ESPACIOS AFINES.ESPACIOS MÉTRICOS GEOMETRÍA MÉTRICA.

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1 ESPACIOS AFINES.ESPACIOS MÉTRICOS GEOMETRÍA MÉTRICA.. Consideramos ( V, +, R ) espacio vectorial sobre ( R, +, ). Prueba que ( R, V, + ) con + : V x R R es un espacio afín de (( x, x ),( P, P )) ( x + P, x + P ) dimensión.. Consideramos ( V n, +, R ) espacio vectorial sobre ( R, +, ). n Prueba que ( R, V n, + ) con n n + : V n x R R n n (( x, x,..., x n ),( P, P,..., P )) ( x + P, x + P,..., x n + P ) es un espacio afín de dimensión n.. Consideramos el espacio afín ( R, V, + ) y el sistema de referencias afín S = ( O, P, P, P ) con O = (,,5), P = (,0,), P = (0,,), P = (0,0,) R a) Calcula las coordenadas cartesianas del punto P = (,5,0) respecto a S. b) Calcula las coordenadas cartesianas del punto P respecto a = ( O, P, P, P ) con O = (0,0,0). S c) Calcula las coordenadas cartesianas del punto P respecto a = ( O, v, v, v ) con v = (,0,), v = (,,0), v = (0,,) base de V. S ISIDORO PONTE E.S.M.C. 5

2 4. Sea M el conjunto de matrices reales cuadradas de orden. Consideramos ( M, V 4, + ) con + : V 4 x M M a ( ( x ), x, x, x 4, a a ) a x + a x + a x + a + x 4 a a) Prueba que ( M, V 4, + ) es un espacio afín de dimensión b) Prueba que S = ( M 0, M, M, M, M 4 ) con M 0 =, M =, M =, M = y M 4 = forman un sistema de referencia afín. 5 c) Hallar las coordenadas de la matriz M = en ese sistema de 8 referencia. d) Hallar las componentes del vector v = (,5,,8) en ese sistema de referencia. n 5. Consideramos el espacio afín real n dimensional ( R, V n, + ). Sean n O = (0,0,..., 0), P = (,0,..., 0), P = (0,,..., 0),... y P n = (0,0,..., ) R. a) Prueba que S = ( O, P, P,..., P n ) es un sistema de referencia afín n para ( R, V n, + ). n b) Calcula las coordenadas cartesianas del punto P = (,,..., ) R respecto a S. 6. Consideramos el espacio afín ( R, V, + ) y los sistemas de referencias afín S = ( O, P, P ) y S = ( O, P, P ) con O = (7,6), P = (8,6), P = (7,7) R, O = (,), P = (,), P = (,4) R Calcula las fórmulas del cambio de sistema de S y S. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 6

3 7. Consideramos el espacio afín ( R, V, + ) y los sistemas de referencias afín S = ( O, P, P, P ) y = ( O, Q, Q, Q ) con S O = (,, ), P = (,, ), P = (,4, ), P = (,5, ) R y O = (,0,), Q = (,,0), Q = (0,,), Q = (0,0,) R a) Comprobar que S y S son sistemas de referencia afín para R, V, + ). ( b) Ecuaciones del cambio de sistema de S a S. 8. Consideramos el espacio afín ( R, V, + ) y los sistemas de referencias afín S = ( O, P, P, P ) y = ( O, Q, Q, Q ) con S O = (0,0,0), = (,0,0), = (0,,0), = (0,0,) R y P O = (,,), Q = (,,0), Q = (,0,), Q = (0,,) R P a) Ecuaciones del cambio de sistema de S a S. b) Dado el punto M = (,,) calcula su transformado en S. P 9. Consideramos el espacio afín ( R, V, + ) y los sistemas de referencias afín S = ( O, P, P, P ) y = ( O, Q, Q, Q ) con S O = (, 4,7), P = (, 4,7), P = (,,7), P = (, 4,8) R y O = (, 4,7), Q = (,,7), Q = (,,8), Q = (, 4,8) R a) Ecuaciones del cambio de sistema de S a S. b) Dado el punto P = (,7, 4) calcula su transformado en S. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 7

4 0. Consideramos el espacio afín ( R, V, + ) y los sistemas de referencias afín S = ( O, P, P, P ) y = ( O, Q, Q, Q ) siendo S (,0,) las coordenadas de O O respecto a S y (,0, ),(0,,),(,,0) las coordenadas de Q, O Q, O Q respecto a OP, OP, OP. a) Ecuaciones del cambio de sistema de S a S. b) Ecuaciones del cambio de sistema de S a S O. Consideramos el espacio afín ( R, V, + ) y el sistema de referencias afín S = ( O, P, P, P ) con O = (,,5), P = (,0,), P = (0,,), P = (0,0,) R a) Calcula las componentes del vector v = (,0,0) respecto a S. b) Dados los puntos B = (,, ), C = (5,, ) calcula las componentes del vector fijo BC respecto a S. 4. Consideramos el espacio afín ( R, V 4, + ) y el sistema de referencias afín canónico S = ( O, E, E, E, E 4 ) con O 4 = (0,0,0,0), E = (,0,0,0), E = (0,,0,0), E = (0,0,,0), E 4 = (0,0,0,) en R Calcula las ecuaciones del hiperplano π que pasa por D = (,,,) y tiene por subespacio director T al engendrado por los vectores = e + e, w = e e y w = e + e 4 ; con e = OE, e = OE, = OE w y e 4 = OE 4. e ISIDORO PONTE E.S.M.C. 8

5 . Consideramos el espacio afín ( R, V, + ) y el sistema de referencias afín canónico S = ( O, E, E, E ) con 4 O = (0,0,0), E = (,0,0), E = (0,,0), E = (0,0,) Sea r una recta que pasa por (,0, ) y tiene por subespacio director T al engendrado por el vector R w = e e + e. Sea r una recta dada por su ecuación continua a) Prueba que r r φ. x y + z = =. 5 b) Calcula la ecuación general del subespacio afín determinado por r y r. Qué tipo de subespacio es?. 4. Consideramos el espacio afín ( R, V, + ) y el sistema de referencias afín canónico S = ( O, E, E, E ) con O = (0,0,0), E = (,0,0), E = (0,,0), E = (0,0,) Sea la variedad lineal π que tiene por sistema de referencia los puntos P o = (,,), P = (,4,), P = (4,6,6). i) Traza la variedad lineal π que pase por Q = (,,4) y sea paralela a π de dimensión, dando el resultado en forma implícita. ii) Determina dos variedades π y π de dimensión que pasen por Q y son incidentes con π. NOTA: A partir de este ejercicio, salvo que se diga lo contrario, se va a trabajar con ( R, V, + ) como espacio afín y como sistema de referencia el canónico, es decir, S = ( O, E, E, E ) con O = (0,0,0) E = (,0,0), E = (0,,0), E = (0,0,) R y = OE, e = OE, e = OE R e ISIDORO PONTE E.S.M.C. 9

