5. Sistemas inerciales y no inerciales

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1 5. Sistemas ineciales y no ineciales 5.1. Sistemas ineciales y pincipio de elatividad de Galileo El conjunto de cuepos especto de los cuales se descibe el movimiento se denomina sistema de efeencia, y los sistemas tales que en ellos se veifica la ley de inecia se denominan ineciales. Es fácil ve que cualquie sistema que se taslade unifomemente especto de un sistema inecial es también inecial. En efecto, imaginemos un objeto libe de fuezas que se mueve con una velocidad v especto de un sistema inecial K, y supongamos que oto sistema K' se taslada especto de K con una velocidad constante V. Como sobe el objeto no actúan fuezas y el sistema K es inecial, la velocidad v pemaneceá constante. Entonces, el objeto libe se moveá de manea unifome también especto de K', y po lo tanto este sistema también es inecial. Al estudia el movimiento libe de un cuepo no podemos difeencia ente los distintos sistemas ineciales. La expeiencia muesta que todas las leyes de la mecánica esultan las mismas en todos los sistemas ineciales, y este hecho ecibe el nombe de pincipio de elatividad de Galileo. En la páctica, significa que un obsevado situado en el inteio de un ecinto ceado no puede distingui, a tavés de ningún expeimento mecánico, si el ecinto está en eposo o se taslada con velocidad constante; en cambio, sí puede distingui el movimiento unifome del movimiento aceleado Sistemas en movimiento ectilíneo aceleado Ecuaciones de la dinámica Consideemos un sistema de efeencia K' que se taslada con una velocidad vaiable V (t) especto de un sistema inecial K. De acuedo con el pincipio de inecia, un objeto libe de fuezas se moveá con una velocidad v constante especto del sistema K. La velocidad v' del objeto especto del sistema aceleado K' veifica la suma galileana de velocidades: v=v + V(t) (5.1) Po lo tanto, v ' no puede se constante. Esto significa que en el sistema K' no se cumple la ley de inecia, ya que especto de K' un objeto libe de fuezas no se mueve unifomemente. Entonces, K' es un sistema de efeencia no inecial. 76 Gavitación

2 Supongamos que, en un instante dado la aceleación del sistema K' especto del sistema K es A. Como un objeto libe conseva su velocidad constante especto del sistema inecial K, especto del sistema K' tendá una aceleación a ' = -A. Es clao que la aceleación que adquiee un objeto especto del sistema K' no depende de ninguna popiedad del objeto; en paticula, a ' no depende de la masa del objeto. Este hecho pemite, como veemos más adelante, establece una analogía muy impotante ente el movimiento en un sistema no inecial y el movimiento en un campo gavitatoio ya que, como sabemos desde Galileo, en un campo gavitatoio todos los cuepos, independientemente de sus masas, adquieen la misma aceleación. Las leyes de la mecánica, tal como se las fomula en los sistemas ineciales, no valen, evidentemente, en un sistema aceleado. Sin embago, las ecuaciones dinámicas pueden modificase de manea tal que sean válidas también paa el movimiento de un objeto especto de un sistema no inecial K'; basta intoduci una fueza F*, llamada fueza inecial, popocional a la masa del cuepo y a la aceleación -A que adquiee especto de K' si se encuenta libe de inteacciones: F * = Es impotante obseva que la fueza inecial F* se difeencia de las fuezas asociadas a inteacciones en dos aspectos fundamentales: ma (5.2) Como la fueza F* no se asocia a una inteacción, no existe una fueza -F*, aplicada en algún oto cuepo, que sea la eacción coespondiente a F*. La