48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

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1 48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

2 Unidad. Funciones. Derivabilidad TEMA FUNCIONES.DERIVABILIDAD.. Tasa de variación media. Derivada en un punto. Interpretación.. Tasa de variación media.. Definición de derivada en un punto.. Interpretación geométrica de la derivada. Continuidad y derivabilidad.. Función derivada. Derivadas de orden superior... Función derivada.. Derivadas de orden superior 4. Derivabilidad de las funciones elementales. Operaciones con derivadas 4.. Derivadas de la función elementales 4.. Operaciones con derivadas 4.. Derivación logarítmica José Luis Lorente Aragón 49

3 Unidad. Funciones.Derivabilidad Conteto con la P.A.U. El saber derivar es básico a la ora de realizar el eamen de la PAU. En este tema se recuerda como se deriva y se realizan diferentes ejercicios, pero en caso de resultar insuficientes se recomienda que se repase la derivada en cualquier libro de º de Baciller. En el eamen de selectividad no suele aber ningún ejercicio concreto de derivar una función, si bien la derivada aparece en multitud de ocasiones. Algunos ejemplos de ejercicios en los que ay que saber derivar son en los problemas de representación y estudio de funciones, los de estudiar la continuidad y derivabilidad de una función, los límites que se calculan con L Hopital Problemas más concretos en el eamen de la PAU relacionados con el tema son los siguientes: Estudio de la continuidad y derivabilidad de una función, o cálculo de algún parámetro para que la función sea continua o derivable. Estudiar la derivabilidad de una función en un punto por la definición de derivada. Cálculo de rectas tangentes y/o normales a una función en un punto. En este tema abordaremos estos problemas para que el alumno se encuentre familiarizado con ellos el día del eamen. 5 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

4 Unidad. Funciones. Derivabilidad. Tasa de Variación media. Derivada en un punto. Interpretación. Tasa de variación Media Definición: se llama tasa de variación media de una función f( entre los valores y al cociente entre el incremento que eperimenta la variable dependiente y, y la variable independiente : f T vm (,,f() f ( ), Interpretemos gráficamente su significado: Ejemplo: f( - f ( ) f( ) f( ) f f (4) f () 5 ( ) Veamos la tasa de variación media entre y 4: 4 4 Para interpretar f,,4 fijémonos en el triángulo rectángulo rojo de la imagen, donde los catetos son (f( )-f( )) y ( - ). De esta forma catetos, y así f, (,f( )) y (,f( )) con el eje, y por tanto f, es el cociente de los dos es la tangente del ángulo que forma la recta que une los puntos f, es la pendiente de dica recta José Luis Lorente Aragón 5

5 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Definición de derivada de una función en un punto Definición: la derivada de una función f( en el punto, se denota como f ( ), es la tasa de variación instantánea, es decir: f '( f ( f ( ) f ( ) f ( ) ) lim lim Generalmente suele ser más fácil calcular esta derivada a partir de la segunda igualdad de la definición. Una función es derivable en un punto cuando el límite eiste, aunque este sea o -. Ejemplos: a) f( en f ( ) f '() lim f () lim La función f( es derivable en y f ()4 b) f( - si > en si (( ) ) lim lim 4 f ( f ( ) f () ( ) ) lim lim lim f ( - f ( ) f () ( ) ) lim lim lim No eiste el límite por tanto la función f( no es derivable en. Nota: las funciones valor absoluto no son derivables en los puntos de donde se anulan. En estos puntos las derivadas laterales son de distinto signo.. Interpretación geométrica de la derivada En el apartado. vimos que la tasa de variación media se interpretaba como la pendiente de la recta que unía los dos puntos. La derivada es el límite de la variación media cuando los puntos se acercan infinitamente, veamos esto de forma gráfica en derivada 5 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

