Ciencias Exactas y Naturales. Código del curso: Código de carrera: Créditos: 4. Horas totales por semana: 11. Horas de estudio independiente: 6

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1 Nombre del curso: Facultad: Unidad Académica Geometría Analítica Ciencias Exactas y Naturales Escuela de Matemática Código del curso: Código de carrera: Créditos: 4 Nivel y periodo lectivo: Modalidad: Naturaleza: Tipo de curso: III Nivel, I Ciclo Ciclo de 17 semanas Teórico-Práctico Regular Horas totales por semana: 11 Horas presenciales: 5 (3 Teoría- 2 Práctica) Horas de estudio independiente: 6 Horas Docente: 5 Horas de atención a estudiantes: 1 Requisitos: Principios de Matemática II Geometría Euclídea I Nombre del Docente: M.Sc. Carlos Azofeifa Zamora Descripción del espacio pedagógico Este es un curso ubicado en el quinto ciclo del plan de estudios de la carrera Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática. En él se introduce al estudiante en las nociones fundamentales de la Geometría Analítica en el plano y en el espacio, los cuales son temas de gran importancia para el estudio posterior de los cursos de Análisis y Álgebra Lineal. 199

2 Se estudia el sistema de coordenadas rectangulares así como el sistema de coordenadas polares, en donde se graficará una ecuación de dos variables, y se buscará la ecuación de un lugar geométrico. Además se estudia las diferentes ecuaciones de la recta y sus características, así como las secciones cónicas y sus elementos. También se estudiarán vectores en el plano y el espacio, haciendo énfasis en la representación gráfica de estos, con el fin de estudiar las diferentes ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Con este curso se pretende que el estudiante desarrolle habilidades en la representación gráfica de diversas ecuaciones, análisis de gráficas y la aplicación de estos conceptos en la resolución de ejercicios. Lo anterior es fundamental dentro del perfil del graduado de la carrera, pues son temas importantes dentro de la educación secundaria. El curso busca seguir potenciando algunas competencias en el razonamiento y la argumentación involucradas en los quehaceres matemáticos, en concordancia con el Eje Curricular denominado Desarrollo del Pensamiento Lógico-Matemático. Por esta razón, el curso hará énfasis tanto en las demostraciones de las fórmulas y conceptos estudiados así como a las aplicaciones prácticas de los conceptos desarrollados, en concordancia con el eje curricular de aplicaciones matemáticas. Lo anterior, le permitirá tener al estudiante una visión más amplia sobre los temas básicos de la geometría analítica, lo que aporta significativamente en su formación como educador y le permitirá posteriormente contribuir en la enseñanza de estos temas en secundaria, en concordancia con el perfil de la carrera. El curso desarrolla experiencias de mediación de los aprendizajes individuales. Colaborativas y cooperativas, que combina las explicaciones de carácter teóricas a cargo del docente, con oportunidades de aplicación prácticas por parte de los estudiantes, orientadas a emplear los conocimientos construidos o afinar determinadas competencias en situaciones concretas, simuladas o reales. Entre las experiencias de mediación de aprendizajes contempladas, resaltan las estrategias centradas en la aplicación de la argumentación y razonamiento matemático en la resolución de problemas, tales como: comprensión, simulación y aplicación de modelos, incorporación y utilización de herramientas tecnológicas como recursos didácticos, construcciones y manipulaciones, proyecciones y abstracciones matemáticas en estudios de casos y desarrollo del pensamiento heurístico. Conocimientos previos Lenguaje matemático y métodos de demostración, teoría de conjuntos, sistema de los números reales, funciones reales de variable real. Conceptos de Geometría Euclídea: triángulos, cuadriláteros (clasificación y propiedades) 200

