UNIDAD 5: FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

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1 I.E.S. Ramón Giraldo UNIDAD 5: FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS. CONCEPTO DE FUNCIÓN Una unción real de variable real es una correspondencia de un conjunto D en el conjunto de los números reales, es decir, una ley que a cada valor del conjunto D asigna un único número real. La unción de D en se simboliza así: : D El conjunto D recibe el nombre de dominio de la unción, y se representa por Dom, y el conjunto de los transormados mediante recibe el nombre de recorrido o imagen de la unción, y se representa por Img : Dom : tiene sentido Img valores que toma la unción y / eiste al menos un D: y Las unciones también se suelen escribir en la orma independiente e y la variable dependiente o unción. y, y se dice que es la variable Dos unciones y g son iguales, g, cuando Dom Dom g g Dom. y Geométricamente, una correspondencia es una unción cuando la gráica de la correspondencia corta a cada recta vertical en un único punto. Correspondencia que no es unción Correspondencia que es unción. FUNCIONES ALGEBRAICAS Funciones polinómicas ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

2 Bloque : Análisis n n Son del tipo A donde n n Se tiene que: Dom A a a... a a es un polinomio. Funciones racionales A Son de la orma B Se tiene que: donde A y B son polinomios. Dom : B : B Funciones irracionales Son unciones en las que normalmente su epresión algebraica viene dada por una raíz. Si k g Se tiene que: Dom g : g si el índice es par Dom si el índice es impar Funciones deinidas a trozos Cuando una unción se deine utilizando más de una epresión algebraica, se dice que está deinida a trozos. Su dominio variará dependiendo de las epresiones algebraicas de los trozos. La imagen o recorrido de una unción la estudiaremos teniendo en cuenta su representación gráica.. OPERACIONES CON FUNCIONES Función suma g g Dom Dom g Función producto g g Dom Dom g Función cociente g : g g Función compuesta g g (se lee g compuesta con ) Propiedad: Elemento simétrico: Es una unción que, si eiste, se representa por I y veriica: Se lee al revés de como se escribe, ya que primero aplicamos g y luego. ipri Departamento de Matemáticas

3 I.E.S. Ramón Giraldo La unción recibe el nombre de unción inversa de. Función inversa o Cálculo de la unción inversa: a) Epresar la variable y en unción de la variable. b) Despejar la variable de la igualdad anterior con el in de hallar la epresión de en unción de y. c) Intercambiar las variables, ya que cualquier unción se epresa siempre a partir de la variable. d) Realizar la comprobación. Geométricamente, si eiste la unción inversa, su gráica se obtiene tomando la simétrica de la gráica de la unción respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. 4. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES 4..- MONOTONÍA (crecimiento, decrecimiento), máimos y mínimos relativos. Sea : D una unción e I D un intervalo. Se dice que es a) estrictamente creciente en I si, D : se tiene que b) creciente en I si, D: se tiene que c) estrictamente decreciente en I si, D: se tiene que d) decreciente en I si, D: se tiene que e) constante en I si, D: se tiene que Estrictamente creciente Estrictamente decreciente Función constante Alerta! (la unción recibe el nombre de unción recíproca de, aunque también es usual en la bibliograía que llamen unción recíproca a ) ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

4 Bloque : Análisis Una unción es estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y es monótona si es creciente o decreciente. Diremos que tiene un máimo relativo en D E. y D si eiste un entorno abierto de E tal que, M y Diremos que tiene un mínimo relativo en D E. y D si eiste un entorno abierto de E tal que, y m Geométricamente una unción tiene un máimo relativo cuando en ese punto la unción pasa de ser creciente a ser decreciente y tiene un mínimo relativo cuando pasa de ser decreciente a ser creciente SIMETRÍAS (unciones pares e impares) Sea : D una unción. Se dice que es a) par o simétrica respecto del eje OY cuando D y D y b) impar o simétrica respecto del origen de coordenadas si D D. Función par Función impar Geométricamente una unción es: Un entorno abierto de es un intervalo de la orma, E o E, si necesitamos precisar el radio,, que tiene. para algún. Lo representaremos por 4 ipri Departamento de Matemáticas

