ESTALMAT-Andalucía Actividades 15/16

Transcripción

1 ACTIVIDAD 1.- a) Recuerda y escribe la definición de grafo. b) Puedes pintar todos los grafos con dos vértices? Son distintos? Por qué? c) Puedes pintar todos los grafos con tres vértices? Son distintos? Por qué? d) Puedes pintar todos los grafos distintos con 4 vértices? e) Escribe la definición de grafos isomorfos.

2 ACTIVIDAD 2.- (Recordando Grafos I) a) En cierto pueblo hay tres vecinos que se llevan mal y no quieren que sus caminos se crucen cuando se dirigen hacia alguno de los siguientes establecimientos: la tienda de comestibles, la gasolinera y el centro de salud. Cómo pueden hacerlo? b) Se quiere hacer una red de carreteras que conecte las siguientes ciudades Cádiz, Córdoba, Huelva, Málaga y Sevilla. Podría construirse dicha red de manera que no tuviera cruces y que entre cualquier par de ciudades estuvieran conectadas por una carretera directa? c) Considera los siguientes grafos e intenta dibujarlos evitando el mayor número de cruces posibles. d) Intenta establecer isomorfismos entre cada una de estas representaciones y las tuyas propias.

3 ACTIVIDAD 3.- a) Cómo asegurarnos de que un grafo no se puede dibujar en el plano de ninguna de las maneras? b) Queremos que conozcas el siguiente teorema: Teorema de Kuratowski Un grafo es plano si y sólo si no contiene un subgrafo isomorfo a una subdivisión de K 5 o de K. 3,3 c) Podemos estar seguros de que ninguno de estos grafos se pueden dibujar sin cruces? Dibuja tú otros con esta misma propiedad.

4 ACTIVIDAD 4.- El siguiente mapa, copiado (con permiso, claro) de una página web oficial de la Unión Europea, representa los países de Europa, de manera que el nombre de cada país está escrito en su lengua oficial. Para distinguir un país de otro, hay que utilizar colores diferentes para aquellos países que tienen frontera común. Como hemos hecho las fotocopias en blanco y negro, los distintos colores no se aprecian bien. Sabrías decirnos cuántos colores se necesitarían para colorear este mapa? Ayuda: Por si no los recuerdas, los países de la Unión Europea son los siguientes: Alemania, Austria, Bélgica, Bulgaria, Chipre, Croacia, Dinamarca, España, Eslovaquia, Eslovenia, Estonia, Finlandia, Francia, Grecia, Hungría, Irlanda, Italia, Letonia, Lituania, Luxemburgo, Malta, Países Bajos, Polonia, Portugal, Reino Unido, República Checa, Rumanía y Suecia. Como observarás, algunos de estos nombres son bastante distintos de los originales!

5 ACTIVIDAD 5.- El juego de los cinco colores. Este juego fue ideado por Stephen Barr (profesor de Física y Astronomía de la Universidad de Delaware), es ingenioso y muy sencillo. Sólo se requiere disponer de un papel, un lápiz y cinco colores. Tenemos dos jugadores a los que vamos a llamar A y B. Al empezar el juego se deja aparte uno de los cinco colores, de forma que para jugar sólo se utilizarán cuatro. Supongamos que empieza el turno el jugador A. Toma el lápiz y traza un contorno cerrado, como si delimitara una región en un mapa. Luego, el jugador B coge uno cualquiera de los colores y colorea la región que ha pintado A y a continuación delimita con el lápiz una nueva región. Pasa el turno a A que debe colorear la nueva región y delimitar una nueva, para pasar el turno a B. De esta forma va transcurriendo el juego. La única regla es que nunca puede haber dos regiones contiguas con el mismo color. Pierde el jugador que se ve obligado a utilizar el quinto color.

6 ACTIVIDAD 6.- Un grupo de amigos quiere organizar un festival de cine matemático. Para ello, pretenden proyectar las siguientes películas: 1.- Una Mente Maravillosa. 2.- El Indomable Will Hunting. 3.- El pequeño Tate. 4.- La Habitación de Fermat. 5.- Contact. 6.- Cube. Ahora bien, tienen un problema: sólo disponen de la tarde de un sábado para poner todas las películas. Como cada una de ellas dura 1 hora y media (aproximadamente) y quieren dejar un descanso de media hora entre cada dos películas, piensan en elaborar un horario con cuatro sesiones (a las 4, a las 6, a las 8 y a las 10). Como, obviamente, algunas películas deberán coincidir a la misma hora (en salas distintas), deciden hacer una encuesta entre ellos para saber qué películas quiere ver cada uno, resultando que hay quien quiere ver las parejas de películas 1 y 2, 1 y 4, 3 y 5, 2 y 6, 4 y 5, 5 y 6, y 1 y 6. Así, dos películas de la misma pareja no se pueden poner a la misma hora, pues la persona interesada en verlas no puede estar en dos salas distintas a la vez. Es posible elaborar un horario con todas las condiciones anteriores? Cuántas salas se necesitan? Cuando ya han resuelto el problema, uno de los amigos piensa que estaría bien cerrar el festival con una cena en un restaurante. Pero, si tienen que esperar a que acabe la película de las 10 de la noche, será demasiado tarde para ir a cenar. Por lo tanto, se puede cambiar el horario usando sólo las tres primeras sesiones? En tal caso, se necesitarían más salas?