6 Unidad. Funciones. Derivabilidad Como vemos en la gráfica anterior si nos acercamos infinitamente al punto la recta que une los dos puntos tiende a ser la recta tangente a la función. Por tanto la derivada en de f(, es decir f (, ) es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (, f( )). α mtg(α)f ( ) Conclusión: f ( )tg(α)m recta tangente en o Conociendo la pendiente de la recta y el punto por el que pasa (,f( )) es fácil calcular la ecuación de la recta tangente y normal (la pendiente es -/m-/f ( ) aplicando la ecuación punto pendiente yy m (- ): Ecuación de la recta tangente a la función f( en : y-f( )f ( )(- ) Ecuación de la recta normal a la función f( en : y-f( ) (- ) f '( ) Ejemplo: calcular la recta tangente y normal a la curva yf( en el punto de abscisa f ( ) f '() lim f () ( ) lim m recta tang f ()5 y el punto es P (,f()) P(,4) recta tangente y-f()f ()(-) ( ) 4 lim y-45(-) y5- recta normal y-f() (-) y-4 (-) y f '() lim 5 José Luis Lorente Aragón 5

7 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Continuidad y derivabilidad Teorema: toda función f( derivable en un punto, es continua en este punto. El contrario no siempre es cierto para toda función. Ejemplo: como vimos la función f( era derivable en (eiste el límite f ( ) f () lim ) luego es continua en Nota: Todas las funciones polinómicas, son continuas y derivables en todos los puntos. Veamos otros dos ejemplos donde el recíproco al teorema no es cierto, son continuas y no derivables: a) f( - si > en es continua lim f ( f () si en no es derivable (ver página 5) b) g( en es continua pero no es derivable : f ( ) f () lim lim lim lim lim lim lim / / lim Veamos la representación gráfica de estas dos funciones no derivables, y entandamos su interpretación gráfica: a) f( - 54 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

8 Unidad. Funciones. Derivabilidad b) g( Gráficamente vemos que en los puntos donde la función no es derivable eiste un pico o punto anguloso que nos indica el cambio de pendiente de la recta tangente en dicos puntos (límites laterales son diferentes). Ejercicio : Sea la función f( calcular a y b para que f( sea continua y derivable. La función está definida a trozos pero tanto sen( como ab son continuas y derivables en todos los puntos, luego punto donde ay que estudiar la continuidad y derivabilidad es donde la función cambia de epresión algebraica a) Continuidad: lim f ( b continua si lim ( ) () b f sen Luego si b independientemente del valor de a la función es continua b) Derivabilidad f ( ) f () a lim lim a derivable si ( ) () ( ) a f f sen lim lim ( L' Hopital) José Luis Lorente Aragón 55

9 Unidad. Funciones.Derivabilidad Otro método más sencillo: cuando la función es continua podemos derivarla, (veremos cómo se deriva en el apartado 4). : cos( si f '( a si < > Nota: el valor para de f ( no se incluye asta que se compruebe que la función es derivable. La función será derivable en el punto si eiste el límite lim f '(, aunque este sea infinito. lim f '( a derivable si lim '( ) cos() a f. Función derivada. Derivadas sucesivas. Función derivada Cuando la función f( es continua podemos obtener su función derivada f (. La función derivada, f (, para cada valor de nos da el valor de la derivada en ese punto, es decir la pendiente de la recta tangente en dico punto. f : R R f ( f ': R R f '( A la función f ( se le llama función derivada de f(, tal que si somos capaces de calcular esta función la derivada de f( en un punto es f ( ), es decir la imagen de f ( en el punto. A partir de definición de derivada la función f( se obtiene aplicando la definición de derivada para una genérica: f '( lim f ( ) f ( Calculo de alguna función derivada: ) f( - f ( ) f ( ( ) f '( lim lim ( ) lim ) f(k (cte) f ( ) f ( k k f '( lim lim lim Si bien para el cálculo de la función derivada veremos en el siguiente apartado la tabla de derivadas y las reglas necesarias para realizar cualquier tipo de derivada. 56 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

10 Unidad. Funciones. Derivabilidad. Derivadas de orden superior En todos los puntos del dominio de f ( (donde f( es derivable) podemos considerar otra función f (, que asigna a cada punto de el valor de la derivada de f ( en este punto. f '': R R f ''( f ''( lim f '( ) f La función así definida recibe el nombre de segunda derivada de f(, f (. De forma análoga podemos definir la tercera derivada f (, cuarta f (IV (, etc. 4. Derivada de funciones elementales. Operaciones con derivadas 4. Derivadas de las funciones elementales Se puede calcular a partir de la definición vista en el apartado anterior la función derivada de las funciones elementales. Veamos en la siguiente tabla la derivada de algunas funciones elementales. Derivada elementales Función Función derivada Ejemplo f(k f ( f(-e f ( f( n f (n n- f( f ( '( f(e f (e f(a f (a ln(a) f(5 f (5 ln(5) f(ln( f (/ f(log a ( f ( ln( a ) f(log ( f ( ln( ) f(sen( f (cos( f(cos( f (-sen( f(tg( f (tg ( cos ( ) f(arc sen( f ( f(arc cos( f ( f(arc tg( f ( José Luis Lorente Aragón 57

