La Teoría de las Situaciones Fundamentales: Aportes para la enseñanza de la matemática en educación básica

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1 La Teoría de las Situaciones Fundamentales: Aportes para la enseñanza de la matemática en educación básica Profesor Dinko Mitrovich García Villa Alemana Abril 2013

2 Índice 1. Qué es la didáctica de las matemáticas? 2. Rol del profesor en la enseñanza y aprendizaje de las matemática 3. Campo de problemas aditivos, un ejemplo de organización didáctica 4. Síntesis: qué significa enseñar y aprender matemáticas hoy

3 Qué es la Didáctica de las Matemáticas «La Didáctica de las Matemáticas es la disciplina que estudia las condiciones de creación y difusión de los saberes Matemáticos en las instituciones sociales» Guy Brousseau 1994

4 Qué es la Didáctica de las Matemáticas Esta manera de entender la Didáctica de las Matemáticas, surge de los trabajos de Brousseau (años 70) y se fundamenta en la convicción de que el origen del problema de la Educación Matemática está en gran medida en las propias Matemáticas, en el cómo se crean y en el cómo se difunden (enseñan, aprenden y utilizan).

5 La nueva didáctica: la didáctica como epistemología experimental Ciencia de las condiciones de producción y difusión del conocimiento matemático útiles a los hombres y a sus instituciones (Brousseau,1986). Se interesa por las condiciones reproductibles y controlables de los aprendizajes y de la enseñanza de todo conocimiento. Objetivos de la didáctica como ciencia son: la determinación de los aspectos que deben ser observados para describir las distintas situaciones efectivas relativas a la enseñanza y el aprendizaje de una organización matemática dada, reproducirlos y prever sus efectos.

6 Qué condiciones desafía a un niño a sumar? Compare las condiciones con las que se presentan las dos actividades En las dos se necesita sumar?

7 Qué condiciones desafía a un niño a sumar? 7 Enseñar matemática consiste en hacer posible que los niños desarrollen con los conocimientos disponibles, una actividad de creación o recreación matemática. Qué sucede si los niños o niñas no experimentan dichas creación de la suma?

8 La Situación fundamental es el conjunto mínimo de situaciones que permiten engendrar a través de la asignación de diversos valores a las variables didácticas, un campo de problemas suficientemente extenso para representar todas las situaciones didácticas a partir de las cuales se logra que un alumno aprenda una forma determinada de saber. Esta situación fundamental presenta un contexto al estudiante de donde se va a desprender una secuencia de actividades que permiten generar un tipo de aprendizaje, partiendo de una situación global denominada situación fundamental.

9 La Teoría de Situaciones didácticas de Guy Brousseau Es un problema/juego que por sí misma, sin la intervención del profesor, permita o provoque un cambio de estrategia en el alumno : Es comunicable sin utilizar dicho conocimiento Para su solución requieran necesariamente del uso del conocimiento matemático que se busca que los alumnos aprendan Debe permitir que los alumnos puedan enfrentarla de alguna forma, y encontrar una primera estrategia para intentar resolverla Debe provocar que esta primera estrategia se muestre insuficiente para lograr resolverla; de lo contrario no se producirá un progreso hacia la estrategia óptima que el profesor busca Deben permitir que sean los propios alumnos quienes validen sus estrategias y no el profesor;

10 10 Para aprender, el alumno debe intervenir significativamente en la actividad matemática, y no sólo limitarse a aceptar y aplicar las estrategias enseñadas por el profesor. Aprender comporta retomar y modificar los aprendizajes anteriores y no solamente adjuntar los nuevos conocimientos a los ya adquiridos. Las situaciones deben permitir que los niños elaboren estrategias a partir de los errores cometidos, de la inadecuación o fracaso de sus conocimientos anteriores y de la modificación de los mismos. La enseñanza destinada a una población determinada no puede reproducir exactamente las actividades sabias. La organización y la adaptación de estos conocimientos a las necesidades y a los proyectos de una sociedad, también los usos que esta sociedad hace de las matemáticas, constituyen un trabajo específico de didáctica.

