El modelo estocástico de Vasicek para la predicción de tipos de interés

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1 MÁSTER UNIVERSITARIO EN DIRECCIÓN FINANCIERA Y FISCAL TRABAJO FIN DE MÁSTER El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés Aplicación al ipo de inerés inerbancario EONIA Direcores: Dr. Juan Carlos Corés López Dra. Ana María Debón Aucejo Auor: Salvador Tamari Ramos Curso Académico: Valencia, Mayo de 213

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5 Índice Resumen... 7 Objeivos del Trabajo Final de Maser... 9 Anecedenes. Siuación acual El papel del ipo de inerés en los mercados financieros Los ipos de inerés a coro a plazo La imporancia de los ipos de inerés en los Mercados Financieros Los derivados financieros El mercado inerbancario La Políica Monearia de la Unión Europea y los inermediarios financieros exisenes Aspecos macroeconómicos Preliminares esocásicos Movimieno browniano o proceso de Wiener Propiedades del movimieno browniano Cálculo de Iô Inegral de Iô y sus propiedades Modelo de ipos de inerés de Vasicek o de regresión a la media Moivación del modelo deerminísico de ipos de inerés Moivación del modelo esocásico de ipos de inerés: El modelo de Vasicek Solución del modelo esocásico de Vasicek de ipos de inerés mediane el cálculo de Iô Propiedades esadísicas del proceso esocásico solución del modelo de Vasicek Propiedades esadísicas Propiedades esadísicas del proceso esocásico solución del modelo de Vasicek Simulación del modelo de Vasicek Simulación por re-escalado del iempo del movimieno browniano Esudio asinóico del modelo de Vasicek Esimación por Máxima Verosimiliud de los parámeros del modelo de Vasicek Modelo de regresión Análisis de residuos Medidas de bondad de ajuse Predicción Simulación mediane méodo Mone Carlo: aplicación al caso del modelo de Vasicek Aplicación y validación del modelo de Vasicek

6 4.1. Aplicación modelo de regresión Aplicación del modelo de Vasicek Validación del modelo de Vasicek Medidas de bondad de ajuse Validación por Inervalos de Confianza Validación de los residuos Predicción... 8 Conclusiones Bibliografía Índice de Tablas Índice de Gráficas Índice de Figuras

7 Resumen Las variaciones de los ipos de inerés ofrecidos por el dinero en bancos y oras enidades financieras afecan direcamene a los mercados bursáiles. Así, por ejemplo, cuando los ipos de inerés suben, se producen bajadas en las coizaciones de las acciones en la bolsa. Esos movimienos decrecienes pueden explicarse por diferenes razones. En primer lugar, los alos ipos de inerés elevan las cargas financieras de las empresas y, por lo ano, empeoran los resulados económicos, lo que provoca un descenso de los dividendos reparidos y de las coizaciones. Asimismo, cuando suben los ipos de inerés aumena la renabilidad de las inversiones en rena fija, como las obligaciones, la deuda pública o los bonos, por ejemplo. Eso provoca un desplazamieno de los inversores hacia los íulos de rena fija, en derimeno de la rena variable, que siempre implica un mayor riesgo. En ercer lugar, los ipos de inerés elevados hacen disminuir el consumo al encarecerse la financiación de las venas a crédio. Eso provoca una disminución de las venas y, por ano, un empeoramieno de los resulados de las empresas, lo que afeca a las coizaciones de las acciones. Desde ese simple razonamieno podemos jusificar la imporancia del esudio de modelos apropiados para modelizar la evolución de los ipos de inerés. En esa memoria esudiaremos y aplicaremos un modelo esocásico para modelizar los ipos de inerés en el coro plazo. Ese modelo, en su primera formulación fue propueso por Vasicek (1977) y perenece a una clase de modelos esocásicos, denominados de un facor. Los modelos de un único facor son represenados por la siguiene ecuación diferencial esocásica: 7

8 dr() = μ(, r())d + σ(, r())dw(), donde µ y σ represenan funciones deerminisas apropiadas, las cuales esán relacionadas con la deriva o endencia y la variabilidad del ipo de inerés, respecivamene, y W() denoa el movimieno browniano o proceso esocásico de Wiener. El modelo de Vasicek asume que el comporamieno de los ipos de inerés iene un comporamieno regresivo hacia un valor fijo que define el valor esable de los ipos de inerés. Dicho modelo es conocido como modelo de regresión a la media. El modelo de Vasicek ha sido uilizado con éxio para modelizar ipos de inerés denominados shor-erm, i.e., en el coro plazo. Eso es debido a que en su puesa en prácica, se requiere la calibración de los parámeros del modelo, y para que las écnicas esadísicas disponibles -ales como el méodo de máxima verosimiliud- puedan aplicarse, la hipóesis de que la volailidad sea consane permie aplicar dichas écnicas saisfacoriamene. Cabe ambién señalar que desde el rabajo pionero de Vasicek se han propueso oros modelos similares para modelizar los ipos de inerés. Sin embargo, hay que subrayar que en muchos casos la formulación de Vasicek sigue siendo válida y, por ano, esando en plena vigencia. Generalizaciones del modelo de Vasicek son: el modelo de CIR (Cox, Ingersoll y Ross) (1985) y el modelo de Hull-Whie (199). La aplicación prácica del modelo de Vasicek se realiza sobre el ipo de inerés EONIA con el objeivo de obener una predicción probabilísica de ese ipo de inerés. EONIA (Euro OverNigh Index Average) es el ipo de inerés medio diario (y por ano a coro plazo) de la Unión Europea, fruo de las operaciones de crédio inerbancarias. Cabe señalar que el desarrollo de esa memoria ha supueso una ampliación de los conocimienos cursados en el Máser de Dirección Financiera y Fiscal, ya que ha exigido una inroducción al cálculo esocásico de Iô. Es por ello, que la primera pare de la memoria esará desinada a inroducir los preliminares esocásicos que requieren para esudiar el modelo de Vasicek y, en la segunda pare se dedica a la aplicación del modelo de Vasicek para predecir el ipo de inerés EONIA. Esa segunda pare del rabajo, requiere del uso de diferenes écnicas esadísicas para realizar adecuadamene la validación de las predicciones. 8

9 Objeivos del Trabajo Final de Maser El principal objeivo de esa memoria es el esudio de écnicas cuaniaivas para la predicción de ipos de inerés a coro plazo, incluyendo su aplicación a un caso prácico. Concreamene, los resulados eóricos que se esudian en ese rabajo se aplican para la modelización y predicción del ipo de inerés diario inerbancario europeo EONIA. Ese índice es uilizado como referencia para la oma de decisiones relaivas a operaciones inerbancarias y de derivados financieros. El mencionado esudio se realizará mediane el modelo de Vasicek pereneciene a la familia de los denominados modelos de un facor. Ese es un modelo de ipo esocásico que requiere del poene cálculo Iô para su resolución. Por ano, es ambién objeivo de esa memoria, el esudio de las herramienas esocásicas perenecienes a dicho cálculo que se necesian para esudiar los modelos de un facor y en paricular, el modelo de Vasicek. Un segundo objeivo de ese rabajo es la puesa en prácica del modelo de Vasicek para modelizar con daos reales el ipo inerbancario EONIA y realizar predicciones probabilísicas. Ello conduce de forma naural al esudio de écnicas esadísicas apropiadas, como los modelos de regresión, el análisis de residuos, consrucción de inervalos de confianza, análisis de la bondad de ajuse, realización de simulaciones y obención de predicciones, que ambién serán uilizados en el desarrollo de ese rabajo. 9

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11 Anecedenes. Siuación acual Como hemos señalado en el Resumen de esa memoria, las variaciones de los ipos de inerés ofrecidos por las enidades financieras afecan direcamene a los mercados bursáiles. Cuando los ipos de inerés aumenan, se producen descensos en las coizaciones de las paricipaciones en los mercados bursáiles. Esos descensos se pueden se producen por diferenes razones. En primer lugar, los alos ipos de inerés aumenan las cargas financieras de las empresas empeorando sus balances, lo que provoca un descenso de los dividendos y de las coizaciones. Cuando los ipos de inerés aumenan, ambién lo hace la renabilidad de las inversiones en rena fija, como por ejemplo, las obligaciones, la deuda pública o los bonos. Eso produce una huida de los inversores hacia los íulos de rena fija. En ercer lugar, los ipos de inerés alos provocan una disminución del consumo al encarecerse la financiación en las venas a crédio. Eso produce una disminución de las venas y, un empeoramieno de los balances de las empresas, afecando negaivamene a las coizaciones de las acciones. Conrariamene, cuando los ipos de inerés bajan, las coizaciones de las acciones ienden a mejorar. Las causas de esa mejoría se deben, básicamene, a res facores. El primero de ellos es que la bajada de los ipos de inerés reduce los coses financieros de las empresas, con lo que ésas mejoran sus resulados económicos y, por ano, pueden reparir más dividendos y las coizaciones de las acciones aumenan. En segundo lugar, si los ipos de inerés se reducen, las inversiones de rena fija ofrecen una menor 11

12 renabilidad. Ese hecho hace más apeecibles las inversiones en rena variable, en derimeno de la rena fija. Por úlimo, los bajos ipos de inerés esimulan la obención de financiación por pare de los consumidores, lo cual eleva las venas a crédio de las empresas y conribuye a mejorar los resulados de ésas. Por esos moivos, cualquier información relaiva a variaciones en los ipos de inerés provoca efecos inmediaos en la dinámica de la Bolsa. Posiblemene, los ipos de inerés son la variable más influyene en que la evolución del mercado sea alcisa o bajisa. El comporamieno de los ipos de inerés iene repercusión no solo en la visión inversora de los pariculares y enidades privadas que acuden a los mercados financieros, sino ambién influyen en las políicas monearias que desarrollan las auoridades que gobiernan en cada país para obener financiación. Las ideas expuesas en el párrafo anerior jusifican la imporancia de esudiar méodos cuaniaivos que raen de modelizar el comporamieno de los ipos de inerés, con objeo de predecir su valor fuuro. Sin embargo, esa area no esá exena de dificulades debido a la volailidad que suele esar asociada al comporamieno de los ipos de inerés. Las finanzas cuaniaivas es un área de gran imporancia en invesigación económica que raa, enre oras cosas, de desarrollar modelos apropiados para los ipos de inerés. Las finanzas cuaniaivas se iniciaron en Esados Unidos en los años seena, cuando algunos inversores comenzaron a uilizar fórmulas maemáicas para la asignación de precios de acciones y bonos. Los primeros modelos coninuos de ipos de inerés se formularon en el marco de la eoría de las ecuaciones diferenciales deerminísicas (véase Aparado 3.1). Ese ipo de modelos posulan un comporamieno esable de los ipos de inerés, y se denominan modelos de ipos de inerés con reversión o regresión a la media. Esa hipóesis es sosenida porque las propias leyes del mercado o las auoridades reguladoras de los mismos, ienden a adopar medidas de forma naural o arificial, respecivamene, para que los ipos de inerés engan un valor esable, ya que, de ellos dependen, como hemos señalado, la dinámica de los mercados. Sin embargo, en la prácica, y de forma más acusada durane los úlimos años, se ha observado una gran volailidad en los ipos de inerés. Eso puede aribuírsele a la gran canidad de facores que deerminan finalmene el valor de un deerminado ipo de inerés. Esos facores en muchos casos pueden considerarse de nauraleza aleaoria. Eso ha conducido a que se reformulasen los modelos clásicos deerminisas por nuevos modelos maemáicos donde se considera la aleaoriedad. La inroducción de esa aleaoriedad se ha realizado formalmene mediane el proceso esocásico de Wiener o ambién llamado movimieno browniano. La consideración de ese nuevo ingrediene, hace que écnicamene el cálculo esocásico clásico sea una herramiena adecuada para resolver 12

13 las nuevas ecuaciones diferenciales esocásicas a ravés de las cuales se represenan los nuevos modelos. Ello requirió hisóricamene el desarrollo de un cálculo esocásico especial para manejar ales modelos, siendo Iô (1951) su precursor en el ámbio maemáico. Poseriormene, fue Meron (1969) quien inrodujo el cálculo esocásico en su aplicación en las finanzas. Los primeros modelos coninuos de ipo esocásicos orienados a modelizar los ipos de inerés se deben a Roll (197,1971), Meron (1973, 1974) y Long (1974). Pero fue Vasicek (1977) quien en un rabajo 1 pionero propuso un modelo esocásico de reversión a la media para los ipos de inerés. Ese rabajo ha represenado un puno de inflexión en la modelización de los ipos de inerés, ya que, poseriormene se han desarrollado oros modelos más elaborados como el modelo Cox-Ingersoll-Ross 2 (1985) o su generalización debida a Maghsoodi 3 (1996), pero odos ellos basados las ideas que formuló Vasicek en su rabajo, que han enido una gran repercusión en el ámbio financiero 1 Vasicek, O. (1977). An Equilibrium characerizaion of he erm srucure, Journal of Financial Economics 5: Cox, J.C., J.E. Ingersoll and S.A. Ross (1985). "A Theory of he Term Srucure of Ineres Raes", Economerica 53: Maghsoodi, Y. (1996). "Soluion of he exended CIR Term Srucure and Bond Opion Valuaion". Mahemaical Finance 6:

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15 1. El papel del ipo de inerés en los mercados financieros El esudio de Vasicek (1977) se basa en la imporancia que ienen los ipos de inerés en los mercados financieros debido a que el comporamieno de los ipos de inerés iene repercusión no solo en la visión inversora de los pariculares y enidades privadas que acuden a los mercados financieros, sino ambién influyen en las políicas monearias que desarrollan las auoridades que gobiernan en cada país para obener financiación. El modelo de Vasicek se cenra en una economía de mercado eficiene, por lo ano, exise información complea por pare de odos los agenes económicos que acúan en los mercados y no exise información privilegiada que permian obener cualquier ipo de venaja. A coninuación desarrollaremos los diferenes ipos de inerés a coro plazo, definiremos los mercados financieros y la políica monearia llevada a cabo por el BCE juno con los diferenes inermediarios financieros exisenes en el marco europeo. Por úlimo, explicaremos el rol que desempeñan a nivel macroeconómico los ipos de inerés en la economía. 15