5 I.E.S. Ramón Giraldo a) par si al doblar la gráica respecto del eje OY las ramas positiva y negativa de la unción coinciden. b) es impar si al girarla 8º vuelve a coincidir con ella misma PERIODICIDAD Una unción : D es periódica de período T si se cumplen las siguientes dos condiciones: ) T D ) T es el menor de los números que cumple ) CONTINUIDAD (unciones continuas) Deinición no rigurosa 4 : Diremos que una unción : D es continua en un punto D si en un entorno de dicho punto los puntos próimos a tienen imágenes próimas a en otro entorno de dicho punto. En el caso de que sea continua en todos los puntos de un subconjunto S D, se dice que es continua en S. Cuando una unción no sea continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho punto. Sin embargo, hay que tener cuidado, ya que, si una unción no está deinida en un punto, no tiene sentido estudiar la continuidad de la unción en dicho punto. La clasiicación de las discontinuidades de una unción se hará en el tema correspondiente ACOTACIÓN (unciones acotadas). Máimo y mínimo absoluto. Una unción : D está: a) acotada si M : M D b) acotada superiormente si : c) acotada ineriormente si : K K D k k D Función acotada Función acotada superiormente Función acotada ineriormente Como consecuencia de lo anterior se tiene la siguiente caracterización: acotada acotada superior e ineriormente 4 En el tema de Límites y Continuidad daremos una deinición rigurosa de unción continua, que involucra límites. 5 ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

6 Bloque : Análisis Geométricamente, el hecho de que una unción esté acotada (por un número M ), se traduce en que su gráica está entre las rectas y M e y M y M y a b M Si está acotada superiormente, el número M recibe el nombre de cota superior. A la menor de las cotas superiores se le llama supremo de en D. Si el supremo es alcanzado por la unción, es decir, D: recibe el nombre de máimo absoluto de es el supremo, entonces el número en D. Si está acotada ineriormente el número m recibe el nombre de cota inerior. A la menor de las cotas ineriores se le llama ínimo de en D. Si el ínimo es alcanzado por la unción, es decir, D: es el ínimo, entonces el número en D. Teorema de WEIERSTRASS: Si :, absolutos. recibe el nombre de mínimo absoluto de a b es continua, entonces tiene máimo y mínimo Este resultado lo que nos dice es que la unción tiene etremos absolutos, pero no nos dice dónde están ni cómo calcularlos CURVATURA (unciones conveas y cóncavas). Puntos de inleión Daremos una deinición 5 basada en la interpretación geométrica: Una unción : I, donde I es un intervalo, es convea si para cualesquiera ab, I con a b la gráica de restringida al intervalo ab, se halla situada por debajo del segmento de etremos a, a, b, b. Así, las unciones conveas son aquellas tales que el recinto del plano que queda por encima de su gráica es un conjunto conveo. Diremos que : I, donde I es un intervalo, es cóncava cuando sea convea. Una unción tiene un punto de inleión, cuando en dicho punto la unción pasa de ser convea a ser cóncava o viceversa. En el primer caso se habla de punto de inleión conveo-cóncavo y en el segundo de punto de inleión cóncavo-conveo. 5 Ojo!! Al consultar la bibliograía es posible encontrar libros donde llaman unción cóncava a lo que nosotros llamamos unción convea. También se usa la nomenclatura cóncava hacia arriba para las unciones conveas y cóncava hacia abajo para las cóncavas. Lo importante no es el nombre que se le dé, sino el concepto. Sin embargo, no he encontrado un solo libro que no sea de Bachillerato donde la parábola sea cóncava. 6 ipri Departamento de Matemáticas

