Organizaciones Matemáticas Locales Relativamente Completas 1

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1 Departamento de Matemática Aplicada I Programa de doctorado Técnicas Matemáticas Avanzadas y sus Aplicaciones UNIVERSIDADE DE VIGO Organizaciones Matemáticas Locales Relativamente Completas 1 Catarina Oliveira Lucas Versión preliminar de un trabajo cuya versión final está presente en: Lucas, C. (2010). Organizaciones matemáticas locales relativamente completas (Memoria de investigación, Diploma de Estudios Avanzados). Universidad de Vigo.

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5 Memoria para optar al Diploma de Estudios Avanzados presentada por Catarina Oliveira Lucas dentro del programa de doctorado Técnicas Matemáticas Avanzadas y sus Aplicaciones del Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo bajo la dirección de los Profesor Cecilio Fonseca Bon y José Manuel Casas Mirás. Fdo.: Catarina Lucas Fdo.: Cecilio Fonseca Bon; José Manuel Casas Mirás Candidata Directores 5

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7 Índice Introducción... 9 Capítulo Elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico Distintos enfoques Programa Cognitivo Enfoque Epistemológico El enfoque Antropológico en el programa epistemológico La noción de praxeología matemática Clases de praxeologías: estructuras de complejidad creciente El proceso de estudio de una organización matemática: organizaciones didácticas y momentos de estudio Los niveles de codeterminación didáctica La estructura de las OM. Dinámica de las organizaciones matemáticas Capítulo Incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares La razón de ser de las matemáticas Un estudio con sentido en la Escuela Fenómeno del autismo temático El fenómeno de la desarticulación de las matemáticas La rigidez y desarticulación de las praxeologías matemáticas de la Enseñanza Secundaria Incompletitud de las organizaciones matemáticas Conjetura general: incompletitud de las organizaciones locales escolares Aspectos de la rigidez de las organizaciones matemáticas que se estudian en la Enseñanza Secundaria Formulación del problema de investigación Capítulo Indicadores Empíricos: Aspectos de la rigidez de las Matemáticas en la Enseñanza Secundaria Diseños Curriculares Programa oficial del 3.º ciclo/eso Programa oficial del Secundaria/Bachillerato

8 3.2. Manuales escolares La selección Resultados obtenidos por conjeturas Primer estudio exploratorio Descripción del primer cuestionario Segundo estudio exploratorio Descripción del segundo cuestionario Presentación del cuestionario Agrupamiento de los ítems en conjeturas y bloques Descripción de la muestra Análisis de los resultados obtenidos por bloques Análisis de los resultados obtenidos por conjeturas Síntesis Capítulo Conclusiones. Problemas abiertos y perspectivas de investigación Referencias Bibliográficas Anexos

9 Introducción La Educación Matemática es una referencia de supuestos empíricos cuya competencia de estudio sugiere la compresión de la naturaleza del saber matemático en la actividad escolar y la utilización de esa interpretación para gestionar los fenómenos de la enseñanza y aprendizaje en el marco de las instituciones educativas. Al parecer, el avance de su dinámica nos conduce hacia un progreso reticular de teorías, desarrollos y praxis. De eso se trata, la Didáctica es de la experiencia, pero se concibe en la subjetividad, vuelve a la experiencia para enriquecer a la reflexión, retroacciones cada vez más complejas e inexorables; sin temor a la equivocación, es un continuo conjetural que dibuja el equilibrio de la forma en Educación Matemática. Desde hace algún tiempo venimos observando una gradual desmotivación y falta de interés de los alumnos en estudiar las matemáticas o las áreas que requieran un fuerte componente matemático. Además, desde los años noventa hay una grande preocupación por la falta de vocaciones científicas en la mayoría de los países desarrollados. En España, las carreras de ciencias exactas y las técnicas tienen estudiantes menos que en 1997 las primeras, que han perdido un tercio del alumnado. Ya en bachillerato, si en 2000 la mitad de los alumnos estudiaban opciones de ciencias (incluidas de la Salud) y tecnología, en 2008 eran el 45%. También en Portugal, las Universidades e Institutos de las ciencias exactas y las técnicas están preocupadas con los bajos resultados del alumnado en las Matemáticas, como es el caso de la UTL- Universidad Técnica de Lisboa que reunió los Presidentes de los Departamentos de Matemáticas de las diversas Escuelas de la UTL con la finalidad de analizar el problema. Después de un análisis, la Comisión de Presidentes torna claro que la principal causa de los bajos niveles reside en la disparidad entre la preparación obtenida por la mayoría del alumnado en Secundaria y la preparación esperada de eses alumnos por los profesores universitarios. Sin embargo, creen no es posible la alteración profunda de los contenidos de las matemáticas en las Universidades, ya que, exigiría una gran diminución de la preparación básica en las matemáticas de la Universidad, incompatible con las necesidades de los cursos de especialidad de los 9

10 últimos años. Por otro lado, surgió la propuesta de intervención de la Universidad en la reestructuración curricular de la Enseñanza Secundaria y lo establecimiento de un programa para este nivel ajustado a la Enseñanza Universitaria. Pretendemos estudiar lo Problema de Investigación Docente en la Matemática Institucional que consiste en la desaparición de la razón de ser de los contenidos que constituyen el programa oficial de la Enseñanza Secundaria, la ausencia de conexión entre elles, la falta de interdisciplinaridad, la inexistencia de momentos de cuestionamiento y justificación de las técnicas utilizadas. Los factores referidos tienen venido a provocar una rigidez y atomización de las matemáticas. Para estudiar este Problema Docente sentimos la necesidad de recurrir a un modelo teórico. Días históricos, dan cuenta de las tendencias en Educación Matemática. Entre sus manifestaciones culturales, brota la Teoría Antropológica de lo Didáctico cuyo objeto primario de investigación es el análisis de la actividad escolar matemática con sus relaciones humanas e enmarcadas en ciertas instituciones sociales. De acuerdo con este modelo teórico efectuamos estudios exploratorios en los diseños curriculares, los libros de texto de las Matemáticas e analizamos los resultados obtenidos con la aplicación de cuestionarios a una muestra de estudiantes de Portugal y España. 10

11 Capítulo 1 Elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico 11

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13 La Teoría Antropológica de lo Didáctico fue iniciada por el investigador francés Yves Chevallard a finales de los años 1980; básicamente es una posición de estudio cuyo eje central es el hombre aprendiendo y enseñando la Estructura Matemática a través de las relaciones humanas frente a la relatividad del saber científico con respecto a las instituciones sociales. En lugar de plantear los problemas de enseñanza y aprendizaje en términos de qué hacer para que tal o cual noción, actividad o problemática puedan enseñarse o aprenderse mejor y, en consecuencia, investigar las dificultades que surgen en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas buscando la manera de superarlas, la TAD se pregunta cuáles son las condiciones que permiten, facilitan o favorecen que determinadas actividades matemáticas y didácticas puedan desarrollarse (existir, tener lugar, o vivir ) en un determinado entorno institucional (la escuela primaria, la escuela secundaria, la universidad, un entorno profesional determinado o la sociedad en general) y cuáles son las restricciones que dificultan, entorpecen o incluso impiden la puesta en práctica de estas actividades. A lo largo del tiempo números trabajos, tesis y proyectos de investigación fueron desarrollados en el ámbito de esta teoría Distintos enfoques Tradicionalmente se consideraba que la enseñanza de las matemáticas era un arte y, en consecuencia, difícilmente susceptible de ser analizado, controlado y sometido a las reglas de la práctica científica. Esta forma de considerar la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas fue evolucionando a medida que aumentaba el interés por explicar los fenómenos didácticos. Desde los inicios de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica, se fue consolidando lo que Guy Brousseau (1986) llamó el enfoque clásico en didáctica de las matemáticas. Este autor caracterizó esta primera aproximación como aquella que postula que la actividad cognitiva del sujeto juega un papel esencial y que puede ser descrita y explicada de manera relativamente independiente de los otros aspectos de la relación didáctica. Se considera así que el aprendizaje en general, y el de las matemáticas en particular, es un proceso 13

14 psicocognitivo fuertemente influenciado por factores motivacionales, afectivos y sociales. En Gascón (1998) encontramos enunciadas dos características generales de este enfoque: (a) Toma como problemática didáctica una ampliación bastante limitada de la problemática espontánea del profesor. Esto significa que recoge, reformula, amplia y sintetiza las cuestiones que constituyen inicialmente la problemática docente del profesor, que acostumbran a estar muy condicionadas por las ideas dominantes en la cultura escolar. (b) Presenta el saber didáctico como un saber técnico, en el sentido de aplicación de otros saberes fundamentales importantes de otras disciplinas, como la psicología, la pedagogía, las ciencias cognitivas, etc. Desde el punto de vista clásico, la didáctica de las matemáticas tiene como objetivo principal proporcionar al profesor los recursos profesionales que éste necesita para desarrollar su tarea profesional de la forma más satisfactoria posible y, en último extremo, conseguir que el proceso de enseñanza obtenga unos resultados óptimos en términos de aprendizaje de los alumnos. En esta primera etapa, se pueden distinguir dos enfoques sucesivos en el desarrollo de la problemática didáctica. - El primero está centrado en el aprendizaje del alumno y su objeto primario de investigación es el conocimiento matemático del alumno y su evolución. En este caso delega explícitamente a la psicología la fundamentación científica de la didáctica. - El segundo enfoque amplia la problemática didáctica introduciendo cuestiones relativas al profesor y a su formación profesional. El objeto primario de investigación es, por tanto, la actividad y el pensamiento del profesor. En este caso, se necesita una base multidisciplinar mucho más amplia que incluya, entre otras cosas, la psicología educativa, la sociología y la epistemología de las matemáticas para poder fundamentar la investigación. Lo que caracteriza el enfoque clásico en didáctica de las matemáticas es la suposición acrítica de que los saberes matemáticos no son problemáticos y que los saberes que se utilizan para describir e interpretar los hechos didácticos no forman parte de la 14

15 problemática didáctica que se plantea: estos saberes pueden ser aplicados pero no pueden ser modificados como consecuencia de esta aplicación. (Barquero, 2009) Programa Cognitivo El cuestionamiento de la transparencia de lo matemático y la asunción inequívoca de que el misterio está, en primer lugar, en las propias matemáticas constituye, precisamente, el nacimiento del Programa Epistemológico y comporta que se tome la actividad matemática como objeto primario de estudio, como nueva puerta de entrada del análisis didáctico. Una de las consecuencias de la juventud de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica es la falta de uniformidad respecto a las cuestiones problemáticas que se deben tratar frente a la diversidad de marcos teóricos que conviven o coexisten actualmente. Según Gascón (1999), superada la etapa pre-científica, centrada en la problemática espontánea de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, en la que los problemas didácticos se formulan en términos de las ideas dominantes de la institución didáctica, es posible distinguir dos programas de investigación en Didáctica de la Matemática: el programa cognitivo y el programa epistemológico. En el Programa Cognitivo se presupone de forma implícita que todo fenómeno relativo a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas es reductible en última instancia a determinados fenómenos cognitivos (en el sentido amplio de psicosocio-lingüísticos). Su objeto primario de investigación lo constituye la actividad cognitiva del sujeto (Bolea, 2002). El Programa Epistemológico cuestiona y amplia radicalmente lo considerado tradicionalmente como matemático. De modo que se cambia el problema didáctico de caracterizar los conocimientos y las concepciones del profesor y la incidencia de éstos sobre las prácticas docentes y sobre el aprendizaje 15

16 matemático de los alumnos por un nuevo problema didáctico que no se reduce únicamente al ámbito de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Históricamente la evolución inicial del programa cognitivo estuvo condicionada explícitamente por limitaciones claras de la noción general de aprendizaje humano y de los medios que estaban a disposición de los investigadores para describir el conocimiento matemático del alumno. El primer punto de inflexión surgió en el ámbito del International Group of the Psychology of Mathematics (PME) Education (Bauersfeld & Skowronek, 1976), donde se reivindicó la necesidad de tomar en consideración un tipo de aprendizaje específicamente matemático. Los investigadores de este grupo comenzaron a tomar como nuevos objetos primarios de investigación los procesos cognitivos relativos al aprendizaje matemático y empezaron a construir instrumentos metodológicos para poder describir estos procesos. Cabe decir que, en la mayoría de las investigaciones enmarcadas en este enfoque, no se realiza un cuestionamiento del modelo epistemológico general de las matemáticas que se asume implícitamente. Así, el Programa Cognitivo representa el primer análisis sistemático de los hechos didácticos y se caracteriza por: - Considerar el aprendizaje de las matemáticas como un proceso psicocognitivo, fuertemente influenciado por factores motivacionales, afectivos y sociales. - Su objeto primario de investigación está constituido por los procesos cognitivos relativos a los conocimientos matemáticos del sujeto. - Asume, o cuando menos no cuestiona abiertamente, el modelo epistemológico de las matemáticas dominante en las instituciones escolares. - Ignora la relatividad institucional del conocimiento matemático. Un ejemplo de una problematización que se produce desde dos perspectivas diferentes (García, 2005): - Problematización epistemológica: necesidad de problematizar las características de las situaciones reales que permitan el desarrollo de un proceso de modelización con fines didácticos (cuestionamiento de que las situaciones reales, por sí solas, posean propiedades didácticas). 16

17 - Problematización cognitiva: necesidad de profundizar en el conocimiento de los procesos cognitivos activados por los estudiantes en la realización de tareas de modelización y de aplicaciones Enfoque Epistemológico De manera contemporánea al enfoque cognitivo en didáctica, surgió un nuevo punto de vista cuando Guy Brousseau, con las primeras formulaciones de la Teoría de Situaciones Didácticas en los años 70 (Brousseau, 1972), intuyó la necesidad, para la didáctica, de crear un modelo propio, explícito y contrastable de la actividad matemática que no la reduzca al estudio de los procesos cognitivos de los alumnos. Este es el origen de lo que Brousseau denominó epistemología experimental o didáctica fundamental (Brousseau, 1986). El Programa Epistemológico ha ampliado su perspectiva y considera la Didáctica de la Matemática como la ciencia del estudio de las condiciones de la producción y la difusión de saberes útiles a la sociedad y a las necesidades del hombre (Brousseau, 1995). Con la emergencia de la didáctica fundamental en los años ochenta, a partir de los trabajos de Brousseau (1986) se postula que el objeto de la didáctica no es el estudio de los procesos cognitivos de los estudiantes en el aprendizaje de un concepto, ni tampoco la problemática del profesor con la enseñanza de este concepto, sino la situación didáctica mediante la cual uno o varios alumnos consiguen apropiarse de un saber matemático específico ya construido o en vías de construcción. Se pasa así a considerar el proceso de enseñanza-aprendizaje en un entorno, en situación, entendiéndose por situación el conjunto de relaciones establecidas explícita o implícitamente entre los diversos elementos que la componen: el alumno o el grupo de alumnos, el medio, entendido como el conjunto de objetos e instrumentos sin 17

18 intención didáctica, y el de los profesores, portadores ellos sí de la intención de hacer que el grupo de alumnos se apropie de un saber matemático. El supuesto de que el profesor puede influir directamente sobre el aprendizaje de sus estudiantes se ve claramente cuestionado, al reconocer que este no actúa, ni de hecho puede actuar, de forma autónoma, sino que se encuentra sometido a un conjunto de restricciones impuestas tanto desde la institución didáctica en la que se sitúa, como de la propia actividad matemática. (García, 2005) El nacimiento de la Teoría de Situaciones Didácticas provocó un cambio radical en la concepción de la naturaleza de las matemáticas y de la didáctica de las matemáticas como disciplina. La principal revolución fue postular la necesidad de una modelización explícita y contrastable del saber matemático. O dicho de forma más simplificada, ahora los alumnos y el profesor pasan a un segundo plano, para que la didáctica pueda centrarse en el estudio de las condiciones de difusión del conocimiento matemático. En términos generales, podemos decir que, en toda problemática didáctica existen siempre, aunque algunas veces de forma implícita, tres componentes fundamentales: 1. una institución didáctica donde se formula el problema didáctico en cuestión; 2. un contenido matemático específico (por ejemplo: la derivada); 3. un proceso de enseñanza-aprendizaje relativo al contenido matemático (en el caso de la derivada puede ser un proceso algébrico, geométrico, construido a partir del límite, de la velocidad, etc.) Según Chevallard (1998, p. 15): El didacta de las matemáticas se interesa en el juego que se realiza ( ) entre un docente, los alumnos y un saber matemático. Tres lugares, pues: es el sistema didáctico. Lo didáctico deja de ser exclusivo del proceso de enseñanza-aprendizaje para referirse a cualquiera de los aspectos del proceso de estudio. La didáctica de las matemáticas se convierte, en definitiva, en la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemáticas (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 76). 18

19 El enfoque antropológico adopta un punto de vista institucional, inscribiendo la problemática didáctica dentro del marco antropológico general de las prácticas y actividades humanas. Así, la ampliación clave formulada por la didáctica fundamental fue el postulado de Brousseau (1986) que refiere que todo fenómeno didáctico tiene un componente matemático esencial, lo cual comporta la problematización del conocimiento matemático y la necesidad de elaborar modelos epistemológicos de este conocimiento por parte de la didáctica. De aquí que la didáctica fundamental también sea conocida como aproximación epistemológica o programa epistemológico en didáctica de las matemáticas, en contraposición al programa cognitivo que citábamos anteriormente. (Barquero, 2009) Dentro del Programa Epistemológico es posible identificar diferentes teorías didácticas (Teoría de las Situaciones Didácticas, Teoría Ontológico-Semiótica, Teoría Antropológica de lo Didáctico), que comparten su núcleo firme y, en gran parte, su heurística positiva, pero que, en estos momentos, aún están en proceso de elaboración y de articulación. Situamos nuestra investigación en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) dentro del Programa Epistemológico de investigación en didáctica de las matemáticas, cuya emergencia ha provocado la necesidad de considerar la actividad matemática institucionalizada como objeto primario de investigación y ha supuesto la necesidad de construir, desde la propia didáctica, modelos epistemológicos de esta actividad matemática institucional. 19

20 1.3. El enfoque Antropológico en el programa epistemológico Dado que la Teoría de Situaciones Didácticas plantea la necesidad, para la didáctica, de redefinir los conocimientos matemáticos que son objeto de enseñanza y aprendizaje, surgió la necesidad de incluir en la problemática didáctica un macroanálisis que englobara el carácter institucional tanto de las prácticas de enseñanza y aprendizaje que se desarrollan en el interior del sistema didáctico, como el de las mismas prácticas matemáticas que se tratan de enseñar y aprender y que no se circunscriben en el marco escolar. Se pone de manifiesto entonces, la necesidad de estudiar las condiciones de creación y difusión del conocimiento matemático en las diferentes instituciones sociales, desde las que son productoras y creadoras de conocimiento, hasta las que lo utilizan como instrumento, pasando por las instituciones más propiamente didácticas, es decir, centradas en el estudio de las matemáticas. Esta ampliación del objeto de estudio de la didáctica que va más allá de las prácticas estrictamente escolares es el punto de partida del llamado enfoque antropológico inaugurado por Yves Chevallard (1992 y 1999). Este enfoque nace con las primeras teorizaciones del proceso de transposición didáctica (Chevallard, 1985a), que ponen de manifiesto que no es posible interpretar la matemática ni la actividad matemática que se estudia en la escuela sin tomar en consideración el estudio de fenómenos relacionados con los procesos de (re)construcción de las matemáticas que tienen el origen en la institución productora de los saberes matemáticos. En el ámbito del Programa Epistemológico de Investigación en didáctica de las matemáticas nace un modelo teórico que consiste en cuestionar y reformular nociones, métodos y procesos, que se designa por la Teoría Antropológica de lo Didáctico. A pesar de la complejidad del problema de la Educación Matemática, postulamos que para resolverlo se requerirá un enfoque unitario, esto es, unos principios básicos que 20

21 permitan reformular y abordar todos los aspectos del problema. El enfoque unitario en el que nos situaremos es el que proporciona el Programa Epistemológico de Investigación en didáctica de las matemáticas y, más específicamente, la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Podemos considerar que la Didáctica de las Matemáticas surge ante el fracaso de la Pedagogía para dar respuesta a los problemas de la enseñanza de las Matemáticas, partiendo del postulado de la necesidad de hacerse cargo, de forma integrada, de lo pedagógico y lo matemático. Esta ruptura con la Pedagogía fue la que permitió que emergiera la Didáctica de las Matemáticas como nueva disciplina. Históricamente esta ruptura se origina en el ámbito de lo que se considera el Enfoque Cognitivo en Didáctica de las Matemáticas (Gascón 1998), cuya forma de integrar lo pedagógico y lo matemático se realiza a través del estudio de las concepciones de los sujetos de la institución escolar. En una primera etapa, las investigaciones se centraron en el estudio de las concepciones de los alumnos. En la mayoría de las investigaciones no se realiza un cuestionamiento profundo del modelo epistemológico que se asume, el cual, considerado como perteneciente a la institución matemática, se supone que escapa del control del didacta. El estudio de las condiciones de creación y difusión del conocimiento matemático incluye la institución matemática sabia, en la que la didáctica clásica renuncia intervenir. La Teoría de la Transposición Didáctica distingue diferentes tipos de saberes o regímenes epistemológicos de las matemáticas según si se considera: el saber matemático original o sabio, tal como lo producen los matemáticos y otros investigadores; el saber matemático a enseñar tal como se designa oficialmente en los programas y libros o tratados por la enseñanza; el saber matemático tal como es realmente enseñado por los profesores en el aula; el saber matemático aprendido en el sentido de disponible para los alumnos al final de los procesos de aprendizaje 21

22 Las nociones de saber sabio, saber a enseñar, saber enseñado permiten poner en evidencia, de un lado, la distancia que existe entre el saber matemático producido por los matemáticos y la porción de saber matemático propuesto para ser estudiando en una institución didáctica concreta y, de otro lado, la distancia entre este saber que ha sido designado como el que se tiene que enseñar y el que realmente es implementado en clase. Una vez puesto en evidencia el proceso de transposición didáctica, con la consecuente ampliación del objeto de estudio de la didáctica que esto supone, aparece la necesidad de un modelo epistemológico lo suficientemente rico para poder describir el saber matemático tanto si se sitúa en la institución sabia como si se trata de la práctica de un estudiante universitario o de un alumno de primaria. (Barquero, 2009) La noción de praxeología matemática Con el objetivo de encontrar la modelización explícita y contrastable de la actividad matemática, considerada dentro del conjunto de actividades humanas que se llevan a cabo en las diferentes instituciones sociales, Chevallard introdujo a mediados de los años 90 la noción de praxeología u organización matemática (OM) que es una de las nociones clave de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1996, 1999, 2002a y 2002b). Uno de los postulados básicos de esta teoría consiste en considerar la actividad matemática como una actividad humana más, por ello introduce la noción de praxeología, negando la visión particularista del mundo social e incluyendo la actividad matemática dentro de un modelo más amplio de actividad humana: 22

23 toute activité humaine régulièrement accomplie peut être subsumée sous un modèle unique, que résume ici le mot de praxéologie (Chevallard, 1999, p. 223). La noción de praxeología permite considerar al mismo tiempo y, atribuyéndoles importancia equivalente, tanto la dimensión teórica como la dimensión práctica del saber. En un artículo reciente Chevallard lo expone en los términos siguientes: Una praxeología es, de algún modo, la unidad básica en que uno puede analizar la acción humana en general. [...] Qué es exactamente una praxeología? Podemos confiar en la etimología para guiarnos aquí uno puede analizar cualquier acto humano en dos componentes principales interrelacionados: praxis, i.e. la parte práctica, por un lado, y el logos, por el otro. Logos es una palabra griega que, desde los tiempos pre-socráticos, ha sido utilizada constantemente para hacer referencia al pensamiento y razonamiento humano particularmente sobre el cosmos. [...] [De acuerdo con] un principio fundamental de la TAD la teoría antropológica de lo didáctico-, no pueden existir acciones humanas sin ser, al menos parcialmente, explicadas, hechas inteligibles, justificadas, contabilizadas, en cualquier estilo de razonamiento que pueda abrazar dicha explicación o justificación. La praxis, por tanto, implica el logos que, a su vez, implica volver a la praxis. En efecto, toda praxis requiere un apoyo en el logos porque, a la larga, ningún quehacer humano permanece sin cuestionar. Por supuesto, una praxeología podría ser deficiente, por ejemplo porque su praxis se compone de una técnica ineficaz técnica es aquí la palabra oficial para designar una forma de hacer y su componente logos consta casi completamente de puro sinsentido al menos desde el punto de vista del praxeólogo!. Chevallard (2007) La noción de praxeología o de organización matemática (OM) constituye así la herramienta fundamental para modelizar la actividad matemática, como una actividad humana más, que se propone desde la TAD. Como toda obra humana, una OM surge como respuesta a un conjunto de cuestiones y como medio para llevar a cabo, en el seno de cierta institución, determinadas tareas problemáticas. Más precisamente, las OM son el resultado final de una actividad matemática que, como en toda actividad humana, concisamente, es posible distinguir dos aspectos inseparables: - El nivel de la práctica o praxis o del saber hacer, que engloba un cierto tipo de problemas y cuestiones que se estudian, así como las técnicas para resolverlos. Consta de tipos de tareas o de problemas y de técnicas o maneras 23

24 de hacer sistemáticas y compartidas, en cierta institución, que son útiles para realizar las tareas. Este primer bloque se denomina bloque práctico-técnico. Las tareas o tipos de tareas no son datos que nos proporciona la naturaleza, éstos son obras que provienen de cierta construcción institucional y cuya reconstrucción en cierta institución es un objeto de estudio de la didáctica. Lo mismo puede decirse del resto de componentes de las praxeologías. - El nivel del logos o del saber, en el que se sitúan los discursos razonados sobre la práctica que describen, explican y justifican las técnicas que se utiliza, y que recibe el nombre de tecnología. Dentro del saber se postula un segundo nivel de descripción-explicación-justificación que se denomina teoría. Desarrollando un papel similar que la tecnología hace para las técnicas, la ahora llamada teoría lo hace para la tecnología. Las tareas problemáticas o cuestiones asociadas a una OM acaban cristalizando en uno o más tipo de problemas, generados por el desarrollo de la actividad matemática del estudio de las cuestiones iniciales. En general, podemos decir que si un tipo de problemas es considerado en cierta institución es porque en Ia institución existe una técnica matemática que permite, no sólo resolver estos problemas, sino también generar muchos más problemas del mismo tipo. Es muy habitual que una institución, en relación a cierto tipo de tarea, reconozca una sola técnica (técnica canónica), o un pequeño número de procesos, y excluya técnicas alternativas que pueden existir en otras instituciones. Esta exclusión tiene relación con la ilusión de naturalidad de las técnicas institucionales. Ninguna técnica puede vivir con normalidad en una institución si no aparece como una manera de hacer o proceder correcta, comprensible y justificada. Por lo tanto, la existencia de una técnica supone que existe en su entorno un discurso interpretativo y justificativo de la técnica, que es lo que llamamos una tecnología. Además de justificar la técnica y hacerla inteligible, la tecnología tiene la función de aportar elementos para modificar la técnica con la finalidad de ampliar su alcance y, lo que es más importante, hacer posible la producción de nuevas técnicas. También forman parte de la tecnología asociada a una técnica las proposiciones que describen 24

25 su alcance, su relación con otras técnicas, las posibles generalizaciones y las causas de sus limitaciones. Denominamos teoría (asociada a una tecnología) a la tecnología de esta tecnología. La decisión de tomar dos niveles de interpretación-justificación es, obviamente, una decisión metodológica relativamente arbitraria y basada en un principio de economía de los términos teóricos. Las nociones introducidas son relativas a la institución de referencia así, por ejemplo, una determinada técnica matemática utilizada en la universidad, no tiene porqué vivir en secundaria. Las nociones también son relativas a la función que desarrollan como objetos matemáticos en una actividad matemática determinada. Un ejemplo sería el de la regla de l Hôpital que puede ser justificación en Secundaria de una técnica de cálculo de límites (función tecnológica) o bien formar parte de una tarea matemática en la universidad, como por ejemplo la que requiere justificar su aplicación bajo ciertas condiciones. Esta descripción de los componentes de una OM pone de manifiesto que, lejos de ser independientes, estos componentes están fuertemente relacionados entre sí. Con ello queremos decir que, por ejemplo, el desarrollo de las técnicas genera nuevos tipos de problemas y provoca nuevas necesidades tecnológicas, o más en general, el bloque práctico-técnico no puede vivir aisladamente en una institución, requerirá la existencia del discurso racional que justifique la técnica y muestre su pertinencia para llevar a cabo el tipo de tareas. El sistema formado por estos dos bloques, o cuatro componentes, constituye una praxeología (organización) matemática que consideramos la unidad mínima en que puede ser descrita la actividad matemática, como sugiere el esquema que se sigue: Componentes tarea técnica tecnología teoría Bloque práctico-técnico tecnológico-teórico Saber hacer Saber Tabla 1 Componentes de una praxeología u organización matemática (OM) 25

26 Clases de praxeologías: estructuras de complejidad creciente Posteriormente, con el objetivo de tener herramientas más precisas para analizar los procesos didácticos institucionales, Chevallard (1999) introdujo la distinción entre diferentes tipos de praxeologías según el grado de complejidad de sus componentes: - Praxeologías puntuales (u organizaciones matemáticas puntuales OMP), si están generadas por lo que se considera en la institución como un único tipo de tareas. Esta noción es relativa a la institución considerada y está definida, en principio, a partir del bloque práctico-técnico. En este primer tipo de organización los tipos de problemas y las técnicas tienen un claro papel predominante. De hecho raramente se encuentran las praxeologías puntuales ya que generalmente, una teoría responde a varias tecnologías, cada una de las cuales a su vez justifica y hace inteligible varias técnicas correspondientes a varias tipos de tareas. Las praxeologías puntuales irán así combinándose integrando cada vez una estructura más compleja y relativamente más completa de sus componentes. - Praxeologías locales, resultado de la integración de diversas praxeologías puntuales. Esta integración comporta que el discurso tecnológico asuma protagonismo, ya que algunas técnicas pierden el carácter auto-tecnológico. Cada praxeología local está caracterizada por una tecnología, que sirve para justificar, explicar, relacionar entre sí y producir las técnicas de todas las praxeologías puntuales que la integran. En general, las praxeologías puntuales se integran en praxeologías locales para poder dar respuesta a cuestiones problemáticas que no podían ser resueltas con ninguna de las praxeologías puntuales de partida. - Praxeologías regionales, se obtienen mediante la coordinación, articulación y posterior integración, alrededor de una teoría matemática común, de diversas praxeologías locales. Esta integración comporta que el discurso teórico tome el papel central. La reconstrucción institucional de una teoría matemática requiere elaborar un 26

27 lenguaje común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y producir las diferentes tecnologías de las praxeologías locales que integran la praxeología regional. - Praxeologías globales, que surgen agregando varias praxeologías regionales a partir de la integración de diferentes teorías. Podemos citar muchos ejemplos de OMP concretas que viven en Secundaria, tantos como tipos de tareas: descomponer en factores un polinomio con raíces enteras; resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; determinar la ecuación de una recta dada por un punto y un vector director; etc. Pero para describir adecuadamente cada una de las OMP citadas, deberíamos detallar con cierta precisión el tipo exacto de tareas que estamos considerando y las pequeñas variaciones de la técnica que se consideran en la institución de referencia como una misma técnica. Incluso sería preciso especificar en qué punto una determinada variación de una técnica concreta ya no puede ser considerada por la institución de referencia como la misma técnica y, por tanto, cuáles son las nuevas OMP que aparecen y cuál es su relación con la OMP inicial. También habría que describir los elementos tecnológicos que permitirían describir e interpretar dicha actividad matemática (aunque queden implícitos) y hasta la teoría que constituye el horizonte en el que podría situarse. (Fonseca, 2004) Ya hemos dicho que una OML permite plantear y resolver problemas (o, al menos, responder ante ellos) que en las OMP iniciales no podían formularse con toda propiedad. Resulta, por tanto, que estas nuevas cuestiones problemáticas deberían constituir la razón de ser que dan sentido a la OML. Pero, paradójicamente, en determinadas instituciones matemáticas se produce el siguiente fenómeno: a medida que las OMP se integran para constituir organizaciones más complejas (locales, regionales y globales), la relación entre la cuestión y la respuesta tiende a invertirse hasta el punto que las razones de ser de la OM (o conjunto de cuestiones problemáticas que le dan sentido porque son las cuestiones a las que ésta responde) tienen tendencia a desaparecer (Chevallard, 1999). Entre los múltiples ejemplos de este fenómeno podemos citar el caso de la geometría en la enseñanza secundaria española. En efecto, aunque la problemática de la geometría sintética que se estudia 27

28 en la enseñanza secundaria obligatoria en España (de 12 a 16 años) podría dar sentido a la geometría analítica que se estudia en el Bachillerato (de 16 a 18 años) puesto que las técnicas analíticas permiten resolver muchas de las cuestiones geométricas que no podían abordarse con las técnicas sintéticas lo cierto es que la geometría analítica se presenta de una forma completamente desconectada de la problemática de la geometría sintética que, en el Bachillerato, ya ha desaparecido completamente (Gascón, 2002). De la misma forma que era fácil citar ejemplos de etiquetas que aluden a OMP concretas, también es relativamente sencillo citar mediante etiquetas ejemplos de OMR específicas. En efecto, para hacer referencia a una OMR bastará citar la teoría matemática común que sirve, en cada caso, para unificarla. En la actual Enseñanza Universitaria, por ejemplo, podemos encontrar etiquetas que, aunque con diferente grado de generalidad, hacen referencia a teorías matemáticas que proporcionan un lenguaje común para determinadas OMR. Entre éstas podemos citar: la teoría de Galois; la teoría de ecuaciones diferenciales lineales; el álgebra lineal; la teoría de la medida; la teoría de funciones analíticas y la teoría de los grupos de Lie, entre otras muchas. Pero, de nuevo, hay que reconocer que para describir adecuadamente una OMR sería preciso describir, además de la teoría unificadora, las OML que la integran, las relaciones que se establecen entre dichas OML constituyentes y las nuevas cuestiones problemáticas que pueden abordarse en la OMR final y que no podían abordarse en ninguna de las OML iniciales. (Fonseca, 2004) 28

29 El proceso de estudio de una organización matemática: organizaciones didácticas y momentos de estudio En la sociedad constantemente aparecen situaciones que requieren una respuesta por parte del individuo y, sobre todo, por parte de las instituciones que estructuran la sociedad. Puede haber una simple demanda de información o una cuestión en sentido débil frente a la cual la persona conoce la respuesta o la puede conocer fácilmente. Pero la situación cambia cuando aparecen cuestiones frente a las que la persona no conoce su respuesta, es decir, no dispone de ninguna técnica conocida para abordar la cuestión, entonces esta situación se transforma en problemática y puede dar origen a una cuestión en sentido fuerte. En este caso la respuesta que buscamos no es una simple información, sino que para poder responder eficientemente será necesaria la elaboración de una técnica y, más concretamente, de una praxeología completa relativa al tipo de problema planteado. Así que el estudio de cuestiones en sentido fuerte requerirá la creación o construcción de respuestas en sentido fuerte, es decir, la construcción de toda una nueva organización praxeológica. Se podría imaginar un mundo o realidad institucional en la que las actividades humanas estuviesen regidas por praxeologías bien adaptadas que permitiesen realizar de forma instantánea las tareas que fueron surgiendo, pero esta realidad no existe, las instituciones son recorridas por una dinámica praxeológica que resulta de un trabajo complejo y continuo en las instituciones. Constantemente, en el universo de las tareas a realizar en una institución, surgen tareas problemáticas que requerirán la producción o reproducción de nuevas praxeologías que, en la medida que ya existan en otra institución, se podrá proponer importarlas. Cuando una comunidad X, que se propone estudiar una cierta cuestión problemática Q relativa a cierto tipo de tarea T, forma lo que se denomina un sistema de estudio o sistema didáctico, denotado por S(X; Q T ). En la mayoría de los procesos de estudio, aparece la figura del ayudante al estudio o director de estudio (Y) y el sistema didáctico se designará entonces por S(X; Y; Q T ). Se entra así en la dimensión específica de la didáctica. 29

30 En el desarrollo y análisis de la actividad matemática, aparecen dos aspectos inseparables: por un lado, la obra matemática que puede construirse a partir del estudio de las cuestiones problemáticas y, por otro lado, la manera en que puede ser construida la obra matemática, es decir, la manera en que puede organizarse el proceso de estudio de las cuestiones. El primer aspecto (el producto) es de hecho el resultado de la construcción, es decir, la praxeología o organización matemática (OM). El segundo aspecto es el proceso de estudio y construcción, lo que se denominará organización didáctica (OD). Se trata, en efecto, de dos aspectos inseparables porque no hay organizaciones matemáticas sin un proceso de estudio que las genere, pero tampoco hay un proceso de estudio sin organizaciones matemáticas en construcción. Como en toda organización praxeológica, una OD se articula en tipos de tareas, técnicas, tecnologías y teorías que, en este caso, se denominan didácticas, pero cómo se describe dicha organización? La consideración de diversos procesos de estudio permite detectar varios aspectos o tipos de situaciones que necesariamente están presentes en todos ellos, es decir, dimensiones que estructuran cualquier proceso de elaboración matemática independientemente de las características culturales, sociales, individuales, etc. Denominaremos a este tipo de aspectos con la noción de momentos de estudio o momentos didácticos. Chevallard (1999) postula que el proceso de estudio se sitúa en un espacio determinado por seis momentos didácticos, sin presuponer una estructura lineal de los procesos de estudio. Cada momento puede ser vivido con diferentes intensidades, en tiempos diversos, tantas veces como se necesite a lo largo del proceso de estudio e incluso es habitual que algunos de ellos aparezcan simultáneamente. Lo que sí es importante destacar es que cada uno de los seis momentos de estudio tiene una función específica necesaria para llevar a cabo correctamente el proceso y que existe una dinámica interna global que se manifieste en el carácter invariante de ciertas relaciones entre los citados momentos. 30

