TEMA 2. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DE LOS SÓLIDOS.

Transcripción

1 TEMA 2. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA DE LOS SÓLIDOS. 1. Estructura de los sólidos. Grabación y lectura en CD-RW y DVD-RW. 2. Modelo clásico del electrón libre. 3. Modelo cuántico del electrón libre; pozo de potencial tridimensional; estadística de Fermi-Dirac. 4. Modelo de bandas de energía: conductores, aislantes y semiconductores; masa efectiva y hueco. BIBLIOGRAFÍA para el Tema 2: Física, Volumen 2C, Tipler-Mosca, (5ª edición) Physics for Computer Science Students, (2ª Edición), Springer. Narciso García, Arthur Damask y Steven Schwarz. Fundamentos Físicos de la Informática y las Comunicaciones, Luís Montoto San Miguel, Editorial Thomson. Recursos de la Web Diapositivas de clase. 1

2 1. La estructura de los sólidos. La Física del estado sólido constituye una parte importante de la Física cuántica. Con su ayuda podemos comprender las propiedades mecánicas, térmicas, eléctricas, magnéticas y ópticas de la materia en sus tres estados conocidos. Aquí estudiamos algunas propiedades de las sustancias sólidas. LIQUIDOS monocristales MATERIA CONDENSADA SÓLIDOS: policristales amorfos. 2

3 La existencia de un estado u otro de la materia depende de las condiciones de presión (P), y temperatura (T) en las que se formaron. El gráfico muestra un diagrama de fases P-T a Volumen constante. P Sólido, S sublimación (a) fusión Liquido, L vaporización Gas, G T -En los estados sobre las líneas coexisten ambas fases. -Si se calienta una sustancia a P constante, se puede pasar por una secuencia de estados (cambios de fases). La doble flecha a trazos (a) indica que podemos pasar del estado S al L si calentamos en torno al punto de fusión y del estado L al S si enfriamos. Mientras el sólido funde su temperatura se mantiene constante. La grabación y lectura en CD y DVD que veremos está relacionada 3 con el de cambio de fase y otras propiedades de los sólidos.

4 En el diagrama P-T se observa que a altas presiones y bajas temperaturas predomina el estado sólido, mientras que a bajas presiones y altas temperaturas el estado gaseoso. En un modelo de sólido en el que los átomos están conectados entre sí mediante muelles, la energía interna del sólido se compone de energía potencial elástica de sus átomos y energía cinética. La presión es una medida del grado de compresión de sus átomos y la temperatura una medida de su energía cinética interna. 4

5 ESTRUCTURA CRISTALINA Los sólidos se clasifican según se estructura cristalina que está caracterizada microscópicamente por la agrupación de iones, átomos o moléculas según un modelo de repetición periódica. El concepto de periodicidad es sencillo de entender si pensamos en los motivos de una alfombra oriental, dibujos de la Alhambra, una formación de tipo militar... 5

6 Red cristalina y celdilla unidad. Si nos fijamos con detenimiento, en estos dibujos hay siempre una fracción de los mismos que se repite. Pues bien, en los cristales, los átomos, los iones o las moléculas se empaquetan dando lugar a motivos que se repiten desde cada 5 Å hasta las centenas de Å (1 Ángstrom, Å = m), y a esa repetitividad, en tres dimensiones, la denominamos red cristalina. El conjunto que se repite, por traslación ordenada, genera toda la red (todo el cristal) y lo denominamos celdilla elemental o unidad red : conjunto de puntos con repetición periódica. motivo: átomos, iones o moléculas asociados a los nudos de la red. el motivo que se repite, puede describirse por un punto (el punto reticular) que representa a todos y cada uno de los constituyentes del motivo. Por ejemplo en el dibujo anterior cada soldado representa un punto 6 reticular.

7 estructura cristalina: distribución real de los átomos en el espacio. Red + motivo Estructura cristalina celda unidad: la unidad mas pequeña que se repite para formar la red Importancia de la celda unidad: A partir de ella podemos encontrar las propiedades del cristal en su conjunto. Por ejemplo, distancia entre átomos más próximos, número de átomos por metro cúbico, fuerzas que mantienen la red junta, propiedades mecánicas y eléctricas, etc. Redes de Bravais. Existen 14 tipos de redes cristalinas y se conocen con el nombre de redes de Bravais. Sólo veremos las redes cúbicas. P I F bcc fcc 7

8 bcc fcc En realidad los átomos no están tan separados sino lo más próximo posible, como se observa en la estructura fcc. Obsérvese que las tres bolas indicadas por la recta ab son tangentes. a b 8

9 p: primitiva o cúbica simple, de forma que a cada punto reticular de la misma se le asocia un átomo. Por tanto, hay un átomo en cada vértice. El polonio presenta esta estructura. bcc: red espacial cúbica centrada en el cuerpo, de forma que a cada punto reticular de la misma se le asocia un átomo. Por tanto, hay un átomo en cada vértice de la celdilla cúbica y otro en el centro de dicha celdilla. Como ejemplo de metales que adoptan esta estructura se pueden citar el Na, K, Cr, Mo, W y Fe-α fcc: Cúbica centrada en las caras. Asocia un átomo por cada punto reticular de la misma. Por tanto, hay átomos en los vértices y en los centros de las caras de dicha celdilla cúbica. El Al, Cu, Au, Ag y Ni son ejemplos de metales que adoptan esta estructura. Redes de Bravais 9

10 Estructura tipo Silicio: dos redes ffc desplazada una de otra en la dirección de la diagonal principal (a/4, a/4, a/4), siendo a la arista del cubo. a a/4 a/4 a/4 Simulación para el Si y otros. 10

11 Representación planar de la estructura del Si. Obsérvese que es la estructura real vista, por ejemplo, desde arriba. 11

12 Número de átomos que contiene una celda unidad, n C : n n = V + n + C I 8 n V, nº de átomos en vértices. A cada celda corresponde 1/8. n I, nº de átomos en el interior. n F, nº de átomos en las caras. A cada celda corresponde 1/2 Así, la P contiene 8 átomos en cada vértice x 1/8 = 1 átomo, equivale a tener un átomo completo en su interior. La bcc, posee 8 x 1/8 + 1 = 2 átomos en su interior. La fcc, posee 8 x 1/8 + 6 x ½ = 4 átomos en su interior. Silicio, posee 4 átomos por cada fcc, en total 8 átomos. n F 2 12

