Matemáticas
|
|
- Encarnación Caballero Tebar
- hace 4 años
- Vistas:
Transcripción
1 al Método al Método Matemáticas
2 al Método En esta lectura daremos una introducción al método desarrollado por George Bernard Dantzig (8 de noviembre de de mayo de 2005) en Este método se basa en la conversión del problema con restricciones con desigualdades en un problema cuyas restricciones son ecuaciones lineales. Es un método matricial.
3 al Método 1.1 Un modelo de PL se dice que está en su forma estándar si cada restricción es una igualdad y las restricciones de signo para cada variable son del tipo mayor o igual que cero. Muchos de nuestros modelos recién construidos no están en su forma matricial. No está en la forma estándar: sujeto a Max z = 3 x + 2 y 2 x + y 100 x + y 80 x 40 x 0 y 0
4 al Método El algoritmo para resolver modelos de programación lineal requiere que el modelo esté en su forma estándar. Lo que se hace es convertir el modelo a la forma estándar. Esto se logra introduciendo nuevas variables, algunas de las cuales reemplazarán a las variables originales. Para cada restricción del tipo se introduce una nueva variable de holgura (slack variable) s i que se suma al primer miembro y la desigualdad se convierte en igualdad; se añade la restricción de signo a la nueva variable s i 0. Para cada restricción del tipo se introduce una nueva variable de exceso (excess variable) e i que se resta al primer miembro y la desigualdad se convierte en igualdad; se añade la restricción de signo a la nueva variable e i 0.
5 al Método Continuando con la conversión: Para cada variable x i que tiene restricción de signo del tipo 0, se cambian todas las apariciones de x i en el modelo por la expresión x i donde x i es una nueva variable con restricción de signo x i 0. Para cada variable x i que no tiene restricción de signo se cambian todas las apariciones de ella en el modelo por la expresión x i x i donde x i y x i son dos nuevas variables con restricción de signo x i 0 y x i 0. Las conversión se realiza en dos fases: en la primera se convierten las desigualdades y en la segunda se aplican las reglas para las variables que en el modelo original tiene signo no positivo o no tienen restricción de signo.
6 al Método Convierta a la forma estándar: sujeto a Max z = 3 x + 2 y 2 x + y 100 : R 1 x + y 80 : R 2 x 40 : R 3 y 0 : R 4
7 al Método En la primera fase (después de aplicar las reglas relacionadas con restricciones del tipo o ) queda: sujeto a Max z = 3 x + 2 y 2 x + y + s 1 = 100 x + y e 1 = 80 x + s 1 = 40 con x sin restricción de signo, y 0, s 1 0, e 1 0, y s 2 0.
8 al Método Para la segunda fase obtenemos: sujeto a Max z = 3 x 3 x 2 y 2 x 2 x y + s 1 = 100 x x y e 1 = 80 x x + s 1 = 40 con x 0, x 0, y 0, s 1 0, e 1 0, y s 2 0.
9 Solución básica al Método 1.2 Una solución básica (SB) a un sistema de ecuaciones A x = b con m ecuaciones y con n incógnitas, es decir m n (n m) es una solución al sistema que se obtiene haciendo cero n m variables y que resulta en un sistema con solución única. A una variable de decisión que deliberadamente se hace cero se le llama variables no básica (VNB) y mientras que a aquélla que se conserva dentro del nuevo sistema se le llama variable básica (VB).
10 al Método En términos de Algebra Lineal, este concepto equivale a seleccionar m columnas de A y que éstas formen una base para R m. Las columnas no seleccionadas corresponden a aquellas variables que se hacen cero deliberadamente. Una vez seleccionadas las columnas el nuevo sistema con el mismo vector de constantes debe resolverse. La solución obtenida se llama solución básica. En términos de matrices, tiene el significado que las variables que no se hacen cero deliberadamente forman una matriz invertible. El proceso para obtener una solución factible corresponde a tomar de A columnas para formar una matriz cuadrada que resulte invertible.
