DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matemático I EXAMEN FINAL Enero de 2008 APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I.

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1 DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA E HISTORIA ECONÓMICA Análisis Matmático I EXAMEN FINAL Enro d 008 APELLIDOS: NOMBRE: D.N.I. GRUPO (A/B/C): CUESTIONARIO DE RESPUESTA MÚLTIPLE (50%) (Cada rspusta incorrcta rsta 0, puntos) El lím( sn ln ) 0 val: a) 0; b) c) Ninguna d las antriors. La función f ( ) ( + )( ) tin: a) Un máimo n. b) Un punto d inflión n. c) Un punto d inflión n. La función f ( ) sn cumpl: a) Corta al j OX n algún punto > π/ b) Corta al j OX n algún punto < π/ c) Nunca corta al j OX cos La función f ( ) tin: a) Una asíntota vrtical y otra horizontal. b) Sólo una asíntota horizontal. c) No tin asíntotas. El polinomio d Taylor d º grado d la función f ( ) ln( + ) n l punto 0 s: ( + ) ( + ) ( + ) a) P ( ) ( + ) + + +!!! b) P( ) + c) P ( ) + La intgral d vrifica: a) No pud calculars ya qu uno d sus límits s. b) Convrg a. c) Convrg a /. Usando l polinomio d Taylor d grado dos d la función f ( ) + s pud stimar qu: a), +, b), +, c) Ninguna d las antriors. La cuación d la rcta tangnt a la función f ( ) n l punto d abscisa s: a) y ( ) b) y + c) Ninguna d las antriors, dicha cuación s: La discontinuidad, n l punto 0, d la función f ( ) pud vitars dfinindo: a) f ( 0) / b) f ( 0) / c) Dicha discontinuidad no pud vitars. 5 + sn( a) si 0 La función f ( ) a + b + b si > 0 vrifica: a) Es continua n 0 cuando a 5/. b) Es drivabl n 0 cuando b a 5. c) En 0 nunca pud sr drivabl.

2 PROBLEMAS:. Haz un sbozo d la función f ( ) (0,75 puntos) y calcula l ára ncrrada ntr la curva d f () y l j OX (0,75 puntos).. Calcula las siguints intgrals: d a) (0,6 puntos) b) d + 6 ln (0,5 puntos) ( ) c) d (0, puntos) ( + ). Dada la función f ( ), halla: a) Dominio d dfinición y asíntotas. (0, puntos) b) Intrvalos d crciminto y dcrciminto. (0,7 puntos) c) Etrmos locals y los puntos d inflión. (0,5 puntos) d) Un sbozo gráfico.(0,5 puntos)

3 ANÁLISIS MATEMÁTICO I PREGUNTAS DE TEST lím sn ln val:. El ( ) 0 a) 0; b) c) Ninguna d las antriors. ln sn 0 lím( sn ln ) [0 ] lím 0 0 lím lím 0 cos 0 cos sn sn sn cos 0 lím 0 0 cos sn ENERO 08 (Solucions). La función f ( ) ( + )( ) tin: a) Un máimo n. b) Un punto d inflión n. c) Un punto d inflión n. f ( ) ( + )( ) f ( ) ( ) + ( + )( ) 5( ) ( + ) f ( ) 5( ) ( + ) + 5( ) 0( ) ( + ). La función f ( ) sn cumpl: a) Corta al j OX n algún punto > π/ b) Corta al j OX n algún punto < π/ c) Nunca corta al j OX La función s continua n todo R; por tanto cumpl l torma d Bolzano dsd hasta +. π / π Como f ( π / ) sn < 0 y π f ( π) snπ > 0 la función s anula n algún π / π ntr π/ y π. cos. La función f ( ) tin: a) Una asíntota vrtical y otra horizontal. b) Sólo una asíntota horizontal. c) No tin asíntotas. cos 0 sn lím lím No hay A.V. 0 cos lím 0 y 0 s una asíntota horizontal.

