Conceptos y ejemplos básicos de Programación Dinámica

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Conceptos y ejemplos básicos de Programación Dinámica"

Transcripción

1 Coceptos y eemplos báscos de Programacó Dámca Wlso Julá Rodríguez Roas Trabao de Grado para Optar por el Título de Matemátco Drector: Pervys Regfo Regfo Igeero Uversdad Nacoal de Colomba Fudacó Uverstara Korad Lorez Facultad de Matemátcas Bogotá D.C. 005

2 Itroduccó...4 Programacó dámca...5 Eemplos de fucoes recursvas...6 Eemplo.:...6 Eemplo.:...6 Eemplos de Programacó Dámca...7 Eemplo. (El problema de la dlgeca)...7 Teorema de optmaldad... Eemplo.4: (Problema de la dstrbucó de la versó)... Eemplo.5: (Proble ma de la subdvsó óptma)...7 Eemplo.6: (Problema de Programacó Leal)... Eemplo.7: (Problema de Programacó Leal Etera)...5 Eemplo.8: (Problema de Programacó o Leal)...7 Comparacó etre los métodos basados e ecuacoes recursvas de avace y los basados e ecuacoes recursvas de retroceso... Eemplo.9:... Coclusó... Bblografía...

3 Resume Se preseta alguos resultados de la teoría matemátca de Programacó Dámca y se epoe eemplos que muestra la gra versatldad de la técca. També se muestra u esquema de demostracó del Prcpo de Optmaldad. Abstract Some results of the Mathematcal theory of Dyamc Programmg are preseted ad some of the cosequeces of these results are eposed through eamples that demostrate the great versatlty ths techque ows; There s here also cluded a demostrato scheme of the Optmal Prcple.

4 Itroduccó El presete trabao comprede la eposcó de la teoría y alguos eemplos de Programacó Dámca (P.D.). La P.D. está compredda detro de u couto de téccas matemátcas que a su vez forma parte de u área más ampla, coocda como Ivestgacó de Operacoes. Esta últma puede defrse como ua ceca terdscplara que tee por obeto la búsqueda de estrategas que permta obteer resultados óptmos e el desarrollo de actvdades por parte de sstemas hombremáqua (estos sstemas puede estar formados eclusvamete por hombres, por máquas o por ua combacó de los dos). Como se verá más adelate, los problemas propos de la P.D. so aquellos que puede ser dvddos e subproblemas, los cuales, a su vez, tee ua estructura gual al problema orgal (e este setdo podría decrse que tee ua estructura fractal ). Para este propósto, el método cosste e dvdr el problema e etapas, resolver la prmera de estas, utlzar esta solucó para resolver la etapa sguete y cotuar así sucesvamete hasta ecotrar la solucó del problema e su totaldad. So característcas esecales de la P.D. por u lado, la versatldad co respecto a la ampla gama de problemas que puede atacar y, por otra parte, que la P.D. se lmta a aportar u esquema de solucó (ya mecoado arrba) deado al geo de que resuelva el problema la costruccó del modelo matemátco para realzar la optmzacó de cada caso e partcular. E este setdo el trabao e P.D. está más e relacó drecta co la labor del matemátco que del geero, pues este últmo o ecesta compreder la base teórca e la cual descasa el procedmeto, so úcamete coocer el algortmo propo del problema partcular que pretede resolver. Para lograr la compresó de la técca el trabao se ha estructurado sobre eemplos que lustra la versatldad de la P.D., co este fí se preseta solucoes de problemas propos del trabao e Programacó Leal, Programacó Leal Etera, Programacó No Leal etc. El obetvo es más presetar la poteca de la P.D. que propoerla como la paacea de los métodos de Ivestgacó de Operacoes, pues també se verá que auque fucoa, e ocasoes la técca puede resultar mpractca al mometo de resolver problemas de certa evergadura. 4

5 Programacó dámca Las característcas propas de la Programacó Dámca (PD) como so: el o teer u tpo específco de problemas sobre el cual operar, el carecer de u algortmo estádar de solucó, etc.,hace que esta ua gra dfcultad e el mometo de tetar dar ua defcó de ella. S embargo, para comezar, se debe teer algua defcó que, auque parcal e completa, srva para r demarcado el terreo al que se crcuscrbrá este trabao. Defcó.0: La programacó dámca es u procedmeto matemátco dseñado prcpalmete para meorar la efceca de cálculo de problemas de programacó matemátca seleccoados, descompoédolos e subproblemas de meor tamaño y por cosguete mas fácles de calcular. La PD ormalmete resuelve el problema e etapas. Los cálculos e las dferetes etapas se elaza a través de cálculos recursvos de maera que se geere ua solucó óptma factble a todo el problema. Para ayudar a aclarar alguos coceptos presetes e la defcó ateror y e el trabao posteror se da las sguetes defcoes: Defcó. (Mámo): sea { a k } k,,,..., que a m es el mámo de { a k } k,,,..., m Defcó. (Mímo): sea { a k } k,,,..., que a m es el mímo de { a k } k,,,..., m ua sucesó fta, se dce = s a a = k para k =,,,...,. ua sucesó fta, se dce = s a a = k para k =,,,...,. Defcó. (Fucó Recursva): Sea f : N S, dode N es el couto de los úmeros aturales y S cualquer couto, a F se le deoma ua sucesó e S, y se deota f ( ) = s, dode s se deoma el -ésmo elemeto de la sucesó. A ua fucó se le llama fucó de recurreca s es ua sucesó dode el -ésmo elemeto se Tomado de [Tah95] 5

6 obtee a partr de u elemeto o varos elemetos aterores de la sucesó. Eemplos de fucoes recursvas Eemplo.: Iterés Compuesto Supógase que se cosga $00 e ua cueta que produce u redmeto del 5% mesual. Cuál será el moto 4 meses mas tarde?. Se defe M = moto e el -ésmo mes. Y etoces se tee M =00 0 M = M M =. 05M =,,... a la parea ( M, M =. M ), se le llama fórmula de recurreca. 0 = Y esto mplca: M =.0500 M =.05(.0500) = M =.05(.05 00) = M4 =.05(.05 00) = =.55 Eemplo.: La sucesó de Fboacc se defe segú la fórmula recursva: s = 0 s = s s s para =,,4, = + S se desarrolla la formula de recurreca geeral se obtee S = S = S4 = 5 S5 = 8 etc. 6

7 Eemplos de Programacó Dámca El sguete eemplo fue desarrollado por el profesor Harvey M. Wager cuado estaba e la uversdad de Staford co el f de lustrar los elemetos y la termología propos de la PD. Eemplo. (El problema de la dlgeca) Ua dlgeca debe atravesar el oeste estadoudese e plea febre del oro. Cada uo de los tramos de su recorrdo está cuberto por ua pólza de seguro, cuyo costo es drectamete proporcoal al resgo presete durate el vae. El recorrdo se ca e la cudad A y tee como desto la cudad J. La fgura. lustra la stuacó. Los úmeros e los arcos dca el costo de la pólza que cubre el vae etre las dos cudades, por eemplo, la pólza del vae etre A y C tee u costo de. El coductor supoe que la ruta más segura es aquella para la cual la suma total de los costos de las pólzas sea míma. B 7 4 E A 4 6 C 4 F 4 6 H J D 4 5 G I 4 Fgura. 7

8 Solucó del problema E prmer lugar debemos otar que la estratega de escoger, e cada etapa, la ruta co el costo mímo o coduce a la solucó óptma, pues al segur esta táctca se obtee la ruta A B F I J la cual tee u costo total de. S embargo u pequeño sacrfco e ua etapa puede coducr a meores resultados más adelate. Para este caso teemos que A D F ofrece u meor resultado que A B F. U procedmeto que sí coduce a ecotrar la solucó óptma es la eumeracó ehaustva de todas las posbldades, las cuales e este caso so: = 8. Se procedería de la sguete maera: Ruta. A B E H J costo total Ruta. A B E I J costo total 7 Μ Ruta 8. A D G I J costo total 5 Recuérdese que la defcó de PD habla de meorar la efceca de cálculo y por lo tato, se observa que la eumeracó ehaustva de casos o es efcete porque, por eemplo, al calcular los costos de las rutas y se repte el trabao correspodete al segmeto A B E y a su aporte al costo total, que e este caso es de 9. U procedmeto más efcete guarda este resultado termedo para evtar la redudaca e los cálculos, este es precsamete el efoque de la PD para este tpo de problemas. E prmer lugar debe otarse que cualquera que sea la solucó la dlgeca deberá realzar 4 etapas de camo. Por lo tato se resolverá el problema para cada ua de las etapas, agregado e cada paso ua etapa más hasta llegar a la prmera y co ello a la solucó del problema. S embargo, ates de comezar a resolver el problema se troducrá alguos coceptos que, auque ecesvos para este problema e partcular, (pues este problema puede resolverse desde el puto de vsta de la PD pero s tata paraferala) va ambetado los elemetos propos del efoque de la PD. Sea ( =,,) las varables de decsó que represeta la cudad por la cual deberá pasar la dlgeca e la etapa. Por eemplo, el couto de valores que puede tomar es { E, F, G }, los elemetos de este 8