11 situaciones didácticas Para un sujeto, actuar consiste en elegir directamente los estados del medio antagonista en función de sus propias motivaciones. Si el medio reacciona con cierta regularidad, el sujeto puede llegar a relacionar algunas informaciones con sus decisiones (retroalimentación), anticipar sus reacciones y atenerlo en cuenta en sus propias acciones futuras. Retroalimentación Información Medio Acción

12 Material didáctico En estos problemas una o las dos colecciones no deben estar disponibles. El material didáctico es parte del medio que permitirá que los niños avancen en sus conocimientos

13 Rol del profesor en la enseñanza y aprendizaje de las matemática Enseñar exige conocer las condiciones bajo las cuales los conocimientos pueden ser construidos por los propios estudiantes; en qué condiciones los estudiantes pueden formular hipótesis (aunque erróneas en un principio) y las pueden validar. Condiciones que les permita actuar como auténticos matemáticos... El trabajo didáctico es esencialmente de carácter epistemológico. Por qué es necesario este estudio? El matemático no comunica sus resultados tal como los ha hallado: los reorganiza, les da la forma más general posible, realiza una didáctica práctica que consiste en dar al saber una forma: Comunicable Descontextualizada Despersonalizada Atemporal

14 Transposición didáctica Génesis y creación Difusión C m Contexto cultural, social, personal, histórico... descontextualización despersonalización Proceso para enseñar matemáticas Texto sobre C m = C m Contexto lógico matemático: abstracción, generalización... Aprendizaje Enseñanza C m Contexto lógico matemático: abstracción, generalización... Descontextualizar Despersonalizar Situación sobre C m Contexto cultural, social, personal, histórico... Recontextualizar Repersonalizar Temporalizar

15 El docente debe realizar primero el trabajo inverso al matemático: 15 Recontextualizar Repersonalizar Temporalizar Busca situaciones que le den sentido a los conocimientos por enseñar y organiza un medio con el cual el alumno pueda interactuar y encontrar respuestas... Cuando el, o los alumnos, han respondido a la situación, todavía no sabe que ha producido un conocimiento, que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar su respuesta en saber (conocimiento) deberá, con ayuda del docente: Para poder reconocer en lo Redespersonalizar Redescontextualizar hecho, algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable

16 En síntesis, el profesor realiza dos tareas distintas : 1. Hacer vivir el conocimiento en manos de los alumnos, que lo produzcan como una respuesta razonable frente a una situación familiar, y 2. Transformar esa respuesta razonable en conocimiento universal, reconocido desde el exterior, por la comunidad. Desafíos: Para el docente es grande la tentación de saltar estas dos fases y enseñar directamente el saber como objeto cultural. En ese caso se presenta el saber (texto), y el alumno se lo apropia como puede. (Aquí una posible explicación al fracaso generalizado de los estudiantes). Existe la idea de que los saberes pueden enseñarse pero que la comprensión es responsabilidad del alumno. Así, se piensa que se puede enseñar la fórmula para calcular el área y luego que los alumnos las utilicen para resolver problemas...

17 . Rol del profesor en el aula Observe el video y señale dos aspectos que usted destaca de la gestión realizada por la profesora

18 Campo de problemas aditivos, un ejemplo de organización didáctica El sentido de un conocimiento matemático se construye cuando se enfrenta el conjunto de situaciones problemáticas donde este conocimiento aparece como herramienta de solución. Estas situaciones deben permitir que los niños elaboren estrategias a partir de los errores cometidos, de la inadecuación o fracaso de sus conocimientos anteriores y de la modificación de los mismos Enseñar matemática consiste en hacer posible que los niños desarrollen con los conocimientos una actividad de creación o recreación matemática.

19 Analicemos un problema Problema: En una biblioteca había libros. Haciendo un inventario, el bibliotecario se dio cuenta que faltaban 38 libros. Cuántos libros hay ahora en la biblioteca? Resuelva el problema y escriba sus cálculos: Cómo esperaría que un niño del primer ciclo resuelva este problema?

20 1. Observe el video y analice los procedimientos que utilizan los niños para resolver el problema. 2. Compare el procedimiento utilizado por usted con el de los niños, en términos de la eficacia y los conocimientos matemáticos involucrados.

21 Idea fundamental : Frente a un determinado cálculo de suma o resta pueden existir distintas técnicas que lo resuelven pero en muchos casos unas técnicas pueden ser más adecuadas que otras, dependiendo de la relación que exista entre los números. Es decir, aunque puedan existir distintas técnicas para realizar un mismo cálculo, no siempre son todas igualmente eficientes. Asimismo, unas técnicas que resultaron eficientes para realizar un determinado cálculo, pueden no serlo frente a otro cálculo, incluso, pueden fracasar.

22 Los niños probablemente usan técnicas poco adecuadas cuando comienzan a realizar una tarea pero, una vez que se han modificado las condiciones de realización de esa tarea, se verán obligados a transformar sus técnicas para hacerlas más efectivas. Es en este cambio de las técnicas, y de las justificaciones subyacentes, donde se juega la posibilidad del aprendizaje.