16 1.1. Los ipos de inerés a coro a plazo Uno de los ipos de inerés que realizan operaciones a coro plazo son los referenes al mercado inerbancario, es decir, los ipos de inerés a un día. Cabe señalar los siguienes ipos de inerés a coro plazo que operan en el mercado inerbancario: el Serling OverNigh Index Average (SONIA), Swiss Average Rae Overnigh (SARON), Federal Funds Rae, London Inerbank Offered Rae (LIBOR) y Euro OverNigh Index Average (EONIA). Los ipos de inerés aneriores se uilizan en el mercado inerbancario de présamos en el que los bancos se presan unos a oros denro de un plazo deerminado. La mayor pare de présamos inerbancarios se realizan con vencimieno máximo en una semana, siendo la mayoría de ellos a un día. Esos présamos se realizan al ipo inerbancario, por lo que los bancos presarán y omarán presado en el mercado inerbancario para poder gesionar su liquidez y cumplir con regulaciones como el coeficiene de caja 4. Por lo ano, las condiciones en dicho mercado pueden ener amplios efecos en el sisema financiero y en la economía real influyendo así sobre las decisiones de inversión de las empresas y los hogares. Por ora pare, es conveniene cenrarnos en el ipo de inerés inerbancario del BCE, EONIA, ya que se raa del ipo de inerés diario de la Unión Europea y sobre el cual, como se verá en el Capíulo 4, se aplicará el modelo de Vasicek. El ipo EONIA (Euro OverNigh Index Average) es el índice medio del ipo del euro a un día, fruo de las operaciones de crédio inerbancarias. El EONIA es calculado por la European Banks Federaion (EBF) a parir de los daos suminisrados por 39 insiuciones de crédio juno con la ayuda del BCE. Es un ipo de referencia usado en operaciones de producos derivados, especialmene derivados de financiación inerbancaria y producos como los seguros de crédios para las operaciones inerbancarias. Los daos EONIA se publican diariamene enre las 18:45 y las 19: horas, y represenan la asa promedio ponderada de las operaciones de présamo sin garanía de TARGET 5 llevadas a cabo 4 El coeficiene de caja es el porcenaje de un banco que debe ser manenido en reservas líquidas y por lo ano no pueda ser uilizado para inverir o realizar présamos. Las auoridades de cada país esablecerán el coeficiene mínimo de reserva que odas las enidades financieras han de cumplir. 5 TARGET (Trans-European Auomaed Real-ime Gross selemen Express Transfer sysem) es lo que se conoce como LBTR operado por el Eurosisema. Hoy día es denominado, TARGET2. Las ransacciones de pago se liquidan una por una en una base coninua de dinero del Banco Cenral con una firma inmediaa. Tampoco exise un límie 16

17 anes del cierre de sisemas liquidación en iempo real bruo (LBTR), a las 18:. En caso de que un banco necesiará liquidez de TARGET y esuviera cerrado el mercado, se puede recurrir a la llamada de facilidad marginal de crédio con su banco cenral nacional no más arde de las 19:, mediane el pago de una asa de inerés (asa marginal de crédio del Eurosisema) de 1 punos básicos sobre la asa REPO 6 de inerés. Por el conrario, en el caso de exceso de liquidez, los bancos pueden deposiar sus saldos de una cuena (depósios overnigh) en su banco cenral nacional (facilidad de depósio) La imporancia de los ipos de inerés en los Mercados Financieros Los mercados financieros son el espacio donde se realizan los inercambios de insrumenos financieros y se obienen sus precios. En dichos mercados, nos podemos enconrar una gama de ipos de inerés como: ipos de inerés como insrumeno de la políica monearia, ipos de inerés en la banca, ipos de inerés nominales y reales y ipos de inerés del mercado. La asa de inerés fijada por el banco cenral de cada país para présamos del Esado a oros bancos o para los présamos enre los bancos, se denomina asa inerbancaria. Esa asa corresponde a la políica macroeconómica del país para promover el crecimieno económico, la esabilidad financiera y la siuación en los mercados de acciones de un país deerminado. Si los precios de las acciones esán subiendo, la demanda por dinero aumena, y con ello, la asa de inerés. Las principales funciones de los mercados financieros son: esablecer la posibilidad de los mecanismos en el conaco enre los paricipanes en la negociación, fijar los precios de los superior o inferior en el valor de los pagos y se asiena principalmene en operaciones de políica monearia y las operaciones del mercado moneario. 6 Un REPO es una operación con paco de recompra, es decir, una enidad financiera vende un acivo con un paco de recompra por un precio deerminado denro de un iempo deerminado. Las operaciones de repo se suelen realizar con íulos de deuda fija, especialmene con íulos de deuda pública como leras, bonos y obligaciones del esado. En ese ipo de operaciones el inversor esá proporcionando un présamo a la enidad financiera, solo que garanizado con un íulo de deuda pública, normalmene se raa de una forma de obener liquidez a coro plazo para los bancos. También es un insrumeno de políica monearia de los bancos cenrales. 17

18 producos financieros en función de su ofera y su demanda, reducir los coses de inermediación y adminisrar los flujos de liquidez de producos o mercado. La clasificación de los mercados financieros se esipulará según diversos crierios para poder observar sus caracerísicas. Una caegorización considera que si la operación financiera se refiere a la primera compra de una emisión se enconrará en el mercado primario, mienras que si se raa de una negociación poserior enre los enedores de los valores se raará de un mercado secundario. Denro de ese úlimo, enconramos dos ipos: el organizado, en el que compradores y vendedores se encuenran en un lugar común para realizar operaciones, (definido como mercado bursáil) y el mercado no organizado (OTC), que es aquel en el que los inermediarios compran y venden valores a oras conrapares de forma bilaeral. Por lo general, se efecúa una disinción enre el vencimieno inferior a un año y el vencimieno igual o superior a un año, dando lugar a los mercados moneario y de capiales respecivamene. El mercado moneario difiere de los demás mercados financieros en que suele ser un mercado inerbancario mayorisa con operaciones de gran volumen que puedan influir direcamene al Eurosisema a ravés de sus operaciones de políica monearia. Debido a que el BCE iene el monopolio de la ofera de acivos de liquidez, puede llegar a fijar las condiciones de financiación para las enidades de crédio de la zona euro. Eso puede llegar a influir en las condiciones en las que las enidades de crédio y oros paricipanes en el mercado de dinero cruzan sus operaciones. Además, en lo que respeca a los insrumenos de los mercados monearios y de capiales, se disingue enre insrumenos con garanía y sin garanía. Por ejemplo, en el mercado moneario, el ipo de inerés de ofera en el mercado inerbancario del euro (EONIA) se refiere a los présamos sin garanía, mienras que los présamos con garanía suelen adopar la forma de cesiones emporales, en las que el presaario hipoeca una garanía. Cuando se exige que el valor de la garanía sea superior al de los fondos obenidos en présamo, se lleva a cabo lo que se denomina un recore. Ora clasificación comúnmene uilizada se basa en la forma del insrumeno financiero negociado en un mercado. Una disinción imporane es la diferencia enre los mercados de rena variable y los de rena fija. La principal diferencia enre la rena variable y la rena fija consise en que la primera no iene que ser reembolsada por el emisor, mienras que la rena fija comprende insrumenos financieros que, habiualmene hay que reembolsar (por impores específicos, a un deerminado ipo de inerés y en una fecha concrea). 18

19 Los derivados financieros Por ora pare, ambién podemos desacar los derivados que consiuyen ora imporane caegoría de insrumenos financieros. Se raa de conraos financieros cuyo valor se obiene a parir de diversas referencias, como puede ser el precio del acivo subyacene, los ipos de inerés, los ipos de cambio, los índices bursáiles o los precios de las maerias primas. Los derivados básicos son los fuuros, las opciones, los swaps y los acuerdos sobre ipos de inerés fuuros. Por ejemplo, el enedor de una opción de compra (de vena) iene el derecho, pero no la obligación, de comprar (vender) un insrumeno financiero, como un bono o una acción, a un precio dado en una fecha fuura. Combinando esas caegorías se han desarrollado oros muchos producos derivados. Los mercados de derivados pueden faciliar el funcionamieno de los mercados financieros porque se pueden uilizar para mejorar la valoración y la asignación de los riesgos financieros. No obsane, los errores de valoración y las consiguienes variaciones de los precios de los derivados financieros pueden incluir una mayor variabilidad en los precios de oros acivos El mercado inerbancario El ipo de inerés inerbancario EONIA es negociado denro del denominado mercado inerbancario. Ése se define como un mercado en el que los bancos se presan dinero unos a oros en un plazo deerminado. Como se ha señalado aneriormene, la mayoría de ese ipo de présamos inerbancarios se realizan con un vencimieno máximo de una semana, siendo la mayor pare de odos ellos a un día. Para dichas operaciones, se uiliza el ipo inerbancario de acuerdo a la zona en la que se realicen. La principal razón por la que dichas enidades bancarias realizan ese ipo de operaciones es debido a que los principales órganos insiucionales les exigen manener una canidad adecuada de acivos líquidos como puede ser dinero en efecivo, para poder hacer frene a las posibles salidas de capiales de las enidades bancarias. En el caso de que un banco no pueda cumplir con esos requisios de liquidez, deberá omar presado dinero del mercado inerbancario para cubrir el descubiero que puedan llegar a obener. Por ora pare, podemos enconrar bancos que engan un exceso de acivos líquidos por encima de los requisios legales de liquidez, por lo ano, esos bancos presarán dinero en el mercado inerbancario y a cambio obendrán un rendimieno por sus acivos presados. 19

20 El ipo inerbancario es el ipo de inerés cargado a los présamos a coro plazo enre los bancos, es decir, es el ipo de inerés uilizado por los bancos para las operaciones que realizan en el mercado inerbancario para poder cumplir con las regulaciones como pueda ser el coeficiene de caja. Una función de los présamos inerbancarios en el sisema financiero es que se oma como referencia para présamos a coro plazo, es decir, sirven como referencia para asignar un precio a numerosos insrumenos financieros mienras que por ora pare sirven para la ransmisión de la políica monearia. Los ipos de inerés a coro plazo, son aquellos que se encuenran en el denominado Overnigh Marke, definido como el mercado a un día. Es aquel mercado donde los presamisas se ponen de acuerdo en faciliar a los presaarios fondos solamene durane la noche, es decir, el presaario deberá pagar el dinero enregado más los inereses al inicio de las acividades del día siguiene. La mayor pare de la acividad de dicho mercado se lleva a cabo en la mañana inmediaa después del inicio de la jornada laboral. Una explicación de ese mercado sería el ejemplo de un grupo encargado de la gesión de efecivo para un depósio de una insiución financiera que comienza con la previsión de la liquidez de los clienes de la insiución que necesian en el ranscurso de ese día. Si dicha previsión es que los clienes de las insiuciones necesiarán más dinero en el ranscurso del día del que dispone de forma efeciva la insiución. Enonces, la insiución pedirá presado dinero en el mercado durane la noche de ese día, mienras que, si la insiución dispone de dinero excedene ese día, enonces se presanrán dinero en el mercado de la noche del mismo día La Políica Monearia de la Unión Europea y los inermediarios financieros exisenes Como en nuesro caso, nos vamos a cenrar en aquel ipo de inerés inerbancario uilizado por el Banco Cenral Europeo (BCE), el EONIA, llevaremos a cabo una explicación sobre la políica monearia desarrollada por la Unión Europea. Se afirma que la políica monearia influye en la economía, ya que el BCE es el único emisor de billees y el único proveedor de reservas bancarias, es decir, iene el monopolio de la ofera de la base monearia. El BCE puede influir en las condiciones del mercado moneario y conrolar los ipos de inerés a coro plazo. En dicho plazo, una variación de los ipos de inerés del mercado moneario inducida por el banco cenral pone en 2

21 marcha una serie de mecanismos y de acciones de los agenes económicos que, finalmene, repercuen en la evolución de variables económicas como el produco o los precios. El 1 de enero de 1999, el BCE, se adjudica la responsabilidad de la políica monearia de la zona del euro. Dicha políica en el marco insiucional se susena en dos principios fundamenales, en primer lugar, el mandao del BCE se cenrará claramene en el manenimieno de la esabilidad de precios y en segundo lugar, el BCE será independiene. El principal objeivo del BCE es la esabilidad de precios pero ello no quiere decir que los ipos de inerés no sean imporanes denro de la insiución, ya que depende de la decisión que se ome respeco a los ipos de inerés oficiales, se producirán cambios en la economía. Para decidir y gesionar la políica monearia del euro, la Unión Europea (UE) se ha doado de una nueva insiución con personalidad jurídica propia, el BCE, que forma, juno con los bancos cenrales de oda la UE, el Sisema Europeo de Bancos Cenrales (SEBC). El Consejo de Gobierno del BCE ha decidido adopar el érmino Eurosisema, es decir, donde el SEBC realiza sus principales areas. El Eurosisema comprende el BCE y los Bancos Cenrales Nacionales (BCN) de los Esados miembros que han adopado el euro y esá dirigido por el Comié Ejecuivo y el Consejo de Gobierno del BCE. Por lo que respeca al SEBC, esá dirigido, al igual que el Eurosisema, por el Comié Ejecuivo y el Consejo de Gobierno del BCE, a los que se añade un ercer órgano de decisión del BCE: el Consejo General. En la prácica, el Consejo de Gobierno se reúne cada quince días, mienras que las decisiones sobre los ipos de inerés sólo se oman el primer jueves de cada mes para eviar inceridumbre en los mercados. Respeco a la esraegia llevada a cabo por la políica monearia, hay que desacar que se susena en dos pilares esenciales denominados por el BCE, el análisis económico y el análisis moneario. Denro del análisis económico, el BCE puede acuar sobre la demanda agregada mediane los ipos de inerés. Si sube los ipos de inerés aplica una políica monearia resriciva, los crédios se encarecen, lo que enderá a moderar el consumo y la inversión. Eso es lo que hará el BCE ane una perurbación de demanda que ponga en peligro el cumplimieno del objeivo de inflación. Por ejemplo, en los dos primeros años de la exisencia del euro se produjo un escenario como el descrio, burbuja de las nuevas ecnologías, que provocó fueres incremenos de la inversión y el consumo, elevando los ipos de inerés desde finales de 1999 hasa el año 2. Cuando a finales de 2 esalló la burbuja, el BCE disminuyó los ipos de inerés, enre mayo de 21 y junio de 23. Todo eso nos indica ambién que enre un año y medio y dos años se necesian para ver exacamene que un movimieno de los ipos de inerés ransmie odos sus efecos al comporamieno de los precios. En lo que respeca al análisis moneario ciado 21

