BLOQUE TEMÁTICO III: ANÁLISIS

Transcripción

1 BLOQUE TEMÁTICO III: ANÁLISIS

2

3 9.- LÍMITES Y CONTINUIDAD 1.- Funciones reales Una función es una relación de dependencia entre dos conjuntos en la que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un único elemento y del conjunto final. Se simboliza mediante la notación: f : A B y Si A y B son conjuntos de números reales, se habla de función real de variable real. La epresión gráfica de una función permite interpretar algunas de sus características, como monotonías, etremos relativos, continuidad, etc. Sin embargo, esta forma de epresión presenta generalmente mucha dificultad para encontrar la ley matemática que la define. No todas las gráficas corresponden a una función; para que así sea, a cada valor de debe corresponderle un único valor de y. Así estas gráficas no corresponden a una función: Las funciones las podemos clasificar en: Algebraicas: Constantes: f( ) Polinómicas: f ( ) Racionales: Irracionales: Transcendentes: Eponenciales: f ( ) 4 f( ) + Logarítmicas: log( + 7) Trigonométricas: tg( 6) Empíricas (definidas a trozos) Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 1

4 .- Tipos de funciones. Cálculo del dominio Se llama dominio de definición de una función al conjunto de valores de, para los cuales eiste la función. En una función Dom f f ( ) real de variable real: { } El recorrido o imagen de una función es el conjunto de números reales que toma la variable dependiente. Mientras que el dominio lo buscamos en el conjunto inicial, el recorrido lo buscaremos en el conjunto final. Se designa por Im f(), Rec f(). Ejemplo - Ejercicio 1.- Analiza y describe, en las siguientes funciones, el dominio y el recorrido. a) b) Veamos el dominio de las funciones anteriores: a) Polinómicas Son aquellas cuya epresión es un polinomio. Su dominio coincide con el conjunto de los números reales, Dom f ( ). b) Racionales Son aquellas cuya epresión es una fracción algebraica, es decir, el cociente entre dos P ( ) polinomios: Q ( ) El dominio es el conjunto de los números reales, ecluidos los números para los que se anule el denominador (ceros o raíces): { } Dom f ( ) Q( ) 0 { } Dom f ( ) valores que anulan el denominador Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis

5 Ejemplo resuelto Dada la función número es el cero del denominador. Ejercicio.- Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) b) c) 4 4 d) 7, su dominio es Dom f ( ) { }, ya que el e) f ( ) 5 + c) Funciones definidas a trozos Son aquellas que poseen una epresión analítica diferente para distintos valores o subconjuntos reales. En este tipo de funciones la epresión analítica depende de los tramos del dominio en los que se encuentre la variable independiente. Ejemplo.- Halla el dominio de definición de las funciones: a) b) c) si < 5 g ( ) 7 si > 6 si < 1 g ( ) si > 1 5 si < 1 g ( ) 7 6 si 1 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis

6 .- Límite de una función Límite de una función es el valor hacia el que tiende o se aproima una función cuando la variable independiente,, se acerca a un punto o a. Escribiremos: lim f ( ) L a a y L pueden ser un número real, + o. Para calcular el límite de una función, sustituimos el valor al que tiende en la función f(). Según que el resultado tenga sentido o no, eisten dos posibilidades: Obtener un valor real, que será el valor del límite. Ejemplos 4.- Calcula el límite de las siguientes funciones: a) f cuando ( ) b) f ( ) cuando 1 Ejemplo Obtener una epresión indeterminada, en cuyo caso el límite se calcula transformando la epresión de la función dada en otra equivalente en la que sí tengan sentido las operaciones. 5.- Calcula el límite de la siguiente función: 1 f ( ) cuando 1 1 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 4

7 a) Límites laterales Son los valores hacia los que tiende una función cuando la variable independiente,, se acerca por la izquierda ( a - ) y por la derecha ( a + ) a ese punto. Escribiremos: lim f ( ) a o lim f ( ) + a a - es un número próimo a a, pero menor que a. Igualmente, a + está próimo a a, pero mayor que a. Para que eista el límite de una función en un punto, deben eistir los límites laterales en ese punto y ser iguales: lim f ( ) lim lim a a a + Ejemplo Ejercicio 6.- Dada la gráfica de f(), calcula los siguientes límites: a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim Dada la gráfica de f(), calcula los siguientes límites: a) lim b) lim c) lim 1 d) lim e) lim f) lim Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 5

8 4.- Propiedades algebraicas de los límites 1. El límite de una función en un punto, si eiste, es único. Si lim f ( ) a y lim g ( ) a eisten, entonces se cumple:. [ ] lim f ( ) ± g( ) lim ± lim g( ) a a a. [ ] lim k k lim a a 4. [ ] lim f ( ) g( ) lim lim g( ) a a a lim a lim, si lim g( ) 0 a g ( ) lim g ( ) a a lim g( ) g( ) a lim lim, si lim > 0 a a a 5.- Cálculo del límite de una función en un punto Distinguiremos si la función está definida a trozos o no. a) Si f() es una función elemental Para calcular el límite en un punto de una función elemental, sustituimos el valor al que tiende en la función f(). lim f ( ) f( a) a Ejercicios 8.- Halla los siguientes límites en los casos en los que sea posible: a) b) lim lim Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 6

9 b) Si f() es una función definida a trozos Sea f1( ) si c, consideraremos dos casos: f ( ) si > c Cálculo de lim f() en el punto de ruptura Para calcular lim f ( ) c calcularemos lim f ( ) f1( c) y lim f ( ) f ( c). c c + Si coinciden, éste es el valor del límite. Si no coinciden, éste límite no eiste. Cálculo de lim f() en otro punto cualquiera del dominio Para hallar lim f ( ), a c, procederemos así: a Si a < c, lim f ( ) f1( a) a Si a > c, lim f ( ) f ( a) a Ejemplos-Ejercicios 9.- Hallar los límites de la función f() en los puntos, 1 y 7: 5 si < + 7 si 10.- Halla el límite cuando en cada una de estas funciones: a) b) c) 1 si < + 9 si si 5 si 1 si < si > Halla el valor de k para que eista + si 1 + k si > 1 lim f ( ), siendo: 1 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 7

10 6.- Cálculo de límites en el infinito Para calcular el límite de una función polinómica cuando +, nos fijaremos en su término de mayor grado, pues para valores grandes de, el valor de las potencias de grado inferior es insignificante comparado con el suyo. n Para cualquier función polinómica an + + a1+ a0, n> 0, se cumple: si an 0 lim + > + si an < 0 El cálculo de límites en menos infinito se reduce al caso anterior, ya que: lim f ( ) lim f( ) + O bien, tendremos en cuenta la regla de los signos. Ejemplos 1.- Calcular los siguientes límites: a) b) c) d) lim ( + 5 1) + lim ( + + 8) 7 lim ( + 5) lim (5 1) Ejercicios 1.- Calcular los siguientes límites: a) b) lim ( 7 + 4) lim ( + 7 ) Operaciones con el infinito serían: ± L ± L + ( ) L ( L) L ( L) ± ( ± ) ± ± ( ) L L L L L 0 ± Observa que en el producto y en el cociente con el infinito se aplica la regla de los signos de la forma habitual. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 8