11 Unidad. Funciones.Derivabilidad 4. Operaciones con derivadas Aplicamos la definición de la derivada y las propiedades de los límites se obtienen las reglas que permiten derivar funciones que son resultado de operar con otras funciones derivables. Para ver las propiedades de las derivadas veamos otra tabla: Propiedades de las derivadas Propiedad Suma: (fg) (f (g ( Ejemplo ( -cos(e ) --sen(e Constante por una función: (kf) (kf ( (5arc sen() 5 Producto: (f g) (f ( g(f( g ( (5 sen() 5sen(5 cos( Cociente: f g ' f '( g( f ( g'( ( g ( 7 ln( ' 7ln( 7 ln ( 7 ln( 7 ln ( Función compuesta (regla de la cadena): (g º f) ((g(f() g (f( f ( ' cos ( ) cos ( ) ( e ) e cos( ) ( sen( )) A partir de las derivadas elementales y de las propiedades de las derivadas es sencillo calcular la derivada de toda función, sólo ay que aplicar las propiedades con orden. Ejercicio : calcular las derivadas siguientes a) D[( -) 5 ]5( -) 4 ( -) 4 b) D[( / ] ( / c) D[ 4 ]4 4 ln(4) ( d) D[(e ) 4 ]4 (e ) ( e )8 (e ) (e ) e) D[ln(- ) 4 4 ] 4( ) ( 6 4 ( ) f) D ( ) 6 g) D ( (4 5 5 ) ( 6 ( ( ) ( ) 7 ) / 4 5 ( 5 (4 5 ) (4 5 ) 58 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

12 ) D [(4 ) 4 ] Unidad. Funciones. Derivabilidad (4 ) 4 4 (4 ) i) D[sen 4 (]4 sen ( cos( j) D[sen( 4 )]cos( 4 ) 4 k) D ( ) ( ) ( ) l) D[sen ( )]sen( ) cos( ) 4 sen( ) cos( ) m) D [ arc sen( ) ] ( ) 7 7 ( 7 ( 7) ( n) D 7 ( 7 ) ( 7 ) 7 7 ( 7( 7 7 o) D [ arc tg( ] ( ) ( ( ) ( ) p) D ln ( ) ( ) ( ) ( )( ) q) D [ sen ( cos (] sen ( cos( cos ( sen ( cos( sen( 6 sen ( cos( cos ( 6 sen ( cos( sen( r) D [ arc sen( tg( ) ] tg tg ( ( 4. Derivación logarítmica Cuando las funciones en forma de eponente, donde tanto la base como el eponente son funciones, f((g() (. El cálculo de la derivada debe de acerse siguiendo el siguiente procedimiento (usaremos el ejemplo f((7 ) cos( ). Tomamos logaritmos en ambos lados: ln(f()( ln(g() Ejemplo: ln(f()cos( ln(7 ). Derivamos a ambos lados de la igualdad: Ejemplo: f '( ( g'( '( ln( g( ) f ( g( f '( cos( 4 cos( sen( ln(7 ) sen( ln(7 ) f ( 7 José Luis Lorente Aragón 59

13 Unidad. Funciones.Derivabilidad ( g'(. Despejamos f (: f '( f ( '( ln( g( ) g( Ejemplo: f ( sen( ln(7 Ejercicio : calcular la derivada: a) D[ ] f(. ln(f() ln( f ('. ln( f (. f ( (ln() b) D[ ln( ] f( ln(. ln(f()ln( ln(ln ( f '(. ln( f ( ln(. f ( ln cos( ) (7 7 ) cos( 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