6 5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (,,) y es paralela a la recta determinada por los puntos (0,,) y (,,0). 6. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (,,) y por el punto de intersección de las rectas: x = + λ x + y + z + 7 = 0 s y r y = + λ. x + y z = 0 z = + 4 λ x y + z x + y z + 7. Dadas las rectas: r = = y s = =. Calcula m 4 m para que se corten en un punto. Calcula dicho punto. 8. Obtener la ecuación vectorial y la ecuación general del plano cuyas x = + λ + µ ecuaciones paramétricas son π y = 0 + λ µ. z = + + µ 9. Obtén el haz de planos que pasan por la recta determinada por los puntos P = (,0,) y Q = (,, ). 0. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A = (,,0), B = (,,) y C = (0,0,). ISIDORO PONTE E.S.M.C. 40

7 . Calcula los puntos de intersección del plano π que pasa por A = (,,), B = (0,,), C = (,,4) con los ejes coordenados.. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos x + y z = 0 A = (0,,), B = (,, ) y que es paralelo a la recta s. x 4y + z =. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A = (,0,) y por la x y + z recta r = =, resolviéndolo de dos formas distintas. 4. Estudia la posición relativa de las rectas siguientes según los valores x y + = 0 de los parámetros m y n r y 8x y z + = 0 mx z + 6 m = 0 s. x y + n = 0 5. Dada una recta r que pasa por el punto (,0,) y tiene como vector director ( v, v, v ). Qué condición han de verificar estas componentes para que la recta r sea paralela al plano π x + y z + = 0?. 6. Sea ( V, +, R ) el espacio vectorial real dimensional sobre ( R, +, ).Prueba que ( V, ), con : V x V R es un espacio (( x, x, x ),( y, y, y )) x y + x y + x y vectorial euclídeo. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 4

8 7. Sea ( V n, +, R ) el espacio vectorial real n dimensional sobre ( R, +, ).Prueba que ( V n, ),con : V n x V n (( x, x,, x n ),( y, y,, y )) vectorial. euclídeo. n R n i = es un espacio x i y El así definido se le llama PRODUCTO ESCALAR USUAL. i 8. Sea ( C, +, R ) el espacio vectorial de los números complejos sobre ( R, +, ). a) Prueba que la aplicación : C x C ( z, z ) z z = a a + b b = a + b i, es un producto escalar. z R con = a + b i z, b) Define una norma z de forma que ( C, ) sea un espacio normado. 9. Sea ( V, +, R ) el espacio vectorial real dimensional sobre ( R, +, ) a) Prueba que la aplicación : V x V R es (( x, x ),( y, y )) x y + ( x + x )( y + y ) producto escalar. b) Escribe en forma matricial, respecto a la base canónica, la expresión del producto escalar. c) Define la norma asociada al producto escalar. un ISIDORO PONTE E.S.M.C. 4

9 0. a) Sea ( V, +, R ) el espacio vectorial real dimensional sobre ( R, +, ) Prueba que la aplicación : V (( x, x ),( y, y producto escalar. )) x V ( ) x x R y y es un b) Sea ( V, +, R ) el espacio vectorial real dimensional sobre ( R, +, ) Prueba que la aplicación : V (( x, x, x ),( y, y, y )) es un producto escalar. x V ( ) x x R x y 0 y y. Sea ( F c ([a, b]), +, R ) el espacio vectorial de todas las funciones reales de v.r.y continuas en [a, b] sobre ( R, +, ). Prueba que ( F c ([a, b]), ), con : F c ([a, b]) x F c ([a, b]) ( f, g ) es un espacio vectorial euclídeo. f g = a b R f(x) g(x) dx. Sea ( P (t), +, R ) el espacio vectorial de todos los polinomios de grado sobre ( R, +, ). Se considera el producto escalar definido ISIDORO PONTE E.S.M.C. 4

10 por p q = p(t) q(t) dt p, q P (t) a) Calcula p q para p(t) = t + y q(t) = t + t + 5. b) Halla la matriz de GRAM para el producto escalar anterior respecto a la base (, t, t ) de P (t). c) Calcula p q utilizando la matriz de GRAM.. Sea ( V n, +, R ) el espacio vectorial real n dimensional sobre ( R, +, ). Consideremos el producto escalar usual sobre V n y la norma usual. Probar : a) x + y + x y = x + y x, y V n. b) x y = ( x + y x y ) x, y V n. c) x y = ( x + y x y ) x, y V n 4. Demostrar que en un espacio euclídeo ( E, ) la desigualdad triangular sí, x + y x + y x, y E se convierte en igualdad si,y solo x = λ y ó y = λ x con λ 0. NOTA: es la norma asociada a 5. Se considera ( V, ) un espacio euclídeo con el producto escalar: a) usual: x y = ( x, x, x ) ( y, y, y ) = x y + x y + x y, y V y x y = x x x 0 y x, y V 0 y b) definido por: ( ) x Determina en cada caso la norma (la asociada al producto escalar) de los vectores : (,,),(,,5),(,,) V. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 44

11 6. Consideramos ( V, +, R ) un espacio vectorial sobre ( R, +, ). Sea un producto escalar definido sobre V y la norma asociada. Sean a, b V no nulos / a = b. Son ortogonales los vectores a b y a + b?. Y λ a β b y λ a + β b con λ, β R?. En que casos?. 7. Consideramos ( V 4, ) el espacio vectorial euclídeo real 4 dimensional, con el producto escalar usual. Determinar un vector unitario y ortogonal a los vectores (0,,,0), (,,,0) y (,,, ). 8. Consideramos ( V 4, ) el espacio vectorial euclídeo real 4 dimensional, con el producto escalar usual. Sean u = (,,0, ), v 4 = (,,0, ) V a) Calcula u, v y co s (u, v). es la norma asociada al producto escalar usual. b) Calcula un vector de la forma (,0,,) + λ u + β v que sea ortogonal a u y v. 9. Consideramos ( V 4, ) el espacio vectorial euclídeo real 4 dimensional, con el producto escalar usual. Consideramos el subespacio vectorial S de V 4 formado por los vectores x x + 4 x = 0 ( x, x, x, x 4 ) de V 4 que verifican : x x + 4 x 4 = 0 Se pide: ISIDORO PONTE E.S.M.C. 45

