OPCIÓN A. rga < rga S. I. rga = m 0 m m = 0 Habrá que estudiarlo. rga. z

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1 San Blas, 4, entreplanta OPCIÓN A m + y + z = 0 E.-a) Discutir, en función del valor de m, el sistema de ecuaciones y my + mz = resolverlo para m = b) Para m = añadir una ecuación al sistema del apartado a) para obtener: en un caso un sistema compatible determinado y en otro caso un sistema incompatible. a) Teorema de Rouché-Frobeniüs: matriz de coeficientes y, A, la matriz ampliada. A m 0 = 0 m m A rga = rga = nº incógnitas S. C. D. rga = rga < nº incógnitas S. C. I. rga < rga S. I. calculo un menor m m 0 rga = = rga < nº inc S. C. I. rga = m 0 m m = 0 Habrá que estudiarlo rga = ( F nula) 0 0 m = 0 A = 0 S. I rga = = 0 0 siendo A la Nota: El rango de una matriz es el orden (tamaño) del mayor menor ( determinante ) distinto de cero. Para m = tenemos un S.C.I. = + y + z = 0 y= λ + z = λ y = λ y z = z = + λ z = λ + y + z = 0 0 b) Para m = A = y + z = 0 Para que sea compatible determinado tiene que cumplirse: rga = rga = = nº inc por lo que basta con añadir una fila a la matriz ampliada que sea linealmente independiente: 0 + y + z = 0 A = 0 y + z = z = 0 Matemáticas II. Propuesta /06

2 San Blas, 4, entreplanta Para que sea incompatible, el rango de A tiene que ser (tiene que ser mayor que el rango de A que, para m = ya hemos visto que vale ). Añado una fila a A que sea linealmente dependiente, por ejemplo, suma de las otras dos filas, pero que dicha relación no se cumpla en la ampliada: 0 + y + z = 0 A = 0 y + z = + y + z = F = F + F ւ F F + F y + z = E..- a) Determinar la posición relativa de la recta r y + z = π 5 y + z = 4 y z b) Dadas las rectas r = = 5 contiene a r y es paralelo a r. y y el plano + y z = r, calcula el plano que y + z = a) Ya que nos dan la ecuación de la recta en forma general, formamos un ssitema con las tres ecuaciones: S. C. D. Solución única SECANTES S. C. I. infinitas soluciones RECTA CONTENIDA EN PLANO S. I. sin solución RECTA PARALELA AL PLANO y + z = y + z = calculo los rangos por el método de Gauss 5 y + z = 4 F F F F F 5F rga = sistema incompatible: RECTA PARALELA AL PLANO rga = b) Para calcular el plano que me piden necesito dos vectores directores (o un vector normal) y un punto. Como vectores directores utilizaré los de r (ya que está contenida) y de r (al ser paralela, su vector director también lo es). Como punto, cualquiera de r servirá. Matemáticas II. Propuesta /06

3 San Blas, 4, entreplanta Ar r ur (,0,0 ) = (,,5 ) i j k De r solo necesito su vector director así que lo más cómodo será: v = = i j k =,,,, y z El plano pedido es: π 5 = 6 + y + z = y z = 0 simplifico E..- Dada la función f ( ) = e, estudiar: derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etremos relativos y asíntotas. El dominio de la función es R siendo continua (es una función eponencial) en dicho dominio. Además es par ya que f ( ) = f ( ) Empezamos quitando el valor absoluto: < 0 e < 0 = f ( ) = 0 e 0 > como para < 0 por ser una función = DERIVABILIDAD: Es derivable tanto para 0 eponencial. Solo habrá que estudiarlo en 0 Calculo la derivada: 0 4e < 0 f ( 0 ) = 4e = 4 f ( ) = + 0 4e 0 f 0 = 4e = 4 f 0 f 0 + NO ES DERIVABLE ya que la función derivada no es continua CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y EXTREMOS: Estudio el signo de la función derivada: 4e 0 4e 0 : creciente f ( ) = < > 4e 0 4e < 0 : decreciente En = 0 cambia de creciente a decreciente luego tenemos un máimo,0 : CRECIENTE ( ) lo que sea Nota: e es SIEMPRE mayor que 0 0, : DECRECIENTE MÁXIMO: 0, Matemáticas II. Propuesta /06

4 San Blas, 4, entreplanta ASÍNTOTAS: Al ser el dominio R, no tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales: lim f = lim e = e = 0 A. HORIZONTAL y = 0 cuando. 0 Cuando no hace falta calcularla ya que, al ser una función PAR, tendrá la misma asíntota A.H. y = 0 cuando ± E..-a) Calcular lim e + 0 b) Consideramos la función f ( ) = + m + con m 0. Calcular el valor de m para que el área del recinto limitado por a gráfica de la función f ( ), el eje OX y las rectas = 0 y = sea 0. a) + 0 lim e = 0 e = 0( e ) = 0 Ind. f ( ) g ( ) = + 0 e e L Hopital lim lim lim = = e = e = = y = b) Supongo que la función no corta al eje OX entre g f 8m A = ( + m + ) d = + m + = = 0 m = 4 Compruebo mi suposición : ( ) : Matemáticas II. Propuesta /06

