48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el examen de la PAU"

Transcripción

1 48 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

2 Unidad. Funciones. Derivabilidad TEMA FUNCIONES.DERIVABILIDAD.. Tasa de variación media. Derivada en un punto. Interpretación.. Tasa de variación media.. Definición de derivada en un punto.. Interpretación geométrica de la derivada. Continuidad y derivabilidad.. Función derivada. Derivadas de orden superior... Función derivada.. Derivadas de orden superior 4. Derivabilidad de las funciones elementales. Operaciones con derivadas 4.. Derivadas de la función elementales 4.. Operaciones con derivadas 4.. Derivación logarítmica José Luis Lorente Aragón 49

3 Unidad. Funciones.Derivabilidad Conteto con la P.A.U. El saber derivar es básico a la ora de realizar el eamen de la PAU. En este tema se recuerda como se deriva y se realizan diferentes ejercicios, pero en caso de resultar insuficientes se recomienda que se repase la derivada en cualquier libro de º de Baciller. En el eamen de selectividad no suele aber ningún ejercicio concreto de derivar una función, si bien la derivada aparece en multitud de ocasiones. Algunos ejemplos de ejercicios en los que ay que saber derivar son en los problemas de representación y estudio de funciones, los de estudiar la continuidad y derivabilidad de una función, los límites que se calculan con L Hopital Problemas más concretos en el eamen de la PAU relacionados con el tema son los siguientes: Estudio de la continuidad y derivabilidad de una función, o cálculo de algún parámetro para que la función sea continua o derivable. Estudiar la derivabilidad de una función en un punto por la definición de derivada. Cálculo de rectas tangentes y/o normales a una función en un punto. En este tema abordaremos estos problemas para que el alumno se encuentre familiarizado con ellos el día del eamen. 5 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

4 Unidad. Funciones. Derivabilidad. Tasa de Variación media. Derivada en un punto. Interpretación. Tasa de variación Media Definición: se llama tasa de variación media de una función f( entre los valores y al cociente entre el incremento que eperimenta la variable dependiente y, y la variable independiente : f T vm (,,f() f ( ), Interpretemos gráficamente su significado: Ejemplo: f( - f ( ) f( ) f( ) f f (4) f () 5 ( ) Veamos la tasa de variación media entre y 4: 4 4 Para interpretar f,,4 fijémonos en el triángulo rectángulo rojo de la imagen, donde los catetos son (f( )-f( )) y ( - ). De esta forma catetos, y así f, (,f( )) y (,f( )) con el eje, y por tanto f, es el cociente de los dos es la tangente del ángulo que forma la recta que une los puntos f, es la pendiente de dica recta José Luis Lorente Aragón 5

5 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Definición de derivada de una función en un punto Definición: la derivada de una función f( en el punto, se denota como f ( ), es la tasa de variación instantánea, es decir: f '( f ( f ( ) f ( ) f ( ) ) lim lim Generalmente suele ser más fácil calcular esta derivada a partir de la segunda igualdad de la definición. Una función es derivable en un punto cuando el límite eiste, aunque este sea o -. Ejemplos: a) f( en f ( ) f '() lim f () lim La función f( es derivable en y f ()4 b) f( - si > en si (( ) ) lim lim 4 f ( f ( ) f () ( ) ) lim lim lim f ( - f ( ) f () ( ) ) lim lim lim No eiste el límite por tanto la función f( no es derivable en. Nota: las funciones valor absoluto no son derivables en los puntos de donde se anulan. En estos puntos las derivadas laterales son de distinto signo.. Interpretación geométrica de la derivada En el apartado. vimos que la tasa de variación media se interpretaba como la pendiente de la recta que unía los dos puntos. La derivada es el límite de la variación media cuando los puntos se acercan infinitamente, veamos esto de forma gráfica en derivada 5 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

