AAC TEMA 2: ARQUITECTURAS PARA CAD/CAM

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1 TEMA 2: ARQUITECTURAS PARA CAD/CAM

2 2.. Introducción CAD/CAM : Diseño Asistido por Computador / Fabricación Asistida por Computador Se incluyen dentro de la CIM (Fabricación Integrada por Computador), tecnología cooperativa orientada a diseño, fabricación y control de la producción 2

3 2.. Introducción CAD : Utilización de sistemas informáticos para creación, modificación, análisis y optimización de un diseño Se considera que una aplicación es CAD si incluye una interfaz gráfica y se aplica a alguna tarea de ingeniería Herramientas de todo tipo: modelado, cálculo de propiedades físicas, etc. El CAGD (Diseño Geométrico) es un caso particular del CAD, del que podemos distinguir dos variantes: Modelado de sólidos: diseño de objetos poliédricos; orientado al diseño mecánico y arquitectónico Diseño de curvas y superficies: orientado a la producción industrial (automóvil Renault-, naval, aeronáutica) 3

4 2.. Introducción CAM : Utilización de sistemas informáticos para la planificación, gestión y control de las operaciones de una planta de fabricación Dos tipos principales de interfaz entre el sistema informático y los recursos de producción Interfaz directa. Conexión directa al proceso de producción para monitorizar la actividad (supervisión y control) Interfaz indirecta. El sistema informático constituye una ayuda para la fabricación, pero no ejerce control directo Control numérico: Programación de máquinas herramienta para transformar la materia prima en producto terminado CAD Geometría Materiales Máquinas... Sistema Informático Instrucciones CN 4

5 2.. Introducción CAM Programación de robots. Selección y posicionamiento de piezas y herramientas para las máquinas de control numérico El proceso CAM: Modelo geométrico Algoritmos de interfaz Planificación de procesos Programación control numérico Inspección Ensamblado Embalaje 5

6 2.. Introducción Antecedentes históricos de las arquitecturas para CAD/CAM Años 50 y 60 Años 70 Principios 80 Finales 80 Principios 90 Finales 90- s. XXI Ordenadores de gran tamaño (00 millones $) Primera pantalla gráfica (MIT) Periféricos para gráficos interactivos (lápiz) Aparición de pantallas de ordenador comerciales Minicomputadores (Cabinas) de millón $ Incremento de potencia (32 bits) Sistemas potentes basados en estaciones UNIX Estaciones PC Internet e Intranets Aumenta la potencia y disminuye el coste del hardware Se impone el PC 6

7 En las aplicaciones CAD/CAM existe ciertas operaciones muy específicas que se repiten con bastante frecuencia (raíces, distancias, rotaciones). Estas operaciones son costosas en arquitecturas de propósito general. Existen algoritmos o arquitecturas que permitan optimizar el cálculo de tales operaciones? Se busca precisión y eficiencia 7

8 COordinate Rotation DIgital Computer : algoritmo concebido inicialmente para cálculo de rotaciones y otros problemas de trigonometría en computadores para navegación aérea (959) Supongamos un sistema de coordenadas circular (2D) en el que queremos rotar un punto (x i, y i ) un ángulo θ Rotación perfecta: x R = M i cos (β + θ) = x i cos θ y i sin θ y R = M i sen (β + θ) = x i sen θ + y i cos θ x y R R = cosθ senθ senθ cosθ xi yi = ROT xi yi ( θ) 8

9 Podemos utilizar ángulos elementales αj para descomponer el ángulo de rotación θ, tal que θ = j= 0 α j ROT ( θ) = ROT( αj) j= 0 Entonces, tenemos que x R [j+] = x R [j] cos(αj) - y R [j] sen(αj) y R [j+] = x R [j] sen(αj) + y R [j] cos(αj) 9

10 Cómo podemos evitar los productos?. Descomponer las rotaciones en: Escalado y rotación-extensión (pseudorotación) x R [j+] = cos(αj) ( x R [j] - y R [j] tan(αj) ) y R [j+] = cos(αj) ( y R [j] + x R [j] tan(αj) ) 2. Escoger ángulos elementales: αj = tan - (σj(2 -j )) = σj tan - (2 -j ), σj {-,} Así, aparece recurrencia en rotaciones-extensiones sin productos; SÓLO SUMAS Y DESPLAZAMIENTOS x[j+] = x[j] - σj 2 -j y[j] y[j+] = y[j] + σj 2 -j x[j] 0

11 Las rotaciones-extensiones producen un escalado del módulo M[j] M[j+] = K[j] M[j] = M[j]= ( + σj 2 2-2j ) /2 M[j]= cos( αj) = (+ 2-2j ) /2 M[j] El factor de escalado total es: K = j= 0 (+ 2-2j ) / Se trata de un factor constante e independiente del ángulo de rotación

12 La recurrencia para descomposición/acumulación del ángulo es: z[j+] = z[j] - αj = z[j] - σj tan - (2 -j ) Por tanto, una micro-rotación CORDIC se calcula: x[j+] = x[j] - σj 2 -j y[j] y[j+] = y[j] + σj 2 -j x[j] z[j+] = z[j] - σj tan - (2 -j ) 2

13 Arquitectura de una iteración X[j] Y[j] Z[j] Desplazamiento j Desplazamiento j Tabla j αj σj ADD/SUB σj ADD/SUB σj ADD/SUB signo(y) MUX signo(z) X[j+] Y[j+] σj+ Z[j+] Incluye complementador condicional Distinto según modo rotación (z) o vecto r(y) 3