12 a) Escribe un vector a ortogonal a S. b) Estudia si el vector b = (0,,,4) y S son ortogonales. c) Estudia si el subespacio L engendrado por b ( L = < b > ) y S son ortogonales. d) Es L el subespacio complementario ortogonal a S?.Si no es así, calcula S T el complemento ortogonal a S, dando una base. e) Los vectores a, b S T < a, b > = S?. T?. Compruébalo. Es cierto que 40. Consideramos ( V 5, ) el espacio vectorial euclídeo real 5 dimensional, con el producto escalar usual. Consideramos el subespacio vectorial L de V 5 con sistema de generadores, w con w w = (,0,,, 0) y = (0,,,,).Calcula una base del subespacio w complemento ortogonal de L. 4. Consideramos ( V, ) el espacio vectorial euclídeo real dimensional, con el producto escalar usual. Consideramos el subespacio vectorial L de V engendrado por los vectores, w con w w = (,,) y w = (,,0).Descompón el vector = (,,4) V suma de dos vectores uno de L y el otro ortogonal a L. u en ISIDORO PONTE E.S.M.C. 46

13 4. Consideramos ( V 4, ) el espacio vectorial euclídeo real 4 dimensional, con el producto escalar usual. Consideramos el subespacio vectorial L de V 4 engendrado por los vectores, w con w w = (,,0,0) y w = (,0,,). Descompón el vector u 4 = (,,,4) V complemento ortogonal de L. en suma de dos vectores uno de L y el otro del 4. Consideramos ( V n, ) el espacio vectorial euclídeo real n dimensional, con el producto escalar usual. Sea L un subespacio de V n / dim L = r. a) Cuántos subespacios complemento ortogonal de L existirán?. Cual es su dimensión?. b) Cuántos subespacios ortogonales a L existirán con dimensión n r?. Cuántos de dimensión ortogonales a L?. Cuántos subespacios ortogonales,sin especificar la dimensión, a L existirán?. c) Es posible escribir n subespacios ortogonales entre sí?. 44. Consideramos ( V 4, ) el espacio vectorial euclídeo real 4 dimensional, con el producto escalar usual. Sean a = (4,0,,) b 4 = (,,,) V y L = < a, b >. a) Son a y b ortogonales?. Calcula L T. T T b) Quién es < a >?. Y < b >?. y ISIDORO PONTE E.S.M.C. 47

14 45. Consideramos ( V, ) el espacio vectorial euclídeo real dimensional, con el producto escalar usual. Sean a = (,5, ) b = (,, ) V. a) Calcula la proyección de a sobre b. b) Calcula la proyección de b sobre a. c) Calcula el ángulo que forman dichas proyecciones. d) Calcula el ángulo que forman a y b. y 46. Consideramos ( V 4, ) el espacio vectorial euclídeo real 4 dimensional, con el producto escalar usual. Ortonormalizar el sistema de vectores { v = (,,0, ), v = (,0,0,4), v = (,0,, ) } 47. Consideramos ( V, ) el espacio vectorial euclídeo real dimensional, con el producto escalar usual. Sea { e, e, e } la base canónica de V. Ortonormalizar el sistema de vectores { 5 e, e + e, e + e }. 48. Consideramos ( V, ) el espacio vectorial euclídeo real dimensional, con el producto escalar usual. a) Ortonormalizar el sistema de vectores { v = (,0,), v = (,,), v = (4,,) }. Qué sucede?. Por qué. b) Se podría ortonormalizar un sistema de 4 vectores en ( V, )?. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 48

15 49. Sea ( V, +, _ ) el espacio vectorial real dimensional sobre ( R, +, ) a) Prueba que la aplicación : V (( x, x, x ),( y, y, y )) x V R ( ) x x x 0 0 y y y es un producto escalar. b) Calcula el subespacio vectorial formado por los vectores con iguales componentes covariantes y contravariantes. 50. Consideramos ( V, ) el espacio vectorial euclídeo real dimensional, con el producto escalar usual. Sea B { u = (,), u = (,) } una base de V. * Calcula B { r, r } una base recíproca. 5. Sea ( V, +, R ) el espacio vectorial real dimensional sobre (R, +, ) a) Prueba que la aplicación d : V x (( x, x ),( y, y )) V es una distancia o una métrica. + R { 0 } ( x y ) + ( x y ) ISIDORO PONTE E.S.M.C. 49

16 5. Sea ( V, +, R ) el espacio vectorial real dimensional sobre (R, +, ) a) Prueba que con la aplicación d : V x V (( x, x, x ),( y, y, y )) ( V, d ) es un espacio métrico. + R { 0 } x y + x y + x y 5. Calcula los valores de los parámetros a y b para que los planos : π a x y + z a = 0 π b x y z a = 0 pasen por una misma recta. Calcula la π x y + z b = 0 ecuación continua de esa recta. Halla otro plano π que pase por esa recta y por el punto A = (,0,). 54. Halla la ecuación de la recta que pasa por P = (,,), es perpendicular a la bisectriz del plano XZ y es paralela al plano π x + 4y z = 0. x y 55. Calcula el ángulo que forma la recta r = = determinado por los puntos (,,), (,,0) y (0,0,). z y el plano 56. Calcula la ecuación de los planos que contienen al eje X y forman un ángulo de π / con el eje Z. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 50

17 57. Calcula la ecuación de una recta que pasando por el punto (,,) formen con el eje X, 45 y con el eje Z, 45. Qué ángulo forma con el eje Y?. 58. Dado el plano π x y z 5 = 0 y un punto P π, P = (,, ), calcula las ecuaciones paramétricas de las rectas contenidas en π, que pasan por P y forman con el eje Z un ángulo α / cos α =. 59. Dado el plano π x y z = 0 y un punto P π, P = (,, ), calcula las ecuaciones paramétricas de las rectas contenidas en π, que pasan por P y forman con el eje Z un ángulo de 60. Son válidas las dos obtenidas?. 60. Calcula la distancia del punto A = (,,) a la recta x y + 4 z r = =. 6. Calcula la distancia del origen al plano π x + 4 y + 7 z =.Calcula los ángulos que esta perpendicular forma con los ejes. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 5