31 Los seis momentos didácticos pueden ser descritos mediante las siguientes etiquetas: el momento del primer encuentro, el momento exploratorio, el momento del trabajo de la técnica, el momento tecnológico-teórico, el momento de la institucionalización y el momento de la evaluación. En 1999, Chevallard (pp ), describe los seis momentos del estudio de una organización praxeológica O en los términos siguientes: 1. El primer momento de estudio es el del primer encuentro con la organización O que está en juego. Un tal encuentro puede tener lugar de varias maneras, pero un modo de encuentro (o de reencuentro) inevitable, a menos que uno se quede en la superficie de la obra O, es el que consiste en encontrar O a través de al menos uno de los tipos de tareas constitutivas de O. Este primer encuentro con el tipo de tareas puede a su vez tener lugar en varias veces, en función sobre todo de los entornos matemáticos y didácticos en los que se produce: se puede volver a descubrir un tipo de tareas como se vuelve a descubrir una persona que se creía conocer. 2. El segundo momento es el de la exploración de un tipo de tareas y de la elaboración de una técnica relativa a este tipo de tareas. En realidad, el estudio y la resolución de un problema de un tipo determinado va siempre a la par con la constitución de al menos un embrión de técnica, a partir de la cual una técnica más desarrollada podrá eventualmente emerger. El estudio de un problema particular, espécimen de un tipo estudiado, aparecería así, no como un fin en sí mismo, sino como un medio para la constitución de una técnica de resolución. Se trama así una dialéctica fundamental: estudiar problemas es un medio que permite crear y poner en marcha una técnica relativa a los problemas de un mismo tipo, técnica que será a continuación el medio para resolver de manera casi rutinaria los problemas de este tipo. 3. El tercer momento del estudio es el de la constitución del entorno tecnológicoteórico. De una manera general, este momento está en interrelación estrecha con cada uno de los otros momentos. Así, desde el primer encuentro con el tipo de tareas, se establece generalmente una relación con el entorno 31

32 tecnológico-teórico anteriormente elaborado, o con gérmenes de un entorno por crear que se precisará mediante una relación dialéctica con la emergencia de la técnica. Sin embargo, por razones de economía didáctica global, a veces las estrategias de dirección de estudio tradicionales hacen en general de este tercer momento la primera etapa del estudio. 4. El cuarto momento es el del trabajo de la técnica, que debe a la vez mejorar la técnica volviéndola más eficaz y más fiable, lo que exige generalmente retocar la tecnología elaborada hasta entonces, y acrecentar la maestría que se tiene de ella. Este momento de puesta a prueba de la técnica supone en particular unos cuerpos de tareas adecuados tanto cualitativamente como cuantitativamente. 5. El quinto momento es el de la institucionalización, que tiene por objeto precisar lo que es exactamente la OM elaborada, distinguiendo claramente, por una parte los elementos que, habiendo concurrido a su construcción, no le hayan sido integrados y, por otra parte, los elementos que entrarán de manera definitiva en la organización matemática considerada, distinción que buscan precisar los alumnos cuando le preguntan al profesor, a propósito de tal resultado o tal procedimiento, si hay o no que saberlo. 6. El sexto momento es el de la evaluación, que se articula con el momento de la institucionalización. En la práctica, llega siempre un momento en el que se debe observar lo aprendido, porque este momento de reflexión donde, cualquiera que sea el criterio y el juez, se examina el valor de lo que se ha aprendido, este momento de verificación que, a pesar de los recuerdos de infancia, no es en absoluto invención de la institución escolar, participa de hecho de la respiración misma de toda actividad humana. En efecto, todo proceso de estudio de una organización matemática presupone la existencia inicial de la organización matemática que se va a estudiar, pero el estudio de la misma es también, en un sentido amplio, un proceso de creación, o digamos de 32

33 recreación, en el caso de las instituciones didácticas. Por consiguiente, la construcción de una praxeología matemática contempla el estudio de la misma y viceversa. Surge pues una nueva concepción de la Didáctica de las Matemáticas en la que lo didáctico se identifica con todo aquello que se relacione con el estudio y con la ayuda al estudio: La didáctica de las matemáticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemáticas. Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio o procesos didácticos de cara a proponer explicaciones y respuestas sólidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos (alumnos, profesores, padres, profesionales, etc.) que se ven llevados a estudiar matemáticas o a ayudar a otros a estudiar matemáticas (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 60). Todo proceso de estudio de una organización matemática, en cuanto que actividad humana, puede ser modelizado mediante una praxeología que, en este caso, será denominada praxeología didáctica. Como toda praxeología, estará compuesta de un conjunto de tareas didácticas problemáticas, de técnicas didácticas para abordarlas y de tecnologías y teorías didácticas que las expliquen y justifiquen. (Chevallard, 1999). La integración progresiva de las dimensiones didáctica y matemática queda así modelizada mediante las nociones de praxeologías matemáticas y didácticas y, sobre todo, mediante el postulado antropológico que afirma que, en la contingencia, en la historia de las instituciones, las praxeologías matemáticas y didácticas no pueden vivir por separado. De esta manera, todo proceso de estudio de las matemáticas como proceso de construcción o reconstrucción de OM, consiste en la utilización de una determinada OD, con su componente práctico (formado por tipos de tareas y técnicas didácticas) y su componente teórico (formado por tecnologías y teorías didácticas). En definitiva, y aunque a veces se considera el producto (la praxeología matemática) como si fuera independiente de todo el proceso, en realidad se trata de una abstracción. En la historia de las instituciones sociales no hay productos sin procesos y, por lo tanto, lo que se analiza son procesos didácticos cuya unidad mínima de análisis son las praxeologías didácticas (relativas a ciertas praxeologías matemáticas). 33

34 Los niveles de codeterminación didáctica Yves Chevallard inicialmente había propuesto una jerarquía de niveles de codeterminación entre las formas de estructurar las cuestiones matemáticas a estudiar y las maneras de organizar el estudio de las mismas en la escuela: El principio fundador de las didácticas, al menos en el sentido brousseauniano de la palabra, es que no sólo lo transmitido depende de la herramienta con la que se pretende conseguir su transmisión, sino que también (recíprocamente) las organizaciones transmisoras, es decir didácticas, se configuran de manera estrechamente vinculada a la estructura dada de lo que hay que transmitir. En otros términos, las organizaciones didácticas dependen fuertemente de las organizaciones por enseñar - las OM, si se trata de organizaciones matemáticas (Chevallard, 2001). Podemos esquematizar dicha jerarquía mediante una sucesión de niveles de estructuración de las citadas organizaciones matemáticas (OM) y organizaciones didácticas (OD) que va desde el nivel más genérico, la sociedad, hasta el más específico, una cuestión matemática concreta que se propone en una institución escolar determinada para ser estudiada: Sociedad Escuela Pedagogía Disciplina Área Sector Tema Cuestión Se postula que en cada uno de estos niveles se producen restricciones particulares mutuas entre las OM y las OD, esto es: - la estructuración de las OM en cada nivel de la jerarquía condiciona las formas posibles de organizar su estudio; - la naturaleza y las funciones de los dispositivos didácticos existentes en cada nivel determinan, en gran parte, el tipo de OM que será posible reconstruir o estudiar en dicha institución escolar (Fonseca, 2004). El estudio de las condiciones de existencia y evolución de las OM y OD muestra que, cuando el profesor y los alumnos se enfrentan a un saber que se debe enseñar o 34

35 aprender, lo que puede suceder está muy determinado por un conjunto de condiciones y de restricciones que no se pueden reducir a aquellas inmediatamente identificables dentro del aula (conocimiento previo de los alumnos, material didáctico del que se dispone, etc.). Bien es cierto que estos aspectos son muy importantes, pero no debemos olvidar la existencia de muchas otras condiciones que se requieren y que surgen más allá del espacio de la clase y del conocimiento o tema que se quiere estudiar. Más recientemente, Chevallard (2001, 2002b & 2007) ha completado la anterior escala o jerarquía de niveles de codeterminación entre las organizaciones matemáticas (OM) escolares y las correspondientes organizaciones didácticas (OD), es decir, entre las OM que viven o pueden vivir en una institución y la forma que tiene esta institución para (re)construirlas. Figura 2. Escala de niveles de codeterminación entre OM y OD Vamos a referirnos al trabajo de Bosch & Gascón (2006) donde encontramos citada una de las principales funciones de esta escala de niveles: Por qué una nueva ampliación del objeto de estudio con la correspondiente complejidad del marco teórico? La respuesta es siempre la misma: para liberarse de las 35

36 concepciones espontáneas del conocimiento matemático que, al analizar su objeto de estudio, los investigadores podrían asumir sin cuestionarlas previamente. Las praxeologías puntuales, locales, regionales y globales se corresponden con los niveles inferiores: los de la cuestión, el tema, el sector y el ámbito. Quizá debido a su familiaridad con el problema del profesor ( dado un contenido matemático para ser enseñado, cuál es la mejor forma de hacerlo? ), a menudo los didactas asumen como incuestionable la delimitación de contenidos que ofrecen las instancias educativas o académicas. Hay que situarse en un nivel de generalidad superior para preguntarse, por ejemplo, y dada una organización curricular concreta, por qué están divididos los contenidos en estos bloques temáticos y no en otros, o cuáles son los criterios para determinar esta división y qué tipo de restricciones causa sobre la actividad concreta que pueden realizar profesores y estudiantes La estructura de las OM. Dinámica de las organizaciones matemáticas La descripción estructural de una OM debe completarse con los rasgos principales de las relaciones que se establecen necesariamente entre dichos componentes, esto es, con un primer análisis de lo que denominaremos dinámica interna de las organizaciones matemáticas y que aquí sólo insinuaremos utilizando la citada noción de praxeología matemática. Existe un segundo nivel de análisis de la dinámica de las organizaciones matemáticas: el análisis de la dinámica institucional, que hace referencia a las condiciones de la génesis y desarrollo de una organización matemática en una institución dada. Este estudio puede considerarse como el estudio de la ecología institucional de las organizaciones matemáticas y está muy relacionado con los fenómenos de transposición institucional del saber matemático (Chevallard, 1991). En la TAD toda actividad de estudio e investigación parte de una cuestión generatriz Q, formulada en una institución I, que permite hacer emerger un tipo de problemas y una técnica de resolución de dichos problemas, así como una tecnología apropiada para justificar y comprender mejor la actividad matemática que se ha llevado a cabo. 36

37 El trabajo (Fonseca, 2004) pone de manifiesto una extraordinaria rigidez en la Enseñanza Secundaria de las matemáticas. El alumnado tiene problemas con la nomenclatura, maneja una sola técnica, no es capaz de distinguir entre tarea directa y tarea inversa, no interpreta las técnicas y, lo que es más importante, tiene una extraordinaria dificultad para trabajar con tareas abiertas. La respuesta a esta problemática fue la creación en (Fonseca, 2004), de un nuevo dispositivo didáctico, situado dentro de la ingeniería didáctica: Organizaciones Matemáticas Locales Relativamente Completas (OMLRC), que posibilita la conexión entre la Enseñanza Secundaria y la Enseñanza Universitaria, niveles poco estudiados desde la investigación experimental. El proceso de estudio de una OMLRC tiene dos partes diferenciadas, una relativa al proceso de construcción o reconstrucción de la propia OM determinada por los Momentos Didácticos, y otra, relativa al propio producto resultante, que viene determinado por unos indicadores. Es a partir de ambas facetas: proceso de construcción y producto como se determina el grado de completitud de la OML: a) El proceso de construcción de una OMLRC, es un proceso de Ingeniería Didáctica y, viene caracterizado mediante determinadas propiedades y relaciones entre los Momentos Didácticos: OD1. Momento de Equipamiento Praxeológico en el que haya necesidad de retomar nociones y conceptos de otras praxeologías que tenemos a nuestra disposición y que tengan una relación con las tareas y las técnicas de la nueva OM a estudiar. OD2. Debe haber un Momento del primer encuentro con un tipo de tareas T q asociado a una cuestión problemática q con sentido, que conduzca a alguna parte (que no sea una cuestión muerta en el sentido de Chevallard (2002b). OD3. El proceso de reconstrucción de una OML debe contener momentos exploratorios en los que la comunidad de estudio tenga la oportunidad de construir y 37

38 empezar a utilizar una técnica inicial 0 potencialmente útil para realizar las tareas del tipo T q. OD4. La exploración de una OML debe desembocar en un verdadero trabajo de la técnica que se inicia rutinizando 0 hasta provocar un desarrollo progresivo de dicha técnica. La técnica debe sufrir un desarrollo progresivo que permita generar técnicas nuevas, cada vez más potentes que nos permitan ir ampliando el campo de problemas. OD5. La OD debe integrar los diversos instrumentos del trabajo matemático. En particular, las Calculadoras Simbólicas deben permitir construir nuevas técnicas matemáticas que, cuando se utilizan adecuadamente, mejoran la eficacia y la economía del trabajo matemático y amplían el tipo de problemas que se pueden estudiar. Corresponde al momento de las tecnologías de información y comunicación. OD6. En la reconstrucción de una OML deben aparecer nuevas cuestiones matemáticas relativas a las técnicas que se utilizan, esto es, cuestiones relativas a la interpretación, la justificación, y el alcance de dichas técnicas, así como a las relaciones que se establecen entre ellas (denominamos cuestionamiento tecnológico al conjunto de estas cuestiones). La respuesta a estas cuestiones requerirá la realización de nuevas tareas matemáticas que también pasarán a integrarse en la OML en construcción. Para llevar a cabo todo este conjunto de tareas matemáticas será necesario utilizar un marco tecnológico-teórico que es el que permitirá construir (además de justificar, interpretar y relacionar) todas las técnicas necesarias. OD7. En el proceso de reconstrucción de una OML es necesario ir institucionalizando progresivamente (no de una vez por todas) aquellos elementos que deben ser considerados como matemáticos por la comunidad de estudio, para distinguirlos de los que han hecho, a lo largo del proceso, el papel de meros instrumentos auxiliares de la construcción. OD8. Ligado a la institucionalización, también es preciso evaluar la calidad de los componentes de la OML construida: los tipos de tareas ( están bien identificados?, existen especímenes suficientemente variados de cada tipo?, a qué cuestiones están 38

39 asociados?, están relacionados con el resto de la actividad de los estudiantes o bien están aislados?); las técnicas ( están suficientemente trabajadas?, son fiables?, son económicas?, son las más pertinentes para realizar las tareas presentadas?); y el discurso tecnológico ( es suficientemente explícito?, ayuda efectivamente a interpretar y justificar las técnicas?, permite variar las técnicas en la dirección adecuada para construir nuevas técnicas? Una Organización Matemática debe ser estructural, pero también dinámica, esto es, debe existir una interrelación de los momentos que, por sí sólo, ya son multidimensionales. La noción de Momento Didáctico se utiliza, no tanto en el sentido cronológico, como en el sentido de dimensión de la actividad. Lo importante no es el orden en que se realicen los diferentes momentos del proceso de estudio, sino la estructura interna de las relaciones que deben establecerse forzosamente entre ellos. b) El proceso de construcción de la OM es un producto de ingeniería matemática. Para medir el grado de completitud de una Organización Matemática Local utilizaremos los indicadores referidos por Cecilio Fonseca, en 2004, y un indicador más reciente al final: OML1. Deben aparecer tipos de tareas asociados al cuestionamiento tecnológico, esto es, tareas que hagan referencia a la interpretación, la justificación, la fiabilidad, la economía y el alcance de las técnicas, así como a la comparación entre ellas. El grado de completitud dependerá del grado de integración de todos los tipos de tareas. Una OML será menos completa cuantos más tipos de tareas aisladas existan, esto es, tareas realizables mediante técnicas que no están relacionadas entre sí por ningún elemento tecnológico. OML2. Existencia de diferentes técnicas para cada tipo de tareas y de criterios para elegir entre ellas. Una OML será más completa en la medida que, dado un tipo concreto de tareas de OML, existan dos o más técnicas que permitan realizar algunas 39

40 de las tareas concretas de ese tipo. Este indicador de la completitud comporta que en la OML existan, además, los elementos tecnológicos que permiten discernir, para cada tarea concreta, cuál es la técnica más fiable y económica para llevar a cabo dicha tarea. OML3. Existencia de diferentes representaciones de la actividad matemática. La flexibilidad de las técnicas utilizadas debe permitir la utilización de diferentes representaciones, pero también deben existir criterios explícitos para elegir la representación más adecuada, dependiendo de la actividad matemática en la que estas técnicas se hayan inmersas. OML4. Existencia de tareas y de técnicas inversas. La flexibilidad de las técnicas debe también permitir trabajar tareas inversas como, por ejemplo, aquellas definidas intercambiando los datos y las incógnitas del problema o, a partir de la respuesta, analizar la situación de partida. OML5. Interpretación del funcionamiento y del resultado de la aplicación de las técnicas. Debe existir un tipo de tarea que permita al alumno interpretar el real funcionamiento de una técnica para, a posteriori, percibir su beneficio matemático o ventaja en relación con otras técnicas. OML6. Existencia de tareas matemáticas abiertas. En las tareas abiertas los datos se tratan como si fuesen desconocidos (parámetros) y las incógnitas no son valores concretos sino las relaciones que se establecen entre ellos. El estudiante ha de decidir, ante una situación matemática o extramatemática determinada, qué datos debe utilizar y cuáles son las incógnitas. En este nivel se incluyen las tareas de modelización matemática. OML7. Necesidad de construir técnicas nuevas capaces de ampliar los tipos de tareas. Simultáneamente, la tecnología y la teoría son los componentes para la construcción de técnicas nuevas, capaces de ampliar los tipos de problemas que se pueden abordar y, en consecuencia, los tipos de tareas de una organización matemática local. 40

41 OML8. La posibilidad de perturbar la situación inicial o modificar la hipótesis del sistema para estudiar casos diferentes permite ampliar y completar el proceso de estudio. Hay que subrayar, que la noción de completitud es relativa. No tiene sentido hablar de OML completas ni de OML incompletas. Se trata, en todo caso, de una cuestión de grado: existen OML más o menos completas que otras en función del grado en que sus componentes cumplen las condiciones descritas por los indicadores (Fonseca, 2004). Dualmente, el grado de completitud de una OML depende de la medida en que, a lo largo de su proceso de construcción, se cumplan OD1-OD8. El estudio de las Organizaciones Matemáticas Locales Relativamente Completas, posibilitan la conexión entre la Enseñanza de Secundaria y la Enseñanza Universitaria, niveles pocos estudiados desde la investigación experimental (Bosch, M., Fonseca, C. y Gascón, J (2004)). 41

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43 Capítulo 2 Incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares 43

44 2.1. La razón de ser de las matemáticas Un estudio con sentido en la Escuela Si denominamos razón de ser de una organización matemática a las cuestiones, inicialmente problemáticas, a las que dicha OM responde, podemos decir que muchas de las organizaciones matemáticas que se proponen para ser estudiadas en la escuela han perdido su razón de ser y su sentido. Recientes estudios que se apoyan en la Teoría Antropológica de lo Didáctico pretenden crear una razón de ser de las organizaciones matemáticas de forma que sea posible responder a las cuestiones del tipo: - Cuáles son las razones históricas que motivaron la construcción de una determinada OM? - Cuáles son las situaciones problemáticas a las que responde la OM? - Que situaciones problemáticas nuevas emergen? - Que problemas viene a resolver que no resuelva ninguna de las OM estudiadas anteriormente? Esto es, cuál es la ventaja del estudio de la OM en cuestión? En la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) se postula que, para que una cuestión matemática pueda estudiarse con sentido en la Escuela, es necesario: a) Que provenga de cuestiones que la Sociedad propone que se estudien en la Escuela (legitimidad cultural o social). Viene determinada por la Noosfera, conjunto de las fuentes de influencias que actúan en la selección de los contenidos que serán parte de los programas escolares y que determinan todo el funcionamiento del proceso didáctico. b) Que aparezca en ciertas situaciones umbilicales de las matemáticas, esto es, situadas en la raíz central de las matemáticas (legitimidad matemática). 44

45 c) Que conduzcan a alguna parte, esto es, que esté relacionada con otras cuestiones que se estudian en la Escuela, sean estas matemáticas o relativas a otras disciplinas (legitimidad funcional). d) Además de las legitimidades anteriores Gascón (2003) estudiaremos también la legitimidad didáctica. Es importante estudiar cuales son para una noción matemática determinada, por un lado, las dificultades y las restricciones que impiden su estudio y, por otro lado, que condiciones permiten mejorar el proceso de estudio de las cuestiones matemáticas relacionadas con aquella cuestión. Según Berta Barquero, en 2006, la legitimidad funcional tiene poca presencia en la matemática escolar:...las matemáticas no se enseñan a partir de las necesidades de modelizar situaciones o cuestiones que surgen en el ámbito de las diversas disciplinas sino que se presentan como unas herramientas básicas que el alumno debe aprender a manejar sin saber de antemano que tipos de problemas estas herramientas le permitirán resolver... En suma, la legitimidad matemática se refiere a dominios intramatemáticos (por ejemplo: el límite, la continuidad, sistemas de números) y la legitimidad funcional se refiere a dominios extramatemáticos (por ejemplo: sistemas físicos, biológicos, sociales, etc.). Para que una cuestión sea estudiada en una determinada institución escolar, es necesario que en esta institución se construya toda una jerarquía de niveles que contengan a dicha cuestión, cumpliendo las referidas legitimidades (consultar Escala de niveles de codeterminación entre OM y OD, página 33, capítulo 1). Además, es importante tener en cuenta que la sucesión de niveles es relativa no sólo a la cuestión o grupo de cuestiones consideradas, sino también al período histórico y a la institución escolar en la que nos situemos. Sin embargo, el hecho de que se construya esta jerarquía no garantiza la calidad de su estudio. Es necesario que esta cuestión provenga de ciertas cuestiones primarias y que 45

46 conduzca a alguna parte. Si no es así, la cuestión carece de sentido puesto que ha desaparecido la razón de ser de su estudio en la Escuela. En tal caso, se dice que es una cuestión encerrada en sí misma o una cuestión muerta (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997). Como explican Bosch & Gascón (2006) en el artículo conmemorativo de los 25 años de transposición didáctica: La limitación más fuerte ocurre cuando el proceso de transposición no es capaz de mantener o recrear una posible razón de ser de los conocimientos que la escuela se propone transmitir. Por qué son tan importantes los triángulos? Para qué sirven los límites de funciones? Por qué necesitamos de los polinomios? Una enseñanza que no toma en consideración estos interrogantes se convierte rápidamente en lo que Chevallard denomina una educación monumentalista, donde se invita a los estudiantes a contemplar instrumentos que la humanidad construyó con esfuerzo, que sirvieron para grandes propósitos y que hay que conocer y admirar aunque ya no se sepa cuál es su utilidad. En estos casos se requiere un trabajo permanente de revisión o retoma de los procesos transpositivos que debe traspasar el ámbito genérico en el que se desarrollan habitualmente las decisiones curriculares para adentrarse hasta el nivel más concreto de las actividades matemáticas que realizan los alumnos en el aula. Desde el punto de vista del Sistema de Enseñanza, es decir, si nos situamos en el punto de vista de la institución docente de la que el profesor-enseñante es agente, se da por supuesto que el profesor conoce lo que tiene por misión enseñar. Así el profesor se ve llevado a considerar todo objeto de enseñanza únicamente como tal objeto. De esta forma, el profesor no se preguntará qué es una construcción geométrica?, qué es el Álgebra?, qué es una demostración? qué es la modelización matemática? sino más bien se verá llevado a plantearse: qué tengo que enseñar y cómo tengo que enseñar a mis alumnos a propósito o en relación con la modelización matemática? 46

47 En otros términos, como indica Chevallard (1990, p. 4): [ ] el profesor-enseñante, como agente de la institución docente, no formulará cuestiones a propósito del saber que tiene que enseñar más que poniendo entre paréntesis la cuestión del saber y de su propia relación con el saber; o cuando menos, relativizando la cuestión: esta cuestión no se plantea porque hay alumnos, y hay que enseñar(les) [ ]. Esta manera de reaccionar permite ignorar un problema fundamental de la enseñanza: permitiendo evitarlo, se permite negarlo. Una de las líneas recientes de investigación del enfoque que propone la Teoría Antropológica de lo Didáctico refiere a la necesidad de introducir en los sistemas de enseñanza procesos de estudio funcionales (y no formales), diseños en una perspectiva no-monumentalista, en que los saberes no son monumentos que el profesor enseña, sino los materiales y conceptos útiles para estudiar y resolver situaciones problemáticas Fenómeno del autismo temático Chevallard (2001) considera que el oficio de profesor, tal y como es concebido por la sociedad, asigna al profesor la responsabilidad de escoger las cuestiones que se estudian en la escuela, y los temas en torno a las que estas se organizan. Se observa pues un abandono, por parte del profesor, de los niveles superiores al temático, fenómeno que identifica como del autismo temático del profesor. Es importante volver a destacar que esto no significa, en absoluto, que el profesor no tenga inquietudes ni formule sus opiniones respecto al resto de los niveles de codeterminación, sino que, en el conjunto de responsabilidades asignadas en tanto que sujeto de una institución escolar, no tiene la obligación de ir más allá. Por ello, otros autores (Gascón, 2004b) proponen que sería más correcto hablar del fenómeno del autismo temático de la institución escolar. 47

48 La consecuencia más impresionante de este aislamiento del profesor en la jerarquía de los niveles de determinación didáctica, según afirma Chevallard (2001), se encuentra en la desaparición de las razones de ser de las OM enseñadas en el nivel temático. En otras palabras, la situación subalterna que la sociedad impone al profesor en la gestión de la difusión del conocimiento conduce a difundir conocimientos no motivados, formales, de los que demasiado a menudo ignoramos lo que permiten conocer (Chevallard, 2001, p. 6). Se observa así una escisión entre los temas y las cuestiones (donde el profesor tiene la libertad y la obligación de operar) y la disciplina, las áreas y los sectores (entendidos como lo matemático, ámbito en el que el profesor no interviene). Este último ámbito le viene dado al profesor en los currículos y disposiciones oficiales, y queda determinado, incuestionable paradójicamente, desde los niveles pedagógicos, esto es, desde los niveles superiores a los niveles disciplinares. El profesor está abocado, en su oficio de profesor, a no ir mucho más allá del nivel temático, lo que acarrea importantes consecuencias didácticas. El profesor, como responsable de diseñar y gestionar el proceso de estudio de un conjunto de temas matemáticos, sólo tiene la posibilidad de elegir, dentro de cada tema, las cuestiones matemáticas que van a ser estudiadas por los alumnos y, aunque puede agrupar dichas cuestiones en ciertos temas, no puede incidir de manera relevante en los niveles superiores de la jerarquía. Aparece así, en la siguiente figura, una profunda escisión entre temas y cuestiones por un lado (ámbito de actuación del profesor) y disciplina, áreas y sectores (ámbito de lo matemático por oposición a lo pedagógico ): 48

49 Figura 1 Las nociones de saber sabio, saber a enseñar, saber enseñado, que permiten poner en evidencia, de un lado, la distancia que existe entre el saber matemático producido por los matemáticos y la porción de saber matemático propuesto para ser estudiando en una institución didáctica concreta y, de otro lado, la distancia entre este saber que ha sido designado como el que se tiene que enseñar y el que realmente es implementado en clase. Lo que importa no es el que la situación que se estudia sea más o menos real pero sí el proceso de estudio que este punto de partida sea capaz de generar, lo que nos remite de nuevo al problema de las razones de ser de la organizaciones matemáticas que se estudian en la escuela El fenómeno de la desarticulación de las matemáticas La presión de la noosfera 2 (el lugar donde se piensa la enseñanza de los saberes) sobre el sistema de enseñanza provoca que este aislamiento se extienda sobre las instituciones escolares por razones que poco tienen que ver con lo didáctico, sino más bien con el peso de cada disciplina dentro del sistema de enseñanza y con la afirmación de su especificidad como garantía de su supervivencia. 2 Literalmente Noosfera significa: "sphere of human thought", esto es, esfera de la mente o capa mental de la Tierra, es una palabra y concepto que fue acuñado en París en 1926, conjuntamente por Jules le Roi, [filósofo francés y estudiante de Henri Bergson], el paleontólogo y teólogo Jesuita P. Teilhard de Chardin y el Geoquímico ruso Vladimir Vernadsky. 49

50 Una de las consecuencias de este aislamiento disciplinar, impuesto desde los niveles superiores de codeterminación didáctica, es la desaparición de las razones de ser de las organizaciones matemáticas que actualmente se estudian en las instituciones escolares (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997). Las matemáticas, que han ido evolucionando a lo largo de la historia como respuesta a cuestiones problemáticas, a menudo mixtas, esto es, en las que se mezclan los componentes matemáticos con los no matemáticos, aparecen en las instituciones escolares como saberes acabados, dotados de un cierto carácter intemporal y perpetuo, como si siempre hubiesen estado ahí. La transposición didáctica actúa, fruto de estas restricciones que provienen del nivel de la sociedad, creando pasajes matemáticos anecdóticos (la factorización de polinomios, las funciones lineales o las operaciones con matrices), que el estudiante se limita, en la mayoría de los casos a visitar para luego olvidar (García, 2005). Raras veces se le da al estudiante la posibilidad de saber de dónde vienen las matemáticas que estudia y hasta donde van. Chevallard (2005b) identifica este fenómeno como el fenómeno de la monumentalización de las organizaciones matemáticas escolares. Parece existir un amplio consenso en la comunidad de investigación en didáctica de la matemática sobre la necesidad de que vuelvan a la escuela las razones de ser de los saberes matemáticos que se estudian. En muchos casos, esta necesidad de dotar de sentido a los conocimientos matemáticos se lleva a cabo de forma artificial, generando graves disfunciones en el sistema didáctico, pues no se le da al estudiante la oportunidad de conocer las limitaciones y el alcance de estas reconstrucciones artificiales. Puesto que las razones de ser de una organización matemática, esto es, las cuestiones a las que dicha organización matemática responde, cumplen, entre otras, la función de integrar los diferentes componentes de la misma, deducimos que la desaparición escolar de las razones de ser de las organizaciones matemáticas 50

51 propuestas para ser estudiadas en la escuela provoca el debilitamiento progresivo de su articulación (García, 2005). Gascón (2004a) considera que todo intento de incidir sobre el fenómeno de la desarticulación de las matemáticas escolares debe basarse en un cambio radical de la epistemología ingenua dominante en las instituciones escolares, caracterizada por la separación de lo matemático y lo didáctico, y sobre la que se sustenta la respuesta psicopedagógica. Propone, como una posible forma de llevar a cabo esta transformación, la integración en el programa de estudio de las razones de ser de las organizaciones matemáticas enseñadas. Éstas deberían ser integradas como cuestiones generatrices del proceso de estudio de estas organizaciones matemáticas, en vez de como meros elementos decorativos La rigidez y desarticulación de las praxeologías matemáticas de la Enseñanza Secundaria La detección y el análisis del fenómeno de la desarticulación de la matemática escolar, descrito anteriormente, ha permitido formular problemas de investigación en didáctica de la matemática. Entre otros, hemos citado: Dificultades en el paso de estudiar matemáticas en Bachillerato a estudiar matemáticas en la Universidad (Fonseca, 2004). Este estudio del problema de las discontinuidades matemáticas y didácticas que existen entre la Enseñanza Secundaria y la Enseñanza Universitaria ha puesto de manifiesto que ese desnivel no depende exclusivamente de la forma de organizar la Enseñanza Secundaria, sino también de la forma como son desarrollados los conocimientos matemáticos en el primer año de la Universidad. 51

52 Trabajos posteriores, centrados en el ámbito de la Enseñanza Secundaria consideran las discontinuidades como una manifestación de un problema didáctico más general que afecta toda la enseñanza de las matemáticas a partir de la Secundaria y que se pone de manifestó especialmente en el cambio de etapa educativa o de institución escolar. (García, 2005; Ruiz-Higueras, Estepa y García, 2006) Podemos distinguir tres aspectos del problema de la desarticulación del currículo de las matemáticas: 1. la atomización y la rigidez de las organizaciones matemáticas que se estudian en Secundaria (Fonseca, 2004) 2. la transición entre las dos instituciones: de la secundaria a la universitaria. 3. la desarticulación del currículo universitario. El primer punto constituirá la perspectiva de investigación de este trabajo: la rigidez e incompletitud de las praxeologías locales escolares matemáticas que se estudian en Secundaria. Los restantes puntos tenemos intención de explorarlos más adelante, en una próxima investigación Incompletitud de las organizaciones matemáticas La tesis de Cecilio Fonseca, en 2004, pone de manifiesto la atomización y la rigidez de las organizaciones matemáticas y consecuente inflexibilidad en los conocimientos adquiridos por los alumnos que frecuentan el primer año de la universidad en los cursos de Matemática e Ingenierías. Este trabajo pone de manifiesto la rigidez en el tipo de tareas y en el tipo de técnicas que los alumnos utilizan en Secundaria, por las dificultades de los estudiantes para responder correctamente a cuestiones formuladas de una forma distinta de la usual o tradicional. En consecuencia de eso, concluimos que hay una incompletitud de algunos temas matemáticos en las organizaciones que se estudian en Secundaria. 52

53 La atomización de las praxeologías matemáticas se debe al hecho de estar uniformizada la asociación de una solo técnica para resolver cada tipo de tarea. Sería fundamental que el alumnado manipulase diversas técnicas y que descubriese su utilidad para que, en un determinado momento, poder analizar y comparar el coste de utilizar una u otra técnica, y así, decidir cuál es la técnica más adecuada para resolver un determinado tipo de problema propuesto. También de hecho, mayoritariamente, las tareas aparecen aisladas, sin una articulación entre ellas y sin una posible razón de ser, lo que provoca que los problemas no tengan sentido para los estudiantes. De este modo, seria relevante relacionar y establecer una conexión entre las diversas tareas. Así, en la Enseñanza Secundaria, las matemáticas surgen como una secuencia de conocimientos puntuales que consisten básicamente en aplicar técnicas predeterminadas a un cierto tipo de problemas, después de una presentación teórica descriptiva por parte del profesorado. En esta presentación pocas veces se cuestiona la necesidad de justificar la técnica utilizada para la actividad matemática, ni tampoco, cuál es su ámbito de actuación. Otra cuestión importante que puede dificultar la enseñanza de las matemáticas es la construcción de un discurso teórico muy reducido e insuficiente para explicar, justificar y desenvolver las técnicas. Un trabajo prolongado de modelización de situaciones matemáticas o extra-matemáticas seria esencial para la generación y desenvolvimiento de nuevas técnicas por parte del alumnado. Fonseca postula que la incompletitud de las organizaciones matemáticas que se estudian en Secundaria está relacionada con una incompletitud didáctica y por la ausencia de un cuestionamiento inicial que condicione a la razón de ser de las principales nociones y técnicas. 53

54 Conjetura general: incompletitud de las organizaciones locales escolares. El problema docente de partida puede formularse inicialmente como un problema de discontinuidad entre la matemática escolar de Secundaria y la matemática escolar de la Universidad que pone de manifiesto la existencia de distintos contratos didácticos en ambas instituciones. Utilizando la Teoría Antropológica de lo Didáctico y, en particular, la noción de organización matemática puntual, local y regional, formulamos una conjetura general. Esta conjetura servirá de base para reformular el problema docente como un verdadero problema didáctico en el ámbito del Programa Epistemológico de Investigación en Didáctica de las Matemáticas. La referida conjetura general fue dividida en tres partes: 1. hipótesis relativa a la enseñanza de las matemáticas en la Secundaria, representada por H(S); 2. hipótesis relativa a la transición de la Secundaria para la Universidad, representada por H(S-U); 3. hipótesis relativa a la enseñanza de las matemáticas en la Universidad, representada por H(U); En la presente investigación vamos a concentrarnos en la primera hipótesis referente a la Enseñanza Secundaria que corresponde al objeto de estudio. 54

