Acústica. Ondas mecánicas y sonido. Marc Figueras Atienza PID_

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1 Acústica Ondas mecánicas y sonido Marc Figueras Atienza PID_

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3 CC-BY-SA PID_ Acústica Índice Introducción Objectivos Acústica Las ondas acústicas Características del sonido Los ultrasonidos Los infrasonidos Qué hemos aprendido? Percepción de estímulos físicos Una descripción fenomenológica: la ley de Weber-Fechner Fisiología del oído humano Percepción del sonido Nivel de intensidad sonora y decibelios Sensación sonora y fonios Acústica musical Qué hemos aprendido? Problemas resueltos Enunciados Soluciones Resumen Ejercicios de autoevaluación Solucionario Glosario Bibliografía

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5 CC-BY-SA PID_ Acústica Introducción En el módulo Ondas habéis estudiado con bastante detalle las ondas de manera general; habéis visto cómo se puede describir cualquier tipo de onda y cuáles son sus características principales. Un paso lógico en este momento es empezar a estudiar casos particulares con más detalle. Equipados con los conocimientos del módulo Ondas podéis pasar a estudiar ahora los diversos tipos de ondas y ver qué propiedades específicas tienen. Esto es lo que haréis en este módulo y en los siguientes. Empezaréis con un estudio más detallado de las ondas acústicas o sonoras, es decir, el sonido y, posteriormente, en los módulos siguientes, haréis lo mismo con otro tipo de ondas: las ondas electromagnéticas y, en particular, la luz. Las ondas acústicas nos resultan especialmente interesantes porque nosotros, los seres humanos, somos capaces de detectar y analizar de manera natural ondas acústicas de unas determinadas frecuencias. Esto lo conseguimos con el órgano del oído, que es un instrumento muy fino para analizar intensidades y frecuencias. De hecho, es tan preciso en este aspecto que nuestra comunicación natural, el habla, se hace mediante ondas acústicas. Esto da pie a que valga la pena hacer un estudio, básicamente cualitativo, de cómo funciona el oído humano y de cómo los seres humanos percibimos, en general, los estímulos físicos que nos llegan.

6 CC-BY-SA PID_ Acústica Objectivos Los objetivos que debe alcanzar el estudiante una vez trabajados los contenidos de este módulo son: 1. Saber qué tipo de ondas son las ondas acústicas y cómo se propagan. 2. Conocer y poder interpretar la ecuación de ondas para las ondas sonoras. 3. Relacionar lo que se estudia en este módulo con lo que se ha estudiado, de modo más general, en el módulo Ondas. 4. Poder caracterizar una onda sonora mediante sus parámetros básicos, como la altura, la intensidad y el timbre. 5. Tener una idea cualitativa de los ultrasonidos y los infrasonidos. 6. Saber cómo los seres humanos percibimos los estímulos físicos y cómo se puede caracterizar este proceso mediante leyes fenomenológicas. 7. Tener unos conocimientos básicos sobre la anatomía y la fisiología del oído humano. 8. Tener claro el significado de las magnitudes intensidad, nivel de intensidad sonora e intensidad percibida. 9. Tener clara la interpretación física de la magnitud correspondiente al nivel de intensidad sonora: el decibelio, y saber las limitaciones que tiene para expresar la sensación del sonido y cómo se pueden corregir.

7 CC-BY-SA PID_ Acústica 1. Acústica. Ahora que ya estamos equipados con suficientes conocimientos sobre las ondas, podemos pasar a estudiar con más detalle un tipo particular de ondas: las ondas acústicas o sonoras, es decir, el sonido. En el módulo Ondas se estudian con bastante detalle las ondas de manera general Las ondas acústicas Las ondas acústicas son ondas mecánicas longitudinales que se pueden propagar en sólidos y en fluidos. Las ondas mecánicas transversales no pueden propagarse en fluidos, pero sí en sólidos y, a veces, también se conocen con el nombre de ondas acústicas. En este estudio, sin embargo, nos limitaremos a las ondas acústicas longitudinales, que son las más habituales. Las ondas acústicas se tratan brevemente en el subapartado 1.2. del módulo Ondas.. Se consideran sonido las ondas mecánicas longitudinales con una frecuencia comprendida entre 20 y Hz y una intensidad superior a W/m 2, que son las que puede detectar el oído humano. Las ondas mecánicas de frecuencias superiores son los ultrasonidos, mientras que las de frecuencias inferiores son los infrasonidos. Para estudiar las ondas acústicas empezaremos haciéndonos las siguientes preguntas: qué pasa cuando se produce un sonido? qué quiere decir exactamente producir un sonido? cuáles son los elementos importantes para describir la propagación del sonido? cómo se produce el fenómeno? Básicamente, lo que ocurre cuando se produce un sonido es que un objeto en un punto del espacio se mueve y este movimiento provoca una perturbación en el aire que lo rodea. Sin embargo, si el objeto se mueve lentamente, el aire simplemente fluye a su alrededor y no provoca ninguna perturbación que se propague. El objeto debe moverse rápidamente; de hecho, lo suficientemente rápido como para que el aire no tenga tiempo de fluir alrededor del objeto. Esta perturbación se propaga en forma de onda y eventualmente puede llegar a algún dispositivo que la detecte, como por ejemplo nuestro oído. Muy bien, pero, de qué tipo de perturbación estamos hablando? En el caso del sonido se trata de un desplazamiento del aire (o, mejor dicho, de las moléculas de los compuestos que forman el aire): las moléculas del aire se Composición del aire atmosférico El aire normal atmosférico es una mezcla de varios compuestos químicos. En concreto, está formado por un 78 % de moléculas de nitrógeno (N 2 ), un 21 % de moléculas de oxígeno (O 2 ), un 1 % de argón (Ar) y entre un 1 % y un 4 % de moléculas de agua (H 2 O), además de muchas otras moléculas en cantidades muy pequeñas.