existencia de la fueza inecial depende del sistema consideado. En el sistema inecial la ley de Newton paa un objeto libe se escibe: F = 0= En cambio, en el sistema aceleado se escibe: ma (5.3) * F = F = a m (5.4) con la fueza inecial: * F = ma Ejemplos 1. Consideemos un apaato fomado po un objeto de masa m situado sobe un plano hoizontal de ozamiento despeciable, y unido a un extemo de un esote de constante elástica k y longitud natual l 0. Este apaato, levemente modificado, puede utilizase paa medi aceleaciones instantáneas, y de hecho, se lo instala en vehículos paa medi, po ejemplo, la eficacia de los fenos; a menudo se lo llama ''aceleómeto''. Paa entende su funcionamiento escibamos las ecuaciones dinámicas paa el objeto de masa m en un sistema K' unido a un vehículo que acelea. A pati del diagama de fuezas (véase la figua 5.1 donde se considea que el esote está inicialmente compimido) tenemos: Sistemas ineciales y no ineciales 77

3 N F x = k l l 0 ma = ma (5.5) F*=-mA Fe F y = N mg =0 (5.6) Figua 5.1. Diagama de fuezas paa una masa m unida a un esote de constante elástica k y longitud l 0 en un sistema no inecial. mg A donde k l - l 0 es el valo absoluto de la fueza elástica, l es la longitud del esote, y ma es el valo absoluto de la fueza inecial F*. Cuando el objeto se encuenta en equilibio especto del sistema K' su aceleación a' es nula y se obtiene: k l l 0 =ma (5.7) ρ Vg Po lo tanto: A = k m l l 0 y midiendo la longitud l del esote cuando el objeto se encuenta en equilibio puede deteminase la aceleación de K' especto de un sistema inecial K. 2. Como es sabido, un cuepo de volumen V inmeso totalmente en un fluido de densidad expeimenta un empuje hacia aiba igual a Vg (ley de Aquímedes). Este empuje sucede poque la pesión debajo del cuepo es mayo que la pesión sobe el cuepo y esto, a su vez, se debe a la fueza peso ejecida po la Tiea sobe el fluido (ve figua 5.2 i). Un cuepo de densidad c tiene un peso c Vg, y si c es meno que el empuje esulta mayo que el peso y el cuepo flota; en paticula, si el cuepo se encuenta inicialmente sumegido, se acelea hacia aiba hasta alcanza la supeficie. F*=ρ VA Podemos peguntanos qué ocue si se tiene un objeto inmeso en un fluido y el ecipiente que lo contiene se acelea unifomemente en la diección hoizontal. Si la aceleación del ecipiente es A, en un sistema K', no inecial fijo al ecipiente, existe sobe el cuepo una fueza inecial: F* = ma = cva (5.9) E =ρvg E =ρva P=ρ Vg A P+F* E peo también hay un empuje hoizontal: debido a la difeencia de pesiones ente ambos lados del cuepo que suge como consecuencia de la fueza inecial que actúa sobe el fluido (véase la figua 5.2). Figua 5.2. De izquieda a deecha: i) Ejemplo 2 en un sistema Un aspecto inteesante de esta situación es que si inecial. ii) Ejemplo 2 en un sistema no inecial. iii) Idem ii) con la densidad del cuepo es meno que la del fluido las fuezas esultantes. el cuepo no solamente flota sino que, como en ese caso, el empuje hoizontal es mayo que la fueza inecial, el cuepo además se acelea en el mismo sentido en que acelea el ecipiente. Esto explica po qué, si se lleva un globo inflado con un gas menos denso que el aie dento de un vehículo que aumenta su velocidad, el globo tiende a movese, especto del vehículo, ''hacia adelante'' y no ''hacia atás''. A E x = A (5.8) (5.10) 78 Gavitación