6 Unidad. Funciones. Derivabilidad Como vemos en la gráfica anterior si nos acercamos infinitamente al punto la recta que une los dos puntos tiende a ser la recta tangente a la función. Por tanto la derivada en de f(, es decir f (, ) es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (, f( )). α mtg(α)f ( ) Conclusión: f ( )tg(α)m recta tangente en o Conociendo la pendiente de la recta y el punto por el que pasa (,f( )) es fácil calcular la ecuación de la recta tangente y normal (la pendiente es -/m-/f ( ) aplicando la ecuación punto pendiente yy m (- ): Ecuación de la recta tangente a la función f( en : y-f( )f ( )(- ) Ecuación de la recta normal a la función f( en : y-f( ) (- ) f '( ) Ejemplo: calcular la recta tangente y normal a la curva yf( en el punto de abscisa f ( ) f '() lim f () ( ) lim m recta tang f ()5 y el punto es P (,f()) P(,4) recta tangente y-f()f ()(-) ( ) 4 lim y-45(-) y5- recta normal y-f() (-) y-4 (-) y f '() lim 5 José Luis Lorente Aragón 5

7 Unidad. Funciones.Derivabilidad. Continuidad y derivabilidad Teorema: toda función f( derivable en un punto, es continua en este punto. El contrario no siempre es cierto para toda función. Ejemplo: como vimos la función f( era derivable en (eiste el límite f ( ) f () lim ) luego es continua en Nota: Todas las funciones polinómicas, son continuas y derivables en todos los puntos. Veamos otros dos ejemplos donde el recíproco al teorema no es cierto, son continuas y no derivables: a) f( - si > en es continua lim f ( f () si en no es derivable (ver página 5) b) g( en es continua pero no es derivable : f ( ) f () lim lim lim lim lim lim lim / / lim Veamos la representación gráfica de estas dos funciones no derivables, y entandamos su interpretación gráfica: a) f( - 54 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

8 Unidad. Funciones. Derivabilidad b) g( Gráficamente vemos que en los puntos donde la función no es derivable eiste un pico o punto anguloso que nos indica el cambio de pendiente de la recta tangente en dicos puntos (límites laterales son diferentes). Ejercicio : Sea la función f( calcular a y b para que f( sea continua y derivable. La función está definida a trozos pero tanto sen( como ab son continuas y derivables en todos los puntos, luego punto donde ay que estudiar la continuidad y derivabilidad es donde la función cambia de epresión algebraica a) Continuidad: lim f ( b continua si lim ( ) () b f sen Luego si b independientemente del valor de a la función es continua b) Derivabilidad f ( ) f () a lim lim a derivable si ( ) () ( ) a f f sen lim lim ( L' Hopital) José Luis Lorente Aragón 55

9 Unidad. Funciones.Derivabilidad Otro método más sencillo: cuando la función es continua podemos derivarla, (veremos cómo se deriva en el apartado 4). : cos( si f '( a si < > Nota: el valor para de f ( no se incluye asta que se compruebe que la función es derivable. La función será derivable en el punto si eiste el límite lim f '(, aunque este sea infinito. lim f '( a derivable si lim '( ) cos() a f. Función derivada. Derivadas sucesivas. Función derivada Cuando la función f( es continua podemos obtener su función derivada f (. La función derivada, f (, para cada valor de nos da el valor de la derivada en ese punto, es decir la pendiente de la recta tangente en dico punto. f : R R f ( f ': R R f '( A la función f ( se le llama función derivada de f(, tal que si somos capaces de calcular esta función la derivada de f( en un punto es f ( ), es decir la imagen de f ( en el punto. A partir de definición de derivada la función f( se obtiene aplicando la definición de derivada para una genérica: f '( lim f ( ) f ( Calculo de alguna función derivada: ) f( - f ( ) f ( ( ) f '( lim lim ( ) lim ) f(k (cte) f ( ) f ( k k f '( lim lim lim Si bien para el cálculo de la función derivada veremos en el siguiente apartado la tabla de derivadas y las reglas necesarias para realizar cualquier tipo de derivada. 56 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

