Problemes de Geometria per a l ESO 178

Transcripción

1 Problemes de Geometria per a l EO alculeu el perímetre de la figura KöMaL, K olució: onsiderem el pentàgon DE Les rectes i DE s intersecten en el punt P PD = 90º PD = DE = = 0 plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle PD : 01 P = 0 = = E P = 19 = 194 El perímetre del pentàgon DE és: P DE = = E 19 D P

2 177- Donats dos punts, del plànol dibuixeu les rectes que estan a una distància de i de KöMaL, K01 olució: Dibuixem la circumferència de centre i radi Dibuixem la circumferència de centre i radi Distingirem cinc casos, depenent de la posició relativa de les dues circumferències a) uposem que >, circumferències exteriors e e4 e1 > e Dibuixem les rectes tangents a les dues circumferències El problema té 4 solucions: dues tangents exteriors i dues interiors b) uposem que =, circumferències tangents exteriors e e1 T = e Dibuixem les rectes tangents a les dues circumferències El problema té solucions: dues tangents exteriors i la recta perpendicular que passa pel punt comú a les dues circumferències

3 c) uposem que 1 < <, circumferències secants e1 1<< e Dibuixem les rectes tangents a les dues circumferències El problema té solucions: dues tangents exteriors d) uposem que = 1, circumferències tangents interiors e1 <1 T Dibuixem la recta tangent a les dues circumferències El problema té 1 solucions e) uposem que 1 <, circumferències interiors El problema no té solució

4 177- Des d un vèrtexs d un quadrat de costat 1 s han dibuixat dos segments que divideixen el quadrat en tres parts d igual àrea (dos triangles i un estel) El procediment es repeteix amb un vèrtex adjacent Quin és l'àrea de la intersecció dels dos cometes? KöMaL, 14 olució: iga D el quadrat de costat = 1 iguen els segments E, F que divideixen el quadrat en tres parts d igual àrea iguen els segments G, H que divideixen el quadrat en tres parts d igual àrea iga KLMN el cometa intersecció de dels cometes EF, GDH K, M pertanyen a la mediatriu del costat iguen P, Q els punts migs dels costats, D, respectivament iguen R, les projeccions de N sobre els costats D,, respectivament NH = 90º D G Q L àrea del triangle rectangle DF és la tercera part del quadrat D, aleshores: M 1 1 H 1 DF = Per tant: N 1 1 R DF = H = G = DG = GF = F = QF = K Els triangles rectangles H, KP són semblants i de raó :1 1 1 P plicant el teorema de Tales: PK = H = Els triangles rectangles DF, MQF són semblants i de raó 4:1 plicant el teorema de 1 1 Tales: QM = D = KM = D ( PK + QM) = 1 + = 4 1 iga RH = L = a, RH = b, R = c Els triangles rectangles c = a DF, Els triangles rectangles DF, b = a b + c = a + a = Resolent l equació: 4 a = 1 4 NL = a = 1 = 1 1 L àrea del cometa KLMN és: RN són semblants plicant el teorema de Tales: NRH són semblants plicant el teorema de Tales: 1 1 KLMN = KM ML = = F L E

5 1774- L espiral de la figura està formada per trossos de segments de longituds en centímetres 1, 1,,,,, 4, 4, 4 a) i hi ha n trossos de corda quina és la longitud de l espiral b) i tinc metres de corda quants segments màxims de l espiral puc construir? Quanta corda sobra? olució: a) i el nombre de segments n és parell la longitud de l espiral és: n L n = n 1 + n 1 1 Ln = = n + n 4 i el nombre de segments n és imparell la longitud de l espiral és: n 1 n 1 L n = n 1 1+ n 1 n 1 n n 1 n 1 Ln = + = = 4 b) uposem que el nombre de trossos n és imparell: L n n + 1 = 00 Resolem la inequació: n + n n + n n n El nombre de trossos de l espiral és n = + 1 La longitud de l espiral es de L = = 17 = 9cm obren 00 9 = 11cm 1 L últim segment de la corda mesura + 1 = 17cm En el que resta no puc fer un altre segment

6 177- En la figura, D és un quadrat M, N són els punts migs dels costats i D, respectivament Determineu la proporció entre les àrees del quadrilàter KLN i del quadrat D olució: Els triangles LD, iga l àrea del triangle L àrea del quadrat D és DLN són semblants i de raó :1 DLN, aleshores, LD = 4 = 4 = 4 0 D DN = Dos triangles que tenen la mateixa altura les àrees són proporcionals a les bases = LN DLN = = N DN = = 4 L N NL = iga P la intersecció de les rectes DK i Els triangles rectangles leshores els triangles leshores, = K K = K DM, DK, PM són iguals PK són semblants de raó 1: KL = L = 4 = L àrea del quadrilàter KLN és: 4 7 KLN = LN + KL = + = La proporció entre les àrees del quadrilàter KLN i del quadrat és: 7 KLN 7 = = 0 0 d D N D N L (4/) L 4 K (/) K M M P

