PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

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1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito en cd esquin y se doblrá. Cuál debe ser el ldo del cudrdito cortdo pr que el volumen de l cj resultnte se máimo? A prtir del enuncido puede seguirse el proceso que se detll continución:. Determinr el objetivo del problem: lo que hy que hcer máim o mínim. En el ejemplo nterior el objetivo es que el volumen de l cj se máimo.. Epresr en form de función tl objetivo. L cj es un prism rectngulr: volumen = áre de l bse por l ltur. Pr mejor comprensión conviene hcer un dibujo. Si se cort un cudrdito de ldo, el volumen de l cj obtenid será: V ( )( ) V 768. Los puntos máimos o mínimos se encuentrn, si eisten, entre ls soluciones de V 0. V Se obtienen,5 y, 8 08 (hemos simplificdo). Pr ver cuál de ellos es el máimo hcemos V y sustituimos. Como V (,5) 0 y V (,) 0, el máimo se d pr =,5. Est es l solución buscd. Not: El vlor =, no es posible, pues cm no d pr cortr dos trozos de tmño, cd uno.

2 PAJ05. Se dispone de un tel metálic de 00 metros de longitud pr vllr un región como l de l figur. Cuáles son los vlores de e y que hcen que el áre encerrd se máim? (,5 puntos) Se trt de un problem de optimizción. Objetivo: que el áre de l figur se máim. L figur está formd por un triángulo equilátero de ldo y por un rectángulo de ldos e y. Áre del triángulo: A T =. Vése l figur. L ltur del triángulo es: h Áre del rectángulo: A R = y Áre totl: A y Condición: perímetro de l figur = 00 m 00 = + y Sustituyendo en l epresión nterior, se tiene: y 50 A( ) 50 Est función lcnz el máimo en ls soluciones de A () = 0 que hcen negtiv A (). 6 A ( ) (6 6 ) 6 Como A ( ) 0, pr ese vlor hlldo se tendrá el máimo buscdo. 50(6 ) El vlor de y será: y 50.

3 PAS05. Se dispone de un tel metálic de 00 metros de longitud pr vllr un región rectngulr. Cuáles son los vlores de e y, dimensiones del rectángulo, que hcen que el áre del romboide, formdo por l unión de los puntos medios de los ldos, se máim? (,5 puntos) Se trt de un problem de optimizción. Objetivo: que el áre del romboide se máim. Su áre es l mitd que l del rectángulo. Por tnto: Áre del romboide: A R = y. Condición: perímetro del rectángulo = 00 m 00 = + y Sustituyendo en l epresión nterior, se tiene: y 50 A( ) 5 Est función lcnz el máimo en ls soluciones de A () = 0 que hcen negtiv A (). A ( ) Como A ( ) 0, pr ese vlor hlldo se tendrá el máimo buscdo. El vlor de y será: y 5. Por tnto, tnto el rectángulo como el romboide son cudrdos. El rectángulo tendrá ldo 5; el romboide será un cudrdo de ldo 5.

4 CTS05. Consider l función f ( ) y un punto de su gráfic, M, situdo en el primer cudrnte ( 0, y 0). Si por el punto M se trzn prlels los ejes de coordends, su intersección con OX y OY determin dos puntos, A y B, respectivmente. ) Hz un gráfic de los elementos del problem. b) Hll ls coordends del punto M que hce que el rectángulo OAMB teng áre máim. ) L curv es un prábol. Puede representrse dndo vlores. L situción es l siguiente. b) Si el punto M = (, y), ls coordends de A y B son: A = (, 0) y B = (0, y). El áre del rectángulo será: S = y Como y, sustituyendo se tiene: S( ) ( ) El máimo de S() se d en ls soluciones de S () = 0 que hgn negtiv S (). S ( ) 0 = y = (est últim no vle) Como S ( ) 6, se tiene que S () = 6 < 0; luego pr ese vlor de se tendrá l superficie máim. Por tnto M = (, ).