13 Determinación del nº de átomos por metro cúbico de las estructuras estudiadas. a) estructura cúbica simple. El número de átomos de la celda unidad es n C = 1. Visto desde un lateral se observa que la distancia interatómica, d, separación entre átomos más próxima es d = 2R = a siendo R el radio atómico y a la arista del cubo. La vista desde un lateral sería equivalente a la de la figura. R d = 2R =a El número de átomos por metro cúbico se obtiene dividiendo n C entre la arista del cubo elevada al cubo. Si la arista a se expresa en Å, resulta: nc 1 n = = = 10 ( 10 ) a 10 a 10 a 30 átomos/m 3 13

14 b) Estructura cúbica centrada en el centro (bcc). En este caso n C = 2. El átomo interior estaría tangente a los 8 átomos de los vértices. La distancia interatómica, es d = 2D y se relaciona con la arista del cubo teniendo en cuenta que las 3 esferas son tangentes en la dirección de la diagonal principal del cubo D, de manera que a partir del teorema de Pitágoras resulta: R D d a (Å) a D = 2d D a a d = el nº de átomos por m 3,n, vale: = D 3 n = + = a a 2 = a 3 2 ( 10 ) 3 3 a 10 a Obsérvese ahora que los átomos visto desde un plano lateral no se tocan. 2 =

15 c) Estructura cúbica centrada en las caras. En este caso n C = 4. La vista lateral de la estructura sería la de la figura. La distancia interatómica es d y su relación con a es: d n a 4 ( a 10 = 10 (2d) a ) 3 = 2 2d 2 = = 2a Los centros de los 5 átomos están sobre el mismo plano. El nº de átomos por m 3 es: a 30 15

16 d) Estructura tipo Si, Ge, diamante. d a/4 a En este caso, n C = 8. La relación entre la distancia interatómica, d, y la arista del cubo es: 2 d = 3( a / 4) El nº de átomos por m 3, vale: n 8 ( a 10 = 10 ) 3 2 = a 30 16

17 ANISOTROPIA. Es la dependencia que presentan ciertas propiedades físicas de una sustancia con respecto a la dirección espacial. La causa de ello es la disposición ordenada de los átomos. Por eso la anisotropía es característica de los cristales. Sólo muy pocas propiedades físicas, en los cristales, no depende de la dirección, como le ocurre a la densidad y al calor especifico. En estos casos se dice que presentan isotropía. Desde un punto de vista matemático las propiedades anisótropas se caracterizan mediante vectores y otras magnitudes mas complejas. Una de las propiedades que más nos interesa es la anisotropía óptica. Ello supone una manifestación de distintas propiedades ópticas del medio dependiendo del sentido de propagación de la luz en su interior. Por ejemplo, el índice de refracción de un medio va a depender de la dirección espacial del cristal y de que ese medio pueda convertirse mediante un cambio de fase en un sólido amorfo. Este hecho juega un papel fundamental en la 17 grabación y lectura en CD y DVD regrabables.

18 CD-RW y DVD-RW CD-RW son las siglas de CD ReWritable. Los discos CD-RW están construidos de tal forma que es posible grabar encima de datos viejos. Estos discos están basados en una tecnología de regrabación por cambio de fase. Los fundamentos físicos de la grabación y lectura en DVD son los mismos que en CD pero con más pistas y más pits por pistas. 18

19 Aspecto de un corte transversal de un disco regrabable: (hendidura) 19

20 Funcionamiento. Originalmente la capa de grabación de un CD y de DVD regrabables es policristalina. Grabación: Durante la grabación un láser de alta potencia (8-14 mw) lleva al material del disco, (recording layer) a su temperatura de fusión ( ºC) en una región extremadamente pequeña. Los cristales fundidos pasan a la fase amorfa porque el disco gira más rápido de lo normal provocando que el material solidifique como amorfo. Si antes de que ocurra este proceso el material de registro era amorfo, continua en ese mismo estado. La reflectividad de la región amorfa (5 %) es mucho más pequeña que la de una región cristalina (20 %) lo que da lugar a un modelo de LANDS (crestas) y PITS (valles) de los CD- ROM. 20

21 Borrado: Las zonas amorfas que interesen de la pista son devueltas a la fase cristalina calentando con un láser de menor potencia (4 a 8 mw) de manera que pone esa zona a una temperatura del orden de los 200 ºC (temperatura de cristalización) y dejándola enfriar más lentamente pasa a fase policristalina. Si ya estaba en esta fase continua igual. Lectura: El láser es de potencia 10 veces menor y va leyendo el disco de manera que las zonas policristalinas reflejan mucho comparadas con las zonas amorfas. Esa transición de reflectividad es la que determina los 1, junto a la longitud del período entre las transiciones, de manera análoga a como en los CD-ROM los determinaban las transiciones entre los lands y los pits. 21

22 La potencia del láser para cada acción se refleja en el siguiente gráfico: 22

23 Aspecto original de la publicación realizada por Phillips 23

24 Igual que los CDs, los DVDs utilizan una pista de pits conteniendo información binaria en el disco, la cual es leída por un dispositivo óptico. El DVD tiene las mismas dimensiones que un CD, pero mucha mayor capacidad y razón de transferencia de datos. Las diferencias entre DVD y CD Separación entre pistas: DVD = 0.74µm v. CD = 1.6µm Longitud mínima de un Pit: DVD = 0.4µm v. CD = 0.84µm 24

25 DVD-ROM y CD-ROM 25

26 Diferencias CD-ROM / DVD 26

27 Todos los formatos de grabación se basan en el mismo principio: la tecnología de cambio de fase. Sólo los DVD-RAM, además del sustrato del disco, utiliza zonas magnéticas para guardar parte de la estructura de los datos. De momento el sistema más aventajado es el DVD+RW, ya que permite realizar grabaciones de video domestico compatibles con la mayoría de los lectores DVD-ROM domésticos. Otro factor importante que influye en la grabación y en la posterior lectura es el sistema de rotación del motor de giro del disco, que es el que determina finalmente de qué forma pasa el láser sobre la superficie del disco. Existen tres modos de operación distintos: CLV (DVD-RW): Constant Linear Velocity. Mantiene constante la velocidad de transferencia de datos independientemente de la zona del DVD. Ello supone aumentar la velocidad de giro cuando disminuye el radio del DVD. Z-CLV (DVD-RAM): Zone Constant Linear Velocity, Velocidad Lineal Constante por Zonas, nuevo sistema basado en CLV pero que, en este caso, la velocidad de transferencia constante se realiza a través de 4 zonas diferenciadas, permitiendo grabar a mayor velocidad que con CLV. La velocidad es constante en cada una de las zonas pero diferente entre cualquier par de ellas. 27