55 Para tal, citaremos literalmente la referida conjetura: H(S): En S el estudio de las praxeologías matemáticas se centra en el bloque técnico-práctico [T/ ], siendo muy escasa la incidencia del bloque tecnológico-teórico [ / ] sobre la actividad matemática que se realiza efectivamente. Esta separación funcional entre ambos bloques se pone de manifiesto, en particular, en la ausencia de todo tipo de cuestionamiento tecnológico de los tipos de tareas y las técnicas matemáticas de S. Así, por ejemplo, no se cuestiona hasta qué punto están justificadas las técnicas que se utilizan, ni la interpretación de los resultados que proporcionan dichas técnicas, ni su alcance o dominio de validez, ni su pertinencia para llevar a cabo una tarea determinada, ni su eficacia, ni su economía, ni sus relaciones con otras técnicas, ni sus limitaciones, ni las posibles modificaciones que podrían sufrir dichas técnicas para aumentar su eficacia en la realización de ciertas tareas. En resumen, la actividad matemática que se lleva a cabo en S es esencialmente práctico-técnica y raramente alcanza el nivel tecnológico. Por todo ello las OM que se estudian en S son puntuales, muy rígidas y aisladas (o poco coordinadas entre sí), lo que dificulta, e incluso impide, que en dicha institución se reconstruyan efectivamente OML relativamente completas. (Fonseca 2004) Más adelante pretendemos ampliar este estudio de la actividad matemática a la Universidad y, así, construir nuevas hipótesis que relacionen la actividad matemática que se lleva a cabo en la Enseñanza Secundaria con la actividad matemática que se desarrolla en la Enseñanza Universitaria Aspectos de la rigidez de las organizaciones matemáticas que se estudian en la Enseñanza Secundaria A partir de la conjetura general, Fonseca propone cinco conjeturas específicas (C1 a C5) que explicitan algunos de los aspectos y características principales de esta rigidez que postulamos: la rigidez de las Organizaciones Matemáticas Puntuales que se estudian al nivel de Secundaria. Las conjeturas específicas que formularemos a continuación 55

56 deben interpretarse, por lo tanto, a partir de la conjetura general enunciada anteriormente. El enunciado de estas cinco conjeturas resulta de la negación de las características OML1-OML8 que permiten construir una Organización Matemática Local Relativamente Completa (OMLRC). Posteriormente contrastaremos empíricamente dichas conjeturas específicas que ya fueron contrastadas en el sistema educativo español y ahora, en la presente investigación, se replicará el contraste en el sistema educativo portugués. C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura En U se considera que la nomenclatura es irrelevante y que un simple cambio de los símbolos que se utilizan para poner en marcha una técnica no puede representar una modificación importante de la actividad matemática. Pero en S la rigidez de las OMP puede llevar a identificar y hasta confundir la técnica con los objetos semióticos (ya sean símbolos, gráficos o palabras escritas u orales) que constituyen su soporte material (Bosch, 1994). Entre los múltiples ejemplos de esta dependencia podemos citar: - la representación gráfica de una función cuya variable independiente es - el límite de una sucesión con variable - el desarrollo del cuadrado de un binomio; - la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado completas está restringida a la determinación de la incógnita - las reglas de derivación de funciones en relación a la variable - la integración de funciones en relación a la variable - la resolución de ecuaciones trigonométricas con incógnita 56

57 C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado obtenido Debido a la escasa incidencia del bloque tecnológico-teórico en las praxeologías matemáticas que se estudian (reconstruyen), en S no se exige interpretar adecuadamente el resultado de aplicar una técnica para considerar que dicha técnica ha estado correctamente utilizada. Así, por ejemplo, el uso escolar de las técnicas para calcular límites de funciones y la forma habitual de utilizar muchas de las técnicas para resolver ecuaciones (por ejemplo, ecuaciones irracionales) no incluye la verificación de las soluciones obtenidas. Lo anterior no significa que un profesor concreto (o determinados libros de texto) no interprete los resultados que se obtienen al aplicar las técnicas matemáticas y hasta la manera concreta de aplicarlas. Significa que ésta no es una de las responsabilidades que el contrato didáctico institucional asigna a los alumnos en S. Así, el contrato no permite evaluar negativamente a un alumno de S que habiendo aplicado correctamente las técnicas haya olvidado interpretar los resultados que dicha aplicación ha proporcionado. Por otro lado, si un profesor, sujeto de la institución Secundaria, evalúa negativamente a los alumnos que no interpretan correctamente el resultado no podrá mantener por mucho tiempo este criterio a riesgo de alienarse de Secundaria. Entre los diversos ejemplos asociados a esta conjetura podemos indicar: - la aplicación de las técnicas de derivación de una función en S no incluye la interpretación de la derivada como variación de la función; - el cálculo del límite de una función racional no implica la interpretación de su valor relacionando la velocidad de convergencia del numerador con la velocidad de convergencia del denominador; - la interpretación física de la derivada, muchas veces, también no es explorada en Secundaria por no formar parte del contrato didáctico; - La discontinuidad no es interpretada como un cambio abrupto en el grafico de la función; 57

58 C3. Cada tarea está asociada a una técnica privilegiada Cuando los estudiantes ingresan a la Universidad se necesita que determinadas Organizaciones Matemáticas Puntuales de la Enseñanza Secundaria no sean problemáticas para los estudiantes, esto es, que formen parte de lo que denominamos su medio matemático para que puedan utilizarse de manera flexible a lo largo del proceso de estudio universitario. En particular, cuando existen dos técnicas matemáticas equivalentes en U para un cierto subtipo de tareas (como, por ejemplo, dos reglas de derivación para una misma función), se requiere que la elección más adecuada o la utilización indistinta, no provoque ningún tipo de problemas a los estudiantes que inician sus estudios en U. Sin embargo, en la Enseñanza Secundaria se utilizan técnicas rígidas y desarticuladas, no formando parte del contrato didáctico (ni, por tanto, de la responsabilidad matemática del alumno) elegir de todas las técnicas que conoce, cuál será la más adecuada, económica o eficaz para una determinada tarea. En coherencia con este hecho, no es frecuente en la práctica docente del profesor, ni en los manuales escolares, la presencia de más de una técnica para llevar a cabo una determinada tarea. Podemos así conjeturar la existencia de una técnica privilegiada asociada a cada tipo de tarea en la Enseñanza Secundaria. Esta técnica privilegiada adquiere un carácter auto-tecnológico y provoca la desaparición de las otras técnicas. Desde el punto de vista del alumno, la supremacía y mecanización de una sola técnica, provocan el desinterés en conocer varios procesos para resolver un problema matemático; condicionando el estudiante a creer que es suficiente el dominio de una solo técnica para alcanzar el éxito en las matemáticas, no siendo necesario el estudio de otras posibles técnicas que pueden resolver el problema. Podemos presentar algunos ejemplos de técnicas auto-tecnológicas: - la regla de derivación de funciones polinómicas; - la regla de tres en la proporcionalidad directa o en el cálculo de porcentajes; - la regla de Ruffini en la división de polinomios. 58

59 C4. No hay reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa Uno de los aspectos más importantes de la rigidez de las Organizaciones Matemáticas Puntuales de la Enseñanza Secundaria se manifiesta en la no reversión de las técnicas matemáticas correspondientes. En términos del contrato didáctico podemos decir que, en Secundaria, no forma parte de la responsabilidad matemática del alumno invertir una técnica para llevar a cabo la tarea inversa. Podría decirse, más en general, que el contrato didáctico en S no asigna al alumno la responsabilidad de modificar una técnica conocida de manera adecuada para llevar a cabo una tarea un poco diferente a la tarea inicial. Esto significa que no obedece a uno de los indicadores de la completitud de una OML descritos en el primer capítulo: la posibilidad de cambiar la hipótesis inicial. Esta conjetura implica, en particular, que cuando existen dos tareas inversas entre sí (esto es, tareas con los datos y las incógnitas intercambiados) las correspondientes técnicas suelen tratarse como si fueron independientes. Por ejemplo, la substitución de la tarea usual resolver un sistema de ecuaciones lineales por la tarea inversa dada la solución escribir un sistema de ecuaciones lineales representa una situación problemática para los estudiantes, una vez que la tarea inversa está ausente en los manuales escolares y, consecuentemente los alumnos no están acostumbrados a este tipo de tarea. C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización Mayoritariamente los problemas de secundaria, en lo referente al estudio de la modelización, parten de modelos matemáticos ya construidos y lo que se le pide al alumno es la manipulación del modelo. A nuestro juicio la situación sería más rica si englobase la construcción del modelo. La ausencia de técnicas de modelización comporta que este proceso constituya una de las actividades más problemáticas y menos reguladas en la Enseñanza Secundaria. Pocas veces surge una situación abierta donde el estudiante tiene la responsabilidad 59

60 de decidir cuáles son los datos que se necesitan para formular correctamente un problema matemático o una cuestión suficientemente fértil que, una vez explorada, permita la generación de nuevos problemas y nuevas situaciones. Por el contrario, en la institución Secundaria, los problemas matemáticos se presentan aislados, sin encadenamiento, los ítems poco articulados entre sí, con enunciados cerrados en que figuran todos los datos necesarios para la resolución de la situación problemática y el alumno no tiene que seleccionar la información pertinente para resolver los problemas propuestos Formulación del problema de investigación El trabajo que presentamos nace del estudio de las dificultades que surgen en la enseñanza de las matemáticas en el 3.º ciclo de la Enseñanza Secundaria en Portugal (correspondiente a la ESO del sistema escolar español) y Secundaria (correspondiente al bachillerato del sistema escolar español). Situándonos en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico, proponemos un conjunto de conjeturas relativas a la rigidez de la actividad matemática que es posible llevar a cabo en la actual enseñanza portuguesa y española, efectuando un estudio paralelo, al ya efectuado por Cecilio Fonseca, en España. De una forma más precisa, mostramos en qué sentido las organizaciones matemáticas que se estudian en el 3.º ciclo y Secundaria son puntuales, rígidas y poco articuladas entre sí, lo que les impide integrarse para formar organizaciones matemáticas locales relativamente completas. El estudio experimental pone de manifiesto que la desarticulación curricular no se limita solo al aula, se manifiesta también en el currículum oficial, en los libros de texto y en la OM enseñada, lo que nos conduce a situar la incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares de la Enseñanza Secundaria en el origen de las discontinuidades matemáticas y didácticas entre la Secundaria y la Universidad: 60

61 - en la Enseñanza Secundaria son construidas OMPs/OMLs incompletas y desarticuladas, según una fuerte componente practico-técnica y una débil componente tecnológico-teórica. - en la Enseñanza Universitaria son construidas OMLs también incompletas y desarticuladas pero, al contrario de S, con una fuerte componente tecnológicoteórica y una débil componente practico-técnica. (Fonseca, 2004) Por lo tanto, también no se articulan la praxis de S con el logos de U. La incompletitud de las matemáticas estudiadas tanto en S como en U estaría relacionada con una incompletitud didáctica causada por una débil realización de algunas dimensiones importantes del proceso de estudio y por la ausencia de un cuestionamiento inicial que motive una razón de ser a las principales nociones y técnicas que los alumnos deben aprender a manipular. El principal objetivo de la investigación es verificar si hay una rigidez técnica en las organizaciones matemáticas de la Enseñanza Secundaria. Pretendemos con este estudio, más que comparar la situación de desarticulación y atomización de las matemáticas en los dos países, tener una percepción de si el problema existe solo en las instituciones escolares españolas o si, por el contrario, es una situación problemática que envuelve las instituciones escolares de otros países. El estudio exploratorio de la presente investigación consiste en establecer una comparación de los resultados experimentales obtenidos contrastando los cinco aspectos de la rigidez de las OM que se estudian en S y que hemos caracterizado mediante las conjeturas C1-C5. Para el contraste experimental de dichas conjeturas hemos elegido dos tipos de datos empíricos como indicadores de las características de las organizaciones matemáticas que se reconstruyen en la institución de la Enseñanza Secundaria portuguesa y española: Las respuestas de una muestra de estudiantes, de escuelas secundarias portuguesas (alumnos del último año de bachillerato) y del primer año de una universidad española, a las tareas matemáticas propuestas en un cuestionario 61

62 con diversos ítems construidos y agrupados de forma a ser posible, a posteriori, comparar y contrastar algunas técnicas o tareas; Los datos obtenidos del análisis y recopilación de los tipos de tareas que propone una muestra de manuales aprobados oficialmente por las autoridades educativas portuguesa y española para su uso en la enseñanza del 3.º ciclo (ESO) y secundaria (bachillerato). Estos datos pueden considerarse la respuesta de los libros de texto al citado cuestionario. Es importante referir que el objeto de estudio cuando analizamos las respuestas al cuestionario no son los alumnos, esto es, no interesa para la investigación los conocimientos matemáticos de los estudiantes. Lo que nos interesa es ver qué tipo de tareas y que tipos de técnicas institucionales se proponen en el estudio de la actividad matemática de secundaria. De una forma general, pretendemos con esta investigación poner de manifiesto que la atomización, la rigidez, la unicidad, la algebrización y consecuente incompletitud de las organizaciones matemáticas de la Enseñanza Secundaria es un fenómeno didáctico sociológico relativamente independiente del profesor o de la cultura pedagógica del alumno. En un segundo punto, pretendemos estudiar algunos casos particulares y explicar las diferencias más significativas entre las respuestas de los estudiantes de España y de Portugal, a partir de diferencias en los currículos y los libros de texto de los dos sistemas escolares. 62

63 Capítulo 3 Indicadores Empíricos Aspectos de la rigidez de las Matemáticas en la Enseñanza Secundaria 63

64 64

65 Inicialmente procuramos efectuar una abordaje de los programas oficiales de las matemáticas en Portugal y en España, en particular, de la enseñanza obligatoria del sistema escolar español o 3.º ciclo de Portugal y de la Enseñanza Secundaria portuguesa (correspondiente al bachillerato del sistema escolar español), explorando los respectivos diseños curriculares. Posteriormente, fue efectuada un análisis de las conjeturas formuladas en el capítulo anterior en los manuales escolares o libros de texto de las matemáticas de diversas editoriales y, al final, presentaremos los resultados de un estudio exploratorio que consistió en la aplicación de un cuestionario a una muestra de alumnos portugueses que frecuentan las clases de la disciplina de matemática en el 12.º año de escolaridad (correspondiente al último año de bachillerato del sistema de enseñanza español) y estudiantes universitarios del sistema de enseñanza española Diseños Curriculares Para visualizar mejor las diferencias en la distribución de cursos y designación de nivel de enseñanza en Portugal y España presentamos la siguiente tabla: Portugal España nivel años nivel cursos 3.ºciclo 3 ESO 3+1(A/B) Secundario 3 Bachillerato 2 Total 6 6 Tabla 2 Estructura curricular en los dos países 65

66 Programa oficial del 3.º ciclo/eso El Gobierno Español fija las enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria Obligatoria (ESO) para toda España en los aspectos básicos del currículo referidos a los objetivos, las competencias básicas, los contenidos y los criterios de evaluación. La finalidad de las enseñanzas mínimas es asegurar una formación común a todos los alumnos y alumnas dentro del sistema educativo español y garantizar la validez de los títulos correspondientes. Sin embargo, las regiones tienen autonomía para acrecentar otras enseñanzas a las mínimas. Las enseñanzas de la Educación Secundaria Obligatoria están divididas por areas: Números, Geometría, Algebra, Funciones y gráficas y Estadística y probabilidad que pueden ser consultadas en los Anexos. La ESO en España está formada por 4 años: el 1.º, el 2.º, el 3.º y el 4.º curso. En este último curso los estudiantes tienen la opción A o la opción B. Por otro lado, el 3.ºciclo en Portugal es formado por 3 años: el 7.º, el 8.º y el 9.º año de escolaridad. El currículo portugués es único y está organizado en tablas que presentan los tópicos y objetivos específicos para cada área de las matemáticas: Números e Operações, Geometria, Álgebra y Organização e tratamento de dados. Estas tablas pueden ser consultadas en los Anexos. Para comparar los programas oficiales de las matemáticas en Portugal y en España fue necesario establecer una correspondencia entre los dos sistemas de enseñanza presentada en la siguiente tabla: 66

67 Tema Contenidos Números Geometría Portugal Números inteiros Multiplicação e divisão, propriedades Potências, raiz quadrada e raiz cúbica Números racionais Representação, comparação e ordenação Operações, propriedades e regras operatórias em Q Efectuar operações com potências de base racional (diferente de zero) e expoente inteiro. Calcular o valor de expressões numéricas que envolvam números racionais. Números reais Noção de número real e recta real Relações < e > em R Intervalos Triângulos e quadriláteros Soma dos ângulos internos e externos de um triângulo Congruência de triângulos Propriedades, classificação e construção de quadriláteros España Números enteros Divisibilidad de números naturales. Múltiplos y divisores comunes Los números negativos Potencias de exponente entero y operaciones con potencias. Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas. Números racionales Fracciones y decimales en entornos cotidianos. Operaciones con fracciones y comparación de números racionales. Transformación de fracciones en decimales y viceversa. Números decimales exactos y periódicos. Fracción generatriz. Razón y proporción. Proporcionalidad directa e inversa. Porcentajes para expresar composiciones o variaciones. Los porcentajes en la economía. Aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes sucesivos. Interés simple y compuesto. Uso de la hoja de cálculo para la organización de cálculos asociados a la resolución de problemas cotidianos y financieros. Utilización de la notación científica para representar números grandes. Error absoluto y relativo. Su aplicación para la expresión de números muy grandes y muy pequeños. Números reales Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo. Representación de números en la recta numérica. Triángulos e cuadriláteros Clasificación de triángulos y cuadriláteros a partir de diferentes criterios Propiedades y relaciones en estos polígonos Sólidos geométricos Área da superfície e volume Critérios de paralelismo e perpendicularidade entre planos, e entre rectas e planos Circunferência Ângulo ao centro, ângulo inscrito e ângulo excêntrico Sólidos geométricos Clasificación de poliedros y cuerpos de revolución. Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes de cuerpos geométricos. Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros. Paralelismo y perpendicularidad Métodos inductivos y deductivos para analizar relaciones y propiedades en el plano. Circunferencia Construcción de polígonos regulares con los instrumentos de dibujo habituales. 67

68 Lugares geométricos Circunferência inscrita e circunferência circunscrita a um triângulo Polígono regular inscrito numa circunferência Semelhança Noção de semelhança Ampliação e redução de um polígono Polígonos Semelhantes Semelhança de triângulos Isometrias Translação associada a um vector Propriedades das Isometrias Teorema de Pitágoras Demonstração e Utilização Trigonometria no triângulo rectângulo Razões trigonométricas de ângulos agudos Relações entre razões Trigonométricas Medida y cálculo de ángulos en figuras planas. Lugar geométrico. Construcciones geométricas sencillas: mediatriz, bisectriz.. Estimación y cálculo de perímetros de figuras. Estimación y cálculo de áreas mediante fórmulas, triangulación y cuadriculación. Semejanza Proporcionalidad de segmentos. Identificación de relaciones de semejanza. Ampliación y reducción de figuras. Obtención, cuando sea posible, del factor de escala utilizado. Razón entre las superficies de figuras semejantes. Utilización de lo teorema de Tales para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras. Isometrías Planos de simetría en los poliedros. Empleo de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. Traslaciones, simetrías y giros en el plano. Elementos invariantes de cada movimiento. Coordenadas geográficas y husos horarios. Interpretación de mapas y resolución de problemas asociados. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas. Teorema de Pitágoras Aplicación de lo teoremas de Pitágoras a la resolución de problemas geométricos y del medio físico. Álgebra Sequências e regularidades Termo geral de uma sequência numérica Representação Expressões algébricas Equações Equações do 1.º grau a uma incógnita Equações literais Operações com Polinómios Equações do 2.º grau a uma incógnita Sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas Inequações Inequações do 1.º grau a uma incógnita Secuencias numéricas Empleo de letras para simbolizar números desconocidos y números sin concretar Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa. Obtención de fórmulas y términos generales basada en la observación de pautas y regularidades. Progresiones aritméticas y geométricas. Sucesiones recurrentes. Expresiones algebraicas. Ecuaciones Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Manejo de expresiones literales Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución de ecuaciones a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos. Funções Conceito de função e de gráfico de uma função Proporcionalidade directa e inversa como funções Funções linear e afim Funções do tipo y = ax 2 Funciones y gráficas. Organización de datos en tablas de valores. Coordenadas cartesianas. Obtención de la relación entre dos magnitudes directa o inversamente proporcionales a partir del análisis de su tabla de valores y de su gráfica. Representación gráfica de una situación dada por una tabla de valores, de un enunciado o de una expresión algebraica sencilla. 68

69 Organización y tratamiento de datos Capacidades Transversales Planeamento estatístico Especificação do problema Recolha de dados População e amostra Tratamento de dados Organização, análise e interpretação de dados histograma Medidas de localização e dispersão Discussão de resultados Probabilidade Noção de fenómeno aleatório e de experiência aleatória Noção e cálculo da probabilidade de um acontecimento Resolução de problemas Compreensão do problema Concepção, aplicação e justificação de estratégias Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas. Estudio de las características de la gráfica: dominio, continuidad, monotonía, extremos y puntos de corte. Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica. La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Estudio y utilización de otros modelos funcionales no lineales: exponencial y cuadrática. Utilización de tecnologías de la información para su análisis. Estadística Atributos y variables discretas y continuas. Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos y diseño de experiencias para su comprobación. Diferentes formas de recogida de información. Tratamiento de datos Organización en tablas de datos recogidos en una experiencia. Frecuencias absolutas y relativas, ordinarias y acumuladas. Diagramas de barras, de líneas y de sectores. Análisis de los aspectos más destacables de los gráficos. Medidas de centralización y dispersión Probabilidad La regla de Laplace Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar. Resolución de problemas Análisis del enunciado Ensayo y error o la división del problema en partes, y comprobación de la solución obtenida. Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. Raciocínio matemático Formulação, teste e demonstração de conjecturas Indução e dedução Argumentação Raciocinio matemático la inducción o la búsqueda de problemas afines, y comprobación del ajuste de la solución a la situación planteada. Comunicação matemática Interpretação Representação Expressão Discussão Comunicación matemática Interpretación Descripción verbal de procedimientos de resolución de problemas utilizando términos adecuados. Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales, y procedimientos de resolución de problemas con la precisión y rigor adecuados a la situación. 69

70 Al analizar la tabla comparativa si verifica que hay algunas diferencias entre los diseños curriculares portugués y español. Por un lado las Inecuaciones del primer grado y la Trigonometría del triángulo rectángulo son temas abordados en el 3.º ciclo de Portugal y no en la ESO de España, por otro lado, las Coordenadas geográficas y husos horarios, Progresiones aritméticas y geométricas, Sucesiones recurrentes, Resolución de ecuaciones a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos, Estudio y utilización de modelos exponenciales son contenidos estudiados en España y que no están presentes en el diseño curricular del 3.ºciclo portugués. Sin embargo, si un estudiante de ESO de España elige en el cuarto curso/año la Opción B aún estudia los siguientes temas: - Expresión de raíces en forma de potencia. Radicales equivalentes. Comparación y simplificación de radicales. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos; - Resolución de inecuaciones. Interpretación gráfica. Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones; - Razones trigonométricas; - Funciones definidas a trozos; - Reconocimiento de modelos funcionales: función cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica; - Probabilidad condicionada Programa oficial del Secundaria/Bachillerato En España el alumnado que opte por la modalidad de Ciencias y tecnología deberá cursar matemáticas I en 1º curso y matemáticas II en 2º curso. En la Educación Secundaria Obligatoria el alumnado ya estudió materias que le proporcionan una cultura científica básica. En el bachillerato parte del alumnado va a seguir profundizando en esta línea. Lo característico de esta materia va a residir en el 70

71 enfoque interdisciplinario, a través de la selección de determinados problemas relacionados con problemas reales, abordados desde enfoques CTS (cienciatecnología-sociedad) que preparen para la participación ciudadana. Bachillerato (Currículo 3 de Bachillerato para Galicia) El Estatuto de autonomía de Galicia, en su artículo 31, determina que es competencia plena de la Comunidad Autónoma gallega el reglamento y administración de la enseñanza en toda su extensión, niveles y grados, modalidades y especialidades, sin perjuicio de lo dispuesto en el artículo 27 de la Constitución y en las leyes orgánicas que, conforme al punto primero de su artículo 81, la desarrollen. Asimismo, establece que le corresponde al Estado fijar los aspectos básicos del currículo en relación a los objetivos, contenidos y criterios de evaluación que constituyen las enseñanzas mínimas a las que se refiere la disposición adicional primera, punto 2, letra c, de la Ley orgánica 8/1985, de 3 de julio, reguladora del derecho a la educación. MATEMÁTICAS I Y II Los contenidos de matemáticas en el bachillerato de ciencias y tecnología se presentan agrupados en bloques con un criterio propio de la disciplina, lo que no significa que el álgebra lineal, la geometría, el análisis y la estadística y probabilidad tengan que enseñarse necesariamente aisladas unas de las otras, ni tampoco por el orden en el que figuran en este documento dentro de cada curso. Las muchas relaciones que existen entre los contenidos de estos bloques deben hacerse explícitas en el proceso de su enseñanza. La iniciación al cálculo de límites, derivadas e integrales se basa en el álgebra y en la topología de la recta, pero también la geometría proporciona una interpretación intuitiva de los conceptos inherentes a esos contenidos. Las evidentes relaciones entre el álgebra y la geometría se manifiestan con claridad en los dos 3 La Ley orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de educación, en el artículo 6.1 capítulo III determina que se entiende por currículo el conjunto de objetivos, competencias básicas, contenidos, métodos pedagógicos y criterios de evaluación de cada una de las enseñanzas reguladas por la citada ley. 71

72 cursos. El álgebra aporta la potencia de su lenguaje simbólico y la geometría una interpretación más próxima de los objetos algébricos. Descripción En el bloque de geometría de matemáticas I se amplían las nociones de trigonometría introducidas en la ESO para aplicarlas a la medición indirecta de longitudes y ángulos y a la resolución de triángulos. El concepto de vector y sus operaciones sirven de base a la comprensión y a la resolución de los problemas afines y métricos del plano. El estudio de los lugares geométricos, en particular las cónicas, se ve hoy facilitado con el empleo de herramientas informáticas. Los contenidos de análisis de este curso amplían la gama de funciones elementales que deben ser conocidas mediante su expresión analítica por el alumnado. Se introduce también la idea intuitiva de límite, que puede ser tratado numéricamente con la ayuda de la tecnología adecuada, y una iniciación al concepto y al cálculo de derivadas y de algunas de sus aplicaciones. Los contenidos de estadística y probabilidad le ofrecen al alumnado nuevas herramientas para ampliar el estudio del azar. En las distribuciones bidimensionales debe enfatizarse más la interpretación de los resultados que los procedimientos de cálculo del coeficiente de correlación y la recta de regresión, que siempre pueden hacerse con la ayuda de la calculadora o de otras tecnologías. MATEMÁTICAS I Contenidos. Aritmética y álgebra. -Números reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias en la recta real. Intervalos y entornos. -Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones. -Utilización de las herramientas algébricas en la resolución de problemas. Geometría. -Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo. -Utilización de la trigonometría en la resolución de triángulos y problemas geométricos diversos. 72

73 -Vectores en el plano. Operaciones. Producto escalar: interpretación geométrica. Módulo de un vector. -Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. -Utilización de las técnicas de la geometría analítica para la resolución de problemas métricos en el plano. -Idea de lugar geométrico en el plano. Identificación y obtención de las ecuaciones de las cónicas. Análisis. -Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. -Dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y convexidad y concavidad. -Operaciones con funciones. -Aproximación, numérica y gráfica, al concepto de límite de una función, tendencias y continuidad. -Tasa de variación media. Aproximación, numérica y gráfica, al concepto de derivada de una función en un punto. -Funciones derivadas de las funciones elementales. Reglas de derivación: suma, producto y cociente. -Aplicación de la derivada al estudio del crecimiento y decrecimiento y de los extremos relativos de las funciones polinómicas sencillas. Trazado de sus gráficas. -Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o gráfica, que describan situaciones reales. Estadística y probabilidad. -Distribuciones bidimensionales. Correlación y regresión lineal. -Probabilidad: propiedades. Probabilidad condicionada, regla del producto, de la probabilidad total y de Bayes. -Distribuciones binomial y normal. 73

74 MATEMÁTICAS II Contenidos. Álgebra lineal. -Empleo de las matrices como herramienta para representar y operar con datos sacados de tablas y gráficos procedentes de diferentes contextos. -Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales. -Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz. Matriz inversa. -Utilización de las propiedades de las matrices y los determinantes en la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Geometría. -Vectores en el espacio. Operaciones. -Producto escalar, vectorial y mixto. Interpretación geométrica. -Ecuaciones de la recta y el plano. Resolución de problemas de incidente, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos. -Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes. Análisis. -Concepto de límite de una función. Cálculo de límites sencillos. -Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad. -Concepto de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física. -Función derivada. Cálculo de funciones derivadas. Derivada de la suma, del producto y del cociente de funciones y de la función compuesta. -Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales y globales de una función. Problemas de optimización. -Representación gráfica de funciones polinómicas y racionales. 74

75 -Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas. En Portugal existe más de un posible diseño curricular para cada año de escolaridad de la Enseñanza Secundaria. De acuerdo con la selección del curso/área a frecuentar por el alumno, este podrá tener clases de Matemática A, Matemática B, o mismo, Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales. Esta división es hecha de la siguiente forma: Matemática A: Cursos Científico-Humanísticos de Ciencias e Tecnologías e de Ciencias Socioeconómicas. Matemática B: Curso Científico-Humanístico de Artes Visuales, Cursos Tecnológicos de Construcción Civil e Edificaciones, de Electrotecnia y Electrónica, de Informática, de Administración, de Marketing y de Deporte. Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales: 10º, 11º / 11º, 12º Años: Curso Científico-Humanístico de Ciencias Sociales y Humanas 10º, 11º, 12º Años: Curso Tecnológico de Ordenación del Territorio y Medio Ambiente En esta investigación estudiaremos sólo el diseño curricular de la Matemática para los Cursos Científico-Humanísticos de Ciencias e Tecnologías y de Ciencias Socioeconómicas. El diseño curricular de la Matemática B puede ser consultado en los anexos. Lo referente a la Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales no fue analizado en el presente estudio. Así, se sigue la presentación de un cuadro que describe la distribución de los temas de Matemática A durante los tres años de la Enseñanza Secundaria portuguesa: 75

76 Matemática A 76

77 Con el uso numérico y gráfico de nuevas funciones racionales e incluyendo radicales se amplían los conocimientos relativos a las funciones. En el 10.º y 11.º año de escolaridad se privilegian funciones que relacionan variables con significado concreto. Las nociones de tasa media de variación y de tasa de variación/derivada desempeñan un papel central, siendo introducidas recurriendo al uso informal de la noción de límite. El concepto de tasa de variación es importante para las disciplinas de Economía y Física y Química por el que es ventajoso que sea explorado en coordinación con estas disciplinas, en los respectivos cursos generales. La utilización de ejemplos concretos de esas disciplinas, la realización de actividades comunes o la presentación de algún aspecto en una de esas disciplinas para posterior desarrollo en la disciplina de Matemáticas son algunas das posibilidades que se ofrecen a los profesores. Observamos que consta del diseño curricular de Bachillerato de España el estudio de Matrices, Determinantes e Introducción al concepto de integral. En lo en tanto, en Portugal los referidos contenidos sólo son estudiados en la Universidad. Por otro lado, la Descomposición de polinomios en factores es bastante explorada en Portugal y no lo es en España. A fin de confirmar esta hipótesis que sitúa el origen del problema en la estructura de las organizaciones matemáticas escolares, llevaremos a cabo en el que sigue nuevos análisis de los datos proporcionados por los libros de texto. 77

78 3.2. Manuales escolares El manual escolar o libro de texto es una publicación especializada, con identidad propia, que nace en respuesta a las necesidades del sistema general y público de enseñanza y del modelo de enseñanza simultánea. Es un libro fácilmente reconocible por su estructura y porque está rotulado claramente indicando la materia que trata y a quién va dirigido. Su desarrollo está vinculado a los avances tecnológicos de las artes gráficas, a los cambios en la ilustración y diseño editorial, y a los modelos pedagógicos y políticas educativas dominantes. En éste, se pueden distinguir tres grandes épocas: Una de manuales de autor, otra de mayor difusión popular que está vinculada a las series escolares y a las enciclopedias, y una tercera que corresponde a la última generación de manuales escolares. Desde su aparición el libro de texto ha sido motivo de polémica en diferentes aspectos: 1. Inicialmente el debate se situó en torno a la necesidad o no de la regulación política de los manuales. Aquí se enfrentaron dos posiciones extremas: libertad absoluta de los profesores a la hora de elegir texto o subordinación al principio de uniformidad y, por lo tanto, texto único. La cuestión se zanjó con el sistema de lista autorizada por una comisión oficial que permitió conjugar la uniformidad con la libertad de elección del profesor. 2. Posteriormente la polémica se desplazó hacia la cuestión de la bondad pedagógica del manual y el papel que debía jugar en el proceso de enseñanza. Aquí se enfrentaron las posiciones pedagógicas progresistas, críticas con los libros de texto por ser lo instrumento característico de la enseñanza tradicional. 3. Un tercer aspecto de discusión fue el de los abusos en la redacción, extensión, precio y comercialización de los libros de texto. Los manuales escolares han resistido a los embates de la crítica y a través de su metamorfosis se hay constituido en una constante material del sistema didáctico. Así para el estudio de las conjeturas, hemos utilizado un segundo tipo de datos empíricos, los manuales, que, al igual que las respuestas de los estudiantes al 78

79 cuestionario, consideramos como indicadores de las características de las organizaciones matemáticas que viven en la enseñanza del 3.º ciclo y secundaria. Se trata de los datos obtenidos del análisis de una muestra de libros de texto que desarrollan el currículum oficial de la enseñanza del 3.º ciclo, (7.º, 8.º e 9.º año de escolaridad, correspondiente al alumnado con años) y de la Enseñanza Secundaria (10.º, 11.º e 12.º año de escolaridad, correspondiente al alumnado con años). Con este estudio constatamos que sería también interesante comparar las conclusiones con las resultantes de una investigación en España referentes al mismo período (cursos de la Enseñanza Secundaria y bachillerato). En el caso de la Enseñanza Secundaria hemos tomado los libros de texto correspondientes a la Matemática A, ésto es, referente a los cursos Científico- Humanísticos de Ciencias e Tecnologías e de Ciencias Socioeconómicas. 79

80 La selección Vamos comenzar por presentar una tabla con la identificación de los libros de texto en que fue efectuado el estudio de las características de las organizaciones matemáticas. La elección de los manuales se ha hecho teniendo en cuenta su amplia difusión en todas las instituciones escolares del país. Fueron analizados dos libros de texto de cada año de escolaridad como muestra la siguiente tabla: Año de escolaridad Título Editorial Año de publicación 7.º Espaço7 Edições Asa º Matemática Dinâmica Porto Editora º EnigMat Edições Asa º Matemática Dinâmica Porto Editora º Matemática em Acção Lisboa Editora º Matemática 9 Porto Editora º Espaço 10 Edições Asa º Matemática A (Funções I) + (Geometria I) Porto Editora º Infinito Areal Editores º Matemática A (Funções II) Porto Editora º Matemática A (Funções III) + (Trigonom) Porto Editora º Infinito Areal Editores

81 Resultados obtenidos por conjeturas Para llevar a cabo este estudio hemos considerado, para cada conjetura, el tema del currículum que incluye los ítems del cuestionario relativos a dicha conjetura y, a continuación, hemos formulado una conjetura específica para cada uno de dichos temas. C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura El cuestionario proponía la exploración de esta conjetura especificando en cuatro temas concretos: Derivación, Límites, Representación gráfica de funciones elementales y Álgebra (en particular, ecuaciones de segundo grado completas). Proponemos para cada uno de estos temas una especificación de la conjetura C1. Después de analizar los manuales citados anteriormente en los diversos temas, podemos observar los siguientes resultados de recuento: Bloque 1.1. En el cálculo de límites de funciones (o sucesiones) predomina la letra x (o n) como designación de la variable? O surgen limites de sucesiones constantes para una variable distinta de la usual, como por ejemplo, 5n 1 lim p 2n 1.3. En el cálculo de derivadas predomina la letra x como designación de la variable real independiente? 1.4. En la representación gráfica de funciones predomina la letra x como designación de la variable real independiente? 1.2. En la resolución de ecuaciones del segundo grado, por la formula, predomina la letra x como designación de la variable real independiente?? Conjetura C1A C1B C1C C1D 81

82 Vamos ahora comparar los resultados para estas conjeturas específicas que arroja el análisis de los manuales escolares portugueses con los resultados obtenidos a partir del análisis de los libros de texto de España efectuada por Cecilio Fonseca, en 2004: Portugal España 4 Número de ejercicios Tipo de tareas Variable x Variable distinta de x C1A Cálculo de limites C1B Cálculo de derivadas C1C Gráfica de funciones C1D Fórmula para la resolución de ecuaciones del segundo grado Número de ejercicios C1B C1C Tipo de tareas Número de ejercicios Variable x Variable distinta de x Cálculo de derivadas Gráfica de funciones Número de ejercicios C1D C1C C1B C1A C1C C1B variable distinta de x variable x variable distinta de x variable x Las tablas y gráficos se refieren al número total de las tareas de cada tipo que aparecen en el conjunto de los manuales analizados. Así, por ejemplo, en el conjunto de todos los libros de Bachillerato portugueses analizados aparecen 243 tareas relativas al cálculo de derivadas en relación a variable y 14 tareas de ese tipo utilizan una variable distinta de. De modo análogo, en el conjunto de todos los libros analizados de Bachillerato de España contabilizamos 952 tareas relativas al cálculo de derivadas en relación a variable y sólo 5 tareas de ese tipo utilizan una variable distinta de. 4 Fueran eliminados las conjeturas no comunes a las investigaciones efectuadas a los dos países como, por ejemplo, la conjetura relacionada con cálculo de integrales o racionalización de denominadores. 82