3 Competencias genéricas G9. Desarrollar habilidades de trabajo en equipo, colaborativa y cooperativo para la construcción conocimiento disciplinar, transdisciplinar e interdisciplinar. Competencias específicas Competencias matemáticas: Comprender los conceptos básicos de la matemática superior desde una perspectiva universitaria para su formación como docente de matemática. Ser capaz de formular problemas en lenguaje matemático durante su actividad como estudiante para fortalecer sus estructuras de pensamiento. Entender los conceptos fundamentales de la matemática a través de su evolución socio-histórica para la comprensión de la disciplina y su enseñanza en diferentes contextos. Construir e interpretar modelos matemáticos a partir de situaciones reales para reconocer la importancia de la matemática en la vida cotidiana. Aplicar los conocimientos sobre Resolución de Problemas en contextos multidisciplinares para mayor comprensión de su importancia en otras áreas científicas y sociales. Niveles: Los niveles que se indican en el siguiente cuadro indican los procesos de complejidad y profundización con que se abordará cada sub-competencia en el curso. (elemental): Incluye acciones en su mayoría rutinarias, predecibles y elementales que permiten incorporar el conocimiento nuevo a las estructuras mentales previas. I (intermedio): Incluye acciones, no rutinarias, con complejidad superior a las anteriores. Se llevan a cabo en diferentes contextos y requieren de autonomía y responsabilidad individual o colectiva por parte del estudiantado. 201

4 Áreas temáticas Sub-competencias Niveles Coordenadas rectangulares Conocer y comprender el sistema de coordenadas rectangulares. Sistema de coordenadas rectangulares. Distancia entre dos puntos. Demostrar aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos dados en coordenadas rectangulares. I Aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos dados en coordenadas rectangulares. División de un segmento en una razón dada. Demostrar la fórmula para dividir un segmento en una razón dada. I Aplicar la fórmula para dividir un segmento en una razón dada. Estudio de la recta Definición analítica de recta. Forma general de la ecuación de una recta. Forma normal de la ecuación de la recta. Otras formas de la ecuación de la recta. Demostrar analíticamente resultados de la Geometría Euclídea. Conocer la definición analítica de la recta Conocer las diferentes formas de la ecuación de una recta. Aplicar las diferentes formas de la ecuación de una recta en la resolución de problemas. I 202

5 Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma normal. Aplicaciones de la forma normal. Rectas paralelas y perpendiculares. Conocer y aplicar los conceptos de paralelismo y perpendicularidad entre rectas. I Ángulos entre dos rectas. Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. Distancia de un punto a una recta. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Gráfica de una ecuación. Intersecciones con los ejes. Demostrar la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas. Aplicar la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas. Demostrar la fórmula para calcular el área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. Aplicar la fórmula para calcular el área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices. Demostrar la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta. Aplicar la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta. Comprender el concepto de gráfica de una ecuación en dos variables como el conjunto de puntos del plano que corresponden al conjunto solución de la ecuación. Determinar los puntos en donde una gráfica interseca a los ejes coordenados. I I I 203

6 Simetría. Determinar si la gráfica de una ecuación dada presenta simetrías con respecto a los ejes coordenados o con respecto al origen. Extensión de la curva. Determinar el conjunto de valores que puede tomar las variables involucradas en una ecuación (de dos variables) y relacionar esto gráficamente como el intervalo en el cual se extiende la curva en cada uno de los ejes coordenados. Asíntotas. Determinar si la gráfica de una ecuación presenta asíntotas horizontales o verticales. Construcción de curvas. Ecuaciones factorizables. Intersecciones de curvas. Ecuación de un lugar geométrico. Análisis de la ecuación de segundo grado y Transformación de coordenadas Estudio de la ecuación de Trazar la gráfica de una ecuación dada, utilizando la información proporcionada por las intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, asíntotas y extensión de la curva. Comprender y aplicar el concepto de ecuaciones factorizables. Determinar los puntos de intersección entre dos curvas dadas sus ecuaciones. Encontrar la ecuación que corresponde a una curva dadas las condiciones geométricas que la determinan. 2 Aplicar el cálculo del indicador I = B - 4AC para la ecuación de segundo grado e interpretar este resultado para la identificación de la forma geométrica que representa la ecuación. I 204