10 Unidad. Funciones. Derivabilidad. Derivadas de orden superior En todos los puntos del dominio de f ( (donde f( es derivable) podemos considerar otra función f (, que asigna a cada punto de el valor de la derivada de f ( en este punto. f '': R R f ''( f ''( lim f '( ) f La función así definida recibe el nombre de segunda derivada de f(, f (. De forma análoga podemos definir la tercera derivada f (, cuarta f (IV (, etc. 4. Derivada de funciones elementales. Operaciones con derivadas 4. Derivadas de las funciones elementales Se puede calcular a partir de la definición vista en el apartado anterior la función derivada de las funciones elementales. Veamos en la siguiente tabla la derivada de algunas funciones elementales. Derivada elementales Función Función derivada Ejemplo f(k f ( f(-e f ( f( n f (n n- f( f ( '( f(e f (e f(a f (a ln(a) f(5 f (5 ln(5) f(ln( f (/ f(log a ( f ( ln( a ) f(log ( f ( ln( ) f(sen( f (cos( f(cos( f (-sen( f(tg( f (tg ( cos ( ) f(arc sen( f ( f(arc cos( f ( f(arc tg( f ( José Luis Lorente Aragón 57

11 Unidad. Funciones.Derivabilidad 4. Operaciones con derivadas Aplicamos la definición de la derivada y las propiedades de los límites se obtienen las reglas que permiten derivar funciones que son resultado de operar con otras funciones derivables. Para ver las propiedades de las derivadas veamos otra tabla: Propiedades de las derivadas Propiedad Suma: (fg) (f (g ( Ejemplo ( -cos(e ) --sen(e Constante por una función: (kf) (kf ( (5arc sen() 5 Producto: (f g) (f ( g(f( g ( (5 sen() 5sen(5 cos( Cociente: f g ' f '( g( f ( g'( ( g ( 7 ln( ' 7ln( 7 ln ( 7 ln( 7 ln ( Función compuesta (regla de la cadena): (g º f) ((g(f() g (f( f ( ' cos ( ) cos ( ) ( e ) e cos( ) ( sen( )) A partir de las derivadas elementales y de las propiedades de las derivadas es sencillo calcular la derivada de toda función, sólo ay que aplicar las propiedades con orden. Ejercicio : calcular las derivadas siguientes a) D[( -) 5 ]5( -) 4 ( -) 4 b) D[( / ] ( / c) D[ 4 ]4 4 ln(4) ( d) D[(e ) 4 ]4 (e ) ( e )8 (e ) (e ) e) D[ln(- ) 4 4 ] 4( ) ( 6 4 ( ) f) D ( ) 6 g) D ( (4 5 5 ) ( 6 ( ( ) ( ) 7 ) / 4 5 ( 5 (4 5 ) (4 5 ) 58 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

12 ) D [(4 ) 4 ] Unidad. Funciones. Derivabilidad (4 ) 4 4 (4 ) i) D[sen 4 (]4 sen ( cos( j) D[sen( 4 )]cos( 4 ) 4 k) D ( ) ( ) ( ) l) D[sen ( )]sen( ) cos( ) 4 sen( ) cos( ) m) D [ arc sen( ) ] ( ) 7 7 ( 7 ( 7) ( n) D 7 ( 7 ) ( 7 ) 7 7 ( 7( 7 7 o) D [ arc tg( ] ( ) ( ( ) ( ) p) D ln ( ) ( ) ( ) ( )( ) q) D [ sen ( cos (] sen ( cos( cos ( sen ( cos( sen( 6 sen ( cos( cos ( 6 sen ( cos( sen( r) D [ arc sen( tg( ) ] tg tg ( ( 4. Derivación logarítmica Cuando las funciones en forma de eponente, donde tanto la base como el eponente son funciones, f((g() (. El cálculo de la derivada debe de acerse siguiendo el siguiente procedimiento (usaremos el ejemplo f((7 ) cos( ). Tomamos logaritmos en ambos lados: ln(f()( ln(g() Ejemplo: ln(f()cos( ln(7 ). Derivamos a ambos lados de la igualdad: Ejemplo: f '( ( g'( '( ln( g( ) f ( g( f '( cos( 4 cos( sen( ln(7 ) sen( ln(7 ) f ( 7 José Luis Lorente Aragón 59

