Solución de la Tarea Número1delCursodeAnálisis Numérico.

Transcripción

1 Solución de la Tarea Número1delCursodeAnálisis Numérico. José María Rico Martínez Departamento de Ineniería Mecánica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E. 1 Definición del Problema. Considere la banda transportadora recta de lonitud L =20m, la banda está inclinada un ánulo α con respecto al nivel del suelo y transporta arena sílica fina. La velocidad de la banda transportadora es v = 10m/s, al finalizar la banda transportadora, la arena tiene la trayectoria parabólica típica de cuerpos en caida libre, supona que la ravedad produce una aceleración de 9.8 m/s 2, vea la Fiura 1. Determine el ánulo α, que maximiza la distancia horizontal, R, desde el inicio de la banda transportadora hasta el punto en el que la arena cae al suelo. Emplee el método de bisección. Fiure 1: Banda Transportadora y Caida Parabólica de la Arena. 2 Solución del Problema. Inicie seleccionando un sistema coordenado, como se muestra en la Fiura 1, en el punto en el que la banda transportadora recoe las partículas de arena. Por otro lado, el orien de tiempo, t =0s, está localizado en el instante que una partícula de arena abandona la banda transportadora e inicia su trayectoria parabólica. Por lo tanto, la ecuación de movimiento de la partícula de arena está dada por a = d v dt = d2 r = ĵ. 1) dt2 Por otro lado, las condiciones iniciales están dadas por Para t =0; v = v 0 Cosαî + v 0 Sinαĵ; Para t =0; r = LCosαî + LSinαĵ. 2) 1

2 2.1 Interación de las Ecuaciones de Movimiento. Interando la ecuación 1), respecto al tiempo, se tiene que vt) = at) dt= ĵdt.= tĵ + C 1, 3) sustituyendo la primera condición inicial, se tiene que v 0 Cosαî + v 0 Sinαĵ = 0 ĵ + C 1, por lo tanto, se tiene que la constante de interación vectorial, C 1,estádadopor C 1 = v 0 Cosαî + v 0 Sinαĵ 4) y el vector velocidad está dadopor vt) = d r dt = v 0 Cosαî +v 0 Sinα t) ĵ. 5) Interando la ecuación 5), respecto al tiempo, se tiene que [ ] rt) = vt) dt= v 0 Cosαî +v 0 Sinα t) ĵ dt= v 0 tcosαî +v 0 tsinα 1 2 t2 ) ĵ + C 2, 6) sustituyendo la seunda condición inicial, se tiene que LCosαî + LSinαĵ = v 0 0 Cosαî +v 0 0 Sinα ) ĵ + C 2, por lo tanto, se tiene que la constante de interación vectorial, C 2,estádadopor C 2 = LCosαî + LSinαĵ 7) y el vector de posición de la partícula de arena está dadopor rt) =LCosα+ v 0 tcosα)î +LSinα+ v 0 tsinα 1 2 t2 ) ĵ. 8) Las componentes escalares del vector de posición están dadas por r x t) =LCosα+ v 0 tcosα r y t) =LSinα+ v 0 tsinα 1 2 t2. 9) 2.2 Determinación del Rano Máximo Para un Valor Dado del Ánulo α. El siuiente paso consiste en determinar el rano máximo del desplazamiento horizontal de la partícula de arena, también conocido como rano. Para tal fin, determine el tiempo para el cual la componente vertical del vector desplazamiento es iual a 0. Es decir, determine el tiempo, t, talque Las dos soluciones están dadas por LSinα+ v 0 tsinα 1 2 t2 =0. t = v 0 Sinα ± v0 2 Sin2 α +2LSinα. 10) Es evidente que el sino neativo conduce a una solución sin sinificado físico. Por lo tanto, considerando el sino positivo, se tiene que el rano, R, estádadopor Rα) =r x t = v 0 Sinα + ) ) v0 2 Sin2 α +2LSinα Cosα v 2 0 Sinα + v 0 Sinαv02 Sinα +2L)+L = 11) 2

3 2.3 Maximización Directa o Busqueda de Raices de una Ecuación. El paso final para la solución de este problema, consiste en maximizar el valor de la función Rα), vea la ecuación 11). Sin embaro, es importante considerar las diferentes opciones para llevar a cabo este proceso: 1. Maximización directa de la función Rα), este es un tema que forma parte de la teoría de optimización, en su parte mas sencilla, la optimización de una función, Rα), de una variable real, α, que no está sujeta a restricción aluna. 2. Seuir los métodos tradicionales del cálculo diferencial; es decir, derivar la función Rα), respecto a la variable independiente, α, paradespués iualar esta derivada a cero y obtener las raices de esta ecuación que constituyen los puntos críticos de la función. La derivada de la función está dadapor dr v 2 dα = Cos 2 α) L ) Sinαv0 2 Sinα +2L)+v3 0Sinα 2 Cos 2 α 1 ) + v 0 L 2+3Cos 2 α ) Sinαv0 2 Sinα +2L) 12) 2.4 Solución del Problema Como un Problema de Maximización. La sustitución de los parámetros de la función conduce a la ecuación 13, dada por Rα) = Cosα Sinα ) Sinα25.0 Sinα +98.0) 13) La fiura 2 rafica el rano de movimiento horizontal de la partícula de arena como función del ánulo de inclinación de la banda. Una revisión muy aproximada de la fiura muestra que el máximo ocurre alrededor de α =0.55 rad. y el valor máximo es de aproximadamente 35 m alpha Fiure 2: Rano del Movimiento de la Arena como Función del Ánulo α. La Tabla I muestra los resultados del proceso de maximización de la función Rα) porelmétodo de bisección. De esos resultados, puede observarse que el máximo se encuentra en el intervalo , ) y tiene un valor aproximado de m. 3

4 Tabla I. Maximización del rano Como Función del Ánulo de Inclinación de la Banda. a k m k 1 fm k 1 ) m k+1 fm k+1 ) b k Solución Parcial del Problema Como un Problema de Búsqueda de Raices de una Ecuación No Lineal. La fiura 3 rafica la derivada del rano de movimiento horizontal de la partícula de arena como función del ánulo de inclinación de la banda. Una revisión somera de la fiura muestra que la derivada tiene una raiz en las proximidades de α =0.52 rad alpha Fiure 3: Derivada de la Función del Rano del Movimiento de la Arena como Función del Ánulo α. 4

5 La Tabla II muestra los resultados del proceso de búsqueda de la raiz de la derivada del rano dr dt α) por el método de bisección. De la tabla II puede observarse que la raiz se encuentra en el intervalo , ). Este resultado coincide con el obtenido previamente. Tabla II. Busqueda de la Raiz de La Derivada del Rano Como Función del Ánulo de Inclinación de la Banda. dr a k b k dt m k)