83 C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado obtenido Pretendemos en esta segunda conjetura testar las siguientes hipótesis: Bloque 2.2. Será que el cálculo del límite de una función, dada por su expresión analítica, incluye la interpretación del resultado? 2.1. Será que el cálculo de la derivada de una función incluye la interpretación del resultado como variación de la función? Conjetura C2A C2B 2.3. El estudio de la continuidad de una función incluye la interpretación del resultado? C2C 2.4. Será que el cálculo de la derivada de una función incluye la interpretación física del resultado? 2.5. Determinar el límite de una función envuelta en un problema de modelización incluye la interpretación del resultado en el contexto real? C2D C2E Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar cuantos ejercicios de realización de una determinada tarea incluyen y cuantos no incluyen la interpretación de la técnica o del resultado. Tipo de tareas Número de Ejercicios sin interpretación con interpretación C2A Cálculo del límite de una función C2B Interpretación de la derivada como variación C2C Interpretación física de la derivada C2D Interpretación del resultado del límite en el contexto real C2E Estudio de la continuidad 85 0 Vamos ahora a comparar los resultados para estas conjeturas específicas que arroja el análisis de los manuales escolares portugueses con los resultados obtenidos a partir del análisis de los libros de texto de España efectuada por Cecilio Fonseca, en 2004: 83

84 Tipo de tareas Ejercicios de realización (sin interpretación) Ejercicios con interpretación de la técnica o resultado C2A Cálculo de límites C2B Cálculo de derivadas en un punto 78 3 Portugal España 5 Número de ejercicios Número de ejercicios C2E C2D C2B C2C C2B C2A C2A con interpretación sin interpretación con interpretación sin interpretación No fue alterada a escala de los gráficos para que sean similares, ya que pretendemos visualizar en cada uno de los gráficos la diferencia entre el número de ejercicios que contemplan o no la interpretación y, posteriormente, percibir se las conjeturas C2A e C2B se verifican tanto en España como en Portugal. Los gráficos reflejan claramente la distancia que existe en los libros de texto consultados, entre la gran cantidad de ejercicios que se proponen para resolver mecánicamente y la casi ausencia absoluta de ejercicios en los que se requiera la interpretación del resultado. 5 Fueran eliminados las conjeturas no comunes a las investigaciones efectuadas a los dos países, en particular, la conjetura relacionada con cálculo de integrales. 84

85 C3. A cada tarea está asociada una técnica privilegiada Pretendemos en esta tercera conjetura testar las siguientes hipótesis: Bloque 3.1. Será que la técnica algebraica para determinar la derivada de una función en un punto es más frecuente que la técnica geométrica (calcular la pendiente de la recta tangente)? 3.2. Será que en el cálculo del valor final obtenido disminuyendo o aumentando un cierto porcentaje del valor inicial es requerida más de una técnica? 3.3. En el estudio de la derivada de una función dada analíticamente predomina una técnica específica para cada tipo de función, por ejemplo la regla del cociente para funciones racionales? 3.4. Será que en la resolución de inecuaciones predomina la técnica algebraica (estudio algebraico del cambio de signo de la función) frente a la técnica que se apoya en el estudio de la gráfica de la función asociada? Conjetura C3A C3B C3C C3D Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar cuantos ejercicios de realización de una determinada tarea incluyen una sola técnica y cuantos sugieren la resolución de la tarea por una técnica diferente. Tipo de tareas Ejercicios de realización con una sola técnica con más de una técnica C3B Cálculo porcentajes C3C Cálculo de derivadas (algebraicamente) C3D C3A Resolución de una inecuación cuadrática o grado superior a 2 Determinación de la derivada de una función en un punto Algebraicamente Gráficamente Vamos ahora a comparar los resultados para estas conjeturas específicas que arroja el análisis de los manuales escolares portugueses con los resultados obtenidos a partir del análisis de los libros de texto de España efectuado por Cecilio Fonseca, en 2004: 85

86 Tipo de tareas Ejercicios de realización con una sola técnica Ejercicios de realización con más de una técnica C3A Cálculo del m.c.m C3B Cálculo porcentajes C3C Cálculo de derivadas C3D Resolución de una Algebraicamente Gráficamente inecuación cuadrática 25 4 La conjetura C3A es diferente en los dos países, por lo tanto no la vamos a comparar, pero los resultados referentes a esta conjetura no fueron eliminados de los datos de los gráficos siguientes: Portugal Número de ejercicios España Número de ejercicios C3D C3C C3B C3A C3D C3C C3B C3A técnica distinta técnica priviligiada técnica distinta técnica priviligiada Los gráficos reflejan claramente la gran cantidad de ejercicios que los libros de texto proponen para resolver una tarea por una sólo técnica (la privilegiada) y la menor cantidad de ejercicios que se proponen para resolver una tarea por más de una técnica o por una técnica distinta de la privilegiada. 86

87 C4. No ocurre reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa Pretendemos en esta conjetura testar las siguientes hipótesis: Bloque 4.5. En la representación gráfica de funciones 6 predomina la tarea de representar a partir de la expresión analítica en relación a la tarea inversa cuyo objetivo sea obtener una expresión analítica de la función a partir de la gráfica? 4.1. En el estudio de funciones polinómicas, los libros de texto proponen buscar los puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de las x. Será que proponen la tarea inversa : buscar una función polinómica dadas sus raíces? 4.2. y 4.3. Será que, en el estudio de sistemas de ecuaciones, predomina la técnica de resolución de sistemas (tarea directa) y no se realiza la tarea inversa de buscar sistemas de ecuaciones que tengan unas soluciones dadas de antemano (algebraicamente o geométricamente)? 4.4. Será que en el trabajo con el lenguaje algebraico, predomina la traducción del lenguaje natural al algebraico (tarea directa), frente a la traducción inversa de una expresión algebraica al lenguaje verbal 7? Conjetura C4A C4B C4C C4D Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar, para un determinado tema, cuantos ejercicios están relacionados con la tarea directa y cuantos sugieren la resolución por la tarea inversa. TAREA DIRECTA Representar la gráfica a partir de la expresión analítica TAREA INVERSA Expresar analíticamente una función a partir de la gráfica C4A Resolver una ecuación polinómica Determinar una ecuación polinómica dadas las raíces C4B nos limitaremos a las funciones afines y cuadráticas 7 En estas conjeturas específicas, C4C y C4D, hemos utilizado únicamente los libros de texto de lo 3.ºciclo (ESO). 87

88 Resolver un sistema de ecuaciones lineales Determinar un sistema de ecuaciones lineales a partir de sus soluciones C4C Traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico Traducción del lenguaje algebraico al lenguaje natural C4D Vamos ahora a comparar los resultados para estas conjeturas específicas que arroja el análisis de los manuales escolares portugueses con los resultados obtenidos a partir del análisis de los libros de texto de España efectuado por Cecilio Fonseca, en 2004: TAREA DIRECTA TAREA INVERSA Representar la gráfica a partir de la expresión analítica Expresar analíticamente una función a partir de la gráfica C4A Resolver una ecuación polinómica Determinar una ecuación polinómica dadas las raíces C4B Resolver un sistema de ecuaciones lineales Determinar un sistema de ecuaciones lineales a partir de sus soluciones C4C Traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico Traducción del lenguaje algebraico al lenguaje natural C4D En esta cuarta conjetura las conjeturas específicas C4A-C4D coinciden en los estudios efectuados en Portugal y España, por lo tanto, podremos proceder a la comparación de los resultados de recuento en los manuales escolares de todos los datos presentados en los gráficos siguientes: 88

89 Portugal Número de ejercicios España Número de ejercicios C4D C4C C4B C4A C4D C4C C4B C4A tarea inversa tarea directa tarea inversa tarea directa Los gráficos reflejan claramente la distancia que existe en los libros de texto consultados, entre la gran cantidad de ejercicios que se proponen para resolver la tarea directa y la menor cantidad de ejercicios que se proponen para resolver la tarea inversa. En consecuencia, las técnicas que serían pertinentes para realizar dichas tareas inversas están completamente ausentes de los manuales. En ambos países se observa en la conjetura C4C, una gran discrepancia entre el número de ejercicios presentes en los libros de texto referentes a la tarea directa resolución de un sistema de ecuaciones lineales (150 en Portugal y 516 en España) y a la tarea inversa escribir un sistema de ecuaciones lineales conociendo sus soluciones (2 en Portugal y 1 en España). Los valores empequeñecen drásticamente cuando se pasa de contar el número de ejercicios que se proponen como tarea directa a los que se proponen como tarea inversa. 89

90 C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización En el estudio efectuado con los libros de texto de la enseñanza de España por Cecilio Fonseca, en 2004, fueron enunciadas las siguientes conjeturas: C5A: Existen muy pocas situaciones abiertas que requieran un trabajo de modelización utilizando inecuaciones. C5B: Existen muy pocas situaciones abiertas que requieran un trabajo de modelización utilizando derivadas. C5C: Existen muy pocas situaciones abiertas que requieran un trabajo de modelización utilizando integrales. Los resultados del recuento fueron los siguientes: Tipos de tareas Total Incluyen alguna etapa de la modelización C5A Problemas de inecuaciones C5B Problemas de derivadas C5C Problemas de integrales Cecilio Fonseca concluye que: los datos obtenidos del análisis de los manuales muestran muy claramente que en el conjunto de las tareas de los tipos considerados, las tareas que incluyen algún aspecto de la modelización son excepcionales. En los pocos casos en los que aparece alguna de las etapas de la modelización matemáticas ésta suele reducirse a la manipulación de un modelo dado en el enunciado de la tarea. Entre las casi 4000 tareas analizadas (todas las que hacen referencia a inecuaciones, derivadas e integrales) no hemos encontrado ninguna en la que el alumno tuviera que elegir por sí mismo cuáles eran las variables más adecuadas para modelizar un sistema (matemático o extra matemático) dado. En el presente trabajo de investigación, el procedimiento de contabilización de los problemas fue efectuado de una forma diferente, ya que, en los manuales portugueses están presentes bastantes problemas de modelización. Así, consideramos que sería interesante, más que verificar si existen o no situaciones de modelización, contabilizar 90

91 los problemas que sólo requerían la construcción de un modelo, los que sólo sugerían la manipulación del modelo ya construido y los que englobaban los dos procesos. Nótese que, en los manuales portugueses, fueron contados nada más los ejercicios referentes a problemas. Pretendemos en esta conjetura testar la siguiente hipótesis: En los diversos temas existen muy pocas situaciones abiertas que requieran un trabajo simultáneo de construcción y manipulación de un modelo? Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar, en cada uno de los temas: Derivada, Porcentajes, Funciones Polinómicas y Funciones definidas a trozos; cuantos problemas no incluyen la etapa de construcción de un modelo y cuantos sugieren esa tarea de construcción Construcción del modelo problemas no incluyen incluyen etapa de construcción Problemas de N.º DE EJERCICIOS N.º DE EJERCICIOS Derivadas Porcentajes 69 1 Funciones polinómicas Funciones a trozos 12 5 A excepción del tema Funciones polinómicas, de todos los problemas existentes en los manuales escolares portugueses relacionados con los restantes tres contenidos fueron contabilizados un mayor número de problemas que no incluyen una etapa de construcción del modelo que los que incluyen esa tarea. Es de señalar la gran diferencia de resultados en los temas Derivadas y Porcentajes. Si sigue el mismo análisis para la etapa de manipulación del modelo, ésto es, en cada uno de los cuatro temas citados anteriormente, contabilizar cuantos problemas no incluyen la etapa de manipulación de un modelo y cuantos inducen a esa tarea. 91

92 5.2. Manipulación del modelo problemas no incluyen incluyen etapa de manipulación Problemas de N.º DE EJERCICIOS N.º DE EJERCICIOS Derivadas Porcentajes 69 1 Funciones polinómicas Funciones a trozos 3 14 Obsérvese que de los 147 problemas sobre derivadas sólo 20 no incluyen una etapa de modelización. Este elevado número de problemas con derivadas se refieren, mayoritariamente, a problemas de optimización. De modo análogo, efectuamos el recuento de los problemas, relacionados con cada uno de los cuatro temas, que proponen simultáneamente, la construcción y manipulación del modelo. El registro de los resultados es presentado en la siguiente tabla: 5.3. Construcción y Manipulación del modelo problemas no incluyen Construcción + manipulación Problemas de N.º DE EJERCICIOS N.º DE EJERCICIOS Derivadas Porcentajes 69 1 Funciones polinómicas Funciones a trozos 12 5 Concluimos así, que una gran parte de los problemas que incluyen alguna etapa de modelización esa etapa corresponde a la tarea de manipulación del modelo, pues cuando procuramos la coexistencia de las dos etapas de la modelización, de los 316 problemas analizados, fueron contados 204 problemas en que no está presente la tarea de construcción del modelo, sólo incluyendo la manipulación. El siguiente gráfico reúne los datos referentes a los cuatro temas donde podemos observar el porcentaje de problemas relacionados con: Derivada, Porcentajes, Funciones Polinómicas y Funciones definidas a trozos; que incluyen la etapa de 92

93 manipulación, de construcción del modelo o que proponen las dos etapas en simultáneo: Porcentage de problemas 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 63,29% 36,71% 35,44% 64,56% 28,48% 71,52% no incluyen incluyen Estos datos reflejan claramente la diferencia de porcentaje de problemas que incluyen la manipulación de un modelo ya existente (63,29%) y el porcentaje de problemas que, además, incluyen la construcción del modelo (28,48%). Concluimos así que, de un modo global, en los problemas estudiados está más presente la tarea de manipulación de un modelo que la tarea relacionada con su construcción. 93

94 3.3. Primer estudio exploratorio Descripción del primer cuestionario Inicialmente efectuamos una adaptación del segundo cuestionario presentado en la tesis de Cecilio Fonseca (2004) a la situación de la Enseñanza Secundaria portuguesa. Fue necesario efectuar algunas alteraciones iniciales porque hay ciertas diferencias entre el diseño curricular de la Enseñanza Secundaria española y la portuguesa, más propiamente a nivel del bachillerato. Actualmente, propuestas de ejercicios de racionalización de denominadores o cuestiones que envuelvan Integrales no son contemplados en el diseño curricular portugués y, consecuentemente, también no aparecen en los manuales escolares portugueses. Eso ha provocado la necesidad de efectuar varias modificaciones, substituyendo algunos ítems por otros nuevos, principalmente a nivel de la primera conjetura (Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica) y de la segunda conjetura (La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado). Para su realización no fue permitida la utilización de la máquina calculadora gráfica, porque en algunos ítems pretendíamos testar si el alumnado tenería dificultades en representar gráficamente una determinada función. Fue salvaguardado el anonimato de los estudiantes, ya que, apenas fue solicitada la clasificación de Matemática en final del último año para posteriormente efectuar un estudio con eses dados. El cuestionario presentado al alumnado y el análisis de los resultados pueden ser consultados en el Anexo B. 94

95 3.4. Segundo estudio exploratorio Descripción del segundo cuestionario Las limitaciones del primer cuestionario nos llevaron a revisar algunos ítems para hacer otro estudio exploratorio un poco más completo que el primero. Dada la diferencia de fechas de los dos estudios, fue posible mejorar el primer estudio exploratorio, alterando algunos de los ítems del cuestionario y aumentando otros. En vez de cuatro conjeturas pasamos a analizar cinco conjeturas, incrementando una nueva referente a problemas de Modelización, que es un tema propuesto para estudiar y a profundizar en el Espacio Europeo. Como el objetivo de esta investigación no es efectuar una apreciación de conocimientos del alumnado, sino de tener una percepción si los alumnos están familiarizados con cierto tipo de tareas, algunos ítems del primer cuestionario sufrieron modificaciones de forma que fuesen más claras y perceptibles para los alumnos y, así, permitir una mejor comparación de los resultados y, consecuentemente, proporcionar un análisis más fiable de las conjeturas. Pretendemos que las respuestas al cuestionario construido sean directas, porque la mayoría no necesita de cálculos. La finalidad del cuestionario no es verificar los conocimientos del alumnado, pero sí, la familiarización con ciertos enunciados o tareas. Es de notar que los errores de cálculo simples como cambios de signo o de notación fueron considerados, por ejemplo, ;, muy frecuente este último en el ítem 20. Ya que en el primer cuestionario los alumnos apenas respondían si al apartado (b) sin presentar la técnica. Estas respuestas incompletas fueron obviamente consideradas incorrectas. Para encauzar este tipo de respuesta de los alumnos aumentamos a la cuestión 14(b) la siguiente expresión: Si positivo, presenta la resolución por esa técnica. Efectuamos también algunas modificaciones en los problemas originales de modelización (utilizados en Fonseca 2004) como, por ejemplo, retiramos las cuestiones 95

96 que hacían referencia a la segunda derivada, porque los alumnos portugueses del último año del bachillerato aún no manipulaban con seguridad la segunda derivada en el momento de la aplicación del cuestionario. Las principales modificaciones son presentadas en la siguiente tabla: Primer cuestionario 3. Haga un esbozo de la gráfica de la función definida por: t(p) = 4 p p 2. Segundo cuestionario 3. Representa gráficamente con precisión la función definida por: t(p) = 4 p p Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función cociente: f(x) / g(x) cuando x tiende a cero Dada la función: f(x) = (3x - 2) 2 (a) Calcula su derivada. (b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? 18. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) aparece en el siguiente dibujo. Cómo podemos calcular el valor de la derivada en x=1 sin conocer la expresión algebraica de la función? 12. Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función cociente: f(x) / g(x) cuando x tiende a cero por la derecha Dada la función: f(x) = (3x - 2) 2 (a) Calcula su derivada. (b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? Si positivo, presenta la resolución por esa técnica. 21. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) en x=1 aparece en el siguiente dibujo. Calcula el valor de la derivada en x=1 sin conocer la expresión algebraica de la función? 20. Dada la función definida por f(x) = x 2 4x. (a) Calcule f (1). (b) Esboce el gráfico de la función f. 23. Dada la función definida por f(x) = x 2 4x. (a) Calcule f (1). (b) Representa gráficamente con precisión la función f. 96

97 De este modo, el segundo cuestionario fue aplicado a alumnos portugueses del último año de bachillerato (12.º año) de una escuela particular y, simultáneamente, a estudiantes del primer año de un Instituto de estudios universitarios español. Para contestar al referido cuestionario los alumnos disponían de 100 minutos. Además fue solicitada la clasificación del último año de escolaridad a los alumnos portugueses y la nota de selectividad a los estudiantes españoles Presentación del cuestionario 2n 8 1. Calcula lim n 3n 2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones: f(x) = 6x 2 +5 g(x) = 6x Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]? 3. Representa gráficamente con precisión la función definida por: t(p) = 4 p p Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes: (1, 0), ( 2, 0) y (3, 0). 5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%? 6. Busca dos soluciones del sistema de ecuaciones: 7. Calcula la derivada de la siguiente función: k(x) = 3s x, s R 8. Estudia la continuidad de la función. 2x y 4 0 4x 2y Resuelve la inecuación (x 1) (x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica). 10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos. 97

98 11. La familia de rectas de la forma y = m (m constante arbitraria) pueden caracterizarse por y = 0. Qué interpretación física puede darse a la ecuación anterior? 12. Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función cociente: f(x) / g(x) cuando x tiende a cero más. (b) Cuál de las dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta. 13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado son: V ( t) 30 e (a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito. (b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión. 1,8 t Dada la función: f(x) = (3x - 2) 2 (a) Calcula su derivada. (b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? Si positivo, presenta la resolución por esa técnica. 15. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en todos los artículos y cargan el 16% de IVA (a) Calcular el coste final de un artículo que inicialmente vale x euros. (b) Puedes calcular el coste final de un artículo aplicando a x una única operación? 16. Un estudio de la eficacia del turno matinal (de 8 h a 15 h) de una fábrica demuestra que el número, Q(t), de unidades producidas (en un período de t horas) por un trabajador que llega a la fabrica a las 8 horas, es de Q(t) = -t t2 + 12t unidades (en promedio). (a) Determine la expresión de su derivada. (b) En qué momento de la mañana la eficacia es máxima? 98

99 17. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: El producto de tres números pares consecutivos es igual a Se desea construir una caja abierta de volumen V con un cartón cuadrado de 24 cm de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Expresa V como función de x. 19. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas) viene dado por. Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población? 20. Resuelve la ecuación x 2-5x + 4 = La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) en x=1 aparece en el siguiente dibujo. Calcula el valor de la derivada en x=1 sin conocer la expresión algebraica de la función. 22. En qué puntos la gráfica de la función f(x) = (x 1) (x + 1) (x + 3) corta al eje de las x? 23. Dada la función definida por f(x) = x 2 4x. (a) Calcule f (1). (b) Representa gráficamente con precisión la función f. 24. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te cuesta la moto. 25. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos ( 1, 3) y (5, 6). 26. Calcula la derivada de la siguiente función h(s) = x 2s (x R). 99

100 27. Resuelve la inecuación (x + 4) (x 2) 0 a partir de la gráfica de la función asociada. 28. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos. 29. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2)+ (2x + 4) = 246, x IN 30. Calcula 5n 1 lim p 2n 31. Resuelve la ecuación, donde es la incógnita y es un número real conocido (distinto de cero). 32. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que mana de un grifo (en litros) viene dada por una función afín respecto del tiempo t (en segundos). Si en el primer segundo el agua recogida es de 3 litros, en el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo es de 7 litros, (a) Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t? (b) Cuál es el volumen de agua recogido en una hora? (c) Cuando arroja más agua por segundo el grifo a los 10 segundos o a los 12 segundos? 33. Un obrero de la construcción trabaja a destajo. Cobra 50 euros la hora si el número de horas trabajadas a la semana es igual o inferior a 40, y por cada hora adicional, 80 euros. Escribe una función que represente el que cobra dicho obrero en función de las horas trabajadas. 100

101 Formulario de derivadas Función Derivada, IR Fórmula para la resolución de ecuaciones del segundo grado: Agrupamiento de los ítems en conjeturas y bloques Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica 1.1. Cálculo de limites 1.2. Álgebra 1.3. Derivación 1. Calcula 30. Calcula 2n 8 lim n 3n 5n 1 lim p 2n 20. Resuelve la ecuación x 2-5x + 4 = Resolver la ecuación, donde es la incógnita y es un número real conocido (distinto de cero). 7. Derivar una función respecto a la variable x con un parámetro s. 26. Derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x Gráficas de funciones 23(b). Representar gráficamente una función cuadrática f(x). 3. Representar gráficamente una función cuadrática t(p) función de p. 101

102 Conjetura C2. La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado BLOQUE 2.1. Interpretación de la derivada 2.2. Límites de funciones 2.3. Continuidad 2.4. Derivada y su interpretación física 2.5. Límites y modelización Ítems correspondientes 23 (a). Dada a función. Calcula f (1). 2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones : f(x) = 6x 2 +5 g(x) = 6x Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]? 12. Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero más. (b) Cuál de les dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta. 8. Estudiar la continuidad de la función. 19. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas) viene dado por Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población? 11. La familia de rectas de la forma y = m (m constante arbitraria) pueden caracterizarse por y = 0. Qué interpretación física puede darse a la ecuación anterior? 23 (a). Dada a función. Calcula f (1). 13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después 1,8 de ser lanzado al mercado, son: V ( t) 30e t (a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito. (b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión. 102

103 Conjetura BLOQUE 3.1. Derivada: técnica algebraica/geométrica Ítems correspondientes 23 (a). Dada a función. Calcula f (1). 21. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) en x=1 aparece en el siguiente dibujo. Calcula el valor de la derivada en x=1 sin conocer la expresión algebraica de la función. C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea 3.2. Porcentajes 3.3. Derivación 3.4. Inecuaciones y funciones cuadráticas 24. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te cuesta la moto. 5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%? Dada la función: f(x) = (3x - 2) 2. (a) Calcula su derivada. (b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? Si positivo, presenta la resolución por esa técnica. 9. Resuelve la inecuación (x 1) (x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica). 27. Resuelve la inecuación (x + 4) (x 2) 0 dibujando la gráfica de la función asociada. 103

104 Conjetura BLOQUE 4.1. Funciones polinómicas 4.2. Sistemas de ec. lineales Ítems correspondientes 4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes (1, 0), ( 2, 0) y (3, 0). 22. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las x? 6. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y : 2x-y+4=0; -4x+2y-8= Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos ( 1, 3) y (5, 6). 10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos. C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa 4.3. Sistemas de ecuaciones lineales y geometría analítica 4.4. Álgebra elemental 25. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos ( 1, 3) y (5, 6). 17. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: El producto de tres números pares consecutivos es igual a Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN 23 (b). Representa gráficamente la función: f(x) = x 2 4x. 28. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos Funciones cuadráticas 104

105 Conjetura C5. Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de modelización BLOQUE 5.1. Construcción del modelo 5.2. Manipulación del modelo 5.3. Construcción y manipulación del modelo Ítems correspondientes 15. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en todos los artículos y cargan el 16% de IVA (a) Calcular el coste final de un artículo que inicialmente vale x euros. (b) Puedes calcular el coste final de un artículo aplicando a x una única operación? 18. Se desea construir una caja abierta de volumen V con un cartón cuadrado de 24 cm de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Expresa V como función de x. 33. Un obrero de la construcción trabaja a destajo. Cobra 50 euros la hora si el número de horas trabajadas a la semana es igual o inferior a 40, y por cada hora adicional, 80 euros. Escribe una función que represente el que cobra dicho obrero en función de las horas trabajadas. 16. Un estudio de la eficacia del turno matinal (de 8 h. a 15 h.) de una fábrica demuestra que el número, Q(t), de unidades producidas (en un período de t horas) por un trabajador que llega a la fabrica a las 8 horas, es de Q(t) = -t t2 + 12t unidades (en promedio). (a) Determine la expresión de su derivada. (b) En qué momento de la mañana la eficacia es máxima? 32. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que mana de un grifo (en litros) viene dado por una función afín respecto del tiempo t (en segundos). Si en el primer segundo el agua recogida es de 3 litros, en el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo es de 7 litros, (a) Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t? (b) Cuál es el volumen de agua recogido en una hora? (c) Cuándo arroja más agua por segundo el grifo: a los 10 segundos o a los 12 segundos? 105

106 Descripción de la muestra Como pretendemos efectuar un estudio paralelo entre la situación portuguesa y la española de la rigidez de las matemáticas y así constatar que no es un problema de la actividad institucional de las matemáticas españolas, fue constituida una muestra de 51 estudiantes del último año de bachillerato de un establecimiento de Enseñanza Secundaria privada portugués, Colégio Internato dos Carvalhos, situado en Vila Nova de Gaia, y 29 estudiantes de un establecimiento de Enseñanza Universitaria de España, que actualmente cursan el primer año de Química. El cuestionario fue aplicado 7 meses después del inicio de los cursos universitarios y, simultáneamente, a los alumnos del último año de bachillerato. El primer grupo de estudiantes está constituido por 25 elementos de sexo femenino y 26 elementos de sexo masculino. El segundo grupo de estudiantes está constituido por 14 elementos de sexo femenino y 15 elementos del sexo masculino. Por la observación del diagrama de dispersión podemos concluir que la distribución de las notas de los alumnos del penúltimo año de bachillerato en Portugal varía entre 10 y 20 8, y la nota de selectividad de España entre 5,3 y 9,41 9, lo que significa que las clasificaciones son positivas y, por tanto, el alumnado representativo de la muestra debe estar bien adaptado al sistema de enseñanza: 8 En Portugal la escala de clasificaciones en Bachillerato es de 0 a 20. Considerando una clasificación insuficiente cuando es inferior a 10, buena cuando superior o igual a 14 y muy buena cuando superior o igual a En España la escala de las notas de selectividad varía entre 0 y

107 Última Classificación final Última Classificación final Figura 2 Clasificaciones de la submuestra de estudiantes portugueses Figura 3 - Clasificaciones de la submuestra de estudiantes de España El estudio efectuado con los datos relativos a la clasificación de Matemáticas al final del penúltimo año del alumnado portugués encuestado y del último año del alumnado español es presentado en las siguientes tablas y gráficos circulares: 107

108 Submuestra portuguesa: Nota del año anterior Máximo Mínimo Media Mediana Desv. Típ ,14 14,00 2,38 Classificación del alumnado en año anterior 55% 8% 0% 37% N < <= N <14 14 <= N < <= N < 20 N=Nota frecuencia % N < ,00% 10 <= N < ,25% 14 <= N < ,90% 18 <= N < ,84% Total ,00% Submuestra española: Nota del año anterior Máximo Mínimo Media Mediana Desv.Típ. 9,41 5,3 6,45 6,10 0,98 Nota de selectividad del alumnado 4% 0% N=Nota frecuencia % N < 5 0 0,00% 5 <= N < ,61% 7 <= N < ,04% 9 <= N < ,35% Total ,00% 13% 83% N < 5 5 <= N <7 7 <= N < 9 9 <= N < 10 Nótese que 6 de los alumnos que constituyen la submuestra española no indicaron la nota de selectividad, probablemente porque no fueron sometidos a la referida prueba final del bachillerato. Así, sólo fueron estudiadas 23 notas de selectividad. Observando las tablas y gráficos podemos señalar que cualquier de las submuestras está constituida mayoritariamente por alumnos medios/buenos y que no hay calificaciones negativas. Nótese también que, en ambas submuestras, existe un pequeño porcentaje de alumnos que alcanzaran una clasificación con distinción de muy buena. 108

109 En la subsección siguiente presentaremos el análisis de los resultados obtenidos por bloques Análisis de los resultados obtenidos por bloques Primera conjetura C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica Bloque Ítems correspondientes Soluciones 1.1. Cálculo de 1. Calcula 2n 8 lim n 3n límites 30. Calcula 5n 1 lim p 2n 5n 1 2n porque la expresión es constante para la variable p. En este bloque Cálculo de límites, esperamos que la dificultad sea considerablemente mayor cuando designamos el orden de la sucesión con la letra p y su término con una expresión constante para esa misma letra p. Los resultados obtenidos en las dos submuestras son presentados en los siguientes gráficos circulares: 109

110 En Portugal: Respuestas ítem 1 Respuestas ítem 30 3,92% 1,96% En blanco 21,57% 5,88% 94,12% Correctas Incorrectas 72,55% En España: Respuestas ítem 1 Respuestas ítem ,00% En blanco Correctas Incorrectas 55,17% 17,24% 27,59% Los datos nos dicen que los alumnos manejan bastante bien la tarea de determinación del límite de una sucesión cuando corresponde a la tarea usual (ítem 1). Sin embargo, no manejan con la misma facilidad la tarea representada en el ítem 30, porque las tareas de ese tipo no forma parte del contrato didáctico de secundaria. El hecho de utilizar en el ítem 30 una letra diferente, para definir la variable, a la habitual letra n representativa de la mayoría de los ejercicios cuya tarea sea calcular el límite de una sucesión ha provocado algunas dudas y dificultades en la resolución. Aunque el porcentaje baja de una forma muy significativa en ambos países, un decrecimiento superior a 70% al pasar de la variable n a la variable p, siendo el término general de la sucesión dependiente de n. Además, en el estudio cualitativo de sus respuestas, observamos que la mayoría de los alumnos que osan responder a esta cuestión, toman p como si fuese igual a n y 110

111 presentan 5/2 como respuesta, correspondiendo a 94,59% de las respuestas incorrectas portuguesas y 93,75% de las respuestas incorrectas de España. Otros alumnos dicen que no existe el límite o que el límite es infinito. Así, concluimos que los errores cometidos por los alumnos confirman la tendencia de que esos errores aumentan cuando aparece una variable distinta de la usual n y todavía más cuando n aparece como ruido. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 1.2. Álgebra 20. Resuelve la ecuación x 2-5x + 4 = 0. x = 4 ; x = Resolver la ecuación, donde es la incógnita y es un número real conocido (distinto de cero). En el bloque Álgebra, si consideramos la resolución de ecuaciones de segundo grado completas, esperamos que la dificultad sea mayor cuando designamos la variable con la letra a, que es una letra diferente de la habitual letra x. Los resultados obtenidos son presentados en los siguientes gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 20 Respuestas ítem 31 11,76% 1,96% 86,27% En blanco Correctas Incorrectas 15,69% 23,53% 60,78% 111

112 En España: Respuestas ítem 20 Respuestas ítem 31 13,79% 86,21% En blanco Correctas Incorrectas 31,03% 31,03% 37,93% Tanto en Portugal como en España, al cambiar la nomenclatura conocida por los estudiantes, correspondiente al ítem 20, por una nueva/no usual, correspondiente al ítem 31, el número de respuestas correctas disminuye acentuadamente. Nótese que este tipo de tarea, resolución de una ecuación de segundo grado completa utilizando la formula, es una tarea frecuentemente practicada por el alumnado. El problema es que esa práctica, en la mayoría de las veces, es efectuada siempre con la misma letra representativa de la incógnita (la letra ). Afirmamos que los alumnos no consiguen liberarse de la nomenclatura a la que están acostumbrados y adaptar sus conocimientos de álgebra a nuevas situaciones como, por ejemplo, un cambio en la letra que define la incógnita. Por otro lado, esta pequeña alteración en el enunciado de la cuestión resulta en un dilema para los estudiantes. Más de la mitad de los alumnos de Portugal y 37,93% de los estudiantes de España no responden a la nueva cuestión (ítem 31), dejando la respuesta en blanco. Los resultados son similares en los dos países, pero podemos resaltar un mayor porcentaje de respuestas correctas al ítem 31 en España que en Portugal. No obstante, en ambos países, si verifica en el análisis cualitativo que una gran parte de las respuestas incorrectas a este ítem están originadas por el alumnado al resolver la ecuación en orden a y no en orden a, fenómeno que se debe al hecho de que los estudiantes recurriesen a la tarea más habitual para resolver ecuaciones de segundo grado y, por lo tanto, estamos delante de una rigidez en la selección de la nomenclatura en esta organización matemática: la resolución de ecuaciones del segundo grado. Proponemos que deberá haber una mayor flexibilidad y diversidad en 112

113 los enunciados para que el alumno perciba que ciertas situaciones pueden estar relacionadas con la misma tarea. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 1.3. Derivación 7. Derivar una función respecto a la variable x con un parámetro s. k (x) = - 3s x Derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x. h (s) = - x 2s 2 Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor, y que el porcentaje de respuestas correctas baje de una forma significativa, cuando representamos la variable con una letra diferente a la habitual. Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 7 Respuestas ítem 26 54,90% 9,80% 35,29% En blanco Correctas 62,75% 19,61% 17,65% Incorrectas 113

114 En España: Respuestas ítem 7 Respuestas ítem 26 27,59% 10,34% En blanco 27,59% 24,14% 62,07% Correctas Incorrectas 48,28% Tanto los alumnos portugueses como los estudiantes españoles presentaran más facilidad en resolver la tarea oficial de derivar una función respecto a la variable con un parámetro que una tarea nueva de derivar una función respecto a la variable con un parámetro. La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems se nota más en el alumnado portugués que en el alumnado español. Los datos de Portugal ponen de manifiesto que las respuestas correctas del ítem 7 son el doble de las del ítem 26, resultado que refleja el gráfico anterior. Al analizar de un modo cualitativo las respuestas al cuestionario se observó que, al responder al ítem 7, una gran parte de los alumnos tomaran s como variable y no como una constante real. Un alumno que constituye la submuestra de España, en vez de calcular la derivada de la función, presentó su integral. El alumno cometió el mismo error en el ítem 7 y en el ítem 26. En la mayoría de las respuestas al ítem 26 se observa que los estudiantes tienden a considerar tanto x como s variables. Esto significa que la dificultad en este tipo de tareas no es solamente debida a la modificación en la nomenclatura de la variable pero sí, debida a la introducción de una constante representada por una letra. En la percepción de los estudiantes, cuando aparece una letra en las diversas organizaciones matemáticas, ésta es implícitamente representativa de una variable y, por otro lado, no están acostumbrados a que una letra represente una constante. Esto nos lleva a concluir que, en ambos países, los estudiantes tienen más facilidad en resolver la tarea usual/oficial de derivar una función respecto a la variable x con un 114

115 parámetro s que la tarea no usual de derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x. Por tanto, se verifica la rigidez y atomización de las organizaciones matemáticas, en este caso particular, de la praxeología derivada, cuando estudiamos tareas como la determinación algebraica de la función derivada. Bloque 1.4. Gráficas de funciones Ítems correspondientes 23(b). Representar gráficamente con precisión una función cuadrática f(x). 3. Representar gráficamente con precisión una función cuadrática t(p) función de p. Soluciones: Ya que fue solicitada una representación gráfica con precisión esperamos que los alumnos aporten: Cálculo del vértice (utilizando, por ejemplo, la técnica de la derivada) Determinación de puntos de corte con los ejes (si existen en el caso del eje x) Intervalos de monotonía (por ejemplo a partir del coeficiente del término de segundo grado) Determinación de algunos valores particulares (por ejemplo un par de valores simétricos respecto al eje de la parábola) Como surgió un fenómeno en las respuestas a este bloque en el primer cuestionario, la mayoría de los alumnos no hacía ninguna referencia al vértice de la parábola, representando imprecisamente la función y, los que referían al vértice no utilizaban la técnica de menor coste para determinar sus coordenadas. Esperamos ahora observar que este fenómeno se mantiene con el nuevo enunciado. También se pretende verificar si la dificultad es mayor cuando el objetivo es representar gráficamente una función cuadrática cuya variable independiente es definida por la letra p diferente a la habitual x. Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: 115