18 6. Halla la ecuación de un plano que diste unidades del punto x + y 5 = 0 A = (,,) y contenga a la recta r. x + y + z = 0 6. Calcula la distancia de la recta x + y z 4 = 0 r al eje OY. x + y = Halla la ecuación de la recta paralela, pasando por el punto x + y + z = 0 A = (,,),a la recta r.calcula la distancia x + y + z = 0 de A a r. 65. Determina la ecuación del plano que pasa por la recta z = 0 r y dista unidad del punto A = (,,). x y = Consideramos el cubo del que conocemos cuatro vértices (0,0,0), ( 6,0,0), (0, 6,0) y (0,0, 6 ) ;se considera r un diagonal del cubo y s una diagonal de una de sus caras. Qué posibles distancias pueden existir entre esas diagonales?.calcúlalas. 67. Halla la ecuación del tercer plano proyectante de la recta x z + 5 = 0 r y del que la proyecta desde el origen de y + z = 0 coordenadas. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 5

19 68. Calcula la proyección ortogonal de la recta sobre el plano π x z = 0 r x + y z = 0 x y = Dados los puntos A = (4,5, ) y B = (0,0, 4).Calcula la proyección ortogonal de dichos puntos sobre la recta r x y + 4 z = x + y + = 0. Qué consecuencia obtenemos? Calcula la proyección de la recta planos: a) π x + y + z = 6 ( π r).consecuencia. b) π x 4y = 0 ( π r).consecuencia. x y z r = = sobre los x + z = 0 7. Trazar por la recta r un plano perpendicular x + 4 y z = 0 al plano π x + y + z = Dadas las rectas s x y x + y z z r x x + m z = 0 = 0. Calcula las rectas que pasando por = 0 A = (,,) cortan a r y son perpendiculares a s, según los distintos valores de m. y = 0 y ISIDORO PONTE E.S.M.C. 5

20 7. Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos A = (,,), B = (,,) y es perpendicular al plano π x + y + z = Calcula la ecuación del plano que pasando por el punto A = (,, ) es perpendicular al plano π x z = 0 y paralelo a la recta x y z r = = Traza un plano que conteniendo a la recta x + y 5 z 5 = 0 r x + y + 7 z + = 0 sea perpendicular al plano π x + y z = Dado el punto A = (6,,).Halla: a) Ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al plano π x 4 y + 6 z = 6. b) Ecuación de la recta perpendicular común a las rectas x 8 y z 6 x y z r = = y s = = Dada la recta r x y z + = = Calcula: a) La ecuación de la recta r que sea ortogonal a r, que contenga al punto A = (0,,4) y se corte con ella. b) La ecuación de una recta r que sea ortogonal a r, que contenga al punto A = (0,,4) y se cruce con ella. c) d (r, r ). ISIDORO PONTE E.S.M.C. 54

21 78. a) Calcula el simétrico del punto A = (,,) B = (4,5, 5). b) Calcula el simétrico del punto B = (4,5, 5) A = (,,) respecto al punto respecto al punto 79. Calcula el simétrico del punto A = (,,) π x + y + z =. respecto al plano 80. Determina la recta simétrica de la de ecuación r x = y + = z respecto del plano de ecuación π a x + b y + c z = d con a =, b =, c = 0 y d =. 8. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto simétrico del x y z A = (,,) respecto a la recta r = = y que pasa por la x + y + z = 0 recta s. x y + z = 0 8. Un rayo de luz parte de un punto A = (,0,).En que punto del plano π x + y + z =, se reflejará, para que el rayo reflejado pase por el punto B = (,,). ISIDORO PONTE E.S.M.C. 55

22 8. Sabiendo que dos lados de un cuadrado están en las rectas: x y z x y + z = 0 r = = y s. Calcula su área. x y z + 4 = Un cubo tiene uno de sus vértices en el punto A = (,,) y una de sus caras está situada en el plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las siguientes rectas x = + λ x = β r y = + λ y r y = + β. Halla el volumen del cubo. z = z = 85. Calcula el área del triángulo de vértices A = (,0, ), B = (,, ) y C = (0,,). 86. Calcula el área de la figura plana limitada por la intersección del plano π x + 4 y + 6 z = con los planos coordenados. 87. Determina todos los valores posibles de m con la condición de que A = (,,), B = (,, m) y C = (,,0) sean los vértices de un triángulo rectángulo. Halla sus áreas. 88. Halla el volumen de un tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de intersección del plano π x + y + z = 6 con los ejes coordenados. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 56

23 89. Halla las ecuaciones de los planos que pasando por los puntos A = (,0,0), B = (0,,0) corte al eje OZ en un punto C, tal que el área del triángulo ABC sea Dadas las rectas r x = y = z y x = 0 s. y + z = 0 Determina la recta t que pasando por el punto A = (,0, ) permite considerar a r, s, t como soporte de las aristas de un paralelepípedo recto. Calcula su volumen. x = y 9. Un triángulo tiene dos de sus vértices A y B sobre la recta r z = 0 de forma que d (A, B ) = y el otro C sobre la recta x z s = y =. Determina el lugar geométrico de los baricentros de los triángulos cuando los vértices A, B y C varían. 9. Calcula la expresión analítica que nos permita hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan (perpendicular común es aquella que corta ortogonalmente a cada una de ellas). 9. Dada la recta x y + r = = 4 z.halla la ecuación de la recta ISIDORO PONTE E.S.M.C. 57

24 paralela a ella que se apoye en las rectas x + y z + t = =. 5 x y s = = 4 z y 94. Determina la ecuación de una recta paralela a ella que pasa por el punto A = (,, ) y se apoye en las rectas r x = y = z x y + = 0 s. y z + = 0 y 95. Obtén la ecuación de la recta r que se obtiene al proyectar ortogonalmente la recta s sobre un plano π que : es paralelo a las rectas s y s. dista del origen. corta al eje OY en un punto de ordenada negativa. x y z x y z siendo s = = y s = = Calcula la ecuación de la recta que se apoya en las rectas x + 5 y 6 = 0 r, x + 4 y z + = 0 s x + y + z = 0 x + y + z = 0 y es perpendicular a ambas. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 58