5 5 CMJ05. Un imprent recibe el encrgo de diseñr un crtel con ls siguientes crcterístics: l zon impres debe ocupr 00 cm, el mrgen superior debe medir cm, el inferior cm, y los márgenes lterles cm cd uno. Clcul ls dimensiones que debe tener el crtel de modo que se utilice l menor cntidd de ppel posible. Si ls dimensiones de l prte impres son por y, el crtel será como el que dibujmos. L cntidd de ppel que se necesit, y que se dese que se mínim, es: S = ( + 8) (y + 5) Con l condición de que y = 00 y = 00/ Sustituyendo en S, qued: S ( ) ( 8) 5 S ( ) 5 0 Est función es mínim en ls soluciones de S = 0 que hcen positiv S. 800 S ( ) S ( ) S () = y,5 0 0 Como pr ese vlor S es positiv se tiene l solución mínim buscd. Ls dimensiones del crtel deben ser: ncho: lto: y 5 5,5 0

6 6 CMS05 5. De todos los prisms rectos de bse cudrd y tles que el perímetro de un cr lterl es de 0 cm, hll ls dimensiones del que tiene volumen máimo. Si es el ldo de l bse e y l ltur del prism, el volumen será V = y. Est es l función que se dese hcer máim. Se sbe que + y = 0 y = 5. Luego V( ) y (5 ) 5 El máimo de V se d en l solución de V = 0 que hce negtiv V. V ( ) 0 (0 ) ; V ( ) 0 6 L derivd se nul pr = 0 y = 0. Como V (!0) = 0 < 0, pr ese vlor se tiene el máimo buscdo. Ls dimensiones serán 0 0 5; y el volumen 500 cm.

7 7 RMS05 6. De todos los rectángulos de digonl 6, encontrr ls dimensiones del de perímetro máimo. Los rectángulos son de l form Su perímetro es P = + y, siendo l relción entre los ldos y 6. Despejndo ( y 7 ) y sustituyendo en P qued: P( ) 7 El máimo de P se obtiene en ls soluciones de P () que hcen negtiv P (). ( ) P ( ) = 6 7 En vez de hcer P (), porque result engorros, podemos estudir el signo de P () izquierd y derech de = 6. Así, si < 6, P () > 0 P() es creciente. si > 6, P () < 0 P() es decreciente Como l función crece l izquierd de = 6 y decrece su derech, pr = 6 se d el máimo de P(). Si el ldo = 6, el otro ldo vle tmbién 6. Así pues, se trt de un cudrdo de ldo 6.

8 8 MAJ0 7. Clculr l bse y l ltur de un triángulo isósceles de perímetro 8 y áre máim. Se el triángulo de l figur. Su perímetro vle 8 y + = 8 8 y Por Pitágors: y h h 8 Sustituyendo el vlor de y y 6 6 h 6 h El áre del triángulo es A. 6 Sustituyendo h por su vlor, A( ) Pr que A se máim: A () = 0 y A () < 0: 8 A ( ) = 0, = 8/ En vez de clculr l derivd segund, que result muy engorroso, estudimos el crecimiento y el decrecimiento de A(). Pr < 0 no tiene sentido ver el signo de A. Pr 0 < < 8/, A () > 0 A() crece. Pr > 8/, A () < 0 A() decrece. Como l función crece l izquierd de = 8/ y decrece su derech, en = 8/ se d el máimo. Por tnto, l bse pedid es = 8/, mientrs que l ltur vldrá h 6 (8/ )

9 9 CMJ0 8. El perímetro de l ventn del dibujo mide 6 metros. Los dos ldos superiores formn entre sí un ángulo de 90º. Clcul l longitud de los ldos y b pr que el áre de l ventn se máim. Suponemos que los dos ldos superiores son igules (el enuncido no lo dice, pero sí lo sugiere l figur). Si su medid es se tendrá: Por Pitágors: b b b El perímetro es: b 6 b 6 6 b( ) El áre de l ventn es l sum del áre de l sección rectngulr más l de l sección tringulr: 6 b( ) b A b b Pr que A se máim: A = 0; A < 0. b ( A( b) ) b Si ( ) b 6 A ( b) 0 b ( ) A ( b) 0 luego, pr el vlor de b hlldo se tiene el máimo de A. 6( ) 6 6 b

10 0 ARJ0 9. Tenemos que hcer dos chps cudrds de dos distintos mteriles. Los dos mteriles tienen precios respectivmente de y euros por centímetro cudrdo. Cómo henos de elegir los ldos de los cudrdos si queremos que el coste totl se mínimo y si demás nos piden que l sum de los perímetros de los dos cudrdos h de ser de un metro? (,5 puntos) Sen los cudrdos siguientes: Perímetro = + y = 00 cm Superficie = + y Coste = + y Despejndo y en l ecución del perímetro: 00 y 5 Sustituimos en l epresión del coste: C( ) (5 ) C ( ) El coste será mínimo en l solución de C () = 0 que hg positiv C (). C ( ) = 5 Como C () = 0 > 0, pr ese vlor de = 5 se obtiene el mínimo buscdo. Por tnto, los ldos deben ser de 5 cm y de 5 5 = 0 cm.