8 CC-BY-SA PID_ Acústica desplazan y se acumulan en una zona, después vuelven a desacumularse y así sucesivamente, en un movimiento vibratorio. Este desplazamiento del aire está asociado a un cambio de densidad y un cambio de presión. Por eso decíamos hace un momento que el objeto que provoca el sonido se tiene que mover bastante rápidamente: si no lo hace, el aire simplemente fluye a su alrededor y no hay ningún cambio de densidad ni de presión alrededor del objeto. En la figura 1 podéis ver un dispositivo simple que genera ondas mecánicas longitudinales en un fluido, como el sonido. Tenemos un pistón que se puede mover adelante y atrás en un tubo. En la figura 1a el pistón está en reposo y no pasa nada. En la figura 1b el pistón se mueve adelante rápidamente y provoca un aumento repentino de densidad y de presión en la zona inmediatamente adyacente del fluido (debajo del tubo podéis ver una gráfica que indica la presión del fluido en función de la distancia x al pistón). En las figuras siguientes 1c, 1d y 1e podéis ver que este aumento de presión y de densidad se propaga por el fluido y, al mismo tiempo, crea detrás suyo una zona de menor presión y densidad. Hemos creado un pulso y, si tuviera la frecuencia adecuada, podríamos oirlo como una especie de golpe, una pequeña explosión. Si el pistón siguiera moviéndose adelante y atrás generaríamos una onda más o menos armónica y podríamos oír un sonido más o menos continuo. Figura 1. Generación de una onda mecánica longitudinal Figura 1 Pistón que se puede mover adelante y atrás en un tubo y generar ondas mecánicas longitudinales. Bajo el tubo podéis ver una gráfica que indica la presión del fluido P en función de la distancia x al pistón. a. Pistón en reposo: no hay ningún cambio de presión en el fluido. b. El pistón se mueve hacia adelante rápidamente y provoca un aumento de densidad y de presión en la zona inmediatamente adyacente del fluido. c., d. y e. El aumento de presión y densidad se propaga por el fluido y crea detrás una zona de menor presión y densidad. a. Tubo d. Pistón Fluido P b. x P e. x c. P P x x

9 CC-BY-SA PID_ Acústica A partir de todo lo que acabamos de decir podemos encontrar la ecuación de ondas para el sonido. Como la derivación de esta ecuación de ondas implica diversos conceptos de termodinámica que no están directamente relacionados con el movimiento ondulatorio y nos llevarían demasiado lejos en nuestro estudio, la dejamos como lectura complementaria. El resultado del cálculo de la ecuación de ondas para el sonido es: 2 p x 2 = ρ 2 p B t 2 (1) en donde B es el módulo de compresibilidad del medio por donde se propaga la onda, p es la presión y ρ (la letra griega ro minúscula) es la densidad del medio. Lectura complementaria Os recomendamos la lectura de los apartados 47-2 y 47-3 de Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1963) The Feynman lectures on Physics, en donde se deduce la ecuación de ondas para las ondas sonoras detalladamente. También podéis encontrar esta deducción, explicada más esquemáticamente, en el capítulo 2 de Isalgué Buxeda, A. (1995). Física de la llum i el so. El módulo de compresibilidad El módulo de compresibilidad, o módulo de volumen, B, se define como la presión necesaria para producir un cambio unitario de volumen. Para el acero, por ejemplo, B 160 GPa y para el agua B 2,2 GPa, mientras que para el aire, en un proceso adiabàtico (es decir, sin intercambio de calor), B = 0,142 GPa. Si recordáis del módulo Ondas la ecuación que nos relaciona la velocidad de propagación de las ondas, v, con las características del medio por donde se propaga, esta velocidad será: v = s B ρ. (2) En la tabla 1 os damos algunos valores de la velocidad del sonido en diferentes medios, para que os podáis hacer una idea de las velocidades implicadas. Tabla 1. Velocidad del sonido en diversos medios Medio Velocidad del sonido (m/s) Aire (0 C) 332 Aire (20 C) 344 Helio (20 C) Agua destilada (20 C) Agua de mar (20 C) Etanol (20 C) Aceite de oliva (32,5 C) Plomo Cobre Hierro Aluminio Titanio Poliestireno PVC blando 80 Hormigón 3.100

10 CC-BY-SA PID_ Acústica 1.2. Características del sonido Como ya hemos comentado en el subapartado 1.1, se consideran sonido las ondas mecánicas longitudinales con una frecuencia de entre 20 y Hz y una intensidad superior a W/m 2, que son las que puede detectar el oído humano. Las ondas mecánicas de frecuencias superiores son los ultrasonidos, mientras que las de frecuencias inferiores son los infrasonidos. Un sonido de una frecuencia determinada se puede caracterizar a partir de unos parámetros, que normalmente son la intensidad, el tono y el timbre. Veamos cada una de estas magnitudes: La intensidad de un sonido, también llamada a veces volumen, es la potencia por unidad de área de la onda sonora correspondiente a ese sonido en el punto donde se mide. Los seres humanos podemos detectar ondas sonoras a partir de una intensidad de W/m 2, mientras que cuando se llega alrededor de 1 W/m 2 comienza la sensación de dolor en el oído humano. En la figura 2 podéis ver representadas dos ondas sonoras de la misma frecuencia pero distinta amplitud y, por tanto, diferente potencia e intensidad. Podéis repasar la definición de intensidad con más detalle en el módulo Ondas. Figura 2. Intensidad del sonido Figura 2 Dos ondas sonoras de la misma frecuencia pero con distinta intensidad: la onda superior es más floja (menor intensidad) y la inferior más fuerte (mayor intensidad). Flojo Fuerte El tono o altura indica la frecuencia fundamental del sonido. En función de la altura, los sonidos se ordenan de más graves o bajos (frecuencias pequeñas) a más agudos o altos (frecuencias grandes). En la figura 3 podéis ver representadas dos ondas sonoras de la misma intensidad pero diferente frecuencia y, por tanto, diferente tono o altura. Altura e intensidad No se debe confundir la altura con la intensidad, aunque habitualmente digamos la radio está muy alta o sube la tele, que se oye muy bajo ; en estos casos en realidad nos referimos a la intensidad, no a la altura, que indica la frecuencia. El timbre, también llamado calidad y algunas veces color, indica todos aquellos factores que componen un sonido y que permiten distinguirlo de otros sonidos que tienen la misma altura e intensidad. Por ejemplo, un