4 5.3. Sistemas de efeencia otantes Fuezas centífuga y de Coiolis Deduci la foma de las ecuaciones dinámicas paa el movimiento de un cuepo especto de un sistema de efeencia otante equiee, en el caso más geneal, de un fomalismo matemático algo complicado. Po lo tanto, en este páafo basaemos nuestas deducciones en ejemplos sencillos y justificaemos la validez de los esultados obtenidos a pati de agumentos más bien intuitivos. Consideemos pimeo un cuepo que descibe una cicunfeencia de adio con una apidez constante v medida en efeencia a un sistema inecial K. Respecto de dicho sistema el cuepo tendá una aceleación: v 2 a= (5.11) si consideamos como positivo el sentido en que aumenta (es deci, del cento de la cicunfeencia hacia afuea). Respecto de un sistema K' cuyo oigen coincide con el cento de la cicunfeencia y que ota con una velocidad angula Ω, el cuepo tiene una velocidad tangencial v' T tal que v = v' T + Ω, y su aceleación es: a = (5.12) Luego, ente la aceleación del cuepo especto de K' y la aceleación especto de K hay una difeencia: v T 2 a a = v T 2 v 2 (5.13) = v T 2 + (v T ) 2 (5.14) θ 2 +2v T (5.15) Esta difeencia de aceleaciones ente ambos sistemas puede explicase po la existencia en el sistema K' de una fueza inecial: F* = m 2 R +2mv T (5.16) Figua 5.3. En nego: vecto velocidad a tiempo inicial; en maón: vecto velocidad un instante dt posteio; en vede: '' etaso'' del cuepo; en ojo: otación del vecto velocidad. que depende de la distancia del cuepo al cento de la cicunfeencia y de su velocidad tangencial v' T especto del sistema otante K'. El pime témino coesponde a una fueza adial que apunta de adento hacia afuea, y se suele denomina fueza centífuga; el segundo témino coesponde a una fueza adial que apunta hacia afuea o hacia aden- Sistemas ineciales y no ineciales 79

5 to según v' T sea positiva o negativa, y es la llamada fueza de Coiolis paa un cuepo que se desplaza tangencialmente especto de K'. Gustave Coiolis ( ) fue un matemático y científico fancés que, ente otas cosas, se dedicó a estudia los conceptos de enegía mecánica y tabajo de fuezas en sistemas otantes. Ahoa, consideemos un cuepo libe que en cieto instante se mueve en diección adial especto del sistema otante K' cuya velocidad angula es Ω. Entonces, en el sistema K' el cuepo inicialmente tiene sólo una velocidad adial v ' y velocidad tangencial nula. Supongamos que, inicialmente, el cuepo se encuenta a una distancia del eje de otación de K' y que v ' es positiva; entonces, luego de un intevalo dt muy chico, el cuepo se habá desplazado adialmente una distancia: d = v dt (5.17) y su vecto velocidad (constante especto de un sistema inecial), habá otado un ángulo dθ = Ωdt (ve Figua 5.3). Po ota pate, especto de un sistema inecial, el cuepo tiene inicialmente una velocidad tangencial Ω mientas que un punto de la cicunfeencia de adio + d que alcanza luego de un tiempo dt se mueve con una velocidad tangencial Ω( + d). Po lo tanto, cuando el cuepo llega al adio + d, especto de K' ha adquiido una velocidad tangencial dv' T, que esulta de ambos efectos combinados: otación del vecto velocidad especto del sistema K' (-v ' sen dθ) y ''etaso'' debido a que se alcanza un adio donde la velocidad tangencial de K' es mayo (-Ωd) (ve Figua 5.3). Apoximando sen dθ dθ, y escibiendo d = v ' dt tenemos: dv T = v v dt (5.18) Así, dividiendo po dt, obtenemos la aceleación: a = dv T dt = v (5.19) ya que dθ/dt = Ω. De esta manea, en el sistema K' apaece sobe el cuepo una fueza tangencial popocional a su velocidad adial: F* = 2mv (5.20) Esta es la fueza de Coiolis paa un cuepo que en cieto instante se mueve adialmente especto de un sistema otante. En el caso en que v ' es positiva esta fueza tiende a ''etasa'' al cuepo; po supuesto, si v ' es negativa, es deci, si el cuepo se aceca al eje de otación, esta fueza tiende a ''adelantalo''. En el caso geneal de un cuepo que se mueve de cualquie manea especto de un sistema que ota, apaece una fueza inecial cuya componente adial está dada po la ecuación 5.16, y cuya componente tangencial está dada po la ecuación La fueza inecial depende de la posición del cuepo y de las componentes adial y tangencial de su velocidad especto del sistema otante, peo no depende de la componente de su velocidad paalela al eje de otación. 80 Gavitación