11 7.- Indeterminaciones Al operar con límites tanto finitos como infinitos nos podemos encontrar con epresiones en las que el resultado tenga sentido o no, es decir, nos podemos encontrar casos en los cuales no es posible hallar directamente el límite. Se dice entonces que el límite está indeterminado. Límite indeterminado no significa que no eista, sino que no se puede calcular directamente. En estos casos, el límite se calcula transformando la epresión de la función dada en otra equivalente en la que si tengan sentido las epresiones. Las epresiones que indican indeterminación son: 0 ; ; ; 0 ; 1 ; 0 ; Cuando al sustituir aparece 0 k, con k 0, no se trata de una indeterminación. Su valor será + o. Escribir que lim, es una manera de decir que f() no tiene límite, que f() es ilimitada. a a) Resolución de indeterminaciones Indeterminaciones del tipo 0 0 Aparecen al calcular los límites de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) o de funciones irracionales. Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) se resuelven factorizando numerador y denominador mediante la regla de Ruffini y simplificando. Las indeterminaciones de cocientes de funciones irracionales se resuelven multiplicando numerador y denominador por la epresión conjugada de la función que lleve raíz. Ejemplo 14.- Calcular los siguientes límites: a) b) lim 8 1 lim 1 + Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 9

12 Ejercicio 15.- Calcular los siguientes límites: a) b) 1 lim lim Indeterminaciones del tipo Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) se resuelven dividiendo numerador y denominador por la máima potencia del denominador, o bien, aplicando la regla de los grados: a ±, si grado de P( ) > grado de Q( )( el signo es el de ) b P ( ) a si grado de P( ) grado de Q( )( siendo a y b los lim, Q ( ) b coeficientes de los términos principales de P( ) y Q( )) 0, si grado de P( ) < grado de Q( ) Las reglas utilizadas para el cociente de polinomios son también válidas para los cocientes de funciones irracionales. Ejemplo 16.- Calcular los siguientes límites: a) b) c) lim lim + 5 lim Ejercicio 17.- Calcular los siguientes límites: a) b) + 5 lim lim + Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 10

13 8.- Asíntotas de una función Las asíntotas de una función son rectas a las que se aproima la función cuando tiende hacia un valor real a, a + o. Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales y oblicuas. a) Asíntotas verticales Son rectas paralelas al eje de ordenadas. La recta a es una asíntota vertical de la función f() si cuando se acerca al valor real a la función se acerca a la recta, ya sea con valores mayores o menores que dicho valor. Es decir, a es una asíntota vertical de la función f() si eiste alguno de los límites siguientes: lim + lim lim + lim + + a a a a Así pues, para calcular las asíntotas verticales de una función (si es que tiene) se localizan los valores de la variable que hacen tender la función a + o. Las curvas nunca cortan a las asíntotas verticales. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales; p.e., la función tangente. Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales. En las funciones racionales cuya fracción sea irreducible, las asíntotas verticales son los valores de que anulan el denominador (se resuelve la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador); es decir, tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas tenga el denominador y que no lo sean del numerador. Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical, hay que hallar el valor de los límites laterales en el punto: lim f ( ) + a y lim f ( ) a Supongamos que la asíntota es 7; calculamos f(7,01) y f(6,99) y obtenemos, p.e., f(7,01) - 00 y f(6,99) 0, de estos resultados deducimos que por la derecha de la asíntota la gráfica tiende a, puesto que el valor obtenido es negativo y por la izquierda tiende a +, puesto que el valor es positivo. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 11

14 b) Asíntotas horizontales Son rectas paralelas al eje de abscisas. La recta y b es una asíntota horizontal de la función f() si cuando tiende a + o la función se acerca a la recta (asíntota por la derecha y asíntota por la izquierda). Es decir, y b es una asíntota horizontal de la función f() si eiste alguno de los límites laterales siguientes: lim f ( ) b lim b + Así pues, para calcular las asíntotas horizontales de una función (si es que tiene) se hace tender hacia + o, y si este límite es un valor real, diremos que y b es una asíntota horizontal. La gráfica de una función puede cortar a sus asíntotas horizontales. Una función puede tener como máimo dos asíntotas horizontales, correspondientes a los límites laterales. Las funciones polinómicas no tienen asíntotas horizontales. Una función racional sólo puede tener una asíntota horizontal (en caso de eistir, será la misma cuando tienda hacia + o ). Esto ocurrirá, si el grado del denominador es mayor o igual que el grado del numerador. Para hallar la asíntota horizontal, y b, se halla: P ( ) lim ± Q ( ) b Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota horizontal, calculamos la imagen de un valor muy grande y de un valor muy pequeño. Supongamos que la asíntota es y 4; calculamos f(1000) y f(- 1000) y obtenemos, p.e., f(1000),980 y f(- 1000) 4,001, de estos resultados deducimos que por la derecha la gráfica se acerca a la asíntota por abajo, puesto que el valor obtenido es menor que el valor de la asíntota y por la izquierda la gráfica se acerca a la asíntota por arriba, puesto que el valor obtenido es mayor que el valor de la asíntota. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 1

15 Ejemplo 18.- Determina las asíntotas de las funciones y haz un esbozo de sus gráficas: a) + 1 b) c) 4 d) Ejercicio Determina el dominio y las asíntotas de las funciones: a) b) En las funciones definidas a trozos, hemos de tener cuidado a la hora de buscar las asíntotas, ya que, aunque un tramo pueda tener una asíntota, es posible que la tenga en un valor de que no intervenga en la definición de la función. Las asíntotas verticales debemos buscarlas en los puntos que no pertenezcan al dominio y en los puntos de ruptura (calculando los límites laterales). Ejemplo 0.- Determina las asíntotas de las funciones: 1 si < 1 a f si 4 si > ) ( ) 1 si b) si > 1 5 Ejercicio 1.- Determina el dominio y las asíntotas de las funciones: a) si 4 si > 1 si 0 + b) si > Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 1

16 9.- Continuidad de una función Una función f() es continua en un punto a si se verifica que: 1. Eiste f(a).. Eiste lim f ( ). a. Se cumple que: lim f ( ) f( a) a en a. Si alguna de estas condiciones no se cumple, diremos que la función es discontinua En la práctica no es necesario comprobar las tres condiciones, ya que estas se resumen en la tercera condición. Las funciones elementales (constantes, polinómicas, racionales, irracionales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas), son continuas en sus respectivos dominios de definición, por tanto, para estudiar su continuidad hallaremos su dominio de definición. a) Tipos de discontinuidades Según la condición de continuidad que no se cumpla, las discontinuidades pueden clasificarse de la siguiente forma: Discontinuidad evitable Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto, a, cuando el límite de la función en a eiste y es finito, pero no coincide con el valor de la función en a, o bien, la función no está definida en a. lim f ( ) f( a) o lim f ( ) y f( a) a a lim ; f(1) no f () c 1 Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en a y haciendo que en este punto tome el valor del límite. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 14

