dominio de definición y corte a los ejes. (g) Simetrías. (h) Asíntotas. (i) Posibles etremos de la función que define a la curva. (j) Con los anteriores datos, obtener una representación aproimada de la curva.

3 .- Se dispone de un hilo metálico de longitud 40 metros. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo..- Contestar, razonando la respuesta, si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: b c c a) f ( d ) + f( d ) = f( d ) a b a b b b b) f ( gd ) ( ) = f( d ) gd ( ) a a a b c) Si f ( ) d = 0, entonces a = b a b d) Si f ( ) d = 0 y f ( ) > 0 para todo, entonces a = b a b b b a a a e) ( f ( ) + g ( )) d= f( d ) + gd ( ) 4.- Calcular el área determinada por la curva = -. y =, el eje de abcisas y las rectas = y La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C ( ) = ,6, donde es el tiempo transcurrido desde de enero de 990 contado en años. a) Hasta que año está creciendo la concentración de ozono? b) Cuál es la concentración máima de ozono que se alcanza en esa ciudad? f ( ) = a + b 6.- Sabemos que la función tiene un máimo en el punto (,8). a) Halla los valores de a y b. b) Para dichos valores, calcula la ecuación de la recta tangente a f() en el punto de abcisa Sea la función y = e. a) Estudiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas = y = De todas las primitivas de la función punto P π,. 4 f ( ) = tg( )sec ( ), hállese la que pasa por el 9.- Demuéstrese que las gráficas de las funciones punto >0. f( ) = e y g( ) = se cortan en un

4 0.- Sea f ( ) = + a + b + c. Determínese a, b y c de modo que f() tenga un etremo relativo en = 0, la recta tangente a la gráfica de f() en = sea paralela a la recta y-4=0, y el área comprendida por la gráfica de f(), el eje OX y las rectas = 0, =, sea igual a..- Calcúlese lim. 0 sen.- Calcúlese ( ) d..- Calcular la integral definida ( + + ) d Se considera la función real de variable real definida por f( ) =. a) Determinar su dominio de definición. b) Obtener sus asíntotas. 5.- Calcular la base y la altura del triangulo isósceles de perímetro 8 y área máima. 6.- Se considera la función ( ) f( ) = + 4 a) Calcular las asíntotas, el máimo y mínimo absolutos de la función f(). b) Calcular f ( d ) Dada la función f ( ) =, se pide: a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto Pa (, f( a)), donde 0<a<. b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivamente. c) Determinar el valor de a (0,) para el cual la distancia entre el punto A y el punto Pa (, f( a )) es el doble de la distancia entre el punto B y el punto Pa (, f( a))

5 8.- El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente función indicará en cada momento (t, en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera: t 8t t 0 Pt () = 8t 00 0, 4t t > 0 (a) A partir de qué momento crecerá este porcentaje? Por mucho tiempo que pase a qué porcentaje no se llegará nunca? (b) Haz un esbozo de la gráfica de la función P a lo largo del tiempo. 9.- (a) Encuentra una primitiva de la función f ( ) = 7 + e que en el valga 6,75. (b) Dibuja la función = - y = 5. f ( ) = 7 y calcula el área limitada por la curva y el X entre 0.- Calcula: a) El punto C de la figura, punto de corte de la parábola p: y = 4 ( ) y el eje de abcisas. b) El punto D y la ecuación de la recta r paralela a r 4. c) El área sombreada, limitada por la parábola p y las rectas r, r, r y r 4..- Dadas las funciones siguientes límites: f ( ) ( ), g( ) ( ) y h( ) sen = + = = calcula los a) f( ) lim 0 h ( ) f( ) b) lim 0 g ( ) f( ) + g( ) c) lim 0 ( h ( )).- Dibuja aproimadamente la gráfica de la función f( ) = calculando su + dominio de definición, sus asíntotas, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máimos y mínimos, sus intervalos de concavidad y conveidad y sus puntos de infleión.