22 aneriormene, en los dos primeros años de exisencia del euro, cuando se manuvieron alos los ipos de inerés para conrarresar el aumeno de la demanda agregada, la asa de expansión monearia fue más moderada y se respeó. Sin embargo, se bajan los ipos de inerés sin que se haga nada por impedirlo. Parece claro que es en el primer pilar, el análisis económico, donde han de buscarse los fundamenos de las decisiones de políica monearia del BCE sobre los ipos de inerés. Primero, se analizarán las perurbaciones de ofera y demanda que pueden ener consecuencias para la inflación a coro plazo. Después, en el análisis moneario, simplemene se reflexionara sobre los efecos a largo plazo de esas decisiones, para no perder de visa, mienras se responde a las perurbaciones, ya que la relación exisene enre la canidad de dinero y los precios. Denro del mercado moneario, el ipo de inerés es deerminado por la igualdad de la ofera y la demanda de dinero que se encuenra en dicha economía. Modificando la ofera monearia, es el modo en el que el BCE puede influir en el ipo de inerés. Las operaciones de mercado abiero en las que el BCE eleva la ofera monearia comprando bonos provocan una subida de precio y una bajada del ipo de inerés mienras que en el caso en el que reduce la ofera monearia vendiendo bonos provocan un descenso del precio de los bonos y una subida del ipo de inerés. El ipo de inerés a coro plazo viene deerminado por la condición que acabamos de analizar: el equilibrio enre la ofera de dinero y la demanda de dinero. Las decisiones de políica monearia con el nivel de precios comienzan con una modificación de los ipos de inerés oficiales que fija el BCE para sus propias operaciones de financiación a las enidades de crédio. Debido a su monopolio sobre la creación de la base monearia, el BCE puede deerminar los ipos de inerés que aplicará a sus operaciones. Dado que, con ello, el banco cenral influye en el cose de financiación de la liquidez de las enidades de crédio, esas ienen que rasladar dichos coses a las operaciones de présamo con su clienela. A ravés de ese proceso, el banco cenral puede ejercer una influencia dominane en las condiciones del mercado moneario y conrolar los ipos de inerés de dicho mercado. A su vez, las variaciones de los ipos de inerés del mercado moneario repercuen en oros ipos. Por ejemplo, las variaciones de los ipos del mercado moneario influyen en los ipos de inerés que las enidades de crédio aplican a los présamos y depósios a coro plazo. Como podemos observar en la Figura 1.1, represena el mecanismo exisene por pare de la políica monearia llevada a cabo por el BCE, de la ransmisión de los ipos de inerés a los precios. 22

23 Figura 1.1. Mecanismo de ransmisión de los ipos de inerés a los precios. Fuene. BCE (211), La Políica Monearia del BCE. Página 64. Además, las expecaivas sobre fuuras modificaciones de los ipos de inerés oficiales afecan a los ipos de inerés de mercado a más largo plazo, ya que esos reflejan las expecaivas sobre la evolución fuura de los ipos de inerés a coro plazo. Las modificaciones de los ipos de inerés oficiales del banco cenral no influyen, en general, en los ipos de inerés a más largo plazo, salvo si ocasionan un cambio en las expecaivas del mercado relaivas a las endencias económicas a largo plazo. Las variaciones de los ipos de inerés influyen en las decisiones de ahorro, gaso e inversión de los hogares y las empresas. Por ejemplo, maneniéndose consanes las demás variables, unos ipos de inerés más alos ienden a hacer que a los hogares o a las empresas les resule menos aracivo endeudarse para financiar su consumo o su inversión y, ambién, que los hogares prefieran ahorrar en vez de gasar sus ingresos corrienes, ya que la renabilidad de su ahorro es mayor. En lo que respeca a los posibles inermediarios financieros que podemos enconrar en los mercados financieros, podemos decir que se agrupan en dos grandes caegorías: las Insiuciones Financieras Monearias (IFM) y Oros Inermediarios Financieros (OIF). Las primeras comprenden el Eurosisema (el BCE y los BCN de los países que han adopado el euro), las enidades de 23

24 crédio y oras enidades, cuya acividad consise en recibir depósios de enidades disinas de las IFM y conceder crédios y/o inverir en valores. La gran mayoría de IFM de la zona del euro son enidades de crédio (es decir, bancos comerciales, cajas de ahorro, ec.), definidas con claridad con dos direcivas sobre coordinación bancaria y sujeas a normas de supervisión comunes para oda la UE. Las enidades de crédio son las enidades de conraparida en las operaciones de políica monearia del banco cenral. Dado que conceden crédios a los hogares y a las empresas, en base, principalmene, al crédio recibido del banco cenral, esas enidades resulan cruciales para la ransmisión de las decisiones de políica monearia a la economía. Los inermediarios financieros que enran denro de la caegoría de OIF, ambién presan servicios financieros a los hogares y a las sociedades no financieras y negocian por cuena propia en los mercados financieros. El secor de oros inermediarios financieros incluye las empresas de seguros y los fondos de pensiones, los auxiliares financieros, los fondos de inversión, las sociedades y agencias de valores y derivados financieros y las insiuciones financieras que paricipan en operaciones de présamo. El secor incluye, además, las enidades creadas por las IFM para faciliar la iulización de los présamos que, de ora manera, se manendrían en el balance de las IFM. La diferencia fundamenal enre los OIF y las IFM es que esas úlimas pueden capar depósios del público, mienras que los primeros se financian por oros medios, como la emisión de valores Aspecos macroeconómicos A nivel macroeconómico, las políicas de carácer moneario, cambiario y fiscal pueden ayudar a corregir los desequilibrios de la economía. En nuesro caso endremos en cuena la políica monearia. En el caso en el que nos enconremos ane una fase expansiva, los ipos de inerés disminuirán mienras que en el caso de una fase conraciva ocurrirá el efeco conrario, los ipos de inerés aumenarán. Por úlimo, podemos decir que el mercado, en el que se negocian valores ales como bonos, acciones, fuuros, ec., por efeco de la ofera y la demanda, fija para cada clase de acivos un ipo de inerés que depende de facores como las expecaivas exisenes sobre la asa de inflación. El riesgo asociado al ipo de acivo y la preferencia por la liquidez, es decir, cuano menos líquido sea un acivo, mayor compensación exigirán los inversores. Sin embargo, en los mercados bursáiles, 24

25 cuando suben los ipos de inerés a un año acuales y fuuros esperados, el precio de las acciones baja. Mienras que el ipo de inerés a largo plazo es una media geomérica de los ipos de inerés a coro plazo, hasa el momeno del vencimieno. Una vez que el ipo de inerés a coro plazo es conocido, pero no así los que prevalecerán en el fuuro, por lo que los agenes ienen que uilizar las expecaivas de los mismos. Aunque la diferencia enre los ipos de inerés a coro y a largo plazo en el presene esá deerminada por las expecaivas de los agenes de las condiciones económicas fuuras, es decir, la esrucura emporal de los ipos de inerés coniene información sobre las expecaivas de los agenes de la evolución fuura de la economía. En lo que respeca al modelo macroeconómico IS-LM (ambién denominado Hicks-Hansen), inspirado en las ideas de J.M. Keynes y sineizado con las ideas de A. Marshall, si el ipo de inerés disminuye, enonces la inversión aumena, el aumeno de la inversión es un aumeno en la demanda agregada, por lo ano eso es un aumeno en rena que a su vez induce a un aumeno en el consumo, inversión y vuelve a hacer subir la rena y el ahorro. En definiiva, el equilibrio del mercado de bienes implica que una subida del ipo de inerés provoca una disminución de la producción. En el caso del equilibrio de los mercados financieros implica que, dada una ofera de dinero real, un aumeno del nivel de rena, que eleva la demanda de dinero, provoca una subida del ipo de inerés. 25

26 26

27 2. Preliminares esocásicos 2.1. Movimieno browniano o proceso de Wiener El movimieno browniano es un proceso esocásico de ipo Gaussiano que inicialmene fue propueso para describir maemáicamene cieros fenómenos físicos relaivos al movimieno aleaorio de diminuas parículas inmersas en un fluido. Dicho proceso físico fue descubiero por el biólogo Rober Brown (1827) cuando esudiaba en el microscopio el movimieno de parículas de polen floando en el agua. R. Brown observó que dichas parículas seguían un movimieno errane o irregular debido a la ineracuación molecular. Poseriormene, Louis Bachelier (19) uilizó las ideas de R. Brown en el campo de las finanzas en su esis docoral iulada: La eoría de la especulación para modelizar cieros acivos financieros. Sin embargo, cabe subrayar que el rabajo de L. Bachelier no fue comprendido en su época y permaneció ignorado durane muchos años, hasa que se consiguió formalizar maemáicamene su fundameno. El rabajo de formalización maemáica del concepo de movimieno browniano fue realizado por Norber Wiener, a quien debe su nombre, ya que muchas veces al movimieno browniano se le denomina ambién proceso de Wiener. 27

28 2.2. Propiedades del movimieno browniano El objeo de esa memoria es el esudio y aplicación de un modelo esocásico de ipos de inerés, concreamene el modelo de Vasicek. Para formular y comprender con ciera profundidad ese modelo, es necesario inroducir uno de sus principales ingredienes: el proceso esocásico que inroduce en dicho modelo la aleaoriedad. Ese proceso es el movimieno browniano o proceso de Wiener. Ese proceso, iene la peculiaridad de definirse a ravés de las propiedades que lo caracerizan, en lugar de definirse a ravés de una fórmula maemáica. El movimieno browniano o proceso de Wiener, W {W(), R + }, es un proceso esocásico real al que cumple: W.1. Comienza en el origen con probabilidad 1: P[W() = ] = 1. W.2. W iene incremenos esacionarios: W( + ) W() = d W(s + ) W(s), s, : s [, + [, d donde el símbolo = denoa que la igualdad anerior es en disribución. W.3. Los incremenos del proceso dados por W() W(s) son independienes W( 2 ) W( 1 ), W( 3 ) W( 2 ),, W( n+1 ) W( n ), con 1 2 n n+1 +. W.4. Los incremenos ienen una disribución Gaussiana (o normal) con media y varianza ( s) s, es decir, W() W(s)~N[, s]. En el caso paricular en que s = y considerando la propiedad W.1., podemos decir que W()~N[, ], eso es, W() es una variable aleaoria normal o Gaussiana de media y desviación ípica, : W()~N[, ]. W.5. Las rayecorias de W() son coninuas, pero no son diferenciables en ningún puno. Algunas de las rayecorias muesrales del proceso browniano de ese proceso pueden verse en el Gráfico Ésas cumplen las condiciones W.1 W.5. Cabe indicar que aunque el proceso de Wiener inroduce en el modelo de Vasicek la aleaoriedad, ésa no se corresponde direcamene con el movimieno browniano sino con su diferencial, lo que genera un nuevo proceso esocásico que ambién es Gaussiano y que se denomina ruido blanco. 28

29 Gráfico Simulación Movimieno Browniano. Fuene: Elaboración propia. Sofware Mahemaica. La elección de la diferencial del movimieno browniano para modelizar la aleaoriedad en el modelo no debe de resular sorprendene en base al Teorema Cenral del Límie, ya que son muy numerosos y diferenes, los facores y variables que en el mundo real pueden llegar a deerminar el valor de un acivo financiero suscepible de ser modelizado. El proceso de Wiener W {W(), } iene las siguienes propiedades esadísicas: a) Función media: Por la propiedad W.4 se deduce inmediaamene que la media es nula: μ W () =,. b) Función Covarianza: Cov[W(), W(s)] = Min[s, ], s,. En paricular, se deduce que la varianza es al y como indica la propiedad W.4. c) Es 1 auosemejane: esa es una propiedad geomérica que se escribe formalmene 2 como sigue: TW() = W(T),, T >. La primera propiedad nos indica que, en media, el valor que oma ese proceso es nulo (como podemos apreciar inuiivamene en el Gráfico 2.2.1). La función de covarianza mide el grado de 29

30 relación lineal (en senido esadísico) enre las variables aleaorias W(s) y W() que se observan al fijar dos insanes s y. La úlima propiedad es únicamene geomérica Cálculo de Iô En ese aparado, se enuncia una versión apropiada para nuesros inereses de la herramiena fundamenal del cálculo esocásico, a saber, la fórmula de K. Iô. Ese resulado consiuye una versión esocásica de la regla de la cadena para procesos esocásicos X() que son solución de una ecuación diferencial esocásica de la siguiene forma: dx() = f(, X())d + g(, X())dW(). (2.3.1) La fórmula de Iô iene numerosas aplicaciones de inerés, siendo el cálculo exaco de la solución de la ecuación diferencial esocásica (2.3.1) el principal en esa memoria. Cabe señalar que, al igual que sucede en el conexo deerminisa, el cálculo de la solución exaca de (2.3.1) no siempre es posible, ello depende esencialmene de la forma de los coeficienes f(, X()) y g(, X()). Sin embargo, en el caso que nos ocupa en ese rabajo, el modelo de Vasicek, como veremos en el Capíulo 3, ello sí es facible. Consideremos la ecuación diferencial esocásica (2.3.1.) con condición inicial X una variable aleaoria de segundo orden, es decir, al que su momeno cenral de segundo orden sea finio: E[(X ) 2 ] < +. Sea F = F(, x) una función F: [, T] R R de modo que las siguienes derivadas parciales son coninuas: y al que: F(, x), F(, x), x i. Exise k 1 > al que: F(, x) 2, F(, x) x 2, F(, x), T, xεr x E [ F( 2, X( 2 )) F( 1, X( 1 )) 2 ] k 1 ( E[ X( 2 ) X( 1 ) 2 ]) 1, 2 ε[, T]. ii. F(, X()) es una variable aleaoria de segundo orden. 3