9 couto se deoma estados de la etapa. Etoces la ruta seleccoada es A J. Sea f ( s, ) el costo total de la meor polítca global para las etapas aterores, dado que la dlgeca se ecuetra e la cudad s y acaba de llegar de. Dados s y, sea el valor de (o ecesaramete úco) que mmza f s, ), y sea f ( s ) el valor mímo correspodete ( de f s, ). Etoces ( e dode f ( s) = mí f s, ) = f ( s, ) () ( f ( s, ) = costo medato (etapa ) + costo mímo etapas,,..., - e otras palabras f s, ) = ( C + f ( s, ) () s Co la otacó troducda se tee que el obetvo es ecotrar f ( ). S algua de estas defcoes o ha logrado ser etedda completamete esto deberá lograrse vedo el proceso de solucó, el cual etrae la formacó de la fgura. y de las tablas que se vaya geerado: Para =, 0 = A y o este opcoes de camos para s { B, C, D} por lo tato se tee úcamete solucoes óptmas 4 J 9

10 Para = se tee, por eemplo: s f ( s) 0 B A C 4 A D A Tabla. f ( E, B) = c + EB f ( ) = 7+ = 9 B esta ecuacó tee el sguete sgfcado: el costo mímo para llegar a E desde A pasado por B es gual al costo de r de B a E ( c EB ) este dato aparece e la fgura.-más el costo mímo del vae de A hasta B ( f ( B) ) -este dato se toma de la tabla., e geeral se tomará de la tabla ateror -. De esta forma se calcula todas las etradas de la tabla.. La tabla. os permte ver ya u resultado teresate: e este mometo hemos resuelto el problema s el desto de la dlgeca fuera algua de las cudades E, F o G. Por eemplo, el costo mímo para r de A a E es de 7 ( f ( E) ) y se cosgue llegado a E desde C o D ( ), s por eemplo se llega por D la tabla. os forma que a D debe llegarse e la ruta óptma desde A, auque este últmo resultado es trval la atecó se cetra e la lógca que sgue la costruccó y lectura de las tablas. s f ( s, ) c s f ( ) B C D f ( s) E C o D F D G B o C o D Tabla. 0

11 Para = se tee Y falmete para =4 s f ( s, ) = cs + f ( ) E F G f ( s) H E I 7 7 F Tabla. s f 4 ( s, ) = cs + f ( ) H I f 4 ( s) J H o I Tabla.4 De la tabla.4 se cocluye que el costo mímo es y que puede llegarse a J tato de H como de I. S se escoge la ruta que llega por H de la tabla. se tee que la ruta óptma llega a H a través de E. A su vez la tabla. forma que este rutas óptmas que llega a E a través de C tato como de D. Falmete, s se escoge la ruta que llega a E por C la tabla. dca que la ruta optma llega a C a través de A (trval). Co la formacó ateror se cocluye que ua ruta óptma es A C E H J Aálss smlares arroa las sguetes rutas óptmas alteratvas A D E H J A D F I J Obvamete todas tee u costo total de. Nota: este msmo eemplo se ecuetra resuelto e la pága 5 de [Hl0] sguedo u procedmeto coocdo como de retroceso, el cual cosste e atacar el problema de adelate haca atrás. S embargo, se ha cosderado que el procedmeto de avace, segudo aquí, es mas tutvo. Más adelate se dscutrá las vetaas de cada uo.

12 Teorema de optmaldad El eemplo. també permte ambetar la dscusó de la base fudametal de la PD que es el llamado Teorema (o prcpo) de optmaldad, cuyo eucado es el sguete: Ua polítca óptma solo puede estar formada por subpolítcas óptmas. E eseca lo que sgfca es que las dferetes restrccoes de la solucó al problema total (polítca óptma) a cada uo de los subproblemas (subpolítca) es també solucó óptma de dcho subproblema. Acudedo al eemplo, se tee que la ruta A C E H J es ua polítca óptma y que C E H es ua subpolítca de A C E H J. Lo que afrma el teorema es que, e estas codcoes, C E H es a su vez subpolítca óptma, o sea, que es solucó óptma del subproblema que surge al cosderar como puto cal C y como desto H. La ustfcacó es tutva: supógase que la afrmacó es falsa, estrá etoces u odo X tal que C X H es meor que C E H, pero de ello surge ua cotradccó, pues e ese caso se tedría que A C X H J sería meor que A C E H J co lo cual esta últma o sería polítca óptma. Co esto se tee ua motvacó, o a ua demostracó, so a u esquema de demostracó del prcpo de optmaldad. Cosste e ua geeralzacó de lo dscutdo e el párrafo ateror: sea,,..., k,..., k+r,...., ua sucesó de solucoes óptmas a los subproblemas e los cuales se ha dvddo uo mayor o, e otras palabras, ua solucó óptma del problema geeral. Supógase además que k,..., k+r o costtuye ua solucó optma al subproblema restrgdo que las posee como varables de decsó, etoces debe estr k,..., k+r tales que costtuye ua solucó óptma del mecoado subproblema, co lo cual se tedría que,,..., k,..., k+r,...., sería ua solucó meor que,,..., k,..., k+r,...., y esto cotradce el hecho de que esta últma sea ua solucó óptma. Este esquema debe ser adaptado para que costtuya ua demostracó de cada caso partcular al cual se esté aplcado la PD. Esto últmo o debe verse como ua dfcultad gratuta, so como u paso adelate e el empeño por adqurr el domo total de las característcas del modelo matemátco partcular que se pretede aplcar.

13 Como ya se do, el eemplo. fue creado co el propósto de troducr los elemetos y la termología propos de la P.D. Se tee etoces las sguetes característcas:. El problema se puede dvdr e etapas que requere ua polítca de decsó e cada ua de ellas. Esta es quzá la prcpal característca de los problemas de P.D. y se verá que la eseca de la solucó será detfcar las etapas, e alguos eemplos, como el ateror, estas será evdetes, s embargo, se verá casos e los cuales esto o será sempre así.. Los estados so las dsttas codcoes posbles e las que se puede ecotrar el sstema e cada etapa del problema.. El procedmeto de solucó está dseñado para ecotrar ua polítca óptma para el problema completo, a partr de u procedmeto que ca aalzado ua etapa y que e cada uo de los pasos agrega ua ueva, hasta abarcar el problema e su totaldad. 4. La decsó medata óptma depede sólo del estado actual y o de cómo se llegó ahí. E el eemplo ateror, esta afrmacó se evdeca e el hecho de que e cada paso úcamete se cosultaba la tabla ateror y o el couto total de tablas. 5. El procedmeto de solucó emplea ua relacó recursva que detfca la polítca óptma para la etapa, dada la polítca óptma para la etapa -. Para el caso del eemplo ateror esta relacó teía la forma: f s, ) = ( C + f ( s, ) () s Co la ayuda de estas uevas herrametas coceptuales se atacará otro problema típco de la P.D. Eemplo.4: (Problema de la dstrbucó de la versó) Ua corporacó recbe propuestas de sus tres platas respecto a la posble epasó de las stalacoes. La corporacó tee u presupuesto de 5 mlloes de dólares para asgarlo a las tres platas. Cada plata epoe sus prop uestas dcado el costo total (C) y el greso total (R) para cada propuesta. E la tabla.5 se muestra los costos e gresos (e mlloes de dólares). Las propuestas de costo cero

14 dca la posbldad de o asgar fodo alguo a la plata. El obetvo, obvamete, es mamzar el greso total resultate. Plata Plata Plata Propuesta C R C R C R Tabla.5 Las platas defe las etapas. Las varables de decsó, y se defe de la sguete maera: = moto de captal asgado a la plata. = moto de captal asgado a las platas y. = moto de captal asgado a las platas, y. Ua solucó es ua trpla (P, P, P) dode P correspode a la propuesta que se escoge de la plata, por eemplo (,, ) sgfca escoger la propuesta para la plata, la propuesta para la plata y la propuesta para la plata ; esta solucó tedría u costo de = 4 mlloes y producría u greso de = 5 mlloes. Este solucoe o factbles como (, 4, ) pues tee u costo de 7 mlloes. Solucó del problema Como correspode al moto que se asgará a la plata, se debe cosderar todas las posbldades desde hacer = 0 lo que sgfcaría emplear los $5 mlloes e las otras dos platas, hasta hacer = 5 e cuyo caso se asgaría la totaldad de los recursos a la plata (Este últmo caso, evdetemete, o correspode a ua solucó óptma, pues la máma catdad que puede aprovechar la plata es $ mlloes). Se recurre a la sguete otacó: R ( P ) = greso de la propuesta P e la etapa. f ( ) = redmeto óptmo de las etapas,,..., dado el estado. 4

15 P = propuesta óptma asocada a f ) Por lo tato se tee ( f ( ) = má { R )} (4) propuestas factblesp ( P e esta ecuacó se relacoa dos varables dferetes: por u lado, que como ya se do correspode a la catdad asgada a la plata, y por otro lado P que represeta la propuesta que se elge de las presetadas por la plata. Depededo del valor de o todas las propuestas so factbles, por eemplo para = la propuesta P = o es factble pues tee u costo de. La tabla.6 resume la relacó de todos los posbles valores de co todos los posbles valores de P, los asterscos represeta la o factbldad de alguos casos. = R ( ) P P = P = P = ( ) Tabla.6 f P La tabla.5 forma cual es la polítca óptma que debe segurse para cada uo de los posbles valores de. Puede parecer redudate e su costruccó pues para cada estado la propuesta más alta que puede cubrrse es la que geera el mayor greso, s embargo, como ocurre e la realdad, o sempre la mayor versó geera el más alto beefco. Ahora se defe la parte faltate de la ecuacó recursva y que correspode a las etapas,,... 5