11 CC-BY-SA PID_ Acústica piano y una trompeta pueden estar emitiendo exactamente la misma nota y con la misma intensidad, pero los dos sonidos son claramente diferentes y podemos decir cuál es cuál; esto se debe al timbre de cada uno de los sonidos. A menudo se dice que el timbre es una característica cajón de sastre, en donde se incluyen muchos factores. Ciertamente, el factor más determinante en el timbre son los diferentes armónicos que forman un sonido (véase la figura 4), pero también intervienen el grado de ruido que contiene, el proceso temporal en la generación del sonido (por ejemplo, si tarda mucho o poco en llegar a la intensidad máxima) y otros elementos más sutiles que se estudian en acústica. Figura 3. Altura del sonido El ruido El concepto de ruido es relativamente difícil de definir, porque es una idea básicamente cualitativa. A menudo se considera ruido cualquier sonido no deseado que se añade, por causas diversas, al sonido que estamos estudiando. Los armónicos se comentan al hablar de ondas estacionarias en el subapartado 5.2. del módulo Ondas. Figura 3 Agudo Dos ondas sonoras de diferente altura: la onda superior es más aguda (frecuencia más alta) y la inferior más grave (frecuencia más baja). Grave Figura 4. Timbre de diferentes instrumentos a. Diapasón b. Clarinete c. Oboe Amplitud relativa Amplitud relativa Amplitud relativa Armónicos Armónicos Armónicos

12 CC-BY-SA PID_ Acústica Figura 4 Representación de la amplitud relativa de los diversos armónicos presentes en el sonido de tres instrumentos diferentes: a. un diapasón, que siempre da un sonido puro, sin ningún armónico, solo con la frecuencia fundamental; b. un clarinete; c. un oboe. Cabe destacar que estos dos instrumentos, como cualquier otro generador de sonido, no emiten solo en la frecuencia fundamental, sino que también, con mayor o menor amplitud, en los diversos armónicos. Básicamente es el diferente contenido de armónicos lo que da a cada sonido su particularidad y permite distinguirlo de otro, a pesar de que se emitan con la misma altura y la misma intensidad. Una vez caracterizado el sonido, mediante la serie de parámetros que acabamos de ver, quizás vale la pena detenerse un momento a comentar algo sobre los ultrasonidos y los infrasonidos que, aunque no los podamos oír, tienen características equivalentes a los sonidos audibles Los ultrasonidos Los ultrasonidos, como ya hemos comentado, son ondas sonoras con una frecuencia superior a Hz. Actualmente los ultrasonidos se utilizan en muchas aplicaciones industriales pero, sobre todo, nos es especialmente familiar su uso en medicina, en las ecografías. En las ecografías se utilizan ultrasonidos de entre 1 y 20 MHz, que se emiten hacia el paciente y se detectan las ondas reflejadas en cada parte del interior del cuerpo (el proceso de formación de la imagen ecográfica final es más complejo, pero aquí no lo explicaremos en detalle). Es posible que muchos hayáis visto alguna ecografía de un feto, que son las más habituales, pero la técnica también se utiliza en cardiología, gastroenterología y urología, entre otros campos. Ultrasonography El término inglés para la técnica de la ecografía es ultrasonography, que a veces se traduce con el poco habitual ultrasonografía. En el apartado 6 sobre el efecto Doppler del módulo Ondas tenéis un ejemplo de aplicación de las ecografías: la ecocardiografía. En el caso de los ultrasonidos, vale la pena comentar brevemente la energía que transportan, porque, como veremos, puede llegar a ser muy superior a la energía transportada por los sonidos audibles. La energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de su frecuencia, de acuerdo con la relación: En el apartado 7 del módulo Ondas se estudia la energía transportada por una onda. e = 1 2 ρω2 A 2 (3) en donde e es la densidad de energía, ρ es la densidad del medio, ω es la frecuencia angular y A es la amplitud de la onda. A partir de esta expresión podéis ver que los ultrasonidos, que tienen frecuencias (ω) más altas que los sonidos audibles, transportan mucha más energía (e), ya que ω está elevada al cuadrado. Cuando se utilizan ultrasonidos para ecografía se debe procurar no utilizar mucha energía, para no dañar los tejidos; entonces se compensa la ρ es la letra griega ro minúscula, mientras que ω es la letra griega omega minúscula.

13 CC-BY-SA PID_ Acústica gran energía provocada por la mayor frecuencia de los ultrasonidos disminuyendo su amplitud (A). Esta energía, sin embargo, también se puede utilizar terapéuticamente a nuestro favor, y no solo en el diagnóstico, para tratar determinados problemas médicos. Un ejemplo es el uso de ultrasonidos (ahora ya de amplitud bastante más alta) para romper y deshacer piedras en el riñón, una técnica denominada litotricia. Por otro lado, muchos animales son capaces de generar y captar ultrasonidos (recordad que poner la frontera entre sonido y ultrasonido en Hz es simplemente una conveniencia nuestra, ya que no hay ninguna diferencia intrínseca entre un sonido y un ultrasonido, excepto la frecuencia). El más conocido es seguramente el murciélago, que tiene un límite superior de audición en los Hz y utiliza hábilmente los ultrasonidos como herramienta de localización y orientación. Otros menos conocidos son los ratones, que llegan a captar Hz, y varios mamíferos marinos, como el suborden de los odontocetos (delfines, orcas, marsopas y cachalotes) que también utilizan la ecolocalización, como los murciélagos Los infrasonidos Ecografía 3D: La ecografía tridimensional es una técnica ecográfica en la cual los ultrasonidos se emiten en diversos ángulos respecto al paciente, para reconstruir posteriormente una imagen en tres dimensiones. Los infrasonidos son las ondas acústicas de frecuencia inferior a 20 Hz y, dentro del campo de la infraacústica, se estudian hasta frecuencias tan bajas como 0,001 Hz. A pesar de que sus aplicaciones no son tan conocidas como las de los ultrasonidos, se utilizan a menudo en geología para hacer prospecciones del terreno y para seguimientos de terremotos. Una gran ventaja de los infrasonidos es que, a diferencia de los ultrasonidos, pueden llegar a grandes distancias con muy poca disipación. Los infrasonidos se generan muy a menudo en la naturaleza cuando se producen aludes, terremotos o erupciones volcánicas, así como en las cascadas y durante la rotura de icebergs. Cabe destacar que se conoce una vibración de infrasonidos de unos 0,2 Hz que se detecta en el mar y que parece que está producida por interacciones complejas entre las ondas superficiales de los océanos. También es muy interesante un tipo de infrasonido de unos 3 a 7 mhz, descubierto hace unos diez años y detectable en todo el planeta, que parece estar producido por la transferencia de energía de la atmósfera hacia las masas continentales mediante, también, ondas superficiales oceánicas. Pero aparte de las fuentes naturales de infrasonidos, también hay fuentes artificiales, como las explosiones químicas y nucleares, las grandes máquinas diesel, las turbinas eólicas y los grandes altavoces de subgraves (los subwoofers). Atención! No confundáis los mhz (milihercios) con los MHz (megahercios). Un milihercio es igual a 0,001 Hz, mientras que un megahercio son 10 6 Hz. Muchos animales, como las ballenas, los elefantes y los hipopótamos, entre otros, también utilizan infrasonidos para comunicarse. En los seres humanos, diversos experimentos señalan que infrasonidos de entre 10 y 19 Hz (justo por debajo del umbral de audición) provocan una sensación desagradable y, incluso, de miedo. El hecho de que la frecuencia de 18 Hz provoque resonancias