31 Enonces F saisface una ecuación diferencial esocásica (e.d.e.) del ipo (2.3.1), concreamene: F(, X) F(, X) df(, X()) = ( + f(, X) x + (g(, X) F(, X) ) dw(). x g2 (, X) 2 F(, X) x 2 ) d 2.4. Inegral de Iô y sus propiedades En esa sección inroduciremos el concepo de inegral de Iô de una función deerminisa y las propiedades de dicha inegral que poseriormene necesiaremos para calcular las principales funciones esadísicas, ales como la media, la varianza y covarianza, de la solución del modelo de Vasicek, ya que, dicha solución se expresa en érminos de una inegral de Iô de una función deerminisa (véase Aparado 3.1.4). Es imporane señalar que la inegral de Iô puede definirse, y de hecho es más general y usual hacerlo así, para procesos esocásicos, sin embargo, en esa memoria dicha inegral solo se requerirá para inegrar funciones deerminisas, las cuales obviamene puede raarse como casos pariculares de procesos esocásicos. Sin embargo, para doar de mayor generalidad a la presenación que sigue inroduciremos la inegral de Iô de forma general. La inegral de Iô es el corazón del análisis esocásico, siendo la principal razón para la exisencia de un análisis que difiere de la eoría maemáica clásica de inegración y diferenciación. La inegral de Iô define lo que uno debería de enender por inegración de un proceso esocásico con respeco al movimieno browniano (u oro proceso esocásico). El objeivo de ese aparado es dar una inerpreación de la expresión X(s)dW(s), (2.4.1) donde X(s) es un proceso esocásico que cumple cieras condiciones que especificaremos más adelane. Nosoros decimos que (2.4.1) es la inegral de Iô de X() con respeco al movimieno browniano o el proceso de Wiener. 31

32 Primero vamos a recordar lo que la inerpreación de dicha inegral sería si X(s) y W(s) no fueran procesos esocásicos, sino funciones deerminisas. Asumimos f(s) y g(s) son dos funciones suaves del iempo s, y consideramos la inegral g(s)df(s). (2.4.2) Cuando f(s) es una función diferenciable, nosoros escribimos df(s) = f (s), o en oras palabras, df(s) = f (s)ds. Susiuyendo eso en la inegral (2.4.2) llegamos a g(s)df(s) = g(s)f (s)ds, que reconoceremos como una inegral esándar 7. Pero qué sucede si f(s) no es diferenciable? 8 Podemos odavía definir la inegral (2.4.2). Cuando f(s) no es demasiado irregular como función del argumeno s, es decir, cuando f(s) es lo que se denomina como una función de variación acoada, podemos probar que la inegral esá bien definida como el siguiene límie: n 1 g(s)df(s) = lim g(s i )(f(s i+1 ) f(s i )). n i=1 Pueso que f(s) iene variación acoada, f(s i+1 ) esá próximo a f(s i ). A parir de eso podemos probar que el límie anerior exise siempre que g(s) no varíe demasiado. Por supueso, si la función g(s) es exremadamene flucuane en diferenes punos en el iempo, el límie puede odavía ser divergene. Definiremos la inegral (2.4.1) de forma análoga como el siguiene límie: n 1 n X(s, ω)dw(s, ω) = lim i=1 X(s i, ω)(w(s i+1, ω) W(s i, ω)). (2.4.3) Nóese que omamos el límie para cada ω fijo en el espacio muesral Ω de la variable aleaoria W(s). El problema aquí es que el límie para cada ω en general no exise (empieza en ± ) para ds 7 Recordamos que ales inegrales son definidas como un límie punual de la siguiene manera: g(s)f (s)ds = lim g(s i )f (s i )(s i+1 s i ), n n 1 i=1 donde = s 1 < s 2 < < s n =. Además, como es cosumbre usaremos refinamienos de pariciones, es decir, asumimos que los punos de parición {s 1, s n } con n valores esán conenidos en los punos de parición {s 1,, s n, s n+1 } que coniene n + 1 punos. Cuando n crece, obendremos un refinamieno paso a paso de la parición del inervalo [, ]. 8 Un ejemplo de una función que no es diferenciable en el puno s = es f(s) = s. 32

33 muchos procesos esocásicos X(s). Para cada ω, la función s W(s, ω) es exremadamene voláil. De hecho, como hemos indicado aneriormene (véase propiedad W.5), el proceso de Wiener es un ejemplo de un proceso esocásico con rayecorias muesrales coninuas, pero no diferenciables en ningún puno. Aún peor, el movimieno browniano como función del iempo no es una variación acoada para cada ω, como requerimos para f(s). Tenemos que compensar la rugosidad de las rayecorias del movimieno browniano poniendo dos condiciones en el proceso inegrador X(s). Bajo esas condiciones el límie exisirá a pesar de la irregularidad del movimieno browniano. La primera condición es que asumiremos que X(s) es independiene de los incremenos del movimieno browniano, mienras que la segunda condición esá relacionada con la variación de la inegración (similar a la condición de que g(s) en (2.4.2) no debe variar demasiado). A parir de la Propiedad W.2 del movimieno browniano sabemos que la variación de un incremeno browniano esá dada como: E [(W(s i+1 ) W(s i )) 2 ] = s i+1 s i. Si X(s i ) es independiene del incremeno W(s i+1 ) W(s i ), obenemos E [(X(s i )(W(s i+1 ) W(s i ))) 2 ] = E[X 2 (s i )]E [(W(s i+1 ) W(s i )) 2 ] Considerando el segundo momeno de la variable aleaoria = E[X 2 (s i )](s i+1 s i ). n 1 i=1 X(s i )(W(s i+1 ) W(s i )), (2.4.4) y asumiendo que X(s i ) es independiene de W(s i+1 ) W(s i ) para cada i = 1,, n 1, puede verse uilizando que la independencia de os incremenos brownianos que: n 1 E [( X(s i )(W(s i+1 ) W(s i ))) ] = E[X 2 (s i )](s i+1 s i ). i=1 Reconocemos la suma del miembro derecho como una aproximación de la inegral 2 n 1 i=1 E[X 2 (s)] ds. Por lo ano, si esa inegral exise, deducimos: n 1 lim E [( X(s i)(w(s i+1 ) W(s i ))) ] = E [X 2 (s)]ds, n i=1 2 33

34 eso nos conduce a la conclusión de que la varianza de la suma en (2.4.4) converge a E[X 2 (s)]ds. Asumiendo que esa inegral exise, demosramos que n 1 E [( lim i=1 X(s i )(W(s i+1 ) W(s i ))) 2 ] = E[X 2 (s)]ds n. (2.4.5) Cabe subrayar que la exisencia de la inegral que aparece en el lado derecho de la ecuación (2.4.5) puede, en algunos casos, no exisir. Esa inegral exise siempre que es finia, es decir, siempre que el proceso esocásico X(s) es de al que el segundo momeno puede ser inegrado de a. Es simple hacer ejemplos donde no es al el caso. Por ejemplo, para el proceso X(s) = s 1 W(s), por la propiedad W.2 del movimieno browniano, enemos E[X 2 (s)]ds = s 1 ds = ln ln = +. Por ora pare, omando X(s) = B(s), se puede fácilmene reconocer que X(s) saisface la condición de inegralidad. Eso se cumple ambién para una larga clase de procesos esocásicos. Volviendo a la relación (2.4.5), concreamene considerando el límie de la pare izquierda que X(s i ) debe ser independiene de incremenos W(s i+1 ) W(s i ) para odos los valores s i, i = 1,, n 1. Eso conduce de forma naural a inroducir la condición denominada de adapabilidad del proceso inegrador: - Definición 1. Una variable aleaoria X es llamada F s -adapada si X puede ser escria como (un límie de una sucesión de) funciones de W(τ) para uno o más τ s, pero no como función de cualquier W(u) con u > s. Un proceso esocásico X(s) se dice que es adapado si para cada iempo s [, ], la variable aleaoria X(s) es F s - adapada. Señalemos algunos aspecos de la Definición 1. En primer lugar, procesos que se derivan de composiciones simples del movimieno browniano ales como X(s) = f(s, W(s)) son adapados, mienras que procesos como X(s) = W(s + 1) no lo son. Si nosoros consideramos s la inegral X(s) = W(τ)dτ, ambién define un proceso esocásico adapado, porque la inegral es el límie de sumas del movimieno browniano en diferenes iempos menores que s. Es decir, por la definición de inegral, enemos n 1 X(s) = W(τ)dτ = lim W(τ i )(τ i+1 τ i ). n s i=1 34

35 Por lo ano, focalizando sobre la inegral de Iô, vemos que siempre que el proceso inegrando X(s) sea adapado, la inegral X(s)dW(s) iene senido como el límie punual en (2.4.3). Además, ese límie (2.4.3) puede probarse que converge en media cuadráica y por lo ano ambién para cada ω Ω. Concluimos nuesra exposición con la definición de la inegral de Iô. - Definición 2 (inegral de Iô). Un proceso esocásico X(s) es inegrable según Iô en el inervalo [, ] si: 1. X(s) es adapado para s [, ], y 2. E[X 2 (s)] ds <. La inegral es Iô se define como la variable aleaoria n 1 n X(s, ω)dw(s, ω) = lim i=1 X(s i, ω)(w(s i+1, ω) W(s i, ω)), (2.4.6) donde el límie es considerado por cada ω Ω. Puede demosrarse que la inegral de Iô goza de las siguienes propiedades, las cuales no esán enunciadas con la máxima generalidad, sino en el conexo en que se requerirán para el desarrollo de la memoria. Por ello, dichas propiedades se enuncian solo en el caso paricular en que el inegrando X(s) es una función deerminisa h(s) al que (h(s)) 2 ds < + : I.1. Media: E [ h(s)dw(s) ] =. I.2. Varianza: Var [ h(s)dw(s) ] = (h(s)) 2 ds. I.3. Covarianza: Cov [ h 1 (τ) siendo s = mín (, s). I.4. Normalidad: h(s)dw(s)~n [; (h(s)) 2 ds]. s s dw(τ), h (τ)dw(τ) 2 ] = h 1 (τ)h 2 (τ)dτ, 35

36 36

37 3. Modelo de ipos de inerés de Vasicek o de regresión a la media Las variaciones de los ipos de inerés afecan direcamene sobre la oma de decisiones de inversión y gesión de riesgos en los mercados financieros. Los modelos de un solo facor consiuyen una clase de modelos para esudiar los ipos de inerés que han demosrado ser de gran uilidad para esudiarlos. Los modelos de un único facor son represenados por la siguiene ecuación diferencial esocásica: dr() = μ(, r())d + σ(, r())dw(), donde µ y σ represenan la deriva o endencia y la volailidad del proceso de ipo de inerés r(), respecivamene, y W() denoa el movimieno browniano o proceso de Wiener. El modelo propueso por Vasicek (1997) perenece a la clase de modelos de un facor donde se asume que el érmino μ(, r()) es una función lineal del ipo de inerés r() con la propiedad de que dicha función induce un comporamieno asinóicamene esable hacia un valor medio μ, concreamene se oma: μ(, r()) = α(r e r()) y, el érmino de volailidad σ(, r()) se 37

38 asume consane, es decir, σ(, r()) = σ. La ecuación diferencial esocásica que se obiene es conocida como ecuación de Ornsein-Uhlenbeck 9 con coeficienes consanes. Ese ipo de ecuaciones ha sido usado exensamene para la evaluación de bonos, fuuros y derivados que requieren una esimación de la esrucura emporal Moivación del modelo deerminísico de ipos de inerés El objeivo de ese aparado es moivar la inroducción de un modelo esocásico de ipos de inerés, concreamene el modelo de Vasicek, a parir de un modelo deerminisa, el cual se analizará a coninuación. Denoemos por: r(), el ipo de inerés en el insane, μ, el ipo de inerés medio a largo plazo, k, consane de proporcionalidad que medirá la velocidad del ajuse de los ipos de inerés, r, el ipo de inerés acual o inicial (=), enonces el siguiene problema de valor inicial (p.v.i.) describe, de forma deerminísica, la evolución del ipo de inerés r = r() r () = k(μ r()), r() = r, k >, μεr } (3.1.1) r εr Ese modelo se denomina modelo deerminísico de ipos de inerés con reversión (o regresión) a la media. A coninuación, se deallará el significado del modelo, lo que jusificará su denominación de reversión a la media y se calculará su solución emporal r = r() así como su comporamieno asinóico, es decir, a largo plazo, calculando el siguiene límie: lim r(). 9 El proceso de Ornsein-Uhlenbeck es un proceso esocásico, que describe la velocidad de una parícula bajo los efecos de la fricción provocada por un movimieno de ipo browniano. El proceso es esacionario, Gaussiano y Markoviano, y es el único proceso no rivial que saisface esas res condiciones. Dicho proceso es la solución de una ecuación diferencial esocásica del ipo descrio. 38

39 Concreamene, se verá que lim r() = μ, lo que jusifica la denominación anerior de ese parámero como el inerés medio a largo plazo. En primer lugar, a parir de la inerpreación geomérica de la derivada, se observa desde la ecuación diferencial ordinaria (e.d.o.) dada en el p.v.i. (3.1.1) que: Si μ > r() k> Si μ < r() k> r () > r() es creciene, r () < r() es decreciene, indicándonos que si el ipo de inerés acual, r() es menor (mayor) que el ipo de inerés medio a largo plazo, μ, enonces r() iende a crecer (decrecer). Esa inerpreación, indica que el ipo de inerés r() aunque flucúe, a largo plazo iende a reornar o regresar a un valor medio μ. Más específicamene, según la e.d.o. (3.1.1) la variación insanánea del ipo de inerés, r (), es direcamene proporcional a la diferencia (posiiva o negaiva) del ipo de inerés acual r() respeco de su valor medio a largo plazo, es decir: k(μ r()). A la consane posiiva k, se le denomina parámero de resiución o velocidad del ajuse del ipo de inerés acual hacia su valor medio a largo plazo. El p.v.i. (3.1.1) esá basado en una e.d.o. de ipo lineal a coeficienes consanes, cuya solución es bien conocida (véase (3.1.2)). x () = a x() + b } x() = (x x( ) = x + b ) a ea( ) b, si a. (3.1.2) a Idenificando los parámeros del modelo general (3.1.2) con el (3.1.1) se deduce: x() = r(), a = k, =, b = kμ, (3.1.3) donde obsérvese que se ha uilizado que por hipóesis k >. Por ano, según (3.1.2) la evolución emporal del ipo de inerés esá dada por: r() = μ + (r μ)e k, >. (3.1.4) Observamos a parir de (3.1.4) que efecivamene el ipo de inerés medio a largo plazo es μ: lim r() = μ + (r μ) lim e k = μ. En el Gráfico se ilusra el comporamieno del modelo. 39