16 f ) = ( má { R P ) + f )} (5) propuestas factblesp ( ( pero como f ( ) es fucó de eclusvamete, el lado derecho també debe serlo, esto se cosgue teedo e cueta que = C ( P ) (6) dode C ( P ) es el costo de la propuesta P e la etapa. Esta ecuacó lustra la forma e que opera el procedmeto recursvo: de u dado se asga ua parte ( C ( P ) ) para cubrr la propuesta P de la etapa y la catdad restate ( = C ( P ) ) se desta a cubrr las propuestas de las etapas,,...,-. Se tee, etoces: f ) = ( má { R ( P ) + f ( C ( P ))} =,,... (7) propuestas factblesp tabulado para = R ( ) + f C ( )) P ( P P = P = P = P = 4 f ( ) P 0 0+0= = =6 8+0= =6 8+5= 9+0= =6 8+6=4 9+5=4 +0= 4 o 5 0+6=6 8+6=4 9+6=5 +5=7 7 4 Tabla.7 Como e el eemplo ateror, la tabla.5 cotee la solucó total del problema restrgdo a las dos prmeras etapas, esto es, s el problema total se lmtara a las platas y, ya estaría resuelto, pues e la fla correspodete a = 5 vemos que se obtee ua gaaca máma de 7, sguedo la propuesta 4 de la plata y como por la tabla.5 sabemos que esta tee u costo de 4 teemos = 5 4 = y para = la tabla.6 os dce que se debe segur la propuesta de la plata. Se 6

17 tedría etoces la solucó al problema reducdo (,4) que tee u costo de 5 mlloes y, como ya se do, reporta ua gaaca de 7. La tabla para la últma etapa posee solamete ua fla, pues al o haber etapas restates o debe cosderarse todas las posbldades de versó so, úcamete, el caso =5. R ( ) + f C ( )) P ( P P = P = ) f ( P = = 7 7 o Tabla.8 Se tee, por lo tato, de la tabla.8, que el greso mámo es de 7 mlloes, el cual se obtee mplemetado las propuestas o de la plata. E el caso de escogerse la propuesta la cual, segú la tabla.5 tee u costo de 0 se tee = 5 0 = 5, y e la tabla.7 se ve que para este valor de se debe mplemetar la propuesta 4 de la plata, la cual, segú la tabla.5 tee u costo de 4, co lo cual se tee = 5 4 =, falmete, la tabla.6 dca que para este valor de el procedmeto óptmo es mplemetar la propuesta de la plata. Resumedo la dscusó ateror, se tee como ua solucó optma (, 4, ). U procedmeto aálogo permte ecotrar otras dos solucoes óptmas: (,, ) y (,, ), cada ua de las cuales reporta gresos de 7 mlloes. Los dos últmos eemplos comuca la sesacó de que la P.D. cosste e la resolucó de problemas que volucra varables dscretas y que so susceptbles de ua represetacó tabular, los eemplos que se epoe a cotuacó muestra que ese o es el hecho. Eemplo.5: (Problema de la subdvsó óptma) El problema cosste e dvdr ua catdad q, mayor que cero, e partes. El obetvo es determar la subdvsó óptma de q que mamza el producto de las partes. 7

18 Solucó del problema Sea la -ésma parte de q ( =,,..., ). Etoces el problema puede epresarse de la sguete forma = mamzar p = sueto a = Se hace las sguetes defcoes: = q, > 0 para toda. La etapa represeta la -ésma parte de q.. El estado y es la parte de q que se asga a las etapas,,...,. Es evdete que, segú esta defcó, y = q.. La alteratva es la parte de q asgada a la etapa. Sea f y ) el valor óptmo de la fucó obetvo para las etapas,,... (, dado el estado y y sea el asocado co f ( y ). Por lo tato las ecuacoes recursvas asume la sguete forma f ( y ) = má{ } (8) y f y ) = má f ( y )} ( { y (9) Para = es evdete que f ) = má } ( y { = y y y por lo tato = y. Para = se debe calcular má{ f( y )} pero como f ( y ) = y etoces se tee o y f ( y ) = má ( y )} (0) { y f ( y ) = má{ y )} y () para ecotrar este mámo se acude al cálculo elemetal y se sgue el coocdo recurso de dervar e gualar a cero, como la ecuacó es de ua 8

19 parábola que abre haca abao o debe realzarse más cálculos. Se defe la fucó h como: etoces h ( ) = y () h '( ) = y () se resuelve la ecuacó h ( ) = 0 y se tee ' = / (4) y como cosecueca de esto se tee que = / (5) y que es la coocda solucó para el caso =. De dode f ( y ) = y / 4 (6) Para = se debe calcular f ) = má f ( y )} ( y { y lo cual, aplcado el resultado que se acaba de obteer para la etapa, es gual a o f ( y ) = má{ ( y ) / 4} (7) y f ( y ) = má{( y y )/ 4} (8) + y Se defe h ( ) = ( y y + )/ 4 y se procede como e el caso ateror: h ( ) = ( y 4y + ) / 4 = 0 (9) ' factorzado y traspoedo el 4 ( = y )( y ) 0 (0) 9

20 Se tee, e cosecueca, dos solucoes: = y / y = y. El cálculo de la seguda dervada permtrá determar la raíz correcta auque el modelo ya súa que se trata de la prmera. h ' '( ) =(-4 y +6 )/4 () h ' ( y / ) = y / 0 () ' < '' ( y ) = y / > 0 h () Estos resultados cofrma la predccó hecha. Se tee el sguete couto de resultados: = y / (4) f ( y ) = y /7 (5) Los cálculos realzados co =, y súa que para cada etapa los resultados sgue el sguete patró: = y (6) / ( y ) = ( y / (7) f ) Se recurrrá a la duccó matemátca para demostrar este hecho. Para = ya se tee el resultado. Supógase que se cumple para y calcúlese para +. f ( y ) = má f ( y )}(8) + + { y+ que aplcado la hpótess de duccó se trasforma e defedo ( ) f y = má (( y )/ ) } + + { y + h ) ( + ) = + (( y+ + ) / (0) (9) y hacedo los respectvos cálculos h ' ( ) = (( y ) / ) (( y ) / ) 0 () = 0

21 factorzado (( y + + ) / ) (( y+ + ) / + ) = 0 () el modelo permte descartar la posbldad = + y+ e cosecueca solo es ecesaro resolver ( = y ) / 0 () que da como resultado + = y + /( + ) (4) co lo cual se tee f ( y ) = + + y y+ + + y+ + y+ = + + (5) co lo cual falza la demostracó. Este resultado permte pasar drectamete a la evaluacó de la etapa. Para = se tee = y / = q (6) / ( ) ( ) y = y = y y / = y = q (7) la fórmula lo tato = y / permte coclur que y q = /( ) = / y por q ( ) y = y = q = q (8)

22 de dode, aplcado la msma fórmula = q / (9) esto permte calcular q y = y = q = q (40) Cotuado estos cálculos se ve que = q / para todo =,,..., y co esto se cocluye el producto mámo es ( q / ) lo cual cofrma el resultado atcpado por la fórmula (7). La utlzacó del cálculo e la solucó de este eemplo muestra que la técca de la P.D. se lmta a la descomposcó e etapas pero o dce ada acerca de la forma como se optmza el problema e cada etapa. Refrédose a esta característca de la P.D. e la pága 5 de [Hl0] aparece la sguete afrmacó: La P.D. se trata de u efoque de tpo geeral para la solucó de problemas y las ecuacoes específcas que se usa se debe desarrollar para que represete cada stuacó dvdual. Etoces, se ecesta certo grado de creatvdad y u bue coocmeto de la estructura geeral de los problemas de P.D. para recoocer cuado y como se puede resolver u problema por medo de estos procedmetos. Solucó de problemas de Programacó leal El problema mamzar z = c + c c p p Nota: este eemplo se ecuetra resuelto e la pága 45 de [Tah95] sguedo u procedmeto de retroceso, el procedmeto de avace, segudo aquí, smplfca los cálculos.

23 sueto a a a a + a + a ΛΜ Λ Λ + a m ΛΜ Λ Λ a a p p a ΛΜ Λ Λ m mp,,..., p 0 p p b p b ΛΜ Μ b puede formularse como u problema de P.D. Cada actvdad ( =,,...,p) se cosdera como ua etapa. El vel de actvdad ( 0 ) represeta la alteratva e la etapa. Como e el eemplo ateror, al tratarse de varables cotuas, cada etapa posee u úmero fto de alteratvas detro del espaco factble. Los estados puede defrse como las catdades de recursos que se asga a la etapa actual y a las aterores. Ua dfereca co los problemas resueltos hasta el mometo radca e el hecho de que al estr m recursos los estados debe represetarse co u vector de m dmesoes. Sea ( v, v,..., vm ) los estados del sstema e la etapa, o sea, las catdades de los recursos,,..., m, asgadas a las etapas,,...,. Sea f v, v,..., v ) el valor óptmo de la fucó obetvo para las ( m etapas,,..., dados los estados f v ) = (, v,..., vm v,...,, v v. Por lo tato m má 0 a v =,,..., m { m c } (4) f v ) = (, v,..., vm má 0 a v =,,..., m { c + f v a,..., v a ) }, =,,...,p (4) ( m m m dode 0 v b para todas y. Eemplo.6: (Problema de Programacó Leal) Resolver mamzar z = 0 + 6

