TEMA 5. Límites y continuidad de funciones Problemas Resueltos

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1 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 7 Cálculo d its TEMA Límits y continuidad d funcions Problmas Rsultos Para la función rprsntada n la figura adjunta, dtrmina: a) Su dominio b) La cuación d sus asíntotas c) El valor dl it d la función cuando: ; ; ; ; d) En los puntos y, indica l signo d los its latrals a) Dominio: R {, } b) Vrticals: y Horizontal: y c) Si, f( ) ; si, f( ) ±; si, f( ) ; si, f( ) ±; si, f( ) d) f ( ) ; f ( ), f ( ), f ( ) Dada la función f ( ), calcula su it n los siguints puntos: 6 a) b) c) d) a) 6 6 ( )( ) b) 6 ( )( ) c) 6 d) 6 No ist Halla l valor d los siguints its: a) b) c) a) ( )( ) 7 s obtin rsolvindo la cuación La dscomposición ( )( ) 8 b) wwwmatmaticasjmmmcom

2 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 7 ( )( ) c) ( )( ) La dscomposición ( )( ) s obtin dividindo por Ruffini Halla l valor d los siguints its: a) lim b) lim c) lim 8 6 ( )( ) 9 a) lim lim lim 9 6 La dscomposición ( )( ) ( )( ) s obtin dividindo por Ruffini b) c) ( )( ) 9 lim lim lim ( ) lim 9 Rsulv los siguints its: 8 8 a) b) c) 8 ( )( 6) a) (S rpit l ( )( ) ( )( ) procso) ( )( ) Las dscomposicions factorials s hacn dividindo sucsivamnt por 8 b) ( )( ) ( ) c) ) 6 Halla, n función d los valors d p, los siguints its: p 8 a) b) p p p a) En conscuncia, si p l it srá infinito: no ist l it wwwmatmaticasjmmmcom

3 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 7 Pro, si p, s tin: ( ) ( )( ) 8 b) En conscuncia, si p l it valdrá p p 8 ( )( ) Pro, si p, s tin: ( )( ) 7 Calcula los siguints its: a) b) c) a) Es una indtrminación: Pud rsolvrs transformando la función inicial, multiplicando los términos d la prsión por l conjugado dl numrador Así: ( )( ) ( ) ( ) b) Es similar al antrior Para rsolvrlo hay qu multiplicar por la prsión conjugada dl dnominador ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 8 c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 8 Calcula: a) b) c) Mdiant la comparación d grados los trs its pudn hacrs dirctamnt, rsultando: a) b) c) 9 Calcula l valor d los siguints its: a) b) a) S scrib como una sola raíz: c) wwwmatmaticasjmmmcom

4 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 76 b) S scrib como una sola raíz: ( ) c) S divid l numrador y l dnominador por : Calcula l valor d los siguints its: ( ) a) b) c) a) b) ( ) c) (dividindo numrador y dnominador por ) Calcula: a) log b) log c) log a) log log log[ ] d) ln b) log log log log wwwmatmaticasjmmmcom

5 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 77 c) log log log d) ln ln ln ln También: ln ( ln ) Calcula: π a) sin b) cos a) sin sin sin π π π b) cos cos cos π π c) tan tan tan [ ] π π c) tan No ist d) ( tan ) π π tan tan π Los its latrals valn: π ( tan ) tan π d) ( ), ( ) π π tan tan Calcula: sin a) b) sin c) d) π / tan tan a) ± ( ) (El it no ist) Db obsrvars qu sin sin sin sin k b) Db obsrvars qu sin ; s hac sin k c) π / tan π / tan π ( π / ) π (Rcurda qu tan d) tan tan ( ) [?] Db obsrvars qu tan no ist wwwmatmaticasjmmmcom