28 CAV (DVD+RW): Constant Angular Velocity, Velocidad Angular Constante, sistema de rotación que mantiene el giro del motor a velocidad constante, por lo que la velocidad de transferencia es mayor en los extremos del CD que en el interior, ya que recorre mayor cantidad de espacio y por tanto datos- en el mismo tiempo. Hoy en día el único formato de DVD regrabable compatible con los lectores de DVD-Vídeo de salón es el DVD+RW DVD-RAM: su mayor desventaja es que los discos utilizados no son compatibles con los lectores DVD-ROM tradicionales. 28

29 Qué sistema de grabación elegir de los que existen en el mercado? Cualquiera de ellos le va a ofrecer una solución de almacenamiento de alta capacidad con discos regrabables, pero adquirir una tecnología que pueda quedar en desuso en poco tiempo no parece buen negocio. El formato DVD-RAM no parece que vaya a imponerse sobre sus competidores. Su futuro está más orientado a convertirse en una solución profesional de almacenamiento masivo. Sobre los otros dos sistemas DVD-RW y DVD+RW no se puede realizar un pronóstico fiable. Ambos tienen ventajas e inconvenientes propios, pero ninguno de ellos es tan definitivo o excluyente como para decantarse por alguno de estos formatos. Sus tecnologías de grabación son fácilmente incorporables en los futuros lectores, y los soportes en los dos casos disponen de la capacidad estándar de 4,7 GB para DVD-Vídeo, con discos que no requieren protección externa, como en el caso del DVD-RAM. Lo ideal para el usuario sería que hubiese un nuevo consenso entre empresas como ocurrió en su día con el DVD, aunque tampoco parece probable, ya que lo que está en juego es la propiedad de un sistema que, además de las enormes ventas que puede tener en el sector informático, está llamado a convertirse en el heredero de los sistemas de grabación de vídeo doméstico VHS. Si puede esperar un año hágalo, se habrá aclarado la situación porque habrá habido un vencedor. A lo mejor no sale elegido el mejor sistema pero si el que es 29 comercialmente mas fuerte, como ocurrió con el sistema BETA y VHS.

30 2. Modelo clásico del electrón libre. Gas de electrones. Un modelo que explica la conducción en metales desde la perspectiva de la Física clásica es el modelo de Drude (1900). Debido a que los electrones de conducción son los que provienen de las órbitas más externas de los átomos que forman el metal y están distribuidos en el espacio que existe entre los átomos, se les conoce como nube o gas de electrones. Hipótesis del modelo: (a) El metal está formado por una red de iones con electrones de valencia moviéndose libremente a su través con la única condición de que no escapen. Están inmerso en un pozo de potencial finito. (b) Los electrones de valencia (conducción) no interaccionan entre ellos, son por ello independientes. Además se considera que la energía potencial de la red de iones es constante en cualquier punto que se considere, por lo que el fondo del pozo de potencial es plano. (c) En ausencia de campo eléctrico aplicado los electrones se mueven al azar debido a la agitación térmica con velocidades que dependen de la temperatura. (d) Al aplicar un campo eléctrico E, los electrones adquieren una velocidad opuesta al campo, v a, generándose una densidad de corriente J. E 0 - E = 0, v a = 0, J = 0 - v a 0, J 0 30

31 E > 0 dn/de φ e E P <0 E C E La figura representa la red de iones positivos que están en posiciones fijas del cristal. Los electrones se mueven libremente entre los iones y colisionan con ellos. Debido a la agitación térmica se mueven al azar mientras no exista campo E aplicado. Tampoco pueden escapar libremente porque el conductor quedaría cargado positivamente atrayéndolos de nuevo. Se dice que están en un pozo de energía. Estos electrones poseen energía cinética, E C. Algunos de ellos poseen energías elevadas, otros más pequeñas. Los que poseen más energía son los que lo tienen más fácil para salir del pozo. La energía mínima necesaria para que un electrón libre salte la barrera de potencial se denomina energía de extracción o función de trabajo del metal, φ e, y se mide en ev. Suele valer entre 1 y 10 ev. Se suele medir mediante el efecto fotoeléctrico. La figura también nos muestra como se distribuyen las energías de los electrones por intervalos de energía. Vemos que existen muchos electrones con poca energía y muy pocos con mucha energía. Esta forma de distribución siguen la estadística clásica de Maxwell- Boltzmann. Cuando se tengan en cuenta hipótesis cuánticas veremos que 31 no siguen este tipo de distribución energética, sino la estadística de Fermi-Dirac.

32 La densidad de corriente se determina fácilmente teniendo en cuenta que al aplicar el campo E los electrones adquieren una fuerza F = -ee = m e a y por tanto poseen una velocidad de arrastre debido al campo, v a = a τ, siendo τ el tiempo medio que tarda el electrón entre colisión y colisión con los iones de la red. Por todo ello tenemos: J = en v a que es la conocida ley de Ohm. 2 ee e nτ = en τ = E = σe m m σ = e e nτ siendo (Ω-m) -1 2 m e La conductividad, σ, es una de las magnitudes que varían más ampliamente en los materiales, de tal forma que la conductividad del Cu en relación a la del diamante llega a ser del orden de Algunos valores de la conductividad a temperatura ambiente en unidades de (Ω-m) -1 son: e Metales: Ag = 6,7 10 7, Cu = , Al = , Fe = Semiconductores: Si = , Ge = Aislantes: Vidrio = , Teflón = 10-14, Poliestireno = Diamante =

33 Un parámetro importante que se relaciona con la conductividad es la movilidad, µ. Representa la facilidad con que se puede mover un electrón en presencia de un campo eléctrico, E, en el interior de un material y se define por la relación: v a (m 2 /V s) µ = de manera que: v a = µ E E así la densidad de corriente J para portadores de carga, q, es: J = qnva = qnµ E = σe σ = qnµ de forma que la conductividad se puede expresar como: o bien recordando que el coeficiente Hall, R H = 1/qn, resulta: σ = µ/r H En materiales semiconductores los portadores de carga son de dos tipos, electrones que son negativos, cuya concentración se expresa por n (m -3 ) y huecos que son positivos, cuya concentración se expresa por p (m -3 ). La movilidad para ambos tipos de por tadores son diferentes aunque la carga en valor absoluta es la misma. Por esta razón la conductividad en semiconductores se expresa como: σ = q ( nµ + pµ ) p n 33