13 Unidad. Funciones.Derivabilidad ( g'(. Despejamos f (: f '( f ( '( ln( g( ) g( Ejemplo: f ( sen( ln(7 Ejercicio : calcular la derivada: a) D[ ] f(. ln(f() ln( f ('. ln( f (. f ( (ln() b) D[ ln( ] f( ln(. ln(f()ln( ln(ln ( f '(. ln( f ( ln(. f ( ln cos( ) (7 7 ) cos( 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

14 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicios del tema Ejercicio 4: Estudiar la derivabilidad de. La función es continua en R, pues es una raíz cúbica que eiste para números negativos. Veamos la derivabilidad: f ( ( ) / (6 ) ( ) Se anula el denominador en y, estudiemos la derivabilidad en estos puntos f () lim 9 6 f '( ) lim f '( ) lim ( ) ( ) f '( ) lim f () ( ) lim 9 6 f '( ) lim ( ) es decir la tangente es una recta paralela al eje OY. No derivable derivable m-, Nota: una función derivable en un punto si eiste la derivada, aunque esta sea infinito. Veamos la gráfica para interpretar los resultados en y José Luis Lorente Aragón 6

15 Unidad. Funciones.Derivabilidad Ejercicio 5: estudiar la derivabilidad de Veamos primero la continuidad: lim / lim g ( lim e Continua / e lim / e Veamos aora la derivabilidad por la definición: g () g( ) g() / lim lim e No es derivable en Veamos la gráfica: lim ( e / / en. lim ( e ) lim ( e / / ) ) Ejercicio 6: Deriva la función f( ln(cos() e sen( f ( e e tg( e ( cos( Ejercicio 7: Calcula un punto de la función f( 5 en la que la recta tangente sea paralela a la recta y- Si la rectas son paralelas misma pendiente, luego la recta tangente tiene pendiente m, por tanto buscamos el punto donde f ( f ( P(,f())(,7) 6 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

16 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicio 8: Hallar b y c para que f( sea continua y derivable en (,) f b c ( si si <. Continuidad: las funciones definidas en los dos trozos son polinomios y por tanto el único punto ay que estudiar la continuidad es en. lim lim f ( lim f ( f ( b c () b c. Derivabilidad: si b y c cumplen la anterior ecuación f( continua y podemos calcular la derivada en todos los puntos del dominio f '( 4 b si < si < < Volvemos a tener dos polinomios, así que el único punto donde tenemos que estudiar la continuidad es en : lim f '( 9 lim f '( lim f ( 4 b Resolviendo el sistema b-49 y c9 () 9 4 b Ejercicio 9: Dada la función f( a) allar a, b para que f( sea continua. b) Calcular los puntos donde es derivable) si f( a b si < si > a) Las funciones y son continuas en R. La función a b será continua en (,] dependiendo de a y b. Veamos los valores de a y b para que sea continua en y lim f ( b b 4 lim f ( lim f ( a lim f ( a 4 Para estos valores de a y b 4 es continua en (,] ya que 4 en este intervalo es mayor de cero. Luego si a- b4 la función f( continua en R, y podemos calcular f ( José Luis Lorente Aragón 6