6 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 78 Halla l valor d los siguints its: a) /( ) b) /( ) a) [ ] / 9 /( ), qu no ist Pud sr d intrés hacr los its latrals /( ) / Por la izquirda: [ ] [ ] /( ) Por la drcha: [ ] [ ] / /( ) b) 9 c) 9 9 Dada la función a) lim f( ) / f( ), calcula: b) lim f( ) c) lim f( ) d) lim f( ) Podría asgurars qu la función tin alguna asíntota? Si la rspusta s afirmativa indica su cuación o cuacions / a) lim / / b) lim ± La rcta s asíntota vrtical / c) lim La rcta y s asíntota horizontal / d) lim Aunqu a st nivl no s tinn instrumntos para afirmarlo, con la calculadora s 9 vidnt: basta con dar a un valor alto Por jmplo si, f (), 6 Calcula los siguints its: a) 6 ( ) b) c) 9 Surgn indtrminacions dl tipo [ ] Para transformarlas s hac la rsta inicial a) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wwwmatmaticasjmmmcom

7 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 79 wwwmatmaticasjmmmcom b) 9 6 [ ] ( )( ) ) )( ( ) )( ( 9 c) [ ] ( ) ( )( ) 9 7 Calcula los its: a) b) ( ) c) ( ) Solución Ambos its dan lugar a la indtrminación d la forma [ ] Para rsolvrla s multiplica y divid por la prsión conjugada : a) [ ] (dividindo por ) b) ( ) [ ] ( )( ) (dividindo por ) c) ( ) [ ] ( )( ) (Ahora pud dividirs por ) ( )

8 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 8 Asíntotas d una función 8 Dada la función f( ) Halla sus asíntotas y la posición d la curva rspcta d llas Dom(f) R { } n pud tnr una asíntota vrtical Como lim, s AV Por la izquirda d, como lim la rama d la asíntota s va hacia Por la drcha d, lim la rama d la asíntota s va hacia También tin una asíntota horizontal, la rcta y, pus lim lim Hacia la función toma valors mnors qu, pus < < (Compruébalo con la calculadora) Hacía toma valors mayors qu, pus si <, > > (Compruébalo con la calculadora) Aunqu no s pid, algunos d sus puntos son: (, /9); (, /); (, 9/); (, 7); (, ); (/, ); (, /); (, 7/6); (, 7/) Su gráfica s la adjunta 9 Halla las asíntotas d la función f ( ) Indica también la posición d la gráfica d f( ) rspcto d sus asíntotas La función no stá dfinida n En s punto tin una asíntota vrtical, pus lim La asíntota s la rcta Si, lim Si, lim Como lim la rcta y s asíntota horizontal d la función Hacia, lim la curva va por dbajo d la asíntota (Compruébalo con la calculadora) Hacía, lim la curva va por ncima d la asíntota wwwmatmaticasjmmmcom

9 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 8 Dada la función f ( ), halla con dtall sus asíntotas; indica la posición 6 d la curva rspcto a llas La función no stá dfinida cuando 6 ; sto s, si o Por tanto, Dom(f) R {, } La función tin dos asíntotas vrticals Las rctas y, pus: 6 y 6 También tin una asíntota horizontal, la rcta y, pus 6 Tin trs asíntotas, las rctas: ; ; y Posición d la curva rspcto d las asíntotas Si, f ( ) ( )( ) Si, f () Si, f ( ) ( )( ) Si, f () Tanto hacia como hacia la función s acrca al j OX por arriba, pus la función toma valors positivos cuando s grand Dtrmina las asíntotas d la función f( ) f( ) no stá dfinida n los cros dl dnominador: n las solucions d, qu son y Por tanto, l dominio d la función s R {, } Tin dos asíntotas vrticals, pus lim La asíntota s lim La asíntota s También tin una asíntota horizontal, pus lim, (El grado dl dnominador s mayor qu l dl dnominador) La asíntota s la rcta y wwwmatmaticasjmmmcom