34 3. Modelo cuántico del electrón libre; pozo de potencial tridimensional; estadística de Fermi-Dirac. El modelo de Drude fue capaz de explicar la ley de Ohm y otras leyes, pero falló al intentar explicar la variación que la conductividad experimenta con la temperatura. Este modelo predice que la conductividad es proporcional al inverso de la raíz cuadrada de la temperatura absoluta,, cuando la experiencia demuestra que. σ 1/ T σ 1/ T El fallo de esta predicción y de otras encontradas tiene su origen en que los electrones son partículas cuánticas y no obedecen la distribución estadística de Maxwell-Boltzmann. Sommerfeld (1928) desarrolla el modelo cuántico del electrón teniendo en cuenta los principios de la mecánica cuántica. Añadió al modelo clásico de Drude dos hipótesis fundamentales: (a) Los electrones deben ser tratados según la mecánica cuántica. Se rigen por la Ecua. de Schrödinger tridimensional y verifican la estadística de Fermi-Dirac. (b) Obedecen los principios de Pauli y de Heisenberg. Además de estos principios cuánticos, se considera que los electrones, como en el modelo clásico son libres, esto es, no interaccionan entre sí. También se consideró que el potencial electrostático en el interior de la red de iones era independiente de la posición elegida. Por ello es como si los electrones estuviesen en un pozo de potencial de fondo plano pero con una distribución de energías muy diferentes a las consideradas por el modelo de Drude. 34

35 Las energías de los electrones en un pozo tridimensional deben seguir siendo análogas a las del pozo monodimensional, de forma que si se considera un pozo cúbico de lado L, la energía vale: E 2 2 h π 2 2 ( 1, n2, n = n n2 n 2m L n + e El estado fundamental se caracteriza por valer 1 los tres números cuánticos correspondientes a las tres direcciones espaciales. Así E 1,1,1 = 3 E 0, donde E 0 vale: E 0 = 2 2 h π 2m L e Por el principio de Pauli en ese estado de energía sólo puede haber como máximo dos electrones, uno con espín 1/2 y otro con espín -1/2. El siguiente electrón, debe estar en otro estado de energía superior. Ese otro estado puede ser: (1,1,2), ó (1,2,1), ó (2,1,1), ya que para todos ellos la energía vale lo mismo, es decir, 6E 0. Son estados degenerados pues les corresponde la misma energía pero se representan por funciones de onda de materia distintas. De esta forma se van rellenando de electrones los estados de energía en un sólido, de acuerdo con los principios cuánticos ) 35

36 Energía de Fermi: Representa la energía cinética más alta ocupada por los electrones a cero grados kelvin. Es relativamente fácil demostrar a partir de todo lo expuesto que la energía de Fermi a cero Kelvin vale: E 2 h = 8m e 3n π nπ F esta expresión es equivalente a estas otras: ( ) 3 F 2 3 E 2 h = 2m 2 h 3n EF = 2me 8π Como puede observarse la energía de Fermi es proporcional a la concentración de electrones que posee el material elevado a dos tercios. En la figura se observa como se van rellenando los niveles de energías discretos con 9 electrones a diferencia de cómo era en el modelo clásico. e 2 E P <0 E > 0 φ e E F En esta figura podemos ver que la función de trabajo del metal la podemos determinar por diferencia entre la energía potencial del fondo del pozo y la energía de Fermi: φ = E P E F. A efectos prácticos la energía del fondo del pozo coincide con el trabajo necesario para alejar un electrón del metal que ocupa un nivel de energía en la banda de energía más externa o banda de conducción como ya veremos. 36

37 Densidad de estados: La densidad de estados nos proporciona el número de estados de energías por unidad de energía comprendidos entre dos niveles energéticos próximos entre sí, E y E+dE. Estos estados pueden estar ocupados por electrones o estar vacantes. Se representa por la función g(e) = dn/de y se demuestra que la función densidad de estados g(e) varia proporcionalmente con la raíz cuadrada de la energía: g(e) E E+dE CE 1/2 E g(e) = C E 1/2 donde la constante C vale: ( 2 ) 3/ 2 3/ 2 me 56 3/ 2 27 C = V = 1,06 10 J = 6,8 10 ev 3 2 2h π siendo V = a 3 = 1 m 3, el volumen del conductor. El número de estados entre dos niveles de energía próximos se determina por el producto de g(e) por el intervalo de energía E de, esto es determinando el área del rectángulo señalado. Naturalmente el número de estados de energía entre el origen de energías y un valor cualquiera de la energía, E, se determina integrando la función g(e) entre cero y E. Como es deducible para altas energías hay más estados disponibles. 37

38 Qué ocurre para temperaturas superiores a cero Kelvin? En este caso el número de electrones, dn(e), disponibles con energías comprendidas entre E y E+dE va a depender de dos factores: (a) del número de estados posibles entre E y E+dE, esto es: dn(e) = g(e)de (b) de la probabilidad de que esos estados de energía estén ocupados. Esta función de probabilidad viene determinada por la estadística de Fermi-Dirac, f F (E), de forma que el número de electrones que hay en un nivel de energía de vale: dn(e) = g(e) f F (E)dE Función de probabilidad de estados ocupados de Fermi-Dirac. Fue deducida para tener en cuenta que los electrones son partículas cuánticas indistinguibles con espín ±1/2 que verifican el principio de exclusión de Pauli. A este tipo de partículas con espín semientero se les llamó fermiones. La función de Fermi-Dirac es: 1 f F = E EF kbt e + 1 Nos da la probabilidad de que un estado de energía E este ocupado, k B es la constante de Boltzmann y vale 8, ev/k y T la temperatura absoluta. Naturalmente como la suma de que un estado de energía E esté ocupado con la probabilidad de que esté vacante debe ser la unidad, también sirve para determinar la probabilidad de que los estados estén vacantes: f ocupados + f vacantes = 1. 38