5 San Blas, 4, entreplanta OPCIÓN B E..-a) Sea A una matriz cuadrada de orden y tal que A =. Tiene inversa la matriz 4 A? Calcular 5A 5A y a + 6 b) Para qué valores del parámetro ael rango de la matriz es? a a) Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0 A = A = = 6 0 Tiene inversa 4 4 ( )4 ( ) : α A = A A A = A A A = A α α veces 5 5A = 5 A = 5 = ( ) ( ) A α veces n : α A = α A siendo n el orden de A ( ) : A A I A A I A A A = = = = A ( 5A) = = = 5A ( ) ( ) 5 A 50 b) Rango= orden del mayor menor distinto de 0. Para que el rango de esta matriz sea, su determinante ha de ser igual a 0. a + 6 a = = a( a + ) = a + a = 0 a a = 4 E..- a) Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano π y + 4z 5 = 0 y que contiene a los puntos (,0,0) y ( 0,,0 ) b) Dos caras de un cubo están contenidas en los planos π y + z = 0 y π y + z + 5 = 0. Calcular el volumen de dicho cubo. a) Para calcular un plano se necesitan dos vectores directores (o un vector normal) y un punto. Al ser π perpendicular al plano que me piden, su vector normal es paralelo a dicho plano. El otro vector director viene dado por los puntos contenidos. Y, por último, como punto me valdrá cualquiera de los dos puntos anteriores. Matemáticas II. Propuesta /06

6 San Blas, 4, entreplanta π y + 4z 5 = 0 n =,, 4,, ( 0,,0 ) (,0,0) (,,0 ) : ( 0,, 0) AB = = Punto y z α 0 = 4 y z = 4y z + 4 = 0 b) Vemos que los planos que me dan son paralelos (mismo vector normal). Eso significa que las caras que están contenidas en dichos planos son opuestas: la distancia entre los planos será la arista del cubo dist ( π, π ) D D = = n V = a = = 7 u 5 6 = = u = arista E..- Hallar la ecuación de la recta que pasa por (,) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima en el primer cuadrante. Primero calculo la ecuación de todas las rectas que pasan por (,): = y= y = m + n = m + n n = m ( ) y = m + m La base del triángulo viene dada por el punto de corte de la recta con el eje OX mientras que la altura es el punto de corte con el eje OY BASE: ALTURA: Corte OX y = 0 m m 0 = m + ( m) = = = base m m Corte OY = 0 y = m0 + m y = m = altura Matemáticas II. Propuesta /06

7 San Blas, 4, entreplanta A m m y m m + m = = = = m m ( m) ( m )( m) Para calcular el área mínima, igualo su derivada a 0: m + = 0 ( m ) m ( m m ) m + m + + m + A m = = = = 0 m 4m m m = no tiene sentido porque necesito una pte negativa m = Compruebo que m=- es un mínimo (y también que m= es un máimo, por si no me hubiese dado cuenta de que la pendiente tenía que ser negativa). Lo hago a partir de la segunda derivada: A m m 4m m = : máimo A ( m) = = 4 4m m A ( ) = : mínimo m= y = m + m y = + Entonces, la recta queda E.4.- Se considera la parábola y = + a) Calcula las rectas tangentes a dicha parábola en sus puntos de intersección con el eje OX b) Calcular el área delimitada por la gráfica de dicha parábola y las rectas tangentes obtenidas en el apartado a) a) Calculo los puntos de corte de la parábola con el eje OX: = 0 + = + = 0 = La ecuación de la recta tangente en a viene dada por: y = f ( a) + f ( a)( a) f ( 0) = 0 En = 0 y = f ( ) = + f ( 0) = f ( ) = 0 En = y = ( ) = + 4 f ( ) = + f ( ) = b) Los puntos de corte de las rectas con la parábola son los puntos de tangencia: Calculo ahora el punto de corte entre ambas rectas: y = = = 4 = y = + 4 = 0 = Matemáticas II. Propuesta /06

8 San Blas, 4, entreplanta El área total está formada por dos áreas que, por simetría, son iguales: A = A + A = A ( ) ( ) A d 4 d d = = + = A A A = ( ) d = = u. a. Si no nos diésemos cuenta de la simetría, bastaría con calcular las dos integrales por separado: ( ) A d 4 d d 4 4 d = = + + = = + + = = u. a. 8 7 Matemáticas II. Propuesta /06