17 Ejemplos.- Estudia la continuidad de la siguiente función: 4 si 1 si.- Estudia la continuidad de la siguiente función: si 5 si Discontinuidad no evitable (o esencial) Una función presenta una discontinuidad no evitable con salto finito en un punto, a, cuando eisten los límites laterales, son finitos y distintos. lim lim ± + a a lim no lim f ( ) ; f (1) lim Ejemplo 4.- Estudia la continuidad de la siguiente función: 1 si < 0 0 si 0 1 si > 0 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 15

18 Una función presenta una discontinuidad no evitable con salto infinito o asintótica en un punto, a, cuando uno o los dos límites laterales son + o. lim o lim es + a a ± lim no lim f ( ) ; f ( 1) 0,5 lim 0, no lim k( ) no k() Una función presenta una discontinuidad no evitable de segunda especie en un punto, a, cuando uno o los dos límites laterales no eisten: lim f ( ) o lim f( ) + a a En resumen, los tipos de discontinuidad en un punto son: Discontinuidad evitable Discontinuidad no evitable de salto finito Discontinuidad no evitable de salto infinito Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 16

19 Ejemplo resuelto Clasifica las discontinuidades que presenta la siguiente función: En -4, es discontinua no evitable con salto infinito o asintótica, al cumplirse: lim + lim En -, la función es discontinua no evitable con salto finito, por eistir los límites laterales, ser finitos y distintos. En 1, la función es continua por la izquierda. Podría decirse que presenta una discontinuidad no evitable de segunda especie al carecer de límite lateral por la derecha. En, la función es continua por la derecha. Como el caso anterior podría ser considerada como discontinua no evitable de segunda especie al no tener límite lateral por la izquierda. En 5, la función es discontinua evitable. Evitamos la discontinuidad redefiniendo la función en 5, haciendo f(5) 4. En 8, la función es discontinua no evitable con salto infinito al ser un límite lateral finito y otro infinito. En 10, la función es discontinua evitable. Evitaremos la discontinuidad definiendo f(10). Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 17

20 Ejercicios 5.- Estudia la continuidad y las asíntotas de las funciones siguientes: + 5 a) + 5 b) g ( ) + + c) g ( ) d) 6.- Estudia la continuidad de la siguiente función: 0 si 0 1 si > Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos de ruptura y calcula las asíntotas: a) 1 si si > 0 b) si < si Estudia la continuidad y calcula las asíntotas de la función: + si 1 si > Halla el valor que deben tener a y b para que la siguiente función sea continua en : 5 si 1 f a + b si < si > ( ) Halla el valor de a y b para que las funciones sean continuas en : 4+ a si + b si 1 a) b si < < b) g ( ) a+ si 1< 1 5 a si ( b ) si > Halla el valor de a y b para que la función sea continua en : a si < b si 0 < a + 5 si Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 18

21 Ejercicios finales.- Calcula lim f ( ) cuando: + a) b) Determina el dominio y las asíntotas de las funciones y haz un esbozo de sus gráficas: + 1 a) 9 1 b) 4.- Estudia la continuidad de la siguiente función: 0 si si 1< 5 si > 0 si < Dada la función: si 0< <, estudia la continuidad en 0, si 1 y. 6.- Calcula el dominio, las asíntotas y estudia la continuidad de la siguiente función: 4 si < si < + si 7.- Estudia la continuidad de la siguiente función: + 1 si 0 1 si < Estudia la continuidad de la función: + si < si 0, 4+ si > [ ] 9.- Halla el valor de m y n para que f() sea continua en : m 1 si 1 f + si < n + 10 si > ( ) 4 1 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 19

22 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 0

23 10.- DERIVADAS 1.- Tasas de variación media e instantánea En muchas situaciones reales interesa conocer propiedades relativas al cambio o variación que eperimenta una variable respecto a otra. Esta variación se puede evaluar a través del cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento de la variable independiente. A este cociente le llamamos tasa de variación media (T.V.M.) de la función. La tasa de variación media (T.V.M.) de una función f(), en el intervalo [a, b], viene dada por la epresión: TV.. M. f ( b) f( a) b a Geométricamente, la T.V.M. de la función f en el intervalo [a, b] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). También podríamos epresarlo como: amplitud del intervalo. f ( a+ h) f( a) TV.. M. siendo h la h Ejemplo 1.- Calcula la T.V.M. de la función f ( ) en el intervalo [ ] 1,. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 1

24 La T.V.M. de una función nos informa acerca de su variación en un intervalo, pero no nos da información sobre la variación de la función en un punto. Si h es muy pequeño, o próimo a cero, obtenemos una información más precisa sobre cómo varía la función en el punto a. Por ejemplo, a la policía de tráfico en carretera le importa más la velocidad de un vehículo al atravesar un núcleo urbano que su velocidad media por hora; por eso, se instalan radares que detectan velocidades en un punto concreto del trayecto. Esta velocidad es, de hecho, una velocidad media entre dos puntos muy próimos; en la práctica es la que marca el cuentakilómetros en un instante determinado. La tasa de variación instantánea (T.V.I) en el punto a sería, pues, la variación media entre los puntos a y a + h, muy próimos: TV.. I. lim h 0 f ( a+ h) f( a) h Ejemplo.- Calcula la T.V.I. de la función f ( ) en el punto 1..- Derivada de una función en un punto T.V.I. de la función f() en el punto a se le llama derivada de f() en el punto df a, y se denota por f (a) (otras formas: y, Df(a), ( a) ). Por tanto: d f ( a) lim h 0 f ( a+ h) f( a) h Ejemplos.- Dada la función, calcula la derivada en los puntos de abscisa 1 y : 4.- Calcula la derivada de la función f ( ) +, en los puntos 1 y. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis

25 .- Función derivada El cálculo del valor de la derivada de una función en un punto a eige la resolución de un límite, en muchos casos engorroso. Sí, además, para una misma función tenemos necesidad de calcular su derivada en distintos puntos, esta dificultad se acrecienta. La manera de simplificar el proceso es hallar, de una vez, otra función genérica que nos dé el valor de la derivada en cualquier punto con sólo sustituir en ella. Esta función recibe el nombre de función derivada. La función derivada de una función f es una función que asocia a cada valor de, su derivada. Se denota por f (), o por y : f ( ) lim h 0 f ( + h) h A partir de la función derivada se puede definir, si eiste, también su derivada, y recibe el nombre de derivada segunda, se representa por f (). Análogamente se definen las funciones derivada tercera, cuarta, Ejemplo 5.- Dada la función definición. f ( ), calcula su función derivada, aplicando la Observa que el cálculo de la función derivada de una función f simplifica el proceso de cálculo del valor de la derivada de f en diferentes puntos. Así, para calcular f ( 1), siendo f la función del ejemplo anterior, bastará sustituir por 0 en la función derivada f (): f ( 1) 4 ( 1) 7 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis

26 4.- Operaciones con derivadas Producto de un número por una función Suma o resta de funciones k u( ) f ( ) k u ( ), k f ( ) u( ) ± q( ) f ( ) u ( ) ± q ( ) Producto de funciones f ( ) u( ) q( ) f ( ) u ( ) q( ) + u( ) q ( ) Cociente de funciones u( ) u ( ) q( ) u( ) q ( ) f ( ) q ( ) ( ) [ q] 5.- Derivadas de las funciones elementales Para calcular la función derivada de una función dada no aplicaremos la definición, sino que usaremos la siguiente tabla de derivadas: Función Forma simple Forma compuesta Constante K f ( ) 0 Identidad f ( ) 1 1 Potencial ( ) n n f f ( ) n n [ ] [ ] n 1 f ( ) g( ) f ( ) n g( ) g ( ) Eponencial ( ) f a, a > 0 f ( ) a lna f ( ) e f ( ) e lne e ( ) ( ) ( ) g g f a, a > 0 f ( ) g ( ) a lna f ( ) e f ( ) g ( ) e g ( ) g( ) Logarítmica 1 ln f ( ) 1 f ( ) loga e loga 1 f ( ) ln a g ( ) ln g( ) f ( ) g ( ) g ( ) f ( ) loga e g ( ) log a g( ) g ( ) f ( ) g ( ) lna Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 4

27 Ejemplos 6.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a) 6 b) 5 c) d) e) f) Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a f b f 5 5 ) ( ) 4 ) ( ) ( + + 1) c) ( 5) + ( 1) d) 7( 5 ) Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a) ( 1) ( + ) b) ( ) ( 5 7) 9.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: + a) b) 4 5 c) d) 4+ 5 ( 1) 10.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 5 a) + b) Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a f e b f e c f 9 4 ) ( ) ) ( ) ) ( ) d f e f e f f 5 ) ( ) ) ( ) ) ( ) Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a) (1 + e ) (1 + ) b) e ( 1) c) (7 ) d) e Calcula las derivadas de las funciones que se indican: + 1 e a) b) e ( 1) 5 1 c) d) 4 5+ e 14.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a f b f 4 ) ( ) log( ) ) ( ) 5ln( ) c) 4 e + log( 1) d) ( + ln ) Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 5

28 15.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a f b f ) ( ) ln(5 ) ) ( ) (1 ) ln( ) { } c f e d f ) ( ) ln( ) ) ( ) ln (1 + ) ( + ) 16.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: log ( ) ln a) b) 1 e 17.- Halla la derivada de esta función en el punto que se indica: ( + 1) e f (0) 18.- Halla las derivadas 1ª y ª de la función: f 6 ( ) + 1 Ejercicios 19.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 1 a) b) c) Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a) + 10 b) ( + ) Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a f b f ) ( ) ( ) ) ( ) (5 ) (7 ).- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a) b) Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 1 ) ( ) ) ( ) + a f + b f Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 5 a) e b) 5 c) e Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a f e b f 4 ) ( ) ( 1) ) ( ) (5 4 ) 6.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 1 e a) b) e Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a f b f 5 ) ( ) 6log ) ( ) ln( ) 9 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 6

29 8.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a f b f ) ( ) ln( 7 ) ) ( ) 4 ln( 1) c) ln( e ) ( + 5) 9.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: a) b) ( ) ln ln( ) 0.- Halla la derivada de esta función en el punto que se indica: f (1) Halla las derivadas 1ª y ª de la función: f ( ) e 6.- Derivadas laterales Sabemos que para que un límite eista es necesario y suficiente que eistan los límites laterales y que sean iguales. Por tanto, y puesto que la derivada es un límite, estos límites dan lugar a las derivadas laterales por la izquierda, f (a - ), y por la derecha, f (a + ), y se definen así: f ( a+ h) f( a) + f( a+ h) f( a) f ( a ) lim f ( a ) lim + h 0 h h 0 h Diremos por tanto, que una función es derivable en un punto si, y solo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden: + f ( a ) y f ( a ) f ( a) + f ( a ) f ( a ) Desde el punto de vista gráfico, que f ( a ) f ( a + ) significa que la recta tangente a f() en el punto (a, f(a)) es única. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 7

30 7.- Continuidad y derivabilidad Para que una función sea derivable en un punto antes debe ser continua en ese punto. El recíproco de esta propiedad o teorema no es cierto, es decir, la continuidad no garantiza la derivabilidad. Las funciones elementales no presentan, en general, dificultades de derivabilidad en los puntos de su dominio. Por lo tanto, para calcular la derivabilidad de dichas funciones, hallaremos su dominio de definición. Para las funciones definidas a trozos, primero hay que estudiar su continuidad, después su derivabilidad. En el primer caso hay que comparar los límites laterales; en el segundo, las derivadas laterales. La característica de la gráfica de una función derivable es una curva continua que no tiene picos. Gráficamente, la derivabilidad puede calificarse como suavidad, como ausencia de cambios bruscos. En la siguiente figura observados como la función f() es derivable en todos sus puntos; en cambio, g() no es derivable en los puntos a, b y c. En el punto a, por no estar definida; en b, por no ser continua; en c, por no ser suave, es un punto anguloso. La tercera función no es derivable en 0, por ser un punto de tangente vertical Ejemplos 5.- Estudia la derivabilidad de la función:.- Averigua si la siguiente función es derivable en : 1 si 1 si > 4.- Estudia la derivabilidad de la función: t Bt () 4t t 1 si t si t > 5.- Indica para qué valores de a y b es derivable la función: si < a b si Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 8

31 6.- Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en 1: + m si n si > 1 Ejercicios 7.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función: + si 5 18 si < 1 si > 8.- Halla el valor de a y b para que la siguiente función sea derivable en todo (recuerda que antes debes asegurarte de que la función sea continua) + a si 1 b si > Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto Hemos visto que la T.V.M. de la función f en el intervalo [a, a+h] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos P y Q. Cuando h tiende a 0, es decir, cuando Q se acerca a P, la recta secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y la pendiente de la recta secante en la pendiente de la recta tangente. Por tanto, la pendiente, m, de la recta tangente en el punto P es la T.V.I. en el punto P, es decir, la derivada f () de la función f() en a: f( a+ h) f( a) lim f ( a) mrecta tangente ena h 0 h Si tenemos en cuenta que la ecuación punto pendiente de una recta es: y y m ( ), donde ( 0, y 0 ) es un punto de la recta y m, su pendiente; y puesto que 0 0 f (a) nos da la pendiente de la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), se tiene que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en dicho punto es: y f( a) f ( a) ( a) Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 9

32 Ejemplos 9.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función f ( ) en el punto de abscisa Halla la ecuación de la recta tangente a la función en el punto 1 de abscisa Halla la ecuación de la recta tangente a la función de abscisa 0. f ( ) 4.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: + si 5 si <, en el punto de abscisa e en el punto 4.- Dada la función f ( ) + + 1, halla el punto de la gráfica en el que la recta tangente tiene de pendiente 4. Ejercicios 44.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( ) en el punto de abscisa Halla la ecuación de la recta tangente a la función f ( ) 4ln en el punto de abscisa Halla la ecuación de la recta tangente a la función en el punto 4 de abscisa Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: e si < 0, en el punto de abscisa si Dada la función f ( ), halla los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 11. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 0