24 sueto a , Solucó del problema A partr de (4) se tee f v, v ) = má {0 } ( v v v v Como 5 v y v se cocluye que mí, pero 5 v v como se trata de mamzar se tee = mí, y por lo tato 5 f( v, v) = 0 mí v, v (4) 5 Resta hacer los cálculos de la seguda etapa: f v ) = (, v v v 4 má 6 + 0mí, (44) 5 0 v 0 4 v pero se tee v = 05 y v = 70, etoces, 05 y4 70 lo cual equvale a 5/. Se tee f v ) = (, v má mí, / Para 0= 5/ es ecesaro resolver como solucó 0. Co lo cual se tee (45) que tee 4

25 f ( v, v) = má (46) / o de forma equvalete f ( v, v) = má (47) / E el tervalo [0,0] la fucó es crecete y por lo tato tee su mámo e = 0 co u valor de 460; e [0,5/] la fucó es decrecete de dode el mámo está també e = 0 y tee el msmo valor, de dode se cocluye que e [0,5] el mámo se localza e = 0 y tee u valor de 460. Para obteer se tee e cueta que: y pero como v = v = 05 0 = 75 v = v 4 = = 0 v v = mí, etoces = 5. 5 Ua leve varacó a procedmeto ateror permte resolver problemas de Programacó Leal etera, esto se lustra e el sguete eemplo. Eemplo.7: (Problema de Programacó Leal Etera) Resolver mamzar z =

26 sueto a , eteros o egatvos Solucó del problema f ( v, v) = má {8 } v v etero v v Como v y 5 v se cocluye que mí, además 5 tratádose de u problema de mamzacó co valores eteros se tee v = mí tato v, 5 (dode represeta la parte etera de ) y por lo f( v, v) = 8 mí v, v (48) 5 Dado que v = 8 y v = 5 para la etapa se tee : f v ) = (, v mí 5, má (49) las desgualdades 8 y 5 equvale a 7, etoces para 8 5 este rago resolvemos la desgualdad que tee como 5 solucó 0 por lo tato se tee f ( v, v) = má (50) La tabla.9 permte ecotrar la solucó de (50) 6

27 Tabla.8 se ve que el mámo se cosgue co =7 y que tee u valor de 49. Como = 8 5, mí etoces =, 0 5 mí 5 =. U procedmeto smlar al segudo e los dos eemplos aterores srve també para resolver alguos problemas de programacó o leal como se verá e el sguete eemplo. Eemplo.8: (Problema de Programacó o Leal) Resolver el problema de Programacó o Leal: mamzar z = sueto a + 0, 9 0 7

28 Solucó del problema f( v, v) = má {7 + 6} 0 v 0 v (5) etoces { }. Sea h ( ) = etoces mí v,v h '( ) = (5) se resuelve la desgualdad h '( ) 0 y se obtee como 0 7 etoces la fucó h es crecete e el rago de terés y por lo tato y { v } = (5) mí,v f ( = + (54) v, v) 7 6 Para la etapa se tee v = má { 5 + f (0,9 + } f ) (, v (55) se tee etoces, que está e el rago [0,5] y sobre él debe optmzarse. Se resuelve la desgualdad y se obtee /5 co lo cual (55) se trasforma e 5 f ( v, v) = má 5 + 7( + 7( + 9) + 0) (56) + 6( + 9) + 6( + 0) 0 /5 /5 5 que smplfcado queda /5 f ( v, v) = má (57) / 5 5 8

29 para resolver esta optmzacó se defe h ( ) = y g ( ) = etoces h ( ) = 6 96 y g ) = 66 9 ' + ( resolvedo h ' ( ) 0 y g '( ) 0 se obtee 99 y 4 46 = 4.4 co lo cual, e los tervalos que os ocupa se tee que h() es crecete e [0,/5] y g() tee u mímo detro de [/5,5] por lo tato h() tee mámo e /5 y lo tee e alguo de los etremos de [/5,5], se calcula etoces: h (/5) = 70.9 g(/5) = 70.9 g(5) = 5 de lo cual se cocluye que = / 5 = 0. y f ( v, v) = 70.9 y como etoces { 0,9 } + = mí { 9.6,9.6} = = 9.6. mí Este problema de programacó o leal també puede ser resuelto por u método gráfco que sgue la msma dea que el empleado e programacó leal. La gráfca lustra el procedmeto. 9

30 Gráfca. La parte sombreada correspode a la regó factble. També se ha grafcado la fucó obetvo co dferetes valores para z. Es evdete que al aumetar z el gráfco de la fucó obetvo crece aleádose del cetro y que su últmo puto de cotacto co la regó factble cocde co la terseccó de las rectas que correspode a las restrccoes del problema, e cosecueca el puto solucó se halla resolvedo el sstema de ecuacoes que determa las rectas: que tee como solucó de dode 0 9 = = 9.6 = 0. que cocde co la solucó ecotrada empleado P.D. La secllez de este método parece cotradecr la defcó de P.D. dada al comezo, más adelate se hará alguas coclusoes al respecto de esta observacó. 0

31 Comparacó etre los métodos basados e ecuacoes recursvas de avace y los basados e ecuacoes recursvas de retroceso U aspecto mportate de la P.D. es la dfereca e el grado de dfcultad que se preseta al resolver u problema empleado ecuacoes recursvas de avace o de retroceso. E este trabao se ha optado por las prmeras y se ha dcado además, para alguos eemplos, la bblografía e la cual se puede cosultar las solucoes que emplea ecuacoes recursvas de retroceso. La razó de ello radca e que e la mayoría de los lbros se sgue u efoque cotraro, por lo cual se ha querdo llamar la atecó sobre la otra cara de la moeda. E alguos casos, como e los eemplos tratados hasta ahora, el grado de dfcultad es gual para ambos efoques, s embargo este o es sempre el caso, como se lustra co el sguete eemplo. Eemplo.9: Al comezo del año 0 u campeso posee k oveas. Al fal de cada año decde cuátas debe veder y cuatas coservar. La gaaca obteda por la veta de ua ovea e el año es p. Las oveas que coserve duplcará su úmero e el trascurso del año. El campeso vederá todas sus oveas al cabo de años. Para el año se cosderará las sguetes varables: : = úmero de oveas coservadas y : = úmero de oveas veddas z = + y La gráfca lustra la stuacó plateada Gráfca.

32 Se tee z = k 0 = z = =,,..., Ecuacó recursva de retroceso: f f ( z ) = má { p y y = z k ( z ) = má { p y + f + ([ z y z k Ecuacó recursva de avace: y = k } f( ) = má { p y} y ]}, =,,...,- f ( ) = má { p y + f ( y k ( + y ) / etero + y }, =,,..., Al comparar las formulacoes se ve que el método de avace cluye ua codcó de tegrdad lo que costtuye ua dfcultad adcoal que o está presete e el método de retroceso. El eemplo ateror lustra que e alguos casos puede resultar coveete preferr u método al otro e pro de la smplfcacó de los cálculos. Nota: el eemplo de las oveas tee más u propósto pedagógco que uo práctco, pues se trata de u caso e el cual la solucó se ecuetra determado el meor mometo para veder las oveas y vederlas todas e ese state, para ello se determa el mayor p. E caso de presetarse u empate estrá solucoes alteratvas a la veta de todas las oveas e u state dado, pero la gaaca será la msma. Por lo tato atacar este problema co el efoque de P.D. resultaría sumamete mpráctco.

33 Coclusó Las téccas de P.D. os ha permtdo resolver, etre otros, problemas de Programacó Leal, de Programacó Leal Etera, de Programacó No Leal etc. Esto o quere decr que la P.D. costtuya ua paacea para la solucó de los problemas de todos estos campos, por dos razoes: e prmer lugar, porque las téccas de P.D. so aplcables úcamete a u couto reducdo de problemas e cada campo. Y e segudo lugar porque, auque la técca sea aplcable, al resolver problemas grades (de Programacó Leal por eemplo) el úmero de evaluacoes de todas las alteratvas crece de forma eagerada (este problema se cooce como la plaga de la dmesoaldad ) lo cual hace que este efoque sea mpráctco. S embargo, el propósto buscado al resolver este tpo de problemas o ha sdo propoer ua alteratva a los métodos estádar de solucó de tales campos (como el método símple e el caso de la Programacó Leal) so secllamete poer e evdeca la versatldad propa de la P.D. Por otra parte, cuado efreta problemas propos de su campo la P.D. aporta ua marco de procedmeto que ayuda a dsmur eormemete el eceso de trabao ocasoado por la redudaca e los cálculos a la vez que estmula la creatvdad al dear espacos e blaco que debe ser lleados al resolver cada caso e partcular. Debe emplearse la P.D. cuado la forma del problema permta dvdrlo e subproblemas que tega la msma estructura del problema orgal. També es mportate teer e cueta que el tamaño de los cálculos tega proporcoes razoables.