25 97. a) Halla una recta r que corta y es perpendicular a las rectas: s (x, y, z) = (,,) + (,,) λ y x 5 y + t = = z 6 b) Calcula el plano π que contenga a r y a s. c) Calcula el plano π que contenga a s y a t. 98. Dadas las rectas: r eje Z y x + y = 0 s. z = 0 a) Estudia, gráficamente, si se cruzan o se cortan, comprobándolo luego. b) Dado el punto = (,, ). Calcula la ecuación de la recta t que A pasa por A y se apoya en las anteriores. c) Halla la ecuación de la recta que apoyándose en r y s es perpendicular al plano π x + y + z 4 = Dada la recta r sabiendo: que pasa por el punto A = (,0,), su proyección r sobre el plano π x + y + z = 0 contiene al punto B = (0,, ) la distancia de dicha recta al eje OX es la unidad. Obtén : a) Ecuación del plano π formado por las rectas r y r. b) Ecuación del plano π que pasando por el eje OX es paralelo a la recta r. c) Ecuación de la recta dada como intersección de planos. d) Ecuación de la perpendicular común a la recta r y al eje OX. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 59

26 x 9 y + z 4 x z = Dadas las rectas r = = s, 4 y + z = 0 x + z = 0 t y los planos π x + y z = y 4 z = 0 π x 6 y + 9 z = 5.Se pide a) Determina el punto de corte de las rectas r y s. b) Ecuación del plano π formado por r y s. c) Prueba que r y t son paralelas y calcula la distancia entre ambas rectas. d) Demuestra que s y t se cruzan. Obtén la distancia entre ellas y la ecuación de la perpendicular común u, a dichas rectas. e) Prueba que los planos π y π son paralelos y calcula la distancia entre ellos. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 60

27 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL.. Representa gráficamente los puntos del plano que verifican cada una de las inecuaciones siguientes: y+x y x+8 y x 5y+ x+y.. Determinar el conjunto de puntos que satisfacen las inecuaciones siguientes x+5y 0 0, x+y 6 0, x+y 0, x+y 0.. Sea la función lineal f definida por f(x,y)= x+y. Determinar el punto (x,y) en donde la función f toma su valor mínimo con las siguientes restricciones x 0, y 0, 5x y, x+y, x y 4. Sea la función lineal f definida por f(x,y)=0x+0y. Determinar el punto (x,y) en donde la función f toma su valor máximo con las siguientes restricciones x, y x, 4x+y Dados los puntos (,0), (4,5), (,7) y (0, 4) encontrar un sistema de ecuaciones tal que los puntos que la verifican vengan determinados por el polígono que tiene de vértices los cuatro puntos dados. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 6

28 6. Un agricultor posee una parcela de 480 m para dedicarla al cultivo de naranjos y perales. Se pregunta de qué forma repartirá la superficie de la parcela entre las dos variedades para conseguir el máximo de beneficio sabiendo que: a) Cada naranjo precisa de un mínimo de 6 m y cada peral 4 m. b) Dispone de un total de 70 horas de trabajo/año (0 jornales), precisando para cada naranjo de horas/año y cada peral 9 horas/año. c) Los beneficios unitarios son de 50 y 0 euros por cada naranjo y peral. 7. Una fábrica de automóviles y camiones tiene dos talleres. En el taller A, para hacer un camión deben trabajar 7 días operario; en cambio, para fabricar un automóvil se precisa días operario. En el taller B invierten días operario tanto en la terminación de un automóvil como en la de un camión. Debido a las limitaciones de hombres y maquinaria, el taller A dispone de 00 días operario, mientras que el taller B dispone de 70 días operario. Si el fabricante obtiene una ganancia de 6000 euros en camión y 000 euros en cada automóvil Cuántas unidades de cada uno deberá producir para maximizar su ganancia? Cuánto será está ganancia? ISIDORO PONTE E.S.M.C. 6

29 8. En la elaboración de un producto A se necesita una sustancia B. La cantidad de A obtenida es menor o igual que el doble de B utilizada, y la diferencia entre las cantidades del producto B y las del A no supera los g., mientras que la suma no debe sobrepasar los 5 g. Además se utiliza por lo menos g. de B y g. de A. La sustancia A se vende a 0000 euros y la B cuesta a 4000 euros el g. Calcula la cantidad de sustancia B necesaria para que el beneficio sea máximo. 9. Un abono para jardines ha de tener como minimo 5 uds.de un componente químico líquido y 5 uds. De otro componente sólido. En el mercado se encuentran dos clases de abono: el del tipo A, que contiene ud. de componente líquido y 5 uds. del sólido, y el de tipo B, que contiene 5 uds. de componente líquido y ud. de sólido. El precio del de tipo A es de 6 euros y el de tipo B es de 8 euros. Que cantidades han de comprarse de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 0. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 9000 euros. Y el modelo B en 000 euros. La oferta está limitada por las existencias, que son de 0 coches del modelo A y 0 del modelo B, queriendo vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 6 millones. a) Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el ISIDORO PONTE E.S.M.C. 6

30 problema y representa su conjunto de soluciones. b) Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? Cuál es su importe?.. Un fabricante de coches va a lanzar al mercado dos nuevos modelos (uno básico y otro de lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de 6000 euros. y el del modelo de lujo el del modelo de lujo 9000 euros disponiendo para esta operación de lanzamiento de un presupuesto de euros. Para evitar riesgos, de momento se cree conveniente lanzar al menos tantos coches del modelo básico como del modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar más de 45 coches del básico. a) Cuántos coches puede fabricar de cada modelo? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Cuántos le interesa si su objetivo es maximizar el número total fabricado? Agota el presupuesto disponible?. Un agricultor estima que el cuidado de cada m plantado de lechugas requiere semanalmente 45 minutos, mientras que el del repollo exige 50. Dispone de una tierra de 40 m de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de ambas verduras, queriendo plantar al menos m más de repollo que de lechuga. El m de lechuga le reporta un beneficio de euros. mientras que el de repollo,90 euros, planificando obtener en conjunto al menos 60 euros de beneficio. a) Qué extensión de terreno puede plantar con cada verdura?. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 64