116 En Portugal: Respuestas ítem 23(b) Respuestas ítem 3 7,84% 62,75% 21,57% 15,69% En blanco Correctas 62,75% 29,41% Incorrectas En España: Respuestas ítem 23(b) Respuestas ítem 3 31,03% 37,93% 31,03% En blanco Correctas Incorrectas 34,48% 34,48% 31,03% En Portugal, tal como en el primer cuestionario, los resultados no corresponden a los esperables, ya que, el porcentaje de respuestas correctas crece cuando la variable cambia de la habitual letra x a una diferente p. En España, el porcentaje decrece un poco con la variación de nomenclatura. Lo que significa que, en este caso particular de la representación gráfica de una función cuadrática, la diversidad de nomenclatura no representa un obstáculo para el alumnado. En el primer cuestionario se buscaba estudiar lo que se pasaba con el cambio de notación, ésto es, cuál sería la reacción de los alumnos cuando se encontraban con el problema de representar gráficamente una función cuya variable independiente era. Sin embargo, en el análisis cualitativo observamos que, a pesar de representar bien la función cuadrática, las respuestas manifestaban una cierta incompletitud porque los estudiantes no se referían al vértice de la parábola. Por esta razón, en el segundo 116

117 cuestionario, más allá de estudiar el problema del cambio de notación también nos interesó estudiar el fenómeno de la poca relevancia que los estudiantes atribuyen al vértice y a otros puntos particulares distintos de los ceros. Por eso, en el segundo cuestionario introdujimos en los dos ítems la expresión "con precisión" para que los alumnos presentasen por lo menos el vértice en el gráfico. En el primer cuestionario las respuestas incompletas fueron consideradas correctas ya que no era requerida tal precisión, pero ahora ya fuimos más rigorosos en la corrección de estos ítems, en el sentido de no considerar correctas las respuestas incompletas, ya que era exigida una cierta precisión en la representación gráfica de las funciones cuadráticas. Así, al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes de la submuestra portuguesa observamos que: - El 81,25% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 3 y el 78,13% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 23(b), para representar gráficamente una función cuadrática no determina el vértice de la parábola, ni determina puntos particulares de la función distintos de los ceros, apenas dibuja un gráfico con la concavidad volteada para abajo e indican las abscisas de los puntos de corte de la función cuadrática. En contrapartida, el referido fenómeno no se verifica en la submuestra de estudiantes universitarios de España. En Portugal: - El 13,33% del alumnado que responde correctamente al ítem 3 y, el 25% del alumnado que responde correctamente al ítem 23b, recurre a una tabla de valores. Nótese que para ambas cuestiones apenas 1 alumno usó la técnica de la derivada para determinar las coordenadas del vértice de la parábola. - El 9,38% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 3 y, el 3,13% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 23b, utiliza una tabla de valores que provocó incompletitud en la respuesta. 117

118 En España: - El 50% del alumnado que responde correctamente al ítem 3 y, el 63,64% del alumnado que responde correctamente al ítem 23b, recurre a una tabla de valores. Se observó también que sólo el 30% de las respuestas ciertas a la tercera cuestión y el 9,09% de las respuestas ciertas al 23b, revelan la utilización de la técnica de la derivada para determinar las coordenadas del vértice de la parábola. - El 50% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 3 y, el 44,44% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 23b, utiliza una tabla de valores que provocó incompletitud en la respuesta. - 2 alumnos utilizaron tanto en el ítem 3, como en el ítem 23b, la formula para determinar la abscisa del vértice de la parábola y, después recurrieron a una tabla para descubrir los otros puntos particulares. Al analizar cualitativamente las respuestas a este segundo cuestionario se observó que el problema se mantiene, los alumnos continúan sin hacer ninguna referencia al vértice o a otros puntos particulares distintos de los ceros. Por otro lado, los alumnos que hacen referencia al vértice no usan la técnica de derivación de la función para determinar las coordenadas del vértice de la parábola, lo que sería importante, ya que es una técnica muy útil y eficaz. Esta observación surgió porque el profesor no compara técnicas y no refiere la extrema importancia de la técnica derivada para resolver problemas. Se pone de manifiesto otro fenómeno en la rigidez e incompletitud de la respuesta del alumno. De este modo, propondré posteriormente, otro tipo de actividad matemática que llevará al alumno a responder de una forma diferente. 118

119 Segunda conjetura C2. La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado Bloque Ítems correspondientes Soluciones 2.1. Interpretación de la derivada 2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones : f(x) = 6x 2 +5 g(x) = 6x Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]? 23(a). Dada a función. Calcula f (1). La variación es igual en las dos funciones. En el bloque Interpretación de la derivada, restringida a la interpretación de la derivada como variación de una función en un intervalo, esperamos que la dificultad sea considerablemente mayor cuando se solicita la interpretación de la derivada que cuando se pide simplemente el cálculo de la derivada en un punto. Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 23a Respuestas ítem 2 3,92% 5,88% 9,80% 90,20% En blanco Correctas 43,14% 47,06% Incorrectas 119

120 En España: Respuestas ítem 23a Respuestas ítem 2 3,45% 13,79% 82,76% En blanco Correctas 41,38% 24,14% 34,48% Incorrectas Tanto en la submuestra portuguesa como en la submuestra española el número de respuestas correctas disminuye extraordinariamente cuando se pasa de la tarea de aplicación de una determinada técnica, correspondiente al ítem 23(a), calcular el valor de la derivada de una función en un punto, a la tarea de interpretación de esa misma técnica, correspondiente al ítem 2. Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes portugueses se observó que para responder al ítem 2, todos los alumnos que contestaran bien utilizaron la técnica de el cálculo de la tasa de variación media y no la técnica de la determinación de la derivada que, sin lugar a duda, sería una técnica con menor coste de manipulación. Por otro lado, al analizar cualitativamente las respuestas de los alumnos de España, se verificó que la mayoría de las respuestas incorrectas corresponden a la observación del término independiente. Esta parcela del alumnado responde que sería la función g la que presenta una variación mayor, ya que el término independiente es superior. Lo que significa que los alumnos confunden el comportamiento estático (analizan la función) con el comportamiento dinámico (que resulta del análisis de la derivada). Nótese que el tipo de tarea, determinar algébricamente la derivada de una función cuadrática en un punto, es una tarea frecuentemente practicada por el alumnado. El problema es que esa práctica, en la mayoría de las veces, es efectuada casi siempre sin interpretación. En particular, la interpretación de la derivada como variación de la función es un dilema para los estudiantes, ya que, más de la mitad de los alumnos que constituyen la muestra ibérica no responden a la cuestión que implica una interpretación (ítem 2) o responden incorrectamente. 120

121 De nuevo se observa la rigidez y atomización en la organización matemática: la derivada. Sería importante existir una mayor diversidad en los enunciados para que el estudiante pueda entender la razón de ser y relevancia de la derivada para las aplicaciones en la vida cotidiana. BLOQUE 2.2. Límites de funciones Ítems correspondientes 12. Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero más. Soluciones La indeterminación de la forma 0/0 se trata habitualmente mediante la técnica de descomposición en factores 10, el que da como resultado f ( x) lim x 0 g( x). 12(b) Cuál de les dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta. El resultado se puede interpretar en términos de comparación de la velocidad de convergencia del numerador y denominador: g(x) tiende más rápidamente a 0 que f(x). Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor cuando el objetivo es interpretar el límite de una función racional que cuando se trate de calcular el valor del límite de esa misma función racional. En el apartado (a) el límite en cuestión es igual a menos infinito. Para responder al apartado (b), se pretende que relacionen con la respuesta obtenida en el apartado anterior. Tal como en España, el cálculo de límites es una tarea que se estudia de una forma extensa en la Enseñanza Secundaria portuguesa, por lo tanto el primer ítem es familiar para los alumnos. Pretendemos saber si, además de conocer la técnica, sabrían interpretar el resultado. Esperamos poca relación entre el conocimiento de la técnica y 10 no es utilizada la regla de l Hôpital porque, a pesar de algunos profesores la mencionaren no forma parte del currículo portugués. 121

122 su interpretación, teniendo en cuenta que este tipo de tareas no figuran en los manuales de Secundaria. Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 12a Respuestas ítem 12b 50,98% 23,53% 25,49% En blanco Correctas 66,67% 31,37% Incorrectas 1,96% En España: Respuestas ítem 12a Respuestas ítem 12b 48,28% 24,14% 27,59% En blanco Correctas 48,28% 48,28% Incorrectas 3,45% Tanto en la submuestra portuguesa como en la submuestra española se observó un mayor porcentaje de respuestas correctas al ítem 12a que al ítem 12b, que requería la interpretación del concepto de límite de una función racional. Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes, observamos que: Para contestar la cuestión 12a, un estudiante universitario español utilizó la Regla de Ruffini para simplificar la expresión. Sin embargo, la referida técnica presenta mayor coste que la descomposición en factores de los polinomios evidenciando el factor común. Este hecho revela que no hay comparación de tareas, ni un cuestionamiento tecnológico. 122

123 Relativamente al apartado (b): En España, parte del alumnado que responde incorrectamente considera que su respuesta es cierta cuando interpreta el límite de una función a partir de lo que ocurre en puntos particulares. Es muy frecuente en la Enseñanza Secundaria los alumnos consideraren que pueden generalizar un resultado a partir de un caso particular, lo que es más una consecuencia de la rigidez en las tareas con que los estudiantes se adiestran en las clases y en los libros de texto. Observamos que, el 29,41% del alumnado portugués y el 21,43% de los estudiantes españoles que responden incorrectamente, hacen referencia a la función g, pero no justifican la respuesta o, de otro modo, consideran que su respuesta es correcta cuando interpretan el límite del cociente de funciones del siguiente modo: La función que tiende más rápidamente a cero es la función g, porque presenta un menor exponente. Sin embargo, seria esencial que los estudiantes relacionasen la respuesta al apartado (b) con la respuesta al apartado (a), pero ningún alumno presentó esa relación entre los dos apartados. La discrepancia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems es más notable en el alumnado portugués que en el alumnado español. En ambos países se observa que el porcentaje de respuestas correctas al ítem que exige la interpretación del límite es muy reducida, lo que nos lleva a creer que los alumnos conocen la técnica pero no saben interpretarla. Tal como refiere Cecilio Fonseca en su tesis: lo natural en Secundaria es desarrollar las técnicas del cálculo de limites (momento del trabajo de la técnica) de una forma algorítmica sin interpretar los resultados obtenidos. 123

124 Bloque Ítems correspondientes Soluciones 2.3. Continuidad 8. Estudiar la continuidad de la función. 19. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas) viene dado por Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población? El dominio de f es IR. f es una función continua. Estudiando la continuidad de la función g. No hay desniveles porque es una función continua. En el bloque Interpretación de la continuidad, esperamos que la dificultad sea mayor cuando se solicita la interpretación del resultado de utilizar una determinada técnica que cuando se pretende que el alumnado nada más aplique la técnica. Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 8 Respuestas ítem 19 19,61% 15,69% En blanco 50,98% 31,37% 64,71% Correctas Incorrectas 17,65% 124

125 En España: Respuestas ítem 8 Respuestas ítem 19 20,69% 41,38% 37,93% En blanco Correctas 41,38% 10,34% 48,28% Incorrectas De acuerdo con las expectativas, en ambas submuestras, el número de respuestas correctas decrece acentuadamente cuando se pasa de la tarea de aplicación de una determinada técnica a la tarea de interpretación de utilizar esa misma técnica. Tanto en Portugal como en España, el porcentaje de respuestas en blanco aumenta cuando se pasa a la interpretación de la continuidad en el contexto real. Al analizar las respuestas al ítem 8, observamos que las respuestas no difieren mucho, en términos cualitativos, de las respuestas en el primer estudio exploratorio. Mayoritariamente, los alumnos que responden correctamente al ítem 8 indican que el dominio de la función es IR y completan las respuestas con la siguiente expresión: La función es continua porque es el cociente de dos funciones continuas. Relativamente al ítem 19 estudiamos las respuestas más frecuentes: - El 15,38% de los alumnos portugueses y el 25% de los alumnos de España, que responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay desniveles en la población por lo estudio de la monotonía de la función; - El 11,54% de los alumnos portugueses y 0% de los alumnos de España, que responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay desniveles en la población por el estudio de la derivada de la función; - El 3,85% de los alumnos portugueses y el 16,67% de los alumnos de España, que responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay desniveles en la población por el estudio del límite de la función; 125

126 - El 7,69% de los alumnos portugueses y el 8,33% de los alumnos de España, que responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay desniveles en la población por el estudio de los extremos de la función; - El 0% de los alumnos portugueses y el 25% de los alumnos de España, que responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay desniveles en la población por el estudio de la gráfica de la función; Nótese que este tipo de tarea, estudiar la continuidad de una función racional, es una tarea habitual para el alumnado, porque es frecuentemente practicada en las clases de Enseñanza Secundaria portuguesa. El dilema es que esa mecanización, en ningún momento, implica la interpretación. Además, en los manuales escolares no aparece ningún ejercicio que incluya ese tipo de interpretación de la continuidad de una función. Seria relevante que el estudiante contactase con este tipo de problemas del día a día, como por ejemplo el presentado en el ítem 19, para que sea posible entender la razón de ser de la organización matemática continuidad de una función. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 2.4. Derivada y su interpretación física 11. La familia de rectas de la forma y=m (m constante arbitraria) pueden caracterizarse por y =0. Qué interpretación física puede darse a la ecuación anterior? 23(a). Dada la función. Calcula f (1). La velocidad es cero. El móvil está parado. En el bloque Interpretación de la derivada como un concepto de la Física, obviamente esperamos que la dificultad sea mayor cuando se pida la interpretación del resultado de utilizar una determinada técnica que cuando se pretende que el alumnado aplique la técnica. Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares: 126

127 En Portugal: Respuestas ítem 23a Respuestas ítem 11 3,92% 5,88% 9,80% En blanco 17,65% 90,20% Correctas 72,55% Incorrectas En España: Respuestas ítem 23a Respuestas ítem 11 3,45% 13,79% En blanco 48,28% 51,72% 82,76% Correctas Incorrectas Al analizar los gráficos referentes a las dos submuestras podemos decir que el número de respuestas correctas decrece acentuadamente cuando se pasa de la tarea de aplicación de una determinada técnica a la interpretación física del resultado de utilizar esa misma técnica, pasando del 90,20% al 17,65% en Portugal, y del 82,76% al 0% en la submuestra española. Esta última observación nos lleva a concluir que los estudiantes de Portugal y de España no parecen tener problemas en la aplicación de la técnica algébrica de derivación de una función polinómica, sin embargo, manifiestan tener muchas dificultades en la interpretación de la técnica en contexto real, en esto caso particular, en el contexto de la Física. En la mayoría de las respuestas, el alumnado no establece ninguna relación con la Física, relacionando apenas la derivada con la pendiente de la recta tangente al gráfico. 127

128 Estos resultados revelan que, la tentativa de establecer puentes entre los contenidos de Matemáticas y de Física, la interdisciplinaridad, el trabajo cooperativo de los profesores, aún no produjo resultados razonables, porque continúa existiendo una desarticulación entre las organizaciones matemáticas y físicas. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 2.5. Límites y modelización 13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado, 1,8 son: V ( t) 30e t (a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito. 13(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión. lim 30e t 1,8/t 30e Con el paso del tiempo las ventas se estabilizan alrededor de las 30 mil unidades. Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor cuando el objetivo es interpretar en el contexto económico el resultado del límite de un modelo real del que cuando la tarea es calcular sólo el valor del límite de ese mismo modelo. En el apartado (a) el límite en cuestión es igual a 30. Para responder al apartado (b), se pretende que los alumnos interpreten en el contexto del problema, en términos de ventas del producto, la respuesta obtenida en el apartado anterior. El cálculo de límites es una tarea que se estudia de una forma extensa en la Enseñanza Secundaria portuguesa y española, por tanto el primer ítem es muy familiar para los alumnos. Pretendemos saber si, además de conocer la técnica, sabrían interpretar el resultado. Esperamos poca relación, por parte del alumnado, entre el conocimiento de la técnica y su interpretación. Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: 128

129 En Portugal: Respuestas ítem 13a Respuestas ítem 13b 7,84% 19,61% 80,39% En blanco Correctas 47,06% 45,10% Incorrectas En España: Respuestas ítem 13a Respuestas ítem 13b 17,24% 65,52% 17,24% En blanco Correctas 37,93% 13,79% 48,28% Incorrectas Tal como sería de esperar, en ambas submuestras, el porcentaje de respuestas correctas decrece abruptamente cuando se pasa de la tarea de calcular el valor de un límite a la tarea de interpretar su valor. Igual que en el primer estudio exploratorio se observó el fenómeno: el 18,18% de los alumnos de España y el 29,17% de los estudiantes portugueses que responden incorrectamente al apartado (b), interpretan el resultado del límite de una función como el valor máximo de la misma. Esta relación que establecen entre el límite y el máximo revela que la noción intuitiva del límite estudiada en el penúltimo año del bachillerato no fue bien trabajada. Algunos de los estudiantes interpretan el resultado del límite de la siguiente forma: significa que alcanzaron los 30000, nunca venderá más de unidades, no van 129

130 a traspasar los 30000, que son interpretaciones incorrectas y, algunas, ambiguas del significado del límite de una función. Se observó que 2 estudiantes portugueses interpretaron bien el resultado del límite en el contexto económico pero, no calcularon correctamente su valor. En estos casos, la respuesta al apartado (a) fue considerada efectivamente incorrecta y, la respuesta al apartado (b) fue considerada correcta de acuerdo con lo error cometido en el apartado anterior. Con la submuestra española no se verificó tal hecho. Por tanto, por los resultados obtenidos con esta muestra, podremos conjeturar que, por un lado, el momento del trabajo de la técnica fue bien conseguido para tareas de este tipo pero, por otro lado, el momento de la interpretación de la técnica no fue superado con éxito. Tercera conjetura C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea Bloque Ítems correspondientes Soluciones 3.1. Derivada: técnica algebraica/geométrica 23(a). Dada la función. Calcula f (1). 21. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y=f(x) en x=1 aparece en el siguiente dibujo. Cómo podemos calcular el valor de la derivada en x=1 sin conocer la expresión algebraica de la función? Determinando la pendiente de la recta tangente a la gráfica en x=1: En este bloque esperamos que los alumnos no dominen tan bien la técnica geométrica como efectivamente dominan la técnica algebraica para determinar la derivada de una función en un punto. 130

131 Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 23a Respuestas ítem 21 3,92% 90,20% 5,88% En blanco Correctas 33,33% 13,73% 52,94% Incorrectas En España: Respuestas ítem 23a Respuestas ítem 21 3,45% 13,79% 82,76% En blanco Correctas Incorrectas 3,45% 31,03% 65,52% Después de analizar los datos en los gráficos circulares podemos reseñar que, tanto en Portugal como en España, el número de respuestas correctas a la tarea que conduce a utilización de la técnica algebraica es muy superior al número de respuestas correctas a la tarea relacionada con la técnica geométrica. Además, se verifica que ese cambio es más abrupto en la submuestra española que en la portuguesa, pasando del 82,76% al 3,45%. Los resultados nos conducen a creer que los estudiantes no parecen tener ningún problema en la aplicación de la técnica algebraica de derivación de una función polinómica pero, por otro lado, una parte de los alumnos portugueses y la mayoría de los alumnos españoles manifiestan tener dificultades en la aplicación de la técnica geométrica para determinar la derivada de una función en un punto. 131

132 Como en los libros de texto tenemos muchos más ejercicios referentes a la técnica algébrica que a la geométrica, es natural que dominen más una técnica que la otra. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 3.2. Porcentajes 24. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te cuesta la moto. 5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%? O por la regla de 3 simples, o utilizando proporciones. El número es 0,82. El cálculo de porcentajes es una tarea que se estudia de una forma extensa en las escuelas portuguesas y españolas, por tanto el primer ítem es muy familiar para los alumnos y en el estudio de este tema predomina la técnica aditiva que consiste en añadir un porcentaje r de un número x mediante la fórmula: y = x + r x o quitar ese mismo porcentaje r de un número x mediante la fórmula: y = x - r x. Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor en el ítem 5, porque corresponde a una técnica poco habitual para los alumnos, la técnica multiplicativa. En el ítem 24, los estudiantes tienen la libertad de seleccionar la técnica que consideran más sencilla o la más conveniente en este caso particular. Pretendemos saber si el alumnado conoce más de una técnica, en este caso particular, si maneja con la misma facilidad la técnica aditiva como la técnica multiplicativa del cálculo de porcentajes. Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: 132

133 En Portugal: Respuestas ítem 24 Respuestas ítem 5 7,84% 1,96% 92,16% En blanco Correctas 27,45% 70,59% Incorrectas En España: Respuestas ítem 24 Respuestas ítem 5 3,45% 6,90% 96,55% En blanco Correctas 27,59% 65,52% Incorrectas La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems se manifestó de forma muy semejante con el alumnado portugués y con el alumnado español. Podemos referir que en ambos países el porcentaje de respuestas correctas al ítem correspondiente a la técnica habitual es superior al porcentaje de respuestas correctas al ítem en que se pretende que el alumno utilice una técnica diferente y menos usual, lo que nos lleva a creer que los alumnos ya que dominan con facilidad una técnica no utilizan otra técnica aunque esta tenga menos coste. No obstante, algunas de esas técnicas diferentes hasta pueden ser más ventajosas por tener un menor coste de manipulación al resolver un determinado tipo de tarea/problema. Observamos que, mayoritariamente, para la determinación del coste final de la moto, los estudiantes utilizan la técnica aditiva. No obstante, algunos de los estudiantes 133

134 presentan otras técnicas diferentes como, por ejemplo, la técnica de la regla de 3 simple o la técnica de las proporciones. En el ítem 5, la mayoría de los estudiantes ha construido la técnica multiplicativa a partir de la técnica aditiva, ya que, en este caso, ambas las técnicas son muy próximas, como refiere Cecilio Fonseca, se pasa de la aditiva a la multiplicativa y=(1+r) x simplemente sacando factor común. Con los resultados obtenidos podemos concluir que los alumnos dominan de forma completa una técnica, la que fue más mecanizada, y revelan algunas dificultades en aplicar una técnica diferente. Concluimos así, que el alumnado cuando se enfrenta con una tarea no efectúa, previamente a su resolución, un cuestionamiento tecnológico. BLOQUE 3.3. Derivación Ítems correspondientes Dada la función: f(x) = (3x - 2) 2. (a) Calcula su derivada. 14(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? Si positivo, presenta la resolución por esa técnica. Soluciones Tenía plena libertada para elegir la técnica. Había que elegir una técnica distinta a la anterior sin necesidad de calcular de nuevo la derivada. El cálculo de derivadas es un contenido importante que se estudia de una forma extensa en las escuelas secundarias y, tal como en España, en el estudio de la derivada de una función racional predomina la técnica derivada de un cociente. Pretendemos verificar si este último proceso es la única técnica que el alumnado domina. Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor en el ítem 14(b) en el que los estudiantes tienen la libertad de utilizar una técnica diferente de la utilizada en el primer ítem y que, probablemente, corresponde a una técnica menos habitual para ellos. Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: 134

135 En Portugal: Respuestas ítem 14a Respuestas ítem 14b 39,22% 60,78% En blanco Correctas Incorrectas 37,25% 31,37% 31,37% En España: Respuestas ítem 14a Respuestas ítem 14b 24,14% 62,07% 13,79% En blanco Correctas 17,24% 17,24% 65,52% Incorrectas Tanto con la submuestra portuguesa como con la española observamos que los alumnos utilizan la técnica que fue más mecanizada y revelan bastantes dificultades en aplicar una técnica diferente. Por eso, el porcentaje de respuestas correctas fue mayor en el apartado (a) que en el apartado (b). Como en el primer estudio la diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems fue menor con el alumnado portugués que con el alumnado español. Observamos que, la primera técnica utilizada por una gran parte del alumnado para calcular la derivada de la función f fue la técnica de la derivada del cociente. Como esta técnica es considerada la técnica oficial/usual para los alumnos, estos la aplican, sin hacer ningún tipo de cuestionamiento tecnológico. 135

136 Del primer cuestionario para el segundo introdujimos en el apartado (b) la expresión "Si positivo, presenta la resolución por esa técnica" para que los alumnos manipulasen la técnica hasta el final. Sin embargo, tal cosa no sucedió, ya que, muchos de los estudiantes presentan la técnica de la definición pero no la aplican a la función f, sólo presentan la fórmula general. Después de una reflexión y análisis, estas respuestas incompletas fueron consideradas correctas. Observando las respuestas al apartado (b), verificamos que: - El 6,25% de los alumnos portugueses que responden correctamente utilizan la técnica derivada por la definición; sin embargo, es de remarcar que ningún estudiante de España utiliza la referida técnica. - El 80% de los estudiantes de España que responden correctamente y el 6,25% de los alumnos portugueses utilizan la técnica derivada de la potencia; - El 93,75% de los alumnos portugueses que responden correctamente indican que el proceso sería por la definición de derivada, presentan la fórmula de la definición, pero no la aplican a la función f, ni la desarrollan. - Un alumno respondió que la técnica diferente sería utilizar la calculadora gráfica. Al analizar cuantitativa y cualitativamente las respuestas de los estudiantes de Portugal y de España al ítem 14, podemos concluir que los alumnos utilizan la técnica que fue más mecanizada y revelan bastantes dificultades en aplicar una técnica diferente. En la cuestión que presentamos, seria esencial que el estudiante efectuase una comparación entre el coste de utilizar la técnica de la derivada del cociente con el coste de utilizar la técnica de la derivada de la potencia, o del producto, o mismo la definición de la derivada. Sin embargo, como no forma parte del contrato didáctico, este tipo de cuestionamiento tecnológico no sería esperable. El alumno no está acostumbrado a comparar las técnicas porque el profesor no lo conduce a efectuar siempre esa comparación y seleccionar la mejor técnica para cada caso. Tal como en España, en bachillerato lo natural es dar una técnica específica para obtener la derivada de cada tipo de función. No existe un momento de reflexión que permita al alumno preguntarse a sí mismo si existe una técnica alternativa que, siendo 136

137 igualmente rigurosa, pueda ser más útil, más económica y que reduzca la probabilidad de tener una respuesta incorrecta por causar menos errores de cálculo. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 3.4. Inecuaciones y funciones cuadráticas 9. Resuelve la inecuación (x 1)(x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica). Por el cuadro de signos: x x x (x-1)(x+3) Resuelve la inecuación (x+4)(x 2) 0 dibujando la gráfica de la función asociada. (-, -3] [1, + ) Por la gráfica: (-, -4] [2, + ) Para la resolución de inecuaciones de segundo grado se estudian, normalmente, dos procesos distintos: - La resolución algebraica (correspondiente al ítem 9) - La resolución gráfica (correspondiente al ítem 27) Con este bloque pretendemos verificar si el alumnado domina de igual forma las dos técnicas indicadas y, caso de no ocurrir, en cuál de las dos técnicas presentan más dificultades de manejo. Nótese que en estos dos ítems los estudiantes no tienen la libertad de seleccionar la técnica que mejor conocen, ya que, queremos descubrir si conocen más de una técnica para resolver inecuaciones de segundo grado. Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: 137

138 En Portugal: Respuestas ítem 9 Respuestas ítem 27 49,02% 17,65% 33,33% En blanco Correctas Incorrectas 43,14% 29,41% 27,45% En España: Respuestas ítem 9 Respuestas ítem 27 31,03% 24,14% 44,83% En blanco Correctas Incorrectas 6,90% 31,03% 62,07% Podemos observar que en ambos países el porcentaje de respuestas correctas al ítem correspondiente a la técnica algebraica es superior al porcentaje de respuestas correctas al ítem en que se pretende que el alumno utilice la técnica gráfica. Como en el primer estudio exploratorio podemos señalar que existe una diferencia de dominio de técnicas de 5,88% en Portugal, lo que no es una diferencia considerable, por tanto es difícil de denominar un de los procesos por la técnica usual para los alumnos portugueses. Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes observamos que: - algunos alumnos portugueses cambian las técnicas, ésto es, el 8% de los alumnos de esta submuestra que responden incorrectamente a la cuestión 9 presentan un esbozo 138

139 del gráfico y el 4,55% de los alumnos que responden incorrectamente a la cuestión 27 presentan una tabla de signos. - algunos estudiantes presentan la respuesta final correcta al ítem 27 pero, no presentan el gráfico, por tanto estas respuestas fueron consideradas incorrectas. - El 36% de las respuestas incorrectas portuguesas al ítem 9 corresponden a la no presentación del análisis de la tabla de signos, ésto es, el alumno manifestó conocer la técnica algebraica presentando la tabla pero, no la respuesta final. Ésto no ocurrió con los estudiantes de España. Cecilio Fonseca refiere que, en la Enseñanza Secundaria española, la resolución de inecuaciones tiene como técnica dominante la técnica algebraica (basada en la resolución de la ecuación asociada), mientras que la técnica de resolver una inecuación cuadrática a partir de su gráfica es una técnica poco utilizada. En Portugal, el método de enseñanza es un poco diferente: para la resolución de una inecuación cuadrática se utiliza la técnica gráfica por tener menor coste pero, por otro lado, para la resolución de una inecuación de grado superior al segundo se utiliza la técnica algebraica. Esta última referencia está de acuerdo con las sugestiones de los manuales escolares. Sin embargo, actualmente existe una tendencia para que los alumnos resuelvan las inecuaciones de grado igual o superior al segundo solo con la calculadora gráfica. Comparando la situación española con la portuguesa, no podemos concluir que los alumnos tengan como técnica dominante la técnica algebraica. Cuarta conjetura C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa Bloque Ítems correspondientes Soluciones 4.1. Funciones polinómicas 4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes (1, 0), ( 2, 0) y (3, 0). 22. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las x? (x - 1)(x + 2)(x - 3), o bien, x 3-2x 2-5x + 6 (1,0), (-3,0), (-1, 0) 139

140 Esperamos que el número de aciertos en la tarea del cálculo de los puntos de corte con el eje de las (tarea directa), correspondiente al ítem 22, sea mayor que en la tarea: dados los puntos de corte, determinar la función polinómica que pasa por ellos (tarea inversa), correspondiente al ítem 4. Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 22 Respuestas ítem 4 13,73% 66,67% 19,61% En blanco Correctas 13,73% 43,14% 43,14% Incorrectas En España: Respuestas ítem 22 Respuestas ítem 4 27,59% 51,72% 20,69% En blanco Correctas 13,79% 24,14% 62,07% Incorrectas En el primer estudio exploratorio la diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems se manifestó menos acentuada con el alumnado portugués (17,02%) que con el alumnado español (44,87%). En el presente estudio observamos de nuevo lo mismo acontecimiento: una diferencia de 23,53% en Portugal y de 37,93% en España. 140

141 Al analizar cuantitativa y cualitativamente las respuestas de los estudiantes a estos ítems, podemos decir que los alumnos manejan mejor la técnica directa y revelan más dificultades en aplicar la técnica inversa. Este acontecimiento es debido, probablemente, a que la inversa corresponde una técnica menos habitual para ellos, por no conocerla o porque fue menos mecanizada. Sin embargo, se constató que, el 58,82% del total de respuestas correctas portuguesas y el 86,67% del total de respuestas correctas españolas al ítem 22, corresponden a respuestas incompletas, porque los alumnos solo indican las abscisas de los puntos de corte y no las ordenadas. Como esta incompletitud en las respuestas no es relevante para el presente estudio de la rigidez de las organizaciones matemáticas, manifestando apenas falta de rigor, consideramos estas respuestas incompletas como respuestas correctas. Este acontecimiento es debido al hecho de no forma parte del contrato didáctico del profesorado explorar la tarea inversa de una determinada tarea. El alumno no está acostumbrado a modificar y a invertir las técnicas, porque el profesor no lo conduce a efectuar esa profundización de las técnicas aprendidas. A semejanza del primer estudio exploratorio, en el análisis de las respuestas de los alumnos de España, se observó que, para determinar los puntos de corte de una función polinómica presentada en esta forma f(x)=(x 1)(x + 1)(x + 3) en el ítem 22, algunos alumnos presentaron una técnica de elevado coste realizan la multiplicación y después aplican la Regla de Ruffini y al final la Fórmula para la resolución de ecuaciones de segundo grado para determinar las raíces. Cecilio Fonseca conjeturó en su tesis que: esta manera de proceder puede ser debida a que la tarea oficial en secundaria es: dado un polinomio desarrollado, calcula sus raíces. De nuevo, en Portugal este acontecimiento no se verificó, ningún estudiante intentó resolver la cuestión por la Regla de Ruffini. Las características de las Funciones Polinómicas son estudiadas en las escuelas secundarias portuguesas en el 10.º año de escolaridad y desarrollado en los cursos siguientes. 141

142 En más de un tema se verifica la ausencia de un cuestionamiento tecnológico y comparación del coste/adecuación de una técnica para resolver una determinada tarea. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 4.2. Sistemas de ecuaciones lineales 6. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y : 25. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos y. Como el sistema es compatible indeterminado se admite como respuesta válida cualquier par de soluciones que verifique una de las ecuaciones. Por ejemplo: y. - Determinar la ecuación de la recta que pasa en los 2 puntos:. - Escribir una ecuación equivalente a la primera para presentar un sistema compatible indeterminado, por ejemplo: Los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas son estudiados en el 3.º ciclo en el 9.º año de escolaridad de la enseñanza portuguesa. La tarea resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales es la tarea dominante en los libros de texto, lo que significa que el estudiante debe estar muy familiarizado con este tipo de tarea. Por tanto, igual que en el primer estudio exploratorio, esperamos que el número de aciertos de la tarea correspondiente a la determinación de las soluciones de un sistema (tarea directa) sea muy superior al número de aciertos de la tarea: dadas las soluciones, escribir el sistema (tarea inversa). Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: 142

143 En Portugal: Respuestas ítem 6 Respuestas ítem 25 5,88% 80,39% 13,73% En blanco Correctas 1,96% 11,76% 86,27% Incorrectas En España: Respuestas ítem 6 Respuestas ítem 25 6,90% 27,59% 65,52% 27,59% En blanco Correctas 72,41% Incorrectas De todo el cuestionario, la cuestión 25 fue el ítem en que los alumnos manifestaron tener más dificultades, ya que, el número de respuestas correctas con la submuestra portuguesa fue muy reducido y con la submuestra española fue nulo. De acuerdo con las expectativas el porcentaje de respuestas correctas tiene un decrecimiento abrupto cuando se pasa del ítem 6, correspondiente a la tarea directa, al ítem 25, correspondiente a la tarea inversa. Nótese que el porcentaje de aciertos al ítem 6 de los estudiantes de ambos países es muy reducido, por eso, la diferencia no podría ser elevada. Es de reseñar que todos los alumnos que intentaron responder al ítem 6, para descubrir dos soluciones del sistema dado, comenzaran por resolver algebraicamente el sistema de ecuaciones, ésto es, ningún alumno fue capaz de percibir que el sistema era compatible indeterminado y que sería una tarea muy sencilla indicar soluciones del sistema sin tener necesidad de resolverlo. 143

144 Uno de los alumnos de la submuestra de España resolvió el sistema utilizando matrices pero, al final, indicó la solución general y no 2 puntos particulares. Nótese que, el 12,20% de los estudiantes portugueses y el 21,05% de los estudiantes de España que responden incorrectamente al ítem 6, resuelven bien el sistema y lo clasifican bien, pero no presentan soluciones. No obstante, se constató que, el 26,32% del total de respuestas incorrectas de la submuestra española al ítem 6 y el 17,07% del total de respuestas incorrectas de la submuestra portuguesa al mismo ítem, corresponden a respuestas incompletas, porque los alumnos solo indican una solución correcta y, por otro lado, no cuestionan el enunciado colocando, por ejemplo, la duda: porque son solicitadas dos soluciones del sistema?!. Se observó también que algunos alumnos clasifican el sistema como imposible y, por tanto, no indican ninguna solución, correspondiendo al 42,11% de los estudiantes de España que responden incorrectamente al ítem 6 y sólo a 1 alumno de la submuestra portuguesa. Estos hechos son debidos a que toda la actividad matemática es muy rígida en las tareas, no es habitual solicitar al alumnado la indicación de varias soluciones de un sistema compatible indeterminado. Los estudiantes no están acostumbrados a que un sistema tenga más de una solución. Al analizar cuantitativa y cualitativamente las respuestas de los estudiantes a estos ítems, podemos decir que los alumnos manejan mejor la técnica directa y revelan más dificultades en aplicar la técnica inversa. Este acontecimiento es debido al hecho de que en la organización matemática correspondiente a sistemas de ecuaciones el momento del trabajo de la técnica es el dominante. No aparece en ningún momento como tarea la posibilidad de invertir la tarea habitual. 144

