Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Transcripción

1 Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn áres orientds de rectángulos. Est ide se deb A. L. Cuchy ( ) y fue perfecciond por G. F. Riemnn (86-866). Supongmos que l función f tom vlores positivos. Se divide el intevlo [, b] en n prtes (5 prtes igules en l figur). En cd uno de estos intervlos se clcul el áre del rectángulo más grnde contenido bjo l gráfic de l función (rectángulos rydos en l figur) con bse en el intervlo y el áre del rectángulo más pequeño que contiene l gráfic de l función con bse en el intervlo. Si l hcer que el número de intervlos n tiend infinito (o lo que es lo mismo, l longitud de los subintervlos tiende cero) l sum de ls áres de los rectángulos por debjo de l gráfic de l función y l sum de ls áres de los rectángulos por encim de l función es l mism, decimos que l función f es integrble en el intervlo [, b] y escribimos b f(x) dx pr indicr este límite. L fórmul nterior se lee: integrl entre y b de f(x). Tmbién se llm integrl definid. El concepto de integrl definid se extiende funciones f : [, b] R (no necesrimente positivs). En este cso los rectángulos tienen ltur negtiv y us áre se consider negtiv. Aquí l interpretción geométric de l integrl definid no es el áre (ver l interpretción en l prte derech de l siguiente figur).

2 L integrl definid tiene ls siguientes propieddes pr funciones f y g que sen integrbles. b [f(x) ± g(x)] dx = b f(x) dx ± b. b kf(x) dx = k b f(x) dx 3. b f(x) dx = f(x) dx b 4. b f(x) dx = c f(x) dx + b c 5. Si f, b f(x) dx f(x) dx g(x) dx 6. Si f(x) g(x) en [, b], b f(x) dx b g(x) dx El teorem del vlor medio pr integrles. Si l función f es continu en el intervlo [, b], existe un número c en [, b] tl que b f(x) dx = f(c)(b ). Teorem fundmentl del cálculo Es tedioso clculr integrles definids usndo l definición. El mátemático/físico inglés I. Newton y el mtemático/diplomático lemán G. Leibniz se dieron cuent que el problem de clculr integrles tení relción con ls derivds. Teorem fundmentl del cálculo. Si l función f es continu en el intervlo [, b], l función es derivble en [, b] y se cumple F (x) = x f(t) dt, x b, d F (x) = f(x). dx Ejemplo : Clcul l derivd de ls siguientes funciones usndo el teorem fundmentl del cálculo (TFC): ) F (x) = x e t dt; b) G(x) = x (sen t) dt; c) H(x) = x x t + dt. S./ ) Por el TFC, df dx =. e x b) Aquí hy que usr el TFC y l regl de l cden. Se u = x por lo que G(x) = u (sen t) dt. Etonces dg dx = dg du du dx = (sen u) x = (sen x ) x. c) Primero escribimos H(x) = x x t + dt t + dt por ls propieddes de l integrl (el puede ser sustituido por culquier número). Ahor se us el TFC y l regl de l cden: dh dx = (x) + x + = 4x + x +.

3 Primitiv de un función. Dd un función f se llm primitiv de f otr función F tl que df dx = f(x). L primitiv F (x) de un función f no es únic, porque si G(x) = F (x) + C se tiene que F (x) = G (x). Se escribe f(x) dx = F (x) + C pr denotr tods ls primitics de f. L prte izquierd de est fórmul se lee integrl de f(x) y se llm integrl indefinid de f(x). Por el Teorem Fundmentl del Cálculo, ls primitivs de ls funciones elementles se obtiene mirndo l tbl de derivds de izquierd derech Integrles indefinids elementles. x dx = x+ dx + C ( ) + dx = ln x + C x dx = + C x dx = x ln + C Integrles indefinids de funciones trigonométrics. (cos x) dx = sen x + C (sen x) dx = cos x + C dx = tg x + C cos x Integrles indefinids de funciones trigonométrics e hiperbólics inverss. 8. dx = rcsen x + C x 9.. dx = rctg x + C + x x + dx = rcsenh x + C = ln(x + x + ) + C 3