6 Ejemplo. Consideemos un satélite geoestacionaio, es deci, un satélite que se mantiene siempe sobe el mismo punto de la supeficie teeste. En pime luga, ecodemos que sus óbitas deben se ciculaes: esto se deduce del hecho de que el satélite geoestacionaio debe mantene su velocidad angula constante (igual a la de la Tiea), y entonces la consevación del impulso angula conduce a la constancia de la distancia al cento. Respecto de un sistema inecial K, el satélite geoestacionaio se mueve unifomemente sobe una cicunfeencia de adio y la suma de fuezas en la diección adial se escibe: GM T m S 2 = m s a=m S ( 2 ) (5.21) donde M T y m S son las masas de la Tiea y del satélite espectivamente y G es la constante univesal de la gavitación. En cambio, especto de un sistema K' que ota con la Tiea, el satélite pemanece en eposo y su aceleación es nula; peo existen, además de la atacción gavitatoia, fuezas ineciales. La fueza de Coiolis es nula, ya que la velocidad del satélite especto de K' es ceo, mientas que la fueza centífuga es igual a mω 2. Luego, en el sistema K' la suma de fuezas esulta: GM T m S 2 +m S 2 = m S a =0 (5.22) Es evidente que las ecuaciones 5.21 y 5.22, aunque tienen sentidos esencialmente distintos, conducen a los mismos esultados cuando se calcula con ellas el valo de cualquie magnitud. Obsevemos que la ecuación 5.22 muesta la clave aceca de la ''ingavidez'' que expeimentan los objetos en, po ejemplo, una estación obital. La ''ingavidez'' no es ausencia de la fueza peso, sino el esultado de que la fueza centífuga que apaece en el sistema no inecial de la estación obital equiliba a la fueza gavitatoia, dando una esultante nula (estictamente, esto no ocue en cualquie punto dento de la nave; véase la sección siguiente) Fueza de maea (2) Planteemos el poblema de un cuepo extenso de masa m en óbita cicula con velocidad angula Ω, alededo de un planeta de masa M. Supongamos que el cuepo es homogéneo, de modo que todo pequeño volumen igual dv tiene la misma masa dm. En el sistema de efeencia K' que gia con la misma velocidad angula Ω (alededo del mismo eje, po supuesto), la suma de fuezas sobe una pate del cuepo, cuya masa es dm, se escibe: GM dm 2 +dm 2 = dm a (5.23) Sistemas ineciales y no ineciales 81

7 PLANETA Esta ecuación pemite obseva que, como el cuepo no es estictamente puntual, si consideamos distintos puntos a lo lago del mismo en diección adial, dichos puntos coespondeán a distintos valoes del adio. Existe un adio 0 tal que la suma de fuezas sobe una masa dm situada a esa distancia es nula. Si tomamos valoes un poco mayoes, la fueza gavitatoia es un poco meno, mientas que la fueza centífuga, al se popocional al adio, es un poco mayo. Lo opuesto ocue si tomamos valoes menoes del adio. Po lo tanto, en geneal ambas fuezas sólo se cancelan paa un adio dado, mientas que paa adios mayoes la fueza esultante apunta ''hacia afuea'' (es deci, en el sentido en que cece la distancia al cento), mientas que paa adios menoes la fueza esultante apunta ''hacia adento'' (es deci, en el sentido en que decece la distancia al cento). En otas palabas, si 0 es el