145 Bloque Ítems correspondientes Soluciones 4.3. Sistemas de ecuaciones lineales y geometría analítica 10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos. y x 1 o bien x- 2y Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos ( 1, 3) y (5, 6). - Determinar la ecuación de la recta que pasa en los 2 puntos:. - Escribir una ecuación equivalente a primera para a presentar un sistema compatible indeterminado, por ejemplo: Los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas son estudiados en el 3.º ciclo en el 9.º año de escolaridad de la enseñanza portuguesa. Esperamos que el número de aciertos de la determinación de la ecuación de la recta (tarea directa), correspondiente al ítem 10, sea muy superior al número de aciertos de la tarea correspondiente al ítem 25 (tarea inversa). Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 10 Respuestas ítem 25 5,88% 5,88% 1,96% 11,76% 88,24% En blanco Correctas Incorrectas 86,27% 145

146 En España: Respuestas ítem 10 Respuestas ítem 25 20,69% 20,69% 58,62% En blanco Correctas 27,59% 72,41% Incorrectas De acuerdo con la previsión, en ambos países, el porcentaje de respuestas correctas tiene un decrecimiento abrupto cuando se pasa de la tarea directa a la tarea inversa. Como en el primer estudio exploratorio, la diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems se manifestó mucho más acentuada con el alumnado portugués (86,28%) que con el alumnado español (20,69%). Además, en la situación portuguesa, este es el bloque en el que se verifica una mayor distancia entre los ítems. En el análisis cualitativo, se observó que, el 33,33% del total de respuestas incorrectas de la submuestra portuguesa y el 25% del total de respuestas incorrectas de la submuestra española al ítem 25, corresponden a respuestas incompletas, porque los alumnos determinan la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos pero, al final sólo presentan una ecuación y no un sistema de dos ecuaciones. Un alumno de la submuestra de España utilizó un proceso de mayor coste para contestar al ítem 10: primer usó el Teorema de Pitágoras y después trigonometría para determinar la ecuación de la recta. Como la probabilidad de errar al manejar esta técnica era elevada cometió un error en la segunda parte que lo condujo a una respuesta incorrecta. Claramente, y como sería de esperar, en ambos países los alumnos manejan mejor la técnica directa y revelan más dificultades en aplicar la técnica inversa. Este acontecimiento es debido, probablemente, a que la inversa corresponde una técnica menos habitual para ellos, por no conocerla o porque fue menos mecanizada. Cecilio Fonseca, en su tesis, justifica esta discrepancia con los siguientes argumentos: 146

147 Cuando se estudia la OM de la geometría afín, todas las tareas de cálculo de ecuaciones de rectas van en un solo sentido: dados dos puntos, calcula la ecuación de la recta que pasa por ellos. Aunque las tareas propuestas son casi todas tareas bastantes formales de nomenclatura (forma vectorial, paramétrica, continua), la tarea dominante es escribir la ecuación de la recta en forma general, y esto se manifiesta de una forma clara en la respuesta de los alumnos. Los datos reflejan claramente las dificultades que tienen los alumnos para asociar la recta que pasa por dos puntos concretos con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que contenga como soluciones esos dos puntos. BLOQUE 4.4. Álgebra elemental Ítems correspondientes 17. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: El producto de tres números pares consecutivos es igual a Soluciones posibles (2x - 2) 2x (2x + 2) = 1680 (2x ) (2x +2)(2x + 4) = 1680 x par, x(x +2) (x + 4) = Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN La suma de tres números pares consecutivos es igual a 246. En Portugal este tipo de tareas del Álgebra Elemental son estudiados en el 3.º ciclo en el 7.º año de escolaridad y posteriormente retomadas en los años siguientes. Con este bloque, esperamos que el número de aciertos al ítem 17, correspondiente a la tarea de escribir una expresión presentada en lenguaje natural en lenguaje algebraico, sea muy superior al número de aciertos de la tarea inversa correspondiente al ítem 29: escribir una expresión presentada en lenguaje algebraico en lenguaje natural. Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: 147

148 En Portugal: Respuestas ítem 17 Respuestas ítem 29 11,76% 68,63% 19,61% En blanco Correctas 23,53% 33,33% 43,14% Incorrectas En España: Respuestas ítem 17 Respuestas ítem 29 31,03% 37,93% 31,03% En blanco Correctas Incorrectas 17,24% 37,93% 44,83% Al contrario de las expectativas, el porcentaje de respuestas correctas de la submuestra de Portugal crece cuando se pasa de la tarea directa a la tarea inversa y es igual en la submuestra española. En el primer estudio exploratorio los resultados de este bloque obtenidos en Portugal y en España fueron distintos: - en Portugal el alumnado presentó más dificultades en el ítem correspondiente a la tarea de escribir una expresión presentada en lenguaje natural en lenguaje algebraico. - en España, el alumnado manifestó tener más dificultades en la tarea inversa correspondiente a: escribir una expresión presentada en lenguaje algebraico en lenguaje natural. 148

149 - No obstante, la diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems fue más acentuada con el alumnado español (15,61%) de lo que es con el alumnado portugués (4,25%). - Además, en la situación portuguesa, este fue el bloque en el que se verifica una menor distancia entre los ítems. Ahora, en el segundo estudio exploratorio hay una aproximación de los resultados de España relativamente a los portugueses. Como no hay diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems en la submuestra española, no podemos concluir que el alumnado domina mejor una tarea que la otra. Se observó un fenómeno curioso en ambas submuestras: al contestar al ítem 29, algunos estudiantes portugueses y 3 alumnos de España simplificaran la expresión algebraica para 6x+6=246 y, después, tradujeron bien al lenguaje natural. De este modo las respuestas fueron consideradas correctas. Probablemente, el porcentaje superior de respuestas correctas en el ítem 29 se debe al orden de las dos tareas, ésto es, como la tarea de escribir en lenguaje natural surgió después de la tarea inversa y, como son muy semejantes, los alumnos contestaran bien el ítem 29 por observación del enunciado del ítem 17, luego los resultados fueron mejores. 149

150 BLOQUE 4.5. Funciones cuadráticas Ítems correspondientes 23 (b). Representa gráficamente con precisión la función: f(x) = x 2 4x. Soluciones 28. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos. Basta tener en cuenta: el vértice (2,4) o, entonces, los puntos de corte (0,0) y (4,0) En el ítem 23 (b) se espera que los estudiantes utilicen como una posible técnica, la siguiente: Cálculo del vértice (utilizando la derivada) Determinación de puntos de corte con los ejes ( si existen en el caso del eje x) Intervalos de monotonía (por ejemplo a partir del coeficiente del término de segundo grado) Determinación de algunos valores particulares (por ejemplo un par de valores simétricos respecto al eje de la parábola) Este tipo de tareas de las Funciones Cuadráticas son estudiados en el 10.º año de escolaridad de la Enseñanza Secundaria portuguesa. Con este bloque, esperamos que el porcentaje de respuestas correctas al ítem correspondiente a la tarea de representación gráfica a partir de la expresión algebraica que define la función (tarea directa) sea muy superior al de la tarea de escribir la expresión algebraica a partir de su gráfica (tarea inversa). Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares: 150

151 En Portugal: Respuestas ítem 23b Respuestas ítem 28 62,75% 21,57% 15,69% En blanco Correctas 23,53% 19,61% 56,86% Incorrectas En España: Respuestas ítem 23b Respuestas ítem 28 10,34% 31,03% 37,93% 31,03% En blanco Correctas Incorrectas 89,66% Los resultados obtenidos con la submuestra portuguesa no son los esperados. Sin embargo, las respuestas de los estudiantes de España están de acuerdo con las expectativas: el porcentaje de respuestas correctas decrece cuando se pasa de la tarea directa a la tarea inversa. Al analizar las respuestas de los estudiantes al apartado 23b verificamos que estamos delante del mismo problema que en el tercer ítem: a pesar de ser solicitada una representación gráfica con precisión de la función cuadrática, los alumnos apenas dibujan los ceros y la concavidad correctamente, no presentan las coordenadas del vértice de la parábola, ni otros puntos particulares: - El 78,13% de las respuestas incorrectas portuguesas y el 11,11% de las respuestas incorrectas de España corresponden a respuestas incompletas por no hacer referencia al vértice u otros puntos particulares del gráfico. 151

152 - El 25% de las respuestas correctas portuguesas y el 63,64% de las respuestas correctas de España contestan la cuestión utilizando una tabla de valores. - El 3,13% de las respuestas incorrectas portuguesas y el 44,44% de las respuestas incorrectas de España corresponden a una incompletitud de respuesta por utilizar una tabla de valores. Observamos que, solo 2 estudiantes utilizan el proceso de la derivada para determinar las coordenadas del vértice de la parábola: 1 estudiante de España y 1 estudiante de Portugal. En el primer estudio exploratorio ningún alumno portugués usó esta técnica. La mayoría de los estudiantes que presentan el vértice en el gráfico, determinan la abscisa como media aritmética de los ceros, usando la noción de eje de simetría de una parábola y, posteriormente, calculan la ordenada de forma trivial. Esta técnica también tiene un coste reducido pero, en comparación con la técnica de derivar y determinar los extremos para obtener las coordenadas del vértice de la parábola, presenta un coste superior. Los elevados valores de porcentaje de respuestas en blanco al ítem 28 obtenidas con las dos submuestras (en España 89,66% y en Portugal 56,86%) ponen de manifiesto que la tarea inversa no es una tarea que forme parte del medio matemático del estudiante, es una tarea extraña para los alumnos. En el primer estudio exploratorio, los resultados obtenidos en este bloque en Portugal y en España fueron semejantes, ya que, en ambos países el alumnado presentó más dificultades en el ítem correspondiente a la tarea de escribir la expresión algebraica de una función conocida su gráfica, la tarea inversa. No obstante, la diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems fue más acentuada con el alumnado español (53,17%) que con el alumnado portugués (14,89%). 152

153 Quinta conjetura C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización BLOQUE Ítems correspondientes 15. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en todos los artículos y cargan el 16% de IVA. (a) Calcular el coste final de un artículo que inicialmente vale x euros. Soluciones 5.1. Construcción del modelo 15(b) Puedes calcular el coste final de un artículo aplicando a x una única operación? 18. Se desea construir una caja abierta de volumen V con un cartón cuadrado de 24 cm de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Expresa V como función de x. 33. Un obrero de la construcción trabaja a destajo. Cobra 50 euros la hora si el número de horas trabajadas a la semana es igual o inferior a 40, y por cada hora adicional, 80 euros. Escribe una función que represente el que cobra dicho obrero en función de las horas trabajadas. Al contrario de las conjeturas anteriores, con este bloque no pretendemos contrastar dos tareas/técnicas, ni tampoco comparar los resultados de dos ítems, pero sí, verificar si los estudiantes de las dos submuestras manifiestan dificultades en construir un modelo que represente la situación real de modelización. Los resultados obtenidos son presentados en los siguientes gráficos circulares: 153

154 En Portugal: Respuestas ítem 15a Respuestas ítem 15b 1,96% 72,55% 25,49% En blanco Correctas 29,41% 37,25% 33,33% Incorrectas Respuestas ítem 18 Respuestas ítem 33 35,29% 23,53% 41,18% En blanco Correctas Incorrectas 54,90% 43,14% 1,96% En España: Respuestas ítem 15a Respuestas ítem 15b 41,38% 31,03% 27,59% En blanco Correctas Incorrectas 20,69% 31,03% 48,28% 154

155 Respuestas ítem 18 Respuestas ítem 33 27,59% 17,24% 55,17% En blanco Correctas 37,93% 6,90% 55,17% Incorrectas Observando los gráficos, verificamos que el porcentaje de respuestas correctas a estos ítems es reducido, alcanzando un valor máximo de 37,25%. En contrapartida, de un modo general, el porcentaje de respuestas en blanco es elevado. Estos resultados ponen de manifiesto que los estudiantes no dominan la tarea de construcción de un modelo relacionado con un problema cotidiano. Revelan bastantes dificultades en escribir una función que traduzca la situación problemática, principalmente en problemas relacionados con funciones definidas a trozos. BLOQUE 5.2. Manipulación del modelo Ítems correspondientes 16. Un estudio de la eficacia del turno matinal (de 8 h. a 15 h.) de una fábrica demuestra que el número, Q(t), de unidades producidas (en un período de t horas) por un trabajador que llega a la fabrica a las 8 horas, es de Q(t) = -t t2 + 12t unidades (en promedio). (a) Determine la expresión de su derivada. Soluciones 16 (b) En qué momento de la mañana la eficacia es máxima? Hacer referencia a no pertencer al domínio. Presentar el cuadro de signos y concluir que la eficacia es máxima a las 14 h (8h+6h). 155

156 Además, no pretendemos contrastar dos tareas/técnicas, ni tampoco comparar los resultados de dos ítems de este bloque, pero sí, verificar si los estudiantes de las dos submuestras manifiestan dificultades en manipular un modelo ya construido que represente una situación real de modelización. Ya que, en el apartado (b) del ítem 16, al resolver la ecuación de segundo grado se obtiene dos soluciones: ;, se pretende también verificar si los alumnos analizan el dominio de la función, ésto es, si presentan sólo las soluciones válidas en el contexto real del problema. Los resultados obtenidos son presentados en los siguientes gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 16a Respuestas ítem 16b 11,76% 31,37% En blanco 43,14% 41,18% 56,86% Correctas Incorrectas 15,69% En España: Respuestas ítem 16a Respuestas ítem 16b 13,79% 17,24% 68,97% En blanco Correctas 6,90% 17,24% 75,86% Incorrectas Observando los gráficos, notamos que el porcentaje de respuestas correctas continúa siendo reducido para el bajo nivel de dificultad de los problemas, alcanzando un valor máximo de 56,86% en el ítem relacionado con una tarea simple de derivación de una 156

157 función polinómica. En contrapartida, el porcentaje de respuestas en blanco es demasiado alto, alcanzando incluso el 75,86% en el ítem 16b con la submuestra de alumnos de España. Este ítem se refería a un problema muy sencillo de optimización de una función polinómica. Estos resultados revelan que los estudiantes no están acostumbrados a interpretar ni manipular situaciones de modelización. Al analizar cualitativamente las respuestas al ítem 16a observamos que el 68,75% de los estudiantes portugueses que respondieron incorrectamente utilizaron la técnica de derivación del cociente para derivar el primer término de la función polinómica sin tener necesidad. Como es una técnica con un mayor coste de manejo provocó bastantes errores de cálculo. Con la submuestra española este fenómeno ocurrió sólo con uno de los estudiantes. Se observó también que algunos alumnos no analizan el dominio en el contexto del problema o no interpretan bien el resultado final. BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones 32. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que mana de un grifo (en litros) viene dado por una función afín 5.3. Construcción y manipulación del modelo respecto del tiempo t (en segundos). Si en el primer segundo el agua recogida es de 3 litros, en el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo es de 7 litros, (a) Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t? 32 (b) Cuál es el volumen de agua recogido en una hora? 32 (c) Cuándo arroja más agua por segundo el grifo: a los 10 segundos o a los 12 segundos? Es igual.. De nuevo con este bloque no pretendemos contrastar dos tareas/técnicas, ni tampoco comparar los resultados de los ítems, pero sí, verificar si los estudiantes de las dos 157

158 submuestras manifiestan dificultades en construir y manipular un modelo que represente la situación real de modelización. Con este problema pretendemos verificar si los estudiantes revelan dificultades en modelizar una situación extramatemática ya que hay introducción de un lenguaje gramatical, saliendo del lenguaje matemático asociado a situaciones intramatemáticas. Los resultados obtenidos son presentados en los siguientes gráficos circulares: En Portugal: Respuestas ítem 32a Respuestas ítem 32b 25,49% 47,06% 27,45% En blanco Correctas Incorrectas 27,45% 45,10% 27,45% Respuestas ítem 32c 45,10% 27,45% 27,45% En blanco Correctas Incorrectas 158

159 En España: Respuestas ítem 32a Respuestas ítem 32b 6,90% 58,62% 34,48% En blanco Correctas 31,03% 31,03% 37,93% Incorrectas Respuestas ítem 32c 31,03% 24,14% 44,83% En blanco Correctas Incorrectas Observando los gráficos, verificamos que el porcentaje de respuestas correctas a cuestiones de modelización con bajo nivel de dificultad es sorprendente por ser reducido y el porcentaje de respuestas en blanco ser elevado. Estos resultados vienen a confirmar que los estudiantes no dominan las tareas de construcción y de manipulación de un modelo relacionado con un problema cotidiano. El problema propuesto era muy simple pero, el alumnado sintió dificultades en relacionar los diversos apartados: (c) con (a), por ejemplo. También no interpretan la variación de la función como la derivada de la misma función en el apartado (c). Muchos alumnos interpretaron la cuestión como variación estática y no cinética, calculando valores de la función y no de su derivada. Se observó que, el 13,04% de las respuestas incorrectas portuguesas y el 44,44% de las respuestas incorrectas españolas al ítem 32c, corresponden a los alumnos que no utilizan la derivada pero sí, la Tasa de Variación Media intuitiva y presentan errores debidos a la no determinación del valor correcto del volumen en el instante inicial, 159

160 ésto es, calcularan sólo en vez de concluyendo así, incorrectamente, que a los 10 segundos el grifo arroja más agua por segundo. Un alumno apenas observó que la variación seria siempre de +2 y respondió correctamente sin recurrir a la derivada. Otra respuesta diferente de la habitual fue la siguiente: La función es afín por tanto crece proporcionalmente siendo igual la cantidad de agua que corre por segundo. La gran mayoría de las respuestas incorrectas al ítem 32 (b) son debidas al estudiante por hacer corresponder 60 segundos a 1 hora y no 3600 segundos. En la sección siguiente son presentados cuadros comparativos en cada uno de los países, Portugal y España, donde podemos observar las tablas y gráficos correspondientes a cada una de las conjeturas específicas. 160

161 Análisis de los resultados obtenidos por conjeturas Primera conjetura C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura Portugal España Bloque ítem Aciertos Diferencia 1 94,12% ,24% 30 5,88% 20 86,27% ,59% 31 15,69% 7 35,29% ,65% 26 17,65% 23(b) 15,69% ,73% 3 29,41% Bloque ítem Aciertos Diferencia 1 100,00% ,41% 30 27,59% 20 86,21% ,17% 31 31,03% 7 62,07% ,79% 26 48,28% 23(b) 37,93% 1.4 3,45% 3 34,48% Porcentaje de aciertos - Conjetura 1 - Portugal 100% 80% 60% 94,12% 86,27% 40% 20% 0% 35,29% 5,88% 15,69% 17,65% 29,41% ,69% tarea usual tarea no usual tarea no usual tarea usual 161

162 Porcentaje de aciertos - Conjetura 1 - España 100% 80% 60% 40% 20% 0% 100,00% 86,21% 62,07% 48,28% 37,93% 27,59% 31,03% 34,48% tarea usual tarea no usual tarea no usual tarea usual A la excepción del último bloque, los resultados nos llevan a creer que las técnicas matemáticas portuguesas dependen más fuertemente de la nomenclatura que las españolas, lo que significa que la actividad matemática española es menos rígida que la portuguesa al nivel de la diversidad de nomenclatura. Los resultados en el bloque 1.1. ponen de manifiesto que los estudiantes de España presentan más facilidad que los estudiantes de Portugal en calcular el límite de una sucesión constante relativamente a una variable representada por una letra diferente de la habitual (ítem 30). Es debido a que este contenido no forma parte de ningún de los diseños curriculares y no hay ejercicios de este tipo en los manuales escolares portugueses. Relativamente al bloque 1.4., en ambos países parece no existir dependencia de la nomenclatura para la representación gráfica de una función. Fueron observados otros fenómenos que diferencian la actividad matemática desarrollada en los dos países. Al contrario de España, en Portugal no es frecuente la recurrencia a una tabla de valores para representar gráficamente una función cuadrática pero, por otro lado, los estudiantes portugueses desvalorizan el vértice de la parábola, presentando sólo un esbozo de la misma. Es muy relevante el hecho de que dicho esbozo de una parábola 162

163 es frecuentemente utilizado en Portugal por el profesorado, surgiendo diversas veces en los libros de texto para la resolución de inecuaciones del segundo grado. Segunda conjetura C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado obtenido Portugal bloque ítem Aciertos Diferencia 23a 90,20% ,14% 2 47,06% 12a 25,49% ,53% 12b 1,96% 8 64,71% ,06% 19 17,65% ,55% ,29% 23a 13a 90,20% 80,39% 11 13b 17,65% 45,10% España bloque ítem Aciertos Diferencia 23a 82,76% ,62% 2 24,14% 12a 27,59% ,14% 12b 3,45% 8 41,38% ,03% 19 10,34% ,76% ,72% 23a 13a 82,76% 65,52% 11 13b 0,00% 13,79% Porcentaje de aciertos - Conjetura 2 - Portugal 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 47,06% 90,20% 25,49% 64,71% 1,96% 17,65% 17,65% 90,20% ,10% 80,39% tarea usual tarea no usual tarea no usual tarea usual 163

164 Porcentaje de aciertos - Conjetura 2 - España 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 82,76% 24,14% 3,45% 27,59% 41,38% 82,76% 10,34% 0,00% 13,79% ,52% tarea usual tarea no usual tarea no usual tarea usual De un modo general las diferencias de aciertos en los bloques correspondientes a la segunda conjetura son semejantes en las dos submuestras. El porcentaje de aciertos al ítem 2 en Portugal es casi el doble de España. Los estudiantes portugueses interpretan más fácilmente la derivada como una variación de la función a que se refiere, porque el concepto de derivada es siempre introducido, y trabajado con insistencia, con la tasa de variación media que corresponde a prácticamente el Tema II del 11.º año de escolaridad, como podemos constatar en el diseño curricular portugués. Es de referir la gran dificultad del alumnado de España en interpretar físicamente la derivada con el 0% de aciertos al ítem 11. A pesar de que la Interpretación física de la derivada consta en el diseño curricular del segundo curso de Matemáticas del bachillerato español. No tenemos datos relativos al número de ejercicios presentes en los manuales escolares de España que contemplan esta interpretación. 164

165 Tercera conjetura C3. A cada tarea está asociada una técnica privilegiada Portugal bloque ítem Aciertos Diferencia 23a 90,20% ,25% 21 52,94% 24 92,16% ,57% 5 70,59% 14a 60,78% ,41% 14b 31,37% 9 33,33% 3.4 5,88% 27 27,45% España bloque ítem Aciertos Diferencia 23a 82,76% ,31% 21 3,45% 24 96,55% ,03% 5 65,52% 14a 62,07% ,83% 14b 17,24% 9 24,14% ,24% 27 6,90% Porcentaje de aciertos - Conjetura 3 - Portugal 100% 80% 60% 40% 20% 0% 90,20% 92,16% 70,59% 60,78% 52,94% 33,33% 31,37% 27,45% tarea usual tarea no usual tarea no usual tarea usual 165

166 Porcentaje de aciertos - Conjetura 3 - España 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 96,55% 82,76% 65,52% 62,07% 24,14% 3,45% 17,24% 6,90% tarea usual tarea no usual tarea no usual tarea usual Relativamente al bloque 3.1., la diferencia de aciertos es muy superior en España que en Portugal, debida al 52,94% de aciertos portugueses al ítem 21 (tarea no usual) contra 3,45% de aciertos con la muestra española. Este hecho pone de manifiesto que los estudiantes de Portugal presentan más facilidad en determinar la derivada geométricamente que los alumnos de España. La interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto, es una tarea frecuentemente explorada por los estudiantes portugueses, correspondiendo a 80 ejercicios de determinación de la derivada de una función en un punto contabilizados en los manuales escolares portugueses. A pesar de que el porcentaje de aciertos portugueses al ítem 14b es casi el doble del porcentaje de aciertos españoles, en los manuales escolares portugueses no hay ejercicios relacionados con este tipo de tarea, ni el contenido es contemplado en los diseños curriculares. En el bloque 3.4., los estudiantes portugueses manifiestan tener más facilidad en resolver gráficamente una inecuación de segundo grado que los españoles, 166

167 correspondiendo a los aciertos al ítem 27. Este resultado está plenamente de acuerdo con la proporción de ejercicios referentes a la Resolución gráfica de una inecuación cuadrática o grado superior a 2 y a la Resolución algebraica del mismo tipo de inecuación que es de 33/28 en los manuales portugueses y de 4/25 en los manuales españoles. Cuarta conjetura C4. No ocurre reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa Portugal bloque ítem Aciertos Diferencia 22 66,67% ,53% 4 43,14% 6 13,73% ,76% 25 1,96% ,27% ,73% 4.5-3,92% b 88,24% 19,61% 15,69% ,96% 33,33% 19,61% España bloque ítem Aciertos Diferencia 22 51,72% ,93% 4 13,79% 6 27,59% ,59% 25 0,00% ,69% 4.4 0,00% ,59% b 20,69% 37,93% 37,93% ,00% 37,93% 10,34% 167

168 Porcentaje de aciertos - Conjetura 4 - Portugal 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 43,14% 66,67% 13,73% 1,96% 1,96% 88,24% 33,33% 19,61% ,61% 15,69% tarea usual tarea no usual tarea no usual tarea usual Porcentaje de aciertos - Conjetura 4 - España 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 13,79% 51,72% 27,59% 0,00% 0,00% 20,69% 37,93% 37,93% 37,93% ,34% tarea usual tarea no usual tarea no usual tarea usual 168

169 En los bloques 4.1. y 4.2. las diferencias son menores en Portugal que en España. Este acontecimiento está de acuerdo con las distintas razones de ejercicios referentes a este tipo de tareas presentes en los libros de texto portugueses y españoles. Relativamente al bloque 4.1., la proporción de ejercicios referentes a la tarea inversa y a la directa es de 28/78 en los manuales portugueses y de 29/237 en los manuales españoles. Por eso los estudiantes de Portugal revelan más facilidad en determinar una ecuación polinómica dadas las raíces que los de España. Además, consta en el diseño curricular portugués del bachillerato la descomposición de polinomios en factores fuertemente trabajada en el Tema II del 10.º ano. El currículo de Galicia sólo hace referencia al estudio de las funciones polinómicas, sin especificar la descomposición. Relativamente al bloque 4.2., la proporción de ejercicios referentes a la tarea inversa y a la directa es de 2/150 en los manuales portugueses y de 1/516 en los manuales españoles. La tarea de determinar un sistema de ecuaciones lineales a partir de sus soluciones no forma parte de los diseños curriculares. En el bloque 4.3. observamos una gran discrepancia de la diferencia de aciertos en Portugal en relación a España. Esta divergencia se debe al elevado porcentaje de respuestas correctas al ítem 10 asociado a una tarea muy familiar a los alumnos portugueses dados dos puntos, escribir la ecuación de la recta que pasa por ellos estudiada en los dos primeros temas del 10.º año. La Geometría Analítica destaca la determinación de las ecuaciones de la recta y el tema de Funciones y gráficos retoma la dicha tarea. Las diferencias negativas en el bloque 4.4. y 4.5. revelan que los portugueses realizan con más facilidad las tareas inversas que las tareas directas. Las proporciones de ejercicios referentes a las tareas inversas y directas son de 27/88 y de 59/212 en los manuales portugueses, respectivamente para el bloque 4.4. y 4.5. Esta comparación nos lleva a creer que, relativamente a la inversión de técnicas, la actividad matemática estudiada en la escuela portuguesa es menos rígida que la desarrollada en la escuela española. 169

170 Quinta conjetura C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización Portugal España Problemas 5.1. Construcción del modelo ítem % aciertos Porcentajes 15a 25,49% Porcentajes 15b 37,25% Func.polinómicas 18 23,53% Func. polinómicas 32a 47,06% Func. a trozos 33 1,96% Media 27,06% Problemas ítem 5.2. Manipulación del modelo % aciertos Derivadas 16b 15,69% Derivadas 32c 27,45% Func. polinómicas 32b 45,10% Media 29,41% Problemas 5.3. Construcción y manip. del modelo ítem % aciertos Porcentajes 15a 25,49% Porcentajes 15b 37,25% Func. polinómicas 18 23,53% Func. polinómicas 32a 47,06% Funciones a trozos 33 1,96% Derivadas 16b 15,69% Derivadas 32c 27,45% Func. polinómicas 32b 45,10% Media 27,94% Problemas 5.1. Construcción del modelo ítem % aciertos Porcentajes 15a 27,59% Porcentajes 15b 31,03% Func.polinómicas 18 17,24% Func. polinómicas 32a 58,62% Func. a trozos 33 6,90% Media 28,28% Problemas 5.2. Manipulación del modelo ítem % aciertos Derivadas 16b 6,90% Derivadas 32c 24,14% Func. polinómicas 32b 31,03% Media 20,69% Problemas 5.3. Construcción y manip. del modelo ítem % aciertos Porcentajes 15a 27,59% Porcentajes 15b 31,03% Func. polinómicas 18 17,24% Func. polinómicas 32a 58,62% Funciones a trozos 33 6,90% Derivadas 16b 6,90% Derivadas 32c 24,14% Func. polinómicas 32b 31,03% Media 25,43% 170

171 Medias de porcentaje de aciertos - Portugal - 100,00% 80,00% 60,00% 40,00% 20,00% 0,00% 29,41% 27,06% 27,94% manipulación Construción construción + manipulación Medias de porcentaje de aciertos - España - 100,00% 80,00% 60,00% 40,00% 20,00% 20,69% 28,28% 25,43% 0,00% Manipulación Construción Construción + Manipulación Después de analizar las tablas y observar los gráficos concluimos que las medias de porcentajes de respuestas correctas a los ítems relacionados con problemas de modelización toman valores muy reducidos, inferiores al 30% del alumnado que constituyen las submuestras. Estos resultados llevan a creer que los estudiantes no 171

172 dominan este tipo de problema, revelan dificultades en la interpretación del enunciado que traduce una situación extramatemática y cotidiana. También fue revelado anteriormente que los problemas que requieren la construcción y manipulación de un modelo no son frecuentes en los manuales escolares, por esa razón, los alumnos no están naturalmente acostumbrados a estas cuestiones. Este estudio exploratorio permitió analizar los resultados al cuestionario de dos muestras de estudiantes distintas: una relativa a los estudiantes portugueses de la Enseñanza Secundaria y otra relativa a los estudiantes del primer año de la Enseñanza Universitaria española. Después de efectuar una comparación de los resultados obtenidos en las dos submuestras podemos concluir que, alumnos con culturas, sociedades, tradiciones distintas y también, niveles de enseñanza diferentes manifiestan el mismo comportamiento al contestar un cuestionario con varios ítems referentes a la incompletitud y atomización de ciertas organizaciones matemáticas. El comportamiento similar de los estudiantes que constituyen las dos submuestras nos lleva a creer que el tipo de actividad matemática que se propone en Portugal y en España es muy próxima. Surgió otra conclusión delante de los resultados de este estudio exploratorio: - 6 años después de la presentación de la tesis de Cecilio Fonseca se verifica que la situación de las matemáticas en España tiende a retroceder, ya que los resultados de este estudio fueron peores que el estudio efectuado hace 6 años atrás. Ocurre que, actualmente, las universidades españolas de las Matemáticas están muy preocupadas con el paso de la Enseñanza Secundaria a la universitaria, porque los alumnos manifiestan falta de autonomía al resolver cuestiones diferentes de las propuestas habitualmente. 172

173 Síntesis Iniciamos la presente investigación estudiando la forma como la Didáctica contesta el problema de la desarticulación de las matemáticas en varios niveles de la enseñanza y la transposición de un nivel a otro. Después de tener conocimiento de los diversos modelos teóricos, nos concentramos en el estudio de la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Efectuamos un estudio exploratorio paralelo en Portugal y España sobre la forma de un cuestionario con diversos ítems. Por otro lado fue analizada una muestra de libros de texto del área de las Matemáticas con el intento de verificar si las tareas en que el alumnado manifestó más dificultad al contestar el cuestionario están o no presentes frecuentemente en los manuales escolares. Concluimos que hay una relación directa entre la baja frecuencia de determinadas tareas en los libros de texto y el bajo porcentaje de respuestas correctas de los estudiantes de las submuestras a los ítems relacionados con las mismas tareas. En el primer aspecto de la rigidez de las matemáticas en la Enseñanza Secundaria concluimos que las técnicas que se utilizan dependen fuertemente de la nomenclatura, porque basta modificar en el cuestionario la letra representativa de la incógnita por una menos habitual para que el número de respuestas incorrectas y en blanco de los estudiantes aumentar considerablemente. También verificamos que los resultados obtenidos en la primera conjetura están de acuerdo con la escasez de ejercicios propuestos en los libros de texto que permiten que el alumno manipule una determinada técnica utilizando nomenclaturas no usuales. De este modo, concluimos que las técnicas matemáticas se tienden a identificar con los objetos ostensivos (símbolos, palabras y gráficos) que se utilizan para describirlas y para aplicarlas. Esta uniformidad en la nomenclatura y la poca variedad de tareas relativas a una determinada organización matemática provocará un gran obstáculo para el alumnado de Matemática en el primer año de la Universidad, una vez que, los estudiantes normalmente presentan una gran dificultad en la parte algebraica de las matemáticas. Enseguida observamos un segundo aspecto de la rigidez de las organizaciones matemáticas relacionado con el hecho de que el conjunto de normas que regulan la 173

174 distribución de responsabilidades entre el profesor y los estudiantes de Secundaria no incluye la responsabilidad de interpretar el resultado obtenido después de aplicar una determinada técnica matemática. Tal como en la tesis de Cecilio Fonseca, los resultados obtenidos en los dos estudios exploratorios muestran que el alumnado manifiesta dificultades en las tareas en que interviene el bloque tecnológico-teórico en particular, en la interpretación de la actividad matemática. Los datos apoyan la hipótesis H(S) según la cual la actividad matemática que se lleva a cabo en Secundaria es esencialmente práctico-técnica y raramente alcanza el nivel tecnológico. Por otro lado, los datos que nos proporcionan los libros de texto en relación con la segunda conjetura confirman que en Secundaria no existen, prácticamente, tareas institucionalizadas que tengan por objetivo interpretar el funcionamiento o el resultado de una técnica. Surgió un tercero aspecto de la rigidez de las praxeologías que se resume en la existencia de una única técnica privilegiada asociada a cada tarea matemática de Secundaria. Significa que el contrato didáctico de este nivel de enseñanza no permite que el alumnado tenga la responsabilidad de decidir, de entre las diversas técnicas útiles para resolver una tarea, cuál es la más económica o la más fiable. Este fenómeno provoca la atomización de las diversas tareas, ésto es, existe una asociación de una determinada técnica a cada tipo de tarea. No obstante, en algunos de los ítems del cuestionario presentado a los estudiantes, se verificó varias veces que las técnicas utilizadas no eran las más adecuadas, condicionando a los alumnos a no presentar en sus respuestas puntos fundamentales originando así respuestas incompletas. Por ejemplo, a pesar de que el alumnado sabe determinar máximos y mínimos de una función por la técnica de la derivada, no hace ninguna referencia a esta técnica para calcular las coordenadas del vértice de una parábola. Esto ocurre probablemente, porque el profesor cuando presenta un nuevo contenido de una organización matemática no recupera las técnicas anteriores para efectuar una comparación de costes y eficacia de las diversas técnicas que permiten concluir una determinada tarea. En varios casos, para solucionar una determinada tarea, el hecho es que los estudiantes no utilizaron la técnica con menor coste provocó errores de cálculo y respuestas incorrectas. Así, muchas de las técnicas matemáticas que se utilizan en Secundaria tienen un carácter naturalizado y auto-tecnológico, ésto es, no existe 174

175 un momento en que el estudiante pueda cuestionar la eficacia de la técnica que va a utilizar y manipular para resolver la tarea propuesta por el profesor. Los datos empíricos extraídos de los manuales escolares permiten explicar porqué los alumnos no comparan nunca el coste de dos técnicas diferentes para decidir cuál es la más adecuada en cada caso, además de que, es una actividad prácticamente ausente de los manuales escolares. Observamos también que no forma parte de la responsabilidad matemática del alumno invertir una técnica para resolver la tarea inversa. Los enunciados referentes a tareas no habituales representan una gran dificultad para el estudiante. Basta cambiar, por ejemplo, la determinación de las soluciones de una ecuación por la determinación de la ecuación conociendo las soluciones para que el número de respuestas correctas decrezca. Esta ausencia de inversión de las técnicas representa el cuarto aspecto de la rigidez de las organizaciones matemáticas de Secundaria. Otra vez podemos verificar que los datos empíricos extraídos de los manuales escolares permiten percibir la razón por la cual los alumnos no invierten una técnica matemática cuando se les propone la tarea inversa. Por último fue observada la baja frecuencia de situaciones de modelización en los libros de texto y, consecuentemente, dificultad del alumnado constituyente de la muestra en contestar este tipo de cuestiones que envuelven construcción y manipulación de modelos que traduzcan situaciones reales. Esta observación representa el quinto aspecto de la rigidez de las matemáticas de la Enseñanza Secundaria. Uno de los principales indicadores del grado de completitud de una OML lo constituye la existencia de tareas matemáticas abiertas. Su importancia como indicador de la completitud proviene del hecho de que la existencia de tareas abiertas presupone cierto grado de flexibilidad de las técnicas y, además, presupone que las organizaciones matemáticas puntuales que constituyen la OML en cuestión han alcanzado cierto grado de articulación. No obstante, observando los resultados empíricos tanto de los libros de texto como del cuestionario, concluimos que las OML analizadas no satisfacen completamente uno de los indicadores de completitud. 175