33 Ejercicios finales Derivadas de funciones elementales 49.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) b) c) 5( 4 ) d) ( + + 1) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a f b f 4 6 ) ( ) ( + )(4 + ) ) ( ) ( + 9 )( 5 ) c f 4 ) ( ) (5 ) ( 8) 51.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: + 1 (1 ) a) b) c) ( ) 5.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: 1 a) b) e e c) d) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a f b f + 1 ) ( ) ln ) ( ) log( ) c f d f 6 ) ( ) (1+ ln ) ) ( ) 7log(5 ) 54.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: 1 1 a) + ln + b) c) 5 + d) 4 e e) Calcula la derivada de las siguientes funciones: a f e b f e 7 ) ( ) (5 + ) (7 ) ) ( ) ( 5) c f e d f 6 5 ) ( ) (5 ) ) ( ) ( + 7) ln ( 1) e) ln( 4 ) f) (7 1) ln 5 6 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 1

34 56.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: 5 e a) b) c) 5 e ( + 4) e ln( 4 ) 5log7 6 d) e) f) ln + 1 { } g) h) ln i) ln ( ) ( 1) 57.- Halla la derivada de estas funciones en los puntos que se indican en cada caso: a f + f 5 ) ( ) ( 1) ( 1) b) ln f (6) Halla las derivadas 1ª y ª de cada una de estas funciones: 1 a) + b) e Derivabilidad Estudia la derivabilidad de la función: Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones: + + si < si si > 61.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función: + si 0 si 0< si > 6.- Estudia la derivabilidad de la función: + si < si 0, 4+ si > [ ] Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis

35 [ ) [ ) [ ] + 6 si 6, 6.- Representa la función si,. Halla el conjunto 6 si,6 donde está definida la derivada y representar la función f (). + si Una función f() está definida:. Halla a y b + a + b si > 0 para que f() sea continua y derivable en Calcula los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función a + c si 1 f() sea derivable en 1:. Calcula la ecuación de si > la recta tangente a la gráfica de f en Dada la siguiente función, calcula el valor de m y de n para que sea derivable: m si n si > Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en 1: m si 1 si > 1 m 68.- Si la función f está definida mediante: si 0 a + b si > 0 Calcula a y b para que sea continua. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis

36 Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto 69.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función abscisa Halla la ecuación de la recta tangente a la función de abscisa Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: si < 0 1 en el punto de abscisa si 0 5 en el punto de en el punto Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función si < 1 en el punto de abscisa. si 7.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: si < 6 5 en el punto de abscisa. + 5 si Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en el + 1 punto de abscisa 1. En qué punto la tangente es paralela al eje de abscisas? 75.- Determina los puntos de la curva de ecuación recta tangente es paralela al eje de abscisas. f ( ) 1 en los que la 76.- Dada la función f ( ) + 1, halla los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente Considérese la curva de ecuación f k k ( ) a) Cuánto debe valer k si las tangentes en los puntos A (1, f(1)) y B (, f( )) son paralelas? b) Determinar las ecuaciones de ambas tangentes Dada la función f ( ) se ha trazado una recta tangente a ella que tiene por ecuación y 5. En qué punto se ha trazado? 79.- Escribe la ecuación de la tangente a la curva recta 7 + y f ( ) + que es paralela a la Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 4

37 80.- Dada la función f ( ) a cuál debe ser el valor de a para que la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa 1 sea 11? 81.- Calcula el punto de corte de las tangentes a las curvas y 1 g ( ) en Halla en qué punto (puntos) la recta tangente a la curva f ( ) + 1 es paralela al eje OX; y encuentra la ecuación de esas rectas. 8.- Una recta tangente a la curva f ( ) tiene pendiente y pasa por el punto (0, ). Cuál es el punto de tangencia? 84.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de + abscisa 1 que es paralela a la recta de ecuación + y Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva la recta + y f ( ) que es paralela a 86.- Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva que son + 1 paralelas al segmento que une los puntos (1, 1) y (, 5) Halla la ecuación de las rectas tangentes a paralelas al eje OX. f ( ) 9 que son Halla la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de 4 5 abscisa 1 que es paralela a la recta de ecuación y Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 5

38 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 6

39 11.- APLICACIONES DE LA DERIVADA AL ESTUDIO DE FUNCIONES. 1.- Monotonía: crecimiento y decrecimiento La monotonía se basa en estudiar cómo aumenta o disminuye la variable dependiente y, al aumentar o disminuir la variable independiente. En la figura se observa que f() es creciente para valores de menores que 1 ; decreciente, entre 1 y, y nuevamente creciente para valores de mayores que. En la misma figura se han trazado rectas tangentes a f(), en los puntos a, 1, b, c, y d, para los cuales puede verse que donde la función es creciente la tangente tiene pendiente positiva; donde es decreciente tiene pendiente negativa y en 1 y, que son donde la función toma sus valores máimo y mínimo, las tangentes son rectas horizontales y, por tanto, de pendiente cero. Teniendo en cuenta que el valor de la pendiente de la recta tangente a f() viene dado por su derivada, f ( ), en el punto correspondiente, en la práctica, para determinar los puntos en los que una función crece o decrece bastará con estudiar el signo de la derivada. Si f ( 0 ) > 0 f ( ) es creciente en 0. Una función es creciente en un intervalo cuando lo es en cada uno de sus puntos. Por tanto, si f ( ) > 0 ( a, b) es creciente en el intervalo (a, b). Si f ( 0 ) < 0 f ( ) es decreciente en 0. Una función es decreciente en un intervalo cuando lo es en cada uno de sus puntos. Por tanto, si f ( ) < 0 ( a, b) es decreciente en el intervalo (a, b). Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 7

40 Para calcular la monotonía de una función f(), supuesta la eistencia de la derivada, conviene seguir estos pasos: 1. Calculamos f ( ).. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, f ( ) 0. Determinamos también los puntos de discontinuidad de f ( ).. Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f ( ) 0 y los puntos de discontinuidad de f ( ). 4. Calculamos el signo de f ( ) en dichos intervalos: Si f ( 0 ) > 0, 0 ( ab, ), entonces f() es creciente en (a, b). Si f ( 0 ) < 0, 0 ( ab, ), entonces f() es decreciente en (a, b). Ejemplos 1.- Determina los intervalos de monotonía de las funciones: a) b) c) d) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) +.- Halla los intervalos de monotonía de las funciones: a) b) Ejercicios.- Halla los intervalos de monotonía de las funciones: a) b) f ( ) + 1 f ( ) Halla los intervalos de monotonía de las funciones: a) b) + 1 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 8

