ANALISIS MATEMATICO I Ciclo Lectivo Guía de Estudio y Práctica 11 SUCESIONES Y SERIES. Ing. Jorge J. L. Ferrante

Transcripción

1 ANALII MATEMATICO I Ciclo Lectivo 009 Guí de Estudio y Práctic UCEIONE Y ERIE Ig. Jorge J. L. Ferrte I CONOLIDACIÓN DE CONCEPTO e iici est Guí de Estudio y Práctic co u meció especil Leordo de Pis, llmdo Fibocci, utor de u de ls más célebres sucesioes si o l más célebre- de múltiples pliccioes e ivlorble plicció pr l iterpretció de distits mifestcioes de l turlez. L búsqued de l iformció que se greg se hizo trvés de Iteret, e especil, l pági El ubicuo Fibocci, secció zppig de Axo N iglo XII. E 70, los ormdos tc los irldeses e Bgibu y los destroz, mietrs Gervsio de Cterbury y los stróomos chios documet u trásito de Mrte frete Júpiter. El judío sefrdí Bejmí de Tudel vij por todo el mudo coocido pr cesr los judíos existetes, y lleg l coclusió de que 8 milloes de ellos está reprtidos por el plet. El Vlle del Beá es devstdo por u esptoso terremoto de más de grdo 7 e l Escl de Merclli. Ricrdo Corzó de Leó, mietrs tto, rei e Iglterr. Etre ttos evetos importtes, u tl Boccio, residete e Pis (dode, segú Bejmí, viví 0 judíos) celebr el cimieto de su hijo Leordo. Como er vástgo de Boccio, csi uc die cooció l iño como Leordo de Pis, sio como "el hijo de Boccio", esto es, Fibocci. Boccio, por etoces director de u du itli e Argeli, ecesit que su hijo sep de úmeros, por lo que oblig l chiquillo estudir ritmétic posiciol hidú. Milgrosmete, Fibocci descubrió e ls mtemátics el mor de su vid. Nuc más ls bdoó. El porte de Fibocci l mtemátic es t grde y t profudo que prácticmete o puede ser medido. Por l époc e l que vivió, el sistem de umerció rábigo er poco meos que u curiosidd: todo el

2 mudo usb los úmeros romos. Y y se sbe lo difícil que es multiplicr por o hblr de dividir co úmeros romos. Fibocci, recorddo el curso de ritmétic hidú predido de iño, escribe, e 0, su trtdo Liber bci ("El Libro del Ábco") que es, i más i meos, u trtdo sobre el sistem umerl idorábigo. E él preset l público y los cietíficos europeos los sigos hidúes (,,...) y el 0 árbe, dode dice que se llm "cero" (quod rbice zephirum ppelltur). Además, expoe el método de regul flsi pr ecucioes de primer grdo. Nd meos que eso, lgo isólito pr u libro del siglo XIII e u sociedd que o usb el cero. Not del utor: resultrí ijusto olvidr l meció de Alexdre de Villedieu, Frcisco Frcés y Joh de Hllifx, llmdo crobosco quiees, juto Fibocci merece el crédito de hber populrizdo el lgorism de l umerció idorábig. Crme de Algorismo es u poem de Alexdre de Villedieu dode ls opercioes co eteros está descripts juto l uso del cero como úmero. crobosco hce lo propio e u trtdo de stroomí llmdo Algorismus Vulgris utilizdo profusmete e l edd medi. Otro libro de Fibocci, De qudrtis umeris (5) es t vzdo que hubo que esperr Fermt (e el siglo XVII) pr superrlo Ls sucesioes de Fibocci fuero butizds e hoor del itlio por el teórico frcés Edourd Lucs. U sucesió de Fibocci es quell dode cd úmero es el resultdo de sumr los dos que lo precede. Así, l primer y más básic sucesió de Fibocci es,,,, 5, 8,,,, 55, 89,,... respodiedo l fórmul - - egú l histori est sucesió surge l estudir l propgció de coejos.