17 Unidad. Funciones.Derivabilidad b) f ( 4 Derivabilidad en Derivabilidad en si < si < < si > f '( ) lim f '( f '() No derivable f '( ) lim f '( 4 f '( f '() f '( ) lim ) lim f '( derivable en f '( Luego f( derivable en R-{} Ejercicio : Calcular los puntos donde la recta tangente a y --6 paralela a la recta y6-5 Si es paralela tienen misma pendiente, es decir m6. Como la pendiente de la recta tangente es f ( se tiene que cumplir que f (6 f (6 6-6, -. P (,f())(,-8) P (-,f(-))(-,57) Ejercicio : Dada la función f( -4 encontrar los puntos donde la recta tangente a esta función sea paralela a la recta que corta la curva en, 4 Si son paralelas tienen la misma pendiente, calculemos las dos pendientes f (4) f () Pendiente recta secante en, 4 m 4 Pendiente rectas tangentes f (-4 Luego -4 5/ P(5/,-/4) Ejercicio : Hallar los valores de b y c para que la recta tangente a la curva con función y bc en el punto P(,) sea perpendicular a y-.5 Primera condición la curva pasa por P, es decir f() 9bc Segunda condición al ser perpendicular la pendiente de la recta tangente será la inversa con signo menos m-/(-.5) para la recta tangente en f () 6b b-4,c 64 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

18 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicio : Estudiar la derivabilidad de f(/( ), y calcular f ( a) f( es continua en todo R pues el denominador no se anula y la función valor absoluta es continua en R. Calculemos la derivada, para esto primero ponemos la función definida a trozos conforme a los valores del que cambian el signo de : f( si si > ( f ( ( si si < > El único punto donde ay que estudiar la derivabilidad es en, donde cambia de epresión analítica, ya que los denominadores no se anulan en ningún punto donde estén definidas. lim f '( o lim f '( lim f '(. o lim f '( o o Función derivable en R, pues ( f (). continua si <, ( Como es derivable en R podemos definir la segunda derivada: continua si > y si < ( b) f ( en la función f( no es dos veces derivable pues si > ( lim f ''( lim f ''( o o Ejercicio 4. Sea f( a) estudiar los valores de a que acen continua f(, b) ver para estos valores si la función es derivable: f( a a si si a > a a) Los dos trozos de definición de f( son polinomios luego continuos en todo R y en por tanto en su dominio de definición. Sólo nos falta por estudiar la continuidad en a: lim f ( a a lim f ( a lim f ( a a a a a -a a -a a,a b) a f( f ( )f ( - ) Luego es derivable en. si si > f ( si < si > José Luis Lorente Aragón 65

19 Unidad. Funciones.Derivabilidad Veamos la gráfica a f( 4 si si > f ( si < 4 si > f ( - )f ( )4, luego es derivable en. Veamos la gráfica: 66 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

20 Unidad. Funciones. Derivabilidad Ejercicios de la P.A.U. Septiembre 4. Prueba A. PR- a) Sea f la función dada por f( -, estúdiese la derivabilidad de f en mediante la definición de derivada si a) f (, R. si < f ( ) f () lim lim f ( ) f () lim No derivable. f ( ) f () lim lim Septiembre 5. Prueba A PR-. a) Estúdiese la derivabilidad de Primero tenemos que estudiar la continuidad de f(: los dos trozos de la función son continuos, pues el argumento del logaritmo es siempre positivo. De esta forma sólo tenemos que ver la continuidad en lim f ( ln() lim f ( lim f ( f(), luego es continua en R y podemos calcular la función derivada en todos los puntos:, > f '(, < Los dos trozos son continuos pues uno es un polinomio y el otro es un denominador que nunca se anula. Sólo tenemos que calcular la derivabilidad en : f ( )f ( - ) luego es derivable en y por tanto en R Junio 6. Prueba B. C-. Sea f(a b cd. Determínense a, b, c y d para que la recta y sea tangente a la gráfica de f en el punto (,-), y la recta -y- sea tangente a la gráfica de f en el punto (,-). Condiciones:.- Recta y- m y Pasa por (,-). f()d-.. f ()c.- Recta y- m y Pasa por (,-) José Luis Lorente Aragón 67