14 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicios del tema Ejercicio 4: Estudiar la derivabilidad de. La función es continua en R, pues es una raíz cúbica que eiste para números negativos. Veamos la derivabilidad: f ( ( ) / (6 ) ( ) Se anula el denominador en y, estudiemos la derivabilidad en estos puntos f () lim 9 6 f '( ) lim f '( ) lim ( ) ( ) f '( ) lim f () ( ) lim 9 6 f '( ) lim ( ) es decir la tangente es una recta paralela al eje OY. No derivable derivable m-, Nota: una función derivable en un punto si eiste la derivada, aunque esta sea infinito. Veamos la gráfica para interpretar los resultados en y José Luis Lorente Aragón 6

15 Unidad. Funciones.Derivabilidad Ejercicio 5: estudiar la derivabilidad de Veamos primero la continuidad: lim / lim g ( lim e Continua / e lim / e Veamos aora la derivabilidad por la definición: g () g( ) g() / lim lim e No es derivable en Veamos la gráfica: lim ( e / / en. lim ( e ) lim ( e / / ) ) Ejercicio 6: Deriva la función f( ln(cos() e sen( f ( e e tg( e ( cos( Ejercicio 7: Calcula un punto de la función f( 5 en la que la recta tangente sea paralela a la recta y- Si la rectas son paralelas misma pendiente, luego la recta tangente tiene pendiente m, por tanto buscamos el punto donde f ( f ( P(,f())(,7) 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

16 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicio 8: Hallar b y c para que f( sea continua y derivable en (,) f b c ( si si <. Continuidad: las funciones definidas en los dos trozos son polinomios y por tanto el único punto ay que estudiar la continuidad es en. lim lim f ( lim f ( f ( b c () b c. Derivabilidad: si b y c cumplen la anterior ecuación f( continua y podemos calcular la derivada en todos los puntos del dominio f '( 4 b si < si < < Volvemos a tener dos polinomios, así que el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad es en : lim f '( 9 lim f '( lim f ( 4 b Resolviendo el sistema b-49 y c9 () 9 4 b Ejercicio 9: Dada la función f( a) allar a, b para que f( sea continua. b) Calcular los puntos donde es derivable) si f( a b si < si > a) Las funciones y son continuas en R. La función a b será continua en (,] dependiendo de a y b. Veamos los valores de a y b para que sea continua en y lim f ( b b 4 lim f ( lim f ( a lim f ( a 4 Para estos valores de a y b 4 es continua en (,] ya que 4 en este intervalo es mayor de cero. Luego si a- b4 la función f( continua en R, y podemos calcular f ( José Luis Lorente Aragón 6

17 Unidad. Funciones.Derivabilidad b) f ( 4 Derivabilidad en Derivabilidad en si < si < < si > f '( ) lim f '( f '() No derivable f '( ) lim f '( 4 f '( f '() f '( ) lim ) lim f '( derivable en f '( Luego f( derivable en R-{} Ejercicio : Calcular los puntos donde la recta tangente a y --6 paralela a la recta y6-5 Si es paralela tienen misma pendiente, es decir m6. Como la pendiente de la recta tangente es f ( se tiene que cumplir que f (6 f (6 6-6, -. P (,f())(,-8) P (-,f(-))(-,57) Ejercicio : Dada la función f( -4 encontrar los puntos donde la recta tangente a esta función sea paralela a la recta que corta la curva en, 4 Si son paralelas tienen la misma pendiente, calculemos las dos pendientes f (4) f () Pendiente recta secante en, 4 m 4 Pendiente rectas tangentes f (-4 Luego -4 5/ P(5/,-/4) Ejercicio : Hallar los valores de b y c para que la recta tangente a la curva con función y bc en el punto P(,) sea perpendicular a y-.5 Primera condición la curva pasa por P, es decir f() 9bc Segunda condición al ser perpendicular la pendiente de la recta tangente será la inversa con signo menos m-/(-.5) para la recta tangente en f () 6b b-4,c 64 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