41 .- Etremos relativos: máimos y mínimos Un punto crítico de una función es un punto donde la derivada vale cero, f ( 0 ) 0, o la derivada no está definida, f ( 0 ) no eiste. Los máimos y mínimos relativos de una función sólo pueden darse en los puntos críticos; sin embargo, no todo punto crítico es necesariamente un máimo o un mínimo. Si una función tiene en 0 un etremo relativo, entonces f ( 0 ) 0. La determinación de los etremos relativos la haremos en base al siguiente criterio: 1. Calculamos f ( ).. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, f ( ) 0.. Calculamos f ( ) y sustituimos en ella los valores de que han anulado la primera derivada y estudiamos el signo de f ( 0 ): Si f ( 0 ) < 0 en 0 hay un máimo relativo. Si f ( 0 ) > 0 en 0 hay un mínimo relativo. Si f ( 0 ) 0, este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el signo de la primera derivada para valores muy próimos por la izquierda y por la derecha del punto, de forma que: Si f ( ) es positiva a la izquierda de un punto crítico y negativa a la derecha, el punto crítico es un máimo relativo. Si f ( ) es negativa a la izquierda de un punto crítico y positiva a la derecha, el punto crítico es un mínimo relativo. Para que una función tenga un máimo o un mínimo no es necesario que f ( ) 0. Por ejemplo, f ( ) tiene un mínimo en 0 y, sin embargo, f (0) no está definida. Por tanto, la caracterización dada se refiere a funciones derivables. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 9

42 Ejemplos 5.- Calcular los etremos relativos de las funciones: a) b) c) f ( ) f ( ) Hallar los etremos relativos de la siguiente función: Dada la función + a + 5, hallar el valor de a para que tenga un etremo relativo (máimo o mínimo) cuando. Averiguar si es un máimo o un mínimo relativo. Ejercicios 8.- Hallar los etremos relativos de las funciones: a) b) c) f 1 ( ) Calcula los intervalos de monotonía y los etremos relativos de la siguiente función: f ( ) Determinar el parámetro c para que el mínimo de la función f ( ) + + c sea igual a 8. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 40

43 .- Concavidad o curvatura de una función Diremos que una función es cóncava en un intervalo, si las pendientes de las rectas tangentes trazadas a la curva van disminuyendo. Por el contrario, si las pendientes van aumentando, diremos que la función es convea en ese intervalo. El estudio de la derivada segunda, f ( ), de una función f ( ) nos va a permitir deducir la curvatura de la gráfica asociada a la función. La concavidad y la conveidad dependen de la posición desde la que se observa la gráfica. Nosotros seguiremos el siguiente criterio: Una función f() es cóncava en un intervalo (a, b) si la gráfica de la función queda debajo de la recta tangente en cada uno de los puntos del intervalo. Una función f() es convea en un intervalo (a, b) si la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en cada uno de los puntos del intervalo. Para determinar los intervalos de concavidad y conveidad procederemos del siguiente modo: 1. Calculamos f ( ).. Hallamos los puntos que anulan la ª derivada, f ( ) 0. Determinamos también los puntos de discontinuidad de f ( ).. Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f ( ) 0 y los puntos de discontinuidad de f ( ). 4. Calculamos el signo de f ( ) en dichos intervalos: Si f ( ) < 0, ( ab, ), entonces f() es cóncava en (a, b). Si f ( ) > 0, ( ab, ), entonces f() es convea en (a, b). Ejemplos 11.- Estudia el tipo de concavidad que presenta la función: f ( ) Estudia la concavidad de la función: 4 + Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 41

44 Ejercicio 1.- Determina los intervalos de curvatura de las siguientes funciones: a) b) f ( ) Puntos de infleión Una función tiene un punto de infleión en un punto, si la función cambia de curvatura en dicho punto. La tangente a la función en un punto de infleión atraviesa la gráfica de la misma. Si una función tiene en 0 un punto de infleión, entonces f ( 0 ) 0. El teorema recíproco no es cierto. Ejemplo resuelto 14.- La derivada segunda de la función f ( ) 4 es, luego (0) 0 f ( ) 1 f y como se puede observar en la figura, en el punto (0, 0) la función no tiene un punto de infleión. La determinación de los puntos de infleión la haremos en base al siguiente criterio: 1. Calculamos f ( ).. Hallamos los puntos que anulan la ª derivada, f ( ) 0.. Calculamos f ( ) y sustituimos en ella los valores de que han anulado la segunda derivada: Si f ( 0 ) 0, entonces diremos que la función tiene un punto de infleión en 0. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 4

45 Si f ( 0 ) 0, este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el signo de la segunda derivada para valores muy próimos por la izquierda y por la derecha del punto, de forma que: Si f ( ) es positiva a la izquierda del punto y negativa a la derecha, se trata de un punto de infleión conveo - cóncavo. Si f ( ) es negativa a la izquierda del punto y positiva a la derecha, se trata de un punto de infleión cóncavo - conveo. Ejemplos 15.- Estudia monotonía, etremos relativos, curvatura y puntos de infleión de las siguientes funciones: a) b) f ( ) f 4 ( ) c) Halla a, b y c de modo que la función f ( ) + a + b+ c tenga un mínimo para y un punto de infleión en (0, ) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f ( ) + + en su punto de infleión. Ejercicio 18.- Estudia monotonía, etremos relativos, curvatura y puntos de infleión de las siguientes funciones: a) b) f ( ) Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 4

46 Ejercicios finales Estudio de funciones 19.- Dada la función + si si > 1 a) Halla su función derivada. Tiene f() algún punto en el que f () 0? b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f(). c) Escribe la ecuación de la recta tangente a f() en Dada la función f(), estudiar la monotonía de f() y calcular la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa. si < 1 si Dada la función t + t si t < 5 0 f() t t + 1t 9 si t 5 t+ 16 si 5< t 10 a) Continuidad y derivabilidad de f(t) en t y en t 5. b) Razona si f(t) tiene algún punto de infleión y calcúlalo, en caso afirmativo..- Dada la función si < si 16 a) Estudia la derivabilidad de f(). b) Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en 1. c) Determina los etremos absolutos de la función..- Estudia monotonía, etremos relativos, curvatura y puntos de infleión de las siguientes funciones: 6 a) ; b) + 5 c) + + 5; d) 4.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva punto de infleión en su Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 44

47 Con parámetros 5.- La función f ( ) + m + 8 presenta un mínimo en 1. Calcular m y el valor del mínimo. 6.- Calcula p y q de modo que la curva 1) y presente un mínimo en. 7.- Obtener los valores de a y b para que la función mínimo relativo igual a en. f ( ) + p+ q contenga al punto (, f ( ) a b + + tenga un 8.- Hallar el valor de b y m para que la curva f ( ) + b + m + 1 tenga en 1 una infleión y la pendiente de la recta tangente en ese punto valga Qué valores deben tomar b y c para que f ( ) + b + c + 1 tenga un punto etremo en 1 y un punto de infleión en? El etremo que se obtiene en 1, es un máimo o un mínimo? 0.- La función f ( ) a + 4+ b corta al eje de abscisas en y tiene un punto de infleión en /. Hallar a y b. 1.- Hallar a y b para que la función punto (, 5). f ( ) + a+ b tenga un mínimo en el.- Dada la función f ( ) a + b + c, calcular a, b, c para que el punto A (1, 5) y el punto de abscisa sean etremos relativos..- Hallar a y b para que la función f ( ) a ln+ b + tenga etremos en los puntos 1 y en. Para esos valores de a y b, qué tipo de etremos tiene la función en 1 y en? 4.- Dada la función f ( ) a + b + c+ d, halla los coeficientes a, b, c y d para que se cumplan las siguientes condiciones: la gráfica de la función tiene un punto de infleión en ( 1, 1), siendo la tangente en este punto paralela a la recta 4 y 5 y, además, pasa por el punto (0, 1). 5.- Una función polinómica de tercer grado verifica que su gráfica pasa por el punto ( 1, 0) y tiene tangente paralela al eje OX en el punto (0, 4). Sabemos también que el coeficiente de tercer grado de la función es. Determina la función. 6.- La función f ( ) + a + b + c, verifica que su gráfica pasa por el punto ( 1, 0) y tiene tangente paralela al eje OX en el punto (0, 4). a) Calcula a, b y c. b) Calcula la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa. c) Calcula el punto de infleión de f() Dada la función a+ b+, calcula a y b para que la gráfica de f() pase por el punto (, 6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 45