39 La probabilidad de encontrar un electrón con energía E = E F independientemente de la temperatura es 1/2, ya que el exponente E E F de la exponencial se anula. Por esta razón otra definición de energía de Fermi es que representa aquella energía para la cual la probabilidad de que el estado esté ocupado es 1/2 independiente de la temperatura del material. La energía de Fermi juega un papel importante en la caracterización de materiales. Estudiemos los valores que puede tomar la función de distribución de Fermi a T = 0 K (a) para E > E f F = = = 0 F E E e k B 1 T F + 1 e (b) para E < E F f F 1 1 = = E EF e + 1 kbt e + 1 = 1 Esto significa que para T = 0 K, los estados de energía por debajo del nivel de Fermi están ocupados por electrones, y por encima de éste nivel están vacantes. Para valores de T > 0 K, si el sólido posee una energía térmica definida por la expresión: U = k B T 39

40 y el nivel del estado energético que estamos analizando vale E = E F 2k B T, la probabilidad de que ese estado esté ocupado vale: f F = = = E EF 2 e k T e B 0,88 Si la energía del estado es E = E F + 2k B T, la probabilidad de ocupación vale: f F 1 = E E k T e B F + 1 = e = 0,12 Todos estos resultados obtenidos se pueden expresar gráficamente: f F (E) 1 1/2 E = E F 2k B T T = 0 K T > 0 K E = E F + 2k B T E F E 40

41 Como puede observarse en la gráfica sólo aquellos electrones con energías próximas a la de Fermi tienen probabilidad de pasar a estados de energía superiores E F pero con poca probabilidad. En resumen el producto de la función densidad de estado g(e) por la función de distribución de Fermi nos proporciona el número de electrones por unidad de energía. Graficamente se representa así: f F (E) g(e) dn(e)/de T = 0 K 1 T = 0 K 1 CE 1/2 E 1/2 E F T > 0 K E = 1/2 E F T > 0 K Según este nuevo modelo, cuando se aplica un campo eléctrico, E, todos los electrones reciben energía externa del campo. Los electrones adquieren una velocidad de arrastre de sentido opuesto al del campo. Esto da lugar a un incremento de energía que será positivo o negativo dependiendo del sentido de movimiento del electrón en el interior del campo porque éste podría acelerarlos o frenarlos. Los electrones que ganan energía colisionan con los iones de la red. En este momento se dispersan y sólo los estados próximos al nivel de Fermi poseen estados vacantes para poder ser ocupados por estos electrones. Los electrones de energía inferior a E F continúan ganando energía hasta que 41 E

42 de nuevo se dispersan por colisión con la red y vuelven a ocupar estados de energías que fueron desocupados previamente por otros de manera que nunca se viole el principio de exclusión e Pauli. De esta forma todos los electrones de valencia intervienen en el proceso de conducción cuando se aplica un campo eléctrico. El asunto es muy diferente si de lo que se trata es de activar los electrones mediante calentamiento. En ese caso sólo los electrones de valencia con energías próximas a las del nivel de Fermi son los que se ven afectados y podrán ocupar estados de energías vacantes por encima de E F. Los electrones alejados del nivel de Fermi no se verán afectados fácilmente. Recuérdese también por lo comentado anteriormente que la energía de los electrones es cinética, ya que como dijimos E F representaba la energía cinética máxima. Por esto la velocidad de Fermi que corresponde a los electrones que colisionan y se dispersan puede obtenerse a partir de la expresión: v F = 2E m e F Este modelo sí proporciona una buena predicción para la variación de la conductividad con la temperatura, obteniendo que como debe ser. σ 1/T 42

43 Sin embargo el modelo es incapaz de explicar porqué los materiales se comportan como conductores, aislantes y semiconductores. Por ello hizo falta un modelo conocido como modelo de bandas de energías que en esencia es el que utilizamos actualmente para poder explicar la conducción en los sólidos habituales y que también explica el comportamiento de las uniones entre los mismos. Esto es esencial porque sino no podríamos explicar el funcionamiento de los dispositivos de unión PN, como diodos, transistores, dispositivos láser, etc. 4. Modelo de bandas de energía: conductores, aislantes y semiconductores. Masa efectiva y hueco. Para poder comprender porqué algunos materiales conducen y otros no lo hacen, ha habido necesidad de refinar el modelo cuántico del electrón libre y considerar el efecto de la red de iones sobre los niveles de energía de los electrones. Existen dos aproximaciones para determinar los niveles energéticos de los electrones en un cristal: (a) Modelo de Bloch: Considera al electrón moviéndose en un pozo de potencial periódico, en lugar de un pozo de fondo plano, y determina las energías posibles resolviendo la ecuación de Schrödinger. (b) Modelo de enlace fuerte: Consiste en hallar los niveles de energía de los electrones en un sólido siguiendo el comportamiento de los átomos individuales cuando se aproximan suficientemente para formar el sólido. 43

44 Ambos modelos conducen al resultado de que los niveles energéticos se agrupan en bandas permitidas de energías y bandas prohibidas. Abordamos brevemente el modelo de enlace fuerte. Cuando se aproximan varios átomos para formar un sólido hay que tener en cuenta que cada átomo tiene sus propios niveles de energía. Así si se trata de aproximar dos átomos iguales, los electrones de un átomo podrán ocupar los mismos niveles de energía que los del otro átomo pareciendo que se contradice el principio de exclusión de Pauli. Pero esto no es así porque al aproximar dos átomos iguales cada nivel de energía original de uno de los átomos aislados, se divide en dos subniveles diferentes que tienen valores casi iguales al original. Esto puede observarse en la figura donde se muestran las funciones de onda de dos átomos separados en el estado de energía fundamental y qué ocurre cuando se aproximan si los electrones en átomos se representan por pozos de potencial finitos. (a) dos átomos muy separados. ψ A A B La función de ondas del conjunto puede venir dada por una función suma (simétrica) o diferencia (antisimétrica) pues ambas son soluciones de la ecuación de onda de materia de Schrödinger.. ψ B 44

45 Solución simétrica ψ s = ψ A + ψ B.. Representa un electrón que puede encontrarse con igual probabilidad en uno de los pozos en el estado fundamental de energía. Se obtiene la misma densidad de probabilidad para ambos pozos como se muestra en la figura. ψ s = ψ A + ψ B ψ s 2 Solución antisimétrica ψ a = ψ A - ψ B. También representa un electrón que puede encontrarse con igual probabilidad en uno de los pozos en el estado fundamental de energía. Se obtiene la misma densidad de probabilidad para ambos pozos como se muestra en la figura. En conclusión, sólo existe un nivel de energía. ψ a = ψ A - ψ B ψ a 2 45