adio paa el cual una pate de masa dm se encuenta en equilibio, paa mayo o meno que 0 las pates del cuepo tendeán a sepaase. Paa fija ideas, tomemos dos pates del cuepo a una distancia d de su cento como se muesta en la figua 5.4: la pimea más ceca del planeta y la segunda más lejos. Escibamos la suma de fuezas paa las tes pates consideadas, es deci, la que está en equilibio y las otas dos que tienden a sepaase: GM dm +dm = 0 (5.24) 0 (1) (2) Figua 5.4. Fueza gavitatoia que ejece un planeta sobe distintas pates de un cuepo extenso. d d GM dm ( 0 d) 2 +dm 2 ( 0 d) = dma GM dm ( 0 +d) 2 +dm 2 ( 0 +d) = dm a + donde a' ± indica la aceleación, medida en K', de la masa dm ubicada más lejos o más ceca del planeta. La difeencia ente las fuezas en distintos puntos es llamada usualmente fueza de maea 36. Con esto, se puede obtene la aceleación que cada pate tendía especto de las otas. Peo supongamos, lo cual es azonable en gan pate de los casos concetos, que d << 0. Entonces, podemos escibi: ( 0 ± d) -2 = 0-2 (1 ± d/ 0 ) (1 2d/ 0 ), y cancelando la masa dm de las ecuaciones anteioes se obtienen las expesiones apoximadas: ± (5.25) (5.26) GM 2 0 GM 2 0 (1 +2d/ 0 )+ (1 2d/ 0 )+ 2 ( 0 d) a 2 ( 0 +d) a + (5.27) (5.28) Utilizando la elación (5.24), se obtiene: 3 GM d GM d 3 0 (5.29) (5.30) Cada una de estas igualdades apoximadas da la aceleación elativa que cada una de las pates consideadas tendía, especto de la pate sobe la cual la suma de fuezas es nula. Obseve- a a + 36 Compáese con la discusión en la sección ''Fueza de maea (1)''. 82 Gavitación

8 mos que el esultado es un poco mayo (po un facto 3/2) que el que habíamos obtenido sin tene en cuenta el movimiento del cuepo (véase la sección ''Fueza de maea (1)'', ecuación (3.27)). Evidentemente, la aceleación elativa ente las dos pates, que en pincipio no están en equilibio, es igual a 6GMd/ 03. En la páctica, un cuepo extenso se mantiene unido debido a las fuezas intenas, es deci las que unas pates del mismo ejecen sobe las otas. Poblemas Poblema 1: Un astonauta de masa m = 100 kg se encuenta unido a una estación espacial de masa 50 x 10 3 kg que se encuenta en óbita a una altua de 500 km, po medio de un cable. Se quiee detemina la tensión del cable necesaia paa mantene al astonauta unido a la nave, a una distancia de 70 m en la diección adial. Es necesaio toma en cuenta la fueza gavitatoia ejecida po la nave sobe el astonauta? Poblema 2: El adio de la Luna es de unos km, su gavedad supeficial es de apoximadamente 1,62 m/s 2 y su distancia media a la Tiea es de unos km. Se popone compaa la fueza de maea -debida a la gavedad teeste y a la fueza centífuga- ente una masa dm en el cento de la Luna y ota en la caa opuesta a la Tiea, con la fueza que la popia Luna ejece sobe la misma masa dm sobe la supeficie El pincipio de equivalencia Imaginemos una egión en el espacio exteio, que se encuenta suficientemente alejada de estellas y planetas de manea tal que la fueza gavitatoia pueda suponese nula. En esta egión es posible elegi un sistema de efeencia inecial, de manea que los cuepos inicialmente en eposo, especto de este sistema, pemanezcan en eposo; y los cuepos con movimiento ectilíneo y unifome continúan siempe con este movimiento. Supongamos ahoa que un obsevado equipado con un aceleómeto se encuenta dento de una caja gande, del tamaño de una habitación. Sobe el obsevado no actúa ninguna fueza gavitatoia. Po lo tanto, paa pemanece en el suelo debeía esta atado o fijado al mismo, poque de lo contaio cualquie impacto conta el suelo (po el pincipio de acción y eacción) lo impulsaía