40 Gráfico Represenación gráfica de la solución del modelo deerminisa dado por el p.v.i. (3.1.1). Fuene: Elaboración propia Moivación del modelo esocásico de ipos de inerés: El modelo de Vasicek En el aparado anerior se ha presenado un modelo de ipos de inerés con reversión a la media compleamene deerminisa. Inroduciendo la noación diferencial de la derivada: r () = dr() en dicho modelo, ése se reescribe equivalenemene como: dr() d = k(μ r()), dr() = k(μ r())d (3.2.1) Observemos que en la prácica el valor por el cual iende a largo plazo el modelo deerminisa depende de un gran número de facores económicos, como pueda ser las políicas monearias, el riesgo financiero,, facores odos ellos que conienen inceridumbre debido a la complejidad de los subfacores que a su vez los deerminan. Es por ello más razonable raar el parámero μ no como una canidad deerminísica, si no como una canidad aleaoria. Eso moiva la siguiene represenación esocásica del parámero μ: μ μ + λw (), λ > (3.2.2) siendo W() el movimieno browniano o proceso de Wiener (inroducido en el Aparado 2.1), λ > su inensidad y W () la derivada en el senido de las disribuciones de W(), que se denomina proceso ruido blanco. d 4

41 como: De esa forma, inroduciendo la susiución (3.2.2) en (3.2.1), se obiene: dr() = k[(μ + λw ()) r()]d, dr() = k(μ r())d + k λ W ()d. (3.2.3) Ahora, razonando formalmene, dado que: dw() = W ()d, el modelo (3.2.3) se escribe dr() = k(μ r())d + k λ dw(), } (3.2.4) r() = r. En la lieraura financiera ese modelo de ipos de inerés con reversión a la media se denomina modelo de Vasicek 1 o de Ornsein-Uhlenbeck Solución del modelo esocásico de Vasicek de ipos de inerés mediane el cálculo de Iô Una vez hemos moivado desde el escenario deerminisa el planeamieno esocásico del modelo de ipos de inerés de Vasicek, en ese aparado esudiaremos, desde el puno de visa analíico y esadísico, su solución (que es un proceso esocásico) y sus principales funciones esadísicas, las cuales jugarán un rol esencial en el ajuse de los parámeros del modelo cuando ése se aplica a casos prácicos. Para mayor claridad en el desarrollo poserior, vamos a reescribir el modelo de Vasicek dado en (3.2.4) en la siguiene forma equivalene: dr() = α(r e r())d + σ dw(), } (3.3.1) r() = r, donde hemos realizado la siguiene idenificación de los parámeros: α = k, r e = μ, σ = kλ >. A coninuación, uilizando el cálculo de Iô (véase Aparado 2.3), resolveremos la ecuación diferencial esocásica (3.3.1), i.e., calcularemos r(). 1 Vasicek, O. (1977). An equilibrium characerizaion of he erm srucure, J. Financial Economics, 5,

42 Para calcular en el proceso esocásico r() que saisface la ecuación diferencial esocásica (3.3.1), primero vamos a reformular dicha ecuación. Para ello, inroducimos el cambio de variable: X() = r() r e { r() = X() r e dr() = dx() (3.3.2) y susiuyendo en (3.3.1) obenemos: siendo ahora la condición inicial dx() = αx()d + σdw(), (3.3.3) X() = r() r e = r r e. (3.3.4) Ahora aplicaremos la fórmula de Iô (veáse Aparado 2.3) para calcular la solución del p.v.i. (3.3.3)-(3.3.4). Para ello omemos F(, X) = e α X, e idenificamos los daos del problema de valor inicial (3.3.3)-(3.3.4) con el parón general dado en (2.3.2): f(, X) = αx, g(, X) = σ. Para aplicar la fórmula de Iô, primero necesiamos calcular las siguienes derivadas parciales: F(, X) = αe α X, F(, X) X = e α, 2 F(, X) X 2 =. Por ano, aplicando la fórmula de Iô se obiene: d(e α X) = (αe α X αxe α σ ) d + (σeα )dw(), es decir, simplificando d(e α X) = σe α dw(). Por ano inegrando ambos miembros enre [, ] con T obendremos 42

43 Despejando X() se llega a: d(e αs X) = σe αs dw(s), e α X() X() = σ e αs dw(s). X() = e α (X() σ e αs dw(s) ). Como esamos ineresados en calcular r(), deshacemos el cambio de variable inroducido en (3.3.2) y (3.3.4) r() r e = e α (r r e + σ e αs dw(s) ), r() = r e + e α (r r e + σ e αs dw(s) ). Simplificando esa úlima expresión obendremos, r() = r e + (r r e )e α + σ e α( s) dw(s) (3.3.5) 3.4. Propiedades esadísicas del proceso esocásico solución del modelo de Vasicek En ese aparado daremos las propiedades esadísicas, que poseriormene se uilizarán, de la solución del modelo de Vasicek. Las propiedades esadísicas que deerminaremos son la media, la varianza, covarianza y la disribución normal Propiedades esadísicas La disribución de probabilidad coniene oda la información sobre propiedades probabilísicas de una variable aleaoria. Es necesario disponer de una medida que resuma las caracerísicas de la disribución. 43

44 La esperanza maemáica o valor esperado de una variable aleaoria se inroduce con el fin de obener una medida de cenralización de una disribución de probabilidad. La varianza de una variable aleaoria puede uilizarse como una medida de la dispersión en orno a la media de su disribución de probabilidad. Esperanza maemáica En esadísica la esperanza maemáica (ambién llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleaoria X, es el número E[X] que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleaorio. Cuando la variable aleaoria es discrea, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleaorio muliplicado por el valor de dicho suceso. Definimos la esperanza maemáica de una variable aleaoria discrea que oma los valores x 1, x 2,, x n con probabilidades p(x 1 ) = p(x = x 1 ), p(x 2 ) = p(x = x 2 ),, p(x n ) = p(x = x n ), respecivamene, al valor numérico: E[X] = x 1 p(x = x 1 ) + + x n p(x = x n ) = x i p(x i ). Para una variable aleaoria absoluamene coninua, la esperanza se calcula mediane la inegral de odos los valores y la función de densidad de probabilidad f(x): E[X] = xf(x)dx. La esperanza ambién se suele simbolizar con μ = E[X] mienras que las esperanzas E[X k ] para k =,1,2 se llaman momenos de orden k. El momeno de orden 1 es precisamene la media. Las propiedades de la esperanza que necesiaremos a lo largo de esa memoria son: 1. E[X + c] = E[X] + c. 2. E[X ± Y] = E[X] ± E[Y]. 3. E[aX] = ae[x]. Varianza En eoría de probabilidad, la varianza (que se suele represenar como σ 2 ) de una variable aleaoria es una medida de dispersión en orno a la media y se define como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respeco a su media. Esá medida esá dada en n i=1 44

45 unidades disinas de las de la variable aleaoria, por ello es conveniene inroducir la desviación esándar o ípica, la cual, se define como la raíz cuadrada de la varianza. La varianza siempre es no negaiva. Por ano, dada una variable aleaoria X con media μ = E[X], su varianza, Var[X] esá dada por la expresión: Var[X] = E[(X μ) 2 ]. Desarrollando la definición anerior, se obiene la siguiene definición equivalene, conocida como fórmula de König: Var[X] = E[(X μ) 2 ] = E[(X 2 2Xμ + μ 2 )] = E[X 2 ] 2μE[X] + μ 2 = E[X 2 ] 2μ 2 + μ 2 = E[X 2 ] μ 2. Si la variable aleaoria X es coninua con función de densidad de probabilidad f(x), enonces Var[X] = (x μ) 2 f(x)dx, donde, μ = xf(x)dx, y las inegrales esán definidas sobre el rango de valores de la variable aleaoria X. Si la variable aleaoria X es discrea con pesos x 1 p 1,, x n p n y n es el número oal de daos, enonces enemos: donde, Las propiedades de la varianza son: 1. V[X]. Var[X] = n i=1 p i(x i μ) 2, n n μ = ( i=1 p ix i ). n 2. V[aX + b] = a 2 V[X] siendo a y b números reales cualesquiera. De esa propiedad se deduce que la varianza de una consane es cero, es decir, V[b] =. 3. V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X, Y], donde Cov[X, Y] es la covarianza de X e Y. 45

46 Covarianza En ese aparado recordamos la definición de covarianza de dos variables aleaorias y lisaremos sus principales propiedades. Definimos la covarianza de dos variables aleaorias X e Y, con medias E[X] y E[Y], respecivamene, como: Cov[X, Y] = E[(X E[X])(Y E[Y])]. Si desarrollamos el miembro de la derecha es sencillo ver la siguiene represenación equivalene de la covarianza: Cov[X, Y] = E[XY] E[X]E[Y]. Obsérvese que si X e Y son independienes, como E[XY] = E[X]E[Y], se iene: Cov[X, Y] =. Se puede demosrar que un valor posiivo (negaivo) de Cov[X, Y] indica que Y iende a crecer (decrecer) cuando X crece. La covarianza goza de las siguienes propiedades: 1. Cov[X, X] = Var [X]. 2. Cov[X, Y] = Cov [Y, X]. 3. Cov[aX, Y] = Cov[X, ay] = a Cov[X, Y], siendo a una consane. 4. Cov[X, Y + Z] = Cov[X, Y] + Cov[X, Z]. La úlima propiedad se puede generalizar: n m n m i=1, 5. Cov[a + i=1 a i X i, b + j=1 b j Y j ] = j=1 a i b j Cov[X i, Y j ] n siendo {a i } i=1 m y {b j } j=1 Disribución Normal consanes. En ese aparado recordaremos la definición y propiedades de la disribución Normal. La disribución Normal es una de las disribuciones de probabilidad de variables coninuas que con más frecuencia se uiliza en la modelización esadísica de fenómenos reales. Se dice que una variable aleaoria coninua X sigue una disribución normal de parámeros μ y σ y se denoa X~N[μ; σ] cuando su función de densidad de probabilidad esá dada por: 46

47 f(x; μ, σ 2 ) = 1 (x μ) 2 2π e 2σ 2 A coninuación, deallaremos únicamene las propiedades de la disribución Normal que más nos ineresan para nuesro desarrollo poserior: 1. Si X~N[μ; σ 2 ] y a y b son números reales, enonces ax + b~n[aμ + b; a 2 σ 2 ]. 2. Si X~N[μ x ; σ x 2 ] e Y~N[μ y ; σ y 2 ] son variables aleaorias normales independienes, enonces: Su suma esá normalmene disribuida: X + Y~N[μ x + μ y ; σ x 2 + σ y 2 ]. Su diferencia esá normalmene disribuida: X Y~N[μ x μ y ; σ x 2 + σ y 2 ] Propiedades esadísicas del proceso esocásico solución del modelo de Vasicek Una vez que hemos obenido mediane el cálculo de Iô (fórmula de Iô) la solución del modelo de Vasicek (véase (3.3.5)): r() = r e + (r r e )e α + σ e α( s) dw(s), en ese aparado esudiaremos sus principales funciones esadísicas: media, varianza y covarianza. Para ese análisis se requerirá de la aplicación de las propiedades de la inegral esocásica de Iô lisadas en el Aparado 2.4. Función Media Tomamos el operador esperanza en la expresión (3.3.5) y obenemos: E[r()] = r e + (r r e )e α + σ E [ e α( s) dw(s) ] = r e + (r r e )e α. ( ) Función Varianza Teniendo en cuena la fórmula de König: Var[r()] = E [(r()) 2 ] (E[r()]) 2, ( ) 47

48 como ya conocemos E[r()] (véase ( )), basa calcular el momeno de orden dos respeco del origen: E [(r()) 2 ]. Para ello, a parir de (3.3.5) calculamos (r()) 2 : (r()) 2 = (r e ) 2 + (r r e ) 2 e 2α + σ 2 ( e α( s) dw(s) +2r e σ e α( s) dw(s) + 2σ(r r e )e α e α( s) dw(s). 2 ) + 2r e (r r e )e α Iô: Ahora omamos el operador esperanza y aplicamos las propiedades I.1. y I.2. de la inegral de E [(r()) 2 ] = (r e ) 2 + (r r e ) 2 e 2α + σ 2 E [( e α( s) dw(s) ) 2 ] donde hemos aplicado que, + 2r e (r r e )e α + 2r e σe [ e α( s) dw(s) ] + 2σ(r r e )e α E [ e α( s) dw(s) ] = (r e ) 2 + (r r e ) 2 e 2α + σ 2 e 2α( s) ds + 2r e (r r e )e α = (r e ) 2 + (r r e ) 2 e 2α + σ2 2α (1 e 2α ) + 2r e (r r e )e α, e 2α( s) ds = 1 2α (1 e 2α ). ( ) Susiuyendo ( ) y ( ), y realizando las operaciones algebraicas correspondienes se obiene la siguiene función varianza: Función Covarianza Var[r()] = σ2 2α (1 e 2α ). ( ) Para calcular la covarianza de r() y r(s), reescribiremos r() dada en (3.3.5), en la siguiene forma equivalene: r() = r e + (r r e )e α + σe α e αu dw(u). Aplicando la Propiedad 5 de la covarianza (veáse Aparado 3.4.1) para n = m = 1, con la siguiene idenificación: 48

49 obenemos: a = r e + (r r e )e α, a 1 = σe α, X 1 = e αu dw(u), b = r e + (r r e )e αs, b 1 = σe αs, Y 1 = e αv dw(v), Cov[r(), r(s)] = Cov [r e + (r r e )e α + σe α e αu dw(u) + (r r e )e αs + σe αs e αv dw(v) = Cov [σe α e αu dw(u), σe αs e αv dw(v) ] = σ 2 e α(+s) Cov [ e αu dw(u), e αv dw(u) ]. Ahora eniendo en cuena la definición de covarianza (veáse Aparado 3.4.1) y la propiedad I.3. de la inegral de Iô, se obiene: Cov[r(), r(s)] = σ 2 e α(+s) s s s s s, r e ] e 2αu du = σ2 e α(+s) (e 2α( s) 1). 2α Obsérvese que en el caso en que = s, s = y de esa úlima fórmula obenemos la varianza (véase ( )) Simulación del modelo de Vasicek Con objeo de evaluar la calidad del modelo de Vasicek para modelizar ipos de inerés en casos prácicos, es conveniene observar que la represenación de su solución r() dada en (3.3.5) esá en érminos de la inegral esocásica e αu dw(u), (3.5.1) por lo que se hace necesario disponer de esraegias para simular dicha inegral. Para ello vamos a proponer una forma de abordar ese problema, la cual será considerada en la aplicación y validación del modelo a los casos prácicos analizados en el Capíulo 4. 49