18 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicio : Estudiar la derivabilidad de f(/( ), y calcular f ( a) f( es continua en todo R pues el denominador no se anula y la función valor absoluta es continua en R. Calculemos la derivada, para esto primero ponemos la función definida a trozos conforme a los valores del que cambian el signo de : f( si si > ( f ( ( si si < > El único punto donde ay que estudiar la derivabilidad es en, donde cambia de epresión analítica, ya que los denominadores no se anulan en ningún punto donde estén definidas. lim f '( o lim f '( lim f '(. o lim f '( o o Función derivable en R, pues ( f (). continua si <, ( Como es derivable en R podemos definir la segunda derivada: continua si > y si < ( b) f ( en la función f( no es dos veces derivable pues si > ( lim f ''( lim f ''( o o Ejercicio 4. Sea f( a) estudiar los valores de a que acen continua f(, b) ver para estos valores si la función es derivable: f( a a si si a > a a) Los dos trozos de definición de f( son polinomios luego continuos en todo R y en por tanto en su dominio de definición. Sólo nos falta por estudiar la continuidad en a: lim f ( a a lim f ( a lim f ( a a a a a -a a -a a,a b) a f( f ( )f ( - ) Luego es derivable en. si si > f ( si < si > José Luis Lorente Aragón 65

19 Unidad. Funciones.Derivabilidad Veamos la gráfica a f( 4 si si > f ( si < 4 si > f ( - )f ( )4, luego es derivable en. Veamos la gráfica: 66 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

20 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicios de la P.A.U. Septiembre 4. Prueba A. PR- a) Sea f la función dada por f( -, estúdiese la derivabilidad de f en mediante la definición de derivada si a) f (, R. si < f ( ) f () lim lim f ( ) f () lim No derivable. f ( ) f () lim lim Septiembre 5. Prueba A PR-. a) Estúdiese la derivabilidad de Primero tenemos que estudiar la continuidad de f(: los dos trozos de la función son continuos, pues el argumento del logaritmo es siempre positivo. De esta forma sólo tenemos que ver la continuidad en lim f ( ln() lim f ( lim f ( f(), luego es continua en R y podemos calcular la función derivada en todos los puntos:, > f '(, < Los dos trozos son continuos pues uno es un polinomio y el otro es un denominador que nunca se anula. Sólo tenemos que calcular la derivabilidad en : f ( )f ( - ) luego es derivable en y por tanto en R Junio 6. Prueba B. C-. Sea f(a b cd. Determínense a, b, c y d para que la recta y sea tangente a la gráfica de f en el punto (,-), y la recta -y- sea tangente a la gráfica de f en el punto (,-). Condiciones:.- Recta y- m y Pasa por (,-). f()d-.. f ()c.- Recta y- m y Pasa por (,-) José Luis Lorente Aragón 67

21 Unidad. Funciones.Derivabilidad. f()ab--, f ()ab. Resolviendo el sistema: a, b- Septiembre 6. Prueba B. C- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f( en el punto. ( ) f ( la pendiente de la recta paralela es mf (), es ( ) ( ) decir paralela al eje OX, y la de la recta normal es m, paralela al eje OY. Las dos pasan por el punto P(,f()) P(,) a) Tangente en (y-) y (eje OX) b) Normal (eje OY) Veamos la gráfica de f(: Septiembre 7. Prueba A C-.- Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y -, la recta tangente a la misma es paralela a la recta y7. Si las rectas son tangentes misma pendiente. La pendiente de la recta y7 es m. La pendiente de la recta tangente es igual a f ( -6. Obliguemos a que la pendiente sea y calculemos el valor de la coordenada de los puntos buscados: -6 (-6), P (,f()) P (,) P (,f()) P (,-) Junio 8. Prueba A C-.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f( a en el punto sea perpendicular a la recta y. Si la recta tangente es perpendicular a y--, entonces la pendiente es m-/-. La pendiente de las rectas tangente en es f () aa. Igualando la derivada al valor de m obtenemos que a. 68 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

22 Unidad. Funciones. Derivabilidad Prueba B PR- Dada la función f(, se pide a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f( Continuidad: sólo ay que estudiar la continuidad en que es donde la función cambia de epresión analítica y donde se anula en denominador de la primera. sen( ) lim f ( lim ( L Hopital tema 4) lim f ( lim f ( f( es por tanto continua en R Derivabilidad: como es continua en R podemos definir la función derivada : sen( ) f ( cos( ) si si > < Sólo ay que estudiar la derivabilidad en f ( sen( ) sen( ) ) lim cos( ) lim ( L Hopital tema 4) f ( - )- Luego no es derivable en La función f( es derivable en R-{} José Luis Lorente Aragón 69