4 5. El polinomio d Taylor d º grado d la función f ( ) ln( + ) n l punto 0 s: a) b) c) ( + ) ( + ) P ( ) ( + ) + +!! P( ) + P ( ) + ( + ) +! f ( ) ln( + ) f ( ) ln( + ) + f ( ) ( + ) ( 6 f ( ) f ( ) + 8 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( Lugo: f ( 0) 0 ; f ( 0) 0; f ( 0) ; f ( 0) ; f ( ) 8 Por tanto, P + ( ) 6. La intgral d vrifica: a) No pud calculars ya qu uno d sus límits s. b) Convrg a. c) Convrg a /. d t lím d lím lím + t t t t t 7. Usando l polinomio d Taylor d grado dos d la función f ( ) + s pud stimar qu: a), +, b), +, c) Ninguna d las antriors. Calculamos l polinomio d Taylor d grado f ( ) + / f ( ) ( + ) / f ( ) ( + ) Lugo: f ( 0) ; f ( 0) ; f ( 0) ; Por tanto, P( ) + Para 0, /5, s tin f ( 0,) 0, +, P(0,) + 5 5

5 8. La cuación d la rcta tangnt a la función a) y ( ) f ( ) n l punto d abscisa s: b) y + c) Ninguna d las antriors, dicha cuación s: a) La cuación d la rcta tangnt a la función y f () n l punto d abscisa a vin dada por la prsión: y f ( a) f ( a)( a) En st caso: f ( ) f ( ) ; f ( ) f ( ). Por tanto, la rcta tangnt s: y ( ) y + 9. La discontinuidad, n l punto 0, d la función a) f ( 0) / b) f ( 0) / c) Dicha discontinuidad no pud vitars. f ( ) pud vitars dfinindo: La discontinuidad s vita dfinindo f (0) lím f ( ) 0 lím 0 0 ( ) 0 L H lím Lugo f ( 0) / 5 + sn( a) si 0 0. La función f ( ) vrifica: a + b + b si > 0 a) Es continua n 0 cuando a 5/. b) Es drivabl n 0 cuando b a 5. c) En 0 nunca pud sr drivabl. Continuidad n 0: Si 0, f() 5 Si 0 +, f() b b sn( a) si 0 Por tanto, f ( ). a si > 0 Drivabilidad: a cos( a) si < 0 Salvo n 0, f ( ) a + 5 si > 0 Si 0, f () a Si 0 + 5, f () 5 a 5 a.

6 PROBLEMAS:. Haz un sbozo d la función f ( ) (0,75 puntos) y calcula l ára ncrrada ntr la curva d f () y l j OX (0,75 puntos). f ( ) f ( ) ;. Si <, f () > 0 f () crc. Si < <, f () < 0 f () dcrc En hay máimo. Si >, f () > 0 f () crc En hay mínimo. Algunos valors: (, ), (0, 0), (, ), (, 0), (, ) El sbozo s l siguint. La función corta al j n los puntos 0 y ; por tanto, l ára pdida val 9 7 S ( 6 + 9) d Calcula las siguints intgrals: d a) (0,6 puntos) b) d + 6 ln ( ) (0,5 puntos) c) d (0, puntos) a) Por dscomposición n fraccions simpls: A B A( + ) + B( ) ( )( + ) Lugo: A ( + ) + B( ) si : 5A A /5 si : 5B B /5 Por tanto: d + 6 / 5 / 5 d d d ln( ) ln( + ) + c b) Una primitiva d sa función pud calculars por l método d parts. Tomando: u ln du d dv d v s tin qu, ln d d ln ( ln ) + c c) Oprando: ( ) d d d d + 9 d 9 + ln + c 8

7 ( + ). Dada la función f ( ), halla: a) Dominio d dfinición y asíntotas. (0, puntos) b) Intrvalos d crciminto y dcrciminto. (0,7 puntos) c) Etrmos locals y los puntos d inflión. (0,5 puntos) d) Un sbozo gráfico.(0,5 puntos) a) Dominio R: l dnominador nunca s anula. ( + ) ( + ) Tin una asíntota horizontal, pus: lím lím lím 0 La asíntota s la rcta y 0. b) Drivando: ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( ) f ( ) f ( ) La drivada s anula n los puntos y. Si <, f () < 0 f () dcrc. Si < <, f () > 0 f () crc. En conscuncia, n s tin un mínimo. Si >, f () < 0 f () dcrc. Por tanto, n s tin un máimo. c) (Para la dtrminación d máimos y mínimos también pud utilizars la drivada sgunda.) ( ) f ( ) Como f ( ) / > 0, n hay un mínimo. Por sr f ( ) / < 0, n s tin un máimo. La drivada sgunda s anula cuando 0 + y. Para sos valors d s tinn sndos puntos d inflión. d) Calculando l valor d f () n algunos puntos s pud hacr un sbozo d la curva. 0 f () 0 /,7 8/,08 5/ 0,6 Con todo lo antrior s traza la siguint curva.