176 Pretendemos en investigaciones futuras verificar si la desarticulación en el carácter de las matemáticas es sólo un problema de la enseñanza española y portuguesa o sino, por el contrario, es un problema global de la enseñanza de la matemática de varios países y continentes. Las conclusiones de esta investigación llevan a creer que es esencial que sean las propias instituciones docentes las que reconstruyan Organizaciones Matemáticas Locales Relativamente Completas que permitan flexibilizar e integrar las Organizaciones Matemáticas que se estudian en Secundaria. 176

177 Capítulo 4 Conclusiones Problemas abiertos y perspectivas de investigación 177

178 En este trabajo hemos mostrado que la relación personal de los alumnos a las Organizaciones Matemáticas (OM) que se estudian en la Enseñanza Secundaria portuguesa está fuertemente condicionada por la relación institucional a dichas OM y que éstas presentan, en términos generales, un carácter puntual, rígido y aislado en un sentido análogo al descrito en Fonseca (2004) para el caso de Enseñanza Secundaria española. En ambos casos, y a pesar de presentar diferentes tradiciones pedagógicas y otras diferencias culturales y sociales, las OM escolares cumplen en un alto grado las conjeturas que describen el citado carácter puntual, rígido y aislado. Con los datos aportados en este trabajo se tienen nuevas evidencias empíricas para sustentar la hipótesis de que las citadas características de las OM escolares lejos de ser únicamente un conjunto de hechos circunstanciales propios de una institución concreta en un periodo de tiempo determinado, constituyen un fenómeno didácticomatemático, puesto que las mismas presentan una relativa universalidad y permanencia en el tiempo. Ésta era la principal hipótesis de nuestro trabajo que deberé ser corroborada y refinada en futuras investigaciones. Junto a esta conclusión también hemos puesto de manifiesto, aunque de manera secundaria, que algunas de las principales particularidades de las respuestas de los estudiantes portugueses (y que se manifiesta en diferencias cualitativas y cuantitativas de las respuestas de éstos en relación a las de los españoles) están relacionadas con características específicas de los tipos de tareas, técnicas y tecnologías que aparecen en los currículos y los libros de texto portugueses y que difieren claramente de los españoles. Dado que este fenómeno (rigidez, aislamiento y carácter puntual de las OM escolares) está muy relacionado con la desarticulación de la matemática escolar y con la ausencia escolar de la razón de ser de ésta, podemos postular que se trata de un fenómeno didáctico-matemático que dificulta enormemente el que pueda llevarse a cabo en el ámbito de las instituciones escolares una actividad matemática funcional y, en particular, constituye una restricción muy importante que dificulta la existencia de 178

179 actividades matemáticas abiertas y flexibles que requieren de manera esencial la modelización matemática. Como consecuencia de todo ello, vuelve a aparecer un problema de investigación didáctica de gran envergadura que podríamos denominar problema ecológico y que puede formularse brevemente en los siguientes términos: Qué restricciones dificultan o impiden que las Organizaciones Matemáticas escolares se flexibilicen superando las rigideces descritas en Fonseca (2004) y que se han vuelto a poner de manifiesto en las OM que viven en la escuela portuguesa? Qué condiciones y, en especial, qué dispositivos didácticos se deberían instaurar para que fuese posible llevar a cabo una actividad matemática funcional en las instituciones escolares actuales? Qué características debe poseer un Modelo Epistemológico de Referencia (MER) de un ámbito concreto de la actividad matemática para sustentar dichos dispositivos didácticos? En alguna forma dicha cuestión ya se planteó en Fonseca (2004) dándose al final del mismo una respuesta tentativa y provisional. Dicha respuesta puede resumirse en dos condiciones principales que debería cumplir un dispositivo didáctico para poner en marcha una actividad matemática funcional: (a) Partir de una cuestión matemática o extra-matemática (que acabará siendo la razón de ser de la OM que se construirá) suficientemente rica como para generar nuevas cuestiones y, a su vez, suficientemente potente como para requerir como respuesta toda una OM local relativamente completa. (b) Diseñar y gestionar un nuevo dispositivo didáctico en el que pudiese vivir con normalidad el momento del trabajo de la técnica, puesto que el desarrollo de las técnicas matemáticas (cuando está adecuadamente dirigido) es un instrumento esencial para el desarrollo y la flexibilización de las praxeologías y, en definitiva, una condición necesaria para llevar a cabo una actividad matemática funcional. Muchos de los trabajos que se han llevado a cabo desde 2004 hasta nuestros días en el ámbito de la TAD han insistido en esa misma dirección proponiendo ingenierías 179

180 matemáticas que han permitido dar respuestas parciales y provisionales al gran problema ecológico enunciado. A continuación esquematizaremos muy brevemente algunas de las líneas de investigación de nuestro grupo de trabajo, en el ámbito de la TAD, que cristalizaron en sendos trabajos de tesis doctoral y que constituyen antecedentes del trabajo que proponemos como continuación del que aquí estamos presentando. 1. La modelización como instrumento de articulación de la matemática escolar. De la proporcionalidad a las relaciones funcionales 11 Los primeros trabajos que relacionan explícitamente la desarticulación con la modelización matemática se refieren a la desarticulación de la geometría escolar y, en particular, con el estudio de la incidencia del autismo temático sobre dicha desarticulación (Gascón 2003c; García et Alt. 2006). En el caso de la proporcionalidad este punto de vista requiere cuestionar el modelo epistemológico de la proporcionalidad que se desprende de los libros de texto y del diseño curricular y que, por tanto, es el dominante en la institución escolar y acaba siendo asumido implícitamente (y de manera acrítica) por la inmensa mayoría de las investigaciones en este campo. El cuestionamiento de dicho modelo ha conducido a discutir abiertamente la posibilidad de tomar el razonamiento proporcional como objeto de estudio en sí mismo. Dado que el aislamiento de la proporcionalidad como ámbito de investigación se corresponde con la distribución tradicional de la matemática escolar (en temas, sectores y áreas) impuesta por los programas oficiales, la tesis también cuestiona el criterio que guía dichos programas para aislar la relación funcional de proporcionalidad y sugiere alternativas. De este doble cuestionamiento, que pone en tela de juicio la pertinencia de aislar la proporcionalidad como objeto de investigación y como objeto matemático a enseñar, 11 Esta línea de investigación culminó en la tesis doctoral de Francisco Javier García (2005). 180

181 surge otra de las principales aportaciones de esta línea de investigación: el problema didáctico de la proporcionalidad debe ser integrado en el estudio mucho más comprensivo del problema de la enseñanza-aprendizaje de las relaciones funcionales entre magnitudes. La respuesta que se propone al problema didáctico planteado se materializa en el diseño y experimentación con alumnos de cuarto de ESO de un Recorrido de Estudio e Investigación (REI) (Chevallard 2005, 2006) generado por una cuestión relativa a los posibles Planes de Ahorro. Dicho REI se sustenta y articula a partir de un Modelo Epistemológico de Referencia (MER) que al integrar la proporcionalidad como una más de las relaciones funcionales entre magnitudes constituye una alternativa al modelo epistemológico dominante en las instituciones escolares actuales. 2. El caso de los Sistemas de Numeración 12 En el caso de los Sistemas de Numeración se parte de una cuestión generatriz que pretende indagar cuáles son las características que cumple nuestro sistema de numeración (posicional completo) para que se haya impuesto de manera absoluta sobre todos los que han existido a lo largo de la historia (cosa que no ha sucedido, por ejemplo, con las lenguas). Se diseñó y experimentó con estudiantes de Magisterio y, paralelamente, con estudiantes de cuarto curso de la ESO, un proceso de estudio en el que la reconstrucción del sistema de numeración posicional completo se obtenía como el resultado final de una sucesión creciente de OM que abarcan tipos de problemas cada vez más amplios y técnicas progresivamente más potentes. q OM i OM a OM h OM p En este esquema del Modelo Epistemológico de Referencia de los Sistemas de Numeración, q representa la citada cuestión generatriz, OM i la Organización Matemática inicial que o bien dispone de un solo símbolo o bien de infinitos símbolos (uno para cada número natural). Las tres últimas Organizaciones Matemáticas son, 12 Esta línea de investigación ha dado origen al trabajo de tesis doctoral de Tomás Ángel Sierra (2006). 181

182 respectivamente, OM desarrolladas entorno a: un sistema de numeración aditivo (OM a ), un sistema de numeración híbrido (OM h ) y un sistema de numeración posicional (OM p ). Cada una de estas OM intermedias constituye un eslabón del esqueleto matemático y puede considerarse como una respuesta parcial y provisional (que se completa relativamente en la siguiente OM de la cadena) a la cuestión generatriz. El objetivo del proceso didáctico no puede reducirse en ningún caso a la OM p finalmente construida (que no es otra que la OM en torno a al sistema de numeración posicional completo) sino que debe abarcar todo el recorrido de estudio puesto que las OM intermedias son las que motivan y dan sentido a la OM final. 3. Ecología de la Modelización Matemática en la Enseñanza Universitaria de las Matemáticas 13 Dado un programa oficial de estudios propuesto en una institución docente determinada y descrito en términos clásicos, esto es, mediante temas (que contienen definiciones, teoremas, demostraciones y algunos tipos de problemas), cómo diseñar un proceso de estudio que permita articular en una OM suficientemente comprensiva y relativamente completa las OM puntuales y bastante rígidas que aparecen aisladas en el programa en cuestión? Después de reformular el problema docente de la enseñanza de las matemáticas en CCEE en términos de articulación y funcionalidad de la matemática enseñada para que ésta pueda utilizarse como herramientas para dar respuesta a cuestiones problemáticas dentro de las CCEE, se plantea una segunda reformulación en la que la modelización, en sentido clásico, juega un papel central: cómo conseguir que las matemáticas se enseñen como una herramienta de modelización de situaciones o hechos científicos, de tal forma que la enseñanza globalmente considerada no se organice en función de los contenidos matemáticos sino de los problemas o proyectos que los estudiantes deben realizar? 13 Esta línea de investigación ha dado origen al trabajo de tesis doctoral de Berta Barquero (2009). 182

183 Pero la formulación del problema en el ámbito de la TAD requirió, además, una redefinición de la noción de modelización matemática para integrarla en el modelo epistemológico de las matemáticas que propone la TAD y una ampliación del espacio institucional tradicionalmente reservado a la didáctica de las matemáticas a fin de subrayar la dimensión ecológica del problema: (a) Qué condiciones se requieren y qué restricciones dificultan o impiden que las OM se enseñen, aprendan, estudien y utilicen como herramientas de modelización en los actuales sistemas de enseñanza de las matemáticas para CCEE? (b) Qué tipo de OD posibilitarían una integración global (más allá de una experimentación local) de la modelización matemática (interpretada como la TAD propone) en los citados sistemas de enseñanza? Cuál es la ecología de estas organizaciones didácticas? Para empezar a responder al problema didáctico así planteado hemos llevado a cabo un estudio empírico muy amplio diseñando y experimentando a lo largo de cuatro cursos académicos tres REIs que cubrían con creces el programa habitual de matemáticas de un primer curso de Ciencias Experimentales en las Universidades españolas. Dichos REIs se sustentan en un Modelo Epistemológico de Referencia construido explícitamente y estructurado en términos de una red de cuestiones y respuestas que dan origen a una arborescencia de OM cada vez más amplias y completas. 4. Iniciación escolar al álgebra elemental y su articulación con la modelización funcional 14 Después del trabajo de tesis de Javier García (2005) surgió la necesidad de estudiar el problema ecológico de la modelización funcional lo que requirió, a su vez, la elaboración previa de un MER de dicho ámbito de la matemática escolar (situado, en el caso de España, en el nivel de Bachillerato, esto es, para alumnos de entre 16 y 18 años). Al abordar el correspondiente problema de ingeniería didáctica mediante el 14 Esta línea de investigación ha dado origen al trabajo de tesis doctoral en fase de finalización de Noemí Ruiz Munzón que se presentará en el año 2010 en el Departamento de Matemáticas de la Universitat Autònoma de Barcelona. 183

184 diseño y experimentación de un proceso de estudio en el que la modelización funcional era imprescindible, aparecieron múltiples restricciones institucionales entre las que destaca el carácter prealgebraico de la matemática escolar (Ruiz Munzón et Alt. 2007a, 2007b). Reaparecía así el problema, en cierto sentido previo, de la necesaria introducción temprana del álgebra elemental que aunque había sido descrito y analizado en la tesis de Pilar Bolea, no había sido tratado en su totalidad. Fue necesario diseñar un MER capaz de articular globalmente la introducción del álgebra elemental en los primeros cursos de la ESO (12-14 años), lo que incluye el lenguaje algebraico y los números negativos (Bolea & Cid 2007), con el desarrollo del instrumento algebraico en la segunda etapa de la ESO (14-16 años) y con la modelización funcional en el Bachillerato (16-18 años). Dicho MER se formuló en términos de una sucesión de OM cada vez más amplias y completas de tal manera que cada una de las OM que aparecen puede considerarse como un modelo matemático de la anterior (Ruiz Munzón et Alt. to appear). La experimentación de sucesivos procesos de estudio con estudiantes de todos los cursos de la ESO y del Bachillerato ha puesto de manifiesto que es posible introducir de manera funcional (en contraposición a la habitual introducción puramente formal) el lenguaje algebraico en los primeros cursos de la ESO y que dicha introducción da sentido a las progresivas etapas de algebrización de la actividad matemática escolar y permite relacionar adecuadamente el álgebra escolar con el lenguaje (y la modelización) funcional. Surgen algunos problemas abiertos a partir de la investigación que hemos presentado en esta memoria: La desarticulación curricular que se pone de manifiesto en este trabajo es un problema que solo abarca a la actividad matemática institucional española y portuguesa o estamos ante un proceso mucho más global? Para articular y dar sentido a las matemáticas es esencial situar la modelización matemática en el centro del programa? Qué características específicas debería poseer una Organización Didáctica (o proceso de estudio) que permita reconstruir una OMLRC? 184

185 De qué técnicas didácticas dispone el profesor para diseñar y gestionar un tal proceso de estudio? Tanto en Portugal como en España existe un problema bastante complejo que deberá ser bien estudiado que es el conflicto entre el tiempo institucional y el tiempo didáctico. Pretendemos trabajar en el futuro en la creación de una Organización Matemática Local Relativamente Completa (OMLRC) alrededor de la derivada, proponiendo una Organización Matemática distinta de la actual. Pensamos partir de una Organización Matemática Puntual (OMP) y, mediante sucesivos procesos de modelización matemática ir ampliándola progresivamente hasta obtener una OMLRC. La premisa de arranque es la difusión de tareas vivificantes, aquella donde el alumno la asuma con sentido de responsabilidad y que además se comprometa a resolverla. Cuáles serán los mecanismos de búsqueda que debe activar la acción docente para tal propósito? En todas las investigaciones descritas brevemente se ha abordado un aspecto parcial del gran problema ecológico (o, mejor, de la dimensión ecológica de todo problema de investigación didáctica) que hemos citado anteriormente. Todas estas investigaciones presentan en común unos rasgos que pretendemos mantener en nuestra propuesta de investigación futura: (a) Se limita un cierto ámbito de la actividad matemática. (b) Se elige una institución determinada. (c) Se plantean cuestiones específicas relativas a las condiciones que se requieren y a las restricciones que dificultan o impiden que dicho ámbito de la actividad matemática se desarrolle de manera funcional y flexible en la institución en cuestión. (d) Se propone una respuesta parcial y provisional a dichas cuestiones mediante el diseño y la experimentación de un proceso de estudio (que puede tomar o no la forma de Recorrido de Estudio e Investigación) sustentado en un Modelo Epistemológico de Referencia relativo al ámbito matemático en cuestión. Dicho 185

186 MER debe ser construido ex profeso para elaborar dicha respuesta y su elaboración es responsabilidad de la comunidad de investigadores en didáctica de las matemáticas. Éste es el marco en el que situamos el futuro de nuestro trabajo de investigación, con las herramientas que nos proporciona la TAD y en colaboración con la comunidad científica que trabaja en este ámbito. 186

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193 Manuales escolares: Año de escolaridad Título Editorial Año de publicación 7.º Espaço7 Edições Asa º Matemática Dinâmica Porto Editora º EnigMat Edições Asa º Matemática Dinâmica Porto Editora º Matemática em Acção Lisboa Editora º Matemática 9 Porto Editora º Espaço 10 Edições Asa º Matemática A (Funções I) + (Geometria I) Porto Editora º Infinito Areal Editores º Matemática A (Funções II) Porto Editora º Matemática A (Funções III) + (Trigonom) Porto Editora º Infinito Areal Editores

194 Anexos Anexo A Currículos 1. Currículo 3.º ciclo de Portugal En las tablas que se siguen vamos a presentar los tópicos y objetivos específicos para cada área de las matemáticas: Números e Operações, Geometria, Álgebra y Organização e tratamento de dados. Números e operações 194

195 195

196 Geometria 196

197 197

198 198

199 Álgebra 199

200 200

201 Organização e tratamento de dados 201

202 202

203 2. Currículo ESO de España MATERIAS DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA Primer curso Contenidos Bloque 1. Contenidos comunes. Utilización de estrategias y técnicas simples en la resolución de problemas tales como el análisis del enunciado, el ensayo y error o la resolución de un problema más simple, y comprobación de la solución obtenida. Bloque 2. Números. - Divisibilidad de números naturales. Múltiplos y divisores comunes a varios números. Aplicaciones de la divisibilidad en la resolución de problemas asociados a situaciones cotidianas. - Los números negativos. - Fracciones y decimales en entornos cotidianos. - Operaciones con fracciones: suma, resta, producto y cociente. - Elaboración y utilización de estrategias personales para el cálculo mental, para el cálculo aproximado y con calculadoras. - Razón y proporción. Identificación y utilización en situaciones de la vida cotidiana de magnitudes directamente proporcionales. Aplicación a la resolución de problemas en las que intervenga la proporcionalidad directa. - Porcentajes para expresar composiciones o variaciones. Cálculo mental y escrito con porcentajes habituales. Bloque 3. Álgebra. - Empleo de letras para simbolizar números inicialmente desconocidos y números sin concretar. Utilidad de la simbolización para expresar cantidades en distintos contextos. - Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa. Búsqueda y expresión de propiedades, relaciones y regularidades en secuencias numéricas. - Obtención de valores numéricos en fórmulas sencillas. - Valoración de la precisión y simplicidad del lenguaje algebraico para representar y comunicar diferentes situaciones de la vida cotidiana. Bloque 4. Geometría. - Elementos básicos para la descripción de las figuras geométricas en el plano. Utilización de la terminología adecuada para describir con precisión situaciones, formas, propiedades y configuraciones del mundo físico. - Análisis de relaciones y propiedades de figuras en el plano: paralelismo y perpendicularidad. Empleo de métodos inductivos y deductivos para analizar relaciones y propiedades en el plano. - Construcciones geométricas sencillas: mediatriz, bisectriz. - Clasificación de triángulos y cuadriláteros a partir de diferentes criterios. Estudio de algunas propiedades y relaciones en estos polígonos. Polígonos regulares. La circunferencia y el círculo. Construcción de polígonos regulares con los instrumentos de dibujo habituales. 203

204 - Medida y cálculo de ángulos en figuras planas. Estimación y cálculo de perímetros de figuras. Estimación y cálculo de áreas mediante fórmulas, triangulación y cuadriculación. Simetría de figuras planas. Apreciación de la simetría en la naturaleza y en las construcciones. Empleo de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. Bloque 5. Funciones y gráficas. - Organización de datos en tablas de valores. - Coordenadas cartesianas. Representación de puntos en un sistema de ejes coordenados. Identificación de puntos a partir de sus coordenadas. - Identificación de relaciones de proporcionalidad directa a partir del análisis de su tabla de valores. Utilización de contraejemplos cuando las magnitudes no sean directamente proporcionales. - Identificación y verbalización de relaciones de dependencia en situaciones cotidianas. - Interpretación puntual y global de informaciones presentadas en una tabla o representadas en una gráfica. Detección de errores en las gráficas que pueden afectar a su interpretación. Bloque 6. Estadística y probabilidad. Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos y diseño de experiencias para su comprobación. Reconocimiento y valoración de las matemáticas para interpretar y describir situaciones inciertas. Diferentes formas de recogida de información. Organización en tablas de datos recogidos en una experiencia. Frecuencias absolutas y relativas. Diagramas de barras, de líneas y de sectores. Análisis de los aspectos más destacables de los gráficos. Segundo curso Contenidos Bloque 1. Contenidos comunes. Utilización de estrategias y técnicas en la resolución de problemas tales como el análisis del enunciado, el ensayo y error o la división del problema en partes, y comprobación de la solución obtenida. Descripción verbal de procedimientos de resolución de problemas utilizando términos adecuados. Interpretación de mensajes que contengan informaciones de carácter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas. Bloque 2. Números. Potencias de números enteros con exponente natural. Operaciones con potencias. Utilización de la notación científica para representar números grandes. Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas. Relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes. Uso de estas relaciones para elaborar estrategias de cálculo práctico con porcentajes. Utilización de la forma de cálculo mental, escrito o con calculadora, y de la estrategia para contar o estimar cantidades más apropiadas a la precisión 204

205 exigida en el resultado y la naturaleza de los datos. Proporcionalidad directa e inversa. Análisis de tablas. Razón de proporcionalidad. Aumentos y disminuciones porcentuales. Resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana en los que aparezcan relaciones de proporcionalidad directa o inversa. Bloque 3. Álgebra. El lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones. Obtención de fórmulas y términos generales basada en la observación de pautas y regularidades. Obtención del valor numérico de una expresión algebraica. Significado de las ecuaciones y de las soluciones de una ecuación. Resolución de ecuaciones de primer grado. Transformación de ecuaciones en otras equivalentes. Interpretación de la solución. Utilización de las ecuaciones para la resolución de problemas. Resolución de estos mismos problemas por métodos no algebraicos: ensayo y error dirigido. Bloque 4. Geometría. Figuras con la misma forma y distinto tamaño. La semejanza. Proporcionalidad de segmentos. Identificación de relaciones de semejanza. Ampliación y reducción de figuras. Obtención, cuando sea posible, del factor de escala utilizado. Razón entre las superficies de figuras semejantes. Utilización de los teoremas de Tales y Pitágoras para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras. Poliedros y cuerpos de revolución. Desarrollos planos y elementos característicos. Clasificación atendiendo a distintos criterios. Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. Volúmenes de cuerpos geométricos. Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes. Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros. Bloque 5. Funciones y gráficas. Descripción local y global de fenómenos presentados de forma gráfica. Aportaciones del estudio gráfico al análisis de una situación: crecimiento y decrecimiento. Continuidad y discontinuidad. Cortes con los ejes. Máximos y mínimos relativos. Obtención de la relación entre dos magnitudes directa o inversamente proporcionales a partir del análisis de su tabla de valores y de su gráfica. Interpretación de la constante de proporcionalidad. Aplicación a situaciones reales. Representación gráfica de una situación que viene dada a partir de una tabla de valores, de un enunciado o de una expresión algebraica sencilla. Interpretación de las gráficas como relación entre dos magnitudes. Observación y experimentación en casos prácticos. Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas. Bloque 6. Estadística y probabilidad. Diferentes formas de recogida de información. Organización de los datos en tablas. Frecuencias absolutas y relativas, ordinarias y acumuladas. Diagramas estadísticos. Análisis de los aspectos más destacables de los gráficos. Medidas de centralización: media, mediana y moda. Significado, estimación y cálculo. Utilización de las propiedades de la media para resolver problemas. Utilización de la media, la mediana y la moda para realizar comparaciones y valoraciones. Utilización de la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar los cálculos y generar los gráficos más adecuados. 205

206 Tercer curso Contenidos Bloque 1. Contenidos comunes. Planificación y utilización de estrategias en la resolución de problemas tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines, y comprobación del ajuste de la solución a la situación planteada. Descripción verbal de relaciones cuantitativas y espaciales, y procedimientos de resolución utilizando la terminología precisa. Interpretación de mensajes que contengan informaciones de carácter cuantitativo o simbólico o sobre elementos o relaciones espaciales. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas. Bloque 2. Números. Números decimales y fracciones. Transformación de fracciones en decimales y viceversa. Números decimales exactos y periódicos. Fracción generatriz. Operaciones con fracciones y decimales. Cálculo aproximado y redondeo. Cifras significativas. Error absoluto y relativo. Utilización de aproximaciones y redondeos en la resolución de problemas de la vida cotidiana con la precisión requerida por la situación planteada. Potencias de exponente entero. Significado y uso. Su aplicación para la expresión de números muy grandes y muy pequeños. Operaciones con números expresados en notación científica. Uso de la calculadora. Representación en la recta numérica. Comparación de números racionales. Bloque 3. Álgebra. Análisis de sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y geométricas. Sucesiones recurrentes. Las progresiones como sucesiones recurrentes. Curiosidad e interés por investigar las regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en conjuntos de números. Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico. Transformación de expresiones algebraicas. Igualdades notables. Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución de problemas mediante la utilización de ecuaciones, sistemas y otros métodos personales. Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. Bloque 4. Geometría. Determinación de figuras a partir de ciertas propiedades. Lugar geométrico. Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras a la resolución de problemas geométricos y del medio físico. Traslaciones, simetrías y giros en el plano. Elementos invariantes de cada movimiento. Uso de los movimientos para el análisis y representación de figuras y configuraciones geométricas. Planos de simetría en los poliedros. Reconocimiento de los movimientos en la naturaleza, en el arte y en otras construcciones humanas. Coordenadas geográficas y husos horarios. Interpretación de mapas y resolución de problemas asociados. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas. Bloque 5. Funciones y gráficas. Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano y de otras materias. Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la gráfica correspondiente: dominio, continuidad, monotonía, extremos y puntos de corte. Uso de las 206

207 tecnologías de la información para el análisis conceptual y reconocimiento de propiedades de funciones y gráficas. Formulación de conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno que representa una gráfica y su expresión algebraica. Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional dadas mediante tablas y enunciados. Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica. Utilización de las distintas formas de representar la ecuación de la recta. Bloque 6. Estadística y probabilidad. Necesidad, conveniencia y representatividad de una muestra. Métodos de selección aleatoria y aplicaciones en situaciones reales. Atributos y variables discretas y continuas. Agrupación de datos en intervalos. Histogramas y polígonos de frecuencias. Construcción de la gráfica adecuada a la naturaleza de los datos y al objetivo deseado. Media, moda, cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones. Análisis de la dispersión: rango y desviación típica. Interpretación conjunta de la media y la desviación típica. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Actitud crítica ante la información de índole estadística. Utilización de la calculadora y la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar cálculos y generar las gráficas más adecuadas. Experiencias aleatorias. Sucesos y espacio muestral. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar. Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. Formulación y comprobación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos. Cálculo de la probabilidad mediante la simulación o experimentación. Utilización de la probabilidad para tomar decisiones fundamentadas en diferentes contextos. Reconocimiento y valoración de las matemáticas para interpretar, describir y predecir situaciones inciertas. Cuarto curso Opción A Contenidos Bloque 1. Contenidos comunes. Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización. Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales, y procedimientos de resolución de problemas con la precisión y rigor adecuados a la situación. Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de carácter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas. Bloque 2. Números. Interpretación y utilización de los números y las operaciones en diferentes contextos, eligiendo la notación y precisión más adecuadas en cada caso. Proporcionalidad directa e inversa. Aplicación a la resolución de problemas de la vida cotidiana. Los porcentajes en la economía. Aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes sucesivos. Interés simple y compuesto. Uso de la hoja de cálculo para la organización de cálculos asociados a la resolución de problemas cotidianos y financieros. Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo. Representación de números en la recta numérica. 207

208 Bloque 3. Bloque Álgebra. Manejo de expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas. Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos. Bloque 4. Geometría. Aplicación de la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras para la obtención indirecta de medidas. Resolución de problemas geométricos frecuentes en la vida cotidiana. Utilización de otros conocimientos geométricos en la resolución de problemas del mundo físico: medida y cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, etc. Bloque 5. Funciones y gráficas. Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados. La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. Estudio y utilización de otros modelos funcionales no lineales: exponencial y cuadrática. Utilización de tecnologías de la información para su análisis. Bloque 6. Estadística y probabilidad. Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico a partir de situaciones concretas cercanas al alumnado. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Uso de la hoja de cálculo. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar. Opción B Contenidos Bloque 1. Contenidos comunes. Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización. Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y procedimientos de resolución de problemas con la precisión y rigor adecuados a la situación. Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de carácter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas. 208

209 Bloque 2. Números. Reconocimiento de números que no pueden expresarse en forma de fracción. Números irracionales. Representación de números en la recta real. Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo. Interpretación y uso de los números reales en diferentes contextos eligiendo la notación y aproximación adecuadas en cada caso. Expresión de raíces en forma de potencia. Radicales equivalentes. Comparación y simplificación de radicales. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos. Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica. Cálculos aproximados. Reconocimiento de situaciones que requieran la expresión de resultados en forma radical. Bloque 3. Álgebra. Manejo de expresiones literales. Utilización de igualdades notables. Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas. Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos. Resolución de inecuaciones. Interpretación gráfica. Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones. Bloque 4. Geometría. Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. Relaciones métricas en los triángulos. Uso de la calculadora para el cálculo de ángulos y razones trigonométricas. Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes. Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes. Bloque 5. Funciones y gráficas. Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados. La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales. Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico. Bloque 6. Estadística y probabilidad. Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias. Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valores atípicos. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar. 209

210 3. Currículo de Bachillerato de Portugal Matemática B Diseño curricular de las Matemáticas para los Cursos Tecnológicos de: Construção Civil e Edificações, de Electrotecnia e Electrónica, de Informática, Mecânica, Química e Controlo Ambiental, Ambiente e Conservação da Natureza, Desporto, Administração, Técnicas Comerciais e Serviços Jurídicos: Distribución de los temas de Matemática B por los tres anos de la Enseñanza Secundaria portuguesa: Matemática B Homologação 01/04/

211 4. Currículo de Bachillerato (Galicia) MATEMÁTICAS I Y II Introducción. Las matemáticas están constituidas en la actualidad por un amplio conjunto de conocimientos surgidos, muchas veces, del trabajo de la humanidad para resolver los problemas que devienen de sus intentos de comprender y modificar la realidad física que la rodea. En un principio las técnicas y procedimientos utilizados sólo tenían sentido pegados a los problemas que resolvían. Fue Pitágoras el primero en considerar el número como un ente digno de estudio per se, separado del uso que podría dársele para contar, medir, calcular o resolver problemas. Este es el paso necesario para dotar a las matemáticas del carácter abstracto e independiente de la realidad física que tienen como ciencia finalizada. Esto no significa que, una vez llegados a este punto, desaparezcan de una vez y para siempre los vínculos de esta ciencia con la parte que atañe a la realidad, pues la historia nos muestra ejemplos de cómo estructuras y teorías matemáticas abstractas, aparentemente desvinculadas de lo real, terminan siendo de gran ayuda para modelar situaciones reales, explicarlas y predecir su comportamiento, utilizando para eso los métodos teóricos inherentes a los modelos. Tampoco debemos olvidar que muchas de las matemáticas que se hacen en la actualidad nacen de los problemas que le formulan las otras ciencias y la tecnología. Esta doble vertiente del saber matemático, su carácter abstracto y el origen físico de muchas de sus teorías, tiene que ponerse de manifiesto en las actividades que desarrollen este currículo. La edad del alumnado de bachillerato y los varios años de contacto con el saber matemático proporcionan una buena base para dar los primeros pasos en el camino del pensamiento científico, donde no sólo seguirá estando presente la intuición, sino también su cuestionamiento, la deducción, la argumentación, la utilización precisa del lenguaje, etc., todo lo que constituye un camino hacia lo formal y lo abstracto. Pero no hay que olvidar que los pasos que se 211

212 den en esta dirección durante toda la etapa deben ser pausados y cortos, sin prescindir nunca de la realidad de la que surge el conocimiento matemático o en la que se aplica. Anexo B Primer Cuestionario 3.3. Primer estudio exploratorio Descripción del primer cuestionario El cuestionario presentado al alumnado fue la traducción para portugués del siguiente: 1. Calcula 2n 8 lim n 3n 2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones: f(x) = 6x 2 +5 g(x) = 6x Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]? 3. Representa gráficamente la función definida por: t(p) = 4 p p Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes: (1, 0), ( 2, 0) y (3, 0). 5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%? 6. Busca dos soluciones del sistema de ecuaciones: 7. Calcula la derivada de la siguiente función: k(x) = 3s x, s R 8. Estudia la continuidad de la función. 2x y 4 0 4x 2y Resuelve la inecuación (x 1) (x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica). 10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos. 212

213 11. La familia de rectas de la forma y = m (m constante arbitraria) pueden caracterizarse por y = 0. Qué interpretación física puede darse a la ecuación anterior? 12. Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función cociente: f(x) / g(x) cuando x tiende a cero. (b) Cuál de las dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta. 13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado son: V ( t) 30 e 1,8 t (a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito (b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión Dada la función: f(x) = (3x - 2) 2 (a) Calcula su derivada. (b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? 15. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: El producto de tres números pares consecutivos es igual a Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas) viene dado por Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población? 17. Resuelve la ecuación x 2-5x + 4 = La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) aparece no siguiente dibujo. Cómo podemos calcular el valor de la derivada en x=1 sin conocer expresión algebraica de la función? 19. En qué puntos la gráfica de la función f(x) = (x 1) (x + 1) (x + 3) corta al eje de las x? 20. Dada la función definida por f(x) = x 2 4x. 213

214 (a) Calcule f (1). (b) Representa gráficamente la función f. 21. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te cuesta la moto. 22. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos ( 1, 3) y (5, 6). 23. Calcula la derivada de la siguiente función h(s) = x 2s (x R). 24. Resuelve la inecuación (x + 4) (x 2) 0 a partir de la gráfica de la función asociada. 25. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos. 26. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2)+ (2x + 4) = 246, x IN 5n Calcula lim. p 2n 28. Resolver la ecuación, donde es la incógnita y es un número real conocido (distinto de cero). Formulario de derivadas Función Derivada, IR Fórmula para la resolución de ecuaciones del segundo grado: 214

215 Agrupamiento de los ítems en conjeturas y bloques Ya que los alumnos sólo disponían de 90 minutos para contestar el cuestionario, optamos por analizar inicialmente cuatro de las cinco conjeturas específicas descritas a prior. Para una mejor visualización y posterior comparación de resultados asociados a cada tipo de tarea fue efectuado un agrupamiento de las cuestiones por las cuatro conjeturas específicas y por contenido (bloque). Conjetura Bloque Ítems correspondientes C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica 1.1. Cálculo de limites 1.2. Álgebra 1.3. Derivación 1.4. Gráficas de funciones 1. Calcula 2n 8 lim n 3n 27. Calcula 5n 1 lim p 2n 17. Resuelve la ecuación x 2-5x + 4 = Resolver la ecuación, donde es la incógnita y es un número real conocido (distinto de cero). 7. Derivar una función respecto a la variable x con un parámetro s. 23. Derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x. 20(b). Representar gráficamente una función cuadrática f(x). 3. Representar gráficamente una función cuadrática t(p) función de p. Conjetura Bloque Ítems correspondientes C2. La aplicación de una técnica en S no incluye la 2.1. Interpretación de la derivada 2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones : f(x) = 6x 2 +5 g(x) = 6x Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]? 20 (a). Dada la función. Calcula f (1). 215

216 interpretación del resultado 2.2. Límites de funciones 2.3. Continuidad 12. Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero. (b) Cuál de les dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta. 8. Estudiar la continuidad de la función. 16. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas) viene dado por 2.4. Derivada y su interpretación física 2.5. Límites y modelización Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población? 11. La familia de rectas de la forma y = m (m constante arbitraria) pueden caracterizarse por y = 0. Qué interpretación física puede darse a la ecuación anterior? 20 (a). Dada la función. Calcula f (1). 13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años 1,8 después de ser lanzado al mercado, son: V ( t) 30e t (a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito. (b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión. Conjetura Bloque Ítems correspondientes C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea 3.1. Derivada: técnica algebraica/geométrica 20 (a). Dada la función. Calcula f (1). 18. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) en x=1 aparece en el siguiente dibujo. Cómo podemos calcular el valor de la derivada en x=1 sin conocer la expresión algebraica de la función? 3.2. Porcentajes 21. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te cuesta la moto. 5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en 216

217 un 18%? 3.3. Derivación 3.4. Inecuaciones y funciones cuadráticas Dada la función: f(x) = (3x - 2) 2. (a) Calcula su derivada. (b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? 9. Resuelve la inecuación (x 1) (x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica). 24. Resuelve la inecuación (x + 4) (x 2) 0 dibujando la gráfica de la función asociada. Conjetura Bloque Ítems correspondientes C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa 4.1. Funciones polinómicas 4.2. Sistemas de ec. lineales 4.3. Sistemas de ecuaciones lineales y geometría analítica 4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes (1, 0), ( 2, 0) y (3, 0). 19. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las x? 6. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y : 2x-y+4=0; -4x+2y-8= Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos ( 1, 3) y (5, 6). 10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos Álgebra elemental 4.5. Funciones 22. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos ( 1, 3) y (5, 6). 15. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: El producto de tres números pares consecutivos es igual a Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN 20 (b). Representa gráficamente la función: f(x) = x 2 4x. 25. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos. 217