7 segundo grado. El indicador 2 I = B - 4AC Las secciones cónicas. La parábola. La elipse (la circunferencia). La hipérbola. Características y trazo de sus gráficas. Conocer y comprender las nociones básicas sobre las secciones cónicas, su importancia, su clasificación, sus características y sus representaciones gráficas. I Propiedades analíticas de las secciones cónicas. Análisis de la excentricidad. Transformaciones. Transformación de coordenadas. Traslación de ejes. Rotación de ejes. Demostrar las propiedades analíticas de las secciones cónicas. Aplicar el análisis de la excentricidad de las secciones cónicas. Conocer, aplicar e interpretar los procesos de transformación de coordenadas, traslación y rotación de ejes. Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas. Aplicar los procesos de transformación de coordenadas a la simplificación de ecuaciones Transformación de la ecuación general por rotación y traslación de los ejes coordenados. Aplicar los procesos de transformación de coordenadas a la transformación de la ecuación general Coordenadas polares Conocer y comprender del sistema de 205

8 Sistema de coordenadas polares. Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. Dada una ecuación en coordenadas polares, encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares equivalente y viceversa. Trazado de curvas en Intersección de curvas en Trazar la curva de una ecuación dada en Distancia entre dos puntos en Ecuación de la recta en Ecuación de la circunferencia en Ecuación general de las cónicas en coordenadas polares. Encontrar la intersección de curvas en coordenadas polares e interpretar los resultados. Conocer y aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos dados en Demostrar la forma de una ecuación de la recta en el sistema de Conocer y comprender la representación de la circunferencia en el sistema de coordenadas polares. Conocer y comprender la representación de las cónicas en el sistema de I I Demostrar la ecuación general de las cónicas en Dada la ecuación general de las cónicas en coordenadas polares, identificar las características que determinan las diferentes secciones cónicas 206

9 Geometría analítica en el espacio El espacio tridimensional, puntos en el espacio, distancia entre puntos. particulares. Conocer y comprender las nociones del espacio tridimensional, puntos en el espacio. Conocer y aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos dados en coordenadas rectangulares. Vectores en plano y el espacio. Operaciones básicas y su representación geométrica. Producto escalar de vectores. Norma de un vector. Conocer y comprender las nociones de vectores en el plano y el espacio. Conocer y aplicar las operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y producto escalar de vectores y su respectiva representación geométrica. Demostrar las propiedades de las operaciones con vectores I Ángulo entre vectores. Vectores paralelos, perpendiculares, unitarios. Demostrar la fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores dados. Aplicar la fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores dados. Conocer y aplicar las nociones de vectores paralelos, vectores unitarios, y vectores perpendiculares. Conocer y comprender las nociones de ortogonalidad y proyección ortogonal. Demostrar la fórmula para obtener la proyección ortogonal de un vector sobre otro. Calcular la proyección ortogonal de un vector sobre otro. I 207

10 Ortogonalidad, proyección ortogonal. Conocer y aplicar el producto vectorial, producto mixto y sus interpretaciones geométricas. I Demostrar las propiedades analíticas y geométricas del producto vectorial y producto mixto Conocer, identificar y aplicar las distintas representaciones de la recta en el espacio. I Producto vectorial, producto mixto y sus interpretaciones geométricas. Conocer, identificar y aplicar las distintas representaciones del plano. I Conocer y aplicar las relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, planos, rectas y planos. I Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta. Ecuación vectorial del plano. Ecuación normal del plano. Relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, planos, rectas y 208

11 planos. Referencias bibliográficas González, J. (2009). Geometría Analítica. San José, Costa Rica: Editorial EUNED. Granero, F. (1985). Álgebra y geometría analítica. España: Editorial Mc Graw Hill. Lehmann, C. (1993). Geometría analítica. México: Editorial Limusa S. A. Ramírez, A. (1998). Una introducción a la geometría analítica. México: Las prensas de ciencias. Simmons, G. (2002). Geometría analítica con trigonometría. México, D.F.: McGraw-Hill Swokowski, E. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: Cengage Learning. 209