50 Simulación por re-escalado del iempo del movimieno browniano Observemos en primer lugar que por la propiedad I.4 de la inegral de Iô sabemos, Por ora pare, por ano, e αu dw(u)~n [; e 2αu du]. e 2αu du = 1 2α (e2α 1), e αu 1 dw(u)~n [, 2α (e2α 1)], o equivalenemene, uilizando la definición del proceso de Wiener (véase Aparado 2.1), e αu dw(u) donde = d denoa que la igualdad es en disribución. = d W ( e 2αu du) = W ( 1 2α (e2α 1)), Ahora eniendo en cuena la propiedad de 1 auosemejane del proceso de Wiener (véase 2 Aparado 2.1) obenemos, e αu dw(u) = 1 2α W(e2α 1). Eso nos permie dar la siguiene represenación de la solución r() dada en (3.3.5) en érminos del movimieno browniano re-escalado en el iempo: r() = r e + (r r e )e α + σe α 2α W(e2α 1). (3.5.2) Con objeo de faciliar aún más el proceso de simulación, obsérvese que uilizando la represenación: W() = d Z, Z~N[,1], la expresión (3.5.2) puede escribirse equivalenemene como: 5

51 r() = d r e + (r r e )e α + σe α e 2α 1 2α Z, Z~N[,1] (3.5.3) 3.6. Esudio asinóico del modelo de Vasicek Hasa ahora hemos analizado el modelo de ipos de inerés de Vasicek en iempos finios, obeniendo su proceso esocásico solución y sus principales propiedades esadísicas, ambién denominadas, leyes condicionales ales como la media, varianza y covarianza. Además, hemos proporcionado un méodo para simular el proceso solución. Sin embargo, en la propia base de la formulación del modelo se considera el comporamieno a largo plazo del ipo de inerés, ya que el parámero r e denoa el ipo de inerés a largo plazo, al cual se supone que reorna el modelo. Por ello, a coninuación, vamos a esudiar el modelo asinóicamene. Parimos para ello de la siguiene represenación de la solución en iempos finios, r()~n [r e + (r r e )e α ; σ2 2α (1 e 2α )]. (3.6.1) Obsérvese que la normalidad procede de la represenación (3.3.5), de la propiedad I.4 de la inegral de Iô y de la propiedad 1 de las variables aleaorias Gaussianas (disribución Normal). Por ora pare, la media y la varianza de r() ya han sido calculadas en ( ) y ( ), respecivamene. Tomando límies cuando en (3.6.1) y eniendo en cuena que α >, se obiene que r ~N [r e ; σ2 2α ]. Obsérvese que ello refuerza la denominación del modelo de Vasicek como un modelo de regresión de ipos de inerés a la media, ya que, re denoa en el planeamieno asinóico del modelo el ipo de inerés a largo plazo. 51

52 3.7. Esimación por Máxima Verosimiliud de los parámeros del modelo de Vasicek La función de verosimiliud de la muesra r, r 1,, r N (omada en inervalos de iempo de longiud ) esá dada por la función de densidad de probabilidad conjuna de la muesra: L(α, r e, σ; r, r 1,, r N ). Uilizando el eorema de Bayes, el hecho de que la solución de una ecuación diferencial esocásica de Iô del ipo dr() = μ(, r())d + σ(, r())dw(), (de la cual, el modelo de Vasicek es un caso paricular) es un proceso esocásico markoviano de primer orden y la normalidad del proceso solución del modelo de Vasicek, se obiene que: L(α, r e, σ; r, r 1,, r N ) = L(α, r e, σ; r ) L(α, r e, σ; r 1 r )L(α, r e, σ; r 2 r, r 1 ) L(α, r e, σ; r N r, r 1,, r N 1 ) = L(α, r e, σ; r 1 r )L(α, r e, σ; r 2 r 1 ) L(α, r e, σ; r N r N 1 ) donde en la primera igualdad hemos aplicado el eorema de Bayes y en la segunda que le proceso solución es Markoviano de orden 1. L(α, r e, σ; r, r 1,, r N ) = 1 2π σ2 2α (1 e 2α ) 1 e 2π σ2 2α (1 e 2α ) = 1 2π σ2 2α (1 e 2α ) ( 2π σ2 2α (1 e 2α ) ) N = (2π σ2 2 2α (1 e 2α )) 1 e e 1 r 1 (r e +(r r e )e α ) 2 σ2 ( 2α (1 e 2α ) ) 1 r 2 (r e +(r 1 r e )e α ) 2 ( σ2 2α (1 e 2α ) 1 r N (r e +(r N 1 r e )e α ) 2 σ2 ( 2α (1 e 2α ) ) N N i=1 e 1 2 ( N i=1 e 1 2 ( ) r i (r e +(r i 1 r e )e α ) σ2 2α (1 e 2α ) r i (r e +(r i 1 r e )e α ) σ2 2α (1 e 2α ) ) )

53 La aplicación del méodo de máxima verosimiliud (M.M.V.) busca el cálculo de los parámeros α, r e y σ que maximizan la función L(α, r e, σ; r, r 1,, r N ), sin embargo, es equivalene (y más sencillo), hacerlo sobre la función de log-verosimiliud L (α, r e, σ; r, r 1,, r N ) = ln(l(α, r e, σ; r, r 1,, r N )) dada por: ln(l(α, r e, σ; r, r 1,, r N )) = N 2 N (ln(2π) + ln (σ2 2α (1 e 2α ))) r i (r e + (r i 1 r e )e α ) i=1 ( σ2 2α (1 e 2α ) ) = N 2 N 1 2 i=1 ( (ln(2π) + ln (σ2 2α (1 e 2α ))) r i+1 (r e + (r i r e )e α ) σ2 2α (1 e 2α ) ) Modelo de regresión Acualmene, la necesidad de reducir la inceridumbre ane la oma de decisiones obliga a anicipar la evolución de las variables económicas, por lo que la predicción adquiere especial relevancia y se exigen méodos predicivos lo más fiables posibles. Es aquí donde surgen los modelos de regresión. Para deerminar ese ipo de modelos hemos de esimar sus parámeros, siendo habiualmene esimados por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). Por lo ano, un modelo de regresión consise en deerminar un vecor b de esimadores de los parámeros que cumpla: Y = Xb + e = Y + e, (3.8.1) Donde X es la mariz formada por las variables explicaivas, Y es la esimación de Y o variable que preendemos predecir y e es el valor aproximado del error que se obiene al concluir que Y es 53

54 Y. Respeco al méodo de los MCO podemos decir que consise en la obención de una reca de forma que se minimice la suma de los cuadrados de las disancias (e i ) enre cada una de las observaciones de la variable y dicha reca. A las disancias e i se les denominan residuos. La expresión vecorial de los residuos se obiene de despejar la ecuación (3.8.1), dando como resulado: e = Y Xb. (3.8.2) Se debe minimizar enonces la suma de cuadrados de los residuos (SCR) porque son el error que se realiza en el ajuse, es decir, la disancia de cada observación a la reca ajusada. Al elevarlos al cuadrado elimina el signo, y al sumarlos se acumulan los errores, como se expresa a coninuación: n SCR = e 2 n j = (Y j Y j) 2 j=1 j=1. (3.8.3) Por ora pare, un esimador de la varianza del residuo, σ 2, es la SCR corregido por los grados de liberad. Se puede demosrar que el esimador de la varianza de la perurbación sigue la expresión, σ 2 = SCR n k 1, (3.8.4) ambién denominada cuadrado medio residual. Dado que la SCR ha sido minimizada, es obvio que la varianza del error ambién es mínima. La esimación por MCO, Gujarai (21), se basa en unos supuesos relaivamene esricos, que en ocasiones se relajan ligeramene. Dichos supuesos básicos de parida en relación a los residuos: - E[e i ] =, i. - E[e i e j ] = E[e i 2 ] = σ e 2, i = j (homocedasicidad). - E[e i e j ] =, i j (no auo correlación). - e i ~N[, σ e 2 ]. En general, cuando los errores cumplen esos supuesos básicos se denominan ruido blanco y se caracerizan por ener la varianza consane para cada una de las observaciones y una covarianza cero enre las mismas. 54

55 Análisis de residuos Una vez inroducido el concepo de residuo, es imporane realizar una pequeña inroducción de las diversas herramienas exisenes para el análisis de esos, para verificar los supuesos. Para ello, se describen diversas pruebas para deerminar la idoneidad del modelo propueso de los residuos del ajuse. Para la comprobación de dichas hipóesis, la lieraura Thode (22) propone una serie de gráficos de los residuos del ajuse, en los que se valoraran los problemas del modelo. El primer análisis, se raa de evaluar si se cumple la hipóesis de normalidad para lo que se realiza el gráfico Q-Q plo, el cual compara dos disribuciones a parir de sus cuariles, en ese caso los cuariles empíricos de los residuos con los de una normal El cumplimieno de la hipóesis de normalidad es indispensable para poder realizar los conrases de significación y obener los inervalos de confianza que permian realizar predicciones. Además, si esa hipóesis no se cumple, los esimadores dejan de ser máximo verosímiles. Como apoyo al Q-Q plo, se puede presenar el hisograma de los residuos, para observar si ienen la forma de la campana de Gauss. El gráfico Q-Q plo ofrece una mayor canidad de información sobre la disribución de los residuos que cualquier oro gráfico o prueba numérica y se hace imprescindible cuando exise fala de normalidad de los residuos, pueso que permie omar decisiones sobre la forma de ransformar el modelo para conseguir la normalidad. En la Figura se puede ver un ejemplo de ese ipo de gráfico, en él puede observarse que si los residuos son aproximadamene normales los punos se acercan a la diagonal. Figura Ejemplo de Q-Q plo. Fuene. (Thode, 22). Ora forma de conrasar que los residuos probabilísicamene siguen una disribución normal es mediane el es de Kolmogorov-Smirnov. Se emplea para conrasar si la disribución de 55

56 probabilidad proviene de una disribución Normal y el conrase de hipóesis es el siguiene, omando los valores de media y desviación ípica: H: La disribución de probabilidad es una N[μ, σ]. H1: La disribución de probabilidad no es una N[μ, σ]. El esadísico del conrase de Kolmogorov-Smirnov (Dn) es la máxima disancia verical enre la función de disribución formada por los daos corregidos (F n (x)) y la función de disribución eórica con la que se quieren conrasar los daos (F(x)), como se expresa a coninuación: D n = max F n(x) F(x). <x< El número de daos se denoa por n. Cuando n > 3, el valor críico del esadísico para un nivel de significación del 5% es el siguiene (Dcri): nula. D cri = D n n. Siempre que se obenga un valor para Dn menor que Dcri, no se podrá rechazar la hipóesis El siguiene análisis de residuos es el relacionado con la homocedasicidad, es decir, la varianza de los errores es consane. Por lo ano, la homocedasicidad es una propiedad fundamenal del modelo de regresión lineal general y esá denro de sus supuesos básicos. Según Gujarai (21) 11, en la Figura se observan gráficos correspondienes a los residuos al cuadrado frene a la esimación de la variable dependiene esimada mediane la reca de regresión, con la idea de averiguar si el valor medio esimado de Y esá relacionado sisemáicamene con el residuo al cuadrado. En la Figura a) se observa que no hay un parón sisemáico enre las dos variables, lo cual sugiere que al vez no exisa heerocedasicidad en los daos. Sin embargo, las Figura b) a e) muesran parones definidos. Por ejemplo, la Figura c) sugiere una relación lineal, mienras que las Figura d) y e) indican una relación cuadráica enre el residuo y la esimación. Con dicho conocimieno, es posible ransformar los daos de manera que una vez ransformados no presenen heerocedasicidad. 11 GUJARATI, D. N., PORTER, D. C. (21). Economería. Mc Graw Hill. 5ª Edición. Capíulo 11.- Heerocedasicidad: que pasa si la varianza del error no es consane?. Página

57 Figura Esudio eórico de la homocedasicidad. Fuene. (Gujarai, 21). Por úlimo, el análisis que deberemos de ener en cuena es el independencia, de los residuos, es decir, la exisencia de no auocorrelación enre ellos (covarianza o coeficiene de correlación igual o próximo a ), eso quiere decir, que se debe cumplir que esas no deben de parecerse Medidas de bondad de ajuse Para analizar el buen ajuse del modelo se pueden uilizar diversas herramienas: Gráfico comparaivo de las observaciones y las predicciones. Error cuadráico medio (Mean Squared Error (MSE)). Coeficiene de deerminación (R 2 ). La medida MSE de bondad de ajuse mide la disancia por érmino medio enre los valores observados y los esimados. Cuano menor sea el resulado de la raíz de MSE, enonces podremos decir que el error en el modelo presenado será menor. MSE K i 1 ( S i Sˆ ) K i 2 57

58 Pasamos a describir el cálculo del coeficiene de deerminación. La suma de cuadrados de Y puede dividirse en dos pares, una suma de cuadrados explicada debida al efeco de las variables explicaivas en la variable a explicar, y ora, la suma de los cuadrados de los residuos, ya visa. Esa descomposición se jusifica con la siguiene expresión: (Y i Y ) = (Y i Y ) + (Y i Y i), ( ) elevando al cuadrado y sumando para odas las observaciones disponibles, se iene la expresión: n (Y i Y ) 2 n i=1 = i=1 (Y i Y ) 2 + n i=1(y i Y i) 2. ( ) Las expresiones que se obienen al desarrollar la suma de cuadrados anerior reciben las siguienes denominaciones: - Suma de cuadrados oal (SCT): Suma del cuadrado de las diferencias enre cada valor observado de la variable y la media de los mismos. Indicaría si los valores esán muy alejados del valor medio. - Suma de cuadrados del residuo (SCR): Suma de los cuadrados de las diferencias enre los valores observados y los esimados. Como se ha señalado, es una medida en el error que se comee al omar el uno por el oro, pueso que al elevar al cuadrado se pierde el signo de la diferencia. Al sumarlos se acumulan. - Suma de cuadrados explicada (SCE): Suma de los cuadrados de las diferencias enre las esimaciones y el valor medio de las observaciones. Indicaría si las esimaciones esán muy alejadas de la media de los valores observados. La relación enre los res, por lo ano es SCT=SCE+SCR. Si un modelo explicara compleamene a la variable, su SCR debería ser cero, y las SCT y SCE iguales. Si, por el conrario, no exisiera relación enre las variables explicada y explicaiva, la SCE debería valer cero, y la SCR igual a la SCT. Como la SCE oma valores enre y SCT, el cociene SCE/SCT oma valores enre y 1, con lo que podría ser un buen indicador de la bondad del ajuse realizado. El cociene SCE/SCT se denomina coeficiene de deerminación (R 2 ) y se emplea para saber si un modelo es adecuado, es decir, si explica suficienemene la variable objeo de esudio. Por su definición, el coeficiene de deerminación siempre oma valores enre cero y uno, es decir, R 2 1, por lo que se raa de una escala que mide lo adecuado del ajuse, o dicho de ora forma, mide el porcenaje de la variable Y explicado por el modelo propueso. La raíz cuadrada de dicho coeficiene recibe el nombre de coeficiene de correlación múliple, y es el coeficiene de relación lineal simple enre la variable y su esimación, enre Y e Y. 58