31 Plantea el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Cuánto le interesa plantar de cada una si su objetivo es que el tiempo semanal dedicado a su cuidado se mínimo?... Cierta persona dispone de euros como máximo para repartir entre dos tipos de inversión ( A y B). En la opción A desea invertir entre 000 y 4000 euros. Además quiere destinar a esa opción tanta cantidad de dinero o más que a la B. a) Qué cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la inversión A y del % en la B Qué cantidad debe invertir en cada una de ellas para optimizar el rendimiento global?; A cuánto ascenderá?. 4. Una agencia de viajes realiza a 0 clientes las siguientes ofertas: un viaje a la ciudad A por 00 euros u otro a la ciudad B por 450 euros ( cada cliente podrá elegir, si le interesa, sólo una de las dos ofertas). Por razones de programación, la agencia necesita reunir al menos 8 y no más de clientes interesados en el viaje B. a) Cuántos viajes podrá programar la agencia a cada ciudad? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 65

32 b) Cuántos clientes deberán estar interesados en ir a cada sitio para que la agencia maximice sus ingresos?; a cuántos ascenderían éstos? 5. Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco grabado por dos de los grupos mas afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es de 0,5 y 0,8 euros., respectivamente, siendo editadas 500 copias del disco más caro. Para cubrir los gastos de la campaña debe vender en total 500 discos o más y por razones de imagen le conviene vender al menos tantas copias del disco más caro como del más barato. a) Cuántas copias de cada disco puede vender? Plantea el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Cuántas copias deberá de vender de cada uno para maximizar sus ingresos?; Cuál será su importe?. 6. En una granja dedicada a la cría de cerdos, la dieta alimenticia de los animales consiste en dos tipos de pienso, cuyo precio ( euros/kg) es 0,6 para el pienso A y 0,9 para el pienso B. Un animal debe consumir diariamente al menos kg de pienso. Por otra parte, debido a su valor energético, es aconsejable que coma al menos medio kg de la variedad B. Además el coste de la dieta no puede superar las,8 euros por día. a) Qué cantidades de cada tipo de pienso pueden ser utilizadas para componer la dieta? Plantear el problema y representar gráficamente ISIDORO PONTE E.S.M.C. 66

33 su conjunto de soluciones b) Si se desea que la dieta resulte lo más barata posible, Cuáles serán las cantidades adecuadas?; Qué coste tiene esa dieta?. 7,. Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 7, euros. La tarta de Lima necesita para su elaboración kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio de venta de 9 euros. Debido a una mala previsión se encuentran con la imposibilidad de realizar pedidos de huevos y azúcar, y elaborados ya todos los demás productos que ofertan, les quedan en el almacén 0 kg de azúcar y 0 huevos para la elaboración de las citadas tartas. a) Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones b) Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso de ventas? a cuando asciende dicho ingreso? 8. Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 4,56 euros y el de cada novedad es, euros Se desea un coste total que no supere las 567 euros. Por otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean al menos la mitad que las novedades, y que las novedades mas la mitad de los estrenos ISIDORO PONTE E.S.M.C. 67

34 no sea inferior a las 00 unidades. a) De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones b) Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo de cuántas unidades de cada tipo ha de constar el pedido?, cuál es entonces el coste del pedido? 9. Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando dos posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado en 6000 euros por anuncio, y cuñas radiofónicas, con un coste estimado en 600 euros por cuña. No obstante, no pueden gastar más de euros para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 00 cuñas. Un estudio de mercado cifra en 0000 el número de copias que se venderán por anuncio de televisión, y en 000 copias por cuña radiofónica emitida. a) De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Qué combinación de ambos se debería de realizar para vender el mayor número de copias posible?; se llegan a gastar los euros?. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 68

35 0. Por motivos de ampliación de una plantilla, una empresa de servicios de traducción quiere contratar, a lo sumo, 50 nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cada traductor de una lengua es de 00 euros y de 800 euros a los que son más de una lengua. Como, poco, y por motivos de demanda, dicha empresa tiene que contratar a la fuerza a un traductor de más de una lengua. La política de selección del personal de la compañía obliga también a contratar al menos tantos traductores de una lengua como de mas de una. Sabiendo que el objetivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de 7000 euros, y que los beneficios que aportan los traductores de una lengua son de 400 euros/traductor, y de 4800 euros/traductor los de más de una lengua. a) Cuántos traductores son necesarios de cada tipo puede contratar?. Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Cuántos contratará para minimizar el gasto en salarios? Qué beneficios totales tendrá la empresa en este caso?. Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, clásico (C) y funcional (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requieres dos unidades de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar mas de 0 unidades de tiempo de construcción y 5 de pintura. a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 69

36 b) Qué combinaciones de muebles puede fabricar?. c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación Bº= C + F, Cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio?. Cuál es el beneficio máximo?.. Una copistería de reciente apertura ofrece al público dos tipos de fotocopias en blanco y negro y color. Cada fotocopia le supone un cierto coste: céntimo para las de blanco y negro y céntimos por copia para las de color. Asimismo, cada copia en blanco y negro produce un beneficio de cts. Y cada una en color un beneficio de 0 cts. El número de copias en blanco y negro por día es como mínimo igual al número de copias en color, y la copistería tiene que servir a una empresa diariamente al menos 00 en color. Además por razones técnicas no puede incurrir en unos costes mayores de 60 euros por día. a) Cuántas copias de cada clase se pueden hacer al día?. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Cuántas unidades de cada tipo han de hacer para maximizar los beneficios diarios?. Cuál es el máximo beneficio diario?.. Una fabrica de confección especializada en faldas y pantalones recibe una partida de tela de 5000 metros. Para la confección de los pantalones se precisan dos metros de tela y uno, para las faldas. Por razones productivas, la fábrica ha de confeccionar al menos el doble ISIDORO PONTE E.S.M.C. 70

37 de pantalones que de faldas. a)plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Cuántas faldas y pantalones puede ofertar?. c) Si la fábrica vende cada pantalón a un precio de 50 euros y cada falda a 0 euros. Cuántas faldas y pantalones debe vender para maximizar sus ingresos?. Cuál es el ingreso máximo que puede obtener?. 4. Una empresa fabricante de aviones comerciales producirá este años dos tipos de modelos. El modelo D cuya venta proporcionaría unos ingresos de millón de euros por unidad, y el C 5 que le proporcionaría, millones por unidad. Dicha compañía puede hacer frente como mucho a una producción total de 00 unidades, pero sabe que del modelo D habrá una demanda de al menos 0 unidades y debe ser cubierta, y que no puede producir mas unidades del C 5 que del D. a) Qué cantidad de cada modelo se puede fabricar?. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Qué combinación de unidades de cada modelo debe fabricar para obtener los mayores ingresos posibles caso de vender toda la producción?. A cuanto ascenderían los ingresos?. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 7