46 (b) Dos átomos muy próximos. Qué ocurre cuando se aproximan? Los dos pozos de potencial que los representan se aproximan y las dos soluciones de la ecuación de onda de materia, simétrica y antisimétrica en el estado fundamental toman la forma representada en la figura. ψ A ψ B ψ A ψ B ψ s = ψ A + ψ B ψ a = ψ A - ψ B Ahora la función antisimétrica se parece al primer estado excitado de un pozo finito pero de longitud doble. Si ahora determinamos las densidades de probabilidad para ambas situaciones, la densidad ψ s 2 es distinta que la ψ a 2. Esto significa que en el primer caso la probabilidad de encontrar al electrón entre los dos átomos es alta, mientras que en el segundo caso es mínima. Esto da lugar a dos situaciones energéticas distintas. Por tanto ahora con dos átomos obtenemos dos niveles de 46 energías diferentes..

47 Bandas de energía permitidas y prohibidas en los sólidos. Como hemos estudiado, si los átomos están muy separados la energía de un nivel particular es la misma en cada átomo. Cuando los átomos se aproximan entre sí, el nivel de energía en cada átomo cambia debido a la influencia del otro átomo. Lo que se ha mostrado para dos átomos se podría haber hecho para tres, cuatro, o N átomos. En la siguiente figura se muestra un esquema del desdoblamiento de niveles para el caso de seis átomos en función de la separación de los mismos. 47

48 Si tenemos N átomos idénticos, un nivel determinado de un átomo aislado se divide en N niveles energéticos distintos, pero muy próximos, cuando los átomos se aproximan para formar un cristal. En un sólido, N es un número muy grande, del orden de átomos por cm 3, de modo que cada nivel energético se divide en un número muy grande de niveles llamado banda de energía. Por ello los niveles dentro de una banda están tan próximos que la energía varia de forma casi continua. El conjunto de N átomos que forma el sólido se puede caracterizar desde el punto de vista energético por los mismos niveles de los átomos aislados E a que es función de n, l y m l, además de s y el número del átomo referenciado de 1 a N. En cada nivel de energía del átomo E 1a, E 2a, etc. puede haber 2N electrones debido al espín. Esto es cierto siempre que los átomos estén lo suficientemente separados para que no exista solapamiento de sus orbitales respectivos. Pero si existe superposición, los nuevos orbitales son compartidos por varios átomos y pierde sentido la especificación de los electrones de acuerdo con el átomo al que pertenecían. Hay necesidad de buscar otros parámetros para representar estados de los electrones en un cristal, distintos a los números cuánticos n, l y m l, que son adecuados para los electrones ligados a átomos aislados. 48

49 En la figura se muestra un esquema del desdoblamiento de niveles de energía de un conjunto de N átomos que forman un cristal, en función de la separación r entre átomos próximos. La zona de la derecha corresponde a átomos muy separados entre sí, prácticamente aislados. Esta situación se mantiene hasta que la distancia entre átomos es del orden del diámetro de las órbitas externas que corresponden a los niveles de mayor energía. Al ir aproximando más y más los átomos podremos decir que los electrones comienzan a pertenecer al conjunto de átomos y la especificación de su estado deberá hacerse en función de un parámetro que tenga en cuenta la estructura cristalina. En la figura a representa la separación en la estructura cristalina estable. E Banda 3 Banda 2 Banda 1 E 3a E 2a E 1a Obsérvese en el esquema que las bandas de mas baja energía correspondiente a los niveles de menor energía del átomo en la red, son mas estrechas y están llenas de electrones ligadas al átomo y por eso se desdoblan menos que las bandas de energía mas altas donde los electrones de los orbitales atómicos más externos se solapan y 49 forman una banda más ancha. a r

50 Desde el punto de vista de la conducción sólo nos interesa las dos últimas bandas. Estas se conocen como banda de valencia, (BV), y banda de conducción, (BC), separadas por un intervalo de valores de energías no permitidos para los electrones del sólido, que se llama banda prohibida, (BP). Es habitual representar esta situación en un diagrama de bandas. BC Anchura de la BP, E g BP BV El ancho de la BP, E g, (Energy gap) se suele expresar en ev y es una característica muy importante de los materiales. La BV es la banda de energía más alta que contiene electrones. Puede estar completamente o parcialmente llena de electrones dependiendo del tipo de átomo y el tipo de enlace del sólido. Por debajo de la BV todas las bandas están ocupadas por electrones ligados a los átomos y no participan en procesos de conducción. La BC es aquella que posee estados libres de energía y por tanto pueden ser ocupados por electrones. 50

51 Ahora podemos explicar porqué algunos sólidos conducen y otros son aislantes. En el siguiente esquema podemos ver el diagrama de bandas de conductores, aislantes y semiconductores y explicar sobre el mismo los procesos de conducción. BP E g BC BC BP E g BC BP E g BC BV BV BV BV (1) (2) (3) (4) (1) Conductor típico. La BV está sólo está parcialmente llena, de modo que los electrones pueden fácilmente excitarse a estados energéticos próximos por la acción del campo eléctrico externo, E, debido a que existen muchos estados vacíos. Puede decirse en este caso que la BV es de hecho un banda de conducción. Ejemplos: Cu, Na, etc. en el caso del Na, Z = 11, su configuración electrónica sería: 1s 2 2s 2 p 6 3s 1 Un esquema de ocupación de sus bandas por los electrones en un cristal de Na formado por N átomos sería: 3s E F La banda superior 3s, está semillena, N por ello el Na es monovalente. La banda E 2p 6N 3s es la banda de conducción del Na. 2s 1s 2N 2N 51