7 Ricard Peiró i Estruch 177- En la figura D és un quadrat i E és el punt mig del costat D Determineu quin perímetre és major el del quadrat o el de la circumferència que passa pels punts,, E E olució 1: iga D el quadrat de costat = 1 plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle E = E = E : iga R el radi de la circumferència circumscrita al triangle L àrea del triangle E és la meitat de l àrea del quadrat: E 1 1 E E 1 E = = = Resolent l equació: 4R 4R R = El perímetre del quadrat és: P D = 4 π El perímetre de la circumferència és: P circumf = π = 9 4 leshores, el perímetre del quadrat és major que el perímetre de la circumferència olució : iga O el centre de la circumferència O és la intersecció de les mediatrius als segments E i iga OE = R radi de la circumferència iga M el punt mig del segments E plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle E = E = EM = 4 Els triangles rectangles E, E : EMO són semblants plicant el 1 teorema de tales: = Resolent l equació: R = R 4 El perímetre del quadrat és: P D = 4 π El perímetre de la circumferència és: P circumf = π = 9 4 leshores, el perímetre del quadrat és major que el perímetre de la circumferència Pcircumf π ense calculadora: = < < 1 P D D E E D D M O N

8 1777- alculeu la proporció entre les àrees del quadrilàter interior i el quadrat exterior a a b b b olució: L àrea del quadrat exterior és: quadrat = (a + b) = a + ab + b a b a L àrea de la superfície del quadrat exterior al quadrilàter està formada per 4 triangles rectangles La seua àrea és: ( a + ab b ) ext = a + ab + b = + L àrea del quadrilàter ombrejat és: 1 quadrilàter = quadrat ext = a + ab + b + La proporció entre les àrees del quadrilàter ombrejat i el quadrat és: quadrilàter 1 = quadrat 1 ( a + ab + b ) = ( a + ab b )

9 177- a) En una graella quants tipus de trapezis isòsceles no paral lelograms es poden construir b) En una graella 4 4 quants tipus de trapezis isòsceles no paral lelograms es poden construir alculeu les seues àrees olució: Per calcular les àrees utilitzarem la fórmula de Pick Teorema de Pick i els vèrtexs d un polígon pertanyen a una graella quadrangular l àrea del polígon en funció de l àrea de quadrat menut de la graella és: = I + 1, on I és igual als punts interiors al polígon els punts que pertanyen a la vora a) Només se n pot construir 1 La seua àrea és = = b) = = = + 1 = 4 = = = = = 1+ 1 = 4 9 = + 1 = 4 7 = =

10 c) = = = + 1 = 4 = = = + 1 = = = = + 1 = = + 1 = 9 = = 1 = = = 1+ 1 = = + 1 = 9 = + 1 = = + 1 = 1 = + 1 = 7 10 = = = + 1 = 7 1 = + 1 = 9 7 = =

11 1779- i els costats dels tres hexàgons menuts són 4 cm, quina és la relació entre l àrea de la zona acolorida i l àrea blanca de l hexàgon regular gran? Olimpíada València 01 Nivell Velocitat olució: iga = R = RQ = c = 4 costats dels hexàgons menuts = c La recta és diagonal de l hexàgon gran ja que = 0º Notem que PQ = QR = c La diagonal de l hexàgon gran és: P = c El costat de l hexàgon gran és: 1 = P = c Els hexàgons regulars són semblants La raó de semblança de l hexàgon menut i l hexàgon gran és : Les seues àrees són proporcionals al quadrat de la raó de semblança: Hgran Hmenut = = 4 La proporció entre l àrea blanca i l àrea acolorida és: Hgran blanca Hmenut 1 Hmenut 1 1 = = 1 = 1 = 4 1 acolorida Hmenut Hmenut La proporció entre l àrea acolorida i l àrea blanca és: acolorida 1 = 1 blanca O R Q P

12 170- La figura mostra els tres primers diagrames d una seqüència adascun dels quadradets mesura 1 cm Quina és l àrea del desè diagrama de la seqüència? I del diagrama 01? Olimpíada València 01 Nivell Individual olució: L àrea del primer terme és: L àrea d un quadrat de costat menys un quadrat central, menys 4 quadrats que formen els cantons 1 = = L àrea del segon terme és: L àrea d un quadrat de costat menys un quadrat central de costat, menys 4 quadrats que formen els cantons = = 4 L àrea del tercer terme és: L àrea d un quadrat de costat 7 menys un quadrat central de costat, menys 4 quadrats que formen els cantons = = 7 4 El terme general és: n + = (n + 4) n 4 = n 1 El terme que fa 10 és: = = 9 = = 9 El terme que fa 01 és: = = 11 = = 11