4 Regl de Brrow. Si F (x) es un primitiv de l función f(x) en el intervlo [, b] se tiene que b f(x) dx = F (b) F (). Ejemplo : Evlu ls siguientes integrles usndo l regl de Brrow: ) (x 3 3) dx; b) π sen x dx; c) 4 x dx. S./ ) [ x (x 3 4 ] 3) dx = 4 3x = ( 6 ) ( ) = 4. b) π [ sen x dx = c) 4 ] π cos x = cos π ( cos ) = + =. [ ] x dx = ln x = ln ln 4 = ln 4 = ln. Cmbio de vrible en l integrl L fórmul del cmbio de vrible en l integrl es un consecuenci de l regl de l cden pr ls derivds. L fórmul es: b f(g(x))g (x) dx = g(b) g() f(u) du. No hy que recordr est fórmul. Es mejor prender plicrl estudindo los ejemplos. Ejemplo 3: Evlu ls siguientes integrles indefinids: ) x dx; b) x ln x dx; S./ ) Con u = x tenemos du = xdx y por tnto xdx = du/. Sustituyendo en l integrl se obtiene: x dx = e u du = eu + C = + C. ex b) Con u = ln x tenemos du = dx. Por tnto, x x ln x dx = du = ln u + C = ln ln x + C. u Ls fórmuls cos x = permiten clculr ls integrles + cos x cos x dx y y sin x = sen xdx. cos x 4

5 9 Ejemplo 4: Evlu x dx. S./ Aquí hy que hcer l sustitución trigonométric x = 3 sen t y que entonces dx = 3 cos t dt y se tiene: 9 x dx = 9 9 sin t 3 cos t dt = 9 cos t dt y est integrl se hce usndo l primer de ls fórmuls nteriores. Integrción por prtes L fórmul de integrción por prtes se deduce de l fórmul pr l derivd de un producto. Pr l integrl definid l fórmul es: b [ ] b b f(x)g (x) dx = f(x)g(x) g(x)f (x) dx. Con u = f(x) y v = g(x) est fórmul se trduce pr l integrl indefinid en: u dv = uv v du. Ejemplo 5: Clcul x cos x dx. S./ Hcemos u = x con lo que du = dx. Tmbién hcemos dv = cos x dx con lo que se obtiene v = sen x. Entonces, x cos x dx = x sen x sen x dx = x sen x + cos x + C. Integrción de funciones rcionles Un función rcionl es de l form f(x) = P (x), donde P (x) y Q(x) son dos polinomios. Q(x) Mostrremos como resolver ls integrles de este tipo de funciones en tres csos. A Cso I. Funciones rcionles de l form n =,, 3,... En este cso se hce l (x + b) n sustitución x + b = u y l nuev integrl es elementl. Ejemplo 6: Clcul 3x 5 dx. S./ Se hce u = 3x 5 con lo que tenemos du = 3 dx y dx = du/3. Entonces, 3x 5 dx = u 3 du = 3 ln u + C = ln 3x 5 + C. 3 Cso II. Funciones rcionles de l form R(x), donde Q(x) puede descomponerse en fctores Q(x) lineles. El método que se utiliz es el método de descomposición en frcciones simples que se muestr en el ejemplo siguiente. Ejemplo 7: Evlu x 5x + 6 dx S./ Ls soluciones d 5x + 6 = son x = y x = 3, por lo que podemos escribir x 5x + 6 = (x 3)(x ). Se buscn hor dos números A y B tles que x 5x + 6 = A x B x.