3 Lo itereste de ls sucesioes de Fibocci es que prácticmete culquier (co l sol codició de que domie l ritmétic básic) puede ivestigrls, descubrirles uevs propieddes y desrrollr teorems propios, iéditos y curiosísimos sobre ells. Prece existir ifiitos teorems de Fibocci, y mteurs mtemáticos csi bsolutos h escrito y publicdo itermible ctidd de sesudos libros cerc de ellos. Además, ls sucesioes de Fibocci prece e ifiidd de objetos de l turlez. i se observ u árbol, e l primer prte hy u troco, le sigue, e l segud, u prte más fi, e l tercer, dos rms, e l curt, tres, luego cico y Fibocci presete!

4 Ls pliccioes de los úmeros de Fibocci so tmbié, l precer, ifiits: se utiliz e geerció de úmeros l zr, e l búsqued de vlores máximos y míimos de fucioes complejs de ls que se igor l derivd, e trbjos de clsificció de dtos, e recuperció de iformció e computdors, y mil etcéters más. Los frctles so sucesioes de Fibocci Etre ls muchs curiosiddes de ls sucesioes de Fibocci, u de ls más extrñs propieddes de ls misms es que l rzó etre cd pr de úmeros cosecutivos v oscildo por ecim y por debjo de l rzó áure, y que medid que vzmos e l serie, l difereci de l rzó de Fibocci co l rzó áure se v hciedo cd vez meor. E teorí, cudo llegásemos l último pr de úmeros, resultrí, que es, precismete, l llmd rzó áure. L firmció terior se demuestr fácilmete. E el ejemplo, /,5 bstte por debjo de l rzó áure. Pero 5 /,66 lgo por ecim, pero meos que tes. iguiedo result 8 / 5,6 ; / 8,65 ; /,65 y /,690

5 lo cul y se cerc bstte. Ls extrñs pricioes de ls sucesioes de Fibocci y de l rzó áure h ddo lugr itermibles especulcioes y álisis y, por supuesto, u budte bibliogrfí. e sbe que los cprzoes espirles de muchos crcoles se rige por ell, como cierts proporcioes de l tomí hum, iml y vegetl. Tmbié se h hlldo mifestcioes de ests etiddes e ls rtes plástics, l rquitectur y l poesí. Vrios brdos romos, especilmete Virgilio e l Eeid, prece hber utilizdo ls series de Fibocci e l estructur de sus obrs poétics. E ls ciecis turles, es bie coocid l estructur de Fibocci e l disposició de ls semills e los girsoles. Ls semills, ubicds e l gr prte cetrl de ls flores, tiee u impltció e espirl: hy dos grupos de espirles, goberds por dos fucioes logrítmics. U grupo gir e setido horrio y otro e el tihorrio. L ctidd de espirles logrítmics e cd grupo sigue úmeros de Fibocci cosecutivos.

6 Disposició de Fibocci de ls semills del girsol Ls bejs tmbié tiee relció co los úmeros de Fibocci: si se observ ls celds hexgoles de u colme y se coloc u bej e u culquier de ells, y se le permite limetr l lrv, supoiedo que cotiurá siempre por l celd cotigu de l derech, hy sólo u rut posible pr l siguiete celdill; dos hci l segud, tres hst l tercer, cico hst l curt, ocho ruts posibles hci l quit, etcéter. Los mchos o zágos de l colme tiee árboles geelógicos que sigue estrictmete u distribució de Fibocci. E efecto, los mchos o tiee pdre, por lo que él (), tiee u mdre (, ), dos buelos los pdres de l rei (,, ), tres bisbuelos porque el pdre de l rei o tuvo pdre (,,, ), cico ttrbuelos (,,,, 5) y ocho ttrttrbuelos (,,,, 5, 8). Tmbié l físic prece dorr ls sucesioes de Fibocci. i se coloc dos lámis pls de vidrio e cotcto y se hce que uos ryos lumiosos ls trviese, lguos (depediedo del águlo de icideci) ls trvesrá si reflejrse, pero otros sufrirá u reflexió. El ryo que o sufre reflexió tiee sólo u tryectori posible de slid; el que sufre u reflexió tiee dos ruts posibles; el que sufre dos reflexioes, tres tryectoris, el que experimet tres reflexioes, cico, y sí sucesivmete. Teemos quí uevmete u sucesió de Fibocci:,,,, 5, 8... i se umet el úmero de reflexioes (), el úmero de tryectoris posibles sigue u sucesió de Fibocci.