10 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 8 Halla las asíntotas d la función f ( ) Indica la posición d la curva rspcto d sus asíntotas La función no stá dfinida n En s punto hay una asíntota vrtical, pus: Cuando, f () Y cuando, f () Como l grado dl numrador s igual al grado dl dnominado más, también tin una asíntota oblicua f m ( ) ; n ( f ( ) ) La asíntota s la rcta y Si s hac la rsta curva mnos la asíntota s tin: f ( ) y ( ) Cuando, sa difrncia tind a la curva va por ncima d la rcta Cuando, sa difrncia tind a la curva va por dbajo d la rcta ( ) Halla las asíntotas d la función f ( ) La función no stá dfinida n En s punto tin una asíntota vrtical, pus: ( ) la rcta s AV También tin una asíntota oblicua, pus l grado dl numrador s igual al dl dnominador más La asíntota oblicua s la rcta y m n, sindo: f ( ) ( ) m ; ( ) n ( f ( ) m) La rcta y s la cuación d la asíntota oblicua D otra manra Dscomponindo (dividindo) la prsión dada: ( ) f ( ) La asíntota s la rcta y, pus para valors d muy grands (cuando ) f ( ), pus l término s hac cada vz más pquño, aunqu positivo, lo qu indica qu la curva va por ncima d la asíntota D manra análoga, cuando f ( ), lo qu indica qu la curva va por dbajo d la asíntota wwwmatmaticasjmmmcom

11 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 8 Sa f ( ) Halla su dominio y sus asíntotas La función dada stá dfinida para todo valor d distinto d La curva tin por asíntota vrtical la rcta, pus También tin una asíntota oblicua, pus l grado dl numrador s igual al dl dnominador más Como f( ), la asíntota oblicua s y Nota: También podría obtnrs mdiant its La asíntota oblicua s y m n, sindo: f ( ) m y n ( f ( ) m) Halla las asíntotas d las siguints funcions: a) f( ) b) f( ) c) f( ) d) f( ) a) f( ) tin una asíntota horizontal hacia, pus La asíntota s l j d abscisas No tin más asíntotas b) f( ) tin una asíntota horizontal hacia, pus ( ) La asíntota s la rcta y c) La función f( ) tin una asíntota horizontal hacia, pus La asíntota s l j d abscisas d) f( ) tin una asíntota horizontal hacia, pus La asíntota s l j d abscisas 6 Halla las asíntotas d las siguints funcions: a) f ( ) log( ) b) f ( ) log c) f ( ) log( ) d) f ( ) log a) La función f ( ) log( ) stá dfinida para > Tin una asíntota vrtical n, por la drcha, pus log( ) b) La función f ( ) log stá dfinida para > Tin una asíntota vrtical n, por la drcha, pus log Pud vrs qu f ( ) log log log log wwwmatmaticasjmmmcom

12 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 8 c) La función ( ) log( ) f stá dfinida si < o > Tin dos asíntota vrticals; una a la izquirda d, otra a la drcha d, pus: log y log( ) d) La función ( ) f ( ) stá dfinida para >, mnos n log log En tin una asíntota vrtical, pus Rcurda qu log También tin otra asíntota horizontal hacia, pus log Su gráfica, qu no s ncsario hacr, s la adjunta Continuidad 7 Indica los puntos d discontinuidad d cada una d las siguints funcions Justifica la rspusta n cada caso a) f ( ) 8 b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) ) f ( ) 8 f) f ( ) g) f ( ) h) f ( ) i) f ( ) j) f ( ) k) f ( ) log( 6) l) f ( ) log sin m) f ( ) tan n) f ( ) sin o) f ( ) cos( ) p) f ( ) cos Las funcions dadas son continuas n todos los puntos d su dominio d dfinición Por tanto, n los casos dados, hay qu cluir los puntos n los qu no stán dfinidas, qu son: a) f ( ) 8 s continua n todo R Los polinomios son funcions continuas simpr b) f ( ) s continua n R { } Pud obsrvars qu n s anula l 8 dnominador Las funcions racionals son continuas simpr, mnos n los cros dl dnominador c) f ( ) s continua n R { 8 8, 8} d) f ( ) s continua n todo R, pus stá dfinida simpr 8 ) f ( ) 8 s continua para todo Estas funcions stán dfinidas cuando l radicando no s ngativo f) f ( ) s continua n todo R, pus stá dfinida simpr g) f ( ) s continua n todo R, pus stá dfinida simpr wwwmatmaticasjmmmcom