7 I.E.S. Ramón Giraldo TENDENCIAS Asíntotas verticales Decir que cuando a, signiica que cuando tiende a a (se acerca cada vez más al punto a), con a, toma valores cada vez mayores. Análogamente, decir que cuando a, signiica que cuando tiende a a, con a, toma valores cada vez más pequeños. Llamamos asíntotas de una unción a las rectas que se aproima la unción en el ininito. si se da alguna de las siguientes situaciones: cuando a cuando a cuando a La recta = a es una asíntota vertical de Asíntotas horizontales Decir que bcuando, signiica que cuando se hace tan grande como queramos, la unción toma valores cada vez más próimos al número b. Análogamente, decir que bcuando como queramos, la unción toma valores cada vez más próimos al número b. La recta y = k es una asíntota horizontal de, signiica que cuando se hace tan pequeño si se da alguna de las siguientes situaciones: k cuando o k cuando 7 ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

8 Bloque : Análisis 5. EJERCICIOS. Indica en cada una de las siguientes gráicas cuáles son representaciones de unciones y cuáles no:. De las siguientes parejas de unciones, indica cuáles son iguales y cuáles no: a) y ; y y b) y ; y si si c) y ; y si si. Calcula el dominio de las siguientes unciones: ) ) y ) y y ) 4 ) ) si 4) 5 5 ) si 5 5) 4) 9 6) log 5) 7) y 6) 8 ipri Departamento de Matemáticas si si

9 I.E.S. Ramón Giraldo 8) 7) y 4 9) 8) 4. Calcula g, Dom g y g 5 a) y g -5 b) si,5 y g 8 en cada uno de los siguientes casos: 5. Dadas las unciones 9 y g, comprueba si eiste la unción 4 gy la unción g. 6. Halla las unciones g y g, siendo: si si si 4 y g si si Considera las unciones, g y h, y calcula: a) g h c) g b) g h d) Dom g 8. Dadas y g : a) Halla g b) Determina Dom g c) Es cierta la igualdad g? si 9. Calcula: si g, siendo y g. si 4 si a) c) g b) Dom d) g. Dadas las unciones y. Sabiendo que y g calcula: si g halla: 4 si 9 ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I g g si si 4

10 Bloque : Análisis a) g b) Dom c) g. Determina el dominio de las unciones recíprocas de las siguientes unciones: a) c) h b) g d) j g. Con las unciones del ejercicio anterior, calcula: a) g b) 4g h c) h g g 4. Dadas y g, determina: a) g b) c) Dom 5. Si y g, halla g y g. 6. Dadas y g, calcula: a) g b) Dom g 7. Considera las unciones, g y h, y determina: a) b) g h g 8. Dada la unción, resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c) Comprueba si la unción tiene inversa, y en caso airmativo, calcula el dominio de.. Halla la unción inversa de las siguientes unciones: a) y e) y b) y ) y c) y g) y ipri Departamento de Matemáticas

11 I.E.S. Ramón Giraldo d) y h) 5 y. Si tenemos la unción, podrías calcular 7 sin hallar?. si Sabiendo que si halla, si es posible, a) Halla, utilizando la gráica de la unción, b) Dibuja la gráica de. Si g, es necesariamente o g? Si no es así pon un ejemplo de dos unciones no nulas cuyo producto sea cero. 4. Indica las características (dominio, imagen, monotonía, simetrías, etremos relativos y acotación) de las siguientes unciones: 5. Dibuja una gráica que cumpla las condiciones dadas en cada uno de los siguientes casos: a) Dom e Img, b) Dom {} e Img c) Dom,, e Img, d) Dom e Img 6. Estudia la simetría de las siguientes unciones: ipri Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

12 Bloque : Análisis 5 a) c) 4 b) d) 7. Dibuja una unción par, otra impar y otra periódica. 8. Epresa la altura de un triángulo equilátero en unción de la media de su lado. 9. Epresa el volumen de una piscina de orma cúbica, cuya base mide m, en unción de su altura.. En una circunerencia de ocho metros de radio se quiere inscribir un rectángulo de base. Epresa la altura del rectángulo en unción de la base.. Queremos construir habitaciones rectangulares de 6 m. Epresa en orma implícita la unción que relaciona las dimensiones de una de dichas habitaciones.. Sea una unción acotada superiormente en y otra unción g acotada en. Demuestra las siguientes airmaciones: a) g está acotada superiormente. b) g está acotada ineriormente. c) g no está acotada superiormente. Eiste alguna unción par e impar a la vez? ipri Departamento de Matemáticas