14 CC-BY-SA PID_ Acústica mecánicas en el globo ocular humano también parece estar relacionado con visiones y alucinaciones en determinadas circunstancias Qué hemos aprendido? En este apartado hemos visto el primer ejemplo de una aplicación concreta de todo lo estudiado en el módulo Ondas. Los diversos conceptos estudiados en ese módulo los hemos empezado a utilizar aquí para un caso concreto, el de las ondas mecánicas longitudinales. Es más, hemos visto que un tipo concreto de estas ondas, las que tienen una frecuencia de entre 20 y Hz y una intensidad superior a W/m 2, es precisamente lo que llamamos sonido. Tras establecer una definición clara de sonido, hemos pasado a ver las características con las que podemos estudiarlo: la altura, la intensidad y el timbre, que hemos comentado brevemente. Finalmente, con la intención de tener una visión un poco más general de las ondas mecánicas longitudinales, hemos hecho una introducción a los ultrasonidos y los infrasonidos, que no podemos oir directamente con nuestro oído pero que podemos detectar por otros medios. No obstante, todo este estudio ha quedado todavía poco relacionado con la percepción que nosotros, los seres humanos, tenemos del sonido. Esto es lo que haremos a continuación. Ahora que ya sabemos qué es el sonido y cómo lo podemos describir, veremos cómo lo percibimos nosotros y cómo podemos cuantificar esta percepción.

15 CC-BY-SA PID_ Acústica 2. Percepción de estímulos físicos. Hasta ahora hemos estado hablando del sonido y sus características, pero aún hay que determinar cómo nosotros, los seres humanos, percibimos ese sonido. Si duplicamos la intensidad (y, por tanto, la potencia) de un sonido, lo oiremos (percibiremos) el doble de fuerte? o quizás no tanto? o quizás más? En otras palabras, la relación entre un estímulo físico y la sensación que nos produce es lineal o tiene otro comportamiento? 2.1. Una descripción fenomenológica: la ley de Weber-Fechner Linealidad Una relación entre dos magnitudes es lineal cuando una es directamente proporcional a la otra; es decir, si una magnitud aumenta el doble, la otra también lo hará el doble. Este hecho se puede expresar matemáticamente como a = kb, en donde a y b son las dos magnitudes y k es una constante de proporcionalidad. La experiencia pone de manifiesto que la relación entre la magnitud de un estímulo y la sensación percibida no es lineal, sino que en muchos casos esta relación es logarítmica. Esto quiere decir que un cambio en la sensación percibida no es proporcional a un cambio absoluto del estímulo, sino a un cambio relativo; es decir, que cuanto más fuerte sea el estímulo, mayor debe ser su variación para que nosotros percibamos un cambio. Matemáticamente esto se puede expresar de la siguiente manera: si S es la sensación y S su variación, y si I es el estímulo y I su variación, se cumple S I I La integración de esta relación nos da la relación logarítmica entre estímulo y sensación percibida: (4) S = A ln I, (5) en donde A es una constante que hay que determinar en cada caso concreto e es una intensidad del estímulo que se toma como referencia (por ejemplo, la intensidad mínima a partir de la cual se comienza a percibir la sensación). Esta relación se conoce como ley de Weber-Fechner y nos está diciendo que si duplico el estímulo no lo notaré el doble de fuerte, si triplico el estímulo no lo notaré el triple de fuerte, sino bastante menos. En concreto, la ecuación 5 nos dice que la sensación es proporcional al logaritmo del estímulo: si duplico la intensidad del estímulo solo lo notaré más fuerte en un factor logaritmo Recordad Recordad que es la letra griega delta mayúscula y se suele utilizar para indicar una variación o un cambio. Recordad también que es el símbolo para expresar proporcional a ; se asemeja a la letra griega alfa minúscula (α), pero no son iguales. Relaciones logarítmicas Una relación entre dos magnitudes es logarítmica cuando una es proporcional al logaritmo de la otra. Este hecho se puede expresar matemáticamente como a = k ln b, en donde a y b son las dos magnitudes, k es una constante de proporcionalidad y ln es el logaritmo neperiano (hemos puesto el logaritmo neperiano porque es el más habitual, pero cualquier otro logaritmo, como el decimal, también sirve).