hacia el techo (en este caso la tapa de la caja). En el cento de la tapa de la caja (el techo de la habitación paa el obsevado) y del lado exteio de la misma, se encuenta un gancho con una soga atada al mismo. Ahoa supongamos que se ejece una fueza constante sobe la soga y po lo tanto sobe el techo de la caja. La fueza sobe la soga se ejece de manea tal que la misma tia de la caja paa movela hacia aiba. Cuál seá la descipción del movimiento paa un obsevado situado afuea de la caja? Paa este obsevado, la caja comenzaá a movese junto con el obsevado que se halla dento con un movimiento unifomemente aceleado. Cuál seá la descipción del movimiento paa un obsevado situado adento de la caja? La aceleación de la caja se tansmite a este obsevado a tavés de la fueza de contacto ejecida po el piso de la misma. Po lo tanto, el obsevado notaá que no necesita esta fijado o atado al piso de Sistemas ineciales y no ineciales 83

9 la caja. Dicho de ota manea, el obsevado está paado sobe el piso de la caja de la misma manea que cualquie obsevado sobe la supeficie de la tiea. Si lanza un cuepo, la aceleación de la caja no se tansmitiá a este cuepo, y entonces dicho cuepo caeá con movimiento aceleado paa el obsevado. Si lanza vaios cuepos de distinta masa, composición y/o tamaño, obsevaá que la aceleación que mide es siempe la misma. Entonces, el obsevado, que sabe que en un campo gavitatoio unifome todos los objetos caen con la misma aceleación, concluiá que él y la caja se encuentan en un campo gavitatoio unifome. La popiedad fundamental de la fueza gavitatoia de impimi a todos los cuepos la misma aceleación independientemente de su masa, composición y/o tamaño, es la que pemite que el obsevado dento de la caja llegue a esta conclusión. Supongamos ahoa que se usa una soga fijada a la tapa de la caja del lado inteio de la misma paa colga un cuepo en su extemo libe. La soga ejeceá una tensión sobe el cuepo, peo el mismo pemanece en eposo especto de la caja. Si peguntamos al obsevado en su inteio po la fueza que compensa la tensión de la soga, como el mismo cee que se encuenta en un campo gavitatoio diá que es la fueza gavitatoia, de manea que la intensidad de esta tensión seá popocional a la masa gavitatoia del cuepo. A su vez, el obsevado exteno a la caja diá que la soga tansmite al cuepo el movimiento aceleado de la caja. La intensidad de la tensión de la soga, paa este obsevado, seá popocional a la masa inecial del cuepo. De esta manea, se deduce la necesidad de la igualdad ente masa gavitatoia y masa inecial. El hecho de que las fuezas ineciales poducen aceleaciones independientes de las masas de los cuepos, pemite establece una analogía ente los sistemas de efeencia no ineciales y los campos gavitatoios: todo sistema no inecial equivale a cieto campo gavitatoio (pincipio de equivalencia). En la páctica esto hace posible anula, al menos localmente, un campo gavitatoio mediante una elección de un sistema de efeencia adecuado: basta con elegi un sistema en movimiento aceleado cuya aceleación sea igual a la que adquiiía un objeto colocado en la egión del campo que se está consideando. En paticula, un campo unifome y constante equivale a un sistema de efeencia que se taslada con aceleación constante y, po lo tanto, puede se anulado simultáneamente en todo el espacio. Estictamente, no existen en la natualeza campos gavitatoios unifomes; sin embago, en la páctica se dan muchas situaciones en las cuales un campo unifome es una muy buena apoximación a las condiciones eales. 84 Gavitación

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