MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL

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1 MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ Deprtmento de Economí Aplicd Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN Se supone que el Sr. Corto dispone de pts., y dese invertirls un ño. Un de ls lterntivs que se le presentn es l dquisición, por es cuntí, de un Letr del Tesoro, con un nominl de pts. que le será stisfecho dentro de un ño. Evidentemente, l rentbilidd nominl de es inversión es: in = - = Hbitulmente en este problem no se consider ningún tipo de incertidumbre, pero está subycente: cuál es l rentbilidd rel de est inversión, i r?. Es decir, en cuánts pts. de hoy umentrá su cpitl el Sr. Corto? L relción existente entre el tipo de interés rel y nominl es, (vése, 99) + in + ir = () + g siendo g l inflción en el período. En est relción i n es conocid l inicio del período, t=0, no sí g que sólo lo será cundo este finlice. Por tnto, en t=0, i r es un vrible sobre l que se tiene poc, o muy poc, informción. Como el mbiente de incertidumbre es tn utópico como el de certe complet, cbe esperr que el Sr. Corto, o sus sesores, tengn lgun informción, por leve que se, sobre el comportmiento de l vrible g. Est informción puede servir de bse pr l signción de un distribución de probbilidd subjetiv l vrible g, trnsformándol, sí, en un vrible letori. Este pso de un mbiente de incertidumbre otro de riesgo es muy hbitul en los problems de decisión económicos, y entre los modelos probbilísticos empledos pr ello, en csos de escsísim informción sobre l vrible en cuestión, se encuentrn l distribución uniforme (hereder direct del criterio de Lplce), l distribución tringulr, l bet simplificd (método PERT), y ls

2 30 RAFAEL HERRERÍAS EDUARDO PÉREZ distribuciones generlids provenientes del sistem de Person univrinte. (Vénse Sure (989) y Herrerís (989)). El propósito de este rticulo es el estudio del comportmiento probbilistico de l vrible i r, supuesto que l vrible g sigue dos de los modelos ntes citdos, concretmente el uniforme y el tringulr. Pr un estudio similr, bjo el supuesto de que l inflción sigue un distribución bet simplificd, u otr dis tribución culquier del Tipo I del sistem de Person, consúltese Pére Rodrígue (99).. LA VARIABLE ALEATORIA "DEFLACTOR".. Modelo rectngulr. Se supone que l vrible letori g sigue l distribución uniforme en el intervlo [,b]. Su función de densidd será si < x < b f(x) = b - () 0 resto Se estudi l distribución de l vrible ζ, definid por ζ = (3) + g Evidentemente ζ, es un vrible letori, por ser (3) un función Borelmedible, y como demás es un función decreciente, es obvio que ζ tom vlores < < (4) +b + Su función de distribución es: F ζ ()= pr{ ζ } = pr = pr - g = - pr g - = + g = - - b - + b dx = - - (+) = - b - b - b - y, por tnto, l función de densidd es: si < < f() = b - +b + 0 resto (5) (6)

3 MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL 3 Como puede precirse, est función de densidd es decreciente, en el dominio de l vrible, y por tnto no hy mod. Al ser conocid su función de densidd, se puede clculr l probbilidd de culquier suceso referente l vrible letori "deflctor", sí como culquier de sus crcterístics letoris, en prticulr los dos primeros momentos son: + + b E( ζ )= d = ln (7) b - b - + +b + E( ζ )= d = [ ] = + (8) b - b - (+ )(+ b) + b + b Por tnto, l vrin es: +b Vr( )= E( ) - ( )= - ζ ζ E ζ ln (9) (+ )(+ b) (b - ) +.. Modelo tringulr. (b- x) Se supone, hor, que l vrible letori g sigue un distribución tringulr, de mod m, en el intervlo [,b], cuy densidd es: 0 si x (x - ) si < x < m (m- )(b- ) f(x) = (0) (b - m)(b - ) 0 si m < x < b si b x Bjo este nuevo supuesto, se vuelve estudir l distribución de l vrible letori ζ, definid por (3). Al igul que ntes, ζ es un vrible letori, y como (3) es decreciente, tom vlores < < +b + Su función de distribución es: Fζ ()= pr{ ζ } = pr = pr - g + g y pr su cálculo conviene distinguir dos csos:

4 3 RAFAEL HERRERÍAS EDUARDO PÉREZ ) si - > m o lo que es lo mismo si b) si - m o lo que es lo mismo si <, en cuyo cso + m b - (b - x)dx= (+ b)- (b - m)(b- ), en cuyo cso + m pr - g = (b- m)(b- ) - - (+) pr - g =- pr g - = - (x - )dx=- (m- )(b- ) (m- )(b- ) Por tnto (+ b)- F() = si < < (b - m)(b- ) + b + m Fζ ()= () - (+ ) F () = - si < (m- )(b- ) + m + Est función es derivble en todos los puntos de su dominio, en efecto: df = (+b)- si < < d (b- m)(b - ) dfζ + b + m = d df = - (+ ) si < < d (m - )(b- ) + m + y en el punto = (+ m), se comprueb rápidmente que mbs derivds, es decir l derivd por l iquierd y l derivd por l derech, coinciden. Por tnto, l función de densidd de l vrible letori ζ, es (+b)- si < (b- m)(b - ) +b + m f() = () - (+ ) si < (m - )(b- ) + m + Al igul que ntes, con est informción pueden clculrse tods ls crcterístics letoris de l vrible "deflctor", sí, sus dos primeros momentos son:

5 MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL 33 E( ζ ) = (m- )(b- ) m E( ζ ) = b + x f(x)dx (x- )dx+ + x (b- m)(b- ) b m (b- x)dx= +x b+ +b + + m = ln - ln b - b - m + m m - + (3) b E( ζ ) = f(x)dx + x m b E( ζ ) = (x- )dx+ (b- x)dx= (m- )(b- ) + x (b- m)(b- ) m + x + m +b = ln - ln b - m - + b - m + m (4) Finlmente, l vrin de ζ puede obtenerse por el procedimiento hbitul, es decir Vr( ζ )= E( ζ )- E ( ζ ) (5).3. Comprción entre los dos modelos. En nálisis de inversiones es hbitul trbjr, solo, con l medi y l vrin de l vrible letori. Por ello se comprn ls medis y ls vrins procedentes de mbos modelos. Fijdos y b, empíricmente, se h hecho vrir m entre ellos, clculndo l espern y l vrin del modelo tringulr medinte (3) y (5). Se obtienen, sí, l espern y l vrin de ζ en función de l mod de g. En el modelo rectngulr, mbos momentos serán constntes pues no dependen de m. En ls Figurs y se presentn ests funciones, obtenids empíricmente, pr =0'05 y b=0'06. (Se obtienen gráfics tremendmente similres pr vlores de y b culesquier, siempre que b-=0'0). Es de destcr l linelidd de l espern de ζ,cumpliéndose con bstnte exctitud que l espern del modelo rectngulr es igul l del modelo tringulr cundo l mod es el punto medio del intervlo (,b). Tmbién es de destcr el comportmiento de l vrin del modelo tringulr; por el simple hecho de poder individulir un mod, se logr un reducción en l vrin que dependerá de cul se es mod, pero en el peor de los csos será de un 34%.

6 34 RAFAEL HERRERÍAS EDUARDO PÉREZ Figur Esperns =0'05 y b=0'06 Figur Vrins =0'05 y b=0'06. En ls Figurs 3 y 4 se presentn ls misms funciones pr =0 y b=. (Cso que se consider extremo pues ello supone que l ts de inflción puede vrir entre el 0% y el 00%). En ells puede precirse el empeormiento del comportmiento linel de l función espern, unque si se just un rect por M.C.O se obtiene un coeficiente de determinción superior 0'99. En este cso, l espern del modelo tringulr, cundo l mod es 0'5, es clrmente inferior l del modelo rectngulr. En cunto l reducción de vrin, que supone el uso del modelo tringulr, dependerá del vlor de l mod pero en el peor de los csos será de un 5%.

7 MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL 35 Figur 3 Esperns =0 y b= Figur 4 Vrins =0 y b=. 3. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL SR. CORTO. 3.. Modelo rectngulr. El Sr. Corto pens dispone de informción sobre l inflción en el ño venidero, pero piens que l predicción del Gobierno, 5%, es un estimción optimist de l mism (el menor vlor posible), y que lo sumo, l ts de inflción solo podrá subir un punto por encim, 6%. Con ess simples creencis, l inflción se le puede justr un modelo subjetivo rectngulr, con =0'05 y b=0'06.

8 36 RAFAEL HERRERÍAS EDUARDO PÉREZ Por tnto, el "deflctor" seguirá l distribución dd por l densidd (6), pr los vlores de y b ntes indicdos. Su medi y su vrin serán: 06 E = ln = g Vr = - E = g g En cunto l vrible "tipo de interés rel", se tiene que 3.. Modelo tringulr. E[ + ir ] =.E = g -6 Vr[+ ir ] = ( ).Vr = g Si demás de ls estimciones nteriores, el Sr. Corto piens que lo más probble es que el nivel de inflción se sitúe en el 5'5%, entonces se puede justr un modelo tringulr l vrible g. En ell =0'05; b=0'06 y m=0'055, y en consecuenci, sustituyendo en (3) y (4), se tiene y finlmente E = g E + g = Vr = g E[ +ir ] =.E = g -6 Vr[+ ir ] = ( ).Vr = g 6

9 MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL 37 BIBLIOGRAFÍA BARCELÓ, A. (99). Tipo de interés nominl y tipo de interés rel (Lógic, pedgogí y chpucerí). Cudernos de Economí. Vol.9 nº54.enero-abril 99.pp HERRERÍAS, R.(989). Modelos probbilisticos lterntivos pr el método PERT. Aplicción l nálisis de inversiones. Estudios de Economí Aplicd. Secretrido de Publicciones de l Universidd de Vlldolid. pp 89-. PÉREZ, E.(99). Análisis de inversiones: tipos de ctulición letorios. Tesis Doctorl. SUAREZ, A.(989).Decisiones óptims de inversión y finncición en l empres. Pirámide Artículo defendido en l IV Reunión Anul de l Asocición Científic Europe de Economí Aplicd ASEPELT-ESPAÑA, celebrd en 99 en l Universidd de Grnd. Publicdo en ls Acts de l menciond Reunión: Estudios de Economí Aplicd, vol. págins 4-49.

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