16 CC-BY-SA PID_ Acústica de dos, ln 2; si triplico la intensidad del estímulo lo notaré más fuerte solo en un factor logaritmo de tres, ln 3, etc.. La ley de Weber-Fechner establece que los seres humanos perciben las sensaciones de modo que una variación de la sensación equivale a un cambio relativo del estímulo, es decir, que existe una relación logarítmica entre estímulo y sensación percibida. Hay que tener presente que, a pesar de la denominación de ley, únicamente se trata de una relación empírica aproximada, sin carácter absolutamente general. Describe bastante bien las sensaciones que percibimos asociadas a la altura de los sonidos y la intensidad de los sonidos y también, fuera ya del campo de la acústica, describe bien las sensaciones asociadas al peso y la luminosidad. Esta dependencia logarítmica es la causa de que la unidad de sensación de intensidad sonora, el decibelio, sea logarítmica, como veremos con más detalle en el subapartado 2.3, al igual que también ocurre con la escala de magnitudes visuales en astronomía. Ahora que ya hemos visto, de manera general, cómo los seres humanos percibimos los estímulos físicos, nos ocuparemos del caso particular que estamos estudiando en este módulo: el sonido. Y para ello empezaremos estudiando brevemente el órgano que nos permite percibir el sonido: el oído. La ley de Stevens Otra relación propuesta entre estímulo y sensación es la ley de Stevens, una ley potencial del tipo S AI α, es decir, en la cual la sensación es proporcional al estímulo elevado a una cierta potencia α, que depende de cada tipo de estímulo. Relaciones empíricas Una relación empírica es la que se obtiene exclusivamente a partir de datos experimentales, no a partir de razonamientos teóricos básicos Fisiología del oído humano Muchos seres vivos disponen de órganos que les permiten detectar las ondas mecánicas. Cada especie es capaz de percibir un determinado intervalo de intensidad y de frecuencia. Las frecuencias de las ondas mecánicas que detecta el oído humano son las frecuencias sonoras o acústicas y están comprendidas entre 20 Hz y 20 khz, aproximadamente, como ya hemos visto. Hay que tener presente que el oído es un instrumento de análisis de frecuencias y de intensidades que transmite esta información al cerebro, que es el órgano donde se interpretan los sonidos recibidos en la oreja. Es en este sentido que podemos decir que quien realmente oye es el cerebro; es por ello que en algunas enfermedades se producen los llamados acúfenos o tinnitus, sensaciones sonoras interpretadas por el cerebro pero que no corresponden a ningún estímulo físico. Internamente, el oído de todos los mamíferos es muy similar, a pesar de las considerables diferencias externas. En todos los casos se puede dividir en tres partes (véase la figura 5):

17 CC-BY-SA PID_ Acústica 1) el oído externo, formado por el pabellón auditivo, el conducto auditivo y la membrana timpánica; 2) el oído medio, formado por un conjunto de huesecillos: el martillo, el yunque y el estribo; 3) el oído interno, con la cóclea y los conductos semicirculares. Figura 5. El oído humano Figura 5 a. Estructura general del oído humano. En la cóclea los diferentes componentes de frecuencia de un sonido provocan resonancias en diferentes puntos de la membrana basilar; se muestran los lugares aproximados para las resonancias a 16, 6 y 0,5 khz. La información se transmite al cerebro mediante el nervio vestibular y el nervio coclear, las dos ramas del VIII par craneal o nervio auditivo. b. Esquema del cerebro con la corteza auditiva. Fijaos que la corteza primaria contiene un mapeo (el mapa tonotópico) de la distribución de resonancias en la cóclea. Las ondas sonoras entran en el oído por el pabellón auditivo y siguen por el conducto auditivo. El sonido llega a la membrana timpánica, conectada a los tres huesecillos llamados martillo, yunque y estribo, que transmiten las vibraciones a la ventana coclear situada en la base de la cóclea. Los tres huesecillos actúan como un filtro de paso bajo, ya que por encima de Hz no pueden transmitir las vibraciones. La cóclea está llena de líquido y la membrana basilar se dispone longitudinalmente, con una gran cantidad de fibras. Los diferentes componentes de frecuencia de un sonido provocan resonancias en diferentes puntos de la membrana basilar, ya que la longitud de las fibras aumenta progresivamente a medida que nos adentramos por la cóclea. Esta vibración de las fibras permite transmitir al cerebro información sobre la intensidad y la composición de frecuencias del sonido. Oir ultrasonidos En algunos casos podemos oir ultrasonidos si estos se transmiten directamente por los huesos del cráneo y llegan a la cóclea, sin pasar por el oído medio, el cual, como hemos dicho, actúa de filtro pasa-bajo.

18 CC-BY-SA PID_ Acústica 2.3. Percepción del sonido Ya hemos visto que, según la ley de Weber-Fechner, nuestra percepción de la intensidad sonora es logarítmica, con la forma de la ecuación 5: S = A ln I, (6) La ley de Weber-Fechner se estudia en el subapartado 2.1. en donde, recordad, A es una constante que hay que determinar en cada caso concreto e es una intensidad del estímulo que se toma como referencia. Para determinar las constantes A e suponemos que el origen de las sensaciones, S = 0, corresponde a la intensidad mínima que podemos percibir, el llamado umbral de audición. El problema es que esta intensidad mínima es diferente para cada frecuencia audible (para frecuencias bajas la intensidad mínima audible es bastante más elevada que para frecuencias altas). Por convención, pues, se ha decidido establecer como el umbral de audición para una frecuencia de Hz, que es: Nivel de intensidad sonora y decibelios = W/m 2 (7) La elección de la constante A en la ecuación 5 es absolutamente arbitraria y, así, también por convención se define el nivel de intensidad sonora, N I, como N I = 10 log I, (8) Definiciones por convención Cuando decimos que un valor o una expresión se ha establecido por convención, hay que entender que es una decisión arbitraria elegida entre muchas otras posibles por su comodidad o por otras razones. En el caso que nos ocupa se podría haber escogido como el umbral de audición, no a Hz, sino a Hz o 100 Hz, por ejemplo. Atención! No debéis confundir la intensidad con el nivel de intensidad. No son lo mismo: una y otra están relacionadas por la ecuación 8. la unidad de medida de la cual es el decibelio (db). A veces también se utiliza, en lugar de la intensidad, la presión sonora, p, que da lugar a la definición del nivel de presión sonora como N P = 20 log p (9) p 0 El decibelio El decibelio no se usa solo en acústica; también es muy habitual, por ejemplo, en electrónica, en teoria de control y en radiometría y antenas. cuya unidad de medida es también el decibelio (db) y en la cual la presión umbral se escoge como p 0 = 20 µpa. A veces, para distinguir ambos casos, se escribe db(spl)* cuando los decibelios se refieren al nivel de presión sonora y db(sil)** cuando los decibelios se refieren al nivel de intensidad sonora. Cabe destacar que la presión corresponde a la amplitud de la onda sonora y que, por tanto, la intensidad es proporcional al cuadrado de la presión (recordad que las intensidades siempre son proporcionales a los cuadrados de las amplitudes), es decir, Atención! No debéis confundir el logaritmo neperiano, de base e (y simbolizado ln) con el logaritmo decimal, de base 10 (y simbolizado log). *SPL, del inglés sound pressure level ** SIL, del inglés sound intensity level