13 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 8 h) f ( ) s continua cuando > Si no rcurdas cómo s rsulv >, pincha AQUÍ i) f ( ) s continua n todo R, pus stá dfinida simpr ; sto s, cuando (, ) (, ) j) f ( ) s continua n R {} k) f ( ) log( 6) s continua para todo > 6/ Para valors d 6/ la función no stá dfinida l) f ( ) log s continua n todo R, pus stá dfinida simpr π π m) f ( ) tan s continua para todo k Rcuérds qu la tangnt, tan α, no π π π π stá dfinida cuando α k π En st caso, k π k n) f ( ) sin s continua n R {} o) f ( ) cos( ) s continua n todo R, pus stá dfinida simpr sin p) f ( ) s continua n todo R, pus stá dfinida simpr cos 8 Indica los puntos d discontinuidad d cada una d las siguints funcions Justifica la rspusta n cada caso, si, si cos, si a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ), si >, si >, si >, si, si, si d) f ( ) ) f ( ) f) f ( ), si > sin, si > ( ) ln si > Las funcions dfinidas a trozos son continuas cuando lo son n cada intrvalo y, admás, sus its latrals son iguals n los puntos d división dl dominio, si a) f ( ) Cada función s continua n su intrvalo d dfinición, si > rspctivo; pro s discontinua n, pus n s punto los its latrals no son iguals: Por la izquirda: f ( ) Por la drcha: f ( ) ( ), si b) f ( ) En st caso, la función s continua n todo R, pus n, si > los its latrals coincidn Por la izquirda: f ( ) ( ) Por la drcha: f ( ) ( ) wwwmatmaticasjmmmcom

14 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 86 cos, si c) f ( ) La función stá dfinida n todo R La única dificultad para su, si > continuidad s da n Como los its latrals coincidn, la función también s continua n En fcto: Por la izquirda: f ( ) cos Por la drcha: f ( ) ( ), si d) f ( ) La función stá dfinida n todo R La función f ( ) sin, si > s discontinua n, pro s punto stá n l sgundo trozo En, los its latrals valn: Por la izquirda: f ( ) Por la drcha: f ( ) sin Como no coincidn, la función no s continua n, si ) f ( ) La función no stá dfinida n Por tanto, n s punto s, si > discontinua El otro punto conflictivo s Hay qu studiar los its latrals Por la izquirda: f ( ) Por la drcha: f ( ) Como son iguals, la función s continua n, si f) f ( ) La función no stá dfinida para Por tanto, sólo pud ln( ) si > sr continua si < Por otra part, n pud prsntar dificultad: hay qu studiar los its latrals n s punto Por la izquirda: f ( ) ( ) Por la drcha: f ( ) ln( ) ln Como son iguals, la función s continua n ( )( ) 9 a) Cuántas discontinuidads tin la función f( )? b) Qué valor hay qu dar a f () para qu la discontinuidad d puda vitars? ( )( ) a) f( ) no stá dfinida n los puntos y En sos puntos s discontinua b) La discontinuidad pud vitars cundo ista l it n : ( )( ) ( )( ) lim lim ( )( ) La discontinuidad pud vitars dfinindo f () wwwmatmaticasjmmmcom

15 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 87 Dada la función f( ), calcula su it n los puntos, ( )( )( ), y En qué puntos s discontinua la función? Tin alguna discontinuidad vitabl? ( ) La función dada s pud prsar n la forma f( ) ; qu podría ( )( )( ) simplificars cuando y Con sto: ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ; ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) Es discontinua, por no star dfinida, n los puntos,, y En los puntos y s pud vitar la discontinuidad, pus ist l it S vitaría dfinindo f() f() 8 Estudia la continuidad d función f ( ) Si tuvis alguna discontinuidad 6 vitabl cómo podría vitars? La función s discontinua cuando 6 o La discontinuidad pud vitars si ist l it 8 En, como, la discontinuidad no pud vitars (s d salto 6 infinito) La función tin una asíntota vrtical: 8 ( ) En, como 6 Por tanto, n, ( )( ) ( ) la discontinuidad pud vitars dfinindo f ( ) Dtrmina l tipo d discontinuidads qu prsnta la función f ( ) ± 9 Es discontinua n los cros dl dnominador: En la discontinuidad s vitabl, pus ist l it: ( )( ) 7 8 ( 8)( ) 8 9 wwwmatmaticasjmmmcom