6 - si 0.- Dada la función f() = + si 0 <. + si > ) Representa gráficamente f. ) Estudia su continuidad en los puntos = 0 y =. ) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, y las rectas = y =. 4.- Una compañía de autobuses interurbanos ha comprobado que el número de viajeros (N) diarios depende del precio del billete (p) según la epresión: N(p) = 00-6 p. ) Dar la epresión que nos proporciona los ingresos diarios (I) de esa compañía en función del precio del billete. ) Qué ingreso diario se obtiene si el precio del billete es 5 euros? ) Cuál es el precio del billete que hace máimo los ingresos diarios? 4) Cuáles son esos ingresos máimos? 5.- Encontrar la función cuya segunda derivada es la constante, y cuya gráfica presenta un mínimo en el punto (,). 6.- Hacer la representación gráfica y calcular el área de la región de vértices O(0,0), A(,0), B(,), C(0,) en la que los lados OA, OB, y BC son segmentos rectilíneos y el AC es un arco de la curva y =. 7.- Dada la función sin( ) si 0 f( ) = a si > 0 Eisten valores de a con los cuales f sea derivable en toda la recta real? En cualquier caso razonar la contestación y si es afirmativa encontrar dichos valores. 8.- Del polinomio P ( ) = + A + B se sabe que su recta tangente en el punto = es paralela a la recta y = 7- y también se sabe que tiene un punto etremo en = -. Con estos datos hallar A y B y razonar si con dichos valores P() tiene algún otro etremo además del correspondiente al punto = Describir en qué consiste el método de integración por partes para el cálculo de primitivas. Aplicar dicho método para calcular las siguientes primitivas donde ln() significa logaritmo neperiano. I = e d I = ln( ) d

7 40.- La curva y = + y la recta que pasa por los puntos A =(,0) y B =(,4) limitan un recinto finito del plano. Trazar un esquema gráfico de dicho recinto y calcular su área. 4.- Qué se puede decir acerca de la gráfica de una función g() si se sabe que g(0)=0 y g (0)=0? 4.- Sea la función: ( )( ) f( ) = a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en = -. b) Calcula sus asíntotas, máimos, mínimos y puntos de infleión. c) Represéntala gráficamente. cos 4.- De una función f :(0, π ) se sabe que f '( ) =. Obtén los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los etremos relativos de f Calcula la integral indefinida d ( ) 45.- Halla el valor que deben tomar los parámetros a, b y c para que la curva pase por los puntos (,4), (,9) y (-,4). y = a + b+ c 46.- Se considera la función f : definida por Se pide: si < 4 f( ) = + si 4 8 si a) Representar gráficamente la función. b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f() Halla los etremos relativos de la función f 4 ( ) = + Calcula también los etremos absolutos de dicha función en el intervalo [,]

8 48.- Sea + si < f( ) = 0 a si a) Los valores del parámetro a para los que f() es continua en =. b) Para a = 0 calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). c) Para a = 4 calcular las asíntotas verticales y horizontales de f() Sea f ( ) = e a, con a un parámetro real. a) Calcular los valores del parámetro a para que f() tenga un máimo o un mínimo en =. Para esos valores del parámetro decir si = es máimo o mínimo. b) Para a = - escribir los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad de f() Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivamente de y euros por centímetro cuadrado. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro? 5.- Calcular el área encerrada entre la gráfica de la función eponencial f ( ) = e y la cuerda a la misma que une los puntos de abscisas = - y = 5.- Sea la función f ( ) = sen. Determinar a) El área encerrada entre su gráfica y el eje de abscisas entre los valores 0 = y π = b) El área encerrada entre la tangente en π = y los dos ejes coordenados. 5.- Sea la función es en. Determinar a) El máimo de la función en el intervalo (0, π) b) Ecuación de las tangentes a la gráfica en los etremos del intervalo anterior 54.- Dada la función f( ) =, calcula cuando eistan: + a) Las asíntotas verticales y las horizontales. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Los máimos y mínimos relativos.