19 CC-BY-SA PID_ Acústica I p 2 (10) Como log p 2 = 2 log p, vemos que las ecuaciones 8 y 9 son equivalentes. En la tabla 2 se muestran algunos niveles de intensidad sonora de diversos sonidos habituales. Tabla 2. Niveles de intensidad sonora Fuente I (W/m 2 ) Nivel de intensidad (db) Umbral de audición Respiración normal Murmullo de hojas Conversación en voz baja Conversació normal Tráfico denso en la calle Ruido de construcción 0,1 110 Umbral de dolor Despegue cercano de un avión Ejemplo. Nivel de intensidad sonora El nivel de intensidad sonora que produce un coche de carreras en el punto donde están situados los espectadores más cercanos a la pista es de 89 db. El nivel de intensidad sonora de otro coche en el mismo punto es de 92 db. Cuál es el nivel de intensidad sonora que reciben los espectadores cuando los dos coches pasan juntos por este mismo punto? Solución No podemos sumar directamente los niveles de intensidad sonora. Lo que podemos sumar son las intensidades y entonces, con la intensidad total, calcular el nivel de intensidad sonora total. Hagámoslo! Acabamos de ver que el nivel de intensidad sonora se expresa según la ecuación 8: N I = 10 log I (11) En este caso, de todas las variables de la ecuación, conocemos: el nivel de intensidad de cada uno de los coches, que indicaremos con A y B: N I,A = 89 db N I,B = 92 db la intensidad de referencia (por definición, recordad la ecuación 7): = W/m 2. De aquí podemos despejar I: N I 10 = log I I = 10 N I/10 (12) y al sustituir los valores para cada coche, tenemos: I A = 7, W/m 2 I B = 1, W/m 2

20 CC-BY-SA PID_ Acústica Ahora sí que podemos sumar intensidades, para obtener la intensidad total producida por los dos coches conjuntamente, I T : I T = 2, W/m 2 (13) Y con este resultado ya podemos calcular el nivel de intensidad sonora total en decibelios, N IT : N IT = 10 log I T = 93,8 db (14) Sensación sonora y fonios Ya hemos comentado que la sensación sonora depende de la frecuencia, pero el nivel de intensidad sonora es único: para una intensidad determinada obtenemos un nivel de intensidad único. En cambio, nosotros no percibimos la misma sensación sonora para un mismo nivel de intensidad sonora a diferentes frecuencias. Por ejemplo, los sonidos muy graves deben ser realmente muy intensos para que los notemos tan molestos como un sonido más agudo mucho menos intenso. En otras palabras, los agudos molestan más que los graves y estos, para que molesten tanto como un agudo, deben ser muy intensos. Por esta razón se define la unidad llamada fonio (símbolo phon), que mide el nivel de intensidad percibida, la sensación sonora, de modo que 1 fonio es igual a 1 db(spl) a una frecuencia de Hz. Así, a una frecuencia de Hz, 20 fonios equivalen a 20 db(spl), 65 fonios equivalen a 65 db(spl), etc. Fijaos en la figura 6. En el eje de las x representamos la frecuencia de un sonido en hercios y, en el eje de las y, el nivel de presión sonora en decibelios. Por la definición de nivel de intensidad o de nivel de presión, la sensación que nosotros percibimos y el nivel de presión sonora se corresponden (son iguales) para una frecuencia de Hz. Para otras frecuencias tendremos la misma sensación percibida a niveles de intensidad o de presión diferentes. Las curvas que se muestran en la gráfica son las curvas de igual intensidad percibida o curvas isófonas, es decir, las curvas con un mismo valor de fonios. Por ejemplo, si seguimos la curva correspondiente a 60 fonios, vemos que percibimos con la misma sensación sonora ( oímos igual de fuerte ) un sonido de Hz a 60 db que un sonido de 30 Hz a 100 db y que un sonido de Hz a 73 db. Estas curvas se obtienen a partir de experimentos con un gran número de personas con audición normal, ya que puede haber ligeras diferencias en la percepción de las intensidades en función de diversas caracteristicas fisiológicas. Actualmente las curvas están normativizadas según la norma internacional ISO 226:2003, y sustituyen las curvas utilizadas hasta el 2003, que se conocen como curvas de Fletcher-Munson y curvas de Robinson-Dadson.