7 L mo hum es, tmbié, u sucesió de Fibocci. L logitud del metcrpo es l sum de ls dos flges proximles; l logitud de l primer flge es l sum de ls dos flges distles i se tom u grupo de fichs de domió, de tmño x, l ctidd de mers de costruir rectágulos de tmño x será, por supuesto, u sucesió de Fibocci. Hy u sol form de rmr u rectágulo de x ; dos de costruir el de x ; tres de hcer el de x, cico pr el de x ; ocho pr el de x 5, etc. Desde siempre, los mtemáticos se viero perturbdos por l relció etre los úmeros de Fibocci y los úmeros primos. L pregut er: puede u sucesió de Fibocci coteer series ifiits de úmeros primos? L respuest es sí. Pr filizr est itroducció se costruye dos cudrdos de ldo uo, co ldo dos se costruye u uevo cudrdo, co ldo tres, otro y si sucesivmete. Rápidmete se puede precir u espirl y est espirl se correspode l cprzó de u molusco.

8 Fibocci e u cctus y e verdurs (tmbié está e ls piñs) Así se lo recuerd, e mármol ucesioes umérics U sucesió de úmeros reles es u plicció del cojuto N (o, veces, N 0 ) e R, de tl form que, cd úmero turl le correspode uo y sólo u úmero rel deomido e lugr de usr l otció f() { } {,,,...,,...},

9 Los úmeros,, etc. so los térmios de l sucesió. El térmio es el térmio geérico de l sucesió. Obsérvese que los tres putos files colocdos luego de costituye u símbolo mtemático que debe ser etedido como y sí hst ifiito e icluye cotiució tres ejemplos rbitrrios de sucesioes. L primer es l sucesió { } { /} {, /, /, /, /5, /6, /7, /8, /9, /0, } L segud es l sucesió { } { ( -)/ } {, /, 7/9, 5/6, /5, 7/, 7/9, 55/6, 5/8, 0/00, } L tercer es l sucesió { } { (/) } {.,.,.5,.,.797,.80,.07,.968, } E los csos presetdos se h defiido l sucesió medite u expresió o fórmul que proporcio los térmios de l mism. Otr form de defiirls es ddo lgu crcterístic de sus térmios, por ejemplo l sucesió formd por todos los úmeros turles cuyo dígito de uiddes se cutro () { } {,,,,, 5, 6, 7, } Otr form de defiirls es medite u expresió de recurreci (del ltí recurrire, volver l orige), estbleciedo u relció etre el térmio eésimo y los teriores él. Por ejemplo l y meciod sucesió de Fibocci está defiid por l recurreci > E este cso puede demostrrse que

10 Por último se puede defiir de mer completmete rbitrri siempre y cudo medie u ley de formció, por ejemplo: Térmio de l sucesió Ley de formció Uo U uo Dos uos U dos, u uo U uo, u dos, dos uos Dos uos, u uo, dos dos, u uo U dos, dos uos, u uo, dos dos, dos uos. U uo, dos dos, dos uos, u uo, dos dos, u dos u uo.. Mootoí de u sucesió U sucesió { } es moóto creciete si y es estrictmete creciete si < Obsérvese que l úic difereci etre sucesió creciete y estrictmete creciete es que e l segud l desiguldd debe cumplirse ecesrimete mietrs que e ls crecietes puede hber iguldd etre térmios sucesivos U sucesió es moóto decreciete si y es estrictmete decreciete si