6 Los vlores de A y B se clculn igulndo los numerdores de est expresión. El resultdo es A =, B =. Por tnto x 5x + 6 dx = x 3 dx + dx = ln x 3 ln x + C. x C Cso III. Funciones rcionles de l form x + bx + c, cundo x + bx + c no tiene rices reles. En este cso hy que completr cudrdos en el denomindor y l integrl será l de un rctg después de hcer un sustitución. Ejemplo 8: Evlu x x + 5 dx S./ Como el denomindor no tiene rices reles, completmos cudrdos pr obtener x x + 5 = (x ) + 4. Por tnto I = x x + 5 dx = (x ) + 4 dx. Est últim integrl se hce con l sustitución x = u y se obtiene: I = rctg x + C. Integrles impropis Hy dos tipos de integrles impropis: I. Integrles impropis con límites de integrción infinito o menos infinito. II. Integrles impropis de funciones con síntots verticles. En mbos csos ls integrles se resuelven hllndo el límite de integrles definids, como se muestr en los ejemplos siguientes. Si el límite que tenemos que clculr existe, decimos que l integrl impropi es convergente; si no existe, decimos que es divergente. Ejemplo 9: Evlu l integrl impropi x + dx. S./ Es un integrl impropi del tipo I. Escribimos dx = lim x + M L integrl es convergente. M [ ] M dx = lim rctg x x + M = lim M rctg M = π. Ejemplo : Evlu I = dx. + ex S./ Es tmbién un integrl lmpropi del tipo I, pero hor tiene como límites y. Se elige un número culquier, por ejemplo el, y se clculn los límites por mbos ldos. El cmbio de vrible u = produce du = dx. Así que dx = + ex + u du = rctg u + C = rctg ex + C. Pr clculr I escribimos l integrl como sum de dos integrles indefinids: I = dx + + ex 6 dx. + ex

7 Cd un de ells l ponemos como límite de integrles definids: I = lim N N dx + lim + ex M L integrl es convergente. M dx = lim + ex N [ rctg ] N + lim M [ rctg ] M = π. dx Ejemplo : Evlu 3. x S./ L función que se quiere integrr tiene un síntot verticl en x =, luego es un función del tipo II. Tenemos que tomr límites de integrles definids en intervlos [c, ] y hcer que c tiend por l derech: L integrl es convergente. dx 3 x = lim c + c [ x x /3 /3 ] dx = lim = 3 c + /3 c. Áre de un región entre dos curvs. El áre limitd por l gráfic de un función positiv y el eje OX en el intervlo [, b] se clcul con l integrl, como se indic en l figur de l izquierd. Pr hllr el áre limitd por l gráfic de un funcion no necesrimente positiv y el eje OX en el intervlo [, b], se identificn los puntos en los que l gráfic de l función cort l eje OX y se clcul cd un de ls integrles teniendo en cuent que l integrl por debjo del eje OX hy que tomrl negtiv (ver l figur del centro). Pr hllr el áre limitd por l gráfic de dos funciones f y g se hlln los puntos de corte entre si y se escriben ls integrles correspondientes de mner que el resultdo de cd un de ells se siempre positivo (ver l figur de l derech). Volumen de un solido de revolución El volumen del sólido que se obtiene l girr l región limitd por l gráfic de l función positiv y = f(x) y el eje OX en el intervlo [, b] se clcul con l fórmul: V = π b [f(x)] dx. 7

8 Ejemplo : Comprueb que el volumen de un esfer de rdio R es V = 4 3 πr3. Longitud de un curv L longitud de l curv determind por l gráfic de un función y = f(x) en el intervlo [, b] se clcul con l fórmul b L = + [f (x)] dx. Ejemplo 3: Comprueb que longitud de un circunferenci de rdio R es L = πr. Áre de un superficie de revolución El áre de l superficie de revolución que se obtiene l girr l gráfic de l función y = f(x) en el intervlo [, b] se clcul con l fórmul S = π b f(x) + [f (x)] dx. Ejemplo 4: Comprueb que l superficie de un esfer de rdio R es L = 4πR. 8