38 ESTADÍSTICA Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES.. Las puntuaciones obtenidas en un test de razonamiento abstracto por 0 alumnos son las siguientes: 6,,, 0,,, 7, 5,,, 7, 8, 0, 7,, 6,,,, 8 a) Construir la tabla de frecuencias completa. b) Representar gráficamente la función de distribución.. Los jugadores de baloncesto de un equipo se clasifican por altura según la siguiente tabla Altura Numero de jugadores [,70,80) [,80,90) 4 [,90,00) 5 [,00,0) a) Formar la tabla de frecuencias completa. b) Representar gráficamente la función de distribución.. Según una encuesta realizada en el gremio de libreros, durante el año 005 el precio de los libros se distribuyó como indica la tabla siguiente: Precio (euros) Hasta De,0 a 5 De 5,0 a 7 De 7,0 a 0 Más de 0 Sin especificar precio Numero de libros ISIDORO PONTE E.S.M.C. 7

39 Formar la tabla estadística y representar gráficamente la distribución mediante el diagrama más adecuado. 4. Las puntuaciones obtenidas en un test de razonamiento abstracto por 0 alumnos son las siguientes: 6,,, 0,,, 7, 5,,, 7, 8, 0, 7,, 6,,,, 8 Halla la media, los cuarteles, el rango y la varianza. 5. Durante el mes de julio, en una determinada ciudad de la costa levantina se han registrado las siguientes temperaturas máximas:,, 8, 9, 9,,,, 0,,, 7, 8, 9, 0,,,, 0, 0, 9, 9, 0, 0,, 0,, 4,, a) Halla la moda, la media y los percentiles de orden 0 y 70. b) el recorrido y la varianza. 6. Se ha aplicado un test de capacidad espacial compuesto por 90 items, a 00 alumnos de 6 o Primaria, habiéndose obtenido los siguientes resultados: Número de ítems correcto Numero de alumnos [0 5) 0 [5 0) 5 [0 45) 5 [45 60) 0 [60 75) 0 [75 90) 0 a) halla la media, la moda y la mediana. Comprobar la relación empírica entre estos parámetros. b) Rango y varianza. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 7

40 7. un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo que la media y la desviación típica de los resultados de primer test son 6 y,5, respectivamente. La media y la desviación típica de los resultados de segundo test son 4 y 0,5, respectivamente. Un alumno obtuvo un 6 en el primer test y un 5 en el segundo. Comparativamente con el grupo, en cuál obtuvo mejor puntuación?. 8. Se ha aplicado un test de agresividad a 40 alumnos de o ESO, obteniéndose los siguientes resultados: Puntuaciones Numero de alumnos [5 0) [0 5) 8 [5 0) [0 5) 7 [5 40) 6 [40 45) [45 50) a) Halla la agresividad media por persona. b) A partir de que puntuación se encontrará el 5% con mayor agresividad de la clase? c) Calcular la desviación típica. 9. Los gastos de publicidad de una empresa, en miles de euros, y sus correspondientes ventas en miles de euros Publicidad Ventas ISIDORO PONTE E.S.M.C. 74

41 Calcular: a)las medias de X e Y. b)las varianzas de X e Y. c)la covarianza de (X,Y) La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y la tasa de inflación en los primeros meses del año pasado de un estado, viene reflejada en la siguiente tabla Meses IPC Tasa de inflación Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre 0,7,,7,9,9,9,9, , 6, 5,8 4,9 4,9 4,5 4,4 Calcular: a) la desviación media del IPC y de la tasa de inflación. b)las desviaciones típicas. c) La covarianza. d) El diagrama de dispersión. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 75

42 . La distribución de recursos hidráulicos naturales de la España peninsular queda reflejada en la siguiente tabla: Cuencas hidrográficas Totales (.000 hm /año) Por habitante y año (00 m ) Norte de España Duero Tajo Guadiana Guadalquivir Sur de España Segura Júcar Ebro Pirineo oriental 4,87,7 9,98 4,9 8,,09,,97 8,,75 6,57 5,5,88,07,87,6 0,84 0,99 6,7 0,5 Calcular: a) las medias y varianzas totales y por habitante. b)la covarianza de ambas variables.. La extensión en millones de km, y la población hace algunos años, en millones de habitantes de los diez países más extensos de la Tierra viene dada en la siguiente tabla: Paises Extensión Población Antigua URSS Canadá China Estados Unidos Brasil Australia India Argentina Sudán Argelia,40 9,97 9,56 9,6 8,5 7,68,8,76,50,8 7, 5,0 0,6,74 9,66 5,7 7,4 8,78 0,80 0,56 Calcular: a) la medias y varianza de la extensión y la población. b)la covarianza de ambas variables. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 76

43 . Los gastos de publicidad de una empresa, en miles de euros, y sus correspondientes ventas en miles de euros Publicidad Ventas Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio 9, calcular: a) el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. b) decir que tipo de dependencia existe entre las variables X e Y. 4. La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y la tasa de inflación en los primeros meses del año pasado de un estado, viene reflejada en la siguiente tabla Meses IPC Tasa de inflación Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre 0,7,,7,9,9,9,9, , 6, 5,8 4,9 4,9 4,5 4,4 Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio 0, calcular: a) el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. b) decir que tipo de dependencia existe entre las variables X e Y. c) Qué tasa de inflación es razonable esperar en un mes que el IPC es 4,5?. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 77

44 5. La distribución de recursos hidráulicos naturales de la España peninsular queda reflejada en la siguiente tabla: Cuencas hidrográficas Totales (.000 hm /año) Por habitante y año (00 m ) Norte de España Duero Tajo Guadiana Guadalquivir Sur de España Segura Júcar Ebro Pirineo oriental 4,87,7 9,98 4,9 8,,09,,97 8,,75 6,57 5,5,88,07,87,6 0,84 0,99 6,7 0,5 Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio, calcular: a) el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. b) decir que tipo de dependencia existe entre las variables X e Y. 6. La extensión en millones de km, y la población hace algunos años, en millones de habitantes de los diez países más extensos de la Tierra viene dada en la siguiente tabla: Paises Extensión Población Antigua URSS Canadá China Estados Unidos Brasil Australia India Argentina Sudán Argelia,40 9,97 9,56 9,6 8,5 7,68,8,76,50,8 7, 5,0 0,6,74 9,66 5,7 7,4 8,78 0,80 0,56 Teniendo en cuenta los resultados del ejercicio, calcular: a) el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo. b) decir que tipo de dependencia existe entre las variables X e Y. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 78