48 8.- Sea la función + si < 10 si a a) Calcula los valores de a para que f() sea continua en. b) Para a 0 calcular los intervalos de monotonía. c) Para a 4 calcular las asíntotas. 9.- Sea la función f ( ) a b c Sabemos que tiene un máimo en 1, un punto de infleión en y corta al eje OY en el punto de ordenada 1. Calcula el valor de los parámetros a, b y c. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 46

49 1.- APLICACIONES DE LA DERIVADA. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1.- Estudio y representación de funciones Para hacer un estudio completo de una función y representarla gráficamente conviene ser sistemático a la hora de obtener la información sobre ella, y es necesario interpretar gráficamente los resultados que se van obteniendo. No siempre son necesarios todos los cálculos, pero un posible esquema para realizar el estudio de una función es el siguiente: 1. Dominio Calcular el conjunto de números reales que puede tomar, para los cuales está definida la función: { ( ) } Dom f f Hacer también un estudio de posibles discontinuidades.. Puntos de corte con los ejes de coordenadas a) Puntos de corte con el eje X (abscisas) } Son las soluciones del sistema: y f( ) 0 y 0 b) Puntos de corte con el eje Y (ordenadas) y Son las soluciones del sistema: 0 } y f(0) Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 47

50 . Asíntotas. Ramas infinitas a) Asíntotas verticales La recta a es una asíntota vertical de la función f() si eiste alguno de los límites siguientes: lim + ( ) ; lim + ( ) ; lim + ( ) + a a a Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical, hay que hallar el valor de los límites laterales en el punto: lim f ( ) + a y lim f ( ) a Supongamos que la asíntota es 7; calculamos f(7,01) y f(6,99) y obtenemos, p.e., f(7,01) - 00 y f(6,99) 0, de estos resultados deducimos que por la derecha de la asíntota la gráfica tiende a, puesto que el valor obtenido es negativo y por la izquierda tiende a +, puesto que el valor es positivo. b) Ramas infinitas. Asíntotas horizontales Estudiamos el comportamiento de la función cuando tiende a y a + : lim f ( ) lim + La recta y b es una asíntota horizontal de la función f() si eiste alguno de los límites laterales siguientes: lim f ( ) b; lim b + Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota horizontal, calculamos la imagen de un valor muy grande y de un valor muy pequeño. Supongamos que la asíntota es y 4; calculamos f(1000) y f(-1000) y obtenemos, p.e., f(1000),980 y f(-1000) 4,001, de estos resultados deducimos que por la derecha la gráfica se acerca a la asíntota por abajo, puesto que el valor obtenido es menor que el valor de la asíntota y por la izquierda la gráfica se acerca a la asíntota por arriba, puesto que el valor obtenido es mayor que el valor de la asíntota. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 48

51 4. Monotonía: crecimiento y decrecimiento Para calcular la monotonía de una función f(), supuesta la eistencia de la derivada, conviene seguir estos pasos: 1. Calculamos f ( ).. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, f ( ) 0. Determinamos también los puntos de discontinuidad de f ( ).. Consideramos los intervalos determinados por los puntos anteriores. 4. Estudiamos el signo de f ( ) en dichos intervalos: Si f ( 0 ) > 0, 0 ( ab, ), entonces f() es creciente en (a, b). Si f ( 0 ) < 0, 0 ( ab, ), entonces f() es decreciente en (a, b). 5. Etremos relativos: máimos y mínimos relativos La determinación de los etremos relativos la haremos en base al siguiente criterio: 1. Calculamos f ( ).. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, f ( ) 0.. Calculamos f ( ) y sustituimos en ella los valores de que han anulado la primera derivada y estudiamos el signo de f ( 0 ): Si f ( 0 ) < 0 en 0 hay un máimo relativo. Si f ( 0 ) > 0 en 0 hay un mínimo relativo. Si f ( 0 ) 0, este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el signo de la primera derivada para valores muy próimos por la izquierda y por la derecha del punto, de forma que: Si f ( ) es positiva a la izquierda de un punto crítico y negativa a la derecha, el punto crítico es un máimo relativo. Si f ( ) es negativa a la izquierda de un punto crítico y positiva a la derecha, el punto crítico es un mínimo relativo. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 49

52 6. Curvatura: tipo de concavidad Para determinar los intervalos de concavidad y conveidad procederemos del siguiente modo: 1. Calculamos f ( ).. Hallamos los puntos que anulan la ª derivada, f ( ) 0. Determinamos también los puntos de discontinuidad de f ( ).. Consideramos los intervalos determinados por los puntos anteriores. 4. Estudiamos el signo de f ( ) en dichos intervalos. Si f ( ) < 0, ( ab, ), entonces f() es cóncava en (a, b). Si f ( ) > 0, ( ab, ), entonces f() es convea en (a, b). 7. Puntos de infleión La determinación de los puntos de infleión la haremos en base al siguiente criterio: 1. Calculamos f ( ).. Hallamos los puntos que anulan la ª derivada, f ( ) 0.. Calculamos f ( ), y sustituimos en ella los valores de que han anulado la segunda derivada: Si f ( 0 ) 0, entonces diremos que la función tiene un punto de infleión en 0. Si f ( 0 ) 0, este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el signo de la segunda derivada para valores muy próimos por la izquierda y por la derecha del punto, de forma que: Si f ( ) es positiva a la izquierda del punto y negativa a la derecha, se trata de un punto de infleión conveo - cóncavo. Si f ( ) es negativa a la izquierda del punto y positiva a la derecha, se trata de un punto de infleión cóncavo - conveo. 8. Tabla de valores Puede resultar conveniente construir una tabla de valores en el caso de no haber obtenido suficientes datos en los apartados anteriores, o bien, si queremos hacer una representación gráfica más precisa. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 50

53 .- Estudio de funciones polinómicas n Las funciones polinómicas, f ( ) a + + a1+ a0, son continuas y derivables en todo, es decir, su dominio es: n Dom f ( ) por tanto, no tienen asíntotas de ningún tipo. Para representar una función polinómica: 1.º Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes..º Hallar sus dos ramas infinitas: lim f ( ), lim +.º Estudiar la monotonía de la función y hallar sus etremos. 4.º Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de infleión. 5.º Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla de valores. Veamos la gráfica de algunas funciones polinómicas: Constantes Lineales Afines Parabólicas Polinómicas de er grado y + 4 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 51