23 Operaciones Significado, propiedades y procedimientos para sumar y restar

24 Sobreconteo para sumar Significado de la operación suma: Juntar, añadir La suma de se obtiene de aplicar al número de 147, 2 veces seguidas la operación de tomar el sucesor En esta idea es que se basa la técnica del sobre conteo La aplicación de esta técnica requiere de saberse la secuencia numérica

25 Propiedades de la Adición en N Conmutativa; = = En ambos casos obtenemos el mismo resultado. El proceso de sobrecontar obliga a llevar dos cuentas, por tanto cuantas menos unidades se tengan que sobrecontar más fácil es calcular la suma. Entonces conviene escoger el sumando mayor como número inicial y sobrecontar tantas unidades como el sumando menor

26 Propiedades de la Adición en N Asociativa; = (3+2) + 5 = 3 + (2 +5) + + Esta propiedad sustenta la composición y descomposición de sumandos, en particular la descomposición canónica 325 = y realizar adiciones de más de dos sumandos por etapas (15 + 7) (22 + 8) = = = 42

27 Propiedades de la Adición en N Trasvasije; al traspasar unidades de un sumando a otro la suma se conserva = = = = En general, A + B = (A-C) + (B+C) = Esta propiedad, permite desarrollar estrategias de cálculo como la siguiente = = 83

28 Sumando dígitos según valor de posición

29 Sumando dígitos según valor de posición

30 Descontar para restar Significado de la operación resta; (ej 49-3), quitar 49 La resta de 49-3 se puede definir como el resultado de aplicar al número 49, 3 veces seguidas la operación de tomar el antecesor, o sea de descontar p unidades a n. En esta idea es que se basa la técnica del descontar 49-3, me planto en el 49 y descuento tres unidades 46, 47, 48, 49 La aplicación de ésta técnica requiere de saberse la secuencia numérica en orden descendente.

31 Resta por completación = 181 A esta estrategia se le llama resta por completación y es más sencilla que la anterior, dado que en este caso se utiliza la secuencia numérica en orden ascendente.

32 Restas parciales Asociatividad del minuendo y el sustraendo; = (80+ 6) (20+3) = 73 Se puede descomponer el minuendo y el sustraendo, y asociar los múltiplos de 10 y los de una cifra. Luego, calcular la resta a partir de la suma de los resultados de las restas parciales entre los términos que componen el minuendo y los que componen el sustrayendo. Realizando restas parciales

33 Restando dígitos según valor de posición

34 Traslado de la diferencia Cuánto es ? Traslado de la diferencia; al añadir o quitar una misma cantidad de unidades al minuendo y al sustraendo de una resta, la diferencia se conserva. A B = (A+C) (B+C) 8 d 5 8 5

35 Propiedades de la sustracción en N Traslado de la diferencia; al añadir o quitar una misma cantidad de unidades al minuendo y al sustraendo de una resta, la diferencia se conserva. A B = (A+C) (B+C) 11 d 8 = 8 d 5 = 5 d

36 Traslado de la diferencia

37 Qué tipo problemas aditivos hay? En relación a la acción involucrada en el problema, se distinguen tres tipos de problemas aditivos COMPOSICIÓN CAMBIO COMPARACIÓN

38 Problemas de cambio Se asocian a las acciones de agregar y quitar. En este tipo de problemas existe una colección inicial que se transforma como resultado de un cambio aditivo ( se agregan o quitan objetos) y se obtiene una nueva colección. La acción realizada se pueden caracterizar como dinámicas, puesto que la colección se modifica con el paso del tiempo. La incógnita puede ser la situación inicial, final o la transformación. Ejemplo: Rafael tenía 45 láminas de un álbum. Su mamá le regaló 25 láminas más. Cuántas láminas tiene Rafael ahora?

39 Problemas de composición Se asocian a las acciones de juntar y separar En este tipo de problemas, hay una colección de objetos que se separa en dos colecciones. O hay dos colecciones cuyos objetos se juntan en una sola colección. Las acciones de juntar y separar se refieren a que se consideran objetos que, siendo de la misma naturaleza, tienen una característica que permite distinguir claramente dos tipos diferentes de ellos. La acción realizada no modifica a las colecciones originales, en este sentido se pueden caracterizar como estáticas ya que no cambian con el paso del tiempo. En este tipo de problemas la incógnita puede ser cualquiera de las cantidades o la categoría general que las incluye. Ejemplo: En un bosque hay dos tipos de árboles, pinos y eucaliptos. Hay 347 pinos y 142 eucaliptos, cuántos árboles hay en el bosque?

40 Problemas de Comparación Son aquellos en que se cuantifica la diferencia entre dos cantidades. Estos problemas responden habitualmente a la pregunta: En cuánto se diferencian dos cantidades? que es equivalente a: cuánto objetos más tiene una colección que otra?, cuántos objetos menos tiene una colección que otra? La incógnita puede ser la diferencia o cualquiera de las cantidades. Ejemplo: Pedro tiene 16 tazos y Juan tiene 24. Cuántos tazos más tiene Juan que Pedro?