218 cuadráticas Descripción de la muestra La muestra es constituida por 47 estudiantes del mismo establecimiento de enseñanza pública, Escola Secundária Gomes de Almeida, situada en Espinho que, actualmente están divididos en dos grupos del último año de bachillerato del siguiente modo: 20 alumnos del Curso Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias que tienen el objetivo de seguir por la área de la Salude en la Universidad. El número de individuos del sexo femenino y masculino es muy semejante. 27 alumnos del Curso Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias que pretenden estudiar las Ingenierías. Es una turma constituida mayoritariamente por individuos del sexo masculino (26 alumnos y 1 alumna). Por la observación del diagrama de dispersión podemos concluir que la distribución de las notas por los alumnos de estas dos turmas es equilibrada, Sin embargo, apenas varía entre 8 y 20 15, lo que significa que el alumnado representativo de la muestra debe estar bien adaptado al sistema de enseñanza: 15 En Portugal la escala de clasificaciones finales en Bachillerato es de 0 a 20. Considerando una clasificación insuficiente cuando es inferior a 10, buena cuando superior o igual a 14 y muy buena cuando superior o igual a

219 Última Classificación final Série1 Linear (Série1) Número de alumnos La estadística efectuada con los dados relativos a la clasificación de Matemática en final del último año del alumnado consultado es presentada en las siguientes tablas: Nota del año anterior Máximo Mínimo Media Mediana Desviación típ ,02 15,00 3,64 N=Nota Frecuencia % N < ,89% 10 <= N < ,53% 14 <= N < ,43% 18 <= N < ,15% Total ,00% Observe-se que apenas 7 alumnos presentaran en el penúltimo año del bachillerato clasificación negativa, aproximadamente 15% de los 47 estudiantes consultados. Nótese también que cerca de 60% alcanzaran una clasificación con distinción: buena o muy buena. En suma, podremos observar mejor estas conclusiones en el siguiente gráfico circular: Classificación del alumnado en año anterior 40% 19% 15% 26% N < <= N <14 14 <= N < <= N <

220 Análisis de los resultados obtenidos por bloques Primera conjetura C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica Bloque Ítems correspondientes Soluciones 1.1. Cálculo de 1. Calcula 2n 8 lim n 3n límites 27. Calcula 5n 1 lim p 2n 5n 1 2n porque la expresión es constante para la variable p. Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico: Respuestas correctas % ítem Blanco Correcto Incorrecto 1 4,26% 87,23% 8,51% 27 29,79% 17,02% 53,19% 100% 80% 60% 40% 20% 0% 87,23% ,02% Bloque Ítems correspondientes Soluciones 1.2. Álgebra 17. Resuelve la ecuación x 2-5x + 4 = 0. x = 4 ; x = Resolver la ecuación, donde es la incógnita y es un número real conocido (distinto de cero). Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico: 220

221 % ítem Blanco Correcto Incorrecto 17 2,13% 95,74% 2,13% 28 51,06% 17,02% 31,91% 100% 80% 60% 40% 20% 0% Respuestas correctas 95,74% 17,02% Bloque Ítems correspondientes Soluciones 1.3. Derivación 7. Derivar una función respecto a la variable x con un parámetro s. k (x) = - 3s x Derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x. h (s) = - x 2s 2 Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa comparación es efectuada de la siguiente forma: Portugal 7. Derivar una función respecto a la variable x con un parámetro s: k(x)= 3s x (s IR) 23. Derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x: h(s) = x 2s (x IR) España 11.b Calcula la derivada de la función k(x)= 3s x (s IR) 27.b Calcula la derivada de la función x h(s) = 2s (x IR) Portugal En ítem blanco incorrectas correctas 7 10,64% 51,06% 38,30% 23 21,28% 59,57% 19,15% España Ítems en blanco incorrectas correctas 11b 18,54% 30,73% 50,73% 27b 28,29% 29,76% 41,95% 221

222 Porcentajes 100% Respuestas correctas Respuestas correctas 80% 60% ,73% 41,95% 40% 20% 0% 38,30% 19,15% b Items 27b La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a los estos dos ítems se nota más en el alumnado portugués que en el alumnado español. Los datos de Portugal ponen de manifiesto que las respuestas correctas del ítem 7 son el doble de las del ítem 26, resultado que refleja el gráfico anterior. Para responder al ítem 7, una gran parte de los alumnos tomaran constante real. como variable y no como una Bloque 1.4. Gráficas de funciones Ítems correspondientes 20(b). Representar gráficamente una función cuadrática f(x). 3. Representar gráficamente una función cuadrática t(p) función de p. Soluciones: Tal como Cecilio Fonseca describe en su investigación, esperamos que los alumnos para representar la función cuadrática, utilicen como una posible técnica, la siguiente: Cálculo del vértice (utilizando la derivada) Determinación de puntos de corte con los ejes ( si existen en el caso del eje x) Intervalos de monotonía (por ejemplo a partir del coeficiente del término de segundo grado) Determinación de algunos valores particulares (por ejemplo un par de valores simétricos respecto al eje de la parábola) 222

223 Porcentajes Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: Portugal 20(b). Representar gráficamente una función cuadrática f(x): 3. Representar gráficamente una función cuadrática t(p) función de p: España 24. Representar gráficamente la función: 6. Representar gráficamente la función: Portugal En ítem blanco incorrectas correctas 20(b) 17,02% 40,43% 42,55% 3 6,38% 38,30% 55,32% España Ítems en blanco incorrectas correctas 24 14,63% 16,10% 69,27% 6 5,85% 24,39% 69,76% 100% 80% 60% 40% 20% Respuestas correctas 42,55% 55,32% Respuestas correctas 69,27% 69,76% % 20(b) 3 Items La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a los estos dos ítems es más notable en el alumnado portugués que en el alumnado español. En ambos países se observa que el porcentaje de respuestas correctas es independiente de la variable porque los estudiantes tienen la misma facilidad en resolver la tarea oficial que una tarea no usual. En Portugal, al contrario de las expectativas, estos resultados son sorprendentes porque el porcentaje de respuestas correctas crece cuando la variable cambia de la habitual letra x a una diferente p, como podemos observar en el gráfico anterior. Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes, observamos que: 223

224 - 65,38% del alumnado que responde correctamente al tercero ítem y 50% del alumnado que responde correctamente al ítem 20(b), para representar gráficamente una función cuadrática no determina el vértice de la parábola, ni determina puntos particulares de la función distintos de los ceros, apenas dibuja un gráfico con la concavidad volteada para abajo y indican las abscisas de los puntos de corte de la función cuadrática. - 50% del alumnado que responde incorrectamente al tercero ítem y 15,79% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 20(b), tiene la respuesta errada porque no indican los valores de los ceros en la gráfica, ni los determinan algébricamente, el que significa que solo presentan correctamente el sentido de la concavidad y los ceros de forma imperceptible, sin cualquier rigor. - En ambos los ítems, de las respuestas incorrectas apenas 1 alumno ha tentado resolver la cuestión utilizando una tabla de valores. Sin embargo, ya que fue solicitado apenas un esbozo o delineación del gráfico, consideré esas respuestas ciertas notando que la técnica utilizada no es la más correcta, porque el vértice es un punto fundamental para describir geométricamente una parábola. Os alumnos a pesar de saberle determinar los extremos de una función, más concretamente el máximo/mínimo de una función cuadrática por la técnica de la derivada no la utilizan. Lo que significa que el profesorado no recupera la técnica de determinar el vértice en la parábola y, consecuentemente, no efectúa una comparación de esta técnica con la técnica de determinar los extremos de una función cuadrática a partir de la derivada. Tal como en Portugal, en España estos resultados no fueron los esperados y Cecilio Fonseca presenta la siguiente justificación en su tesis: Los resultados sorprendentes se explican cuando analizamos las respuestas, observando que la técnica utilizada por la inmensa mayoría de estudiantes es una tabla de valores. De esta forma la dificultad de los ítems pasaba a ser independiente de las variables respectivas y sólo dependía de cálculos algorítmicos. 224

225 Segunda conjetura C2. La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado Bloque Ítems correspondientes Soluciones 2.1. Interpretación de la derivada 2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones : f(x) = 6x 2 +5 g(x) = 6x Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]? La variación es igual en las dos funciones. 20(a). Dada la función (1).. Calcula f Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico: % ítem Blanco Correcto Incorrecto 2 4,26% 51,06% 44,68% 20a 4,26% 95,74% 0,00% 100% 80% 60% 40% 20% 0% Respuestas correctas 95,74% 51,06% 2 20a Como en este caso, el porcentaje de respuestas en blanco es el mismo en ambos los ítems, consecuentemente el porcentaje de respuestas incorrectas decrece al pasar de un ítem a lo otro. Podemos observar que en el ítem 20a el porcentaje de respuestas incorrectas es 0%. Esto significa que el alumnado no tiene dificultades en la aplicación de la técnica: derivar una función polinómica. 225

226 BLOQUE 2.2. Límites de funciones Ítems correspondientes 12. Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero por la derecha. 12(b) Cuál de les dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta. Soluciones La indeterminación de la forma 0/0 se trata habitualmente mediante la técnica de descomposición en factores 16, el que da como resultado f ( x) lim x 0 g( x). El resultado se puede interpretar en términos de comparación de la velocidad de convergencia del numerador y denominador: g(x) tiende más rápidamente a 0 que f(x). Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: Portugal 12. Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero por la derecha. 12(b) Cuál de les dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta. España 7. Las funciones f(x) = 3x 4 + x y g(x) = x x 2 tienden a cero cuando x tiende a cero. (a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero por la derecha. 7(b) Cuál de les dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta. Portugal ítem En blanco incorrectas correctas 12a 25,53% 40,43% 34,04% 12b 27,66% 70,21% 2,13% España Ítems en blanco incorrectas correctas 7a 15,61% 53,66% 30,73% 7b 42,93% 46,34% 10,73% 16 no es utilizada la regla de l Hopital porque, a pesar de algunos profesores la mencionaren no forma parte del currículo portugués. 226

227 Porcentajes Respuestas correctas 100% Respuestas correctas 80% % 40% 20% 0% 34,04% 2,13% 12a 12b a 30,73 Items 7b 10,73 De acuerdo con la previsión, el porcentaje de respuestas correctas en Portugal disminuí abruptamente cuando se pasa de la tarea de calcular el valor de un límite (34,04%) a la tarea de interpretar su valor (2,13%), como podemos observar en el gráfico anterior. Parte del alumnado que responde incorrectamente considera que su respuesta es cierta cuando interpreta el límite de una función del siguiente modo: La función que tiende más rápidamente a cero es la función f, porque presenta grado superior a la función g. O mismo, Ambas tienden a cero al mismo tiempo. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 2.3. Continuidad 8. Estudiar la continuidad de la función. 16. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas) viene dado por Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población? El dominio de f es IR. f es una función continua. Estudiando la continuidad de la función g. No ha desniveles porque es una función continua. Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico: 227

228 Respuestas correctas 80% % ítem Blanco Correcto Incorrecto 8 25,53% 72,34% 2,13% 16 17,02% 8,51% 74,47% 60% 40% 20% 72,34% 8,51% 0% 8 16 Observamos que el 91,49% de los alumnos que constituyen la muestra no contestaron bien el ítem 16 pero, la mayoría hay contestado bien el ítem 8. Después de un análisis cualitativo de las respuestas de Portugal podemos constatar que: Mayoritariamente, los alumnos que responden correctamente al ítem 8 indican que el dominio de la función es IR y completan las respuestas con la siguiente expresión: La función es continua porque es lo cociente de dos funciones continuas. Podemos observar una gran diversidad de respuestas al ítem 16, analizamos las más frecuentes y relevantes: - El 40% de los alumnos que responden incorrectamente refieren que se podría descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio de la monotonía de la función; - El 20% de los alumnos que responden incorrectamente creen que se podría descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio de la derivada de la función; - El 5,71% de los alumnos que responden incorrectamente refieren que se podría descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio del límite de la función; - El 2,86% de los alumnos que responden incorrectamente refieren que se podría descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio de las asíntotas de la función; 228

229 - El 2,86% de los alumnos que responden incorrectamente refieren que se podría descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio de los ceros de la función; - Otros refieren que podría ser analizando el gráfico de la función. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 2.4. Derivada y su interpretación física 11. La familia de rectas de la forma y=m (m constante arbitraria) pueden caracterizarse por y =0. Qué interpretación física puede darse a la ecuación anterior? 20(a). Dada la función. Calcula f (1). La velocidad es cero. El móvil es parado. Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico: % ítem Blanco Correcto Incorrecto 11 19,15% 23,40% 57,45% 20a 4,26% 95,74% 0,00% 100% 80% 60% 40% 20% 0% Respuestas correctas 95,74% 23,40% 11 20a Nótese que el porcentaje de respuestas en blanco e incorrectas disminuí cuando se pasa de la interpretación de la derivada en el contexto físico a un ejercicio mecánico de aplicación de la técnica de derivación de una función polinómica. Con el análisis cualitativo de los cuestionarios notamos algunas de las respuestas incorrectas a la interpretación física de la primera derivada nula: velocidad constante, la derivada es constante, recta horizontal, pendiente es nulo, velocidad media. De las respuestas correctas, registramos las siguientes: velocidad instantánea es cero, la velocidad es nula, lo móvil es parado. 229

230 Bloque Ítems correspondientes Soluciones 2.5. Límites y modelización 13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado, son: V ( t) 30e 1,8 t (a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito. 13(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión. lim 30e t 1,8/t 30e Con el paso del tiempo las ventas se estabilizan alrededor de las 30 mil unidades. Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y su comparación es efectuada de la siguiente forma: Portugal 13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado, son: V ( t) 30e 1,8 t (a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito. 13(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión. España 17. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado, son: V ( t) 30e 1,8 t (a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito. 17(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión. Portugal ítem En blanco incorrectas correctas 13a 14,89% 19,15% 65,96% 13b 31,91% 29,79% 38,30% España Ítems En blanco Incorrectas Correctas 17a 31,22% 17,56% 51,22% 17b 55,12% 13,66% 31,22% 230

231 Porcentajes Respuestas correctas Respuestas correctas 100% 80% 60% 40% 20% 65,96% 38,30% a 51,22 17b 31,22 0% 13a 13b Items La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a los estos dos ítems se manifestó de forma semejante con el alumnado portugués (27,66%) y con el alumnado español (20%). Tal como en el bloque 2.2. (Límites de funciones), en ambos países se observa que el porcentaje de respuestas correctas al ítem que exige la interpretación del límite es inferior al porcentaje de respuestas correctas al ítem en que se pretende que el alumno calcule el límite, lo que nos lleva a creer que los alumnos conocen bien la técnica, pero no saben interpretarla en lo contexto de un problema de modelización. Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes, observamos que, relativamente al ítem 13b, algunos de los buenos alumnos para la interpretación del límite indican: lo máximo de ventas es 30 mil unidades. Tercera conjetura C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea Bloque Ítems correspondientes Soluciones 3.1. Derivada: técnica algebraica/geométrica 20(a). Dada la función. Calcula f (1). 18. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y=f(x) en x=1 aparece en lo siguiente dibujo. Cómo podemos calcular el valor de la derivada en x=1 sin Determinando la pendiente de la recta tangente a la gráfica 231

232 conocer la expresión algebraica de la función? en x=1: Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico: Respuestas correctas % ítem En blanco Correctas Incorrectas 20a 4,26% 95,74% 0,00% 18 27,66% 51,06% 21,28% 100% 80% 60% 40% 95,74% 51,06% 20% 0% 20a 18 Nótese que el porcentaje de respuestas en blanco e incorrectas crece cuando se pasa de la técnica algebraica a la técnica geométrica para determinar la derivada de una función en un punto. Lo que significa que los alumnos manejan mejor la primera técnica que la segunda, el porcentaje de respuestas incorrectas del ítem 20a, correspondiente a la técnica algebraica, es de 0%. Después de efectuar un análisis cualitativo de los cuestionarios registramos algunas observaciones: - El 50% de los estudiantes que responden correctamente al ítem 18 describen el proceso de determinación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1 pero, no calculan su valor. - Obviamente, los restantes 50%, calculan bien el valor de la derivada relacionándolo con el pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 1. Por tanto, si considerásemos las respuestas incompletas no correctas, obtendríamos un porcentaje aún mayor de alumnos que no contestaron bien al ítem 18, pasando a la mitad del porcentaje de respuestas correctas, del 51,06% al 25,53%. 232

233 Sin embargo, optamos por considerar estas respuestas correctas porque, en realidad, en el enunciado del ítem 18, no lo pedimos para calcular el valor de la derivada, sino una forma que permita determinar ese valor. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 3.2. Porcentajes 21. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te cuesta la moto. 5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%? O por la regla de 3 simple, o utilizando proporciones. El número es 0,82. Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: Portugal 21. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te cuesta la moto. España 25. Compras una camisa que marca 4000 ptas. y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te cuesta la camisa. 5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%? 8. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%? Portugal En ítem blanco Incorrectas Correctas 21 0,00% 0,00% 100,00% 5 6,38% 23,40% 70,21% España Ítems En blanco Incorrectas Correctas 25 8,78% 6,34% 84,88% 8 7,80% 28,29% 63,90% 233

234 Porcentajes 100% 80% 60% 40% 20% Respuestas correctas 100,00% 70,21% Respuestas correctas 84,88% 63,90% 25 8 Items 0% 21 5 De acuerdo con la previsión, el porcentaje de respuestas correctas portuguesas disminuye cuando se pasa de la tarea habitual (100,00%) a la tarea asociada a una técnica menos usual (70,21%). La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems se manifestó de forma muy semejante con el alumnado portugués (29,79%) y con el alumnado español (20,98%). Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes al ítem 21, observamos que, mayoritariamente, para la determinación del coste final de la moto, utilizan la técnica aditiva. Nótese que la técnica multiplicativa apenas fue utilizada espontáneamente en el ítem 21 por 2 alumnos de un total de 47 encuestados. BLOQUE 3.3. Derivación Ítems correspondientes Dada la función: f(x) = (3x - 2) 2. (a) Calcula su derivada. 14(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? Soluciones Tenía plena libertada para elegir la técnica. Había que elegir una técnica distinta a la anterior sin necesidad de calcular de nuevo la derivada. Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: 234

235 Porcentajes Portugal 14. Dada la función: f(x) = (a) Calcula su derivada. 5 (3x - 2) 2. 14(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? España 18. Dada la función: f(x) = (a) Calcula su derivada. 5 (3x - 2) 2. 18(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el apartado anterior? Portugal ítem En blanco Incorrectas Correctas 14a 10,64% 40,43% 48,94% 14b 14,89% 61,70% 23,40% España Ítems En blanco Incorrectas Correctas 18a 13,17% 29,27% 57,56% 18b 63,41% 14,63% 21,95% Respuestas correctas Respuestas correctas 100% 80% 60% 40% 20% 48,94% 23,40% ,56% 18a 21,95% 18b 0% 14a 14b Items De acuerdo con la previsión, el porcentaje de respuestas correctas de Portugal disminuye hasta la mitad cuando se pasa de la tarea habitual (48,94%) a la tarea asociada a una técnica diferente de la usual (23,40%). La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems fue menor con el alumnado portugués (25,54%) que con el alumnado español (35,61%). Podemos observar que en ambos países el porcentaje de respuestas correctas al ítem correspondiente a la técnica habitual es superior al doble del porcentaje de respuestas correctas al ítem en que se pretende que el alumno utilice una técnica diferente y menos usual. Según Cecilio Fonseca, para dar respuesta al primer ítem, los estudiantes de España, utilizan, de forma mayoritaria, la derivada de un cociente de funciones y más de la mitad de los alumnos dominan esta técnica. Al analizar cualitativamente las respuestas 235

236 de estos alumnos se verificó que proponen como segunda técnica la derivada de un producto o la utilización de la definición de derivada. Se constató que: - El 21,05% de las respuestas incorrectas al ítem 14(a) corresponden a errores de cálculo. Lo que significa que, si la función considerada fuese, por ejemplo, una función más sencilla para derivar, el porcentaje de respuestas correctas al ítem 14(a) aún seria mayor. Refleja que el alumno no efectúa un cuestionamiento tecnológico y, consecuentemente, lo puede llevar a utilizar técnicas de mayor coste en algunas ocasiones. - El 27,59% de las respuestas incorrectas al apartado (b) corresponden a respuestas incompletas, porque los estudiantes dicen que sabrían calcular la derivada, pero no describen un proceso que permita calcularla. - La técnica de la derivada de la potencia apenas fue utilizada espontáneamente en el apartado (a) por 2 alumnos de un total de 47 cuando es la técnica de menor coste. Observamos que de las respuestas correctas al apartado (b): - El 27,27% corresponden a la técnica derivada del producto por una constante; - El 72,73% corresponden a la técnica derivada por la definición; - El 27,27% corresponden a la técnica derivada de la potencia; Nótese que algunos alumnos presentaran más que una técnica diferente, por esa razón, la suma total es superior a 100%. Apenas un alumno manifestó conocer por lo menos 3 técnicas diferentes, ya que después de responder correctamente a la primera cuestión usando la derivada del cociente, en el apartado (b) presentó la siguiente respuesta traducida: Si, podría calcularla por la definición u entonces transformarla en un producto Apenas un alumno manifestó conocer 4 técnicas diferentes, ya después de responder correctamente a la primera cuestión usando la derivada del cociente, en el apartado (b) presentó la siguiente respuesta traducida: Si, por la derivada de la potencia, en vez de la división pasaríamos a tener una multiplicación, o por la definición 236

237 Bloque Ítems correspondientes Soluciones 3.4. Inecuaciones y funciones cuadráticas 9. Resuelve la inecuación (x 1)(x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica). Por el cuadro de signos: x x x (x-1)(x+3) Resuelve la inecuación (x+4)(x 2) 0 dibujando la gráfica de la función asociada. (-, -3] [1, + ) Por la gráfica: (-, -4] [2, + ) Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: Portugal 9. Resuelve la inecuación (x 1)(x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica). 24. Resuelve la inecuación (x + 4) (x 2) 0 a partir de la gráfica de la función asociada. España 13. Resuelve la inecuación (x 1)(x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica). 28. Resuelve la inecuación (x + 4) (x 2) 0 a partir de la gráfica de la función asociada. Portugal ítem En blanco Incorrectas Correctas 9 21,28% 46,81% 31,91% 24 17,02% 59,57% 23,40% España Ítems En blanco Incorrectas Correctas 13 20,49% 43,41% 36,10% 28 44,88% 31,71% 23,41% 237

238 Porcentajes Respuestas correctas Respuestas correctas 100% % 60% 40% 20% 0% 31,91% 23,40% ,1% 23,41% Items La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems se manifestó de forma muy semejante con el alumnado portugués (8,51%) y con el alumnado español (12,69%). Analizando las tablas verificamos que el número de respuestas en blanco a la cuestión que exigía la utilización de la técnica algebraica es superior en Portugal e inferior en España al número de respuestas en blanco a la cuestión que exigía la utilización de la técnica gráfica. Sin embargo, el porcentaje de respuestas correctas disminuye cuando pasamos de la tarea correspondiente a la técnica algebraica a la correspondiente a la técnica gráfica. De acuerdo con los resultados obtenidos, podemos señalar que existe una diferencia de dominio de técnicas de 8,51% en Portugal, lo que no es una diferencia considerable, por tanto es difícil de denominar un de los procesos por la técnica usual para los alumnos. Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes de Portugal verificamos que: - algunos alumnos cambiaron las técnicas, ésto es, para responder a la cuestión 24 presentan una tabla de signos y en el ítem correspondiente a la tarea inversa de ésta responden con un esbozo del gráfico. - algunos estudiantes presentan la respuesta final correcta, pero no presentan la gráfica, por tanto estas respuestas fueron consideradas incorrectas. - 2 estudiantes, para responder al ítem 24, representaron las dos rectas oblicuas en el mismo referencial y estudiaron el signo por observación del gráfico, respondiendo incorrectamente al final del análisis. 238

239 - el 18,18% de las respuestas incorrectas al ítem 9 corresponden a la no presentación del análisis de la tabla de signos, ésto es, el alumno manifestó conocer la técnica algebraica presentando la tabla, pero no la respuesta final. - el 17,86% de las respuestas incorrectas al ítem 24 corresponden a errores de cálculo o errores en la presentación de la solución. No obstante, el proceso es correcto y conocido por estos estudiantes. Comparando la situación española con la portuguesa, no podemos concluir que los alumnos tienen como técnica dominante la técnica algebraica. Observando las tablas correspondientes a los dos países, es interesante verificar que: - en Portugal, el porcentaje de respuestas en blanco pasa del 21,28% (resolución algebraica) al 17,02% (resolución gráfica). - en España, el porcentaje de respuestas en blanco pasa del 20,49% (resolución algebraica) al 44,88% (resolución gráfica). Cuarta conjetura C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa Bloque Ítems correspondientes Soluciones 4.1. Funciones polinómicas 4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de las x en los puntos siguientes (1, 0), ( 2, 0) y (3, 0). 19. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las x? (x - 1)(x + 2)(x - 3), o bien, x 3-2x 2-5x + 6 (1,0), (-3,0), (-1, 0) Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: 239

240 Porcentajes Portugal 4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes (1, 0), (-2, 0) y (3, 0). 19. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las x? España 4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes (1, 0), (-2, 0) y (3, 0). 23. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las x? Portugal ítem En blanco incorrectas correctas 19 19,15% 29,79% 51,06% 4 53,19% 12,77% 34,04% España Ítems En blanco Incorrectas Correctas 23 14,63% 15,12% 70,24% 4 36,10% 38,54% 25,37% Respuestas correctas 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 51,06% 34,04% Respuestas correctas 70,24% 25,37% 23 4 Items De acuerdo con lo gráfico, el porcentaje de respuestas correctas en Portugal tiene un aumento de, exactamente, 50% cuando se pasa de la tarea inversa (34,04%) a la tarea directa (51,06%). En el análisis de las respuestas de los alumnos de España, fue observado que, para determinar los puntos de corte de una función polinómica presentada en esta forma f(x)=(x 1)(x + 1)(x + 3) en el ítem 23, muchos alumnos primero, multiplican y, después aplican la Regla de Ruffini. En Portugal, este acontecimiento no se verificó, ningún estudiante intentó resolver la cuestión por la Regla de Ruffini pero, por otro lado, el número de respuestas incorrectas y en blanco a este ítem fue mayor en Portugal que en España. Sin embargo, se constató el que, 62,50% del total de respuestas correctas al ítem 19, corresponden a respuestas incompletas, porque los alumnos solo indican las abscisas de los puntos de corte y no las ordenadas. Los restantes 37,50% del total de respuestas 240

241 correctas al mismo ítem indican las abscisas y las ordenadas de los puntos de corte. Como esta incompletitud en las respuestas no es relevante para el presente estudio de la rigidez de las organizaciones matemáticas, manifestando apenas falta de rigor, consideramos estas respuestas incompletas como respuestas correctas. Bloque Ítems correspondientes Soluciones 4.2. Sistemas de ec. lineales 6. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y : Como el sistema es compatible indeterminado se admite como respuesta válida cualquier par de soluciones que verifique una de las ecuaciones. Por ejemplo: y. 22. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos y. - Determinar la ecuación de la recta que pasa en los 2 puntos:. - Escribir una ecuación equivalente a la primera para presentar un sistema compatible indeterminado, por ejemplo: Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: Portugal 6. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y : España 9. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y : 22. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos y. 26. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos y. Portugal En blanco Incorrectas Correctas ítem 6 14,89% 55,32% 29,79% 22 68,09% 27,66% 4,26% España Ítems En blanco Incorrectas Correctas 9 4,39% 40,49% 55,12% 26 66,83% 25,37% 7,80% 241

242 Porcentajes Respuestas correctas Respuestas correctas 100% % 80 55,12% 60% 60 40% 20% 0% 29,79% 4,26% ,80% 9 Items 26 La diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems se manifestó menos acentuada con el alumnado portugués (25,53%) que con el alumnado español (47,32%). En España, este bloque es el que presenta mayor distancia entre los ítems. La tarea directa es resuelta por más de la mitad de los alumnos, sin embargo la tarea inversa es resuelta sólo por un 7,8 % de los alumnos. No obstante, se constató que, el 38,46% del total de respuestas incorrectas al ítem 6, corresponden a respuestas incompletas, porque los alumnos solo indican una solución correcta. Del total de respuestas incorrectas al mismo ítem, el 7,69% clasifican el sistema como imposible y, por tanto, no indican ninguna solución. Observamos que solo un alumno identificó las ecuaciones que forman el sistema como representativas de dos rectas paralelas, justificando que la segunda ecuación se obtiene de la primera multiplicando por el factor -2, sin embargo, ese mismo alumno no fue capaz de indicar dos soluciones del sistema de ecuaciones. Este bloque refleja claramente que la tarea directa forma parte del medio matemático de los alumnos y que no ocurre el mismo con la tarea inversa (que, además, es dejada en blanco por un 66,83 % de los alumnos de España y 68,09% de los alumnos de Portugal). 242

243 Bloque Ítems correspondientes Soluciones 4.3. Sistemas de ecuaciones lineales y geometría analítica 10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos. y x 1 o bien x- 2y Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos ( 1, 3) y (5, 6). - Determinar la ecuación de la recta que pasa en los 2 puntos:. - Escribir una ecuación equivalente a la primera para presentar un sistema compatible indeterminado, por ejemplo: Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: Portugal 10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos. España 14. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos. 22. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos ( 1, 3) y (5, 6). 26. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte como soluciones los puntos y. 243

244 Porcentajes Portugal En blanco Incorrectas Correctas ítem 10 10,64% 6,38% 82,98% 22 68,09% 27,66% 4,26% Respuestas correctas España Ítems En banco Incorrectas Correctas 14 28,29% 21,95% 49,7% 26 66,83% 25,37% 780% Respuestas correctas 100% 80% 60% 40% 20% 0% 82,98% ,26% ,76 7, Items Observamos que, el 33,33% del total de respuestas incorrectas al ítem 10, corresponden a errores de cálculo. Sin embargo, se constató que, el 15,38% del total de respuestas incorrectas al ítem 22, corresponden a respuestas incompletas, porque los alumnos determinan la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos pero, al final sólo presentan una ecuación y no un sistema de dos ecuaciones. BLOQUE 4.4. Álgebra elemental Ítems correspondientes 15. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: El producto de tres números pares consecutivos es igual a Soluciones posibles (2x - 2) 2x (2x + 2) = 1680 (2x ) (2x +2)(2x + 4) = 1680 x par, x(x +2) (x + 4) = Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN La suma de tres números pares consecutivos es igual a 246. Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: 244

245 Porcentajes Portugal 15. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: El producto de tres números pares consecutivos es igual a Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN España 19. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: El producto de tres números pares consecutivos es igual a Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN Portugal En ítem blanco Incorrectas Correctas 15 25,53% 44,68% 29,79% 26 25,53% 40,43% 34,04% España Ítems Blanco Incorrectas Correctas 19 24,88% 39,51% 35,61% 31 56,10% 23,90% 20,00% Respuestas correctas Respuestas correctas 100% 80% 60% 40% 20% 29,79% 34,04% ,61% 20,00% Items 0% Al contrario de las expectativas, el porcentaje de respuestas correctas es muy semejante cuando se pasa de la tarea directa (29,79%) a la tarea inversa (34,04%). Sin embargo, el número de aciertos es un poco superior en las respuestas al ítem 26 que al ítem 15. En este bloque, los resultados obtenidos en Portugal y en España son distintos, ya que, en Portugal el alumnado presenta más dificultades en el ítem correspondiente a la tarea de escribir una expresión presentada en lenguaje natural en lenguaje algebraico y, en España, el alumnado manifiesta tener más dificultades en la tarea inversa correspondiente a: escribir una expresión presentada en lenguaje algebraico en lenguaje natural. 245

246 No obstante, la diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems es más acentuada con el alumnado español (15,61%) de lo que es con el alumnado portugués (4,25%). Además, en la situación portuguesa, este es el bloque en el que se verifica una menor distancia entre los ítems. Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes a estos ítems, observamos que: del total de respuestas correctas al ítem 15, surgió en: - el 7,14% este tipo de respuesta: x par, x(x+2)(x+4)= el 14,28% la respuesta: 2x*2(x+1)*2(x+2)=1680. del total de respuestas incorrectas al ítem 15, observamos que: - es frecuente la respuesta x(x+2)(x+4)=1680 en que los valores representados no son consecutivos, ni pares; - en el 9,52% se verifica este tipo de respuesta: 2x*2(x+2)*2(x+4)=1680 que realmente representa un producto de 3 números pares pero, no consecutivos. BLOQUE 4.5. Funciones cuadráticas Ítems correspondientes 20 (b). Representa gráficamente la función: f(x) = x 2 4x. Soluciones 25. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos. Basta tener en cuenta: el vértice (2,4) o, entonces, los puntos de corte (0,0) y (4,0) 246

247 Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España, vamos presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma: Portugal 20 (b). Representa gráficamente la función: f(x) = x 2 4x. 25. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos. España 24. Representa gráficamente la función: f(x) = x 2 4x. 29. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos. Portugal ítem En blanco Incorrectas Correctas 20b 17,02% 40,43% 42,55% 25 36,17% 36,17% 27,66% España En blanco Incorrectas Correctas 24 14,63% 16,10% 69,27% 29 70,73% 13,17% 16,10% 247

248 Porcentajes Respuestas correctas 100% Respuestas correctas 80% 60% 40% 20% 0% 42,55% 27,66% 20b ,27% 16,10% Items En este bloque, los resultados obtenidos en Portugal y en España son semejantes, ya que, en ambos países el alumnado presenta más dificultades en el ítem correspondiente a la tarea de escribir la expresión algebraica de una función conocida su gráfica, la tarea inversa. No obstante, la diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems es más acentuada con el alumnado español (53,17%) que con el alumnado portugués (14,89%). Al analizar las respuestas de los estudiantes al apartado 20(b) verificamos que estamos delante del mismo problema que en el tercer ítem: los alumnos apenas dibujan los ceros y la concavidad correctamente, no presentan las coordenadas del vértice de la parábola, ni algunos puntos particulares. Este acontecimiento, probablemente es debido al hecho de que le pedimos un esbozo y no la representación gráfica con precisión de la función cuadrática. En el ítem 25, la mayoría de los estudiantes que intentaron resolver utilizaron el proceso de escribir la ecuación de la parábola. De estos alumnos, muchos sólo colocaron bien las coordenadas del vértice y omitieron el valor del coeficiente del término de mayor grado. Uno de los estudiantes intentó escribir la ecuación a través de la descomposición en factores, ya que, los ceros de la parábola son conocidos por observación de la gráfica, así presentó la siguiente respuesta: f(x) = (x-0)(x-4). Sin embargo, como no ha colocado bien el valor de, aunque incompleta, fue considerada incorrecta esta respuesta. 248

249 En la sección siguiente son presentados cuadros comparativos en cada uno de los países, Portugal y España 17, donde podemos observar las tablas y gráficos correspondientes a cada una de las cuatro conjeturas específicas. 17 Estos ítems corresponden al cuestionario completo aplicado en España por Cecilio Fonseca. 249

250 Análisis de los resultados obtenidos por conjeturas Primera conjetura C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura Portugal ítem Aciertos Diferencia 1 87,23% 70,21% 27 17,02% 17 95,74% 78,72% 28 17,02% 7 38,30% 19,15% 23 19,15% 20(b) 42,55% -12,77% 3 55,32% 3 20(b) Aciertos da conjetura 1 0% 20% 40% 60% 80% 100% España tarea usual tarea no usual ítem % Aciertos % Diferencia Aciertos da conjetura ,95 12a 64, , ,56 12a 64, ,56 11a 10,73 27a 11,22 11b 50,73 27b 41,95 30a 33,17 16a 27,32 30b 45,37 16b 40, , ,27 17,07 24,39 7,32-0,49 8,78 5,85 4,88-0, b 30b 16a 30a 27b 11b 27a 11a 21 12a a 1 0% 20% 40% 60% 80% 100% 250

251 Segunda conjetura C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado obtenido Portugal ítem Aciertos Diferencia 20a 95,74% 44,68% 2 51,06% 12a 34,04% 31,91% 12b 2,13% 8 72,34% 63,83% 16 8,51% 72,34% 27,66% 20a 13a 95,74% 65,96% 11 13b 23,40% 38,30% 13b 13a 11 20a b 12a 2 20a Aciertos da conjetura 2 0% 20% 40% 60% 80% 100% España tarea usual tarea no usual % ítem Aciertos Diferencia 2a 48,29 2b 16,1 7a 30,73 7b 10,73 12a 64,88 12b 21,95 15a 60,49 15c 32,2 17a 51,22 17b 31,22 32, ,93 28, b 17a 15c 15a 12b 12a 7b 7a 2b 2a Aciertos da conjetura 2 0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 % 251

252 Portugal Tercera conjetura C3. A cada tarea está asociada una técnica privilegiada ítem Aciertos Diferencia 20a 95,74% 44,68% 18 51,06% ,00% 29,79% 5 70,21% 14a 48,94% 25,53% 14b 23,40% 9 31,91% 8,51% 24 23,40% b 14a a Aciertos da conjetura 3 0% 20% 40% 60% 80% 100% España tarea usual tarea no usual % ítem Aciertos Diferencia 22 44, , , ,9 18a 57,56 18b 21, , ,41 14,63 20,98 35,61 12, b 18a Aciertos da conjetura 3 0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 % 252