PARA QUÉ NÚMEROS REALES... 2 SUCESIONES... 3 NÚMEROS COMPLEJOS... 5 CÓNICAS... 6 FUNCIÓN INVERSA... 7 FUNCIONES CUADRÁTICAS... 8

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2 PARA QUÉ SIRVE? Índice NÚMEROS REALES SUCESIONES SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS NÚMEROS COMPLEJOS CÓNICAS FUNCIÓN INVERSA FUNCIONES CUADRÁTICAS TEOREMA DE BOLZANO POLINOMIOS FUNCIONES HOMOGRÁFICAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS TRIGONOMETRÍA ESTADÍSTICA COMBINATORIA

3 capítulo 1 contenido 1 Para qué sirve... Para qué sirve? Números reales Si tuvieran que decir 10 números entre 0 y 9 al azar, dirían, por ejemplo, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3? O 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1? Y si tuvieran que decir 100 dígitos al azar? Están pensando en algo para decirlos? Qué significa al azar? Si buscamos en el diccionario, la definición es: sin orden, sin planeamiento, aleatoriamente. Con lo cual, si para decir cien números al azar pensaron en algo, lo más probable es que no hayan sido dichos al azar. Qué estrategias podemos tener para ir diciendo números al azar? Una posibilidad es elegir un número (no entero) e ir diciendo los dígitos que están después de la coma. Ahora qué pasa si el número que elegimos es un número racional? Es una secuencia de números al azar? Nos damos cuenta de esto enseguida? De qué depende? Si un amigo les va diciendo las cifras que aparecen en el desarrollo decimal de un número racional, podrían anticipar en algún momento qué va a decir, sin saber el número en cuestión? Esto dependerá un poco de qué número sea; si el número es 1 = 0, , entonces será muy fácil anticiparse. Ahora si el número 3 es 1, la tarea será más compleja. Cuántos números tendremos que escuchar para poder anticiparnos correctamente? Entonces si el número que elegimos es racional, por más que tenga infinitas cifras decimales, sabemos que tienen un período y esto nos daría un ciclo. Por eso, si escuchamos atentamente, podríamos descubrir este ciclo y entonces, a partir de ahí predecir los números siguientes. Para solucionar parcialmente esto, podemos elegir un número racional cuyo período sea muy largo, con un ciclo de dígitos, por ejemplo: al decir 100, 200 o 500 de estas cifras no será descubierto nuestro patrón. Esto es en parte lo que se conoce como números pseudoaleatorios, porque si bien con estos ciclos grandes alcanza para algunas aplicaciones, no es un número completamente al azar. De esta manera, vemos que no todos los números son racionales, pues podríamos generar números con cifras decimales al azar, que no tengan ningún ciclo. Ahora, no todos los números no racionales tienen el mismo grado de azar. Por ejemplo, el número 0, no es un número racional pues no tiene período, pero uno podría predecir cómo continúa la secuencia. En cambio, es más difícil predecir la secuencia de que es 3, Encuentran algún patrón en este número? Hemos encontrado entonces una estrategia para decir números al azar: los números irracionales nos sirven para esto, aunque como hemos visto, algunos funcionan mejor que otros. De todas formas, es una herramienta teórica, pues cómo hacemos para saber los decimales de? En conclusión, los números racionales no alcanzan para llenar toda la recta, pues quedarían estos agujeros de números al azar, ya que los racionales son esos números con período, con ciclo, con plan, con orden y eso no es todo lo que hay. Llenar la recta agregando los números irracionales es lo que facilita el estudio de funciones y es su verdadera utilidad. Actividades 1. Escriban 25 números entre 0 y 9 utilizando algún patrón para generarlos. 2. Intercambien con un compañero los números que escribieron y encuentren el patrón que utilizó. 2

4 capítulo 2 contenido 8 Sucesiones A veces, para convencernos de que tiene sentido estudiar un objeto matemático, conviene empezar por ver dónde aparece. Hay ejemplos? Son muchos? Nos interesan esos ejemplos? Anotar algo cada día es un buen ejemplo de sucesión; podemos anotar cuántas horas dormimos, cuánta plata gastamos, con cuánta gente conversamos, qué comimos o el precio de algo que nos queremos comprar. Para ampliar un poco el panorama, observemos el mundo que nos rodea. Cada día podríamos tomar nota de la forma de la Luna, de la temperatura mínima o máxima, del nivel de dióxido de carbono en la atmósfera, etc. O cada año podría interesarnos anotar la cantidad de habitantes de nuestra ciudad, país o del mundo entero. Y para qué nos sirven todas estas anotaciones? Una de las mayores utilidades es ver si podemos encontrar alguna regularidad en esos datos que luego nos podría servir para entender el funcionamiento o predecir cómo será su futuro comportamiento e inclusive intentar modificarlo a largo plazo. Así, por ejemplo, si anotamos el estado de la Luna cada día, podríamos encontrar que se repite cada 28 días. Hecho ya hoy conocido! Así, podemos saber que la Luna tarda 28 días en su giro alrededor de la Tierra, lo que nos permite predecir cuándo habrá luna llena, luna nueva, etc. Día 1 Día 5 Día 12 Día 15 Día 19 Día 22 Día 25 Día 29 Si en cambio estudiamos las temperaturas mínima y máxima de la ciudad donde vivimos, podríamos ver que se van modificando: son más altas en los tres meses que corresponden a la estación que hoy llamamos verano, y luego empiezan a bajar durante los siguientes tres meses para finalmente bajar más en lo que hoy conocemos como invierno. También podríamos comparar qué pasa año tras año. Se mantiene el ciclo? Van aumentando lentamente? Se hacen más caóticas? Así como la observación de estas sucesiones nos llevó a conocer el ciclo de la Luna o el de las estaciones, tomando nota de otros datos hoy en día podríamos descubrir nuevos ciclos de la naturaleza o de lo que nos interese conocer. Por ejemplo, podríamos intentar responder preguntas tales como: En qué mes me conviene comprar eso que tanto quiero? Cuántos habitantes tendrá el mundo en el año 2050? Pasará nuevamente las 400 ppm (partes por millón) el nivel diario de dióxido de carbono en la atmósfera? Actividades 1. Cómo continúa la siguiente sucesión de números? Por qué? 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; Encuentren algo que les gustaría estudiar: el comportamiento de algo de la naturaleza cada día, la cantidad de goles de un jugador de fútbol, la performance de un tenista, su humor o el de otra persona, la evolución de sus ahorros o gastos, el precio de algo; y tomen una cantidad suficiente de datos. Luego, realicen alguna predicción. Qué tan exactas son ellas? 3

5 PARA SIRVE? QUÉ FIN

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