21 Unidad. Funciones.Derivabilidad. f()ab--, f ()ab. Resolviendo el sistema: a, b- Septiembre 6. Prueba B. C- Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f( en el punto. ( ) f ( la pendiente de la recta paralela es mf (), es ( ) ( ) decir paralela al eje OX, y la de la recta normal es m, paralela al eje OY. Las dos pasan por el punto P(,f()) P(,) a) Tangente en (y-) y (eje OX) b) Normal (eje OY) Veamos la gráfica de f(: Septiembre 7. Prueba A C-.- Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y -, la recta tangente a la misma es paralela a la recta y7. Si las rectas son tangentes misma pendiente. La pendiente de la recta y7 es m. La pendiente de la recta tangente es igual a f ( -6. Obliguemos a que la pendiente sea y calculemos el valor de la coordenada de los puntos buscados: -6 (-6), P (,f()) P (,) P (,f()) P (,-) Junio 8. Prueba A C-.- Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f( a en el punto sea perpendicular a la recta y. Si la recta tangente es perpendicular a y--, entonces la pendiente es m-/-. La pendiente de las rectas tangente en es f () aa. Igualando la derivada al valor de m obtenemos que a. 68 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

22 Unidad. Funciones. Derivabilidad Prueba B PR- Dada la función f(, se pide a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f( Continuidad: sólo ay que estudiar la continuidad en que es donde la función cambia de epresión analítica y donde se anula en denominador de la primera. sen( ) lim f ( lim ( L Hopital tema 4) lim f ( lim f ( f( es por tanto continua en R Derivabilidad: como es continua en R podemos definir la función derivada : sen( ) f ( cos( ) si si > < Sólo ay que estudiar la derivabilidad en f ( sen( ) sen( ) ) lim cos( ) lim ( L Hopital tema 4) f ( - )- Luego no es derivable en La función f( es derivable en R-{} José Luis Lorente Aragón 69

Tema 12. Derivabilidad de funciones.

Tema 12. Derivabilidad de funciones. Tema. Derivabilidad de funciones.. Tasa de Variación media. Derivada en un punto. Interpretación.... Tasa de variación Media.... Definición de derivada de una función en un punto.... Interpretación geométrica

Más detalles

Unidad 3. Funciones.Derivabilidad 3 FUNCIONES TEMA ERIVABILIDAD. José L. Lorente Aragón

Unidad 3. Funciones.Derivabilidad 3 FUNCIONES TEMA ERIVABILIDAD. José L. Lorente Aragón Unidad. Funciones.Derivabilidad TEMA FUNCIONES UNCIONES.DERIVABILIDAD ERIVABILIDAD.. Tasa de variación media. Derivada en un punto. Interpretación.. Tasa de variación media.. Deinición de derivada en un

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Estudio de ceros de ecuaciones funcionales

Estudio de ceros de ecuaciones funcionales Capítulo 1 Estudio de ceros de ecuaciones funcionales Problema 1.1 Calcular el número de ceros de la ecuación arctang(x) = 4 x, dando un intervalo 5 donde se localicen. Solución: Denimos f(x) = arctan(x)

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Esta es la forma vectorial de la recta. Si desarrollamos las dos posibles ecuaciones, tendremos las ecuaciones paramétricas de la recta: Todo el mundo sabe que dos puntos definen una recta, pero los matemáticos son un poco diferentes y, aún aceptando la máxima universal, ellos prefieren decir que un punto y un vector nos definen una recta.

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones

Tipos de funciones. Clasificación de funciones Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C

Más detalles

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

Concepto de función. El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D. Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

Ejercicios de Trigonometría

Ejercicios de Trigonometría Ejercicios de Trigonometría 1) Indica la medida de estos ángulos en radianes: a) 0º b) 45º c) 60º d) 120º Recuerda que 360º son 2π radianes, con lo que para hacer la conversión realizaremos una simple

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA f( t) f: ; t a, b y g() t De la regla de la cadena dy dy dt d dt d En donde dt se puede calcular

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'.

a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'. .- Dada la función: f(x) = x 9 x a) Buscar dominio, crecimiento, decrecimiento y máximos absolutos. b) Buscar el área delimitada por la función y el eje '0X'..a.- Lo primero que hacemos es buscar el dominio,

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 2. Límites de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 2. Límites de funciones Apuntes Tema 2 Límites de funciones 2.1 Límites de funciones Def.: Dada una función f(), diremos que su límite cuando tiende hacia a es el número L, y lo escribiremos, lim f() L si eisten los límites laterales

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)

Integral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad) Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa

Profr. Efraín Soto Apolinar. Función Inversa Función Inversa Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Más detalles

a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)

a < b y se lee a es menor que b (desigualdad estricta) a > b y se lee a es mayor que b (desigualdad estricta) Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3).

SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA. 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1, 2) y que pasa por el punto (2,3). SOLUCIONES CIRCUNFERENCIA 1. Ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,) y que pasa por el punto (,). Para determinar la ecuación de la circunferencia es necesario conocer el centro y el

Más detalles

Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Práctica 4: Derivadas. Primer cuatrimestre de 2009

Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Práctica 4: Derivadas. Primer cuatrimestre de 2009 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 2009 Práctica 4: Derivadas Notaciones: Dada una función f : R R, un punto a R y un número R que llamaremos incremento en, se define

Más detalles

Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim

Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim ) Sea la función: f(x) = ln( x ): a) Dar su Dominio y encontrar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los

Más detalles

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim

Más detalles

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0 FUNCIÓN POLINOMIAL. DEFINICIÓN. Las funciones polinomiales su representación gráfica, tienen gran importancia en la matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 4 - Límite de funciones. 1. Límites en el infinito - Asíntotas horizontales Práctica 4 - Parte Límite de funciones En lo que sigue, veremos cómo la noción de límite introducida para sucesiones se etiende al caso de funciones reales. Esto nos permitirá estudiar el comportamiento

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2.

PROBLEMA 1. 1. [1.5 puntos] Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, 1) a la curva dada implícitamente por y 3 +3y 2 = x 4 3x 2. PROBLEMA. ESCUELA UNIVERSITARIA POLITÉCNICA DE SEVILLA Ingeniería Técnica en Diseño Industrial Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Soluciones correspondientes a los problemas del Primer Parcial 7/8.

Más detalles

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 200 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Incidencias. Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2014 (Incidencias. Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio de 04 (Incidencias Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Junio Incidencias 04 Sea f la función definida por f(x) = x + ln(x)

Más detalles

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos

Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos MATEMÁTICAS BÁSICAS DESIGUALDADES DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La epresión a b significa que "a" no es igual a "b ". Según los valores particulares de a de b, puede tenerse a > b, que

Más detalles

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría

10 Cálculo. de derivadas. 1. La derivada. Piensa y calcula. Aplica la teoría 0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente,

Más detalles

Departamento de Matemáticas

Departamento de Matemáticas MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente

Más detalles

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

DIRECTRICES Y ORIENTACIONES GENERALES PARA LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Curso Asignatura 2014/2015 MATEMÁTICAS II 1º Comentarios acerca del programa del segundo curso del Bachillerato, en relación con la Prueba de Acceso a la Universidad La siguiente relación de objetivos,

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD

Más detalles

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y 4. Derivabilidad 1 Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite f (a) = lím x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lím, h 0 h y es un número real. El número f (a) se denomina derivada

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Integrales y ejemplos de aplicación

Integrales y ejemplos de aplicación Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir

Más detalles

TEMA 4. FUNCIONES DE VARIABLE REAL

TEMA 4. FUNCIONES DE VARIABLE REAL TEMA 4. FUNCIONES DE VARIABLE REAL 4.1 Definición de función real Definición: Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto A en. f : A El dominio de una función es el conjunto

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

Tema 9. Funciones de varias variables.

Tema 9. Funciones de varias variables. Tema 9. Funciones de varias variables. 9.1 Introducción 9.2 Límite continuidad. 9.3 Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema Schwart. 9.4 Diferencial. 9.5 Regla de la cadena. Derivación

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

Función exponencial y Logaritmos

Función exponencial y Logaritmos Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función exponencial y Logaritmos Nivel: 4 Medio Función exponencial y Logaritmos 1. Funciones exponenciales Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes

Más detalles

CAPÍTULO III. FUNCIONES

CAPÍTULO III. FUNCIONES CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN

Más detalles

En la siguiente gráfica se muestra una función lineal y lo que representa m y b.