41 Problemas Directos e inversos Según si la acción descrita en el enunciado coincide o no con la operación que resuelve el problema, distinguimos problemas: DIRECTOS La acción descrita en el enunciado coincide con la operación que hay que realizar para resolverlo. Pedro tenía $500, compró un helado que le costó $250, cuánto dinero tiene ahora Pedro? INVERSOS La acción descrita en el enunciado no coincide con la operación que hay que realizar para resolverlo. Pedro tenía $200, su papá le dio unas monedas y ahora tiene $700, cuánto dinero le dio su papá a Pedro?

42 Problemas Directos Un problema aditivo es directo, cuando la operación matemática que relaciona los datos con la incógnita coincide con la operación que permite resolverlo. Si la acción descrita en el enunciado permite relacionar los datos y la incógnita con una adición y el problema se resuelve mediante una adición; o bien, se modela con una sustracción y se resuelve mediante la misma sustracción, entonces el problema es directo. Por ejemplo: Luis tenía en su estuche 47 lápices y sacó 28. Cuántos lápices hay ahora en el estuche? El problema se modela y resuelve con la operación: 47 28=?, por tanto, es directo

43 Problemas inversos Un problema es inverso cuando la operación matemática que relaciona los datos con la incógnita no coincide con la operación que lo resuelve. Por ejemplo: Silvia tenía en su estuche 58 lápices y agregó algunos. Ahora tiene 73 Cuántos lápices agregó? De acuerdo a la acción descrita en el enunciado, la relación entre los datos y la incógnita es: 58 + = 7 3. Sin embargo, para resolverlo se debe realizar la operación: Por lo tanto, este es un problema inverso.

44 Para enseñar a resolver problemas no basta con asociar las palabras: agregar juntar avanzar ganar con la adición, o las palabras: quitar separar retroceder perder con la sustracción. Por lo tanto, la estrategia basada en la identificación de palabras claves con una operación, no es suficiente.

45 Los Esquemas: en la Resolución de Problemas Aditivos Apropiarse de la confección de esquemas no es un aprendizaje inmediato. Debe vivir un proceso desde los primeros niveles escolares.

46 Los Esquemas: en la Resolución de Problemas Aditivos Cuando se tiene un problema simple, es decir dos datos y una incógnita, es posible relacionar los datos y la incógnita en esquemas como el siguiente: A este tipo de esquemas les llamaremos parte todo ya que hay dos cantidades (partes) que se unen y forman una cantidad mayor (todo). Es posible determinar este último a través de la suma de las partes.

47 Los Esquemas: en la Resolución de Problemas Aditivos Cuando se conoce una parte y el todo, es posible determinar la otra parte restando al todo la parte conocida.

48 Los Esquemas: en la Resolución de Problemas Aditivos Los esquemas anteriores sirven para los problemas de composición y cambio. Para los de comparación es posible representar los datos e incógnita a través del siguiente esquema:

49 Los esquemas deben ser funcionales para la persona que resuelve el problema. No debe ser una imposición, si alguien resuelve el problema directamente del enunciado, hacer el esquema sería una pérdida de tiempo. Pueden ser de distinto tipo, pero deben representar una relación cuantitativa entre datos e incógnita. Los esquemas permiten comunicar y justificar las operaciones que se realizan para resolver un problema.

50 Etapas de la resolución de problemas aditivos. Los niños se apropian gradualmente de una estrategia de resolución de problemas, que incluye las siguientes fases: Primera Fase: Entender el problema Segunda Fase: Identificar y construir un modelo que resuelva el problema Tercera Fase: Desarrollar y adaptar estrategias para resolver problemas Cuarta Fase: Comprobar el resultado de la operación e interpretarlo en el contexto del problema

51 Síntesis: qué significa enseñar y aprender matemáticas hoy

52 Modelo didáctico del Centro Felix Klein: aprendizaje de las matemáticas basado en el estudio y resolución de problemas Estudio de un problema Relación con otros conocimientos y formulación de nuevos problemas Elaboración de procedimientos Aprender matemáticas Trabajo y Explicación Creación de conocimientos: conceptos, propiedades, teoremas, etc. Justificación Relación con otros procedimientos

53 Modelo didáctico del Centro Felix Klein: aprendizaje de las matemáticas basado en el estudio y resolución de problemas Estudio de un problema Relación con otros conocimientos y formulación de nuevos problemas Elaboración de procedimientos Aprender matemáticas Trabajo y Explicación Creación de conocimientos: conceptos, propiedades, teoremas, etc. Justificación Relación con otros procedimientos Propuesta Didáctica

54 Analicemos una clase con recursos TIC

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