11 > Vle e este cso l mism observció terior. Demostrr e crecimieto o decrecimieto de u sucesió suele requerir el uso de iducció complet o de reducció l bsurdo. i embrgo, e ocsioes puede tomrse u fució de vrible rel f tl que f() y estudir el sigo de l derivd primer de est fució pr determir crecimieto o decrecimieto. i f es moóto creciete (decreciete) l sucesió { } tmbié lo será. Acotció L sucesió { } está cotd superiormete si existe u úmero M tl que M pr todo. L sucesió { } está cotd iferiormete si existe u úmero M tl que M pr todo. L sucesió { } está cotd si está cotd superior e iferiormete es decir si M ubsucesioes U sucesió { * } es u subsucesió de { } si existe u plicció f() de N e N estrictmete creciete tl que * f() Por ejemplo, dd l sucesió { } {,,,...,,...}, Ls siguietes so subsucesioes posibles { } { }... { } primo {, {,,, {,,,,..., 6 5,...,,,,,,...},...},,...}

12 Covergeci de u sucesió A cotiució se greg gráficos (obvimete o cotiuos) e los que se represet los térmios de distits sucesioes { } (-) / :00:00 00:00:0 00:0:00 00:0:0 { } /( ) :00:00 00:00:0 00:0:00 00:0:0 { } (-) :00:00 00:00:0 00:0:00 00:0:0

13 { } :00:05 00:00:0 00:00:5 00:00:0 E l primer y e form bsolutmete ituitiv puede iferirse que, l crecer, los térmios de l sucesió (los putitos) tiede 0; e l segud, tiede uo (); e l tercer tiede o - y, e l curt prece que crece más llá de todo límite. Estudir l covergeci de u sucesió cosiste precismete e ivestigr qué vlor tiede el térmio geérico de l mism cudo. i tiede u úmero fiito l l sucesió se dice covergete, si tiede o o existe el úmero l, l sucesió se dice divergete. Los gráficos teriores prece idicr que ls dos primers so covergetes mietrs que ls resttes so divergetes. Ates de defiir límite de u sucesió (hecho que el lector debe estr sospechdo hce u rto) se d u criterio geerl de covergeci llmdo de Bolzo-Cuchy (cudo o Cuchy!). Codició ecesri y suficiete pr que l sucesió { } {......,...},,,, 5, 6, 7, υ p...,, υ,, de úmeros reles se covergete, es que pr cd úmero positivo ε correspod u vlor υ de, tl que tods ls diferecis p, > υ, p > 0 etre térmios posteriores υ se coserv e vlor bsoluto meor que ε. < ε, ε > 0, > υ, p > 0 p Obsérvese que este criterio permite segurr l covergeci de u sucesió si coocer el vlor del límite.

14 Límite de u sucesió El úmero l es el límite de l sucesió { } si se cumple que < ε, ε > 0 >l N ε es decir, si desde u térmio e delte l difereci etre este y el límite se puede hcer t chic como se quier co tl de tomr suficietemete grde (myor que N ε ). Por ejemplo, l sucesió { }{(-) /} tiee límite cero (0) porque fijdo u ε > 0 bst co tomr N ε > /ε pr que l difereci etre el térmio geérico y el límite se meor que ε. Obsérvese deteidmete que, e el itervlo [lε, l-ε] después de N ε hy ifiitos elemetos de l sucesió, mietrs que, tes de Nε solo hy u úmero fiito de ellos :00:00 00:00:0 00:0:00 00:0:0 Mootoí y covergeci e relcio cotiució codicioes de mootoí y de covergeci: Tod sucesió covergete es cotd. Tod sucesió creciete y cotd superiormete es covergete. Tod sucesió decreciete y cotd iferiormete es covergete. Tod sucesió decreciete y o cotd iferiormete es divergete.

15 El úmero e L sucesió { } es covergete y su límite es el úmero e, uo de los úmeros más importtes de l mtemátic. De cuerdo l teorem del biomio es! ( ) ( )( )!...! ! De esto surge de imedito que < y que l sucesió es moóto creciete. E cosecueci, tiee límite fiito. Ese límite es precismete el úmero e, irrciol y trscedete. El siguiete gráfico idic el comportmieto de los térmios de l sucesió que defie l úmero e :00:00 00:00:0 00:0:00 00:0:0 Cbe señlr que l covergeci hci el vlor de e por este medio es muy let. A cotiució se trscribe e co 0 decimles. e Teorem de compresió Este teorem es útil pr estudir l covergeci de lgus sucesioes. e { }, {b } y {c } tres sucesioes. e verific que