16 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 88 En 8 la discontinuidad s invitabl, pus no ist l it: k La función f ( ) s discontinua n los puntos y Podría vitars alguna discontinuidad para algún valor d k? La función no stá dfinida cuando ±; n sos puntos s anula l dnominador Pro si l numrador d la función fus s posibl qu la discontinuidad puda vitars n algún caso Para llo s ncsario qu los valors o san raíz dl numrador El valor s raíz d k si k Si k ( ) En st caso, lim lim lim Por tanto, la ( )( ) discontinuidad pud vitars n (No s pud vitar n ) El valor s raíz d k si k Si k ( ) En st caso, lim lim lim La discontinuidad pud ( )( ) vitars n (No pud vitars n ) Para qué valors d a s continua n la función En l punto dbn sr iguals los its latrals Por la izquirda: f ( ) a Por la drcha: f ( ) ( a) a Como dbn sr iguals: a a, si f ( )? a, si > a Dtrmina los valors d a para qu la función f( ) sa continua n a sin < todo R Por sparado, para cada intrvalo d dfinición, las funcions dadas son continuas El único punto conflictivo s, n dond las funcions difirn a izquirda y drcha En s punto la función stá dfinida, sindo f () a ; para qu sa continua, admás, db tnr it n y coincidir con su valor d dfinición Por la izquirda: Si, f ( ) a Por la drcha: Si, f( ) a sin a Como ambos its dbn sr iguals: a a / / Lugo, la función continua s: f( ) sin < wwwmatmaticasjmmmcom

17 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 89 a ln( ), si < 6 Pud la función f( ) sr continua n toda la rcta ral para, si algún valor d a? Por sparado, para cada intrvalo d dfinición, las funcions dadas son continuas El único punto conflictivo s, n dond las funcions difirn a izquirda y drcha (Obsrva qu ln stá dfinida para valors d < ) ( ) Srá continua n cuando los its latrals san iguals Por la izquirda: lim f ( ) lim a ln( ) a ln a ( ) Por la drcha: lim f( ) lim Lugo, si a la función dada srá continua n toda la rcta ral 7 Halla para qué valors d a la función f ( ) a En l punto a dbn sr iguals los its latrals Por la izquirda: lim f ( ) lim a a a Por la drcha: lim f( ) lim a a a a ( ) Como dbn sr iguals: a a a a a ; a La función s continua cuando a o a a > a s continua n todo R sin a < π 8 Dtrmina los valors d a y b qu hacn qu la función f ( ) cos b π < sa continua n todo R Hay qu studiar los its latrals n los puntos π y En cada caso sos its dbn sr iguals En π: Por la izquirda: f ( ) ( sin a) sin π a a π π Por la drcha: f ( ) ( cos b) cos π b b π π Como dbn sr iguals: a b a b wwwmatmaticasjmmmcom

18 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 9 En : Por la izquirda: f ( ) Por la drcha: f ( ) ( cos b) cos b b ( ) Como dbn sr iguals: b b a sin < π Lugo, la función continua s: f ( ) cos π < 9 Dtrmina la continuidad d las funcions: a) f ( ) b) f ( ) Ambas funcions pudn dfinirs a trozos ( ), si < a) f ( ) El único punto conflictivo s, si S studian los its latrals n f ( ), y f ( ) ( ), Como ( ( )) s dduc qu la función s continua n Su gráfica s la adjunta, si b) f ( ), si < < Hay qu studiar lo qu pasa n y, si En ambos casos coincidn los its latrals y, n conscuncia, la función s continua n todo R En fcto: f ( ) y f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) y f ( ) ( ) Otros problmas p Eist algún valor d p para l qu la función f ( ) tnga solamnt una asíntota vrtical? La función pudn tnr asíntotas vrticals n los puntos qu anulan l dnominador: n las solucions d, qu son y p ( p)( p) Como f ( ) : ( )( ) wwwmatmaticasjmmmcom