34 Bblografía. [Hl0] Hller Frederck, Ivestgacó de Operacoes, Méco, D.F.: McGraw-Hll (00).. [Tah95] Taha Hamdy, Ivestgacó de Operacoes, Méco, D.F.: Alfaomega (995).. [Pra00] Prawda Jua, Métodos y modelos de Ivestgacó de Operacoes, Méco, D.F.: Lmusa (000). 4

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Lus Fraco Martí {lfraco@us.es} Elea Olmedo Ferádez {olmedo@us.es} Jua Mauel Valderas Jaramllo {valderas@us.es}

Más detalles

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL Defcoes 6 ESTIMACIÓN PUNTUAL E la práctca, los parámetros de ua dstrbucó de probabldad se estma a partr de la muestra La fereca estadístca cosste e estmar los parámetros de ua dstrbucó; y e evaluar ua

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTILIDD Y RIESGO DE CRTERS Y CTIVOS TEM 3- I FUNTMENTOS DE DIRECCIÓN FINNCIER Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I RIESGO y RENTILIDD ( decsoes de versó productvas) EXISTENCI DE RIESGO ( los FNC

Más detalles

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar

Más detalles

Los principales métodos para la selección y valoración de inversiones se agrupan en dos modalidades: métodos estáticos y métodos dinámicos

Los principales métodos para la selección y valoración de inversiones se agrupan en dos modalidades: métodos estáticos y métodos dinámicos Dreccó Facera Pág Sergo Alejadro Herado Westerhede, Igeero e Orgazacó Idustral 5. INTRODUCCIÓN Los prcpales métodos para la seleccó y valoracó de versoes se agrupa e dos modaldades: métodos estátcos y

Más detalles

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ARRERA: Igeería Electromecáca ASIGNATURA: DOENTES: Ig. Norberto laudo MAGGI Ig. Horaco Raúl DUARTE INGENIERÍA ELETROMEÁNIA INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ONEPTOS

Más detalles

V Muestreo Estratificado

V Muestreo Estratificado V Muestreo Estratfcado Dr. Jesús Mellado 10 Certas poblacoes que se desea muestrear, preseta grupos de elemetos co característcas dferetes, s los grupos so pleamete detfcables e su peculardad y e su tamaño,

Más detalles

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple Ua Propuesta de Presetacó del Tema de Correlacó Smple Itroduccó Ua Coceptualzacó de la Correlacó Estadístca La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto Vsualzacó Gráfca de la Correlacó U Idcador de Asocacó:

Más detalles

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula:

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula: CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS I Meddas de localzacó Auque ua dstrbucó de frecuecas es certamete muy útl para teer ua dea global del comportameto de los datos, es geeralmete ecesaro

Más detalles

ANÁLISIS DE LA VARIANZA ANOVA COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES

ANÁLISIS DE LA VARIANZA ANOVA COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES ANÁLISIS DE LA VARIANZA COMPARACIONES MULTIPLES ENTRE MEDIAS MUESTRALES ANOVA Marta Alper Profesora Adjuta de Estadístca alper@fcym.ulp.edu.ar http://www.fcym.ulp.edu.ar/catedras/estadstca INTRODUCCION

Más detalles

(Feb03-1ª Sem) Problema (4 puntos). Se dispone de un semiconductor tipo P paralepipédico, cuya distribución de impurezas es

(Feb03-1ª Sem) Problema (4 puntos). Se dispone de un semiconductor tipo P paralepipédico, cuya distribución de impurezas es (Feb03-ª Sem) Problema (4 putos). Se dspoe de u semcoductor tpo P paraleppédco, cuya dstrbucó de mpurezas es ( x a) l = A 0 dode A y 0 so mpurezas/volume, l es u parámetro de logtud y a la poscó de ua

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó

Más detalles

Introducción a la Programación Lineal

Introducción a la Programación Lineal Itroduccó a la Programacó Leal Clauda Llaa Daza Garzó cldaza@uversa.et.co Trabajo de Grado para Optar por el Título de Matemátco Drector: Pervys Rego Rego Igeero Uversdad Nacoal de Colomba Fudacó Uverstara

Más detalles

División de Evaluación Social de Inversiones

División de Evaluación Social de Inversiones MEODOLOGÍA SIMPLIFICADA DE ESIMACIÓN DE BENEFICIOS SOCIALES POR DISMINUCIÓN DE LA FLOA DE BUSES EN PROYECOS DE CORREDORES CON VÍAS EXCLUSIVAS EN RANSPORE URBANO Dvsó de Evaluacó Socal de Iversoes 2013

Más detalles

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MÉRIDA ESTADO MÉRIDA Admstracó de la Produccó y las Operacoes II Prof. Mguel Olveros MÉTODOS

Más detalles

ANÁLISIS DE DATOS CUALITATIVOS. José Vicéns Otero Eva Medina Moral

ANÁLISIS DE DATOS CUALITATIVOS. José Vicéns Otero Eva Medina Moral ÁLISIS D DTOS CULITTIVOS José Vcés Otero va Meda Moral ero 005 . COSTRUCCIÓ D U TL D COTIGCI Para aalzar la relacó de depedeca o depedeca etre dos varables cualtatvas omales o actores, es ecesaro estudar

Más detalles

6.2.- Funciones cóncavas y convexas

6.2.- Funciones cóncavas y convexas C APÍTULO 6 PROGRAMACIÓN NO LINEAL 6..- Itroduccó a la Programacó No Leal E este tema vamos a cosderar la optmzacó de prolemas que o cumple las codcoes de lealdad, e e la fucó ojetvo, e e las restrccoes.

Más detalles

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática Ce.R.P. del Norte Rvera Julo de Departameto de Matemátca Notas para el curso de Fudametos de la Matemátca CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA. RECORDANDO CONCEPTOS: La cogrueca es ua relacó

Más detalles

1.1 INTRODUCCION & NOTACION

1.1 INTRODUCCION & NOTACION 1. SIMULACIÓN DE SISEMAS DE COLAS Jorge Eduardo Ortz rvño Profesor Asocado Departameto de Igeería de Sstemas e Idustral Uversdad Nacoal de Colomba jeortzt@ual.edu.co 1.1 INRODUCCION & NOACION Clete Servdor

Más detalles

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores

Guía práctica para la realización de medidas y el cálculo de errores Laboratoro de Físca Prmer curso de Químca Guía práctca para la realzacó de meddas y el cálculo de errores Medda y Error Aquellas propedades de la matera que so susceptbles de ser meddas se llama magtudes;

Más detalles

Juegos finitos n-personales como juegos de negociación

Juegos finitos n-personales como juegos de negociación Juegos ftos -persoales como uegos de egocacó A.M.Mármol L.Moro V. Rubales Departameto de Ecoomía Aplcada III. Uversdad de Sevlla. Avd. Ramó Caal.. 0-Sevlla. vrubales@us.es Resume Los uegos -persoales ftos

Más detalles

Tema 2: Modelos lineales de optimización con variables enteras.

Tema 2: Modelos lineales de optimización con variables enteras. Tema 2: Modelos leales de optmzacó co varables eteras. Objetvos del tema: Itroducr la programacó leal etera y los domos de aplcacó. Apreder a formular el modelo de u problema de programacó leal etera.

Más detalles

7.1. Muestreo aleatorio simple. 7.2 Muestreo aleatorio estratificado. 7.3 Muestreo aleatorio de conglomerados. 7.4 Estimación del tamaño poblacional.

7.1. Muestreo aleatorio simple. 7.2 Muestreo aleatorio estratificado. 7.3 Muestreo aleatorio de conglomerados. 7.4 Estimación del tamaño poblacional. 7 ELEMETOS DE MUESTREO COTEIDOS: OBJETIVOS: 7.. Muestreo aleatoro smple. 7. Muestreo aleatoro estratfcado. 7.3 Muestreo aleatoro de coglomerados. 7.4 Estmacó del tamaño poblacoal. Determar el dseño de

Más detalles

IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS IV Gráfcos de Cotrol por Atrbutos IV GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS INTRODUCCIÓN Los dagramas de cotrol por atrbutos costtuye la herrameta esecal utlzada para cotrolar característcas de caldad cualtatvas,

Más detalles

PROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS

PROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS PROBADO GRADORS D UMROS ALATORIOS s mportate asegurarse de que el geerador usado produzca ua secueca sufcetemete aleatora. Para esto se somete el geerador a pruebas estadístcas. S o pasa ua prueba, podemos

Más detalles

TEMA 11 OPERACIONES DE AMORTIZACION O PRESTAMO (II)

TEMA 11 OPERACIONES DE AMORTIZACION O PRESTAMO (II) Dapotva Matemátca Facera TEMA OPERACIONES DE AMORTIZACION O PRESTAMO (II). Prétamo dcado 2. Prétamo co teree atcpado. Prétamo Alemá 3. Valor facero del prétamo. Uufructo y uda propedad Dapotva 2 Matemátca

Más detalles

Topología General Capítulo 0-2 -

Topología General Capítulo 0-2 - Topología Geeral Topología Geeral apítulo - - - - Topología Geeral apítulo - 3 - Breve reseña hstórca Sus orígees está asocados a la obra de Euler, ator y Möbus. La palabra topología había sdo utlzada

Más detalles

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS MAEMÁICAS FINANCIERAS Aloso ÍNDICE. INERÉS SIMPLE 4. CONCEPOS PREVIOS... 4.2 DEFINICIÓN DE INERÉS SIMPLE... 4.3 FÓRMULAS DERIVADAS... 6.4 INERPREACIÓN GRÁFICA... 8 2. INERÉS COMPUESO 9 2. DEFINICIÓN DE

Más detalles

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS JAIRO TARAZONA MANTILLA CONSULTOR ASESOR DOCENTE FINANCIERO Y PROYECTOS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS JAIRO TARAZONA MANTILLA CONSULTOR ASESOR DOCENTE FINANCIERO Y PROYECTOS MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS JAIRO TARAZONA MANTILLA CONSULTOR ASESOR DOCENTE FINANCIERO Y PROYECTOS Bucaramaga, 2010 INTRODUCCIÓN El presete documeto es ua complacó de memoras de

Más detalles

Modelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión

Modelos de Regresión análisis de regresión diagrama de dispersión coeficientes de regresión Modelos de Regresó E muchos problemas este ua relacó herete etre dos o más varables, resulta ecesaro eplorar la aturaleza de esta relacó. El aálss de regresó es ua técca estadístca para el modelado la

Más detalles

Análisis estadístico de datos muestrales

Análisis estadístico de datos muestrales Aálss estadístco de datos muestrales M. e A. Víctor D. Plla Morá Facultad de Igeería, UNAM Resume Represetacó de los datos de ua muestra: tablas de frecuecas, frecuecas relatvas y frecuecas relatvas acumuladas.