59 Ora forma de obener el valor correspondiene al coeficiene de deerminación es el cociene enre la varianza esimada de la muesra y la varianza global de la observación. Una vez obenido ese cociene, uilizaremos la siguiene ecuación para el resulado a obener: R 2 = 1 S Y 2 S2. ( ) Y Predicción Uno de los objeivos que se persiguen al realizar los modelos económicos es el de poder hacer predicciones de los valores de la variable, por lo que el modelo ajusado debe permiir predecir el valor medio de dicha variable, o enconrar un inervalo que conenga con una probabilidad deerminada al valor real. Si se preende obener una esimación punual esa será posible mediane el valor esperado de la variable esudiada Y asociado a unos deerminados valores de las variables explicaivas en el modelo ajusado. Para ello se calcula la esimación de Y que corresponde a su valor medio condicionado E( Y,, x x k ), como se expresa: 1 Y = r e + (r r e )e α + σe α e 2α 1 2α Z ( ) La predicción punual por inervalos de confianza debe complemenarse con la varianza de la esimación, para conocer así el error en la predicción. La manera de presenar ambos valores es el inervalo de confianza. El inervalo de confianza a nivel α para la esimación de Y es el que se muesra coninuación: Y + μ ± (2s) ( ) donde, μ = r e + (r r e)e α N s = σ 2 (1 e 2α N). ( ) 2α 59

60 Simulación mediane méodo Mone Carlo: aplicación al caso del modelo de Vasicek En el Méodo Mone Carlo (MC) o Simulación Mone Carlo se agrupan procedimienos que analizan disribuciones de variables aleaorias usando una simulación de números aleaorios. Dicho méodo, da una solución a una gran variedad de problemas maemáicos haciendo experimenos con muesreos esadísicos en un ordenador. Por lo ano, generalmene se uiliza en cualquier ipo de esquema capaz de poder emplear números aleaorios, uilizando variables aleaorias con disribuciones de probabilidad conocidas. Ese méodo se llamó así por el principado de Mónaco por ser la capial del juego de azar, al considerar una rulea como un generador simple de números aleaorios. El nombre y el desarrollo sisemáico de los méodos de MC daan aproximadamene de 1944 con el desarrollo de los ordenadores. Esán ligados al rabajo desarrollado por San Ulam y John Von Neumann a finales de los años 4 en el laboraorio de Los Alamos, cuando invesigaban el movimieno aleaorio de los neurones. Sin embargo, hay varias aporaciones (aisladas y no desarrolladas) en muchas ocasiones aneriores a El uso real de los méodos de MC como una herramiena de invesigación, proviene del rabajo de la bomba aómica durane la Segunda Guerra Mundial. Por lo ano, ese méodo MC será aplicable a cualquier ipo de problema, ya sea esocásico o deerminísico. Se puede realizar en condiciones diferenes y deerminar la mejor solución en el marco de los resulados obenidos. Son muchos los auores que han aposado por uilizar hojas de cálculo para realizar simulación MC. La poencia de las hojas de cálculo reside en su universalidad, en su fácil uso, en su capacidad para recalcular valores y, sobre odo, en las posibilidades que ofrece con respeco al análisis de escenarios como por ejemplo Gedam y Beaude (2). 6

61 Para poder realizar el méodo MC, primero deberemos crear el modelo maemáico del sisema, proceso o acividad que se quiere analizar, idenificando aquellas variables cuyo comporamieno aleaorio deermina el comporamieno global del sisema. Una vez idenificados dichos inpus o variables aleaorias, se lleva a cabo un experimeno consisene en: Primero, generar muesras aleaorias con ayuda del ordenador (obención de valores concreos); Segundo, analizar el comporamieno del sisema ane los valores generados. Tras repeir N veces ese experimeno, dispondremos de N observaciones sobre el comporamieno del sisema, lo cual nos será de uilidad para enender el funcionamieno del mismo: por lo ano, a mayor número de N observaciones, más precisión endrá el análisis. Para un rao más exenso sobre el ema consular el exo Gilks, Richardson y Spiegelhaler (1996). Una vez se han esimado los parámeros μ, σ y r e, y susiuidos en la expresión: r() = d r e + (r r e )e α + σe α e 2α 1 2α Z, Z~N[,1]. Así pues, generando diferenes valores de Z, endremos esimaciones punuales diferenes de r() para la valoración del ipo de inerés inerbancario EONIA para un momeno fijo. Las hojas de cálculo como Excel son capaces de generar números aleaorios procedenes de una disribución normal inversa con media y desviación ípica 1. Ese ipo de números aleaorios son los elemenos básicos a parir de los cuales se desarrolla cualquier simulación por ordenador. En Excel, es posible obener un número aleaorio usando la función ALEATORIO. Dicha función es voláil ya que cuando pulsamos la ecla F9, auomáicamene nos generara en odas las celdas donde aparezca dicha función, un nuevo número aleaorio. 61

62 62

63 4. Aplicación y validación del modelo de Vasicek Para la aplicación y validación del modelo de Vasicek hemos elegido el ipo de inerés inerbancario EONIA. En el Gráfico 4.1 se muesra el hisórico del ipo inerés EONIA desde Esa elección ha esado condicionada al ipo de modelo que se esudia en ese rabajo: el modelo de Vasicek y sus supuesos básicos. La formulación de dicho modelo exige en sus hipóesis que el ipo de inerés sea de coro plazo o ambién denominado shor-erm La puesa en prácica del modelo ha supueso en primer lugar la búsqueda en bases de daos de ipos de inerés a coro plazo. Eso se ha realizado a parir de las fuenes del Banco de España 12. Una vez obenidos los daos, hemos aplicado el modelo y, poseriormene hemos realizado un esudio de la bondad de ajuse para diferenes periodos. A parir de ese análisis, se ha elegido el período donde se observa que el modelo no cambia excesivamene de endencia cenral y esa puede ser descria de forma lineal, ya que así lo exige su formulación del modelo según su reversión a la media

64 % El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés Como hemos señalado anes, la elección apropiada del período donde se aplica el modelo es un paso crucial en ese esudio. Observemos en el Gráfico 4.1 cómo desde que el valor empezó a operar, ha seguido diversos comporamienos debidos a los disinos escenarios económicos aconecidos ano en la economía europea como mundial. Una vez aplicado el modelo en varios periodos, se ha llegado a la conclusión de que debe elegirse la eapa acual donde el modelo puede aplicarse de forma adecuada por ello se ha decidido el correspondiene al año 212. Cenramos inicialmene nuesro esudio en el período 2/1/212 31/12/ Tipo de inerés inerbancario EONIA, Tipo de inerés inerbancario EONIA Gráfico 4.1. Tipo de inerés inerbancario EONIA, Fuene. Banco de España. Elaboración Propia. En el Gráfico 4.2 se muesran los valores del ipo de inerés inerbancario EONIA en el año 212. Dichos valores flucúan de forma decreciene desde el,39% del 2/1/212 hasa el,131% del 31/12/212. Anes de proceder a aplicar el modelo para el año 212, uilizando la meodología esadísica esándar eliminaremos los daos anómalos u ouliers realizando para ello un análisis previo de los residuos. Los valores ouliers o valores alejados son daos fuera del inervalo de valores normales y con su depuración conseguimos obener un modelo que refleje mejor a la mayoría de daos Por ello, se ha procedido a excluir del análisis un oal res daos en el primer semesre y de un solo dao en el segundo semesre, concreamene corresponden en el primer semesre a los días 6/1/212, 3/3/212 y 29/6/212 mienras en el segundo semesre corresponde al 31/12/212. Ese comporamieno anómalo puede explicarse ya que corresponde a fechas de 64

65 % El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés principios y finales de mes, donde habiualmene el BCE suele omar las decisiones correspondienes a la políica monearia y que por ano afecan a los ipos de inerés.,45,4,35,3,25,2,15,1,5, Año 212 Tipo de inerés inerbancario EONIA Gráfico 4.2. Tipo de inerés inerbancario EONIA, 212. Fuene. Banco de España. Elaboración propia. Cenrándonos en el año 212, disinguimos dos eapas disinas respeco del comporamieno de EONIA. El primer periodo corresponde al 2/1/212 1/7/212 y el segundo periodo corresponde al 11/7/212 31/12/212 (Gráfico 4.2). La inesperada decisión omada por pare del BCE en el primer jueves del pasado mes de Julio de 212 de bajar los ipos de inerés oficiales en 25 punos básicos provocó ese descenso a miad del año 212, ya que, dicho descenso pasó del 1% hasa el,75%, siendo el 11/7/212 el día en el que el BCE hace efeciva la decisión omada unos días arás 13. Una vez realizado ese análisis de odo el año 212, decidimos aplicar el modelo de Vasicek en el segundo semesre del año 212, es decir, a parir del salo que se produce pueso que el modelo Vasicek no capa bien un salo debido a las expecaivas inesperadas en las magniudes macroeconómicas. Cabe señalar sin embargo, que dicho modelo ambién se aplicó al primer semesre del año 212, proporcionando buenos resulados. Una segunda razón para la elección del segundo semesre de 212, es el aracivo de la consideración de la aplicación del modelo sobre daos lo más acuales posibles para poder realizar predicciones. 13 Noa de prensa: El BCE deja de pagar hoy a la banca por deposiar el dinero. Diario Expansión

66 % El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés,14 2º Semesre Año 212,12,1,8,6,4,2 11-jul ago sep oc nov dic.-12 Tipo de inerés inerbancario EONIA Gráfico 4.3. Tipo de inerés inerbancario EONIA, 2º semesre 212. Período: 11/7/212 31/12/212. Fuene. Banco de España. Elaboración propia. Así pues el periodo de nuesro esudio corresponde a las fechas de 11/7/212 31/12/212. Observando el Gráfico 4.3, el ipo inerbancario EONIA sigue una endencia bajisa con ciera volailidad. El único oulier que ha sido eliminado de ese gráfico corresponde al día 31/12/212. Como explicación de ese dao anómalo creemos que fue debido a que el BCE realizo diversos comunicados haciendo saber la buena marcha de la crisis económica acual en odo el marco europeo, por lo que eso fue una buena noicia que hizo incremenar noablemene los ipos de inerés ese día Aplicación modelo de regresión En primer lugar, realizaremos un análisis descripivo 14 del periodo, obeniendo los esadísicos básicos uilizados (media, varianza de la muesra, ec.), siendo N + 1 el número oal de daos 121. Esos esadísicos nos proporcionan una descripción del comporamieno de EONIA a lo largo del periodo para una primera exploración. 14 Uilizaremos la macro Análisis de Daos/ Esadísica Descripiva (Excel). 66

67 Tabla Esadísicos descripivos de las observaciones EONIA, 2º Semesre 212. Fuene. Elaboración propia (Excel). La media de las observaciones es de,938 mienras que la desviación esándar es de,167. El rango en el que se mueven las observaciones es de un,71, es decir, la diferencia enre el dao mínimo,,6, y el dao máximo,,131. Las medidas de disribución, curosis y coeficiene de asimería, nos permiirán deerminar el grado de concenración que presenan los valores en la región cenral de la disribución (curosis) e idenificar si los daos se disribuyen de forma uniforme alrededor del puno cenral (asimería). En nuesro caso, la curosis es menor de, por lo que diremos que la disribución es plaicúrica o mas achaada que la normal. La asimería es menor de, por lo que es asiméricamene negaiva y por ano la cola a la izquierda de la media es más alargada que la norma. Pero al ener ambos coeficienes valores en el inervalo de -2 a 2 podemos acepar que la forma del hisograma de los daos no se aleja excesivamene de la campana de Gauss y por ano es aproximadamene normal. En segundo lugar, hemos realizado un ajuse de regresión lineal 15, y = a + b, donde y es la variable dependiene, es el iempo (variable independiene). Por lo que en la reca de regresión y son los daos de EONIA y es el iempo con origen en. Con esa regresión se preende capar la endencia lineal de los ipos de inerés previamene a aplicar el modelo Vasicek. 15 Uilizaremos la macro Análisis de daos/ Regresión (Excel). 67

68 Figura Parámeros escogidos para realizar la regresión. Fuene. Elaboración propia. (Excel). Una vez esimados los parámeros, se procede al análisis de los resulados obenidos. Los resulados de la regresión (Tabla 4.1.3). De esa abla se deduce que los coeficienes de la reca de de regresión son: a =, y b =,457973, y en ella se muesra un pronósico y unos residuos. Tabla Análisis de la regresión. Fuene. Elaboración propia. (Excel). En ercer y úlimo lugar, se ha llevado a cabo una valoración de la regresión lineal y un análisis de sus residuos. En el Gráfico se muesran los pronósicos para el ipo de inerés inerbancario EONIA en forma de reca y las observaciones del inerés frene a el iempo. En él puede apreciarse que la reca capa de forma muy adecuada la endencia descendiene del índice. 68

69 Residuos Y El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés,14,12,1,8,6,4, Tipo de inerés EONIA Pronósico para EONIA Gráfico Curva de Regresión Ajusada. Fuene.- Elaboración propia (Excel). El Gráfico se han represenado los residuos frene al periodo para observar el grado de independencia de los mismos. Concluimos que exise dependencia debido a que los residuos ienen una disposición regular alrededor de eje horizonal e =, a lo largo del iempo. Ese comporamieno es el que moderaremos con el modelo Vasicek.,15,1,5 -, ,1 -,15 Gráfico Análisis de Residuos, Independencia. Fuene. Elaboración propia. (Excel) En el Gráfico 4.1.6, (denominado gráfico Q-Q plo), nos permie acepar que los residuos se disribuyen de forma normal ya que se encuenran sobre la diagonal, y eso supone que los cuariles son similares a los de la dicha disribución. 69

