Universidad de Costa Rica. Proyecto MATEM PRIMER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO

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1 Universidd de Cost Ric Proyecto MATEM PRIMER EXAMEN PARCIAL CÁLCULO de bril de 017 INSTRUCCIONES GENERALES: Le cuiddosmente, cd instrucción y pregunt, ntes de contestr. Utilice únicmente bolígrfo de tint zul o negr indeleble pr resolver este exmen. Trbje con el myor orden y seo posible. Si lgun respuest o procedimiento está desordendo, éste no se clificrá. Recuerde que sólo puede utilizr clculdor que únicmente efectúe ls operciones básics. No se permite el uso de clculdor científic de ningún tipo. L prueb debe resolverse individulmente. Este exmen const de dos prtes: Selección únic y Desrrollo, pr un totl de 61 puntos El tiempo disponible pr resolver l prueb es de tres hors. I Prte. Selección únic. Mrque un equis (X) sobre l letr que ntecede l únic respuest correct. Posteriormente escrib el número de ítem con su respectiv elección en su cuderno de exmen. (5 puntos, un punto cd respuest correct) 1. Considere ls siguientes proposiciones: I. 1x 0. 1 II. x De ells, cuál o cuáles son verdders? (A) Ambs (B) Ningun (C) Solmente I (D) Solmente II Págin 1 de 11

2 . Sen f ( x) L1 y g( x) L, donde, L 1, L R. Con bse en l informción, considere ls siguientes proposiciones: I. x [f(x) + g(x)] x f(x) + x g(x) = L 1 + L. II. [f(x)] n = [ f(x)] n = L n 1, con n N. x x De ells, cuál o cuáles son verdders? (A) (B) (C) (D) Ambs Ningun Solmente I Solmente II f ( x) L 0 y gx ( ) 0 3. Sen 1 ls siguientes proposiciones:, donde, L1 R. Con bse en l informción, considere I. f( x) gx ( ) no existe. II. f x g x ( ) ( ) 0. De ells, cuál o cuáles son verdders? (A) (B) (C) (D) Ambs Ningun Solmente I Solmente II Págin de 11

3 4. Si f( x) 5 4 x 3, con bse en l informción, considere ls siguientes firmciones: I. II. f( x) 5 f (). 5. De ells, con certez, cuál o cuáles son verdders? (A) (B) (C) (D) Ambs Ningun Solmente I Solmente II 5. Considere ls siguientes proposiciones: I. Si f es un función polinomil, entonces f( x). II. Si f( x) y gx ( ) De ells con certez, cuál o cuáles son verdders? (A) Ambs (B) Ningun (C) Solmente I (D) Solmente II, entonces f x g x ( ) ( ) 0. 1 Págin 3 de 11

4 II Prte. Desrrollo. Debe escribir todo los procedimientos, en su cuderno de exmen, que justifiquen cd un de sus respuests. 1) Clcule los siguientes límites: 3 5x 4 x 3x 5x 4. () [5 puntos] 3 (b) [9 puntos] sen(3 x) 1 cos( x ) 3. ) Considere l función h definid en su máximo dominio, tl que hx ( ) 1 5 x x x 3 x x x 4 si x 0 1 si 0 : () [3 puntos] Determine si l gráfic de h posee síntots verticles. (b) [9 puntos] Determine si l gráfic de h posee síntots horizontles. 3) Se l función f: R {0} R tl que 1 f( x) sen x, donde f( x) 0 Considere l función h definid en su máximo dominio, tl que 1 xsen si 0 hx ( ) x 0 si x 0 no existe. () [8 puntos] Demuestre que h es continu en x = 0. (b) [3 puntos] Utilice l definición de derivd puntul pr demostrr que h no es derivble en x = 0. Págin 4 de 11

5 4) Clcule y ' pr cd función dd, no es necesrio simplificr: x () [6 puntos] y x x 1cos( e ). (b) [4 puntos] x 1 y csc x. 5) [9 puntos] Ls curvs tngente en común en el punto y c. y x x b y y x cx, con, b, c R, tienen un rect 1,0. Con bse en l informción determine los vlores de, b Págin 5 de 11

6 Universidd de Cost Ric Proyecto MATEM SOLUCIONARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL Sábdo de bril I Prte. Selección únic. 1. D. A 3. A 4. C 5. B II Prte. Desrrollo. 1) () [5 puntos] 3 5+x x 3 3x 5x+4. Solución: Al sustituir x = 4, se tiene Al rcionlizr se obtiene, 3 5+x 3 5+x x 3 3x 5x x = 0, obteniendo un form indetermind x 3+ 5+x (x 4)(x +x 1) 3+ 5+x 9 (5+x) (x 4)(x +x 1)(3+ 5+x) 4 x (x 4)(x +x 1)(3+ 5+x) (x 4) (x 4)(x +x 1)(3+ 5+x) = = Págin 6 de 11