16 lim limb c l l b Etoces l sucesió {c } es covergete y su límite vle l lim c l Por ejemplo, l sucesió { }... c Es covergete pues está comprimid etre ls dos sucesioes covergetes { } { 0,0,0,0,...,0,... } { b } Como mbs coverge 0, {c } 0 Criterio de töltz Césro e {b } u sucesió creciete y divergete y { } otr sucesió. i el límite lim b b existe, etoces el lim tmbié existe y coicide co el terior. b... Por ejemplo l sucesió { c } cuyo térmio geérico puede iterpretrse como el cociete etre l sum de los primeros úmeros turles y. L sucesió es creciete y divergete, etoces

17 lim lim b b lim ( ) Etoces, l sucesió dd coverge /. Por si qued lgu dud, se greg el gráfico correspodiete los cie primeros térmios de {c } :00:00 00:00:0 00:0:00 00:0:0 ubsucesioes y covergeci U sucesió { } coverge l si tod subsucesió { * } coverge l. e { * } y { ** } dos subsucesioes de { }. i etoces lim lim * ** lim l l l Est propiedd puede utilizrse pr demostrr l divergeci de lgus sucesioes. E efecto, si de u dd sucesió, se cosider dos subsucesioes co distito límite, l sucesió dd es divergete. Por ejemplo, de l sucesió { } {(-) } {-,, -,, -,, } se puede tomr ls subsucesioes de ídice impr y de ídice pr. L primer tiee límite meos uo (-); l segud uo (), e cosecueci l sucesió dd es divergete. eries umérics Dd u sucesió uméric { } se plte el siguiete lgoritmo

18 pero, como el lgoritmo de l sum está defiido pr u úmero fiito de térmios, l expresió terior crece de setido. Obsérvese que die, i ú l más poderos computdor existete, puede sumr ifiitos térmios, pues por más rápid que se, el tiempo requerido serí ifiito y todví le fltrí por lo meos, otro tto y otro y... Correspode etoces clrr el sigificdo de l expresió plted socid l sucesió { }. Pr ello, yedo coss coocids, se form l deomid ucesió de ums Prciles defiid por L sucesió { } se deomi erie Numéric socid l sucesió { } i existe lim l l serie uméric se dice covergete y etoces (y solo etoces) se escribe y el úmero l se llm sum de l serie. E cso de teder o o existir el límite l serie es divergete. Obsérvese que, trvés de ls sums prciles se h combido los lgoritmos de l sum y del pso l límite, permitiedo pr ls series covergetes exteder ifiito el úmero de sumdos. Csos otbles e preset cotiució dos csos emblemáticos de series umérics. El primero es el de l serie deomid rmóic y el segudo es el de l serie geométric.

19 erie Armóic L serie se deomi serie rmóic y es divergete. E efecto lim lim Todos los térmios de l serie rmóic so myores o igules los de u serie divergete (miorte divergete), etoces l serie rmóic diverge. egú dosy (dosy - Guber, edició 958, pág 5) Berouilli y otros coocí est crcterístic de l serie rmóic y greg que, 000 < 8; < 5; < 0 y 0 00 <. i embrgo est sum puede hcerse t grde como se quier, superdo culquier úmero por grde que este se, tomdo u úmero suficietemete grde de térmios. erie geométric e deomi serie geométric u serie dode cd térmio se obtiee multiplicdo l terior por u fctor costte q llmdo rzó de l serie q q q q q q e form l sum prcil de orde y se le rest l mism multiplicd por l rzó q

20 q q q q q q q q q q q q q q q 6... q ( q ) q i q > l serie es divergete, si q < l serie es covergete y su sum vle q si q o q - l serie es divergete. No er toto quel que l histori ombr como el ivetor del juego de jedrez. El ultá, grdecido le ofreció lo que quisiese. El ivetor pidió u gro de trigo e l primer csill del tblero, dos e l segud, cutro e l tercer y sí sucesivmete. El ultá, poco vispdo co series divergetes, ccedió de imedito. L sorpres fue eorme cudo los cotbles del reio dijero Mjestd, debemos etregrle gros de trigo. (Aprox t) Tedremos hmbre este ño, el que viee y muchos otros más. Como meudo ocurre, el ivetor fue preso, codedo cultivr trigo por hber osdo itetr burlrse de l mjestd del ultá. Codició ecesri de covergeci i u serie uméric { } socid l sucesió { } es covergete, etoces lim 0 E efecto, dd l sucesió { } es l difereci etre mbos elemetos de { }, - -, es igul l térmio geérico de l serie. Psdo l límite cudo se tiee. ( ) lim 0 lim