70 Normal Q-Q Plo Sample Quaniles Theoreical Quaniles Gráfico Análisis de normalidad de los residuos. Gráfico Q-Q Plo. Fuene. Elaboración propia. R Developmen Core Team (28). En el Gráfico se represena el hisograma los daos sin endencia del ipo inerbancario EONIA. Se observa como dicho hisograma se aproxima a una disribución normal o gaussiana, al y como se observa en la línea disconinua. Frecuencia absolua Función de densidad de los daos sin endencia Función de densidad de Normal (-,4;,1816) Daos sin endencia Gráfico Hisograma de las observaciones sin endencia. Fuene. Elaboración propia. R Developmen Core Team (28). 7

71 Residuos El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés Por úlimo, denro del análisis de los residuos, en el Gráfico represenamos los residuos frene a la predicción obenida a parir de la reca de regresión. Ese análisis nos permie concluir la exisencia de homocedasicidad, ya que, la mayor pare de los residuos se encuenran en un inervalo de valores comprendidos enre,1 y -,1 los residuos.,15,1,5 Análisis Homocedasico -,5 -,1 -,15,2,4,6,8,1,12,14 Predicción Gráfico Análisis de residuos, Homocedasicidad. Fuene. Elaboración propia (Excel). Por lo ano, a parir del esudio de la regresión, concluimos que podemos acepar que describe bien la endencia y que los residuos resulanes son aproximadamene normales. Y a esos residuos o lo que denominaremos daos sin endencia es los que vamos a aplicar el modelo Aplicación del modelo de Vasicek El modelo de Vasicek (véase (3.3.5)), necesia la esimación de res parámeros: α, r e, σ. Para poder obener una esimación de esos parámeros, uilizaremos el méodo de máxima logverosimiliud. Ese análisis se ha realizado con la macro Solver (Figuras y 4.2.2). 71

72 Figura Valores iniciales de los parámeros del modelo de Vasicek escogidos en Solver. Fuene. Elaboración propia. Sofware Solver (Excel). Figura Opciones en Solver del méodo de búsqueda de los parámeros del modelo de Vasicek. Fuene. Elaboración propia. Sofware Solver (Excel). 72

73 Teniendo en cuena el proceso de análisis descrio en las Figuras y , los resulados obenidos sobre los residuos se deallan en la Tabla Tabla Resulados de los parámeros mediane el méodo de Máxima Verosimiliud en el modelo de Vasicek. Fuene. Elaboración propia. (Excel). Los daos sin endencia se han obenido de la regresión (Tabla 4.1.3, Celda C25 y siguienes) del ipo inerbancario EONIA en la columna D. La esimación de los parámeros se ha realizado a parir de la aplicación de la solución del modelo de Vasicek (véase (3.3.5)) mediane el méodo de máxima log-verosimiliud (Capíulo 3.7). La columna M corresponde a una pare de la evaluación de la función de log-verosimiliud (véase (4.2.1). ln(l(α, r e, σ; r, r 1,, r N )) = N (ln(2π) + ln (σ2 (1 e 2α ))) 2α N ( r i+1 (r e +(r i r e)e α ) ) i=1 σ2 2α (1 e 2α ) V 2 2. (4.2.1) Los resulados en la Columna M (calculamos N daos), los uilizamos en la Celda H18, obeniendo el valor máximo del periodo con los respecivos parámeros aneriores (Figuras y 4.2.2) obenidos en las Celdas H13-H15, que corresponden a los valores de α, r e, σ. Para el resulado de la Celda H18 debemos ener en cuena, que el incremeno de en el periodo a uilizar 73

74 será de 1/252 (correspondiene al paso uniario de un año medio con 252 días de aperuras de mercados financieros) y en la Celda H17 enconraremos la suma de oda la Columna M. Una vez obenido el resulado de los parámeros a esimar (α, r e, σ), necesiamos para hacer las predicciones de los daos sin endencia a parir del modelo de Vasicek (véase (3.5.3)) simular la variable aleaoria Z~N[; 1]. Esas simulaciones aparecen en la columna S de la Tabla y en la columna T se indican las predicciones de los daos sin endencia. Tabla Cálculo realizado para la simulación por re-escalado del Modelo Vasicek. Fuene. Elaboración propia. (Excel). Finalmene, añadiendo esas predicciones de los daos sin endencia obenidos por Vasicek a los pronósicos de la endencia obenidos en el modelo de regresión, obenemos las predicciones de EONIA (véase Columna U de la Tabla 4.2.4). En el Gráfico se ha represenado la evolución del ipo inerbancario EONIA esimado a parir del modelo de Vasicek y el resulado de la muesra de daos EONIA publicados por BdE en dicho período. 74

75 % El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés,15 2º Semesre Año 212,13,11,9,7,5 11-jul ago sep oc nov dic.-12 Tipo de inerés inerbancario EONIA Predicción EONIA Gráfico Predicción Tipo de inerés inerbancario EONIA mediane Modelo de Vasicek. Fuene. Elaboración propia. (Excel) Validación del modelo de Vasicek Una vez realizada la aplicación del modelo de Vasicek en el periodo seleccionado para el ipo de inerés EONIA, es necesario llevar a cabo una validación del modelo de Vasicek. Eso nos permiirá acepar la solución del modelo para el caso del ipo de inerés EONIA uilizando crierios esadísicos. Esos crierios serán: medidas de bondad de ajuse, esudio de inervalos de confianza y análisis de los residuos. Con ello, obendremos predicciones validadas para el EONIA, lo que quiere decir que son fiables y no dependen en exceso de los méodos y daos uilizados Medidas de bondad de ajuse En el Capíulo se expusieron las medidas de bondad de ajuse que vamos a considerar en ese aparado para validar el modelo de Vasicek aplicado al caso del ipo EONIA. En primer lugar, se realiza un esudio comparaivo de las observaciones de la muesra y las predicciones obenidas al aplicar el modelo de Vasicek. Si observamos el Gráfico 4.2.5, podemos decir que el ipo de inerés inerbancario EONIA de la muesra sigue una endencia bajisa y a su vez la volailidad es mucho mayor que la obenida a parir de la predicción del modelo de Vasicek. En segundo lugar, se obiene el Error Cuadráico Medio (MSE) inroducido en el Capíulo La Tabla muesra los resulados obenidos para las medidas de bondad de ajuse, paricularmene, para el MSE. Para mayor claridad en la exposición deallamos los pasos a seguir 75

76 para calcular la medida MSE. Primero, se obiene la media de la predicción del período (Tabla 4.2.4, Columna U) en la Celda Z7. Segundo, se obiene la media de las observaciones del periodo (Tabla 4.2.3, Columna C) en la Celda Z8. Tercero, se obiene el cociene en valores absoluos enre la media esimada y la real (Celda Z9). Cuaro, en la Columna AB obenemos el residuo enre las observaciones y las predicciones. Quino, elevaremos al cuadrado los residuos obenidos aneriormene en la Columna anerior (Columna AC). Por úlimo, para obener el MSE (Celda Z1), sumaremos los daos de la columna AC y lo dividiremos enre el número de daos del periodo, es decir, 121. Por lo ano, si a la Celda Z1 le aplicamos la raíz cuadrada, obenemos el RMSE, es decir, el error mínimo del periodo analizado con un resulado de,48. En ercer lugar, el Coeficiene de Deerminación (R 2 ) (véase Ecuación ( )) se emplea para saber si un modelo es adecuado, es decir, si la variable dependiene EONIA esá sufrienemene explicado por el modelo de Vasicek aplicado. En la Celda Z12 se uiliza la varianza de la observación (Tabla 4.2.3, Celda H4) y la varianza de la muesra global (Tabla , Celda Z16) mienras que en la Celda Z13 se obiene la Varianza de la predicción (Tabla 4.2.4, Columna U) para realizar el mismo procedimieno anerior. Obenemos el R 2 de los daos y la predicción. Los resulados obenidos son de un 99,986% en ambos casos, por lo que el modelo se explica correcamene a parir de los daos obenidos al esar próximo a la unidad Validación por inervalos de confianza En ese aparado consruiremos inervalos de confianza (IC) del 95% para validar la aplicación realizada del modelo de Vasicek a los daos EONIA. En la Tabla obenemos el cálculo de los inervalos de confianza a parir de los daos sin endencia obenidos en la Regresión (Tabla 4.1.3), eniendo en cuena el cálculo de μ (Columna AH) y s (Columna AI), al y como se explica en el Capíulo Además, hemos de considerar el valor de la predicción del ipo EONIA en la Regresión (Tabla 4.2.4), se suma el valor de μ más 1,96 veces el valor obenido en s, donde μ es la media del modelo de Vasicek (véase Ecuación ( )) más la predicción de la regresión y, s es la desviación ípica del modelo de Vasicek (véase Ecuación ( )). De esa manera obendremos el IC superior mienras que en el caso conrario, IC inferior, es la misma operación anerior, pero susiuyendo la suma por una resa. En la Gráfica podemos observar los resulados obenidos con un nivel de significaividad de un 5%. 76

77 Tabla Esudio medidas Bondad de Ajuse. Fuene. Elaboración propia. (Excel). Tabla Cálculos para la obención de inervalos de confianza con 95% de probabilidad. Fuene. Elaboración propia. (Excel). 77

78 Residuos % El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés 2º Semesre Año 212,14,13,12,11,1,9,8,7,6,5 11-jul ago sep oc nov dic.-12 Tipo de inerés inerbancario EONIA Predicción EONIA Inervalo Confianza 95% Gráfico Análisis de los Inervalos de Confianza con un nivel de significaividad de un 5%. Fuene. Elaboración propia. (Excel) Validación de los residuos Según la meodología explicada en el Capíulo 4.1, los residuos se han obenido como la diferencia enre los daos de la predicción final (endencia + modelo Vasicek) y los daos de la muesra. A coninuación, necesiamos validar esos residuos jusificando su independencia y normalidad.,15,1,5 -, ,1 -,15 Gráfico Análisis de Residuos, Independencia. Fuene. Elaboración propia. (Excel). En el Gráfico represenamos los residuos para esudiar el grado de independencia. Concluimos que exise independencia debido a que los residuos se encuenran dispersos en el iempo aproximadamene disribuidos alrededor del eje horizonal e =. 78

79 Normal Q-Q Plo Sample Quaniles Theoreical Quaniles Gráfico Análisis de normalidad de los residuos. Gráfico Q-Q Plo. Fuene. Elaboración propia. R Developmen Core Team (28). En Gráfico , corresponde al análisis de normalidad de los residuos y se raa de nuevo un gráfico Q-Q plo. Podemos decir que se puede acepar la normalidad ya que la gráfica muesra valores que se aproximan a la diagonal. En el Gráfico represenamos mediane un hisograma los residuos del ipo inerbancario EONIA. Se observa como los daos siguen una disribución normal o gaussiana, al y como se observa en la línea disconinua. Por úlimo, denro del análisis de los residuos, en el Gráfico represenamos los residuos frene a la predicción obenida para observar la exisencia de homocedasicidad, ya que, la mayor pare de los resulados se encuenran en un inervalo de valores comprendidos enre 1 y - 1. Por lo ano, a parir del esudio previo, concluimos que podemos acepar la normalidad e independencia de los residuos. 79

80 Residuos El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés Frecuencia absolua Función de densidad de los residuos Función de densidad de Normal (-,6;,48) Residuos Gráfico Hisograma de las observaciones sin endencia. Fuene. Elaboración propia. R Developmen Core Team (28).,15,1,5 -,5 -,1 -,15 Análisis Homocedásico,2,4,6,8,1,12,14 Predicción Gráfico Análisis de residuos, Homocedasicidad. Fuene. Elaboración propia. (Excel) Predicción En ese aparado, se realiza una predicción para la primera semana del año 213 (1/1/213 8/1/213), correspondienes a los días en los que los mercados financieros esén operaivos y se obienen IC en los que flucuará el ipo con una probabilidad de un 95%. 8

81 % El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés Para la predicción (Tabla ), hemos aplicado la Ecuación (3.5.2) con los parámeros obenidos en la aplicación del méodo de máxima verosimiliud (Tabla 4.2.3) y para el valor simulado Z (Columna D). Al resulado obenido mediane ese proceso se le sumará los resulados obenidos en la regresión (Y = a + b), es decir, el coeficiene a será, mienras que b será -, muliplicado por el insane. También comenar que en ese caso, r, corresponderá al dao inicial del residuo de la regresión menos el dao esimado del residuo mediane la simulación por re-escalado en el iempo del modelo de Vasicek. Los resulados obenidos son los mosrados en la Tabla Tabla Predicción del ipo de inerés EONIA, Año 213. Fuene. Elaboración propia. (Excel).,75,7,65,6,55,5 Tipo de inerés inerbancario EONIA Predicción EONIA Gráfico Predicción ipo de inerés EONIA año 213 (5 días). Fuene. Elaboración propia. (Excel). En el Gráfico , observamos como la predicción de la semana se encuenra por debajo del dao real del EONIA con excepción de los dos primeros días. Podemos llegar a decir que los 81

82 daos correspondienes a los días 3, 4 y 7 son muy próximos al dao real e incluso observar como el dao del día 8 es el mismo que el dao real. Una vez obenida la predicción punual, compleamos el proceso prediciva consruyendo IC del 95%. Eso lo haremos uilizando el méodo Mone Carlo (MC) (véase (Capíulo 3.8.4)). Para realizar dicho esudio (Tabla ), hemos realizado 1 simulaciones. Esas simulaciones corresponden a Z (Columna R) y a la predicción de cada día (Columnas S-W) (véase Tabla ). Tabla Simulación méodo Mone Carlo para realizar predicciones del EONIA y consruir IC del 95%. Fuene. Elaboración propia. (Excel). El siguiene paso a realizar, Tabla , es obener la media (Columna M) y la desviación ípica (Columna N) de cada día para así poder obener los IC correspondienes para la predicción (Columna O y P). Los IC del 95% en cada insane emporal se han obenido a parir de los perceniles 2,5 y 97,5 de las simulaciones del EONIA generadas por el méodo de Mone Carlo. En el Gráfico se muesran los resulados obenidos. Cabe señalar que los días 5 y 6 de enero de 213 corresponden a sábado y domingo donde el valor no opera debido al cierre de los mercados financieros durane el fin de semana. 82

83 % El modelo esocásico de Vasicek para la predicción de ipos de inerés Tabla Obención de los Inervalos Confianza con una probabilidad de 95%, méodo Mone Carlo. Fuene. Elaboración propia. (Excel).,75,7,65,6,55,5 2-ene ene ene ene ene ene ene.-13 Tipo de inerés inerbancario EONIA Predicción EONIA Inervalo Confianza 95% Gráfico Predicción por Inervalos de Confianza del 95%. Fuene. Elaboración propia. (Excel). 83

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