19 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 9 p ( )( ) Si p, n no habría ( )( ) asíntota p ( )( ) Sguiría habiéndola n, pus ( )( ) Si p, habría una asíntota vrtical n ; pro no n (El razonaminto s análogo) p También tin una asíntota horizontal, la rcta y, pus, cualquira ± qu sa l valor d p Aplicando alguno d los siguints rsultados: p p p ) ) rsulv los its: a) a) Es l caso ), con b) p ) p c) p b) Ajustando constants y aplicando l rsultado ) / / / p c) Aplicando l rsultado ) ( ) g ( ) Aplicando la transformación ( f ( ) ) [ ] siguints its: a) b) [ ] c) ( ) a) ( f ( ) ) g ( ), halla l valor d los b) [ ] ( ) ( ) wwwmatmaticasjmmmcom

20 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 9 c) [ ] Compruba qu la función f ( ) sin no tin asíntotas La función stá dfinida para todo R Por tanto no tin asíntotas vrticals Tampoco tin asíntotas horizontals, pus ( sin ) ± Vamos si tin oblicuas: y m n f ( ) sin m Por tanto, tampoco hay asíntota oblicua ± ; n ( f ( ) m) ( sin ) Halla las asíntotas d las siguints funcions: b) f ( ) b) f ( ) c) a) f ( ), qu no ist f ( ) d) f ( ) tin una asíntota horizontal hacia ±, pus [ ] s l j d abscisas ± La asíntota b) ( ) f no stá dfinida n En st caso convin considrar los its latrals, cumpliéndos: Por la izquirda: [ ] [ ] / Por la drcha: [ ] [ ] / drcha Por la izquirda no hay asíntota vrtical La rcta s asíntota vrtical por la Admás, tin una asíntota horizontal hacía ±, pus [ ] ± La asíntota s la rcta y Hacia la asíntota va por ncima d la curva; hacia, la asíntota va por dbajo c) f ( ) no tin asíntotas vrticals, pus stá dfinida n todo R Tampoco tin asíntotas horizontals ni oblicuas, pus [ ] y (Para hacr st ± ± sgundo it s ncsita aplicar L Hôpital S vrá n l Tma 8: problma d) d) La función f ( ) s conoc con l nombr d función logística Tin dos asíntotas horizontals, una hacia y otra hacia En fcto: wwwmatmaticasjmmmcom

21 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 9 La rcta y s asíntota horizontal d la curva La rcta y s también asíntota horizontal Su gráfica s la qu s indica Dpndindo d los valors d p, tin la función f ( ) alguna p discontinuidad? Si la tuvis, podría vitars n algún caso? p ± p Es discontinua n los cros dl dnominador: p Por tanto, si p > o p <, la función tin dos discontinuidads; si p ±, tin una discontinuidad; n caso contrario s continua para todo Para p, la función s: f ( ), qu s discontinua n ( ) Como, la discontinuidad no pud vitars ( ) En los dmás casos (cuando p > o p ) la discontinuidad no pud vitars, pus n p ± p todos llos l it n s hac infinito a, < 6 Sa f( ) Halla los valors d a y b para qu f () sa b, continua n l intrvalo [, ], sabindo qu también s cumpl qu f ( ) f () La función stá dfinida mdiant dos funcions, ambas continuas n sus rspctivos intrvalos d dfinición Por tanto, l único punto qu planta dificultads s Para qu sa continua s ncsario qu los its latrals san iguals lim f ( ) lim a Por la izquirda: ( ) Por la drcha: ( ) lim f( ) lim b b Por tanto: b b a, < La función srá: f( ), Si f ( ) f () a a a wwwmatmaticasjmmmcom

22 Matmáticas Aplicadas a las Cincias Socials II Solucions d los problmas propustos Tma 9 En conscuncia, la función pdida s, < f( ), a b, si < 7 Dtrmina los valors d a y b para qu la función f( ) s continua, si n l punto Para qu sa continua dbn coincidir los its latrals n Si, f ( ) a b b Si, f ( ) b a, si < El valor d a pud sr cualquira Esto s, las funcions f( ) son, si todas continuas n wwwmatmaticasjmmmcom