14 El modo rotación Se trata de rotar un vector inicial (x i, y i ) por un ángulo θ Se descompone el ángulo: z[j+] = z[j] - αj = z[j] - σj tan - (2 -j ) x[0] = x i, y[0] = y i, z[0] = θ σj = - si z[j] 0 si z[j] < 0 Realiza micro-rotaciones, y los valores finales son: xf = K (x i cos θ y i sin θ) yf = K (x i sen θ + y i cos θ) zf = 0 4

15 El modo rotación Ejemplo: (x i, y i ) = (, 0.25), θ = 67º.693 rad Solución exacta: (x f, y f ) = (0.2756, ) j z[j] σj x[j] y[j] j z[j] σj x[j] y[j]

16 El modo rotación Factor de escalado, K = (x 3, y 3 ) = (0.2753, ), errores < 2-2 K Ángulos elementales 6

17 El modo rotación Cálculo de funciones trigonométricas x[0] = /K, y[0] = 0, z[0] = θ xf = cos θ yf = sen θ zf = 0 En general, si hacemos x[0] = a/k, y[0] = b/k, z[0] = θ xf = a cos θ -b sen θ yf = a sen θ - b cos θ zf = 0 7

18 El modo vector (vectoring) Se trata de rotar un vector inicial (x i, y i ) hasta que y = 0 σ j = { si y[j] < 0 - si y[j] 0 Se acumula el ángulo rotado en z x[0] = xi, y[0] = yi, z[0] = zi xf = K(xi 2 + yi 2 ) /2 yf = 0 zf = zi + tan - (yi/xi) 8

19 El modo vector Ejemplo: (x i, y i ) = (0.75, 0.43) Forzamos y = 0 en 2 micro-rotaciones Solución exacta: x R = (xi 2 + yi 2 ) /2 = z R = tan - = j y[j] σj x[j] z[j] j y[j] σj x[j] z[j]

20 El modo vector Ejemplo: (x i, y i ) = (0.75, 0.43) Ángulo acumulado z[3] = K = X[3]/K = 0.864, errores < 2-2 j y[j] σj x[j] z[j] j y[j] σj x[j] z[j]

21 Estudio de convergencia, rango y precisión La convergencia está garantizada para ángulos en el rango [-99.7º, 99.7º], que resulta de la suma θ = ( -j ) max = tan 2 j 0 Se tiene convergencia al cumplirse que tan (2 -i ) j= i+ tan (2 -j ) Para k bits de precisión, se necesitan k iteraciones. Paa grandes i, tan - (2 -i ) 2 -i 2

22 Arquitectura palabra-serie Incluye complementador condicional 22

23 Arquitectura pipeline Incluye complementador condicional 23

24 Extensión a coordenadas hiperbólicas xr cosh θ senh θ = yr senh θ cosh θ Las micro-rotaciones hiperbólicas serían: xi yi x[j+] = x[j] + σj 2 -j y[j] y[j+] = y[j] + σj 2 -j x[j] z[j+] = z[j] - σj tanh - (2 -j ) El factor de escalado en la iteración j resulta: K h [j] = ( - 2-2j ) /2 Ya que tanh - (2 0 ) = (y K h [0]=0), se ha de comenzar desde la iteración j = 24

25 Extensión a coordenadas hiperbólicas Problema: no hay convergencia con la secuencia de ángulos tanh - (2 -j ), ya que: tanh (2 -i ) > j= i+ tanh (2 -j ) Solución sencilla: repetir ciertas iteraciones: -j -i -j tanh (2 ) < tanh (2 ) < tanh (2 ) + tanh j= i+ - -(3j + ) j= i+ Existe convergencia al repetir las iteraciones 4, 3, 40,, 3k + Con estas iteraciones, K h , θ max =.87 rad (2 ) 25

26 Extensión a coordenadas hiperbólicas Valores finales: Modo rotación Modo vector xf = K h (x i cosh θ + y i sinh θ) yf = K h (x i senh θ + y i cosh θ) zf = 0 xf = K h (xi 2 -yi 2 ) /2 yf = 0 zf = zi + tanh - (yi/xi) 26

27 Extensión a coordenadas lineales Las micro-rotaciones serían (factor de escalado = ): x[j+] = x[j] y[j+] = y[j] + σj 2 -j x[j] z[j+] = z[j] - σj 2 -j Modo rotación xf = x i yf = y i + x i z i zf = 0 Modo vector xf = x i yf = 0 zf = z i +y i /x i 27

28 Descripción unificada del algoritmo: Coordenas circulares: m = Coordenadas hiperbólicas: m = - Coordenadas lineales: m = 0 Modo rotación: σj = signo(z[j]) {-, } Modo vector: σj = - signo(y[j]) {-, } x[j+] = x[j] - m σj 2 -j y[j] y[j+] = y[j] + σj 2 -j x[j] z[j] - σj tan (2 ) z[j + ] = z[j] - σj tanh (2 -j z[j] - σj 2 -j -j ) si m = si m = - si m = 0 28

29 Otras funciones que podemos calcular: m Modo Valores iniclaes x R y R z R x i y i z i rotación 0 θ cos θ sen θ - rotación 0 θ cosh θ senh θ - rotación a a θ a e θ a e θ vector a π/2 (a 2 +) /2 cot - (a) - vector a 0 (a 2 -) /2 coth - (a) - vector a+ a- 0 2 a /2 0.5 ln(a) - vector a+/4 a-/4 0 a /2 ln(a/4) - vector a+b a-b 0 2 (ab) /2 0.5 ln(a/b) 29

30 Utilización del CORDIC: Calculadoras: HP 35 (972) Coprocesadores: Intel 8087 (980) No se ha utilizado de forma masiva Ventajas? Inconvenientes? 30

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