Más detalles

A2.1 SUMA PRESENTE A SUMA FUTURA

A2.1 SUMA PRESENTE A SUMA FUTURA A2. APÉNDICE MATEMÁTICAS FINANCIERAS E este apédce se preseta las fórmulas tradcoales para hallar las sumas equvaletes e el tempo y ua coleccó de fórmulas para equvaleca de tasas omales y efectvas. Para

Más detalles

UNA PROPUESTA DE GRÁFICO DE CONTROL DIFUSO PARA EL CONTROL DEL PROCESO

UNA PROPUESTA DE GRÁFICO DE CONTROL DIFUSO PARA EL CONTROL DEL PROCESO UNA POPUESTA DE GÁFICO DE CONTOL DIFUSO PAA EL CONTOL DEL POCESO VIVIAN LOENA CHUD PANTOJA (UDV) vvalorea16@gmal.com NATHALY MATINEZ ESCOBA (UDV) atta10@gmal.com Jua Carlos Osoro Gómez (UDV) juacarosoro@yahoo.es

Más detalles

TEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS

TEMA 12 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 12.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS Tema 1 Ifereca estadístca. Estmacó de la meda Matemátcas CCSSII º Bachllerato 1 TEMA 1 INFERENCIA ESTADÍSTICA. ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 1.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL. REPASO DE TÉCNICAS BÁSICAS UTILIZACIÓN DE

Más detalles

LÍNEA DE REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA BASADA EN ERRORES RELATIVOS

LÍNEA DE REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA BASADA EN ERRORES RELATIVOS LÍNEA DE REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA BASADA EN ERRORES RELATIVOS Mercedes Alvargozález Rodríguez - malvarg@ecoo.uov.es Uversdad de Ovedo Reservados todos los derechos. Este documeto ha sdo extraído del

Más detalles

Algunas Recomendaciones para la Enseñanza de la Estadística Descriptiva o Análisis de Datos

Algunas Recomendaciones para la Enseñanza de la Estadística Descriptiva o Análisis de Datos Alguas Recomedacoes para la Eseñaza de la Estadístca Descrptva o Aálss de Datos Itroduccó Elemetos Báscos para Aplcar Estadístca Descrptva La Estadístca Descrptva o Formula Iferecas La Estadístca Descrptva

Más detalles

Guía para la Presentación de Resultados en Laboratorios Docentes

Guía para la Presentación de Resultados en Laboratorios Docentes Guía para la Presetacó de Resultados e Laboratoros Docetes Prof. Norge Cruz Herádez Departameto de Físca Aplcada I Escuela Poltécca Superor Uversdad de Sevlla Curso 0-03 6 de octubre de 0 I Itroduccó Las

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA TERCERA: APLICACIÓN DEL CALCULO MERCANTIL Y FINANCIERO A LAS OPERACIONES BANCARIAS

UNIDAD DIDÁCTICA TERCERA: APLICACIÓN DEL CALCULO MERCANTIL Y FINANCIERO A LAS OPERACIONES BANCARIAS Coceptos (cotedos soporte) Udad de trabajo sexta: Geeraldades. Retas auales costates. Retas costates fraccoadas. Retas varables. Udad de trabajo séptma Geeraldades. mortzacó de u préstamo por el sstema

Más detalles

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES NIVERSIA E BENOS AIRES FACLTA E INGENIERÍA EPARTAMENTO E IRÁLICA Cátedra de Costruccoes dráulcas Tuberías e Sere y e Paralelo Ig. Lus E. Pérez Farrás - Novembre 003 - epartameto de dráulca Cátedra de Costruccoes

Más detalles

Introducción a la simulación de sistemas discretos

Introducción a la simulación de sistemas discretos Itroduccó a la smulacó de sstemas dscretos Novembre de 6 Álvaro García Sáchez Mguel Ortega Mer Itroduccó a la smulacó de sstemas dscretos. Presetacó.. Itroduccó El presete documeto trata sobre las téccas

Más detalles

V II Muestreo por Conglomerados

V II Muestreo por Conglomerados V II Muestreo por Coglomerados Dr. Jesús Mellado 31 Por alguas razoes aturales, los elemetos muestrales se ecuetra formado grupos, como por ejemlo, las persoas que vve e coloas de ua cudad, lo elemetos

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD C. MEDIDAS DE FORMA RESUMEN: A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL So estadígrafos de poscó que so terpretados como valores

Más detalles

ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA A DE COMPUTADORES

ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA A DE COMPUTADORES Uversdad Rey Jua Carlos ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA A DE COMPUTADORES Lus Rcó Córcoles Lceso J. Rodríguez-Aragó Programa. Itroduccó. 2. Defcó de redmeto. 3. Meddas para evaluar el redmeto. 4. Programas para

Más detalles

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 1

Elaborado por: Ing. Rubén Toyama U. 1 CONTENIDO IDENTIFICACIÓN... 2 PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS... 2 PROGRAMA ANALITICO... 3 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS... 8. - Itroduccó.... 8..- Objetvos Geerales.... 9 2.- Desarrollo... 9 Prmer ecuetro...

Más detalles

GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS

GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS U paso clave e smulacó es teer rutas que geere varables aleatoras co dstrbucoes especfcas: epoecal, ormal, etc. Esto es hecho e dos fases. La prmera cosste e geerar ua

Más detalles

MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS. Antonio Morillas 1

MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS. Antonio Morillas 1 MUESTREO E POBLACIOES FIITAS Atoo Morllas Coceptos estadístcos báscos Etapas e el muestreo 3 Tpos de error 4 Métodos de muestreo 5 Tamaño de la muestra e fereca 6 Muestreo e poblacoes ftas 6. Muestreo

Más detalles

CÁLCULO FINANCIERO. Teoría, Ejercicios y Aplicaciones

CÁLCULO FINANCIERO. Teoría, Ejercicios y Aplicaciones 2 CÁLCULO FINANCIERO Teoría, Ejerccos y Aplcacoes 3 Uversdad de Bueos Ares Facultad de Cecas Ecoómcas Autores: Jua Ramó Garca Hervás Actuaro (UBA) Master e Ecoomía y Admstracó (ESEADE). Docete de Posgrado

Más detalles

Flujo de Potencia DC con Modelación de Incertidumbres Aplicado al Caso Chileno

Flujo de Potencia DC con Modelación de Incertidumbres Aplicado al Caso Chileno Fluo de Poteca DC co odelacó de Icertdumres Aplcado al Caso Chleo Resume Rodrgo Palma B. rodpalma@cec.uchle.cl Chrsta Jeldres H. celdres@cec.uchle.cl Area de Eergía Departameto de Igeería Eléctrca Uversdad

Más detalles

Propuesta para actualizar la Nota Técnica de Daños Materiales y Robo Total del Seguro de Automóviles Residentes

Propuesta para actualizar la Nota Técnica de Daños Materiales y Robo Total del Seguro de Automóviles Residentes ropuesta para actualzar la Nota Técca de Daños aterales y Robo Total del Seguro de Autoóvles Resdetes Israel Avlés Torres Novebre 99 Sere Docuetos de Trabajo Docueto de Trabajo No. 0 Ídce. Estructura Técca

Más detalles

4. ESQUELETOS Y CAMINOS OPTIMALES...

4. ESQUELETOS Y CAMINOS OPTIMALES... . INTRODUCCION.... Qué es la Ivestgacó de Operacoes... 3. I.O como apoyo a la toma de decsoes... 5.3 Problemas tpo e Ivestgacó Operatva... 7. OPTIMIZACIÓN... 9. Itroduccó... 9. Covedad... 3.3 Optmos Locales

Más detalles

Selección de una Cartera de Inversión en la Bolsa Mexicana de Valores por Medio de un Método de Programación Lineal

Selección de una Cartera de Inversión en la Bolsa Mexicana de Valores por Medio de un Método de Programación Lineal Programacó Matemátca y Software (2009) Vol.. No. ISSN: 2007-3283 Recbdo: 0 de Juo de 2008/Aceptado: 3 de Septembre de 2008 Publcado e líea: 26 de juo de 2009 Seleccó de ua Cartera de Iversó e la Bolsa

Más detalles

PARTE 2 - ESTADISTICA. Parte 2 Estadística Descriptiva. 7. 1 Introducción

PARTE 2 - ESTADISTICA. Parte 2 Estadística Descriptiva. 7. 1 Introducción Parte Estadístca Descrptva Prof. María B. Ptarell PARTE - ESTADISTICA 7- Estadístca Descrptva 7. Itroduccó El campo de la estadístca tee que ver co la recoplacó, orgazacó, aálss y uso de datos para tomar

Más detalles

CURSO REDES ELECTRICAS II 1 CAPITULO 4

CURSO REDES ELECTRICAS II 1 CAPITULO 4 CURSO REDES ELECTRICAS II FLUJO DE CARGAS. Itroduccó: CAPITULO 4 Los estudos de cargas tee ua eorme mportaca e la plafcacó de las amplacoes de u sstema de eergía, así como e la determacó del fucoameto

Más detalles

Bolsa Nacional de Valores, S.A. San José, Costa Rica

Bolsa Nacional de Valores, S.A. San José, Costa Rica SELECCIÓN DE CARTERAS DE INVERSIÓN (TEORÍA DEL PORTAFOLIO) RODRIGO MATARRITA VENEGAS * Bolsa Nacoal de Valores, S.A. Sa José, Costa Rca By ow t s evdet that MPT (moder Portfolo Theory), the theory frst

Más detalles

CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL

CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL CURSO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS CON LA HOJA DE CÁLCULO ECEL D. Fracsco Parra Rodríguez. Jefe de Servco de Estadístcas Ecoómcas y Socodemográfcas. Isttuto Cátabro de Estadístca. Dª.