21 CC-BY-SA PID_ Acústica Figura Estimación 120 Nivel de presión sonora (db(spl)) phon Umbral 0 _ Figura 6 Curvas de igual intensidad percibida o curvas isófonas, según la norma ISO 226:2003. Cada una de estas curvas representa una misma sensación sonora (un mismo valor de fonios) en los seres humanos. Así, percibimos igual de fuerte (con un valor de 20 fonios) un sonido de frecuencia 20 Hz y 90 db(spl) y un sonido de frecuencia Hz y 20 db(spl). La curva gris corresponde a una versión anterior de la norma ISO para 40 fonios. Frecuencia (Hz) En acústica también suelen utilizarse algunos tipos especiales de decibelio que intentan reproducir aproximadamente las curvas isófonas. Son los db(a), db(b) y db(c), que se utilizan para medir el nivel de intensidad o el nivel de presión pero con unos factores de ponderación que aproximan el valor obtenido a la sensación sonora. Estos factores de ponderación son expresiones matemáticas relativamente complejas y quedan más allá de los objetivos del módulo Acústica musical Para especificar las características del sonido tal como las percibe el ser humano no es muy adecuado utilizar siempre los valores de frecuencia, ya que la capacidad que tenemos para detectar cambios de frecuencia depende de la misma frecuencia, y ocurre igual con la intensidad. Una posibilidad, siguiendo la ley de Weber-Fechner, pero ahora aplicada a frecuencias y no a intensidades sonoras, es utilizar una relación logarítmica para determinar la altura de un sonido. En este sentido, si no se quiere utilizar directamente la frecuencia, se puede definir una nueva unidad de medida de altura de un sonido, el savart, de forma logarítmica como La ley de Weber-Fechner se estudia en el subapartado 2.1. s = log f f 0 (15) en donde s es el valor de la altura del sonido en savarts, f es la frecuencia y f 0 es una frecuencia de referencia. Sin embargo, normalmente no se utiliza una frecuencia de referencia f 0, sino que solo se utiliza para diferencias de altura. El

22 CC-BY-SA PID_ Acústica savart no se usa mucho actualmente, ya que se utiliza mucho más otra unidad de medida, el cent, que se define como c = log 2 f f 0 (16) Con esta definición, si una frecuencia es el doble de otra, difieren en cents, como podéis comprobar: log 2 es el logaritmo en base 2. c = log 2 2f f = log 2 2 = (17) Estas unidades de medida, sin embargo, son bastante técnicas. Tradicionalmente se ha utilizado un sistema basado en los intervalos entre sonidos como los percibimos los humanos, y que se ha ido desarrollando con la teoría musical. El intervalo entre dos sonidos es el cociente entre las frecuencias de estos sonidos. Cuando un sonido tiene una frecuencia que es el doble de la de otro sonido, los dos sonidos están separados por un intervalo de una octava. Por ejemplo, si un sonido tiene una frecuencia de 400 Hz, el sonido situado una octava por encima tiene una frecuencia de 800 Hz, y el sonido situado una octava por debajo tiene una frecuencia de 200 Hz. Es decir, que el cociente de frecuencias de dos sonidos separados una octava es 2:1 (y, por tanto, difieren en cents, como acabamos de ver). Las octavas adicionales de una nota se producen en frecuencias que son un múltiplo 2 n del original, es decir, en frecuencias 2, 4, 8, 16, etc. superiores o frecuencias 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, etc. inferiores al original. Así, 50 Hz está dos octavas por debajo de los 200 Hz (cociente 1 : 4 = 1 : 2 2 ), mientras que Hz está 3 octavas por encima (cociente 8 : 1 = 2 3 : 1). La octava se puede considerar el intervalo más simple en música, pero esta simplicidad es claramente una cuestión antropocéntrica, ya que el oído humano tiende a oir ambas notas como iguales ; no hay ninguna razón física para la naturalidad del intervalo de octava. Todas las notas separadas por octavas reciben el mismo nombre en la notación musical occidental, es decir, una nota una octava más alta que un la también es un la. A partir de esta relación, la octava se divide en doce partes iguales, llamadas semitonos. El intervalo entre dos semitonos da un cociente igual a , , que corresponde exactamente a 100 cents. Este intervalo no es una relación sencilla entre números enteros y es una creación relativamente moderna en la teoría musical: se trata de la escala de temperamiento igual o temperada. Tradicionalmente, en música se han utilizado intervalos que siempre corresponden a cocientes de números enteros: la escala natural, que podéis ver en la tabla 3. Recordad que una nota no es más que un sonido de una frecuencia determinada (y también de una duración determinada, pero este aspecto ahora no nos interesa). Las notas musicales En la nomenclatura musical latina, las notas musicales reciben los nombres do, re, mi, fa, sol, la y si. En la nomenclatura anglosajona son C, D, E, F, G, A y B (inglés) o H (alemán).

23 CC-BY-SA PID_ Acústica Taula 3. La escala natural Intervalo Cociente de frecuencias Ejemplo Octava 2:1 do do Séptima mayor 15:8 do si Sexta mayor 5:3 do la Quinta perfecta 3:2 do sol Cuarta perfecta 4:3 do fa Tercera mayor 5:4 do mi Segunda mayor, tono mayor 9:8 do re Segunda menor, tono menor 10:9 re mi Semitono 16:15 mi fa Unísono 1:1 El problema con la escala natural es que si empezamos la escala con el do obtenemos los intervalos que aparecen en la tabla anterior, pero si empezamos la escala con el sol, por ejemplo, y queremos respetar los mismos intervalos, las notas no coinciden. En la figura 7 hemos representado las notas de la escala de do mayor (la misma que hemos puesto de ejemplo en la tabla) y hemos indicado cuál es la relación de frecuencias entre cada una y la siguiente. Fijaos que entre el do y el re hay un intervalo de 9:8, mientras que entre el sol y el la el intervalo es de 10:9. Si empezamos ahora la escala en el sol y respetamos el intervalo de 9:8 entre la primera nota y la segunda, que es lo que hay que respetar para construir la escala natural, ya no tendremos el la original de la escala de do mayor, que está a 10:9 del sol, sino otro la que está a la distancia correcta de 9:8. Figura 7. La escala natural Figura 7 Esquema de la escala musical de do mayor, en donde hemos representado cada nota y la relación de frecuencias que tiene cada una con la siguiente. Debajo de la relación de frecuencias indicamos si el intervalo se trata de un tono mayor (T), un tono menor (T ) o un semitono (t). Con instrumentos de longitud variable, como muchos de los de cuerda (la familia del violín y la de la guitarra, por ejemplo), esta situación no es un problema muy importante, pero con instrumentos de longitud fija, como el piano, resulta imposible arreglarlo, ya que no podemos cambiar la longitud de la cuerda para adaptarnos exactamente a una escala u otra y hacer que en un caso entre el sol y el la exista una relación de 9:8 y en el otro caso una relación de 10:9. Por esta razón se creó la escala bien temperada o de igual temperamiento, que es la que hemos comentado antes, y en la cual todos los intervalos entre notas consecutivas son exactamente iguales (y por tanto, en concreto, un tono menor y un tono mayor son iguales). El temperamiento En música se llama temperamiento al proceso de afinación que sacrifica los intervalos exactos de la escala natural para adaptarse a los requerimientos de un instrumento.