54 Para dibujar una parábola, vamos a tener que calcular varios puntos: Puntos de corte con los ejes Con el eje OX: y a + b+ c 0 0 Con el eje OY: 0 y c Punto( 0, c) Coordenadas del vértice b La abscisa del vértice de la parábola es 0 ; para calcular la ordenada a sustituimos este valor en la función. Ejemplos 1.- Estudia y representa las funciones: a) b) f ( ) + f ( ) Estudia y representa las funciones: a) b) f ( ) + f ( ) Ejercicios.- Estudia y representa las funciones: a) b) f ( ) 4 ( ) f 4.- Estudia y representa las funciones siguientes: a) b) f ( ) f ( ) Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 5

55 .- Estudio de funciones racionales Una función racional es aquella que puede escribirse como cociente de polinomios, P ( ), donde P y Q son polinomios. Q ( ) El dominio es el conjunto de los números reales, ecluidos los números para los que se anule el denominador (ceros o raíces): Dom f ( ) { } Dom f ( ) Q( ) 0 { valores que anulan el denominador} Las funciones racionales son continuas y derivables en su dominio de definición. Para representar una función racional: 1.º Calcular el dominio..º Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes..º Hallar las asíntotas verticales y horizontales (eiste A.H. cuando el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador, en cuyo caso, es la misma tanto en como en + ). 4.º Estudiar la monotonía de la función y hallar sus etremos. 5.º Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de infleión. 6.º Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla de valores. Las gráficas de las funciones racionales pueden ser: Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 5

56 Funciones de proporcionalidad inversa. Son funciones racionales cuyo k numerador es una constante,. Las gráficas de estas funciones son hipérbolas equiláteras. Ejemplo 5.- Estudia y representa las funciones siguientes: a) 9 b) 5 Ejercicio 6.- Estudia y representa las funciones: a) b) 4 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 54

57 4.- Estudio de funciones definidas a trozos En este tipo de funciones la epresión analítica depende de los tramos del dominio en los que se encuentre la variable independiente. Habrá que hacer el estudio de cada una de las funciones y adaptarlo a su dominio de definición. Debemos tener especial cuidado en los puntos de ruptura. Estudiaremos la continuidad y la derivabilidad en dichos puntos. Puede ocurrir que la función sea continua y no derivable en un punto de ruptura y que tenga un máimo o un mínimo relativo en dicho punto. Por ejemplo, f ( ) definida. Ejemplo 7.- Estudia y representa las funciones: tiene un mínimo en 0 y, sin embargo, f (0) no está a) b) c) 1 si < 1 f si si 1 ( ) 4 1< < 1 + si 0 si + > 0 si si > 0 Ejercicio 8.- Estudia y representa las funciones: si < 0 a) si 0 b) c) + 9 si si > si 1 4 si > 1 Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 55

58 5.- Estudio de una función a partir de su función derivada Para hacer el estudio de una función f() a partir de su función derivada f ( ), haremos la representación gráfica de esta última, y tendremos en cuenta lo siguiente: 1.º Sabemos que los etremos relativos de f() se encuentran entre los ceros de f ( ). Por tanto, resolveremos la ecuación: f ( ) 0.º Los intervalos de monotonía de f() coinciden con los intervalos de signo constante de f ( ). Es decir, en los intervalos en los que: f ( ) sea positiva, la función f() será creciente. f ( ) sea negativa, la función f() será decreciente..º Los intervalos de curvatura de f() coinciden con los intervalos de monotonía de f ( ). Es decir, en los intervalos en los que: f ( ) sea creciente, la función f() será convea. f ( ) sea decreciente, la función f() será cóncava. Ejemplos 9.- De las funciones f() y g() se sabe que sus funciones derivadas son, respectivamente, f ( ) + 4 y g ( ). Estudia su monotonía y sus etremos relativos De la función f() se sabe que su función derivada es f ( ). a) Estudiar la monotonía, la curvatura, los etremos relativos y los puntos de infleión de la función f(). b) Sabiendo que la gráfica de f() pasa por el punto (, ), calcula la ecuación de la recta tangente en dicho punto La figura muestra la gráfica de una función polinómica de segundo grado que pasa por el origen y que es la derivada de una función f(). Resuelve los apartados siguientes: a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). b) Determina los máimos y los mínimos relativos y los puntos de infleión de f(). c) Traza un esbozo de la gráfica de f(). Justifícalo. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 56

59 Ejercicios finales Funciones polinómicas 1.- Estudia y representa las funciones: a) b) f ( ) f ( ) Estudia y representa las funciones siguientes: a) b) f ( ) f ( ) Estudia y representa las funciones: a) b) f ( ) f ( ) Funciones racionales 15.- Estudia y representa las funciones siguientes: a) b) Funciones definidas a trozos 16.- Dada la función + 1 si 0 1 si < 0 a) Dibuja la gráfica. b) Estudia continuidad, asíntotas, monotonía y etremos. si Dada la función 1 si < a) Dibuja la gráfica. b) Estudia continuidad, asíntotas, monotonía y etremos Dada la función + si < si > 10 0, 4 a) Dibuja la gráfica. b) Estudia continuidad, asíntotas, monotonía y etremos. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 57

60 19.- Sea la función si < si < 1 si 1 a) Analiza sus etremos. b) Estudia continuidad, derivabilidad y monotonía. Calcula sus asíntotas. c) Gráfica de la función. 0.- Sea la función si < + 4 si < 4 ( 4) si 4 a) Continuidad y derivabilidad y monotonía. b) Represéntala. 1.- Dada la función si 0 f + si < + a si < ( ) 1 0 a) Calcula a para que sea continua en. b) Estudia la continuidad y la derivabilidad si a. c) Analiza sus etremos para a. d) Dibuja la gráfica si a..- Sea la función si < + 1 f + a si < si ( ) 0 a) Hallar a para que sea continua. Es derivable para dicho valor de a? b) En el caso de a, dibuja la función. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 58

61 Estudio de f() a partir de f ().- De una función conocemos que su derivada es f ( ) 1. Estudiar los intervalos de monotonía de la función y los etremos relativos. 4.- De una función sabemos que su derivada es la recta que pasa por los puntos (, 0) y (, 1). Estudiar la monotonía de dicha función. 5.- De una función conocemos que su derivada es f ( ) 1. Estudiar los intervalos de monotonía y la curvatura de la función. Sabiendo que la gráfica de f() pasa por el punto (, ), calcula la ecuación de la recta tangente en dicho punto. 6.- Sea f() una función polinómica de la que se conoce la gráfica de su función derivada f (), representada en la figura. Determina: a) Etremos relativos e intervalos de monotonía de f(). b) Puntos de infleión e intervalos de curvatura de f(). c) La gráfica aproimada de f ( ). 7.- La figura muestra la gráfica de la función derivada f ( ) de la función f ( ). Determina, a partir de la gráfica, los máimos y mínimos relativos y los puntos de infleión de f ( ), y haz su representación aproimada. Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 59