En la siguiente gráfica se muestra una función lineal y lo que representa m y b. FUNCIÓN LINEAL. La función lineal o de primer grado es aquella que se representa gráficamente por medio de una línea recta. Dicha función tiene una ecuación lineal de la forma f()= =m+b, en donde m b son

Más detalles

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas

Tema 3. Polinomios y fracciones algebraicas Tema. Polinomios y fracciones algebraicas. Monomios.. Definiciones.. Operaciones con monomios. Polinomios.. Definiciones.. Operaciones con polinomios. Factorización de un polinomio.. Teorema del resto.

Más detalles

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15)

Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (2014-15) Variable Compleja I (3 o de Matemáticas y 4 o de Doble Titulación) Ejemplos y problemas resueltos de análisis complejo (04-5) Teoremas de Cauchy En estos apuntes, la palabra dominio significa, como es

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas.

Guía para el examen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías y matemáticas aplicadas. Guía para el eamen de clasificación de matemáticas para las carreras de: actuaría, economía, ingenierías matemáticas aplicadas. Septiembre 23 Índice. Instrucciones.. Objetivo....2. Requisitos....3. Característicasdeleamen...

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 13 y #14 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASES # 3 y #4 Desigualdades Al inicio del Capítulo 3, estudiamos las relaciones de orden en los número reales y el signi cado de expresiones

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones

Unidad 5 Estudio gráfico de funciones Unidad 5 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 43 Evaluar un polinomio. a) P(-1) = 1 + + 1 1 = 3 b) P(0) = -1 c) P(-) = 8 + 8 + 1 = 17 d) P(1) =

Más detalles

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:

a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica: TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. 10.1. DOMINIO. El dominio de definición de una función y = f{) (valores para los cuales eiste la función) es, en principio, todo ir, salvo que haya operaciones imposibles

Más detalles

EXAMEN DE MATEMÁTICAS I Licenciatura en Ciencias Económicas 24 de Enero de 2009

EXAMEN DE MATEMÁTICAS I Licenciatura en Ciencias Económicas 24 de Enero de 2009 EXAMEN DE MATEMÁTICAS I Licenciatura en Ciencias Económicas 4 de Enero de 9 NOMBRE: APELLIDOS: D.N.I.: GRUPO: INSTRUCCIONES: Para la realización de este eamen se entregarán dos cuadernillos. Cuadernillo

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales:

A estas alturas de nuestros conocimientos vamos a establecer dos reglas muy prácticas de cómo sumar dos números reales: ADICIÓN Y RESTA DE NUMEROS REALES ADICIÓN L a adición o suma de números reales se representa mediante el símbolo más (+) y es considerada una operación binaria porque se aplica a una pareja de números,

Más detalles

f(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR.

f(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR. Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema Funciones derivables. Derivada de una función en un punto Definición 4.- Se dice que f: (a, b IR es derivable en el punto (a, b si f( f( = L IR es decir,

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013 x cos(x) + b sen(x) [2 5 puntos] Sabiendo que lim

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013 x cos(x) + b sen(x) [2 5 puntos] Sabiendo que lim IES Fco Ayala de Granada Junio de 013 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 013 x cos(x) + b sen(x) [ 5 puntos] Sabiendo que lim es finito, calcula b

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales de funciones

5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales de funciones Programa Inmersión, Verano 206 Notas escritas por Dr. M Notas del cursos. Basadas en los prontuarios de MATE 300 y MATE 3023 Clase #6: martes, 7 de junio de 206. 5 Ecuaciones lineales y conceptos elementales

Más detalles

Interpolación polinómica

Interpolación polinómica 9 9. 5 9. Interpolación de Lagrange 54 9. Polinomio de Talor 57 9. Dados dos puntos del plano (, ), (, ), sabemos que ha una recta que pasa por ellos. Dicha recta es la gráfica de un polinomio de grado,

Más detalles