Más detalles

Resumen. Abstract. Palabras Claves: Algoritmos genéticos, cartera de acciones, optimización.

Resumen. Abstract. Palabras Claves: Algoritmos genéticos, cartera de acciones, optimización. Optmzacó de ua cartera de versoes utlzado algortmos geétcos María Graca Leó, Nelso Ruz, Ig. Fabrco Echeverría Isttuto de Cecas Matemátcas ICM Escuela Superor Poltécca del Ltoral Vía Permetral Km 30.5,

Más detalles

Simulación de sistemas discretos

Simulación de sistemas discretos Smulacó de sstemas dscretos Novembre de 006 Álvaro García Sáchez Mguel Ortega Mer Smulacó de sstemas dscretos. Presetacó... 4.. Itroduccó... 4.. Sstemas, modelos y smulacó... 4.3. Necesdad de la smulacó...

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Probabldad y Estadístca Meddas de tedeca Cetral MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E la udad ateror se ha agrupado la ormacó y además se ha dado ua descrpcó de la terpretacó de la ormacó, s embargo e ocasoes

Más detalles

Técnicas básicas de calidad

Técnicas básicas de calidad Téccas báscas de caldad E esta udad aprederás a: Idetfcar las téccas báscas de caldad Aplcar las herrametas báscas de caldad Utlzar la tormeta de deas Crear dsttos tpos de dagramas Usar hstogramas y gráfcos

Más detalles

CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CURSO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA - 1 - ÍNDICE CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Tema 1: Itroduccó a la estadístca - 1.1. Itroducc ó a la estadístca descrptva - 1.2. Nocoes báscas o 1.2.1.

Más detalles

ESTADÍSTICA poblaciones

ESTADÍSTICA poblaciones ESTADÍSTICA Es la parte de las Matemátcas que estuda el comportameto de las poblacoes utlzado datos umércos obtedos medate epermetos o ecuestas. ESTADÍSTICA La Estadístca tee dos ramas: La Estadístca descrptva:

Más detalles

SELECCIONANDO LA CARTERA DE UN INVERSOR MEDIANTE PROGRAMACIÓN POR METAS LEXICOGRÁFICAS ENTERA

SELECCIONANDO LA CARTERA DE UN INVERSOR MEDIANTE PROGRAMACIÓN POR METAS LEXICOGRÁFICAS ENTERA SELECCIONANDO LA CARTERA DE UN INVERSOR MEDIANTE PROGRAMACIÓN POR METAS LEXICOGRÁFICAS ENTERA Nura Padlla Garrdo Departameto de Ecoomía Geeral y Estadístca Uversdad de Huelva padlla@uhu.es Flor María Guerrero

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIONES DE AMORTIZACION : PRESTAMOS A INTERES VARIABLE 3.1.-CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE :

TEMA 3.- OPERACIONES DE AMORTIZACION : PRESTAMOS A INTERES VARIABLE 3.1.-CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS A INTERÉS VARIABLE : Dpto. Ecoomía Facera y otabldad Pla de Estudos 994 urso 008-09. TEMA 3 Prof. María Jesús Herádez García. TEMA 3.- OPERAIONES DE AMORTIZAION : PRESTAMOS A INTERES VARIABLE 3..-LASIFIAIÓN DE LOS PRÉSTAMOS

Más detalles

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna

3 = =. Pero si queremos calcular P (B) 2, ya que si A ocurrió, entonces en la urna arte robabldad codcoal rof. María. tarell - robabldad codcoal.- Defcó Supogamos el expermeto aleatoro de extraer al azar s reemplazo dos bolllas de ua ura que cotee 7 bolllas rojas y blacas. summos que

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate

Más detalles

Paola Caymes-Scutari, Anna Morajko, Eduardo César, José G. Mesa, Genaro Costa, Tomàs Margalef, Joan Sorribes, Emilio Luque

Paola Caymes-Scutari, Anna Morajko, Eduardo César, José G. Mesa, Genaro Costa, Tomàs Margalef, Joan Sorribes, Emilio Luque Etoro de Desarrollo y Stozacó de Aplcacoes Master/Worker Paola Caymes-Scutar, Aa Morajko, Eduardo César, José G. Mesa, Gearo Costa, Tomàs Margalef, Joa Sorrbes, Emlo Luque Departameto de Arqutectura de

Más detalles

Control estadístico de procesos. Control de procesos. Definición de proceso bajo control estadístico. Causas de la variabilidad en un proceso

Control estadístico de procesos. Control de procesos. Definición de proceso bajo control estadístico. Causas de la variabilidad en un proceso Cotrol de procesos Hstórcamete ha evolucoado e dos vertetes: Cotrol automátco de procesos (APC) empresas de produccó cotua (empresas químcas) Cotrol estadístco de procesos (SPC) e sstemas de produccó e

Más detalles

Gestión de operaciones

Gestión de operaciones Gestó de operacoes Modelado de restrccoes co varables baras Modelado de programacó o leal Pedro Sáchez pedro.sachez@upcomllas.es Cotedo Restrccoes especales Restrccoes lógcas Productos de varables Modelos

Más detalles

Modelo Matemático Multiobjetivo para la Selección de una Cartera de Inversión en la Bolsa Mexicana de Valores

Modelo Matemático Multiobjetivo para la Selección de una Cartera de Inversión en la Bolsa Mexicana de Valores Modelo Matemátco Multobjetvo para la Seleccó de ua Cartera de Iversó e la Bolsa Mexcaa de Valores José Crspí Zavala-Díaz, Marco Atoo Cruz-Chavez, Jorge Ruz Vaoye 3, Martí H. Cruz-Rosales 4 Facultad de

Más detalles

Teoría de carteras de inversión para la diversificación del riesgo: enfoque clásico y uso de redes neuronales artificiales (RNA)

Teoría de carteras de inversión para la diversificación del riesgo: enfoque clásico y uso de redes neuronales artificiales (RNA) Teoría de carteras de versó para la dversfcacó del resgo: efoque clásco y uso de redes euroales artfcales (RNA) Ivestmet portfolo theory ad rsk dversfcato: classc ad eural etworks methodology D. Cot* y

Más detalles

Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 2: Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados por Valor Simple

Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 2: Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados por Valor Simple 1 Curso de Estadístca Udad de Meddas Descrptvas Leccó 2: Meddas de Tedeca Cetral para Datos Agrupados por Valor Smple Creado por: Dra. Noemí L. Ruz Lmardo, EdD 2010 Derechos de Autor 2 Objetvos 1. Calcular

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PUNTES DOCENTES SIGNTUR: MTEMTICS FINNCIERS PROFESORES: MRIN JIMES CRLOS JVIER SRMIENTO LUIS JIME DEPRTMENTO DE CIENCIS BÁSICS VERSION: 2-20 QUÉ ES MTEMÁTICS FINNCIERS? Hace alguos años éste era u tema

Más detalles

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temátco: Estadístca y Probabldades Empezaremos este breve estudo de estadístca correspodete al cuarto año de Eseñaza Meda revsado los dferetes tpos de gráfcos.. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Más detalles

METODOLOGÍA DE CÁLCULO DE LAS TASAS DE INTERÉS PROMEDIO

METODOLOGÍA DE CÁLCULO DE LAS TASAS DE INTERÉS PROMEDIO METODOLOGÍA DE CÁLCULO DE LAS TASAS DE INTERÉS PROMEDIO Nota: A partr del de julo de 200, las empresas reporta a la SBS formacó más segmetada de las tasas de terés promedo de los crédtos destados a facar

Más detalles

CAPÍTULO III. METODOLOGÍA. De acuerdo con la clasificación de Amartya Sen (2001), las medidas de desigualdad se

CAPÍTULO III. METODOLOGÍA. De acuerdo con la clasificación de Amartya Sen (2001), las medidas de desigualdad se CAPÍTULO III. METODOLOGÍA III. Tpos de Medcó De acuerdo co la clasfcacó de Amartya Se (200), las meddas de desgualdad se puede catalogar e u setdo objetvo o ormatvo. E el setdo objetvo se utlza algua medda

Más detalles

Apuestas deportivas por Internet

Apuestas deportivas por Internet Autor: Davd Serrao Martíez 22/0/2009 Apuestas deportvas por Iteret Aputes y relexoes Itroduccó Durate el últmo trmestre de 2005, u grupo de compañeros de trabajo y amgos decdmos motar ua suerte de peña

Más detalles

2. Calcular el interés que obtendremos al invertir 6.000 euros al 4% simple durante 2 años. Solución: 480 euros

2. Calcular el interés que obtendremos al invertir 6.000 euros al 4% simple durante 2 años. Solución: 480 euros . alcular el motate que obtedremos al captalzar 5. euros al 5% durate días (año cvl y comercal). Solucó: 5., euros (cvl); 5.,5 euros (comercal). 5. o ' 5,5 5,8 5,5 ' 5. 5.,5) 5,5) 5., 5.,5. alcular el

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Fracsco Álvarez Gozález fracsco.alvarez@uca.es Bajo el térmo Estadístca Descrptva se egloba las téccas que os permtrá

Más detalles

Tema 2: Distribuciones bidimensionales

Tema 2: Distribuciones bidimensionales Tema : Dstrbucoes bdmesoales Varable Bdmesoal (X,Y) Sobre ua poblacó se observa smultáeamete dos varables X e Y. La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) es el cojuto de valores {(x, y j ); j } 1,, p;

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ENCUESTAS COMPLEJAS 1

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ENCUESTAS COMPLEJAS 1 63 ITRODUCCIÓ AL AÁLISIS DE ECUESTAS COMPLEJAS MARCELA PIZARRO BRIOES ISTITUTO ACIOAL DE ESTADÍSTICA (IE CHILE Para presetarse e el Taller Regoal del MECOVI: La Práctca del Muestreo para el Dseño de las

Más detalles

Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente.