11 Determine las soluciones básicas al sistema: al Método x 1 + x 2 = 3 x 2 + x 3 = 1 En este caso: m = 2 =número de ecuaciones y n = 3 =número de incógnitas. Por tanto, las soluciones básicas se obtienen haciendo cero n m = 3 2 = 1 variable. Siendo n = 3 el número de variables, tenemos: ( n n m ) = n! m! (n m)! = ( 3 1 ) 3! = 1! (3 1)! = es decir, que en nuestro sistema se tienen 3 posibles soluciones básicas. Observe que da lo mismo seleccionar qué variables serán básicas (qué columnas se conservarán) o qué variables serán no básicas (columnas se borrarán).
12 Revisemos cada alternativa: VNBs = {x 1 }. Haciendo x 1 = 0 el sistema original queda: + x 2 = 3 x 2 + x 3 = 1 dando como solución : x 1 = 0, x 2 = 3 y x 3 = 2. VNBs = {x 2 }. Haciendo x 2 = 0 el sistema original queda: + x 1 = 3 + x 3 = 1 dando como solución : x 1 = 3, x 2 = 0 y x 3 = 1. VNBs = {x 3 }. Haciendo x 3 = 0 el sistema original queda: + x 1 + x 2 = 3 x 2 = 1 dando como solución : x 1 = 2, x 2 = 1 y x 3 = 0.
13 Determine las soluciones básicas al sistema: x x 2 + x 3 = 1 2 x x 2 + x 3 = 3 En este ejemplo hay 3!/(1! (3 1)!) = 3 posibles soluciones básicas. VNBs = {x 1 }. Haciendo x 1 = 0 el sistema original queda: + 2 x 2 + x 3 = x 2 + x 3 = 3 dando como solución : x 1 = 0, x 2 = 1 y x 3 = 1. VNBs = {x 2 }. Haciendo x 2 = 0 el sistema original queda: + x 1 + x 3 = x 1 + x 3 = 3 dando como solución : x 1 = 2, x 2 = 0 y x 3 = 1. al Método
14 VNBs = {x 3 }. Haciendo x 3 = 0 el sistema original queda: x x 2 = 1 2 x x 2 = 3 este sistema es inconsistente. Por tanto, no hay solución básica correspondiente a VNBs = {x 3 }.
15 Solución básica al Método 1.3 Una solución básica factible (SBF) a un sistema de ecuaciones A x = b m n (n m) es una solución básica con valores no negativos para las variables de decisión.
16 Determina las soluciones básicas factibles del sistema estándar correspondiente a la región que definen las restricciones x 1 + x x 1 + x 2 60 y x 1, x 2 0. La forma estándar es: x 1 + x 2 + s 1 = 40 2 x 1 + x 2 + s 2 = 60 y cumpliendo x 1, x 2, s 1, s 2 0. Y en la forma estándar n = 4 (número de variables) y m = 2 (número de ecuacion es), y por consiguiente el número de posibles soluciones básicas es: ( n m ) = 4! 2! (4 2)! = = 6 al Método
17 En este caso desaparecemos 4 2 variables para obtener las SB: VNBs = {x 1, x 2 } VB = {s 1 = 40, s 2 = 60} A(0,0) VNBs = {x 1, s 1 } VB = {x 2 = 40, s 2 = 20} B(0,40) VNBs = {x 1, s 2 } VB = {x 2 = 60, s 1 = 20} C(0,60), no es solución básica factible VNBs = {x 2, s 1 } VB = {x 1 = 40, s 2 = 20} D(40,0), no es solución básica factible VNBs = {x 2, s 2 } VB = {x 1 = 30, s 1 = 10} E(30,0) VNBs = {s 1, s 2 } VB = {x 1 = 20, x 2 = 20} F(20,20) C(0, 60) B(0, 40) F (20, 20) A(0, 0) E(30, 0) D(40, 0) Figura : Relación entre SBFs y extremos de la RF
18 al Método Un punto clave que relaciona la parte geométrica con la parte algebraica es el siguiente resultado teórico: Teorema La región factible a un modelo lineal corresponde a un conjunto convexo, y a cada extremo de la región le corresponde una SBF de su forma estándar y a cada SBF le corresponde un extremo de la región factible.