52 (2) Conductor con su BV saturada, pero solapada con la BC. Las dos bandas forman una banda de conducción-valencia que está sólo parcialmente llena. Ejemplo: el Mg, de número atómico Z = 12. Veamos su configuración electrónica y su estructura de banda:. 1s 2 2s 2 p 6 3s 2 E 3p 3s 2p 2s E F 2N 6N 2N Al tener la banda 3s completa, el Mg debería ser un aislante, pero al solaparse los orbitales 3s y 3p se generan orbitales vacantes y de esta forma se hace conductor. Tanto en (1) como en (2) los electrones pueden ser acelerados por el campo eléctrico y no tienen que superar una banda prohibida, BP. 1s 2N (3) Aislante, en ellos la BV que está completamente llena a T = 0 K está separada por una BP muy grande de la BC que posee estados energéticos vacíos. A temperaturas ordinarias muy pocos electrones pueden excitarse y pasar a la BC. La mayoría no puede hacerlo porque la energía que poseen por excitación térmica es insuficiente para poder saltar la gran anchura energética de la BP, E g. Al mismo tiempo si se aplica un campo E de valores normales los electrones no pueden acelerarse, ya que no hay estados de energía disponibles en la BV y la energía que podría suministrar un campo E.normal es insuficiente para superar Eg. Si se observa una pequeñísima conductividad es debida a los pocos electrones que saltaron la barrera Eg por excitación térmica. De otro lado 52 si el campo E es suficientemente intenso como para que un electrón supere la BP hasta

53 alcanzar la BC, entonces es que se ha producido la ruptura dieléctrica. (4) Semiconductor, en ellos la BV y la BC están separadas por un intervalo de energía prohibido, Eg, que es pequeño comparado con el del aislante. A temperatura T = 0 K, la BV está llena y la BC vacía, y el semiconductor se comporta como un aislante. A temperaturas ordinarias, existe un número importante de electrones que por excitación térmica han superado la pequeña BP del material semiconductor. La BP para el Si y el Ge, semiconductores típicos es del orden de 1 ev. En presencia de un campo E, los electrones de la BC, que ya están en ella por excitación térmica, pueden acelerarse ya que existen estados energéticos vacantes próximos. Estos materiales son semiconductores intrínsecos. En ellos por cada electrón que existe en la BC es porque se ha producido la rotura de un enlace en la BV próxima, produciéndose un enlace incompleto al haber superado el electrón la BP. En ese caso se dice que se ha generado un hueco en la BV. Esto hace que al haber quedado en la BV un hueco si se aplica un campo eléctrico, otro electrón en la BV pueda ocupar el hueco y así se genera otro hueco en el lugar donde estaba el electrón. Todo ello ocurre en la BV. De manera que ahora la corriente es doble, por un lado la de electrones en la BC y la electrones que también ahora se pueden excitar en la BV. Ambas corrientes contribuyen a la corriente eléctrica. Sin embargo la corriente de electrones en la BV se describe más fácilmente como el movimiento de huecos en la dirección del campo, esto es, opuesto al movimiento de los electrones. El hueco actúa así como una carga positiva.. 53

54 Podemos visualizar la conducción por huecos si imaginamos una calle de una sola dirección con dos carriles, uno llenos de coches aparcados y el otro vacío. Si un coche pasa del carril lleno al vacío, se mueve libremente hacía adelante y el del espacio vacío hacia atrás en sentido opuesto al sentido del movimiento de los coches. Ambos movimientos, el del coche en el carril vacío hacia delante y el del espacio vacío hacia atrás contribuyen a la propagación neta de los coches hacia delante. BC BV (1) (2) (3) (4) (5) (a) (4) (1) (2) (3) (h) (5) (b) BC BV (1) (c) (4) (2) (h) (3) (5) (a) Toda la fila del carril inferior está ocupada. (1) (h) (2) (3) (5) (b) Se genera un hueco, un coche sale hacia adelante. (c) El coche (3) pasa a ocupar el hueco y se desplaza el hueco hacia atrás. (d) El coche (2) se traslada hacia adelante y el hueco continúa hacia atrás. (d) (4) 54

55 Puede deducirse de las figuras anteriores que los coches de la fila superior se mueven libremente mientras que los de la fila inferior se mueven más lentamente. Tienen que esperar que se produzca una vacante para poder moverse. Podemos decir que unos se mueven en la BC y los de abajo en la BV. Por ello la movilidad de los electrones en la BC es más elevada que la de huecos en la BV. Por supuesto que la movilidad de los electrones y la de huecos en la BV es la misma. Pero en los cálculos de corrientes en semiconductores las movilidades usadas son la de electrones en la BC y la de huecos en la BV. La representación figurada que se ha realizado puede servir para hacer un esquema en función de las bandas Eg BC BV electrón hueco A la temperatura de 0 K la BV estaría completamente llena y la BC vacía. Sin embargo a T ordinarias muchos electrones pasan a la BC y se genera el mismo número de huecos en la BV. 55

56 Corriente por huecos. En cuanto a la corriente debemos observar que a T = 0 K la BV al estar completa no puede generarse traslados de electrones por lo que la densidad de corriente, J T, debe ser nula: J T = 0. Si la temperatura es distinta de cero y aplicamos un campo eléctrico entonces aparte de la corriente generada en la BC debida a los electrones que saltaron la BP por efecto térmico, está la corriente de electrones en la BV debida a los huecos generados. Si imaginamos que salta un electrón i de la BV a la BC entonces el campo E puede ya generar movimiento de carga en la BV. Pero en lugar de fijarnos en el movimiento de la mayoría de electrones de la BV nos fijaremos en el hueco que ha dejado el electrón i al marcharse porque va a ser equivalente: Sea J R la densidad de corriente de los electrones que permanecen en la BV. Ésta será la J T total menos la contribución de la densidad de corriente del electrón i que ya paso a la BC, J i y está ausente en la BV. Podemos escribir: J R = J T J i. Pero J T era cero, por tanto J R = - J i = - (-e)v i = +ev donde v i i es la velocidad de arrastre del electrón i dentro del campo aplicado. Esto equivale a considerar, en lugar del movimiento de todos los electrones menos uno en la BV, el movimiento de una carga positiva, hueco, en la BV. Desde ahora tendremos en cuenta que la conductividad del sólido está formada por la contribución de la conductividad de los electrones o portadores negativos y cuya concentración es n, que están en la BC y de los huecos que se comportan como portadores positivos y de concentración p huecos por unidad de volumen que están en la BV. Por ello se tiene: J = J n + J p = ( σ n + σ p ) E = q( nµ n + pµ p ) E 56