21 ddo que - se puede cosiderr u subsucesió de { } teiedo etoces el mismo límite por ser covergete, por hipótesis, l serie uméric dd. U corolrio importte es que si lim 0 l serie es divergete. Por ejemplo, l serie socid l sucesió porque lim 0 es divergete Obsérvese que l propiedd es solmete ecesri, lo que quiere decir que hy series cuyo térmio geérico tiede cero y diverge. L serie rmóic, por ejemplo. Criterio geerl de covergeci e estblece plicdo el criterio de Bolzo Cuchy pr sucesioes l sucesió { } < ε, ε > 0, > υ, p N p siedo result p p p... p < ε, ε > 0, > υ, p N Que puede expresrse diciedo: l codició ecesri y suficiete pr que u serie uméric se covergete es que l sum de p térmios prtir de uo ddo pued hcerse t pequeñ como se quier. Dejdo fijo y hciedo teder p ifiito se tiee... p... ε, ε > 0, > υ

22 lo que idic que prescidiedo de los primeros térmios de u serie covergete, l serie resultte, llmd serie resto, se puede hcer t chic como se quier co tl de tomr > υ. Esto es muy importte e ls pliccioes porque, e geerl, o se cooce l sum de u serie covergete. ólo se puede proximr este vlor medite l sum de lguos (pocos, vrios, bsttes, muchos, muchísimos, etc.) térmios iiciles, cos que se hce porque se sbe que el resto es pequeño y de poc iflueci e los cálculos. Y que cutos más térmios iiciles se tom, más chico es el resto uque o se lo coozc. T Tmbié se puede plter como codició de covergeci que lim T 0 eries de térmios positivos o ls más importtes porque el estudio de ls demás se reduce fácilmete l estudio de ls misms y tmbié so ls más secills. L codició ecesri y suficiete pr que u serie de térmios positivos se covergete es que sus sums prciles se coserve cotds, < M. Etoces, l sum es M Tmbié se verific que socido o descompoiedo térmios de u serie de térmios positivos o vrí su crácter covergete i su sum. Lo mismo ocurre si se reorde rbitrrimete sus térmios. Criterios de comprció. Prticulrmete útiles so los deomidos criterios de comprció pr el estudio de l covergeci de series de térmios positivos. Medite ellos se compr ordedmete los térmios de l serie e estudio co los de otrs series cuyo comportmieto se cooce.

23 Myorte covergete i los térmios de u serie de térmios positivos so meores o igules que los correspodietes de otr serie covergete, es covergete. e u serie cuyo crácter se dese estblecer y se u u serie covergete, co sum U, verificádose que u, etoces coverge y su sum es meor o igul l sum U. L serie u es u serie myorte de l serie dd. Miorte divergete Aálogmete puede decirse que, si los térmios de u serie de térmios positivos so myores o igules que los correspodietes de otr serie divergete, es divergete. e u serie cuyo crácter se dese estblecer y se u u serie divergete, verificádose que u, etoces diverge. L serie u es u serie miorte de l serie dd. Estos criterios tiee sedos corolrios. e u serie cuyo crácter se dese estblecer y se u u serie covergete, co sum U, y l rzó < λ, λ > 0 etoces u coverge y su sum es meor o igul l sum U. e u serie cuyo crácter se dese estblecer y se u u serie divergete, y l rzó > λ, λ > 0 etoces diverge. u eries ptró

