LÍMITES DE FUNCIONES REALES CON TENDENCIA A REAL

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N FECHA DURACION 8 JULIO DE 08 8 UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO Deteria adecuadaete el líite de fucioes reales, aplicado sus teoreas fudaetales. Desarrolla ordeadaete las actividades propuestas por el profesor. LÍMITES DE FUNCIONES REALES CON TENDENCIA A REAL Después de aber trabajado e el segudo período todo lo relacioado co las fucioes reales y sus aplicacioes, pasas aora a aejar uo de los coceptos ás fudaetales que tiee el cálculo coo es la teoría de líites. Los coociietos que vas adquiriedo va elazados uos co otros y so uy iportates tato para tu desarrollo itelectual coo para la aplicació e próios coceptos ateáticos. Es así, por ejeplo, coo el cocepto de líite os llevará al estudio de otros de los teas fuertes del cálculo coo lo es la derivada cuyo estudio realizarás e el últio período. Cotiúa adelate co tu trabajo que ya falta uy poco para que logres alcazar ua eta ás e otra etapa esecial de tu vida. Racioales Factorizació LÍMITES DE FUNCIONES reales Irracioales Laterales Racioalizació Factorizació y/o racioalizació Defiició ituitiva de líite: Sea Y= f () ua fució cualquiera y sea a y L dos úeros reales, quereos aalizar el coportaieto que tiee Y a edida que la variable X se acerca o se aproia al úero real a. X se puede aproiar al úero a por dos lados: por la izquierda de a (ó sea toado valores ligeraete eores que a) o por la dereca de a (ó sea toado valores ligeraete ayores que a). Si a edida que X se aproia por la izquierda de a ( < a) toado valores ligeraete eores que a pero uy cercaos, decios que X a - (se lee tiede a a por la izquierda ) y si a edida que esto ocurre f () se aproia al úero real L etoces podeos decir que el líite cuado X tiede a a por la izquierda de f () es igual a L y se escribe:

2 f () = L a - (líite lateral por la izquierda de a). Si a edida que se aproia a a por la dereca de ( > a ) toado valores ligeraete ayores que a pero uy cercaos, decios que X a + ( se lee tiede a a por la dereca ) y si a edida que esto ocurre f () se aproia tabié al úero real L, etoces podeos decir que el líite cuado X tiede a a por la dereca de f () es igual a L y se escribe: f () = L a + (líite lateral por la dereca de a). Si el f () es igual al f () y so iguales al úero real L, es porque el líite total eiste y a + a - podeos escribir: f () = L y eiste, es decir, el líite de ua fució dada eiste cuado los a dos líites laterales so iguales al iso úero real; por lo tato el líite de la fució dada o eiste cuado los dos líites laterales so diferetes. NOTA IMPORTANTE: Secillaete el líite es el valor que toa la fució Y cuado se aproia a u valor real dado. E clase tu profesor te ostrará el ANÁLISIS GRÁFICO DEL LÍMITE. E tus cursos de cálculo uiversitario podrás aalizar co todo el rigor ateático dica defiició. Aora bie, para allar el líite co tedecia a real de ua fució o siepre es ecesario calcular los líites laterales; para ello es suficiete co teer presete los teoreas que tú aalizarás a cotiuació: ACTIVIDADES Estaré uy ateta a estas actividades; lo que o etieda se lo pregutaré a Caila Herrera.. LEO Y ANALIZO DETENIDAMENTE LOS SIGUIENTES TEOREMAS: a. Uicidad del líite: El líite de ua fució si eiste debe ser úico e igual a u úero real. b. ite de la fució costate: El líite de ua fució costate es la isa costate, es decir, sea Y = f () = #, etoces: f () = # = # a a

3 Ej: a. 9 = 9 ; b. ( - 7 / ) = - 7 / ; c. ab = ab - c. ite de la fució polióica: El líite de ua fució polióica lo calculas reeplazado e el polioio a la variable por su tedecia y el resultado es el líite, es decir, sea Y = f () co f () polióica, etoces: f () = f (a) a Ej: ( + - 7) = () + () - 7 = Desde aquí puedo observar que Colobia tabié tiee líites... Tedrá que ver esto co lo que estaos estudiado? Tú qué piesas? d. ite de ua potecia o de ua raíz co base o catidad subradical polioios: Se procede de igual fora que e el teorea c aterior, es decir, sea Y = f() u polioio, etoces: [ f () ] P = [ f (a) ] P y, dode e f ( ) f ( a) la a a raíz f(a) o puede dar cero porque e caso de dar cero es ecesario aalizar líites laterales, los cuales estudiarás u poco ás adelate. Ej: [8 + ] = [8 (/) - (/) + ] = [ / + ] = /8 ½ e. ite de la fució racioal: Sea Y = N () / D () ua fució racioal (dode el uerador y el deoiador so polioios), etoces: N () / D () = N (a) / D (a) siepre y cuado D (a) 0 a Este teorea e palabras quiere decir lo siguiete: Para toarle el líite a ua fució racioal se reeplaza etalete e el deoiador a la variable por la tedecia y si da cero, es ecesario factorizar tato el uerador y el deoiador (si es posible) y se siplifica la fracció resultate (tal coo siplificas fraccioes algebraicas) y luego reeplazas a la variable por la tedecia y el resultado es el líite; aora bie, si el deoiador o da cero etoces o ecesitas factorizar sio que

4 reeplazas directaete a la variable por la tedecia e toda la fució racioal y el resultado es el líite. NOTA: Cuado te platee el líite de la sua y/o resta de varias fraccioes racioales, es pertiete efectuar priero las operacioes idicadas para obteer ua sola fracció y luego se aplica el teorea e. f. ite de ua fució irracioal: Sea Y = f () ua fució irracioal (fraccioario co variable detro de raíces); para calcular el líite a dica fució se procede de igual fora que e el teorea e, pero si el deoiador se aula ecesitas racioalizar E geeral si al calcular el líite a ua fracció el uerador y el deoiador se aula, debes factorizar y/o racioalizar, siplificar y luego reeplazar a la variable por su tedecia y el resultado es el líite. Por otra parte cuado teeos ua fució racioal o irracioal co varios factores e el uerador y/o e el deoiador y éste se aule, sólo ecesitas factorizar o racioalizar a aquellos factores que se aula cuado se reeplaza a la variable por la tedecia.. MUY ATENTA EN CLASE ESTOY AL CÁLCULO DE LOS SIGUIENTES LÍMITES QUE ENCUENTRA MI PROFESOR APLICANDO LOS TEOREMAS ANTERIORES: a. - 7 b. 7 c. Li 8 6 d. f. X 9 e g. Si f() =, verifica que: 0 f ( ) f ( ) 6. 0 ( ) 9 6 i. 6. j j. k. l CON OTRAS DOS COMPAÑERAS TRABAJO LOS SIGUIENTES LÍMITES: E clase trabajo los siguietes líites que e propoe, los que o terie e el bloque los debo cotiuar e la casa:

5 . X 9. X X ( ) z z. z z 9z f ( ). Si, alla el 0 6 f ( ) f ( ) X 6 X z z z 6 7. ( )( ) 0 Las pregutas y so de selecció últiple co úica respuesta.. es igual a: A. / B. /7 C. / D. /7 9. Si f ( ) f ( ), etoces es igual a: X f (0) A. B. No eiste C. 0 D. 6 El desafío ace al líder de ecelecia y o ay desafío si riesgo al fracaso Miguel Ágel Corejo