9 55.- Calcula el área del recinto limitado por las curvas y = e y = Descomponer el número 8 en dos sumandos de forma que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máimo Determinar el punto de infleión de abcisa positiva de la curva de ecuación y = Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva en este punto. Cuál es la posición de la curva respecto de la recta tangente? 59.- Enuncia el teorema de Bolzano. Da un ejemplo que demuestre que el teorema de Bolzano requiere que la función sea continua en el intervalo [a,b] Se considera la función f( ) = ( a)( b)( c), con 0<a<b<c. Demostrar que la ecuación f ()=0 tiene tres raíces reales Hacer un dibujo del recinto limitado por las curvas y = 0 e y = Calcula el área de este recinto 6.- En una pared azul de 8 metros de altura, se quiere pintar de blanco la figura que encierran las funciones f( ) = y g( ) = + 4, ambas definidas en metros. a) Cuántos metros cuadrados hay que pintar de blanco? b) Si la pared tiene metros de longitud y se quiere repetir esa figura dejando 5 metros entre figura y figura, cuánto costaría pintar las figuras, si cada metro cuadrado de blanco cuesta euros? 6.- Se dispone de una barra de hierro de 0 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máima superficie interior posible. a) Qué longitud deben tener los postes y el larguero? b) Qué superficie máima interior tiene la portería? 64.- Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes, dependiendo del número de horas que lleva abierto, es Ch ( ) = h + 8h. El gasto por cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura y sigue la función gh ( ) = 00 5h a) En que hora se produce la mayor afluencia de clientes? b) Cuánto gasta el último cliente? c) Cuando hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora?

10 65.- Determinar los valores de a y b para que la siguiente función sea continua en todos sus puntos: a + b si < 0 f ( ) = a si 0 a + b si 66.- a) Dibujar el recinto plano limitado por las funciones: b) Hallar su área. f g ( ) = + 5, ( ) = Representa gráficamente una función que satisfaga las siguientes condiciones: a) f(0) = 0; f '(0) = 0. b) Asíntotas vertical la recta =. c) Creciente en (, ) (,0). d)lim f( ) = e)lim f( ) = 0; lim f( ) = 0 f ) Decreciente en (0,) (, ) 68.- Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 50 m de volumen, que tenga superficie mínima. e si < 69.- Sea f( ) = ( + a) si Para qué valores del parámetro a la función es continua?

11 70.- Observe el siguiente gráfico de la función f() y diga qué valor tienen (aproimadamente) a) f(0) b) si f() = 0 c) f'(0) d) f'( ) f ( ) = Se considera la función. Se pide: a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica f() en el punto de abcisa = b) Eiste alguna otra recta tangente a la gráfica f() que sea paralela a la que hemos hallado. Razona la respuesta y, en caso afirmativo, halla la ecuación. 7.- Dada la función f ( ) cos cos = : a) Halla su integral indefinida. π b) Cuál es la primitiva de f() que pasa por el punto,0? Consideramos la función f( ) = + a + donde a es un parámetro. a) Calcula el valor del parámetro a sabiendo que f() tiene un etremo relativo en el punto de abcisa =. b) Se trata de un mínimo o un máimo? Razona la respuesta La función de coste total de producción de unidades de un determinado producto es C ( ) a) Se define la función de coste medio por unidad como Q ( ) =, cuántas unidades 0 son necesarias producir para que sea mínimo el coste medio por unidad? b) Qué relación eiste entre? Q ( ) yc'( ) 0 0

12 75.- Una enfermedad se propaga de tal forma que, después de t semanas afecta a N(t) cientos de personas, donde 5 t ( t 6) para 0 t 6 Nt () = 5 ( t 0) para 6 t 0 4 < a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de N(t). Calcula el máimo de personas afectadas y la semana en que se presenta ese máimo. Calcular también la semana en que se presenta el punto de infleión y el número de personas afectadas. b) A partir de que semana la enfermedad afecta a 50 personas como máimo? 76.- Un barco B y dos ciudades costeras A y C forman un triángulo rectángulo en C. Las distancias del barco a las ciudades A y C son Km y 5 Km, respectivamente. Un hombre situado en A desea llegar hasta el barco B. Sabiendo que puede nadar a Km/h y caminar a 5 Km/h, a qué distancia de A debe abandonar la costa para nadar hasta B si quiere llegar lo antes posible? Demuestre que la función f dada por f( ) = es estrictamente positiva en + (, ) y halle el área de la región determinada por la gráfica de f, el eje de abcisas y las rectas = y = Escriba los distintos casos de indeterminaciones que pueden surgir al calcular límites de sucesiones y pon un ejemplo (sin resolverlo) de, por lo menos, cuatro de esos casos. Calcule indicando que tipo de indeterminación o indeterminaciones se presentan e intentar resolver este límite. ( ) lim n+ 7 n n+ 5 n 79.- Calcular las siguientes integrales: i) ii) iii) d d 6 + sen d 80.- La función (0,4). Halla: + a b + c pasa por el punto (-,0) y tiene un máimo en el punto a) La función. b) El mínimo. c) El punto de infleión.