24 CC-BY-SA PID_ Acústica 2.5. Qué hemos aprendido? Este apartado lo hemos dedicado básicamente a cuestiones de percepción de los estímulos por parte de los seres humanos. El punto importante es tener claro que, en muchos casos, la relación entre las magnitudes físicas y las sensaciones que nos provocan cuando las detectamos con nuestros sentidos es una relación logarítmica. Es a partir de este hecho que se definen las unidades de medida del nivel de intensidad sonora (el decibelio) y de la sensación sonora (el fonio), esta última con el añadido de que nuestro oído tiene sensibilidades diferentes a frecuencias diferentes.

25 CC-BY-SA PID_ Acústica 3. Problemas resueltos Enunciados 1. El nivel de intensidad sonora de una conversación normal entre personas a 1 metro de distancia es de aproximadamente 65 db. Cuál es, pues, la potencia con la que hablamos habitualmente los seres humanos? 2. En un concierto el nivel de intensidad sonora medio resulta ser de 105 db a una distancia de 20 metros del escenario. Cuál es la potencia sonora que se emite desde el escenario? (Suponed que la emisión sólo se produce en la media esfera sobre el escenario.) 3. a) El do central de la escala musical tiene una frecuencia de 262 Hz. Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire?b) Cuál es la longitud de onda en el aire del do situado una octava por encima del do central? 4. Demostrad que si duplicamos la intensidad de un sonido, su nivel de intensidad sonora aumenta en 3 db. 5. Tenemos tres fuentes sonoras (A, B y C) que producen unos niveles de intensidad sonora de 70, 73 y 80 db, respectivamente. Cuando las tres fuentes emiten juntas, las intensidades de las fuentes se suman. a) Hallad el nivel de intensidad sonora cuando las tres fuentes emiten juntas. b) Para reducir el nivel de intensidad sonora pensamos en eliminar las dos fuentes menos intensas. Será muy útil hacer esto? (Es decir, disminuirá mucho el nivel de intensidad sonora resultante?) 6. Treinta y ocho personas que han ido a una fiesta están hablando con la misma intensidad. Si en la fiesta solamente hubiera una persona, el nivel de intensidad sonora sería de 72 db. Cuál es el nivel de intensidad sonora cuando las 38 personas hablan al mismo tiempo? 3.2. Soluciones 1. Sabemos que el nivel de intensidad sonora se expresa como (equación 8): N I = 10 log I (18)

26 CC-BY-SA PID_ Acústica en donde conocemos: el nivel de intensidad: N I = 65 db, la intensidad de referencia (por definición, recordad la ecuación 7): = W/m 2. De aquí despejamos I: N I 10 = log I I 10 NI/10 = I (19) 0 y obtenemos I = 3, W/m 2. Esta es la intensidad a 1 metro de distancia. Recordad Si x = log y, entonces y = 10 x. Si utilizamos logaritmos neperianos en lugar de decimales tendremos que si x = ln y entonces y = e x. Ahora recordad que la intensidad es la potencia por unidad de área; por tanto, para saber la potencia, P, hay que multiplicar esta intensidad que acabamos de obtener por el área, S, sobre la que se reparte. Si no hay ningún impedimento, las ondas sonoras que emitimos se reparten de forma esférica a nuestro alrededor, es decir, sobre una superficie igual a la superficie de una esfera, que es 4πr 2. Por tanto, como nos dicen que este valor de la intensidad era a 1 m de distancia, r = 1 y así: P = I S = 3, π1 2 = 3, W (20) 2. Este problema es prácticamente igual que el anterior. Sabemos que el nivel de intensidad sonora se expresa como (ecuación 8): N I = 10 log I (21) en donde conocemos: el nivel de intensidad: N I = 105 db, la intensidad de referencia: = W/m 2. De aquí obtenemos I = 0,0316 W/m 2. Esta es la intensidad a 20 metros de distancia. Recordad que la intensidad es la potencia por unidad de área; por tanto, para saber la potencia, P, hay que multiplicar esta intensidad que acabamos de obtener por el área, S, sobre la que se reparte. Como nos han dicho que el sonido se emite solamente en media esfera, el área será 4πr 2 /2. Por tanto: P = I S = 0,0316 4π202 2 = 79,4 W (22)

27 CC-BY-SA PID_ Acústica 3. a) La longitud de onda la podemos calcular sabiendo que se cumple la relación siguiente: Consultad el módulo Ondas para ver la relación entre la velocidad y la frecuencia. v = λf (23) en donde v es la velocidad de propagación, λ, la longitud de onda y f, la frecuencia. De esta expresión sabemos: la velocidad de propagación: v = 340 m/s, la frecuencia: f = 262 Hz. Por tanto, podemos hallar la longitud de onda: λ = v f = 1,29 m (24) b) Como ya hemos visto en el subapartado 2.4, una nota que está una octava por encima de otra tiene una frecuencia doble. Así pues, si la frecuencia del do central es 262 Hz, la del do que está una octava por encima será el doble, 524 Hz. Y como la velocidad de propagación no cambia, la longitud de onda será la mitad, es decir 0,65 m. 4. Para demostrar este hecho, consideremos otra vez que el nivel de intensidad sonora se expresa como (ecuación 8) N I = 10 log I (25) y queremos saber cuál es el cambio en el nivel de intensidad sonora para una intensidad que es el doble del original, es decir, igual a 2I. El nivel de intensidad sonora para una intensidad de 2I será: N I (2I) = 10 log 2I (26) Ahora conviene recordar la propiedad de los logaritmos que afirma que el logaritmo del producto es igual a la suma de logaritmos, es decir, que: log a b = log a + log b (27) Así, podemos expresar la ecuación 26 como N I (2I) = 10 log 2 + log I «(28)