57 Algunas propiedades interesantes a considerar en los materiales semiconductores. Una característica importante de los materiales semiconductores es que la conductividad aumenta con la temperatura en lugar de disminuir como le ocurre a los conductores. Ello es debido a dos efectos en el que uno de ellos es predominante: (a) De un lado se producen más choques debido a la temperatura y por tanto debería disminuir la conducción a consecuencia de la mayor dispersión de los electrones por parte de los iones de la red debido a las mayores vibraciones térmicas. (b) De otro lado a consecuencia del aumento de energía térmica se liberan más electrones hacia la BC aumentando la concentración de portadores, electrones en la BC y huecos en la BV. De los dos efectos señalados, el (b) es superior al (a) y de aquí lo indicado al principio.. Otra propiedad muy interesante es que suelen ser fotoconductores. Esto significa que por efecto de la luz visible (también ocurre con otros fotones del espectro EM) la energía de los fotones hυ es suficiente como para romper un enlace y hacer saltar un electrón de la BV a la BC, generándose un par electrón-hueco. Para ello debe cumplirse la condición: hυ E g λ hc E g = 1240( ev nm) E ( ev ) g de esta manera el material al absorber la luz y no transmitirla se ve opaco. Si hυ es inferior a Eg el material es transparente a la luz visible. 57

58 Conductividad en el carbono, el diamante, el silicio y el germanio. En algunos materiales cristalinos no se puede analizar la conductividad mediante un estudio cualitativo de las bandas de energía sin más. En ellos hay que tener en cuenta que es posible el solapamiento de las bandas si queremos explicar porqué en un estado cristalino conducen y en otro son aislantes excelentes, como le ocurre al carbono, que cuando cristaliza como grafito es un conductor y cuando lo hace como diamante es un aislante. El carbono, C, de Z = 6 tiene como configuración electrónica: 1s 2 2s 2 p 2. Si se unen N átomos para formar carbono, en total hay 6N electrones. El orbital 1s se llena con 2N electrones, el 2s también con 2N y el 2p que podría haber hasta 6N sólo tiene 2N, esto nos dice que el carbono al tener muchos estados de energía vacantes debería ser un conductor. Sin embargo, los niveles 2s y 2p se solapan cuando el C forma enlaces covalentes (donde cada átomo de carbono comparte un electrón por cada enlace con los 4 átomos vecinos). A este solapamiento de orbitales atómicos se le llama hibridación sp 3. Por todo ello, en la BV de los 8 estados posibles sólo 4 están ocupados quedando vacíos otros 4 y están separados por una BP del orden de 1 ev. 2p 2N electrones 6N estados BC 0 electrones 4N estados Energía 2s 2N electrones 2N estados átomos muy separados BP BV Cristal 4N electrones 4N estados 58

59 En el siguiente esquema podemos ver el solapamiento de las bandas de energía. 7 ev Eg = 1,09 ev vacío Lleno 3 estados por átomo 2p o 2p 3 estados por átomo 1 estado por átomo 2s o 3p 1 estado por átomo Desdoblamiento de los estados 2s y 2p para el carbono, o los estados 3s y 3p para el silicio, en función de la separación de los átomos. El intervalo vacío de energía entre los 4 estados llenos en la BV y los estados vacíos de la BC es de Eg = 7 ev para la separación correspondiente a la red del diamante, 1,54 Å. En el caso de la red del Si, Eg = 1,09 ev. El desdoblamiento es semejante en el caso de los niveles 4s y 4p del germanio, que tiene una separación entre átomos de 2,43 Å, dando un Eg = 0,7 ev. R D = 1,54 Å R Si = 2,35 Å distancia interatómica (Å) Si: 1s 2 2s 2 p 6 3s 2 p 2 Ge:1s 2 2s 2 p 6 3s 2 p 6 d 10 4s 2 p 2 El diamante que es carbono puro tendría que ser conductor y sin embargo es aislante, con Eg del orden de 7 ev. También aparece el solapamiento en el Si y el Ge pero en estos casos los cristales son semiconductores porque Eg es del orden de 1 ev. 59

60 Concepto de masa efectiva. Cuando se aplica un campo eléctrico a un sólido cristalino las fuerzas que actúan sobre el electrón son de dos tipos: (a) fuerzas externas procedente del campo eléctrico, F e, (b) fuerzas internas debida a la red de iones positivos y que procede de un potencial periódico de la red, F red. Si aplicamos la segunda ley e Newton al movimiento del electrón resulta: Fe + Fred = ma donde m es la masa del electrón y a la aceleración que adquiere. Debido a que el conocimiento de las fuerzas de la red sobre el electrón es muy difícil, se opta por eliminarla de la ecuación y para compensar este efecto sustituir la masa del electrón libre m por una masa efectiva m * de manera que se siga obteniendo la misma aceleración a en la ecuación. Por ello la masa efectiva sería: m * = F a e Se demuestra que esta masa depende esencialmente del tipo de estructura del sólido y también, dentro de cada sólido, de la dirección de aplicación de la F e.. Por ello, la masa efectiva es una magnitud compleja que va a depender de las direcciones espaciales elegidas. 60

61 La masa efectiva puede tomar valores: (a) mayores que la masa del electrón libre, incluso aproximarse a un valor infinito y (b) menores que la masa del electrón libre e incluso valores negativos. Para entender de manera intuitiva porqué toman estos valores debemos tener en cuenta la superposición de las dos fuerzas señaladas anteriormente. Así si la fuerza externa que actúa sobre el electrón tiene la misma intensidad que la fuerza de la red pero esta actúa en sentido opuesto la resultante de ambas es nula y por ello la aceleración también lo es. En este caso la masa efectiva del electrón es infinita, porque así la fuerza externa no podría acelerarlo. De otro lado si la fuerza de la red es mayor que la fuerza externa del campo eléctrico entonces el electrón se movería en el mismo sentido del campo. Esto equivaldría a tener una masa negativa. Si las fuerzas del campo eléctrico y las de la red son opuestas pero la externa es mayor que la de la red, entonces la masa efectiva sería positiva pero inferior a la del electrón libre. Por último si la fuerza eléctrica externa y la de la red son del mismo sentido entonces la masa efectiva es mayor que la del electrón libre. Las masas efectivas se determinan experimentalmente por varios métodos. Uno de ellos se conoce como resonancia ciclotrónica. Valores de masa efectivas para electrones y huecos usados habitualmente en materiales semiconductores a 300 K con relación a la masa del electrón libre m 0 son: Material * / m * / m Si Ge AsGa m n 0 m p 0 1,15 0,81 0,55 0,36 0,066 0,52 61