7 1) (b) [9 puntos] x π 3 Solución: sen (3x) 1 cos (x). Al sustituir x = π, se tiene sen (0) = 0, form indetermind. 3 1 cos (0) 0 Usr un cmbio de vrible: m = x π 3, luego cundo x π 3, m 0 Al hcer el cmbio de vrible se tiene: m 0 sen (3m+π) 1 cos (m+ π 3 ) m 0 sen (3m) 1 [cos(m) cos( π 3 ) sen(m)sen(π 3 )] m 0 sen (3m) 1 cos(m)+ 3 sen(m) m 0 sen (3m) 3m 1 cos(m)+ 3sen(m) 3m m 0 sen (3m) 3m 3 1 cos(m) m + 3sen(m) m = = 3 ) () [3 puntos] Determine si l gráfic de h posee síntots verticles. Solución: Pr ello, clculemos el límite cundo x 0. Note que cundo x 0, h(x) , vemos 1 5 x4 x 3 x 1 5x +x6 x 3 = Por lo tnto, en x = 0 l función h posee un síntot verticl. Págin 7 de 11

8 ) (b) [9 puntos] Determine si l gráfic de h posee síntots horizontles. Solución: Pr ello clculmos los límites cundo x ± : x x 1 5x +x 6 x 3 x 6 ( 1 x 6 5 x 4+1) x 3 x x3 ( 1 x 6 5 x 4 + 1) = El x + x x + 1 tiene form indetermind. Al rcionlizr se obtiene, x x + x + 1 x+ x +1 x+ x +1 x + x + x x 1 x+ x +1 1 x+ x +1 = 0 Por lo tnto, l rect y = 0 es un síntot horizontl de l curv definid por h. 3) () [8 puntos] Demuestre que h es continu en x 0. Solución: L función es continu cundo en un punto si cumple: i. Si h(0) está definid, sí que l evlur se obtiene h(0) = 0. ii. Existenci del límite h(x), pr ello note que 1 sen ( 1 x ) 1 x xsen ( 1 x ) x Luego, l clculr el límite de los extremos se obtiene: x = 0 y x = 0 Y por el teorem de interclción se deduce que Págin 8 de 11

9 xsen (1) = 0 x iii. h(x) = h(0) = 0 Por lo tnto, l función h es continu en x = 0. 3) (b) [3 puntos] Utilice l definición de derivd puntul pr demostrr que h no es derivble en x 0. Solución: L función h es derivble en x = 0 si existe el límite, observemos 1 xsen( x ) 0 x 0 1 xsen ( x ) x sen ( 1 x ) El cul no existe Por lo tnto, l función h no es derivble en x = 0. 4) () [6 puntos] y = x x + 1 cos(e x ). Solución: Se clcul y, plicndo l Regl de l Cden: y, = (x x + 1), cos(e x ) + x x + 1 [cos(e x ) ], = (1 x x 1 x+1 ), cos(e x ) + x x + 1 [cos(e x ) ], = (1 x x 1 x+1 ), cos(e x ) + x x + 1 sen (e x ) e x Págin 9 de 11

10 4) (b) [4 puntos] y = csc ( x+1 x+ ). Solución: Al clculr y, se obtiene: y, = [csc ( x+1 x+ )], = csc ( x+1 ) [csc (x+1 x+ x+ )], = csc ( x+1 ) ctg (x+1) csc (x+1 ) x+ x+ x+ (x+1 x+ ), = csc ( x+1 ) ctg (x+1) csc (x+1 ) x+ x+ x+ [1 (x+) 1 (x+1) (x+) ] Not: Cundo se deriv csc(x) tmbién puede obtenerse cos (x). sen (x) 5) [9 puntos] Ls curvs punto y x x b y y x cx tienen un rect tngente en común en el 1,0. Con bse en l informción determine los vlores de, b y c. Solución: Ddo que ls curvs dds tienen un rect tngente en común en un punto ddo se cumple que: 0 = b y 0 = 1 + c c = 1 Pr determinr el vlor de ls otrs contntes determinr y, y evlur en el punto de tngenci y, = x +, y, (1,0) = + y, = x + c, y, (1,0) = + c Luego, ddo que tienen un punto en común + = + c, con c = 1 + = + 1 = 3 Ahor si = 3 0 = b b = Por lo tnto, los vlores numéricos pr ls contntes son c = 1, = 3, b =. Págin 10 de 11

11 Representción gráfic de ls curvs: Págin 11 de 11