19 SBF Adyacentes al Método 1.4 Para un modelo PL con m restricciones, dos soluciones básicas factibles se dicen ser soluciones básicas factibles adyacentes si acaso tienen m 1 variables básicas en común.
20 al Método Determine las SBFs y encuentre sus relaciones de adyacencia al siguiente PL: sujeto a: Maximice z = 4 x x 2 x 1 + x 2 + s 1 = 40 2 x 1 + x 2 + s 2 = 60 y cumpliendo x 1, x 2, s 1, s 2 0.
21 Este problema tiene como FBS: VNBs = {x 1, x 2 } VB = {s 1 = 40, s 2 = 60} A(0,0) VNBs = {x 1, s 1 } VB = {x 2 = 40, s 2 = 20} B(0,40) VNBs = {x 2, s 2 } VB = {x 1 = 30, s 1 = 10} E(30,0) VNBs = {s 1, s 2 } VB = {x 1 = 20, x 2 = 20} F(20,20) Son adyacentes: A(0,0) y B(0,40), A(0,0) y E(30,0), B(0,40) y F(20,20), y E(30,0) y F(20,20). B(0, 40) F (20, 20) A(0, 0) E(30, 0)
22 Algoritmo El algoritmo procede de la siguiente manera: 1. Convierta el modelo PL a su forma estándar. 2. Obtenga una SBF a la forma estándar. 3. Determine si la SBF es óptima: Si hay una variable no básica cuyo aumento hace que el valor actual de la función a maximizar suba, entonces la solución actual no es óptima. 4. Si la SBF no es óptima, determine la variable no-básica que debería convertise en básica (la de mayor impacto en la función objetivo) y cuál variable básica debería convertise en una no-básica (la que impone una restricción mayor a la variable de mayor impacto). Con la selección anterior y usando operaciones elementales de renglón determine una SBF nueva adyacente a la anterior. 5. Reinicie con el paso 3 con la nueva SBF. al Método
Matemáticas
al Método al Método Matemáticas al Método En esta lectura daremos una introducción al método desarrollado por George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914-13 de mayo de 2005) en 1947. Este método se
Conversión a la Forma Estándar
10 de junio de 2014 Introducción Introducción En esta lectura daremos una introducción al método Simplex desarrollado por George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 13 de mayo de 2005) en 1947. Este
Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 2012
Grupo: Matrícula: Nombre: Algebra Matricial y Optimización Segundo Examen Parcial Maestro Eduardo Uresti, Semestre Enero-Mayo 22. (pts) Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una de las siguientes
Espacios generados, dependencia lineal y bases
Espacios generados dependencia lineal y bases Departamento de Matemáticas CCIR/ITESM 14 de enero de 2011 Índice 14.1. Introducción............................................... 1 14.2. Espacio Generado............................................
Optimización, Solemne 2. Semestre Otoño 2012 Profesores: Paul Bosch, Rodrigo López, Fernando Paredes, Pablo Rey Tiempo: 110 min.
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES. FACULTAD DE INGENIERIA. ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL. Optimización, Solemne. Semestre Otoño Profesores: Paul Bosch, Rodrigo López, Fernando Paredes, Pablo Rey Tiempo: min.
Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial
Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 12 de enero de 2011 Índice 91 Introducción 1 92 Transpuesta 1 93 Propiedades de la transpuesta 2 94 Matrices
Álgebra Lineal Ma1010
Álgebra Lineal Ma1010 Mínimos Cuadrados Departamento de Matemáticas ITESM Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 1/34 En esta sección veremos cómo se trabaja un sistema inconsistente. Esta situación es
Investigación Operacional I EII 445
Investigación Operacional I EII 445 Programación Lineal Método Simple Gabriel Gutiérrez Jarpa. Propiedades Básicas de Programación Lineal Formato Estándar Un problema de programación lineal es un programa
BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Problema de Programación Lineal
Problema de Programación Lineal Introducción La optimización es un enfoque que busca la mejor solución a un problema. Propósito: Maximizar o minimizar una función objetivo que mide la calidad de la solución,
1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Matrices equivalentes. El método de Gauss
Matrices equivalentes. El método de Gauss Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: Multiplicar
Programación Lineal Continua/ Investigación Operativa. EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1
EJERCICIOS DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Hoja 1 1. Una empresa que fabrica vehículos quiere determinar un plan de producción semanal. Esta empresa dispone de 5 fábricas que producen distintos elementos del
4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD
4.3 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA DUALIDAD El problema de programación lineal se puede considerar como modelo de asignación de recursos, en el que el objetivo es maximizar los ingresos o las utilidades,
Matrices. Definiciones básicas de matrices. www.math.com.mx. José de Jesús Angel Angel. jjaa@math.com.mx
Matrices Definiciones básicas de matrices wwwmathcommx José de Jesús Angel Angel jjaa@mathcommx MathCon c 2007-2008 Contenido 1 Matrices 2 11 Matrices cuadradas 3 12 Matriz transpuesta 4 13 Matriz identidad
DESIGUALDADES E INECUACIONES
DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia
Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una
Unidad 5 Utilización de Excel para la solución de problemas de programación lineal
Unidad 5 Utilización de Excel para la solución de problemas de programación lineal La solución del modelo de programación lineal (pl) es una adaptación de los métodos matriciales ya que el modelo tiene
Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales
Métodos Iterativos para Resolver Sistemas Lineales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 17 de julio de 2009 Índice 3.1. Introducción............................................... 1 3.2. Objetivos................................................
1 Espacios y subespacios vectoriales.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto
21.1.2. TEOREMA DE DETERMINACIÓN DE APLICACIONES LINEALES
Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal 2 2. APLICACIONES LINEALES. MATRIZ DE UNA APLICACIÓN LINEAL El efecto que produce el cambio de coordenadas sobre una imagen situada en el plano sugiere
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Problemas teóricos Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros En los siguientes problemas hay que resolver el sistema de ecuaciones lineales para todo valor del parámetro
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
CURSO CERO. Departamento de Matemáticas. Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre
CURSO CERO Departamento de Matemáticas Profesor: Raúl Martín Martín Sesiones 18 y 19 de Septiembre Capítulo 1 La demostración matemática Demostración por inducción El razonamiento por inducción es una
EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION. M. En C. Eduardo Bustos Farías
EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 Minimización El método simplex puede aplicarse a un problema de minimización si se modifican los pasos del algoritmo: 1. Se cambia
INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO
INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO INTERVALOS Los Intervalos son una herramienta matemática que se utiliza para delimitar un conjunto determinado de números reales. Por ejemplo el intervalo [-5,3]
Números Reales DESIGUALDADES DESIGUALDADES. Solución de desigualdades. 2x + 4 < 6x +1 6x + 3 8x 7 x 2 > 3x 2 5x + 8. INECUACIONES o DESIGUALDADES
Números Reales INECUACIONES o DESIGUALDADES DESIGUALDADES Una desigualdad en una variable es una expresión donde se establece una relación entre dos cantidades. Las relaciones de orden son: ,, Ejemplos:
Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.
Práctica 2 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Contenido: Localizar bases de espacios vectoriales. Suma directa. Bases y dimensiones. Cambio de base. Aplicaciones lineales. Matriz asociada en
5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades
5- ransformaciones Lineales 5Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función,, cuo dominio codominio
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos
MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
L A P R O G R A M A C I O N
L A P R O G R A M A C I O N L I N E A L 1. INTRODUCCIÓN: la programación lineal como método de optimación La complejidad de nuestra sociedad en cuanto a organización general y económica exige disponer
1. ESPACIOS VECTORIALES
1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,
Tema 1: Preliminares
Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 1: Preliminares Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Febrero 2008, versión 1.7 1. Desigualdades
SISTEMAS INTELIGENTES
SISTEMAS INTELIGENTES T11: Métodos Kernel: Máquinas de vectores soporte {jdiez, juanjo} @ aic.uniovi.es Índice Funciones y métodos kernel Concepto: representación de datos Características y ventajas Funciones
PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSPORTES.
PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSPORTES. Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés Inv. Operaciones I Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar - equiulibrado) MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit
DESIGUALDADES E INTERVALOS
DESIGUALDADES E INTERVALOS 1. INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales. En general, si los etremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado, si por el contrario no pertenecen
Matrices invertibles. La inversa de una matriz
Matrices invertibles. La inversa de una matriz Objetivos. Estudiar la definición y las propiedades básicas de la matriz inversa. Más adelante en este curso vamos a estudiar criterios de invertibilidad
PROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables
Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver
Tema 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tema Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Índice Introducción 2 Método de Gauss 2 Resolución de sistemas triangulares 22 Triangulación por el método de Gauss 2 Variante Gauss-Jordan 24 Comentarios
SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE
SOLUCIÓN DE INECUACIONES DE UNA VARIABLE Resolver una inecuación es hallar el conjunto de soluciones de las incógnitas que satisfacen la inecuación. Terminología: ax + b > cx + d Primer miembro Segundo
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas
Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 8 de septiembre de 010 Índice 111 Introducción 1 11 Matriz 1 113 Igualdad entre matrices 11 Matrices especiales 3 115 Suma
APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Adriel R. Collazo Pedraja
APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL Adriel R. Collazo Pedraja 2 INTRODUCCIÓN Este trabajo tiene como propósito proveer ayuda al estudiante para que pueda comprender y manejar más efectivamente
Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incóg
PreUnAB Inecuaciones y Sistemas de Inecuaciones Lineales con una Incógnita Clase # 11 Agosto 2014 Intervalos Reales Orden en R Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor que b, a < b, si b
❷ Aritmética Binaria Entera
❷ Una de las principales aplicaciones de la electrónica digital es el diseño de dispositivos capaces de efectuar cálculos aritméticos, ya sea como principal objetivo (calculadoras, computadoras, máquinas
Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 4 de enero de 2 Índice 3.. Objetivos................................................ 3.2. Motivación...............................................
Subespacios vectoriales en R n
Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo
Informática Bioingeniería
Informática Bioingeniería Representación Números Negativos En matemáticas, los números negativos en cualquier base se representan del modo habitual, precediéndolos con un signo. Sin embargo, en una computadora,
OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA. Tema 2 Programación Lineal
OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA Tema 2 Programación Lineal ORGANIZACIÓN DEL TEMA Sesiones: Introducción, definición y ejemplos Propiedades y procedimientos de solución Interpretación económica
x 10000 y 8000 x + y 15000 a) La región factible asociada a las restricciones anteriores es la siguiente: Pedro Castro Ortega lasmatematicas.
Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Septiembre 2012 - Propuesta A 1. Queremos realizar una inversión en dos tipos
1 v 1 v 2. = u 1v 1 + u 2 v 2 +... u n v n. v n. y v = u u = u 2 1 + u2 2 + + u2 n.
Ortogonalidad Producto interior Longitud y ortogonalidad Definición Sean u y v vectores de R n Se define el producto escalar o producto interior) de u y v como u v = u T v = u, u,, u n ) Ejemplo Calcular
VECTORES COORDENADOS (R n )
VECTORES COORDENADOS (R n ) Cómo puede ser representado un número Real? Un número real puede ser representado como: Un punto de una línea recta. Una pareja de números reales puede ser representado por
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN En el presente documento se explican detalladamente dos importantes temas: 1. Descomposición LU. 2. Método de Gauss-Seidel. Se trata de dos importantes herramientas
Operaciones Booleanas y Compuertas Básicas
Álgebra de Boole El álgebra booleana es la teoría matemática que se aplica en la lógica combinatoria. Las variables booleanas son símbolos utilizados para representar magnitudes lógicas y pueden tener
INECUACIONES: DESIGUALDADES. 3. Usa métodos para solucionar desigualdades lineales y cuadráticas.