11 ARS0 0. Descomponer el número e en dos sumndos positivos de form que l sum de los logritmos neperinos de los sumndos se máim (,5 puntos). Clculr dich sum ( punto) Sen los sumndos y e : Se dese que S() = ln + ln(e ) se máim. El máimo se d en ls soluciones de S () = 0 que hcen negtiv S (). e S ( ) 0 0 e ( e ) ( e ) e = 0 e Como S ( ) es sum de dos números negtivos, S () < 0 pr culquier ( e ) e vlor de ; en consecuenci, pr se tendrá el máimo buscdo. L sum pedid es: e e e S ln ln ln (ln e ln ) ln

12 PAS0. Con 60 centímetros de lmbre se construyen dos triángulos equiláteros cuyos ldos miden e y. Qué vlores de e y hcen que l sum de ls áres de los triángulos se mínim. (,5 puntos) L ltur del triángulo de ldo es: h, l del triángulo de ldo y es, h y y Se cumple que + y = 60 y = 0 Se dese que S S se mínim. S y y y ( y ) Sustituyendo y = 0, se tiene: S ( (0 ) ) ( 0 00) Pr que S se mínim: S = 0 y S > 0: S ( 0) 0 = 0 Como S 0, pr ese vlor de = 0 se tiene el mínimo buscdo. En consecuenci, los ldos será = 0 e y = 0; o se, dos triángulos equiláteros igules.

13 CMS0. Epres el número 60 como sum de tres números positivos de form que el segundo se doble del primero. Si el producto de los tres es máimo, determin el vlor de dicho producto. Sen, y, z los números. Se sbe que y = ; y que + y + z = 60 + z = 60 z = 60 El producto de los tres números es: P = yz = (60 ) = El producto en función de es: P() = Este producto es máimo en los vlores de que cumplen que P () = 0 y P () > 0 P () = = 6( + 0) = 0 = 0; = 0/. Como P () = se tiene que P (0/) = 0 < 0. Por tnto, el producto será máimo cundo = 0/. Los otros dos números son y = = 80/; z = El producto máimo es P = 0 7,

14 EXS0. Se dese construir un prlelepípedo rectngulr de 9 litros de volumen y tl que un ldo de l bse se doble que el otro. Determinr ls longitudes de sus ldos pr que el áre totl de sus 6 crs se mínim. Si su ltur es h, el volumen de este prlelepípedo vle: V = h = h El áre totl de sus 6 crs es: A = ( ) + ( h) + ( h) A = + 6h Como V = h = 9 Sustituyendo en A: A( ) 7 h 9 Est función es mínim en ls soluciones de A = 0 que hcen positiv A. 7 A ( ) 8 = Como 5 A ( ) 8 > 0 pr todo > 0, pr se tiene l solución mínim. Por tnto, el ldo más lrgo vldrá, y l ltur h 9 (/ )

15 5 MAS05. Dd l función f ( ) se pide: ) ( punto). Hllr l ecución de l rect tngente su gráfic en el punto (, f ( )) pr > 0. b) ( punto). Hllr los puntos de corte de l rect tngente hlld en el prtdo ) con los dos ejes coordendos. c) ( punto). Hllr el vlor de > 0 que hce que l distnci entre los dos puntos hlldos se mínim. ) L ecución de l rect tngente f() en el punto (, f ( )) es: y f ( ) f ( )( ) En este cso: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Se tendrá: y ( ) y b) Corte con eje OY, (se hce = 0) y. Punto 0,. Corte con eje OX, (l y = 0) 0. c) L distnci entre los dos puntos de corte es: d (). Punto,0 D. Est distnci será mínim cundo lo se su cudrdo, d. El vlor mínimo se d en ls soluciones de D = 0 que hgn D > 0. (Derivmos con respecto.) 8 D = (l solución = se descrt) Como D 8 > 0, pr = se drá el vlor mínimo.

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