24 Ls series que suele tomrse como myortes o miortes so l serie geométric y l serie rmóic o l rmóic geerlizd, siedo est últim l serie α, covergete si α > y divergete si α Criterios de covergeci de series de térmios positivos e preset cotiució criterios de covergeci de series de térmios positivos cuys demostrcioes se bs e los criterios de comprció y vistos e geerl co series geométrics y/o rmóics y so mucho más opertivos que los criterios expuestos hst el mometo. Criterio de D Alembert e u serie de térmios positivos, se clcul lim L i L < l serie es covergete, si L > l serie es divergete y, si L el criterio o permite determir covergeci o divergeci. E l demostrció l serie de comprció es u serie geométric. Criterio de Cuchy e u serie de térmios positivos, se clcul lim L i L < l serie es covergete, si L > l serie es divergete y, si L el criterio o permite determir covergeci o divergeci. E l demostrció l serie de comprció es uevmete u serie geométric. Criterio de Kummer e u serie de térmios positivos divergete. e clcul y u serie u

25 lim u u L i L > 0 l serie coverge, si L < 0 l serie diverge. Criterio de Rbe Cosiste e tomr u e el criterio de Kummer (serie rmóic) co lo que result lim L i L > l serie es covergete, si L < l serie es divergete, si L hy que recurrir otro criterio de covergeci. Criterio de l itegrl e u serie de térmios positivos decrecietes. e tom u fució f(x) tl que f(). L serie coverge o diverge segú coverj o diverj l itegrl 0 f ( x) dx erie de térmios lterdos e > 0,. L expresió se deomi serie lterd. El estudio de l covergeci de ests series es más secillo que el correspodiete ls series de térmios positivos. E efecto, e ls series lterds, si los térmios so decrecietes y se cumple que lim 0 l serie lterd es covergete.

26 Además y muy útil e l práctic, e ls series lterds, el error que se comete e l sum de l serie l cosiderr los primeros térmios es meor, e vlor bsoluto, que el primer térmio desprecido. ( ) ( ) erie bsolutmete covergete U serie se llm bsolutmete covergete si es covergete l serie formd por los vlores bsolutos de los térmios de l serie dd. coverge bsolutmete coverge i l serie de vlores bsolutos, diverge, l serie dd le dice codiciolmete covergete. II EJERCICIO A REOLVER, PREFERENTEMENTE EN CLAE. 0 Escribir los cico primeros térmios de ls sucesioes cuyo térmio geérico es 0 ( ) 0! 0 ( ) h ( ) 0 b ( ) ( )( ) cos( jπ ) 05 p j 06 q j! iπ cos iπ i se 0 Escribir el térmio geerl de l sucesió

27 0 { } {,, 9,7, 8,... } 0 { } 7 0 { p },,,,... 0 { q } i 0 Verificr los siguietes límites 5 6,,,, ,,,,, ( ) 0 0 Clculr los límites de ls siguietes sucesioes 0 ( ) cos( π ) 0 {( ) cos( π )} 0 { } 0 { } 05 ( ) Dd l sucesió > 0 Ecotrr los seis primeros térmios de l mism 0 Cojeturr si es creciete o decreciete. 0 Alizr l cotció. 0 Alizr l covergeci 06 Usdo el teorem de compresió clculr el límite de 07 Escribir e form de sumtori ls siguietes series geométrics y clculr su sum.

28 Escribir e form de sumtori ls siguietes series umérics y estudir su covergeci por el criterio de comprció co series geométrics * * * *5... ( ) !! 6! 8! 0! Estudir l covergeci de ls siguietes series umérics empledo el criterio de D Alembert 0... * * 5*6 7 *8 9* * * 5*8 6*6 7 *

29 0 Estudir l covergeci de ls siguietes series umérics. * **5 **5* * * *6 * *6* *6*7 6*7 *8 7 *8*9 8*9* *5 9*5 6*5 65*5 7776* j j 07 ( ) j j l( j) 0 [ l( ) ] Demostrr que l serie l( ) ( ) su sum co error meor que 0 - es covergete y clculr Estudir l covergeci de l serie ( ) (! ) ( )! Determir si ls siguietes series lterds so codiciol o bsolutmete covergetes !!! 5! Por si es ecesri e los ejercicios teriores se trscribe l Fórmul de tirlig! e π