45 7. Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado cuyas caras están numeradas del al 6 y anotar el resultado de la cara superior. Se pide: a) espacio muestral. b) suceso obtener número par. c) suceso obtener número impar. d) suceso obtener múltiplo de. Cómo son los sucesos obtenidos en el apartado b) y d)?. 8. Se considera el experimento consistente en lanzar dos monedas al aire y anotar el resultado de las caras superiores. Se pide: a) Espacio muestral. b) espacio de sucesos. c) suceso obtener al menos una cara. 9. En el experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E = {,,, 4, 5, 6 } se consideran los siguientes sucesos: A = {, 5, 6 }, B = {,, 4, 5 }, C = { 4, 5, 6 }, D = { }. Calcula: a) los sucesos contrarios de cada uno de ellos. b) A B, C A B C, A B, B A B C A B C A, ( ) A, ( ), ( ) 0. Un jugador italiano expresó a Galileo su sorpresa al observar que al jugar con tres dado, la suma 0 aparecía con más frecuencia que la suma 9. Según el jugador, ambas sumas tenían los mismos casos favorables. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 79

46 Casos favorables al 9: 6, 5,44,5, 4, Casos favorables al 0: 6, 45,6,5, 44,4 Galileo comprobó matemáticamente que ambos sucesos no tenían los mismos casos favorables. Explica por qué y calcula los casos favorables a cada una de estas sumas.. Puede ser la probabilidad negativa?. Razona la respuesta.. Puede ser la probabilidad mayor que?. Razona la respuesta. 4. Indica la diferencia entre sucesos independientes y sucesos incompatibles. 5. Un dado está trucado, de modo que la probabilidad de obtener cara es directamente proporcional a los números de estas. Calcula: a) la probabilidad de cada una de las caras. a) la probabilidad de sacar un número par. 6. Halla la probabilidad de un suceso, sabiendo que la suma de su cuadrado y la del cuadrado del la probabilidad del suceso contrario vale 5/9. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 80

47 7. A un congreso de científicos asisten 00 congresistas; de ellos, 80 hablan francés y 40 inglés. Cuál es la probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no puedan entenderse sin intérpretes?. 8. Se ha comprobado que en una ciudad están enfermos con diarrea el 60% de los niños, con sarampión el 50% y el 0% con ambas enfermedades. a) calcula la probabilidad de que elegido un niño al azar, esté enfermo con diarrea o sarampión o ambas enfermedades. b) en un colegio con 450 niños, cuántos cabe esperar que estén enfermos con diarrea o sarampión?. 9. Los números,,,...., n se alinean al azar. Calcular la probabilidad de que los números y aparezcan seguidos y en ese orden. 0. Se lanzan tres dados al aire. Calcular la probabilidad de que se obtenga; a) un 4 en cada dado. b) suma total de puntos igual a 8.. Un producto está formado por tres partes A, B y C. El proceso de fabricación es tal que la probabilidad de un defecto en A es 0,0, de un defecto en B es 0,04 y de un defecto en C es 0,08. Cuál es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso? ISIDORO PONTE E.S.M.C. 8

48 . Halla la probabilidad de obtener al menos un 6 doble en n tiradas de dos dados.. Qué es más probable, obtener al menos un en un lanzamiento de cuatro dados al aire un obtener dos en veinticuatro tiradas con dos dados?. 4. Halla la probabilidad de ganar uno o más juegos en una serie de m juegos independientes si la probabilidad de ganar uno de ellos es p. Hallar el valor de p para que esta probabilidad sea de. m 5. La probabilidad de que una persona sea rubia es 0,4 y la probabilidad de que tenga los ojos negros es 0,. Calcula las siguientes probabilidades: a) que sea rubia y tenga los ojos negros. b) que sea rubia o tenga los ojos negros. c) que tres personas sean rubias. d) que dos personas sean rubias o tengan los ojos negros. 6. En un centro escolar, los alumnos de do BAC pueden optar por cursar, como lengua extranjera, entre inglés o francés. En un determinado curso, el 90% estudia inglés y el resto francés. El 0% ISIDORO PONTE E.S.M.C. 8

49 de los que estudian inglés son varones, y de los que estudian francés son chicos el 40%. Elegido un alumno al azar Cuál es la probabilidad de que sea chica?. 7. Un alumno de ampliación de matemáticas ha preparado 0 temas de los 4 que consta el programa. Se eligen al azar temas. Cuál es la probabilidad de que conteste bien a, en los siguientes casos: a) exactamente. b) dos temas al menos?. 8. Un grupo de alumnos de esta asignatura, son 4, tiene la costumbre de celebrar su cumpleaños invitándose entre si. Como solo se puede acudir a una fiesta, Cuál es la probabilidad de no poder asistir a alguna fiesta debido a la coincidencia de fechas de nacimiento? 9. Un autobús recorre diariamente el trayecto de ida y vuelta entre dos ciudades y se sabe por las estadísticas que las probabilidades de tener un accidente en día con o sin lluvia son de 0,08 y 0,004 respectivamente. En una semana con solo dos días lluviosos tuvo un accidente. Calcular la probabilidad de que el accidente haya sido en un día con lluvia. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 8

50 40. Una empresa automovilística tiene dos factorías: A y B. En la A tiene el 60% de la producción. El 0% de los vehículos producidos en la factoría A son furgonetas, en tanto que la mitad de la producción de la factoría B son furgonetas. Si se compra una furgoneta, calcula la probabilidad de que se haya fabricado en la factoría B. 4. Al comenzar cada jornada laboral una máquina puede estar o no ajustada. Durante año anterior hubo que ajustarla al concluir la mitad de las jornadas laborales. Cuando está ajustada el 0% de las piezas requieren algún retoque (son piezas defectuosas). Cuando se desajusta el 60% de las piezas requieren algún retoque. Al comenzar a trabajar hoy no se ajustó y las dos primeras piezas resultaron defectuosas. Calcula la probabilidad de que este ajustada la maquina al comenzar la jornada laboral. 4. Una empresa realiza diariamente 0 viajes con unos autobuses que transportan 50 viajeros cada vez. De la información estadística que se posee se deduce que en los primeros siete viajes se defrauda el 0,%, en los dos siguientes se defraudad 0,5% y el último un %. Un inspector comprueba que los 50 viajeros de un autobús llevaban el billete correcto. Calcula las probabilidades P y P de que ese autobús fuese de los siete primeros o del último. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 84