13 8.- Calcula los siguientes límites: lim 0 ( + ) lim sen cos 8.- Demuestra que la función f ( ) = + e corta al eje OX en el intervalo (-,) y tiene un máimo relativo en ese mismo intervalo. 8.- Halla las derivadas de las siguientes funciones y simplifica el resultado: y = ln y = ln sen 84.- Calcula el área de la región encerrada entre las gráficas de la curva y la recta y = 4. y = Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I ( ) = +, mientras que sus gastos (también en euros) pueden ( ) = calcularse mediante la función G donde representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar: a) La función que define el beneficio anual en euros. b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máimo. Justificar que es máimo. c) El beneficio máimo La parte superior de una pared de metros de base tiene una forma parabólica determinada por la epresión , donde mide la longitud en metros desde la parte izquierda de la pared. Calcular la superficie de dicha pared utilizando una integral Encontrar razonadamente el punto de la curva y = en el que la tangente a la curva + tiene pendiente máima y calcular el valor de esta pendiente En un plano el trazado de una carretera discurre según la ecuación y =, siendo un 4 río el eje OX. En el terreno entre el río y la carretera hay un pinar. Si epresamos las distancias en kilómetros, cuánto vale el pinar si la hectárea se paga a 60 euros? 89.- Hallar todos los valores reales z tales que 0 z 6 d = ln 5 5

14 90.- Desde un punto N de la orilla del mar, un nadador debe alcanzar una boya que flota a kilómetros de la costa y dista 5 kilómetros del punto N. Si recorriendo la orilla (que se supone recta y plana), su velocidad media es de 5 kilómetros por hora y nadando, de kilómetros por hora, cuánto tiempo deberá caminar hasta lanzarse al mar, para alcanzar la boya en el menor tiempo posible? 9.- Sea la función Determinar: f( ) = +. Dominio de definición.. Asíntotas si eisten.. Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función, así como sus máimos y mínimos. 4. Área encerrada por: f(), la recta = 5 y la función g ( ) = 9.- La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 0. Hallar: Los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máimo. f a ( ) = Sea la función a) Calcula el valor de a para que f tenga un etremo relativo (máimo o mínimo) cuando =. b) Para ese valor de a, calcula todos los etremos relativos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los puntos de infleión de f. Dibuja la gráfica de la función. c) Es posible encontrar algún valor a tal que su dominio? Justifica tu respuesta. f( ) = + a + 5 sea creciente en todo 9.- Considera la función d) Calcula f ( d ) f ( ) = + a) Calcula los puntos en que la gráfica de f corta a los ejes. b) Calcula los etremos relativos (máimos y mínimos), así como los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Dibuja la gráfica de f En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función: f ( ) = siendo el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. Determinar: a) El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. b) El número máimo de personas afectadas. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad. Justificar las respuestas.

15 95.- Un profesor a comprobado que el grado de atención que le prestan sus alumnos (puntuado de 0 a 00) durante los 40 minutos de duración de su clase sigue la función: Ft () = αt( β t) 0 t Sabiendo que a los 0 minutos de comenzar la clase le prestan la máima atención, es decir, el grado de atención es 00, se pide: a) Determinar, justificando la respuesta, α y β. b) Representar la función obtenida Determinar el mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida metro Representar gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la abcisa es positiva, por la curva y = +, y por la recta y =. Calcular su área Si la gráfica de una función f() es: Representar aproimadamente la gráfica de la derivada f ().

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