Serie de Gradiente (Geométrico y Aritmético) y su Relación con el Presente. Sere de radete (eométrco y rtmétco) y su Relacó co el resete. Certos proyectos de versó geera fluos de efectvo que crece o dsmuye ua certa catdad costate cada período. or eemplo, los gastos de matemeto

Más detalles

COMENTARIOS Y ANÁLISIS DEL FACTOR DE PRODUCTIVIDAD PROPUESTO POR OSIPTEL PARA EL PLAN DE REGULACIÓN POR PRECIOS TOPE 2004 2007

COMENTARIOS Y ANÁLISIS DEL FACTOR DE PRODUCTIVIDAD PROPUESTO POR OSIPTEL PARA EL PLAN DE REGULACIÓN POR PRECIOS TOPE 2004 2007 OMNTARIOS Y ANÁLISIS DL FATOR D PRODUTIVIDAD PROPUSTO POR OSIPTL PARA L PLAN D RGULAIÓN POR PRIOS TOP 2004 2007 APLIAIÓN D LA VARIABL M por Davd. M. Sappgto RSUMN JUTIVO ste forme preseta ua evaluacó de

Más detalles

GUÍA PRÁCTICA PARA LA VALIDACIÓN, EL CONTROL DE CALIDAD Y LA ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE UN MÉTODO DE ANÁLISIS ENOLÓGICO ALTERNATIVO

GUÍA PRÁCTICA PARA LA VALIDACIÓN, EL CONTROL DE CALIDAD Y LA ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE UN MÉTODO DE ANÁLISIS ENOLÓGICO ALTERNATIVO RESOLUCIÓN OENO 0/005 GUÍA PRÁCTICA PARA LA VALIDACIÓN, EL CONTROL DE CALIDAD Y LA ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE UN MÉTODO DE ANÁLISIS ENOLÓGICO ALTERNATIVO LA ASAMBLEA GENERAL, Vsto el artículo, párrafo

Más detalles

Valoración de opciones de compra y venta del quintal de café en el mercado ecuatoriano

Valoración de opciones de compra y venta del quintal de café en el mercado ecuatoriano Valoracó de opcoes de compra y veta del qutal de café e el mercado ecuatorao Adrá Morocho Pérez, Ferado Sadoya Sachez Igeero e Estadístca Iformátca 003 Drector de Tess, Matemátco, Escuela Poltécca Nacoal,

Más detalles

ANÁLISIS DE LA VARIANZA Es coocdo que ua varable aleatora Y se puede cosderar como suma de ua costate μ de ua varable aleatora ε, que represeta el error aleatoro: μ ε Este modelo se adapta be a datos de

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS Uverstat de les Illes Balears Col.leccó Materals Ddàctcs INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PARA ECONOMISTAS Joaquí Alegre Martí Magdalea Cladera Muar Palma, 00 ÍNDICE INTRODUCCIÓN: Qué es...? Qué

Más detalles

Introducción a la Transformada Wavelet DESCOMPOSICIÓN DE SEÑALES

Introducción a la Transformada Wavelet DESCOMPOSICIÓN DE SEÑALES Itroduccó a la Trasformada Wavelet DESCOMPOSICIÓN DE SEÑALES Trasformada Wavelet Curso 006 Itroduccó Para ua mejor compresó de los capítulos sguetes desarrollaremos aquí alguos coceptos matemátcos ecesaros

Más detalles

III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (1)

III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (1) III. Gráfcos de Cotrol por Varables () III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES () INTRODUCCIÓN E cualquer proceso productvo resulta coveete coocer e todo mometo hasta qué puto uestros productos cumple co

Más detalles

ESTIMADORES DE VARIANZA EN REGRESIÓN NO PARAMÉTRICA BASADOS EN SUCESIÓN DE DIFERENCIAS

ESTIMADORES DE VARIANZA EN REGRESIÓN NO PARAMÉTRICA BASADOS EN SUCESIÓN DE DIFERENCIAS 5 ESTIMADORES DE VARIANZA EN REGRESIÓN NO PARAMÉTRICA BASADOS EN SUCESIÓN DE DIFERENCIAS María C. Paz Sabogal Profesor Auxlar. Uversdad del Valle, Escuela de Igeería Idustral Estadístca, Cal. karo.paz@gmal.com

Más detalles

INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA

INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA INTRODUION A LA GEOESTADISTIA 7 3' W MAR ARIBE Boca de la Barra 3 larí 8 6 4 Grade R Sevlla 8 6 R Aracataca 45' N 4 R Fudaco Teoría y Aplcacó UNIVERSIDAD NAIONAL DE OLOMBIA Sede Bogotá Facultad de ecas

Más detalles

Análisis amortizado. Técnicas Avanzadas de Programación - Javier Campos 205

Análisis amortizado. Técnicas Avanzadas de Programación - Javier Campos 205 Aálss amortzado Téccas Avazadas de Programacó - Javer Campos 205 Aálss amortzado El pla: Coceptos báscos: Método agregado Método cotable Método potecal Prmer ejemplo: aálss de tablas hash dámcas Motículos

Más detalles

CÁLCULO DEL ANCHO DE BANDA EFECTIVO PARA UN FLUJO MARKOVIANO CON TASAS DE TRANSFERENCIA CONTINUAS

CÁLCULO DEL ANCHO DE BANDA EFECTIVO PARA UN FLUJO MARKOVIANO CON TASAS DE TRANSFERENCIA CONTINUAS CÁLCULO DEL ANCHO DE BANDA EFECTIVO PARA UN FLUJO MARKOVIANO CON TASAS DE TRANSFERENCIA CONTINUAS Beatrz Marró Uversdad Nacoal del Sur, beatrz.marro@us.edu.ar Resume: El objetvo de este trabajo es geeralzar

Más detalles

EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y CORRELACIONES ESPÚREAS Erick Lahura Enero, 2003

EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y CORRELACIONES ESPÚREAS Erick Lahura Enero, 2003 8 EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN CORRELACIONES ESPÚREAS Erck Lahura Eero, 3 DOCUMENTO DE TRABAJO 8 http://www.pucp.edu.pe/ecooma/pdf/ddd8.pdf EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN CORRELACIONES ESPÚREAS Erck Lahura

Más detalles

4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN

4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN 4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co

Más detalles

Capitalización, actualización y equivalencia financiera en capitalización compuesta

Capitalización, actualización y equivalencia financiera en capitalización compuesta Captalzacó, actualzacó y equvaleca facera e captalzacó compueta 5 E eta Udad aprederá a: 2 3 4 5 Decrbr lo efecto eecale de la captalzacó compueta. Reolver problema facero e captalzacó compueta. Dferecar

Más detalles

TÉCNICAS DE ANÁLISIS ECONÓMICO INPUT-OUTPUT

TÉCNICAS DE ANÁLISIS ECONÓMICO INPUT-OUTPUT TÉCNICAS DE ANÁLISIS ECONÓMICO INPUT-OUTPUT Mguel Ágel Taracó Morá Doctor e CC Ecoómcas y Empresarales Profesor Asocado de Ecoometría Uversdad de Castlla La Macha Toledo, Marzo de 2003 Título: Téccas de

Más detalles

Distribución conjunta de variables aleatorias

Distribución conjunta de variables aleatorias FCEyN - Estadístca para Quíca - do. cuat. 006 - Marta García Be Dstrbucó cojuta de varables aleatoras E uchos probleas práctcos, e el so expereto aleatoro, teresa estudar o sólo ua varable aleatora so

Más detalles

Ampliación de Redes de Telefonía Básica

Ampliación de Redes de Telefonía Básica Amplacó de Redes de Telefoía Básca Carlos D. Almeda Uversdad Nacoal de Asucó. Sa Lorezo, Paraguay cdad@eee.org Nlto R. Amarlla Uversdad Nacoal de Asucó. Sa Lorezo, Paraguay dmatest@copaco.com.py Bejamí

Más detalles

SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE VALORES MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS MULTIOBJETIVO INTERACTIVOS A DATOS REALES DE LA BOLSA ESPAÑOLA

SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE VALORES MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS MULTIOBJETIVO INTERACTIVOS A DATOS REALES DE LA BOLSA ESPAÑOLA Seleccó de ua cartera de valores medate la aplcacó de métodos multobjetvo teractvos... SELECCIÓN DE UNA CARTERA DE VALORES MEDIANTE LA APLICACIÓN DE MÉTODOS MULTIOBJETIVO INTERACTIVOS A DATOS REALES DE

Más detalles