FUNDACIÓN INSTITUTO A DISTANCIA EDUARDO CABALLERO CALDERON Espacio Académico: Matemáticas Docente: Mónica Bibiana Velasco Borda mbvelascob@uqvirtual.edu.co CICLO: V INICIADORES DE LOGRO INECUACIONES: DESIGUALDADES
PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.
PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.
Anexo 1: Demostraciones
75 Matemáticas I : Álgebra Lineal Anexo 1: Demostraciones Espacios vectoriales Demostración de: Propiedades 89 de la página 41 Propiedades 89- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:
Cambio de representaciones para variedades lineales.
Cambio de representaciones para variedades lineales 18 de marzo de 2015 ALN IS 5 Una variedad lineal en R n admite dos tipos de representaciones: por un sistema de ecuaciones implícitas por una familia
Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1
Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones de agosto de 200. Estandarización Cuando se plantea un modelo de LP pueden existir igualdades y desigualdades. De la misma forma
4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN
4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos
AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES
AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán
Vectores: Producto escalar y vectorial
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con
1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una
1. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR
. INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR Calcular la inversa de una matriz regular es un trabajo bastante tedioso. A través de ejemplos se expondrán diferentes técnicas para calcular la matriz inversa de una matriz
BREVE MANUAL DE SOLVER
BREVE MANUAL DE SOLVER PROFESOR: DAVID LAHOZ ARNEDO PROGRAMACIÓN LINEAL Definición: Un problema se define de programación lineal si se busca calcular el máximo o el mínimo de una función lineal, la relación
Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
UNIDAD 6. Programación no lineal
UNIDAD 6 Programación no lineal En matemática Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto
3.- DETERMINANTES. a 11 a 22 a 12 a 21
3.- DETERMINANTES. 3.1. -DEFINICIÓN Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de esta matriz (y se representa por A o deta al polinomio cuyos términos son todos los productos posibles
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Oscar G Ibarra-Manzano, DSc Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierías Facultad de Ingeniería, Mecánica, Eléctrica y Electrónica Trimestre
MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS
Tema 1.- MATRICES MATRICES PRODUCTO DE MATRICES POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería 1 Un poco de historia Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 3 y #4 Desigualdades Al inicio del Capítulo 3, estudiamos las relaciones de orden en los número reales y el signi cado de expresiones
8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES.
Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE 8. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES. 8.. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES. COMBINACIÓN LINEAL. EJEMPLO 8.. Estudiar si el
MÉTODOS DE ELIMINACIÓN Son tres los métodos de eliminación más utilizados: Método de igualación, de sustitución y de suma o resta.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando satisfacen iguales valores de las incógnitas. Para resolver ecuaciones de esta
Tema 5: Dualidad y sensibilidad de los modelos lineales.
ema 5: Dualidad y sensibilidad de los modelos lineales. Objetivos del tema: Introducir el concepto de Sensibilidad en la Programación Lineal Introducir el concepto de Dualidad en la Programación Lineal
Jesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014
Optimización sin restricciones Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Optimización sin restricciones 1 / 32 Formulación del problema
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD CULHUACÁN INTEGRANTES CÁRDENAS ESPINOSA CÉSAR OCTAVIO racsec_05@hotmail.com Boleta: 2009350122 CASTILLO GUTIÉRREZ
FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES
FORMA CANONICA DE JORDAN Y ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES Eleonora Catsigeras 6 de mayo de 997 Notas para el curso de Análisis Matemático II Resumen Se enuncia sin demostración
A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:
ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,
Introducción al Cálculo Simbólico a través de Maple
1 inn-edu.com ricardo.villafana@gmail.com Introducción al Cálculo Simbólico a través de Maple A manera de introducción, podemos decir que los lenguajes computacionales de cálculo simbólico son aquellos
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL. x x1 n. θ y. 1 n x1 n ȳ1 n. Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V.
Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática ALGEBRA LINEAL x x x1 n θ y y ȳ1 n 1 n x1 n ȳ1 n Carlos Arce S. William Castillo E. Jorge González V. 2003 Algebra Lineal Carlos Arce S., William Castillo
Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1
Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 1 de agosto de 2003 1. Introducción Cualquier modelo de una situación es una simplificación de la situación real. Por lo tanto,
Matemáticas para la Computación
Matemáticas para la Computación José Alfredo Jiménez Murillo 2da Edición Inicio Índice Capítulo 1. Sistemas numéricos. Capítulo 2. Métodos de conteo. Capítulo 3. Conjuntos. Capítulo 4. Lógica Matemática.
6 Ecuaciones de 1. er y 2. o grado
8985 _ 009-08.qd /9/07 5:7 Página 09 Ecuaciones de. er y. o grado INTRODUCCIÓN La unidad comienza diferenciando entre ecuaciones e identidades, para pasar luego a la eposición de los conceptos asociados
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Tema 3 : Algebra de Boole
Tema 3 : Algebra de Boole Objetivo: Introducción al Algebra de Boole 1 INTRODUCCIÓN George Boole creó el álgebra que lleva su nombre en el primer cuarto del siglo XIX. Pretendía explicar las leyes fundamentales
MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13. Carlos Ivorra
MATEMÁTICAS II APUNTES DE TEORÍA CURSO ACADÉMICO 2012-13 Carlos Ivorra Índice 1 Introducción a la optimización 1 2 Programación entera 18 3 Introducción a la programación lineal 24 4 El método símplex
MATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño
MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución. La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de
CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A
CANTABRIA / JUNIO 04. LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ÁLGEBRA / BLOQUE 1 / OPCIÓN A BLOQUE 1 OPCIÓN A Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo
MANEJO DEL WINQSB PARA EL CURSO DE TEORIA DE DECISIONES
MANUAL CORTO WINQSB PARA PL El Winqsb es un software informática muy utilizado para construir modelos matemáticos que permita tomar decisiones específicamente en el área de administración y economía entre
VII. Estructuras Algebraicas
VII. Estructuras Algebraicas Objetivo Se analizarán las operaciones binarias y sus propiedades dentro de una estructura algebraica. Definición de operación binaria Operaciones como la suma, resta, multiplicación
Ejercicios de Trigonometría
Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple
Ejercicios de Programación Lineal
Ejercicios de Programación Lineal Investigación Operativa Ingeniería Informática, UCM Curso 8/9 Una compañía de transporte dispone de camiones con capacidad de 4 libras y de 5 camiones con capacidad de
Unidad 3. Interés compuesto. Objetivos. Al finalizar la unidad, el alumno:
Unidad 3 Interés compuesto Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: Calculará el monto producido por un cierto capital colocado a una tasa de interés compuesto convertible anualmente, semestralmente
Optimización y la Programación Lineal: Una Introducción
Reporte de Investigación 2007-07 Optimización y la Programación Lineal: Una Introducción Responsables: Marchena Williams Ornelas Carlos Supervisor: Francisco M. González-Longatt Línea de Investigación:
APLICACIONES DE LA MATEMATICA INTRODUCCION AL CALCULO AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES
APLICACIONES DE LA MATEMATICA INTRODUCCION AL CALCULO AXIOMATICA DE LOS NUMEROS REALES PROFESOR: CHRISTIAN CORTES D. I) LOS NUMEROS REALES. Designaremos por R, al conjunto de los números reales. En R existen
TEMA 4. Sistema Sexagesimal. Sistema Octal (base 8): sistema de numeración que utiliza los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5,
TEMA 4 Sistema Sexagesimal 4.0.- Sistemas de numeración Son métodos (conjunto de símbolos y reglas) ideados por el hombre para contar elementos de un conjunto o agrupación de cosas. Se clasifican en sistemas
Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.
2010 Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León mgdl 01/01/2010 INDICE: 01. DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS NÚMEROS ENTEROS. 02. VALOR
MICROECONOMÍA II PRÁCTICA TEMA III: MONOPOLIO
MICROECONOMÍA II PRÁCTICA TEMA III: MONOPOLIO EJERCICIO 1 Primero analizamos el equilibrio bajo el monopolio. El monopolista escoge la cantidad que maximiza sus beneficios; en particular, escoge la cantidad